INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL · Mexicana NMX-CH-140-INMC-2002 y la Norma Mexicana...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS

EXTRACTIVAS

DEPARTAMNENTO DE INGENIERÍA EN METALURGIA Y

MATERIALES

“DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN PRUEBAS DE

IMPACTO CHARPY”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO EN METALURGIA Y MATERIALES

P R E S E N T A:

CRUZ PÉREZ SAID

SOTO PIÑA VIVIANA

DIRECTOR DE LA TESIS:

M. EN C. SERGIO JAVIER GARCÍA NÚÑEZ

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

ÍNDICE

CONTENIDO PÁGINA

RESUMEN 1

INTRODUCCIÓN 2

1.MARCO TEÓRICO 4

1.1.Propiedades Mecánicas de los metales 4 1.2.Resistencia al impacto 4 1.2.1.Determinación de la resistencia al impacto 4 1.3.Método de prueba ASTM E 23, requisitos de la probeta 4 1.3.1.Verificación del péndulo de impacto 6

1.4.Cartas de control 7 1.4.1. Precisión y exactitud 9

1.4.2.Carta de control (X̅ − R) 11

1.4.2a.Límites de Control, Carta de Promedios X̅ 13 1.4.2b.Límites de Control, Carta de Rangos R 13 1.5.Error e incertidumbre 14 1.5.1.Errores de medición 16 1.5.1.1.Errores instrumentales 16 1.5.1.2.Errores de método 17 1.5.1.3.Errores debidos a agentes externos 17 1.5.1.4.Errores debidos al observador 18 1.5.1.5.Errores matemáticos 18 1.5.2.El concepto de incertidumbre 18 1.5.3.Sistema para calcular la incertidumbre 20 1.5.3.1.Especificación del mensurando 21 1.5.3.2.Fuentes de incertidumbre 22 1.5.3.3.Evaluación de la incertidumbre estándar 23 1.5.3.3a.Incertidumbre estándar evaluación tipo A 24 1.5.3.3b.Incertidumbre estándar evaluación tipo B 25 1.5.3.4.Evaluación de la incertidumbre estándar combinada 29 1.5.3.5.Incertidumbre expandida 30

2.DESARROLLO EXPERIMENTAL 32 2.1.Principio de medición 32 2.2.Equipo y material utilizados 32 2.3.Procedimiento del ensayo de impacto 33 2.4.Experimentación 35 2.4.1.Pruebas de Control de Calidad 35



2.4.2.Procedimiento para la Estimación de la Incertidumbre 37 3.RESULTADOS 41 3.1.Histograma de Frecuencias 41 3.2.Resultados de Control de Calidad 43 3.3.Resultados de Estimación de la Incertidumbre 53 3.3.1.Método para la obtención de la Incertidumbre en la Prueba de Impacto Charpy 53 4.ANÁLISIS DE RESULTADOS 61 4.1.Histograma 61 4.2.Cartas de Control 61 4.3.Incertidumbre 63 CONCLUSIONES 64 BIBLIOGRAFÍA 66 Anexo 67



LISTA DE FIGURAS

NÚMERO DE FIGURA PÁGINA

1.- Dimensiones de Probeta (ASTM E 23). 5

2.-Representación de los Límites. 8

3.- Representación gráfica de Precisión y Exactitud. 10

4.- Curva de Precisión y Exactitud. 11

5.- Proceso para la estimación de la incertidumbre. 20

6.- Distribución Normal. 26

7.- Distribución Rectangular. 27

8.- Distribución Triangular. 28

9.- Péndulo Charpy Instrone 32

10.- Baño ultrasónico con controladores de temperatura. 33

11.- Probetas para prueba de impacto Charpy. 33

12.- Método de colocación de una probeta. 34

13.- Probeta Charpy y mediciones de entalla 35

14.- Probetas experimentadas. 41

15.- Histograma de frecuencias de Acero. 42

16.- Histograma de frecuencias de Aluminio . 42

17.- Histograma de frecuencias de Latón. 43

18.- Carta de Individuales Acero. 44

19.- Carta de Individuales Aluminio. 45

20.- Carta de Individuales Latón. 46

21.- Gráfico de Exactitud para el Acero. 47

22.- Gráfico de Precisión para el Acero. 48

23.- Gráfico de Exactitud para Aluminio. 49

24.- Gráfico de Precisión para Aluminio. 50



25.- Gráfico de Exactitud para Latón. 51

26.- Gráfico de Precisión para Latón. 52

27.- Valores promedio de impacto Charpy Vs Desviación estándar. 57

28.- Impacto de las diferentes variables en la Incertidumbre del Acero. 58

29.- Impacto de las diferentes variables en la Incertidumbre del Aluminio. 59

30.- Impacto de las diferentes variables en la Incertidumbre del Latón. 60



LISTA DE TABLAS

NÚMERO DE TABLA PÁGINA

1.- Rangos de Verificación de varias capacidades de la máquina y verificación de 6

muestras analizadas.

2. Realización Experimental. 36

3.- Datos para la exactitud en la prueba de impacto Charpy del Acero. 47

4.- Datos para la precisión en la prueba de impacto Charpy del Acero. 48

5.- Datos para la exactitud en la prueba de impacto Charpy en el Aluminio. 49

6.- Datos para la precisión en la prueba de impacto Charpy en el Aluminio. 50

7.- Datos para la exactitud en la prueba de impacto Charpy en el Latón. 51

8.- Datos para la precisión en la prueba de impacto Charpy en el Latón. 52

9.- Datos de la obtención de Incertidumbre. 53

10.- Contribución de las variables para la determinación de la Incertidumbre en el Acero. 58

11.- Contribución de las variables para la determinación de la Incertidumbre en el Aluminio. 59

12.- Contribución de las variables para la determinación de la Incertidumbre en el Latón. 60



RESUMEN

La incertidumbre es un parámetro, asociado con el resultado de la medición, que

caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser fundamentalmente

atribuidos a lo que se mide. El presente trabajo establece una metodología para la

determinación de la incertidumbre en las pruebas de impacto Charpy, conforme el

método descrito en la norma ASTM E 23 “Norma de ensayos para prueba de

resistencia al impacto en materiales metálicos”, la Norma Mexicana NMX-CH-140-

INMC-2002 “Guía para la expresión de incertidumbre en las mediciones” y la

Norma Mexicana NMX-CH-5725-2-IMNC-2006 “Exactitud (veracidad y precisión)

de resultados y métodos de medición – Parte 2: Método básico para la

determinación de la repetibilidad y la reproducibildad de un método de medición

normalizado”.

Adicionalmente se presenta un estudio estadístico de control de calidad para la

prueba, donde los resultados permiten concluir que el método de obtención de

impacto, se encuentra dentro de los límites de control de calidad basado en 90

muestras experimentales usando 30 probetas de Acero 1018, 30 de Aluminio 6061

y 30 de Latón 360. Además, se demuestra que el proceso de medición es exacto y

preciso.

Respecto al cálculo de incertidumbre, se plantea un modelo matemático que

permite el cálculo de las diferentes variables que afectan al proceso de medición

de impacto (Resolución del equipo, Calibración del equipo, Repetibilidad del

método, Ángulo de la entalla, Radio de la entalla y Altura de la entalla), de una

manera muy práctica, y se demostró que la variable de mayor contribución es la

repetibilidad de la prueba.



INTRODUCCIÓN

Un componente estructural se ve sometido a diferentes estados tensionales

durante su vida útil por lo que la demanda por ensayos que simulen con precisión

las condiciones finales de uso se han incrementado notablemente en los últimos

tiempos. Una pieza o artículo terminado en servicio puede sufrir golpes o choques

de distinta naturaleza y de muy diferentes características, siendo el impacto el

estado de solicitación más severo al que se encuentran expuestas las piezas en

servicio. Es por ello que el ensayo de impacto se ha vuelto especialmente

importante y resulta de vital importancia la caracterización al impacto tanto de

materiales como de partes en su forma final.

Los ensayos de impacto son realizados para valorar la capacidad de resistencia

de los materiales metálicos a las cargas de impacto (tenacidad) y determinar su

tendencia a la destrucción frágil. Entre los ensayos; de ésta índole los más

conocidos y estandarizados son los de impacto a flexión con muestras ranuradas

ya que la velocidad de deformación en el caso de los ensayos dinámicos supera

en varios órdenes a la velocidad de deformación en los ensayos estáticos.

Las pruebas de impacto tienen una gran importancia, ya que se utilizan para

verificar la calidad de los metales en los tratamientos térmicos, en la aceptación de

los materiales durante su inspección, en la evaluación de soldaduras, en el

análisis de fallas y al igual para poder seleccionar un material. En tales situaciones

es necesario conocer las características del material y diseñar la pieza para una

tarea específica de tal manera que cualquier deformación resultante no sea

excesiva.

Comúnmente éste tipo de ensayos se realiza en un péndulo Charpy, en el cual se

determina la energía necesaria para fracturar un material. La muestra se coloca

horizontalmente en una posición que garantiza estrictamente la posición de la

entalla en la parte media de los apoyos del equipo; el impacto es aplicado desde el

lado opuesto a la entalla, en el plano perpendicular al eje longitudinal de la

muestra. El péndulo se fija en la posición inicial a una altura “h”, posteriormente,

este cae libremente por efecto de la gravedad aplicando un impacto a la muestra,

fracturándola o bien deformándola plásticamente, acto seguido continua con su

trayectoria elevándose a su posición final. La diferencia de alturas alcanzada por

el péndulo, la masa del péndulo y la aceleración de la gravedad son consideradas

para obtener el valor de energía absorbida por el material.



Todo proceso varía, entre ellos, el proceso de medición no es la excepción ya que

no existen mediciones “100% exactas”. Existe una variación inherente al proceso,

pero esta variación ocurre dentro de un límite permisible; estas variaciones

ocurren por causas “comunes” si realizamos diez veces la medición de una

determinada pieza, utilizando un equipo con la suficiente sensibilidad para percibir

las variaciones en el proceso de medición, podremos encontrar diez valores

diferentes (parecidos, cercanos, pero ninguno igual).[8]

Al expresar el resultado de una medición no se considera completo si no se posee

una estimación de la incertidumbre, con un nivel de confianza determinado.

Cuando se informa el resultado de una medición de una magnitud física es

obligatorio proporcionar información cuantitativa de la calidad del resultado, de tal

manera que el analista pueda apreciar su confiabilidad. Por lo tanto es necesario

que exista un procedimiento expedito, fácil de usar y aceptado de manera general

para caracterizar la calidad del resultado de medición, esto es, para evaluar y

expresar su incertidumbre.[8]

Por lo cual el objetivo del presente trabajo es establecer un método necesario y

adecuado para el cálculo de la incertidumbre en la determinación de la prueba de

impacto Charpy siguiendo los lineamientos de la Norma ASTM E-23, la Norma

Mexicana NMX-CH-140-INMC-2002 y la Norma Mexicana NMX-CH-5725-2-IMNC-

2006.



1. MARCO TEÓRICO

1. 1. Propiedades Mecánicas de los Metales

El comportamiento mecánico de un material refleja la relación entre la fuerza

aplicada y la respuesta del material, es decir, su deformación. Algunas de las

propiedades mecánicas más importantes son: fragilidad, elasticidad, ductilidad y

rigidez.

Las propiedades mecánicas de los materiales se determinan realizando ensayos

de laboratorio que reproducen las condiciones de servicio. Los factores que deben

considerarse son la naturaleza de la carga aplicada, su duración, así como las

condiciones del medio.

1. 2. Resistencia al Impacto

La resistencia al impacto no puede definirse en términos de alguna propiedad

específica del material, aunque ésta describe la capacidad del material a absorber

energía por medio de un impacto. La resistencia al impacto está relacionada con

las propiedades elásticas y plásticas de un material.

1. 2. 1. Determinación de la Resistencia al Impacto

Debido a las distintas aplicaciones de los materiales, se han implementado

diferentes ensayos de impacto, éstos se pueden dividir en tres métodos:

Charpy (Tenacidad)

Izod (Resiliencia)

FWD (Falling Weight Deflectometer) (Defleccion estructural)

1. 3. Método de prueba ASTM E23, requisitos de la probeta

La probeta especificada por la norma debe cumplir las dimensiones como lo

muestra la Figura 1:



Figura 1. Dimensiones de Probeta (ASTM E 23).

Dónde:

Perpendicularidad del eje entalla ±2 °

Lados adyacentes (90 °) ±10 min

Las dimensiones de la sección transversal ± 0.075 mm

Longitud de la muestra (L) +0, -2,5 mm

Centrado de la entalla (L / 2) ± 1 mm

Ángulo de la entalla ±1 °

Radio de entalla ±0.025 mm

Ligamento Longitud: ±0.025 mm

Tipo de muestra B y C de ±0.075 mm

Requisitos de acabado Ra < 2 micras en la superficie de la entalla y la cara opuesta;

Ra < 4 micras en otras dos superficies.

Corte de Cierra 1.6mm o menos



1. 3. 1. Verificación del péndulo de impacto

Esto se realiza para verificar que el equipo se encuentre funcionando

adecuadamente.

Existen tres métodos para poder realizar dicha verificación: Verificación Directa,

Verificación Indirecta y Verificación Diaria.

a. Verificación Directa

En éste proceso se busca comprobar que los componentes críticos de la máquina

de prueba de impacto, estén dentro de las tolerancias permitidas por la verificación

directa, esto incluye los siguientes aspectos: calibración de la fuerza de ensayo,

verificar cuando las piezas son sustituidas, verificación de la parte delantera y los

yunques, nivel de la máquina, pernos de anclaje, alineación del péndulo, altura de

caída del péndulo e indicadores.

b. Verificación Indirecta

La verificación indirecta requiere la prueba de muestras con valores de energía

certificadas para verificar la exactitud de máquinas de impacto Charpy.

Verificar los especímenes con valores de energía certificada, verificar el rango de

la máquina y verificar la resolución del dispositivo de escala. Como se muestra en

la tabla 1.

Capacidad de la

Maquina J

Resolución J

Rango Usable

J

Muestras de Verificación Probadas Rango Verificado

J Bajo Alto Súper-alto

80 0.10 2.5 – 64 X … … 2.5 – 64

160 0.20 5.0 – 128 X X … 5.0 – 128

325 0.25 6.25 – 260 X X X 6.25 – 260

400 0.30 7.5 – 320 … X X 50 – 320

400 0.15 3.75 – 320 X X … 3.75 – 150

400 0.15 3.75 - 320 X X X 3.75 – 320

Tabla 1. Rangos de verificación de varias capacidades de la máquina y

verificación de muestras analizadas.



c. Verificación Diaria

La verificación diaria es un proceso para supervisar el rendimiento de la máquina.

Ésta verificación asegura al operador que la máquina se encuentra en buenas

condiciones y que está operando correctamente.[3]

1. 4. Cartas de Control

Existen dos tipos generales de cartas de control: para variables y para atributos.

Las cartas de control para variables se aplican a características de calidad tipo

continuo, que intuitivamente son aquellas que requieren un instrumento de

medición (en nuestro caso particular, mediciones de resistencia al impacto). Las

cartas para variables tipo Shewart más usuales son:

�̅� (de promedios)

𝑅 (de rangos)

𝑆 (de desviaciones estándar)

𝑋 (de medidas individuales)

Estas formas distintas de llamarles a una carta de control se debe al tipo

estadístico que se gráfica: promedio, rango, etc., por medio de la cual se tratará de

analizar una característica importante de un producto o un proceso.

Los límites del proceso son especificaciones o tolerancias para el proceso. Éstos

se calculan a partir de la variación del estadístico (dato W). De esta forma, la clave

está en establecer los límites para cubrir cierto porcentaje de la variación natural

del proceso, pero se debe tener cuidado para que tal porcentaje sea el adecuado,

ya que si es demasiado alto (99.9999%) los límites serán muy amplios y será muy

difícil detectar los cambios en el proceso; mientras que si el porcentaje es

pequeño, los límites serán demasiado estrechos, con lo que se incrementa el

error, es decir, que se detectan cambios, cuando en realidad no existen.

Para calcular los límites de control se debe proceder de forma que, bajo

condiciones de control estadístico, los datos que se grafican en la carta tengan

alta probabilidad de caer dentro del rango de los límites. Por lo que una forma de

proceder es encontrar la distribución de probabilidades de variables, estimar sus



parámetros y ubicar los límites de una forma que un alto porcentaje (99.73%) de la

distribución estén en ellos. Esta forma de proceder se conoce como límites de

probabilidad.

Una forma más sencilla y usual de la obtención de los límites de control, es

obtener a partir de la relación entre la media y la desviación estándar de W, que

para el caso que W se distribuye normal con la media µw y la desviación estándar

𝜎W y bajo condiciones de control estadístico, se tiene que µw-3𝜎𝑤 y µw+3𝜎𝑤 se

encuentran 99.73% de los posibles valores de W.

Ejemplo, sea W el estadístico que se va a graficar en la carta y supongamos que

su media es µw y su desviación estándar 𝜎𝑤, entonces el límite de control inferior

(LCI), la línea central y el límite de control superior (LCS) están dados por:

Límite de Control Superior = LCS = �̅� + A2 x R

Límite Central = LC = �̅�

Límite de Control Inferior = LCI = �̅� - A2 x R

Figura 2. Representación de los Límites.

�̅� + A2 x R

�̅� - A2 x R

�̅�



Dónde:

�̅� = Media de Datos

R = Desviación Estándar

Con estos límites y bajo condiciones de control estadístico se tendrá alta

probabilidad de que los valores de W están dentro de ellos. Este tipo de cartas de

control fueron originalmente propuestas por el doctor Walter A. Shewart, por lo que

se les conoce como cartas de control tipo Shewart.[1]

1. 4. 1 . Precisión y Exactitud

La precisión y la exactitud son dos manifestaciones de la variabilidad en cualquier

proceso de medición. La precisión es la variación que presentan los resultados al

medir varias veces una misma magnitud o mensurando con un mismo equipo y

está relacionada con la repetibilidad y la reproducibilidad.

La repetibilidad es la proximidad de la concordancia entre los resultados de las

mediciones sucesivas del mismo mensurando, sin variar las condiciones. Cuando

se varían estas condiciones, entonces estamos hablando de reproducibilidad.

La exactitud se refiere al desfase o desplazamiento que tiene el resultado de una

medición en relación al valor verdadero del mensurando, la exactitud se estima

mediante la diferencia entre la medida observada (�̅�) y el valor verdadero (N) del

mensurando.

Es más fácil entender lo que es precisión y exactitud a partir de la Figura 3, en la

cual el objeto o patrón a medir es el centro y los puntos son los resultados

observados en el proceso de medición, y en la Figura 4 se muestra la curva

normal que representa el proceso de medición y se debe apreciar la dispersión y

que tan desfasado está con respecto al valor verdadero (N).

En el inciso a), se trata de un tirador impreciso, ya que sus disparos o mediciones

están dispersas y tampoco es exacto por que en promedio sus disparos están

desfasados respecto al centro. E proceso b), tiene una exactitud adecuada,

porque en promedio le pega al centro valor nominal (N), pero es impreciso porque



sus disparos son demasiados dispersos. En el inciso c), los disparos tienen buena

precisión (poca variabilidad), pero su exactitud es mala (están desfasados del

centro), y en el último inciso d) tiene un proceso de medición que es preciso y

exacto, ya que en promedio le pega a la magnitud verdadera (el centro con poca

variabilidad).

Lo más deseable es que el proceso de medición sea preciso y exacto (caso d) , es

decir, que cuando mida el mismo objeto arroje resultados similares (poca

dispersión) y que el promedio de dichos resultados sea la magnitud verdadera del

objeto.[2]

Figura 3. Representación gráfica de Precisión y Exactitud.

Figura 4. Curva de Precisión y Exactitud.



1. 4. 2. Carta de Control (�̅�-R)

Shewart observó a través de la experimentación que cuando tomaba muestras del

mismo tamaño a partir de una población sin cambios (proceso estable), los

promedios de esas muestras varían conforme a una distribución normal.[1]

Existen muchos procesos industriales que pueden decirse que son de tipo

“masivo”, en el sentido de que producen muchos artículos, partes o componentes

durante un lapso pequeño. Algunos de estos procesos harán miles de operaciones

por día, mientras que otros efectuarán varias decenas o centenas. En ambos

casos estaremos en un proceso masivo. Si además las variables de salida de

estos procesos son de tipo continuo, entonces estamos ante el campo ideal de

aplicación de las cartas de control �̅�-R.

Datos que se requieren para una carta de promedios y rangos (�̅� y R)

Los puntos graficados sobre una carta �̅� y R son tomados a partir de medidas

individuales de un proceso. Estas mediciones son agrupadas como subgrupos,

son los promedios y los rangos de estos subgrupos los que se utilizan para

construir la gráfica de control. La manera en que son recolectados los datos

iniciales y son agrupados es muy importante.

Tamaño del subgrupo – El tamaño de cada subgrupo debe ser por lo menos de

dos y puede ser tan grande como doce. El tamaño real del subgrupo es una

decisión de gestión y será una función de la velocidad de producción, inspección,

tiempo, etc.

En primer lugar, el trabajo de Shewart sugiere que el tamaño de un subgrupo de

cuatro o más tienden a producir promedios que son probablemente distribuidos

normalmente. Por lo tanto el tamaño del subgrupo que se recomienda es de cuatro

o cinco. En segundo lugar, para minimizar la posibilidad de variaciones especiales

que ocurran dentro de un subgrupo, una muestra individual que compone el

subgrupo debe seleccionarse en periodos cortos de tiempo, producidos

consecutivamente si es posible.



1. 4. 2a . Límites de Control Carta de Promedios �̅�

Los límites de control de las cartas de tipo Shewart están determinadas por la

media y la desviación estándar del estadístico W (datos) que se grafica en la carta,

mediante la expresión µw ± 3𝜎𝑤. En el caso de la carta �̅� el estadístico W que se

grafica es la media de las muestras �̅�, por lo que los límites están determinados

por:

µx ± 3𝜎𝑥………………(1)

Dónde:

µx= Media de las Medias

𝜎𝑥= Desviación estándar de las Medias

Que en un estudio inicial se estiman de la siguiente manera:

µx=�̅� y 𝜎𝑥 =σ

√𝑛

Dónde:

�̅�= Media de las Medias de los subgrupos

𝜎= Desviación estándar del proceso. Es lo que que indica que tan variables son

las medidas individuales

n= Tamaño del subgrupo

Como por lo general en un estudio inicial se conoce 𝜎 este puede eliminarse de

varias maneras. Directamente a través de la desviación estándar S, de una

población de las muestras tomadas en las mediciones. Sin embargo, hacerlo de

esta forma incluirá la variabilidad entre las muestras y dentro de las muestras (𝜎

de largo plazo) y para la carta �̅� es más apropiado solo incluir la variabilidad

dentro de las muestras ya que se utiliza cuando el tamaño del subgrupo es menor

de diez, consiste en estimar 𝜎 mediante la media de los rangos Ṙ, de la siguiente

manera:

𝜎≈�̅�

𝑑2……………..(2)



Donde d2 es una constante que depende del tamaño de subgrupo o muestra.

Esta constante d2 es la media del rango relativo, q = 𝑅

𝜎 , que es una variable que

establece la relación entre el rango de una muestra de distribución normal, y la

desviación estándar de la misma, de esta manera:

3𝜎x= 3[Ṙ

𝑑2⁄

√𝑛] =

3

𝑑2√𝑛 �̅� = 𝐴2�̅�……………….(3)

Es una estimación de 3 veces la desviación estándar de las medias, que se ha

simplificado al sustituir 3

𝑑2√𝑛 por la constante 𝐴2, y que depende del tamaño de

subgrupo n. Con base a lo anterior, los límites de control para una carta �̅�, es un

estudio inicial, se obtiene de la siguiente manera:

LCS = �̅� + A2�̅�…………….(4)

Línea central = �̅�

LCI = �̅� – A2�̅�….……….(5)

1. 4 . 2b. Límites de Control Carta de Rangos R

Con esta carta se detectan cambios en la amplitud de la variación del proceso, y

sus límites se determinarán a partir de la media y la desviación estándar de los

rangos de los subgrupos, ya que en este caso es el estadístico W que se grafica

en la carta R. Por ello los límites se obtienen con la expresión:

µR ± 3𝜎𝑅………….(6)

Donde µR significa la media de los rangos y 𝜎𝑅 la desviación estándar de los

rangos, que en un estudio inicial se estima de la siguiente manera:

µR = �̅� y 𝜎𝑅= d3𝜎 ≈ d3 (𝑅

𝑑2)……………….(7)



Donde �̅� es la media de los rangos de los subgrupos, 𝜎 la desviación estándar del

proceso, d3 es una constante que depende del tamaño de subgrupo.

Esta constante d3 es la desviación estándar del rango relativo, q= 𝑅

𝜎.

Como por lo general en un estudio inicial no se conoce 𝜎, ésta puede estimarse a

través de �̅� 𝑑2⁄ , como se explica en la ecuación 2. En forma explícita los límites de

control para la carta R se calculan con:[2]

LCS = �̅�+ 3d3 (�̅�

𝑑2) = [1 + 3(

𝑑3

𝑑2)] 𝑅 ̅= D4�̅�.............(8)

Línea central = �̅�

LCI = �̅�- 3d3 (�̅�

𝑑2) = [1 − 3(

𝑑3

𝑑2)] 𝑅 ̅= D3�̅�………….(9)

1. 5. Error e Incertidumbre

En general, todo procedimiento de medición tiene imperfecciones que dan lugar a

un error en el resultado de la medición, lo que provoca que el resultado sea sólo

una aproximación o estimado del valor del mensurando.

Es importante distinguir entre error e incertidumbre. El error es definido como la

diferencia entre el resultado individual de una medición y el valor verdadero del

mensurando. Es decir, el error es un valor simple. En principio el valor de un error

conocido puede ser aplicado como una corrección al resultado de una medición.[2]

El valor verdadero del mensurando es aquel que caracteriza idealmente al

resultado de la medición, es decir, el que resulta de una medición “perfecta”.

El error es un concepto idealizado y los errores no pueden ser conocidos

exactamente.

La incertidumbre por otro lado, toma la forma de un intervalo, y, si es estimada

para un procedimiento de medición, puede aplicarse a todas las determinaciones

descritas en dicho procedimiento. En general, el valor de incertidumbre no puede

utilizarse para corregir el resultado de una medición.



Para ilustrar la diferencia, el resultado de una medición después de la corrección

puede estar muy cercano al valor verdadero del mensurando, y por lo tanto tener

un error despreciable. Sin embargo, la incertidumbre puede ser todavía muy

grande, simplemente porque la persona que ejecuta la medición está muy

insegura de cuan cercano está el resultado del valor del mensurando.

La incertidumbre del resultado de una medición nunca debe ser interpretada como

la propia representación de error ni como el error remanente después de la

corrección.

En general, una medición tiene imperfecciones que dan origen a un error en el

resultado de la medición. Se considera que un error tiene dos componentes, una

sistemática y una aleatoria.

El error aleatorio normalmente se origina de variaciones impredecibles de

magnitudes influyentes. Estos efectos aleatorios dan origen a variaciones en

observaciones repetidas del mensurando. El error aleatorio del resultado de una

medición no puede ser compensado por el incremento del número de mediciones,

pero éste puede ser normalmente disminuido por tal incremento.

El error sistemático es definido como la componente de error la cual en el curso de

número de mediciones del mismo mensurando, permanece constante o varía de

una forma predecible. Éste es independiente del número de mediciones llevadas a

cabo y no puede por lo tanto ser disminuido por el incremento del número de

mediciones bajo condiciones constantes de medición.

Los errores sistemáticos constantes, tal como la inexactitud en la calibración en

múltiples puntos de un instrumento, son constantes para un nivel dado del valor

del mensurando pero pueden variar con el nivel del valor medido.

Los efectos que cambian sistemáticamente es la magnitud durante una serie de

mediciones, causados. Por ejemplo, por el inadecuado control de las condiciones

experimentales dando origen a errores sistemáticos que no son constantes.

El resultado de una medición debe ser corregido para todos los efectos

sistemáticos significativos reconocidos.

La corrección, es un valor agregado algebraicamente al resultado corregido de

una medición, para compensar el error sistemático.

El factor numérico por el cual se multiplica el resultado no corregido de una

medición para compensar el error sistemático se denomina factor de corrección.



Los instrumentos y sistemas de medición son frecuentemente ajustados o

calibrados utilizando patrones de medición y materiales de referencia para corregir

efectos sistemáticos. Las incertidumbres asociadas con estos patrones y

materiales de referencia y la incertidumbre de la corrección tienen que ser

tomados en cuenta.

1. 5 .1. Errores de Medición

1. 5. 1. 1. Errores Instrumentales

La primera fuente de error es la propia limitación de los instrumentos de medición

que utilizamos, los cuales podemos considerar de dos tipos fundamentales:

a) Los errores que se determinan en el proceso de calibración del instrumento,

los cuales son debidos al propio diseño estructural del instrumento de

medición, a las propiedades de los metales que lo componen, a

imperfecciones en la tecnología de su fabricación y al envejecimiento de

sus partes componentes durante el proceso de su explotación. De hecho,

todo instrumento de medición debe ser calibrado periódicamente, ya que de

otra forma no se puede asegurar si las lecturas proporcionadas son o no

correctas.

b) Errores que surgen a consecuencia de la influencia del instrumento de

medición sobre las propiedades del objeto o fenómeno que se mide. Tales

situaciones surgen, por ejemplo, al medir la longitud cuando el esfuerzo de

medición del instrumento utilizado es demasiado grande, al registrar

procesos que ocurren con rapidez con equipos que funcionan

insuficientemente rápido; al medir la temperatura de termómetros de

líquido, etc. Aunque la calidad de un instrumento está relacionada con los

errores que produce, éstos también dependen de la forma en que sean

utilizados. Por lo tanto, se recomienda conocer lo mejor posible las

características de un instrumento antes de utilizarlo.

1. 5. 1. 2. Errores de Método



Los errores de método, también denominados errores técnicos, son los debidos a

la imperfección del método de medición. Entre estos podemos señalar los

siguientes:

a) Errores que son la consecuencia de ciertas aproximaciones al aplicar el

principio de medición y considerar que se cumple una ley física

determinada o al utilizar determinadas relaciones empíricas.

b) Errores del método que surgen al extrapolar la propiedad que se mide en

una parte limitada del objeto de medición al objeto completo, si éste no

posee homogeneidad de las propiedades de medida.

1. 5. 1. 3. Errores debidos a Agentes Externos

Los agentes externos que actúan en el proceso de medición se pueden clasificar

en dos grupos:

Factores ambientales. Tanto la magnitud a medir como la respuesta de los

instrumentos de medición, dependen en mayor o menor grado de las condiciones

ambientales en que el proceso se lleva a cabo. Como variables ambientales

citaremos la temperatura, la humedad y la presión, la primera es sin duda la más

significativa. Es necesario considerar además el nivel de iluminación, la

contaminación del ambiente, el nivel de polvo, etc.

Presencia de señales o elementos parásitos. Los elementos parásitos que

generalmente se presentan al efectuar una medición, pueden ser de dos tipos:

a) Los que inciden sobre la medición de forma errática, perturbando las

condiciones de equilibrio del sistema de medición y disminuyendo su

exactitud. Por ejemplo, vibraciones mecánicas, corrientes de aire, zumbidos

de la red eléctrica y señales de radiofrecuencia.

b) Agentes físicos de igual naturaleza que la magnitud a medir que se hallan

presentes de modo prácticamente constante. Por ejemplo, campos

electrostáticos magnetos taticos (como puede ser el campo magnético

terrestre), fuerzas electromotrices termoeléctricas o de contacto presentes

en una instalación de medición, etc.

1. 5. 1. 4. Errores debidos al Observador



Entre los errores debidos al observador podemos señalar:

a) Errores de paralelaje o de interpolación visual a leer en la escala de un

instrumento.

b) Errores debido a un manejo equivocado del instrumento.

c) Omisión de operaciones previas o durante la medición, como puede ser un

ajuste a cero, tiempo mínimo de precalentamiento, etc.

1. 5. 1. 5. Errores Matemáticos

Frecuentemente, con los datos de las mediciones es necesario realizar

determinados cálculos para obtener el resultado final; por lo tanto, otra fuente de

error son los errores matemáticos que se cometen al emplear las fórmulas

inadecuadas, redondear las cantidades, etc.

1. 5. 2. El concepto de Incertidumbre

La palabra incertidumbre significa duda, por lo tanto, en un sentido más amplio

“incertidumbre de medición” significa duda en la validez del resultado de una

medición. Dicho en otras palabras, la incertidumbre del resultado de una medición

refleja la falta del conocimiento exacto del valor del mensurando.[4]

La incertidumbre de la medición es una forma de expresar el hecho de que, para

un mensurando y su resultado de medición, no hay un solo valor, sino un número

infinito de valores dispersos alrededor del resultado, que son consistentes con

todas las observaciones y conocimientos que se tengan del mundo físico, y que

con distintos grados de credibilidad pueden ser atribuidos al mensurando.

Siempre que se realiza una medición inevitablemente se cometen errores debido a

muchas causas, algunas pueden ser controladas y otras son incontrolables o

inclusive desconocidas. Por lo tanto, para realizar medidas con calidad y obtener

resultados confiables es necesario que la persona que realiza la medición tenga el

conocimiento, la técnica y la disciplina necesaria.

La mayoría de las mediciones son realizadas con instrumentos sujetos a

verificación periódica. Si se conoce que estos instrumentos están en conformidad

con los errores máximos permisibles establecidos en su especificación o en



documentos normativos aplicados y que las diferentes fuentes de incertidumbre

que interviene en el proceso de medición pueden ser cuantificadas y minimizadas,

la incertidumbre asociada con el resultado de la medición puede ser calculada.

En general el uso de la palabra incertidumbre se relaciona con el concepto de

duda. La palabra incertidumbre sin adjetivos se refiere a un parámetro asociado

con la definición anterior o al conocimiento limitado acerca de un valor particular.

La incertidumbre de la medición no implica duda acerca de la validez de un

mensurando; Por lo contrario, el conocimiento de la incertidumbre implica el

incremento de la confianza en la validez del resultado de una medición.



1. 5. 3. Sistema para Calcular la Incertidumbre

La figura 5 muestra el proceso para la obtención de la incertidumbre de medición.

Figura 5. Proceso para la estimación de la incertidumbre.

Definir el mesurando Y

Establecer el modelo físico Identificar las

magnitudes de entrada XI

Establecer el modelo matemático

Identificar las fuentes de incertidumbre

Cuantificar la variabilidad de cada fuente y

asociarle una distribución

Determinar la incertidumbre estándar u(XI)

Estimar correlaciones

Calcular la incertidumbre estándar combinada uc

Elegir el nivel de confianza p

¿Cuantificar

el número

de grados?

Estimar los grados de libertad VI

Calcular el número efectivo

de grados de libertad Vef

Determinar tp(Vef) Determinar el factor de cobertura k

Calcular la incertidumbre expandida U

FIN

Primer paso

Segundo paso

Tercer paso

Cuarto paso



1. 5. 3. 1. Especificación del Mensurando

Escribir un enunciado claro de que es medido, incluyendo la relación entre el

mensurando y las magnitudes de entrada sobre las cuales esta depende (por

ejemplo magnitudes medidas, constantes, valores de patrones de calibración, etc).

El propósito de una medición es determinar el valor de una magnitud, llamado

mensurando. El mensurando es una magnitud particular que se va a medir.

La definición del mensurando es vital para obtener buenos resultados de la

medición. Toda medición lleva implícita una incertidumbre y es un parámetro que

caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser atribuidos razonablemente

al mensurando.

Un modelo físico consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propio

mensurando. Una medición física, por simple que sea, tiene asociado un modelo

que sólo aproxima el proceso real.

Un modelo matemático de medición es la relación entre las magnitudes de entrada

𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑁 , y el mensurando Y como la magnitud de salida, la cual se representa

con la siguiente función:

𝑌 = 𝑓(𝑋1) = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁)…………….(10)

Las magnitudes de entrada 𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑁 de las cuales depende la magnitud de

salida Y, pueden visualizarse a la vez como mensurando y depender de otras

magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección para efectos

sistemáticos, todo ello dando lugar a una complicada relación funcional f que

pudiera nunca expresarse explícitamente. La función 𝑓 debe interpretarse como

aquella función que contiene cada magnitud, incluyendo todas las correcciones y

factores de corrección.[4]

El conjunto de las magnitudes de entrada 𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑁 pueden dividirse en las

siguientes categorías:

Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se determinan directamente en

la presente medición. Estos valores e incertidumbre pueden obtenerse, por

ejemplo, de una sola observación, observaciones repetidas o por juicio

basado en la experiencia, y puede involucrar la determinación de

correcciones en las lecturas del instrumento y correcciones debidas a la



presencia de magnitudes cuya influencia deba tomarse en cuenta, tales

como la temperatura ambiental, la presión barométrica y la humedad.

Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se incorporan a la medición y

que proviene de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas con

patrones de medición calibrados, materiales de referencia certificados y

datos de referencia obtenidos de manuales.[4]

Un estimado del mensurando “Y” denotado como “y”, se obtiene de la ecuación

(10) usando los estimados de las magnitudes de entrada 𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑁 para los

valores de las N magnitudes 𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑁 . Por lo tanto, el estimado de la magnitud

resultante y, que es el resultado de la medición, está dado por:

𝑦 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁)……………….. (11)

1. 5. 3. 2. Fuentes de Incertidumbre

Se debe realizar una lista de todas las variables relevantes de incertidumbre. Es

conveniente comenzar con el análisis del modelo matemático utilizado para

calcular el valor del mensurando. Todos los parámetros utilizados pueden tener

una incertidumbre asociada con sus valores.

El diagrama causa y efecto es una forma muy conveniente de enlistar las fuentes

de incertidumbre, mostrando cómo se relaciona cada una e indicando su influencia

en la incertidumbre del resultado.

En la práctica, existen muchas variables posibles de ocasionar la incertidumbre en

una medición, a continuación se mencionan algunas:

a. Definición completa del mensurando.

b. Realización imperfecta de la definición del mensurando.

c. Muestreos no representativos – la muestra medida puede no representar el

mensurando definido.

d. Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales,

sobre las mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones

ambientales.

e. Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos

analógicos.



f. Resolución finita del instrumento.

g. Valores inexactos de patrones de medición y de materiales de referencia.

h. Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes

externas y usadas en algoritmos de reducción de datos.

i. Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y

procedimientos de medición.

j. Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones

aparentemente iguales.

Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas fuentes desde la

a. hasta la i. pueden contribuir a la fuente j.

1. 5. 3. 3. Evaluación de la Incertidumbre Estándar

Una vez que se tienen identificadas las fuentes de incertidumbre es necesario

evaluar la incertidumbre originada de cada fuente individual, para luego obtener la

incertidumbre combinada.

La incertidumbre estándar es la incertidumbre del resultado expresada como una

desviación estándar y se denota por U (𝑋𝑖).

Las recomendaciones INC-1 (1980) del grupo de trabajo para la expresión de

incertidumbres agrupa a los componentes en dos categorías: Tipo A y Tipo B.

Evaluación de incertidumbre tipo A. Método para evaluar la incertidumbre

mediante un análisis estadístico de una serie de mediciones.

Evaluación de incertidumbre tipo B. Método para evaluar la incertidumbre

por otro medio que no sea el análisis estadístico de una serie de

mediciones.

El propósito de clasificar tipo A y B es para indicar las dos diferentes maneras de

evaluar los componentes de incertidumbre y es por conveniencia de discusión

solamente; La clasificación no significa que exista alguna diferencia en la

naturaleza de los componentes que resulten de cada uno de los tipos de

evaluación. Ambos tipos de evaluación están basados en distribución de

probabilidad, y los componentes de incertidumbre resultantes de cualquier tipo son

cuantificados por varianzas y desviaciones estándar.



1. 5. 3. 3a. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo A

La incertidumbre de una magnitud de entrada 𝑋𝑖 obtenida a partir de

observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base de

la dispersión de los resultados de mediciones individuales.

Si 𝑋𝑖 se determina por n mediciones independientes, resultando en valores q1,

q2,…qn, el mejor estimado de 𝑋𝑖 es la media de los resultados, como se observa a

continuación:

𝑋𝑖 = �̅� = 𝛴𝑞𝑗

𝑛 ……………..(12)

La dispersión de los resultados de la medición q1, q2,…qn para las magnitudes de

entrada 𝑋𝑖 se expresa por su desviación estándar experimental 𝑠(𝑞) :

𝑠(𝑞) = √𝛴𝑘=1

𝑛 (𝑞𝑗−�̅�)2

𝑛−1 …………(13)

La incertidumbre estándar 𝑈(𝑋1) de 𝑋1 se obtiene finalmente mediante el cálculo

de la desviación estándar experimental de la media:

𝑈(𝑋1) = 𝑠(�̅�) = √𝛴𝑘=1

𝑛 (𝑞𝑗−�̅�)2

𝑛(𝑛−1) ………….(14)

Existen casos prácticos donde un efecto aleatorio puede producir una fluctuación

en la indicación de un instrumento que puede ser significativa en términos de

incertidumbre. Esta no es una situación común pero se estima la incertidumbre

estándar asumiendo que las observaciones se distribuyen uniformemente en los

límites del recorrido, es decir:

𝑈(𝑋1) = 𝑋𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑚𝑖𝑛

√12 ……….(15)

Donde 𝑋𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑋𝑚𝑖𝑛 son las indicaciones máxima y mínima obtenidas con el

instrumento de medición.

Para un método bien caracterizado y bajo condiciones controladas, es razonable

suponer que la distribución de los 𝑞1 no cambia, o se mantiene prácticamente igual

para mediciones razonables en diferentes días, por diferentes personas, etc., es

decir, la medición está bajo control estadístico. En este caso es más confiable

determinar a partir de la desviación estándar 𝑆𝑝:



𝑈(𝑋1) = 𝑢(�̅�) = 𝑆𝑝

√𝑛 ………..(16)

Existen otros métodos estadísticos para evaluar la incertidumbre de tipo A que se

aplican en ciertas clases de mediciones, por ejemplo, análisis de varianza,

estudios de reproducibilidad, regresión lineal (método de los mínimos cuadrados),

entre otros.

1. 5. 3. 3b. Incertidumbre Estándar Evaluación Tipo B

Una evaluación tipo B de la incertidumbre estándar se realiza cuando no se

dispone de información, sobre la posible variabilidad de la magnitud para realizar

un análisis estadístico.

En tal caso la incertidumbre estándar 𝑈(𝑋1) se evalúa mediante juicios y criterios

científicos, basados en toda la información disponible sobre la variabilidad de 𝑋𝑖.

Las fuentes de información pueden ser:

Certificados de calibración.

Manuales de los instrumentos de medición.

Normas o literatura.

Valores de mediciones anteriores.

Conocimiento sobre las características o el comportamiento del sistema

de medición.

Al evaluar las componentes individuales de incertidumbre en un proceso de

medición se consideran, al menos, las siguientes posibles fuentes:

Incertidumbre reportada en los certificados de calibración de los

instrumentos patrones y cualquier deriva o inestabilidad en sus valores o

lecturas.

Los equipos de medición, por ejemplo, su resolución, histéresis e

inestabilidad durante la realización de las mediciones.

El efecto de las condiciones ambientales.

El método y procedimiento de medición.

Los equipos auxiliares, como la línea de conexión, fuentes de

alimentación, baños termostáticos, etc., y cualquier inestabilidad en sus

valores o lecturas.



Distribución normal:

Los resultados de una medición, repetida afectada por una o más magnitudes de

influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen una aproximación de

distribución normal, en la figura 6 podemos observar un ejemplo de esta

distribución. También la incertidumbre indicada en certificados de calibración se

refiere generalmente a una distribución normal.

La incertidumbre asignada a 𝑥1 no necesariamente está dada como un múltiplo de

una desviación estándar. Puede encontrarse como un intervalo de nivel de

confianza de (90, 95 y 99%). Se asume que es una distribución normal y se

obtiene la incertidumbre estándar:

𝑢(𝑥1) = 𝑈

𝑘 ………………. (17)

Figura 6. Distribución Normal.

Los resultados de una medición repetida afectada por una o más magnitudes de

influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en una buena

aproximación una distribución normal.



Distribución rectangular:

Puede que solo sea posible estimar los límites (superior e inferior) para 𝑥1 en

particular para establecer que la probabilidad que el valor de 𝑥1 se encuentre

dentro del intervalo de [𝑎−: 𝑎+] para todos los propósitos prácticos es igual a uno y

la probabilidad de que 𝑥1 caiga fuera de ese intervalo es esencialmente cero.

𝑢(𝑥1) = (𝑎+−𝑎−)

2

12 ……………..(18)

Si la diferencia entre los límites 𝑎− 𝑦 𝑎+ se denota por 2𝑎, entonces la

incertidumbre estándar tipo B de 𝑥1 se evalúa como:

𝑢(𝑥1) = 𝑎

√3 …………..(19)

La fórmula (19) se utiliza generalmente cuando se analizan componentes

individuales de incertidumbre tales como:

El error de un instrumento de medición el cual se supone que está

comprendido dentro de los límites del error máximo permisible (±EMP).

La resolución (R) de un instrumento digital o la apreciación de las lecturas

con un instrumento analógico.

La histéresis (H) de las indicaciones de un instrumento de medición.

En estos casos se sustituye 𝑎, en la fórmula (19) por EMP; R/2; A/2; H/2 según

corresponda. En la figura 7 podemos observar un ejemplo de esta distribución.

Figura 7. Distribución Rectangular.



Distribución triangular:

Como en una distribución rectangular para una magnitud de entrada 𝑥1, que tiene

una distribución triangular con los límites 𝑎+ 𝑦 𝑎−, el mejor estimado para el valor

de 𝑥1, está dado por:

(𝑥1) = 𝑎++𝑎−

2 …………..(20)

La incertidumbre estándar se calcula en este caso por:

𝑢(𝑥1) = 𝑎++𝑎−

√24 =

𝑎/2

√6 ……………(21)

En la figura 8 podemos observar un ejemplo de esta distribución.

Figura 8. Distribución Triangular.

Utilización de la información disponible sobre el instrumento de medición:

En las mediciones uno de los componentes que más pesa en la incertidumbre

estándar combinada es la que aporta el propio instrumento de medición. La

información para cuantificar su valor debe buscarse en el certificado de

calibración, en las especificaciones técnicas dadas por el fabricante, etc.

Durante la ejecución de las mediciones se nos pueden presentar dos casos:

a. Se cuenta con la información que aporta el certificado de calibración del

instrumento:



La incertidumbre estándar de la corrección se calcula como:

𝑢(𝑐) = 𝑈𝑐𝑎𝑙

𝑘 …………….(22)

b. Cuando no se utiliza la información que aporta en el certificado de

calibración y solo se establece que el instrumento se encuentra calibrado.

En este caso el modelo matemático se expresa como:

𝑌 = 𝑦 …………(23)

Donde 𝑦 es la indicación del instrumento. En dicho modelo matemático una

de las fuentes de incertidumbre es la asociada al error máximo permisible

del instrumento.

1. 5. 3. 4. Evaluación de la Incertidumbre Estándar Combinada

Es la incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando el resultado se

obtiene a partir de otras magnitudes, es igual a la raíz cuadrada positiva de una

suma de términos, siendo estos términos la varianza y las covarianzas de estas

otras magnitudes ponderadas de acuerdo a cómo el resultado de la medición varía

con respecto al cambio en estas magnitudes.[4]

La incertidumbre estándar combinada se determina mediante:

𝑈𝑐2 (𝑦) = 𝛴𝑖=1

𝑁 𝑐𝑖2 ∗ 𝑢2 (𝑥𝑖) + 2 ∗ 𝛴𝑖=1

𝑁=1𝛴𝑗=𝑖+1𝑁 𝑐1 + 𝑐𝑗 ∗ 𝑢(𝑥𝑖, 𝑥𝑗)……..(25)

Dónde:

𝑦(𝑥1, 𝑥2 … ): Es una función de varias magnitudes de entrada (𝑥1, 𝑥2 … )

𝑐𝑖. . 𝑦. . 𝑐𝑗: Son los coeficientes de sensibilidad evaluados como 𝑐𝑖 = 𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑖 y 𝑐𝑗 =

𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑗

Es decir son las derivadas parciales de y respecto a 𝑥𝑖 𝑦 𝑥𝑗

La ecuación (25) es la fórmula de la propagación de incertidumbre en su forma

más completa, cuando las magnitudes de entrada están correlacionadas.



Si no existe una correlación cuando todas las magnitudes de entrada son

independientes.

La incertidumbre estándar combinada para magnitudes no correlacionadas está

dada por:

𝑈𝑐2 (𝑦) = 𝛴𝑖=1

𝑁 𝑐𝑖2 ∗ 𝑢2(𝑥𝑖)………….(26)

Cuando el conocimiento que tenemos en el proceso de medición nos lleva a

pensar que todas las magnitudes están correlacionadas al máximo entonces la

incertidumbre combinada se calcula así:

𝑢𝑐(𝑦) = 𝛴𝑖=1𝑛 𝑐𝑖 ∗ 𝑢(𝑥𝑗)……………(27)

1. 5. 3. 5. Incertidumbre Expandida

Aunque la incertidumbre combinada pude usarse universalmente para expresar la

incertidumbre del resultado de una medición, en algunas aplicaciones, es

necesario proporcionar una medida de la incertidumbre que define un intervalo

alrededor del resultado de la medición que se espera incluya una fracción grande

de la distribución de valores que puedan atribuirse razonablemente al

mensurando.

La medida adicional de la incertidumbre que cumple con el requisito de definir un

intervalo, se llama incertidumbre expandida y se denota por el símbolo 𝑈. La

incertidumbre expandida 𝑈 se obtiene al multiplicar la incertidumbre estándar

combinada 𝑈𝑐(𝑦) por un factor de cobertura 𝐾:

𝑈 = 𝑘 ∗ 𝑈𝑐(𝑦)…………..(28)

El resultado de una medición se expresa entonces, convenientemente, como 𝑌 =

𝑦 ± 𝑈, que se interpreta diciendo que el intervalo va de 𝑦 − 𝑈 𝑎 𝑦 + 𝑈 por lo cual

abarque una fracción importante de la distribución de los valores que puedan

atribuirse razonablemente a Y, tal intervalo también se puede expresar como 𝑦 −

𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈.

El factor de cobertura K es utilizado como multiplicador de la incertidumbre

estándar con el propósito de obtener una incertidumbre expandida, tiene valores



que se encuentran comúnmente de 2 a 3 y la elección está basadaen el nivel de

confianza requerido para el intervalo de 𝑦 − 𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈.

Para un nivel de confianza aproximado de 95% K es igual a 2 y para 99% K es

igual a 3.

Específicamente, se debe interpretar 𝑈 como el valor que define un intervalo

alrededor del resultado de la medición que abarca una fracción grande de p de la

distribución de probabilidad caracterizada por ese resultado y también por su

incertidumbre estándar combinada, y p es la probabilidad de cobertura o nivel de

confianza del intervalo.

Cuando sea posible el nivel de confianza p asociado con el intervalo definido por 𝑈

deberá estimarse y declararse.



2. DESARROLLO EXPERIMENTAL

2.1. Principio de Medición

El procedimiento del ensayo se realiza de acuerdo a la Norma ASTM E-23 [3]

“Norma de Ensayos de Impacto para materiales metálicos”.

2.2. Equipo y Material Utilizados

Péndulo Charpy V-Notch Impact Machine Serial No. SIR 5290. Figura 9.

Pinzas sujetadoras

Termómetro

Cronómetro

Baño isotérmico con controladores de temperatura ±1° de precisión. Figura

10.

Probetas de Acero 1018, Aluminio 6061 y Latón 360. Figura 11.

Figura 9. Péndulo Charpy V-Notch Impact Machine Serial No. SIR 5290.



Figura10. Baño ultrasónico con controladores de temperatura.

Figura11. Probetas de Acero, Aluminio y Latón.

2.3. Procedimiento del Ensayo de Impacto

1.- Examinar visualmente la parte delantera del martillo y los yunques de soporte

de la máquina para detectar obvios daños y desgaste.

2.- Realizar un ajuste del péndulo, comprobar la posición cero de la máquina a

través del siguiente procedimiento: elevar el péndulo en la posición enganchada,

mover el puntero cerca de la capacidad máxima, suelte el péndulo, y lea el valor

indicado. El puntero debe indicar cero en las máquinas de lectura directamente en

energía.

3.- Colocar la probeta con las pinzas sujetadoras.



NOTA: Para colocar una probeta en la máquina, se recomienda que las pinzas de

auto-centrado utilizadas sean similares a las mostradas en la figura 12:

Figura 12. Método de colocación de una probeta.

4.- Preparar la máquina elevando el péndulo a la posición de bloqueo.

5.- Ajustar el indicador de energía en la lectura máxima de la escala, o inicializar la

pantalla digital.

6.- Tener listo el cronómetro y sincronizarse con ayuda de otro operario para soltar

el péndulo al mismo tiempo.

7.- Soltar el péndulo.

8.- Lectura. Se toman en cuenta los dos valores arrojados después de realizar la

prueba, tanto el analógico que es el que nos marca el péndulo, y es un valor más

exacto, y el digital que nos marca la computadora, (unidades Joules).

En un ensayo de impacto, la velocidad disminuye a medida que la fractura

progresa. Para las muestras que tienen energías de impacto cerca del 80% de la

capacidad del péndulo, la velocidad del péndulo disminuye (hasta



aproximadamente 45% de la velocidad inicial) durante la fractura hasta el punto de

que las energías de impacto no son precisas obteniéndolas en más tiempo.

9.- Reportar también la temperatura de ensayo. Incluso cuando se especifica la

temperatura de ensayo como temperatura ambiente, reportar la temperatura real.

10.- En la Figura 13 se muestra el tipo de probeta utilizada.

Figura 13. Probeta Charpy y mediciones de entalla.

2.4. Experimentación

2.4.1. Pruebas de Control de Calidad

Se designaron tres materiales ya mencionados anteriormente para la elaboración

de muestras, en las cuales se realizaron estudios de R y r. La metodología

utilizada fue la mencionada anteriormente en el procedimiento de ensayo.

Estas pruebas fueron efectuadas en un solo día, consecutivamente, para poder

mantener controladas las variables (temperatura) del proceso de medición.



La realización de las pruebas de control del proceso se puede entender mejor al

observar la Tabla 2.

Tabla 2. Realizaión experimental.

MATERIAL ACERO 1018 ALUMINIO 6061 LATÓN 360

No. PRUEBAS DE REPRODUCIBILIDAD

Y REPETIBILIDAD

30

30

30

A continuación, se realizaron cartas de Control de Rangos y Promedios.

Se obtiene la �̅� (media de las mediciones) y el Rango (promedio del rango de las

mediciones).

�̅�𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯

𝑛…….(29)

𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜……..(30)

Se emplean las fórmulas para calcular los límites de control para los gráficos de

rango (𝑅) y para los gráficos de promedios (�̅�), mediante las siguientes fórmulas:

Fórmulas Estadísticas para Rangos:

𝐿𝑆𝐶(𝑅) = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ∗ (1 + 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)……………(31)

𝐿𝐼𝐶(𝑅) = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ∗ (1 − 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)……..……..(32)

Fórmulas Estadísticas para Promedios:

𝐿𝑆𝐶(𝑋) = �̿� + 3 ∗ 𝜎𝑥…….….(33)

𝐿𝐼𝐶(𝑋) = �̿� − 3 ∗ 𝜎𝑥………...(34)

Dónde:

LSC= Límite Superior de Control

LIC= Límite Inferior de Control

σx= Desviación Estándar



Se obtienen gráficos de Exactitud y Precisión de los resultados, para poder

determinar que nuestras pruebas se encuentran en control estadístico.

Para la obtención de las cartas de Exactitud se utilizan las siguientes fórmulas:

𝑉. 𝐸. = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟: 𝑉. 𝐸. −�̅�

𝐿𝑆𝐶𝑒 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 + 3 ∗ 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑒𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠

𝐿𝐼𝐶𝑒 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 − 3 ∗ 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑒𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠

Para la obtención de las cartas de Precisión se parte de formar 6 grupos de

nuestros treinta datos y con la aplicación de las siguientes fórmulas:

𝐶𝑉´𝑠 =𝐷𝑒𝑠𝑣𝑒𝑠𝑡.∗100

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜……….(35)

𝐶𝑉𝑚 = ∑ 𝐶𝑉´𝑠

𝑛…………….(36)

Dónde:

𝐶𝑉´𝑠= Coeficiente de Variación

𝐶𝑉𝑚 = Promedio de 𝐶𝑉´𝑠

𝐶𝑉𝑑𝑒 =Desviación Estándar del 𝐶𝑉´𝑠

𝐿𝑆𝐶𝑝 = Límite de Control de Precisión = 𝐶𝑉𝑚 + 3𝐶𝑉𝑑𝑒

𝐿𝐼𝐶𝑝 = Límite Inferior de Control de Precisión = 𝐶𝑉𝑚 − 3𝐶𝑉𝑑𝑒

2.4.2. Procedimiento para la Estimación de la incertidumbre

Este procedimiento engloba la determinación de incertidumbre para la prueba de

impacto Charpy.

Desarrollo para la obtención de la incertidumbre:



1. Conocer, definir el mensurado y su proceso de medición. Para este proceso el

mensurado es:

Valor de energía en el péndulo de impacto Charpy

Equipo a utilizar.

Péndulo de impacto Charpy

PC Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel

2. Establecer las variables que están involucradas en el proceso de medición. Esto

significa que se debe definir cuáles son las variables independientes que pueden

afectar el resultado de la medición.

Las fuentes de incertidumbre, relevantes para el ensayo se mostrarán en un

diagrama de causa- efecto, también conocido como diagrama Ishikawa.

Variables de influencia del proceso de medición:

𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐

𝑪𝒂𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐

𝑹𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐

Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂

𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂

3. Establecer las fuentes de incertidumbre, empleando la ley de la expansión de la

incertidumbre.

𝑼𝑨𝒄𝒆𝒓𝒐 = √𝑼𝟐𝑹𝒆𝒔 + 𝑼𝟐𝑪𝒂𝒍 + 𝑼𝟐𝑹𝒆𝒑 + 𝑼𝟐Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 + 𝑼𝟐𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 + 𝑼𝟐𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 ….(37)

Dónde el error muestra una distribución Rectangular

𝑼𝑨𝒍𝒖𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = √𝑼𝟐𝑹𝒆𝒔 + 𝑼𝟐𝑪𝒂𝒍 + 𝑼𝟐𝑹𝒆𝒑 + 𝑼𝟐Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 + 𝑼𝟐𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 + 𝑼𝟐𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 .…(38)

Dónde el error muestra una distribución Triangular

𝑼𝑳𝒂𝒕ó𝒏 = √𝑼𝟐𝑹𝒆𝒔 + 𝑼𝟐𝑪𝒂𝒍 + 𝑼𝟐𝑹𝒆𝒑 + 𝑼𝟐Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 + 𝑼𝟐𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 + 𝑼𝟐𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 ….(39)

Dónde el error muestra una distribución Normal



Dónde:

𝑼 𝑹𝒆𝒔 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐.

𝑼 𝑪𝒂𝒍 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐.

𝑼 𝑹𝒆𝒑 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐.

𝑼 Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒅𝒂 𝒂𝒍 á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂.

𝑼 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒍 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂.

𝑼 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝑰𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂.

Para cada material respectivamente.

4. Cálculo de la incertidumbre estándar de cada mensurado de entrada:

Cada uno de estos valores se calcula de la siguiente manera:

Resolución del equipo:

Se asume la distribución correspondiente de cada material, donde cada

valor proporcionado tiene la misma probabilidad.

𝑈 𝑅𝑒𝑠 = 𝑟

√12……..(40)

Dónde:

r = Resolución del equipo

Calibración del equipo:

𝑈 𝐶𝑎𝑙 = 𝑈 𝑐𝑒𝑟𝑡

𝐾……(41)

Dónde:

𝑈 𝑐𝑒𝑟𝑡 = Incertidumbre estándar del certificado de calibración.

𝑘 = Factor de cobertura del informe de calibración.

Repetibilidad

La repetibilidad se obtuvo realizando 30 pruebas de impacto a cada material, como se puede observar en la Tabla 2.



Se obtiene el promedio de los datos y se grafica contra la desviación estándar, se

realiza una regresión lineal para obtener la ecuación de la recta y se sustituyen los

valores en la ecuación.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏…………. (42)

Angulo, Radio y Altura de la entalla

Estos valores se obtuvieron al medir esta dimensiones de la entalla para cada

probeta y cada material, estos valores se graficaban y establece al histograma se

determina la ecuación correspondiente ya sea distribución normal, triangular o

rectangular.

5. Cálculo de la incertidumbre combinada 𝑼𝒄.

𝑼𝒄 = √𝑼𝟐𝑹𝒆𝒔 + 𝑼𝟐𝑪𝒂𝒍 + 𝑼𝟐𝑹𝒆𝒑 + 𝑼𝟐Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 + 𝑼𝟐𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 + 𝑼𝟐𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

Sustituyendo en la ecuación (37):

𝑈𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = √(𝑟

√12)2 + (

𝑈 𝑐𝑒𝑟𝑡

𝑘)2 + (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏)2 + (

𝑈

𝑘)2 + (

𝑈

𝑘)2 + (

𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛

√12)2


𝑈𝐴𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = √(𝑟

√12)2 + (


𝑘)2 + (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏)2 + (


√12)2 + (


√12)2 + (


√12)2


𝑈𝐿𝑎𝑡ó𝑛 = √(𝑟

√12)2 + (


𝑘)2 + (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏)2 + (

𝑈

𝑘)2 + (


√12)2 + (


√12)2

6. Obtención de la Incertidumbre Expandida.

El factor de cobertura 𝑘 es utilizado como un multiplicador de la incertidumbre

estándar con el propósito de obtener una incertidumbre expandida, tiene valores

que se encuentran comúnmente de 2 a 3 y la elección está basada en el nivel de

confianza requerido para obtener un intervalo.

Finalmente, la incertidumbre expandida, utilizando un factor de cobertura al 95%

(k=2), tendremos:

𝑈 = 𝑘 ∗ 𝑢𝑐 … … . . (43)



3. RESULTADOS

Las pruebas para la obtención de la energía de impacto, fueron realizadas a

temperatura ambiente con el fin de mantener controladas las variables del proceso

de medición. En la figura 14 se observan las probetas ensayadas de los tres

materiales propuestos.

Figura 14. Probetas experimentadas.

3.1. Histogramas de frecuencia.

A partir de la experimentación realizada en las 90 probetas preparadas para el

ensayo Charpy (30 Acero, 30 latón y 30 Aluminio) se realizaron histogramas de

frecuencia, graficando la energía contra la frecuencia de repetibilidad para cada

material analizado como se expone a continuación.

Histograma del Acero.

En la figura 15 se muestra el comportamiento de la distribución de los datos

experimentales para la prueba de impacto Charpy en el Acero 1018.



Figura 15. Histograma de frecuencias de Acero.

Histograma del Aluminio.


experimentales para la prueba de impacto Charpy en el Aluminio 6061.

Figura16. Histograma de frecuencias de Aluminio.

0

2

4

6

8

10

17.2 16.4 15.6 14.8 14 13.2

Fre

cue

nci

a

Histograma de frecuencias

Energia Cv Chypy Aluminio (Joules)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

135.5 130.09 124.68 119.27 113.86 108.45

Fre

cue

nci

a


Energía Cv charpy acero (Joules)



Histograma del Latón.


experimentales para la prueba de impacto Charpy en el Latón 360.

Figura17. Histograma de frecuencias de Latón.

3.2. Resultados de Control de Calidad.

Gráficos de Control del Proceso.

A partir de los datos calculados es posible obtener gráficos de control de proceso

como se muestra a continuación.

Gráfico de Control del Acero.

De los resultados obtenidos en la parte experimental podemos sacar una carta de

control como se muestran en las siguientes tablas:

Límites de especificación

LSE= 132

LIE= 108

x = X Promedio 120.514667

R Promedio = 6.68331034

x = 6.05771582

De Tablas

d2 = 1.128

0

2

4

6

8

10

12

14

16

21 19.584 18.168 16.752 15.336 13.92


Energi Cv charpy Laton (Joules)



Figura 18. Carta de Individuales Acero 1018.

Gráfico de Control del Aluminio.

De los resultados obtenidos en la parte experimental podemos sacar una carta de

control como se muestran en las siguientes tablas:

x = X Promedio = 15.334

R Promedio = 0.970344828

x = 0.860234776

Límites de Control

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