Instituto Superior Tecnico, MEAer

Exercıcios de Satelites(Ultima actualizacao: 27 de Novembro de 2008)

Os exercıcios estao divididos em varias partes que podem abarcar mais do que um capıtulo da materia. Porconveniencia, apresenta-se abaixo os valores das constantes mais uteis. µi ≡ GMi e o denominado parametrogravitacional.

Parametros1 UA = 1.496× 108 km µ = 1.327× 1011 km3/s2 M = 1.973× 1030 kg R = 6.96× 105 kmG = 6.673× 10−20 km3 s−2 kg−1 µ⊕ = 3.986× 105 km3/s2 M⊕ = 5.974× 1024 kg R⊕ = 6378 km1 ano sideral = 365.26 dias1 dia sideral =

23 h 56 m 4.09 s86164.09 s J2 = 0.00108263 (Terra)

Exercıcios de SatelitesCinematica e Dinamica

1. A localizacao de um veıculo e descrita pela sua longitudeλ a partir de Greenwich, a sua latitude δ e a sua altitudeH acima da superfıcie da Terra, como mostrado na fig. ATerra roda com velocidade angular ω⊕ em torno do seueixo. Um sistema de coordenadas S tem a sua origem nocentro da Terra, com ~s1 no plano do equador, ~s2 apontadopara o veıculo e ~s3 completando o triedro directo.

(a) Mostre que a velocidade angular do referencial S e

ωsi = δ~s1 + (ω⊕ + λ) sin(δ)~s2 + (ω⊕ + λ) cos(δ)~s3

e mostre que a velocidade inercial do veıculo e

~v = −(R+H)(ω⊕ + λ) cos(δ)~s1 + H~s2 + (R+H)δ~s3

(b) Mostre que a aceleracao inercial do veıculo e

~a = ~s1

(R+H)

[−λ cos δ + 2(ω⊕ + λ)δ sin δ

]− 2H(ω⊕ + λ) cos δ

+ ~s2

H − (R+H)

[(ω⊕ + λ)2 cos2 δ − δ2

]+ ~s3

(R+H)

[δ + (ω⊕ + λ)2 cos δ sin δ

]+ 2Hδ

Nota: Problema adaptado dos exercıcios 1.4 e 1.9 do Wiesel

2. Utilizando os conceitos de geometria diferencial e tensorial, deduza as expressoes da velocidade e aceleracaopara varios sistemas de coordenadas curvilıneas, e. g. coordenadas esfericas, e verifique que e mais facilutilizar o procedimento de geometria diferencial do que fazer as derivadas directamente. . .

1

3. Considere uma estacao espacial em forma de disco de 10 m de raio numa orbita equatorial circular a 500 kmde altitude. O disco que constitui a estacao encontra-se no plano orbital e roda com velocidade angular de10 rad/s no sentido directo. Um astronauta encontra-se no aro exterior da estacao a andar ao longo do seuperımetro com velocidade relativa a estacao de 5 m/s na direccao do sentido de rotacao da estacao.

(a) Calcule a velocidade e a aceleracao do centro da estacao espacial num referencial de inercia.

(b) Calcule a velocidade e a aceleracao do ponto da estacao onde o astronauta se encontra num referencialde inercia.

(c) Calcule a aceleracao do astronauta relativamente a estacao, e a as suas velocidade e aceleracao numreferencial de inercia.

4. Considere um satelite num movimento circular uniforme a volta de um planeta e actuado apenas pela forcagravıtica ~F = −µm

r2~er.

(a) Calcule a aceleracao e verifique que ela nao depende da massa. [Sol: ~a = − µr2~er]

(b) Calcule expressoes para a sua velocidade linear, perıodo de revolucao a volta do planeta e frequenciade revolucao. [Sol: v =

√µr, T = 2π√

µr3/2, n = 2π

T=√

µr3

]

5. Grandezas no Sistema Solar e mais alem. As distancias do Sol aos planetas do Sistema Solar sao, respectiva-mente e incluindo Plutao, 0.39, 0.72, 1, 1.52, 5.2, 9.5, 19.2, 30.1, 39.5, medidas em Unidades Astronomicas(UA, AU em ingles).

(a) Sabendo que o Sistema Solar orbita o centro da Via Lactea a ∼ 220 km/s, completa uma revolucao em∼ 226 × 106 anos e se encontra a ∼ 27.7 × 103 anos-luz do centro da galaxia, calcule a sua aceleracaodevido a rotacao da Galaxia.

(b) Sabendo a distancia da Terra ao Sol, calcule a velocidade linear da Terra, supondo a sua orbita circular,em km/s e km/h. Calcule tambem o seu perıodo de revolucao a volta do Sol e compare-o com o valorconhecido de 365 dias, 5 horas, 48 minutes e 54.5 segundos.

(c) Sabendo as distancias dos planetas do Sistema Solar ao Sol, calcule as suas velocidades lineares, supondoque as suas orbitas sao circulares. Calcule tambem os seus perıodos de revolucao a volta do Sol.Compare os valores com os valores da Terra (alınea anterior).

(d) Calcule o tempo que a luz do Sol demora a chegar a Terra e a Jupiter (Nota: c ∼ 3 × 105 km/s).Supondo que a Terra queria contactar por radio com uma nave espacial em Jupiter, quais os atrasosmaximo e mınimo das comunicacoes?

(e) Deduza uma formula que relacione o perıodo sinodico (relativo entre 2 planetas) e os perıodos dos plan-etas, supondo que as suas orbitas sao circulares. Para determinar o perıodo sinodico nao e estritamentenecessario comecar a contar o tempo quando os planetas estao alinhados. [Sol: τs = 2π

|n1−n2|]

6. Considere orbitas circulares a volta da Terra:

(a) Calcule a velocidade e perıodo de revolucao a volta da Terra que uma aeronave teria na linha deKarman, a 100 km de altitude, que e a altitude aproximada em que as aeronaves teriam que voar taodepressa, para conseguir sustentacao util da tenue atmosfera, que entrariam em orbita. Note que poroutro lado um satelite nao se mantem em orbita a esta altitude porque o atrito atmosferico e demasiadoelevado. A linha de Karman pode ser considerada como a fronteira com o Espaco.

(b) A aproximadamente 200 km de altitude a atmosfera torna-se suficientemente tenue para que um satelitecomplete umas poucas revolucoes antes de cair. Calcule a velocidade e perıodo orbital de um satelitenesta orbita, uma das mais baixas possıvel.

(c) As orbitas baixas ou LEO (Low Earth Orbits) sao todas as orbitas ate 1000 km de altitude (Nota:alguns autores consideram 2000 km). Calcule a velocidade e perıodo de um satelite na LEO mais alta.Compare com os valores obtidos na alınea anterior.

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(d) Calcule a altitude e velocidade de uma satelite numa orbita MEO (Medium Earth Orbit) com umperıodo de exactamente metade de um dia sideral. As MEO sao aproximadamente todas as orbitasentre as LEO e as geostacionarias, onde se encontram e. g. os satelites GPS e Molniya, e nao sao maisutilizadas porque passam nas camadas de Van Allen.

(e) calcule a altitude e velocidade de uma orbita geostacionaria e diga porque o seu perıodo deve terexactamente um dia sideral de duracao e porque tem que ser equatoriais.

(f) Calcule a velocidade linear aproximada da Lua, relativamente a Terra, sabendo que a distancia mediaentre os centros dos dois corpos celestes e de cerca de 384.4 × 103 km. Calcule tambem o seu perıodode revolucao a volta da Terra.

7. Em 1995 a sonda SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) foicolocada numa orbita heliosferica circular interior a orbita da Terracomo mostra a figura. Verifique que a diferenca de raios das duasorbitas, de modo a que o perıodo da orbita da sonda coincida como da orbita da Terra, e h = 1.496 × 106 km. Nota: considere que asonda e influenciada pela forca da gravidade devida a Terra e ao Sol.Nota: Exercıcio do Teste 1, 2000/01, problema I-3

8. Considere a forca da gravidade a uma altitude h, pequena relativamente ao raio da Terra R⊕ e a expressaoexacta da forca para o caso da aproximacao da Terra esferica ~F = −µm

r2~er

(a) Da expressao geral da forca, obtenha a aceleracao da gravidade a superfıcie da Terra g em funcao deoutras grandezas e calcule o seu valor.

(b) Obtenha a expressao para a energia potencial gravıtica e defina a constante de modo a que quando umcorpo se liberta da Terra a sua energia potencial seja zero.

(c) Lembrando o desenvolvimento em serie 1(1±x)α ' 1∓ αx± . . . , desenvolva as expressoes em termos de

x = h/R⊕ (logo r = R⊕ + h = R⊕(1 + x)) e obtenha expressoes aproximadas para a forca gravıticapara h pequeno. Calcule o erro relativo para as expressoes exactas para h = 10 km e h = 100 km.

(d) Repita a alınea anterior para a energia potencial gravıtica.

9. Usando o princıpio de conservacao de energia calcule a velocidade de escape:

(a) Da Terra a partir da superfıcie, desprezando a atmosfera

(b) Do Sistema Solar, a partir da orbita da Terra, (i) estando parado ou (ii) tendo a velocidade da Terra.

10. Considere a energia total de um satelite:

(a) Calcule a percentagem de Energia Cinetica e de Energia Potencial T e V , no caso de orbitas circulares,a altitude de (i) 200 km, 1000 km, e (iii) orbita geostacionaria.

(b) Calcule as energias total, cinetica e potencial de um satelite parado num laboratorio a superfıcie daTerra.

(c) Verifique que, pelo menos para orbitas baixas (< 1000 km), a maior parte da energia necessaria fornecerpara conseguir entrar em orbita e energia cinetica.

11. Considere que a Terra e uma esfera homogenea (IC = 25m⊕R

2⊕):

(a) Calcule a energia cinetica total da Terra (calcule separadamente os termos de translacao e rotacao).

(b) Calcule o Momento angular total da Terra, relativamente ao Sol.

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12. Calcule a localizacao do centro de massa dos sistemas:

(a) Terra-Lua

(b) Terra-Satelite se o satelite tiver 100 toneladas de massa e se encontrar numa orbita geostacionaria(comente sobre o tamanho do satelite e a sua orbita).

(c) Sol-Jupiter e Sol-Jupiter-Saturno, com Saturno em oposicao relativamente a Jupiter.

(d) Comente sobre a aproximacao de forca central em todos os casos acima.

13. Calcule a forca de atraccao gravıtica entre o Space Shuttle Orbiter com um satelite no porao, de 100 toneladasde massa, e um astronauta em EVA a 10 m distancia do centro de massa da nave espacial (a massa do conjuntoastronauta-fato e 250 kg).

14. Relembrando as equacoes do movimento do problema dos N corpos, divididas pela massa

~ri = −N∑j 6=i

Gmj(~ri − ~rj)|~rj − ~ri|3

,

considere que o objecto i = 1 e a Terra e o corpo i = 2 e um satelite da Terra; os i = 3, 4, . . . sao o Sol, aLua, etc. Uma vez que vector ~r = ~r2 − ~r1 e o vector posicao do satelite relativamente a Terra, mostre que aequacao do movimento do satelite e (com rij = |ri − rj |)

~r2 − ~r1 = ~r = −µ~rr3−

N∑j=3

Gmj

(~r2 − ~rjr3

2j

− ~r1 − ~rjr3

1j

).

Os termos adicionais na expressao acima sao as perturbacoes da aceleracao do resto do sistema solar naorbita do satelite. Argumente justificando que o problema dos 2 corpos e uma boa aproximacao quando(i) mj e pequeno ou (ii) |~rj | e muito grande, ou (iii) o satelite esta muito proximo da Terra (~r2j ' ~r1j).Quantifique estes argumentos com contas aproximadas e obtendo ordens de grandeza dos valores envolvidos.

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Exercıcios de Satelites

Orbitas Keplerianas + Determinacaodas Orbitas no Espaco e no Tempo

Forca Central Geral

15. Considere uma partıcula de massa m e com velocidade e posicao iniciais ~v0 e ~r0 actuada por uma forcacentral, atractiva ou repulsiva, com a forma geral F (r).

(a) Demonstre que a partıcula se move num plano fixo.

(b) Demonstre que o momento angular da partıcula em relacao ao ponto (origem da forca) e constante edetermine a sua direccao em relacao ao plano do movimento.

Nota: Exercıcio do Teste 1, 2000/01

16. Uma partıcula de massa m descreve, sob a accao de uma forca, uma orbita r = r0eθ. Determine a forma da

funcao que define o campo de forcas que conduz a esta orbita espiral.17. Uma partıcula de massa m move-se num campo de forcas

central repulsivo de centro em O e intensidade f(r) =k/r3, em que k e uma constante positiva. A partıculaesta inicialmente a uma grande distancia e move-se comvelocidade v0. o parametro de impacto e b (cf. figura).Determine a menor distancia a que a partıcula se aprox-ima do ponto 0. [Sol: a =

√b2 + k

mv20]

Orbitas Keplerianas

18. Considere um satelite em orbita baixa circular a uma altitude de 500 km. Se a sua velocidade se alterar demodo a que a orbita passe a ser elıptica, qual a excentricidade maxima para que o satelite nao caia (considereque o satelite cai se passar abaixo dos 200 km de atitude). [Sol: e < 0.0436]

19. O cometa de Halley tem perıodo T = 75.3 anos. Calcule o semi-eixo maior a da sua orbita; sabendo querp = 0.586 UA, calcule a excentricidade e da sua orbita. [Sol: a = 2.6676× 109 km, e = 0.967]

20. Os elementos da hiperbole de partida da Viking I Mars Lander foram a = 18849.7 km e e = 1.3482. Calculea velocidade com que a sonda atinge a fronteira da zona de influencia da Terra, considerando que esta esta”suficientemente longe”, e o angulo entre a assimptota da orbita e a sua linha das apsides; faca um esbocoda orbita que inclua a linha das apsides, as assimptotas da orbita e a indicacao do angulo calculado. [Sol:

v∞ = 4.6 km/s, θ∞ = 137.88]

Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2001/02, Problema 4.

21. Duas partıculas, com massa m1 e m2 respectivamente, estao em movimento em orbitas parabolicas coplanaresem torno do Sol. As partıculas colidem perpendicularmente e coalescem quando a sua distancia comum aoSol e R. Mostre que a trajectoria resultante das partıculas combinadas e uma elipse com semi-eixo maiordado por

a =(m1 +m2)2R

4m1m2

e calcule a sua energia.

Nota: Exercıcio do Exame 2 de 2000/01, Problema 2.

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22. Mostre que o valor maximo da componente radial r da velocidade para uma orbita elıptica ocorre nainterseccao do latus rectum com a orbita e calcule-o. [Sol: r = µe sin θ

h⇒ θ = π/2 : rmax = µe

h]

Nota: Exercıcio do Teste de 2002/03, Problema 1.

23. Mostre que

T = Tc

[2−

(v

vc

)2]− 3

2

onde T e o perıodo de uma orbita elıptica com velocidade v num dado ponto e Tc e vc sao o perıodo e avelocidade da orbita circular que passa no mesmo ponto.

Nota: Exercıcio do Exame 2 de 2002/03, Problema 1.

24. Seja uma orbita em torno da Terra com altitudes maxima e mınima de 600 km e 200 km.

(a) Calcule (i) o semi-eixo maior, (ii) a excentricidade, (iii) a energia, (iv) o momento angular em relacaoao centro da Terra e (v) o perıodo da orbita. [Sol: (i) a = R⊕ + 400 km, (ii) e = 0.0295, (iii) E = −2.94 × 107 J/kg,

(iv) h = 5.1955× 10 m2/s, (v) T = 92 min 33.46 s]

(b) Determine o intervalo de tempo para o qual o satelite se mantem a uma altitude superior a 400 km.[Sol: ∆t = 47 min 8.89 s ' 0.51T ]

Nota: Exercıcio do Teste 1 de 2003/2004, Problema 4.

25. Um satelite e lancado numa direccao paralela a superfıcie da Terra com uma velocidade de 36900 km/h deuma altitude de 500 km. Determine:

(a) A altitude maxima alcancada pelo satelite. [Sol: hmax = rA −R⊕ = 60264 km ]

(b) O erro maximo permitido na direccao de lancamento se se quiser que o satelite nunca desca abaixo dos200 km de altitude. [Sol: |γ| < 11.6]

26. Uma sonda interplanetaria encontra-se numa orbita heliocentrica com perielio na Terra. Quando estavaa passar pela orbita de Marte verificou-se que a sua velocidade era v0 =

√5/6 vT com vT =

õS/rT e

rT = 1UA i.e. o raio da orbita da Terra, considerada aqui como sendo circular. Determine, para esseinstante:

(a) o momento angular; [Sol: h =√

62vT ×UA]

(b) a energia; [Sol: E = − 14v2T ]

(c) o angulo que a velocidade faz com a direccaotransversal; [Sol: γ0 = arcsin 2

√5

5]

(d) a anomalia verdadeira; [Sol: θ0 = π/2]

(e) a excentricidade; [Sol: e = 1/2]

(f) os semi-eixos maior e menor;[Sol: a = 2 UA, b =

√3 UA]

(g) o tempo da viagem da Terra a Marte;[Sol: tv = UA

vT× 1.74]

(h) a distancia maxima a que a sonda se podeencontrar do Sol se continuar nesta orbita ediga se podera, neste caso, atingir mais algumplaneta. [Sol: ra = 3 UA < 5.2 UA, nao pode.]

Nota: Utilize vT , rT = 1UA e suas potencias como unidades e considere a orbita de Marte circular com raio rM = 3/2 rT ; Note que

Jupiter se encontra a distancia media de 5.2 UA do Sol. Exercıcio do Exame 2 de 2002/2003, Problema 6.

6

27. Mostre que o modulo da velocidade de um satelite numa orbita elıptica em ambas as extremidades dos semi-eixos menores e o mesmo que o de um satelite em orbita circular que passa por esses pontos. Mostre tambemque o angulo α entre os dois vectores velocidade e, nesse ponto, α = arcsin e onde e e a excentricidade daorbita elıptica. Nota: Exercıcio do Exame Ep. Esp. 2001/02, Problema 2.

28. Um satelite encontrava-se numa orbita circular de raio r0 a volta da Terra quando os seus foguetes demanobra foram accionados para aumentar a velocidade. O modulo do incremento da velocidade foi ∆v foiinstantaneo e a sua direccao perpendicular a velocidade da orbita circular. Mostre que o semieixo maior danova orbita e dado por

a =r0µ⊕

µ⊕ − r0(∆v)2

Nota: Exercıcio do Teste 1 2004/05, Problema 5.

29. E possıvel escrever a maior parte das formulas em funcao de quaisquer das anomalias.

(a) Da transformacao afim das areas usada na deducao da equacao de Kepler mostre que o vector posicaoe dado por ~r = a(cosE − e)~p + a

√1− e2 sinE~q no referencial cartesiano ~p, ~q, ~w com origem no corpo

central.(b) Mostre tambem que o raio e r = a(1− e cosE).(c) Diferenciando a expressao para ~r e substituindo para E obtida da derivada da equacao de Kepler

M = E − e sinE descubra a expressao para o vector velocidade ~v em termos de E. [Sol: ]

Nota: Exercıcio adaptado do Wiesel, 2.5.

30. Um satelite e lancado numa orbita terrestre a uma altitude de 600 km com parametro rv2

µ = 32 e flight path

angle γ0 = −30.

(a) Determine a excentricidade, o semi-eixo maior e a anomalia verdadeira inicial da orbita.[Sol: e =

√7/4, a = 2r0, θ0 = 280.89(4o Quadrante)]

(b) Se no apogeu da orbita e dado ao satelite um incremento instantaneo no modulo da velocidade ∆v =700 m/s determine a excentricidade, semi-eixo maior, momento angular e a localizacao do perigeu danova orbita. [Sol: e = 0.43646, a = 0.6961r0 < 1⇒ r0 = rA, h = 7.21× 1010 m2/s, perigeu e o mesmo ponto.]

Nota: Exercıcio do Teste 1 de 2001/02, Problema 1.

31. Um satelite foi injectado numa orbita terrestre a distancia r0 do centro da Terra,com uma velocidade v0 =

√3µ/r0 que faz um angulo β0 = 30 com a direccao

perpendicular a de ~r, como mostra a figura.

(a) Determine a energia e o momento angular e diga justificando que tipo detrajectoria tem o satelite. [Sol: E = µ

2r0> 0 (hiperbolica), h = 3

2

õr0]

(b) Calcule a excentricidade, a anomalia verdadeira inicial e a distancia docentro da Terra ao perigeu. [Sol: e =

√132, θ0 = 46.10 (γ0 > 0), rP = 0.8028r0]

Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2002/03, Problema 3.

32. Um satelite em orbita terrestre encontrava-se hoje as 12h00 sobre o poloNorte a passar pelo perigeu, situado a 400 km de altitude. Nesse instante,o satelite desloca-se exactamente na direccao do equinocio vernal. Sabendoque a trajectoria do satelite cruza o plano do equador numa direccao nor-mal a este e que a excentricidade da orbita e e = 0.5, calcule todos oselementos classicos para este satelite. [Sol: i = 90, θ = 0 (perigeu)⇒ T0 = 12h00

de hoje, e = 1/2, a = 13556 km, $ = 90, Ω = 180]

Nota: Exercıcio do Exame Epoca Especial de 2004/05, Problema 3-d).

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Exercıcios de SatelitesManobras Orbitais

33. O satelite S1 de massa m esta inicialmente numa orbita circular de raio r1 em torno de um planeta epretende-se transferi-lo, utilizando uma orbita de transferencia de Hohmann, para a orbita circular de raior2 = 2r1 de modo a realizar um rendezvous com o satelite S2 no ponto B (ver figura). Ambos os satelitesdescrevem a sua orbita no sentido directo. Nota: todos os resultados devem ser expressos em funcao dosdados do problema i.e. µ ≡ GM e r1.

(a) Calcule a energia, excentricidade e semi-eixo maior daorbita de transferencia. [Sol: a = 3

2r1, E = − µ

3r1, e = 1

3]

(b) Do que sabe da energia e momento angular do sistema,deduza as expressoes dos impulsos (∆v) necessarios paraque o satelite S1 realize tal transferencia de orbita nao seesquecendo de indicar o numero de impulsos necessariose a sua direccao e sentido. [Sol: ∆v1 =

õr1

(√

4/3− 1),

∆v2 =√

µr1

(1/√

2− 1/√

3)]

(c) Calcule o tempo necessario para que S1 realize a manobrade transferencia e o angulo planetocentrico que S2 temque fazer com S1 a partida de modo a que o rendezvousse realize. [Sol: tt = π√

µ(3r1/2)3/2, Ψ = 63.087]

Nota: Exercıcio do Teste 1 de 2000/01, Problema II-2.

34. A trajectoria hiperbolica de aproximacao da sonda Magalhaes a Venus teve os seguintes elementos: a =17110 km, e = 1.3690. A sonda foi colocada numa orbita elıptica quase polar de elementos a = 10424.1 kme e = 0.39433. Se as duas orbitas eram tangentes no periapsis, que ∆v foi necessario para colocar a sondana orbita final? Foi um aumento ou um decrescimo de velocidade (justifique)? [Sol: ∆v = 2.57 km/s (decrescimo)]

Nota: Exercıcio do Teste 1 2001/02, Problema 3.

35. Um satelite encontra-se algures numa orbita detransferencia em torno da Terra. Num certo in-stante foi determinado que ele se encontrava aaltitude h = r0 − R⊕ = 2R⊕, com velocidadev0 =

√7/18

√µ/R⊕ que fazia um angulo β0 =

arcsin(−√

3/7) com a direccao transversal.

(a) Calcule o perigeu, o apogeu, a excentricidadee a energia da orbita de transferencia.[Sol: EE = − 5µ

36R⊕, e = 2

3, rP =

6R⊕5, rA = 6R⊕]

(b) Calcule o ∆~v necessario (modulo, direccao esentido) para que o satelite se transfira parauma orbita circular de raio rc = 5R⊕ nas duaspossibilidades que tem a disposicao. [Sol: ∆v =

0.263√

µR⊕

= 2080.2 m/s, α = ∓38.66 (rel. transversal)]

(c) Apos o satelite se encontrar na orbita circular,calcule o ∆~v mınimo necessario para o sateliteescapar da atraccao terrestre.[Sol: ∆vmin = 1464.4 m/s]

Nota: Exercıcio do Exame 1, 2000/01, Problema 4.

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36. Dois satelites situam-se no mesmo plano orbital e tem a mesma orbita circular de raio r. O satelite 2desloca-se desfasado de Φ12 a frente do satelite 1. Se o satelite 1 disparar um foguete retardador na direccaotangencial a sua orbita, mostre que, para que os 2 satelites se interceptem ao fim do satelite 1 ter completadouma revolucao a sua orbita sub-circular, e necessario que a sua variacao de velocidade seja

∆v = vc

1−

√2− 1

[1− (Φ12/360)]2/3

em que vc e a velocidade da orbita circular.

Nota: Exercıcio do Exame 2, 2000/01, Problema 4.

37. Seja uma transferencia de Hohmann entre duas orbitas circulares de raios respectivamente rp e ra comrp < ra, iniciada na orbita de raio rp.

(a) Do que sabe da energia e/ou da excentricidade que caracterizam as orbitas, mostre que o ∆v totalnecessario para realizar a transferencia de Hohmann e dado por

∆v =√µ

rp

[√2ρ

1 + ρ

(1− 1

ρ

)+

1√ρ− 1]

com ρ = ra/rp.

(b) Verifique que se ρ ≥ 3.4 (precisao ate as decimas) a transferencia entre orbitas circulares exige um ∆vmaior que o ∆v de escape da orbita circular de raio rp.

Nota: Exercıcio do Exame Ep. Esp., 2001/02, Problema 2.

38. Dois satelites estao a orbitar a Terra em orbitas circulares mas nao a mesma altitude nem inclinacao. Quesequencia de mudancas de orbita e mudancas de plano sao mais eficientes para colocar o satelite maisbaixo na mesma orbita do mais alto? Justifique. Parta do princıpio que apenas uma manobra pode serrealizada em cada instante i.e. mudanca de plano ou transferencia de orbita. E se puder fazer as manobrassimultaneamente? [Sol: Mudanca de plano a meio.]

Nota: Exercıcio do Exame 1 2001/02, Problema 3.

39. Considere a partida de uma orbita alta circular de raio a0 em torno da Terra por 2 metodos, como mostra afigura. No primeiro metodo, uma manobra injecta directamente a sonda na hiperbole de partida, de v∞ es-pecificado. Por outro lado, seguindo o metodo de Olberth, pode-se utilizar 2 manobras. A primeira introduza sonda numa orbita elıptica com apogeu na orbita circular inicial e perigeu de raio rp. A segunda manobraocorre no perigeu e a sonda e injectada na mesma orbita hiperbolica com v∞ especificado. Determine:

(a) O ∆vdirect necessario para realizar a partida da sondapelo primeiro metodo (metodo directo).[Sol: ∆vdirect =

√v2∞ + 2µ

a0−√

µa0

]

(b) Os dois impulsos, ∆v1 e ∆v2, necessarios para realizar apartida pelo metodo de Olberth.[Sol: ∆v1 =

õa0

(1−√

2rPa0+rP

), ∆v2 =√v2∞ + 2µ

rP−√

2µa0rP (a0+rP )

]

(c) Sem fazer contas, discuta possıveis vantagens e desvan-tagens de cada um dos metodos, do ponto de vista degasto de combustıvel, duracao da manobra, dificuldadesdas manobras, etc. [Sol: rp pequeno ⇒ 2o metodo bom mas t

maior e mais complicacao]

Nota: Exercıcio do Exame 2, 2002/03, Problema 3.

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40. Um astronauta encontra-se numa orbita circular em torno da Terra a 300 km de altitude e tem uma ferra-menta na mao. Os pes do astronauta estao virados para a Terra e a cara para o sentido do vector velocidade.

(a) Se a ferramenta for lancada pelo astronauta para cima com uma velocidade relativa de 2 km/s (oastronauta e muito forte. . . ), determine a nova orbita da ferramenta (i) calculando a excentricidade,o semi-eixo maior, a energia, o perıodo e a anomalia verdadeira no instante do lancamento; (ii) digaque tipo de orbita determinou, calcule o raio do perigeu e diga justificando se a orbita existira durantemuito tempo. [Sol: (i) e = 0.2589, a = 7157.7 km, E = −2.78 × 107 J/kg, T = 100.442 min, γ0 = 90; (ii) orbita elıptica,

rP = 5300 km < R⊕, ferramenta cai na Terra antes de completar orbita]

(b) Se a ferramenta for lancada pelo astronauta para a frente com uma velocidade relativa de 4 km/s, (i)determine a nova orbita da ferramenta calculando a energia e a excentricidade; (ii) diga justificandose faz sentido calcular o perıodo da orbita, a anomalia verdadeira quando t → ∞ e a velocidade daferramenta quando t → ∞ e nos casos afirmativos calcule essas grandezas; (iii) faca um esboco daorbita nao se esquecendo de indicar a posicao do astronauta no instante do lancamento e todos osparametros referidos que faca sentido indicar no desenho. [Sol: (i) E = 9.06 MJ/kg > 0 (hip.), e = 1.30, (ii)

θ∞ = 140.1, v∞ = 4.256 km/s] Nota: Exercıcio do Exame Ep. Esp., 2001/02, Problema 3.

41. Considere a transferencia bi-elıptica entre duas orbitas circulares indicada na figura, da orbita inicial de raior1 para a orbita final de raio rf , passando pelo ponto a distancia r2.

(a) Mostre que os ∆vi necessarios para realizar a transferencia sao dados por

∆v1

vc1=

√2(r2/r1)

1 + (r2/r1)− 1,

∆v2

vc1=

√2(rf/r1)

(r2/r1) [(r2/r1) + (rf/r1)]

−

√2

(r2/r1) [1 + (r2/r1)],

∆v3

vc1=

√2(r2/r1)

(rf/r1) [(r2/r1) + (rf/r1)]−

√1

(rf/r1)

onde ∆vc1 =√µ/r1 e a velocidade do satelite na

orbita circular inicial.(b) Verifique que no caso de r2 →∞, conhecido como transferencia bi-elıptica infinita, ∆v2 → 0 e determine

as expressoes para os outros ∆vi; discuta os maiores problemas que, na pratica, esta manobra oferecee como podem ser resolvidos. [Sol: ∆v1 = vc1 (

√2− 1), ∆v2 = 0, ∆v3 = vc1

√r1/rf (

√2− 1)]

(c) Calcule o ∆vtot =∑

i ∆vi em funcao de vc1 quando rf = 14r1 nos casos de transferencia (i) bi-elıpticainfinita; (ii) bi-elıptica com r2 = 20r1; (iii) bi-elıptica com r2 = 40r1 e (iv) transferencia de Hohmanndirecta entre as 2 orbitas circulares. (v) Compare e discuta os resultados que obteve. Nota: calcule osresultados com pelo menos 5 algarismos significativos. [Sol: ∆vtot

vc1= (i) 0.5249 (ii) 0.5367 (iii) 0.5338 (iv) 0.5359]

(d) Determine o tempo total que as quatro manobras de transferencia da alınea anterior demoram a serrealizadas, em funcao do perıodo da orbita circular inicial Tc1 , e compare e discuta os resultados obtidos.[Sol: T/Tc1 = (i) ∞ (ii) 52.058 (iii) 116.557 (iv) 10.27]

(e) Imagine que tem que transferir um satelite da orbita circular inicial para a final. O satelite tem umacerta quantidade de combustıvel para realizar a manobra de transferencia e para correccoes posteriores,e quanto mais combustıvel tiver para correccoes posteriores maior o seu tempo util de vida. Com basenos resultados das alıneas anteriores diga justificando qual das 4 manobras acima descritas escolherianas seguintes situacoes: (i) a missao do seu satelite nao e urgente; (ii) a missao e muito urgente e essaquestao e crucial para o sucesso da missao. [Sol: (i) Bi-elıptica infinita com r2 →∞ (muito grande) (ii) Hohmann]

Nota: Exercıcio do Exame 1 2002/03, Problema 6.

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Exercıcios de Satelites

Perturb. Orbitais / P3C / Traj. Interplanetarias

42. Um satelite do tipo Molniya encontra-se numa orbita em torno da Terra com perıodo T = 43082 s (metadedo dia sideral).

(a) Uma vez que o argumento do perigeu nao varia neste tipo de orbitas, determine todas as inclinacoespossıveis da orbita. As inclinacoes seriam diferentes se o satelite orbitasse em torno de outro planetado sistema solar? Justifique. [Sol: i = 63.43 ∨ i = 116.565]

(b) Escolha a inclinacao adequada na alınea anterior e determine a excentricidade da orbita de modo a quea linha dos nodos se encontre permanentemente na mesma longitude terrestre i.e. no mesmo local dasuperfıcie da Terra. Calcule o raio do perigeu e conclua sobre a possibilidade de este tipo de orbitaexistir. [Sol: Escolha certa: i = 116.565: e = 0.9954, rp = 0.019R⊕ < R⊕ ⇒ orbita impossivel ]

Nota: Exercıcio do Teste 1 2001/02, Problema 5.

43. Determine a inclinacao de uma orbita circular de perıodo 100 minutos de tal modo que o seu nodo ascendentese mova para Este a razao de 3 por dia solar medio. [Sol: i = 116.498]

Nota: Exercıcio do Exame 2 2001/02, Problema 6.

44. Determine (i) todas as inclinacoes possıveis para uma orbita do tipo Molniya; (ii) se o perıodo da orbita forigual a metade do dia sideral da Terra, escolha a inclinacao correcta e determine a excentricidade de modo aque a orbita seja simultaneamente Molniya e sincronizada com o Sol (sun-synchronous); (iii) determine quepercentagem do perıodo orbital o satelite demora a percorrer a parte da orbita entre os valores π/2 e 3π/2da anomalia verdadeira. [Sol: (i) i = 63.43 ∨ i = 116.565; (ii) escolher i = 116.565: e = 0.90822; (iii) tπ/2−3π/2 = 0.9835T ]

Nota: Exercıcio do Exame 2 de 2004/05, Problema 5.

45. Considere o problema dos 3 corpos. Lembrando que as componentes da velocidade do 3 corpo medida noreferencial em que os pontos de Lagrange estao parados sao x, y, z, determine as componentes X, Y , Zno referencial em rotacao, da velocidade medida no referencial de inercia. [Sol: (X, Y , Z) = (x− y, y + x, z)]

Nota: Exercıcio do Exame 2 de 2005/06, Problema 9.

46. Nas orbitas Keplerianas (problema de forca central), foi possıvel escrever a equacao da energia de umdeterminado satelite na forma

v2 − 2/r = −1

em unidades adequadas. Por analogia com o integral de Jacobi do problema dos 3 corpos e tendo unicamenteesta informacao, o que pode dizer sobre a orbita do satelite? [Sol: Orbita confinada a regiao r ≤ 2]

Nota: Exercıcio do Teste 1 de 2005/06, Problema 10.

47. Pretende-se lancar uma sonda para estudar o planeta Marte. Sabendo que a distancia media entre o Sol eMarte e 1.52 UA determine:

(a) Uma orbita de transferencia de Hohmann da Terra para Marte. Para caracterizar a orbita determineos valores da excentricidade, semi-eixo maior, energia e momento angular e ainda o ∆v necessario nasimediacoes da Terra para a sonda entrar nessa orbita (considere que a sonda inicialmente esta paradaem relacao a Terra). [Sol: E = −3.49×108 m2/s2, h = 4.874×1015 m2/s, e = 0.206349 a = 1.8849×1011 m, ∆v = 2917 m/s]

(b) O tempo necessario para o transito. [Sol: tt = 259.3 dias]

(c) A posicao de Marte na sua orbita relativa a posicao da Terra para que a sonda atinja o objectivo. [Sol:

Angulo Heliocentrico φ = 44.149]

Nota: Exercıcio do Exame de Epoca Especial de 2000/01, Problema 2.

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48. Considere uma sonda nao tripulada em missao interplanetaria entre a Terra e Marte. Nota: Marte encontra-se a uma distancia media de 1.52 UA do Sol.

(a) Considerando que a orbita de Marte e circular, calcule o perıodo orbital de Marte e a sua velocidademedida no referencial inercial fixo com o Sol. [Sol: TM = 687 dias]

(b) Considere que se deseja utilizar uma orbita heliocentrica que minimize o gasto de combustıvel.

(i) Calcule a velocidade relativa a Terra com que sonda tem que partir da zona de influencia desta(i.e. imediatamente apos entrar na zona de influencia do Sol) para conseguir alcancar o seu destino;[Sol: vrel = 2.918 km/s]

(ii) se por erro de calculo Marte nao estivesse no ponto da sua orbita que a sonda atinge quando a suaviagem chega ao fim, calcule o ∆v necessario para a sonda ficar com a mesma orbita heliocentricaque o planeta (embora desencontrados). [Sol: ∆v = 2.626 km/s]

(c) Supondo que a sonda partia de uma orbita circular de parqueamento com r = 2R⊕, calcule:

(i) o ∆v necessario para a sonda entrar numa orbita hiperbolica que a leve ao destino (admita condicoesoptimas); [Sol: ∆v = 2.836 km/s]

(ii) calcule os parametros a e e desta orbita. [Sol: a = 4.68× 104 km, e = 1.27]

(d) Calcule:

(i) a duracao aproximada da viagem; [Sol: tviagem = 259.3 dias]

(ii) o angulo heliocentrico que a Terra e Marte formam no instante da partida; [Sol: φ = 44.1]

(iii) de quanto em quanto tempo e possıvel lancar a missao da Terra; [Sol: τs = 786.2 dias]

(iv) quanto tempo demoram as comunicacoes da Terra a chegar a sonda quando esta chega a Marte.[Sol: tc = 13min8.8s (so ida; ida e volta e o dobro)]

Nota: Exercıcio do Exame de Epoca Especial de 2003/04, Problema 4.

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Exercıcios de Satelites

Dinamica de Atitude de Satelites49. As componentes da velocidade angular no referencial de inercia em funcao das frequencias de Euler φ, θ, ψ

ω1 = φ sin θ sinψ + θ cosψ, ω2 = φ sin θ cosψ − θ sinψ, ω3 = ψ + φ cos θ

sao tres equacoes lineares relativamente as frequencias. Resolva o sistema para as frequencias angulares emostre que aparecem dificuldades quando θ → 0.

Nota: Exercıcio do Wiesel, 1 da pag. 121.

50. A expressao ~H = I · ~ω ainda e correcta quando escrita num referencial ortonormado de inercia embora otensor de inercia I ja nao seja constante. Mostre que o tensor de inercia obedece a

iddtI = ω × I =

[0 −ω3 ω2ω3 0 −ω1−ω2 ω1 0

] [I]

e que a equacao ~M = ~H se torna ~M = (~ω × I)~ω + I~ω no referencial inercial. Nota: I e um tensor.

Nota: Exercıcio do Wiesel, 2 da pag. 121.

51. A estrutura primaria de uma estacao espacial proposta e constituıda por 5 modulos esfericos ligados porraios tubulares. O momento de inercia da estrutura em relacao ao seu eixo de simetria A − A e duplo docalculado em relacao a qualquer eixo normal a A−A que passa por O. A estacao e desenhada para rodar emtorno do seu eixo de simetria a razao constante de 3 rev/min. Pode-se considerar que a estacao se encontraem voo livre e o eixo A−A precessa em torno do eixo Z de orientacao fixa e faz um angulo muito pequenocom ele.

(a) Determine para todos os instantes de tempo (i) os valores detodas as frequencias de Euler; (ii) a localizacao do angulo denutacao e (iii) se a precessao e directa ou retrograda.[Sol: ψ = −π/5 rad/s, ν = 0, σ = π/10 rad/s, mov. retrogrado]

(b) Sabendo que o angulo de nutacao e 2, calcule a velocidadeangular da estacao e o angulo que ela faz com o eixo fixo Zindicado na figura. [Sol: ~ω = (0,−0.0219,−0.3138) [rad/s], angulo de ~ω

com Z: α = 180 − 1.9976]

(c) Calcule o momento angular relativamente ao centro de massaO em funcao de IAA, indique a sua direccao e sentido fazendoum esboco da figura e diga como ele varia com o tempo doponto de vista do referencial de inercia.[Sol: ~H = C(0,−0.011,−0.3138), ~H = Cte, no ref. inercia.]

Nota: Exercıcio do Exame 2 de 2003/04, Problema 10.

52. O foguetao da figura, depois de os seus motores pararem, ficou com a direccao da sua velocidade angularcom um angulo α conhecido relativamente ao eixo de simetria.(a) Faca um esboco desenhando no espaco as frequencias angulares, o angulo de nutacao e os cones do

espaco e do corpo.(b) Sabendo que o foguetao tem uma rotacao propria σ e

que a razao entre os momentos principais de inercia e10 (o foguetao e um corpo alongado!), determine (i) aprecessao, (ii) o angulo de nutacao, (iii) o vector mo-mento angular no espaco, (iv) calcule a variacao do vec-tor momento angular e (v) diga se precessao e directa ouretrograda. [Sol: ψ = σ

9 cos arctan(10 tanα), ν = arctan(10 tanα), ~H =

H~eZ = Cte, H = 10I‖σ/9,, precessao directa]

Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2004/05, Problema 11.

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53. Uma estacao espacial consiste em duas seccoes A e B de massas iguais,rigidamente conectadas. Cada seccao e dinamicamente equivalente a umcilindro homogeneo de comprimento 15 m e raio 3 m.

(a) Sabendo que a estacao apresenta precessao em torno da direccao fixaGD a taxa constante de 2 rev/h, determine a taxa de rotacao propriada estacao em torno do seu eixo de simetria CC ′.[Sol: σ = 0.043 rad/s, precessao directa]

(b) Se a conexao entre as duas seccoes A e B da estacao espacial fordesfeita quando a estacao esta orientada do modo mostrado na figura,e se as duas seccoes sao suavemente separadas ao longo do seu eixode simetria, determine (i) o angulo entre o eixo de rotacao propriae o novo eixo de precessao da seccao A; (ii) a taxa de precessao daseccao A e (iii) a taxa de rotacao propria.[Sol: γ = 2.798, ν = 12.85, ψ = 0.01007 rad/s, σ = 0.0523, rad/s]

Nota: Um cilindro homogeneo de massa m, raio r e comprimento L temmomentos de inercia:

• I‖ = 12mr

2 em relacao ao seu eixo de simetria;

• I⊥ = 112m(3r2 +L2) em relacao a qualquer eixo perpendicular ao seu

eixo de simetria que passe pelo centro de massa.Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2007/08,

54. Considere um satelite qualquer livre de momentos, em orbita em torno da Terra, que e estabilizado porrotacao em torno do um dos seus eixos principais de inercia.

(a) Se o eixo de rotacao nao coincidir exactamente com o eixo principal de inercia, descreva qualitativamenteo movimento do satelite para os tres casos dos eixos principais de inercia maior, menor e intermedio.

(b) Explique porque razao os satelites nesta situacao perdem lentamente energia cinetica ao longo do tempo;no caso de ser levado em conta este efeito diga o que pode acontecer ao movimento de rotacao de umsatelite a longo prazo.

Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2004/05, Problema 10.

55. Considere o satelite axissimetrico com booms extensıveis (ver figura). O satelite controla a distancia x aque as massas pontuais se encontram do centro do satelite. Inicialmente o satelite tem uma velocidadeangular ~ω = ω0~ez quando os booms estao recolhidos a superfıcie do corpo central. As hastes sao rıgidase de massa desprezavel e o corpo central (i.e. o satelite sem as massas pontuais) tem matriz de inercia

Iij = A

1 0 00 1 00 0 1

.(a) Determine o momento angular do sistema em relacao ao

centro de massa do satelite. [Sol: ~H = (Aω0 + 2mb2ω0)~ez]

(b) Determine a velocidade angular do satelite quando asmassas se encontram a distancia x arbitraria.[Sol: ω = A+2mb2

A+2mx2 ω0]

(c) Calcule o momento flector no ponto de encastramento decada haste ao corpo central do satelite quando as massasse encontram a distancia x arbitraria.[Sol: Mf =

2mA(A+2mb2)

(A+2mx2)2(x− b)ω0x]

Nota: Exercıcio do Exame 1 de 2000/01, Problema 7.

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