Integración de un binomio diferencial
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Integración de un binomio diferencial
∫ xm (a+b xn) pdx
Existen 3 casos para la resolución de esta integral:
1° caso: Cuando p es un número entero, se hace la sustitución: x=zr , donde r es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones ‘’m’’ y ‘’n’’.
2° caso: Cuando m+1n
es un número entero, se hace la sustitución: a+b xn=zs , donde s es el
denominador de la fracción p=r /s (los números r y s son pesi).
3° caso: Cuando m+1n
+ p es un número entero, se hace la sustitución: a+b xn=zs xn o también se
puede expresar como a x−n+b=zs, donde s es el denominador de la fracción p.
Ejemplo
∫ x−16 (x 12−ax16+a2 x−1
6 )2
(a3+x )2dx
Factorizando el trinomio al cubo en el denominador:
(a3+ x )=(a+ x13 )(a2−ax
13+x
23)
Tomando como término común x−16 en el numerador:
( x−16 ( x
46−ax
26+a2))
2
Reemplazando todo en la expresión original:
∫ x−16 (x−1
6 (x23−ax
13+a2))
2
(a+ x13 )2(a2−ax
13+ x
23 )2dx
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∫ x−12 (a+x 13 )
−2
dx
Ahora se procede a resolver el binomio diferencial:
Tenemos que p=−2 , así que consideramos el primer caso. MCM (2,3)=6
x=t 6→dx=6 t5dt
Reemplazando:
∫ t−3 (a+ t2 )−26 t 5dt
6∫ t 2
(a+t 2 )2dt
d (a+ t2 )=2tdt
6∫ t t
(a+ t2 )2dt
Hacemos integración por partes:
u=t , du=dt
dv= 2 t
2 (a+ t2 )2dt , v= −1
2 (a+ t2 )
3[ −t(a+t 2 )
−∫ −dt(a+t 2 ) ]
−3 t(a+t 2 )
+ 3√atan−1( t√a )
Haciendo 6√ x=t :
−3 6√x(a+ 3√x )
+3
√atan−1( 6√x√a )
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Ejemplo
∫6√sin π4 +( 3√sin θ )2 . (cosθ )
43
3√ sin 2θ2dθ
Operando numerador:
(√22 +(sin θ )23 )16 (cosθ )
13 (cosθ )dθ
d (sin θ )=cosθdθ
Operando denominador:
( 2sinθ cosθ2 )−13
(sinθ )13 (cosθ )
13
Volvemos a la expresión original:
∫(√22 −(sin θ )
23 )16 (cosθ )
13 (cos θ )dθ
(sin θ )13 (cosθ )
13
∫ (sinθ )−13 (√22 +(sin θ )
23)16d (sin θ )
Hacemos que sin θ=x
∫ ( x )−13 (√22 +( x )
23)16d ( x )
Procedemos con el binomio diferencial:
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Notamos que p es una fracción, asi que comprobamos si m+1n
es entero.
−13
+1
23
=1 ϵ Ζ
Aplicamos el 2° caso de binomio diferencial:
√22
+x23=t 6→ 2
3x
−13 dx=6 t5dt
Reemplazando:
∫ x−13 (t 6 )
16 3.6 t
5dt
2x−13
9∫ t 6dt
9 t7
7
Haciendo t=(√22 + x23 )16
9(√22 +x23)76
7
Ejemplo
∫ x−5 (1−x6 )−13 dx
La expresión tiene la forma precisa de un binomio diferencial. Analizamos el caso:
Al p no ser entero, se analiza si m+1n
es entero.
−5+16
=−23
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Si esa expresión no es entera se le suma la fracción p para comprobar el último caso, sino el integrando no se puede separar en funciones elementales.
−23
−13=−1ϵ Ζ
Para esto, aplicaremos el tercer caso de binomio diferencial:
1−x6= z3 x6o también x−6−1=z3
−6 x−7dx=3 z2dz
−2 x−7dx=z2dz
Reemplazando en la expresión original:
∫ x−5 ( z3 x6 )−13 z2dz
−2x−7
−12 ∫ x2 z−1 x−2 z2dz
−12 ∫ zdz
−z2
4
Haciendo z=3√ x−6−1
−3√x−6−1
2
4
−3√ 1−x6x6
2
4
−(1−x6 )23
4 x4
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Ejemplo
∫ e3 x (1+2e3x )14 dx
Haciendo sustitución:
ex=w→exdx=dw
∫w2 (1+2w3 )14 e xdx
∫w2 (1+2w3 )14 dw
Analizamos el binomio diferencial, como p no es entero, verificamos si m+1n
es entero.
2+13
=1 ϵ Ζ
Hacemos la segunda sustitución:
1+2w3=z4→6w2dw=4 z3dz
∫w2 ( z4 )14 4 z
3dz
6w2
23∫ z
4dz
2 z5
15
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Volviendo a la variable original:
24√1+2w3515
24√1+2e3x515