1. Simetría

La simetría es una propiedad de los objetos de poder ser reproducidos en su totalidad tomando como base una de sus partes. A esa parte, se le aplican las llamadas operaciones de simetría para obtener la reproducción del objeto completo. Por ejemplo, en el busto de Pitágoras ilustrado en la figura 1a, puede apreciarse la propiedad de simetría. Si se toma como base la parte izquierda del busto (figura 1b), puede fácilmente advertirse que mediante la reflexión de un plano de espejo (operación de simetría) como se ilustra en la figura 1c, se obtiene la reproducción del busto completo. Alternativamente, se puede tomar como base la parte derecha del busto, y generar su parte izquierda a través de la reflexión especular (figura 1d). Si el busto fuera perfectamente simétrico, las figuras 1c y 1d serían exactamente iguales.

Figura 1. (a) Busto de Pitágoras ubicado en la Sala de los Filósofos del Museo Capitolino (Roma); (b) parte izquierda del busto; (c) aplicación de una reflexión para obtener la parte derecha del busto; (d) aplicación de una reflexión especular a la parte derecha del busto para generar su parte izquierda.

En la figura 2a se muestra un trébol de cuatro hojas, el cual puede ser generado totalmente si se toma como base la porción del trébol sombreada en amarillo e indicada con el número 1 en la figura 2b (media hoja del trébol).

Figura 2. (a) Trébol de cuatro hojas; (b) porción base “1” seleccionada para generar todo el trébol aplicando las operaciones de simetría siguientes: reflexión 1, que genera la porción “2” (c); giro de 90°, que genera la porción “3” (d); reflexión 2, la porción “4” (e); giro de 180°, la porción “5” (f); reflexión 3, la porción “6” (g); giro de 270°, la porción “7” (h); reflexión 4, la porción “8” (i); y al final un giro de 360°, que genera la porción “1”, que se autogenera a sí misma (j).

Son necesarias las siguientes operaciones de simetría para generar al trébol completo (figuras 2c-2j):

(1) reflexión 1(2) giro de 90°(3) reflexión 2(4) giro de 180(5) reflexión 3(6) giro de 270°(7) reflexión 4(8) giro de 360° Número total de operaciones de simetría: 8

En el caso del busto de Pitágoras (figura 1), las operaciones de simetría necesarias son:

(1) reflexión(2) giro de 360° Número total de operaciones de simetría: 2

De lo anterior, se puede concluir que en el trébol “hay más simetría” que en el busto de Pitágoras, puesto que es posible encontrar más operaciones de simetría en el trébol que en el busto de Pitágoras (ocho contra dos) para poder generar a partir de una parte del objeto al objeto completo. La propiedad de simetría es una característica fundamental que poseen los cristales y depende de varios factores; entre ellos, del entorno en que se encuentran, su composición y naturaleza, etc. Algunos cristales muestran alta simetría y otros baja simetría.

2. Operaciones de simetría

Las operaciones de simetría mapean (reproducen) las porciones de los objetos de tal modo que la porción que resulta del mapeo no aparece distorsionada. Esto quiere decir que se mantienen constante las distancias y los ángulos. (Todas aquellas que puedan escogerse en la porción del objeto simétrico). Por ejemplo en el caso del trébol, se pueden seleccionar tres puntos arbitrarios A, B, y C; así como un ángulo α como se muestra en la figura 3a. Al aplicar la operación de simetría (en la figura 3b la reflexión 1) se obtienen los puntos A’, B’, C’ y el ángulo α’, de modo que se mantienen constante las distancias (AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’); y también los ángulos (α = α’).

Figura 3: Cuando se aplica una operación de simetría (la reflexión 1) a la base, se mantienen constante las distancias (AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’); y los ángulos (α = α’).

En los cristales vistos como objetos macroscópicos (es decir, no a escala atómica o molecular), existe una lista muy corta de posibilidades para las operaciones de simetría que se presentan. Son de dos tipos: las rotaciones propias y las impropias (o roto-reflexiones). Estas se describen a continuación.

Rotaciones Propias

Para representarlas, se utiliza el símbolo Cn, que significa “giro de 360°/n“ (siempre en sentido anti-horario). El orden de la rotación es n. Por ejemplo para los siguientes valores de n, se tienen las rotaciones:

n = 1 C1 giro de 360°n = 2 C2 giro de 180° (rotación binaria) (figura 4)n = 3 C3 giro de 120° (rotación ternaria) (figura 5)n = 4 C4 giro de 90° (rotación cuaternaria) (figura 6)n = 6 C6 giro de 60° (rotación senaria) (figura 7)

Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7

Las morfologías cristalinas mostradas en las figuras anteriores, ilustran la propiedad de simetría que pueden presentar los cristales bajo la acción de rotaciones propias. Para aplicar las operaciones de simetría C2, C3, C4 y C6 que se ilustran en las figuras 4 a 7; es necesaria la presencia de un eje de rotación como elemento de simetría. En los extremos de los ejes, se usan los símbolos geométricos dados por , , y para representar las operaciones C 2, C3, C4 y C6 respectivamente. No hay un símbolo geométrico para la rotación C1. La mayor simetría puede apreciarse en la figura 7, mientras que la más baja simetría se presenta en la figura 4.

Rotaciones Impropias

Para representarlas, se utiliza el símbolo Sn, que significa “giro de 360°/n seguida de una reflexión a través de un plano de espejo perpendicular al eje de giro“ (el sentido del giro siempre es anti-horario). Si se adopta el símbolo σ para representar la reflexión del plano de espejo (convención general). Entonces la rotación impropia puede expresarse simbólicamente como:

Sn= Cn⏟giro de 360°/n

× σ⏟reflexión a través de un plano de # espejo perpendicular al eje de giro

Estas operaciones se llaman roto-reflexiones. Aquí, nuevamente, n es el orden de la rotación impropia. Por ejemplo para los siguientes valores de n, se tienen las roto-reflexiones:

n = 1 S1 = C1 σ = σ giro de 360° y reflexión ⊥ al eje → reflexión (figura 8)n = 2 S2 = C2 σ = i giro de 180° y reflexión ⊥ al eje → inversión (figuras 9 y 10)n = 3 S3 = C3 σ giro de 120° y reflexión ⊥ al eje (figura 11)n = 4 S4 = C4 σ giro de 90° y reflexión ⊥ al eje (figura 12)n = 6 S6 = C6 σ giro de 60° y reflexión ⊥ al eje (figura 13)

Figura 8. Roto-reflexión S1: reflexión especular (la notación para un plano de espejo es σ).

Figura 9. Roto-reflexión S2: operación combinada de reflexión y un giro de 180°, conocida como inversión, y preferente-mente representada con la letra i. Se puede advertir la presencia de la simetría de inversión en la morfología cristalina porque a cada cara le corresponde una cara paralela justo en el lado opuesto e invertida (ver la explicación de la figura 10).

Figura 10. Arriba: una lupa invirtiendo la palabra “inversión”, donde las letras en la imagen vista por la lupa, quedan de cabeza, y el sentido “izquierda-derecha” cambia por “derecha-izquierda” (es decir, lo que está arriba queda abajo, y lo que está a la derecha queda a la izquierda y vice-versa). Cuando las letras quedan del mismo tamaño después de la inversión con la lupa, entonces la operación coincide exactamente con la operación de simetría S2, que es reflejar y girar 180° como se ilustra en la figura 9. Por esa razón se usa preferiblemente el símbolo i, y la palabra inversión para esta operación de simetría, en lugar del símbolo S2, y el término roto-reflexión S2. Abajo: En las caras (o facetas) que se observan al examinar una morfología cristalina, las caras relacionadas por la simetría de inversión, son paralelas, en lados opuestos e invertidas, como el caso de la palabra “inversión” invertida por la lupa. La referencia geométrica para aplicar esta operación de simetría es un punto llamado centro de inversión (que es el elemento de simetría que le corresponde).

Figura 11. Roto-reflexión S3: operación combinada de reflexión y un giro de 120°. El efecto de un eje S3 se muestra simbólicamente en la figura donde el símbolo aparece rodeado de tres símbolos ± . El eje de giro es perpendi-cular al plano del papel. Si se empieza con un punto encima del plano del papel (marcado con “+”), una aplicación de S 3

genera un punto girado 120° y debajo del plano del papel (marcado con “―”). Las aplicaciones sucesivas de S 3 (S3

aplicado a cada punto nuevamente engendrado) dan un total de seis puntos (tres arriba marcados con “+”, y seis abajo marcados con “―”). A la extrema derecha se muestra una molécula que presenta la simetría S3.

Figura 12. Roto-reflexión S4: operación combinada de reflexión y un giro de 90° (nótese la forma de doble cuña ensamblada de la morfología cristalina que presenta la simetría S4). Derecha-arriba: aplicaciones sucesivas de la operación S4 (con eje de giro perpendicular al papel), dan lugar a un total de cuatro puntos (dos arriba marcados con “+”, y dos abajo marcados con “―”). Derecha-abajo: cople mecánico con simetría S 4 (pieza negra), y ensamble de dos objetos que también presenta la simetría S4.

Figura 13. Roto-reflexión S6: operación combinada de reflexión y un giro de 60°. Derecha-arriba: aplicaciones sucesivas de la operación S6 (con eje de giro perpendicular al papel), dan lugar a un total de seis puntos (tres arriba marcados con “+”, y tres abajo marcados con “―”). Derecha-abajo: ensamble de dos objetos que presenta la simetría S6.

Elementos de simetría

Para poder efectuar una operación de simetría sobre un objeto (una rotación propia o impropia), se debe especificar la figura geométrica necesaria para llevarla a cabo. Para las rotaciones propias Cn, la figura geométrica es una línea (el eje de giro). Para las rotaciones impropias, las figuras geométricas son: un plano (para S1 = reflexión σ); un punto (para S2 = inversión i); y tanto un eje

como un plano para las roto-reflexiones restantes (S3, S4 y S6). A estos puntos, ejes y planos se les denomina elementos de simetría. De este modo, cada operación de simetría queda correspondida con su elemento de simetría. En la tabla 1 se resumen las operaciones de simetría (rotaciones propias e impropias) con la especificación de su símbolo para notación, símbolo geométrico y su elemento de simetría.

Tabla 1: Operaciones de simetría (rotaciones propias e impropias)

Rotaciones propias Rotaciones impropias(roto-reflexiones)

Símbolo Operación desimetría

Símbolo geométrico

Elementos de simetría Símbolo Operación de

simetríaSímbolo

geométricoElementos de simetría

C1 giro de 360° σ (= S1) reflexión plano

C2giro de 180°(rotación binaria)

eje i (= S2) inversión ◦ punto

C3giro de 120°(rotación ternaria)

eje S3roto-reflexión ternaria eje y plano

C4giro de 90°(rotación cuaternaria)

eje S4roto-reflexión cuaternaria eje y plano

C6giro de 60°(rotación senaria)

eje S6roto-reflexión senaria eje y plano

3. Ejes Cristalográficos

Los ejes, planos y puntos necesarios para aplicar las operaciones de simetría, son el criterio para establecer la ubicación y dirección de los ejes de referencia {a, b, c} denominados ejes cristalográficos. Estos tres ejes se intersectan en un punto (el origen de coordenadas) y deben ser escogidos de tal modo que los tres ejes no se encuentren en un mismo plano.

Figura 14: Orientación de los ejes {a, b, c} de acuerdo con los ejes, planos y puntos de simetría presentes

En la figura 14 se puede advertir que cuando hay un eje de simetría que particularmente destaca al examinar un cristal (por ejemplo el caso de los ejes C3, C4, C6, S3, S4 y S6), por convención, se escoge la dirección del eje principal de simetría como eje c (figura 14b, c, d, h, i). Nótese que en estos casos, los otros dos ejes (el a y el b) son ambos perpendiculares al eje c y son perpendiculares muy frecuentemente a aristas o planos paralelos al eje c (figuras 14b, c, d). En otros casos, no hay caras ni aristas paralelas al eje c; en su lugar, puede haber un plano de simetría (figura 14g); o ejes de rotación C2 perpendiculares al eje c (figuras 14h, i). En esos casos específicos, también los ejes a y b se escogen perpendiculares al eje c. Por ejemplo; en la figura 14g, los ejes a y b están sobre un plano de simetría (un plano de espejo), pasando por vértices en el cristal (por donde pasa un eje C 2

y un plano de espejo perpendicular al ilustrado –que no se representa en la figura-). En las figuras 14h, i; los ejes a y b están en la dirección de dos ejes binarios C2. En un cristal con simetría cúbica, los ejes a, b, y c; se escogen perpendiculares a las caras del cubo.Cuando se tiene un cristal con solo un eje binario C2 o solo un plano de espejo σ; por lo general se escoge el eje b en la dirección del eje C2 (figura 14a), o perpendicular al plano de espejo (figura 14e).Si no hay ejes o planos de simetría y solo existe un centro de simetría (el centro de inversión), se escogen el centro de inversión como origen de coordenadas, y los ejes a, b y c perpendiculares a las caras presentes (preferentemente aquellas muy próximas a formar ángulos rectos entre sí) (figura 14f).

4. Sistemas Cristalinos

La presencia de ejes, planos y centros de simetría, imponen condiciones sobre los ejes {a, b, c} y los ángulos α, β, γ entre ellos. Estos efectos se pueden analizar con claridad considerando las caras cristalinas de un paralelepípedo (o celda) cuyas aristas son justamente {a, b, c} y con águlos entre aristas α, β, γ definidos como sigue (figura 15):

ángulo entre los ejesα b y cβ a y cγ a y b

Figura 15. Ejes cristalográficos Figura 16: Sistema monoclínico

Sistemas Triclínico y Monoclínico

En un paralelepípedo con aristas {a, b, c} y ángulos α, β, γ; el efecto de la presencia de un eje C2 o un plano de espejo σ, obliga a que las dos caras paralelas de color verde del paralelepípedo (figura 16),

estén exactamente una encima de la otra; eso ocurre cuando el eje b es perpendicular a los ejes a y c; por lo que α = γ = 90°. No hay un valor específico para el ángulo β. Por lo anterior, un cristal que posea como propiedades de simetría unicamente un eje C 2 o un plano de espejo σ, como se ilustra en la figura 16, pertenece al sistema cristalino monoclínico (de mono = uno, clinos = inclinación) por tener dos ángulos rectos y solo uno “inclinado”. Si las únicas operaciones de simetría que se pueden encontrar en el cristal son un eje C 1 (que siempre está presente) o un centro de inversión i, entonces el cristal pertenecerá al sistema cristalino triclínico (tres ejes “inclinados”).

Sistema Ortorrómbico

La combinación de dos ejes C2 mutuamente perpendiculares hace que los tres ángulos entre las aristas del paralelepípedo sean iguales a 90° (figura 17); este efecto también se puede obtener si se tienen dos planos de espejo mutuamente perpendiculares. (En la figura 17 solamente se ilustra un plano de espejo). Por tal motivo, los cristales que poseen estas propiedades de simetría (donde se tenga la combinación de dos ejes binarios mutuamente perpendiculares o dos planos de espejo mutuamente perpendiculares) pertenecen al sistema cristalino ortorrómbico.

Figura 17. Sistema ortorrómbico Figura 18. Sistema tetragonal Figura 19. Sistema trigonal

Sistema Tetragonal

La sola presencia de un eje C4 (o S4) causa que el ángulo entre a y b sea γ = 90° y que a = b. Como las dos caras paralelas coloreadas en verde de la figura 18 deben de estar exactamente una arriba de la otra con la presencia del eje C4, los otros dos ángulos deben ser α = β = 90°. Los cristales con estas propiedades de simetría pertenecen al sistema cristalino tetragonal.

Sistema Trigonal (Romboedral)

Este sistema cristalino se caracteriza por la presencia de un eje C3 (figura 19) que tiene el efecto de hacer que todos los valores de aristas y ángulos sean iguales (es decir: a = b = c; α = β = γ), ya que un giro de 120° mapea el eje a en el eje c; el eje c en el eje b; y el eje b en el eje a. Los ejes así descritos se denominan ejes romboedrales (van sobre las aristas de un romboedro).

El sistema de ejes romboedrales es de dificil uso, y generalmente se suele evadir utilizarlo. En su lugar, se prefiere disponer de un sistema de ejes hexagonales, como el que se representa en la figura 20. El eje c hexagonal está orientado en la dirección del eje de simetría C3 (figura 19).

Figura 20. Sistema trigonal Figura 21. Sistema hexagonal

Sistema Hexagonal

La presencia de un eje C6 (o S3) causa que el ángulo entre a y b sea 120° (γ = 120°) y que a = b. Como las dos caras paralelas iluminadas en verde en la figura 21 deben de estar exactamente una arriba de la otra después de hacer un giro con el eje C6, se encuentra que los otros dos ángulos α = β deben de ser 90°. Los cristales con estas propiedades de simetría pertenecen al sistema cristalino hexagonal. Una rotación S3 (impropia) también es característica del sistema hexagonal, porque (de acuerdo con la figura 11), este tipo de operación de simetría implica que el objeto que la posee tiene un eje C3 y un plano de espejo perpendicular al eje (figura 21 derecha, arriba). Eso obliga a que a y b formen 120° entre sí; que a = b; y que a y b tengan angulos rectos con el eje c (figura21).

Sistema Cúbico

La presencia simultánea de más de un eje C3 ocasiona que a = b = c y que α = β = γ = 90°. En total, aparecen cuatro ejes C3 en las cuatro diagonales principales de la celda cúbica. Los ejes a, b y c se escogen de tal manera que son perpendiculares a las caras del cubo representado en la figura 22.

Figura 22. Sistema cúbico

En la tabla 2, se describen la simetría característica y los parámetros de celda para cada sistema cristalino.

Tabla 2:

Sistema Cristalino Simetría característica Parámetros de la celda

triclínico Un eje C1 o un centro de inversión i

monoclínico Un eje C2 o un plano de espejo σ α = γ = 90°

ortorrómbico Dos ejes C2 o dos planos σ mutuamente perpendiculares

α = β = γ = 90°

tetragonal Un eje C4 o S4 a = b, α = β = γ = 90°

trigonal Un eje C3 o S6 { ejes romboedrales : a=b=c ,α=β=γejes hexagonales :a=b ,α=β=90 ° , γ=120°

hexagonal Un eje C6 o S3 a = b, α = β = 90°, γ = 120°

cúbico Cuatro ejes C3 a = b = c, α = β = γ = 90°

5. Simetría Puntual

En la figura 23a aparece un cristal que se coloca en el centro de una esfera. Si el cristal es perfectamente simétrico, su centro se podrá hacer coincidir con el centro de la esfera (figura 23b).

Figura 23

El cristal centrado en la esfera, dependiendo de sus características particulares, podrá poseer planos, ejes, o centros de simetría que al representarlos, siempre pasan por el centro de la esfera. Por ejemplo, sí hay un centro de simetría, este se encontraría en el centro de la esfera (figura 23c). Nótese como en el caso de planos y ejes, estos pasan por el centro de la esfera (figura 24).

Figura 24. Elementos de simetría: (a) y (b) planos de simetría (reflexiones a través de planos de espejo) que coinciden en pasar por el centro de la esfera. (c) ejes de simetría (en la figura se ponen como ejemplo un eje cuaternario y cuatro ejes binarios en diversas direcciones) que coinciden en pasar todos por el origen de coordenadas (el centro de la esfera). El centro de la esfera, bajo la acción de los planos o ejes de simetría representados, además del caso del centro de inversión ilustrado en la figura 23c; quedará exactamente en la misma posición conservando sus coordenadas geométricas. Formalmente se dice que el centro de la esfera es un punto invariante bajo la acción de las operaciones de simetría puntual que intersectan sus elementos de simetría en él.

Las operaciones de simetría con elementos de simetría que se intersectan en un punto común, se denominan operaciones de simetría puntual. La acción de una operación de simetría puntual sobre el origen (el centro de la esfera en las figuras 23 y 24) no tiene ningún efecto, y se mapea quedando exactamente en el mismo lugar (con sus mismas coordenadas geométricas).

6. Proyección Estereográfica

Como existe la necesidad de representar los elementos de simetría puntual (puntos, ejes y planos) en un plano de papel, y estos, en la realidad se encuentran en un espacio de tres dimensiones; se ha diseñado un tipo de proyección para representar los elementos de simetría tridimensionales, en un plano (bidimensional). Esta proyección se llama proyección estereográfica y se realiza de la siguiente manera.

Proyección de un punto

En la figura 25 se representa una esfera con su polo norte (N), polo sur (S), la línea ecuatorial, y un punto P que yace sobre la superficie de la esfera. La línea ecuatorial encierra la región del círculo de proyección (que se representa también a la derecha de la figura 25). Para la proyección del punto P, se traza una línea desde el punto P hasta conectar con el polo sur. La línea trazada intersecta al círculo de proyec-ción en el punto P’. El punto P’ es la proyección estereográfica del punto P en el círculo de proyección, que se conoce como estereograma (figura 25, derecha).

Figura 25. Proyección estereográfica de un punto P en P’.

Los puntos que se localizan en el hemisferio sur no pueden proyectarse en el círculo de proyección (figura 26a). En esa figura se puede verificar que el segmento QS trazado desde un punto Q (en el

hemisferio sur) hasta el polo sur, no intersecta al círculo de proyección. En estos casos, los puntos del hemisferio sur se proyectan uniendo el punto Q con el polo norte. La línea QN intersecta con el círculo de proyección en el punto Q’. Para distinguir en un estereo-grama si un punto está en el hemisferio norte o sur, se usa el símbolo “●” para puntos en el hemisferio norte, y “○” para los del hemisferio sur. El polo sur quedaría representado por el punto S’ obtenido al intersectar la línea SN en el centro del círculo de proyección (figura 26a). A su vez, para el polo norte, se traza la línea NS, resultando también la intersección en el punto N’ en el centro del círculo de proyección (figura 26b). Para representar tanto el polo sur como el norte en un mismo

Figura 26. Proyección estereográfica de diversos puntos Estereograma, se usa el símbolo “⨀”. Un punto U que en la esfera se encuentra en el ecuador (figura 25b), quedaría proyectado como el punto U’ ubicado en la circunferencia del círculo de proyección. En general, solo los puntos que se encuentren en la superficie de la esfera, se pueden proyectar en el estereograma a través del procedimiento expuesto. Sólo existe una excepción: cuando hay un centro de inversión (en el centro de la esfera), éste se representa en el centro del círculo de proyección.

Polos y caras de un cristal

En la figura 27 aparecen trazadas en negro, tres lineas perpendiculares a tres caras del cristal, que coinciden con la dirección de los ejes a, b, y c. Estas tres líneas se intersectan en la superficie de la esfera en los puntos PA, PB y PC sobre la esfera y se llaman polos (asociados a las caras).

Figura 27. Polos y caras de un cristal

En general, a toda cara del cristal le corresponde un polo, y este se puede encontrar prolongando una línea perpendicular a la cara que interesa, hasta llegar a la intersección con la superficie de la esfera en un punto (el polo de la cara). Entonces, PA es el polo que corresponde a la cara perpendi-cular al eje a; mientras que PB y PC son polos que corresponden a las caras perpendiculares a los ejes b y c respectivamente.

Proyección de un eje

Como los ejes siempre pasan por el centro de la esfera, para definir un eje, solo es necesario especificar un punto (o polo) sobre la superficie de la esfera. Por ejemplo, en la figura 28 (izquierda) hay un eje cuaternario que intersecta a la esfera en el polo norte y el polo sur, y pasa por el centro de la esfera; por lo tanto, para hacer su proyección, se pone un símbolo en las proyecciones de los polos en el círculo de proyección (uno en el polo norte y el otro en el sur). Como el eje cuaternario C4 “entra” por el polo sur y “sale” por el norte; y como el polo norte y sur están ambos encimados en la proyección, en el estereograma de la derecha de la figura 28, solo aparece un símbolo .

Figura 28. Proyección estereográfica de un eje cuaternario y cuatro ejes binarios. (El eje cuaternario está orientado en dirección del eje c; dos ejes binarios están orientados, uno en dirección del eje a y el otro en dirección del eje b; los otros dos ejes binarios restantes están orientados diagonalmente, uno siguiendo la bisectriz entre los ejes a y b; y el otro en la bisectriz entre el eje a, y la dirección negativa del eje b. Todos los ejes binarios yacen sobre el plano ecuatorial).

Como todos los ejes binarios están sobre el plano ecuatorial, “entran” y “salen” en puntos que forman parte de la línea ecuatorial. Por tanto, los símbolos de eje binario aparecen formando parte del perímetro del círculo de proyección (figura 28, derecha). Los ejes binarios se orientan en

el estereograma de acuerdo con el ángulo que hacen con el eje a (o b) que están también sobre el plano ecuatorial, en el círculo de proyección. En la figura 29 los ejes a y b forman un ángulo de 120° (sistema trigonal). El eje ternario está orientado en dirección del eje c, y los tres ejes binarios están sobre el plano ecuatorial, apareciendo por lo tanto, en el plano del estereograma.

Figura 29

Proyección de un plano

Todos los planos de simetría pasan por el centro de la esfera. Por lo tanto cortarán la esfera en dos mitades: como por ejemplo los hemisferios norte y sur. En tal caso, el corte intersectará la superficie de la esfera en la línea ecuatorial. La proyección estereográfica de la línea ecuatorial es todo el perímetro del círculo de proyección. Por lo tanto, la representación estereográfica de un plano de simetría “horizontal” será una circunferencia con línea gruesa a lo largo del perímetro del círculo de proyección (figura 30a derecha). La denominación de “horizontal” se refiere a un plano que es paralelo al horizonte de un observador, y que es perpendicular a la línea de altura que define el “arriba” y el “abajo”. En muchos cristales donde logra destacar muy claramente un eje de simetría, se suele escoger su dirección como el eje c; por lo que el eje c queda perpendicular al horizonte (y a un plano de simetría horizontal, si lo hay).

Figura 30. Proyección estereográfica de planos de simetría (planos horizontales y verticales)

En la figura 30b se muestran dos planos de simetría “verticales” σ v y σv’. Como ambos son perpendiculares al plano ecuatorial de la esfera, deben quedar perpendiculares al plano del círculo de proyección en el estereograma (figura 30b, derecha). En la proyección estereográfica, estos planos se verán como líneas rectas gruesas que unen dos puntos situados en la periferia del círculo de proyección, pasando por el centro del círculo de proyección. Los planos “verticales” son perpendiculares al horizonte, y siempre son paralelos al plano formado por dos ejes cristalográficos: en la figura 30b, el plano de reflexión σv está sobre el plano bc; mientras que el σv’ sobre el plano ac).

Figura 31. Proyección estereográfica de planos de simetría (planos diagonales)

Los planos de simetría especular conocidos como “diagonales” son paralelos a solo uno de los ejes cristalográficos. En la figura 31a, el plano σd es paralelo al eje c y corta al plano ab en la dirección de la bisectriz del ángulo entre los ejes a y b. Análogamente, en la figura 31b, se ilustra el plano σd’ (también paralelo al eje c), que corta el plano ab en la bisectriz del ángulo entre el eje a y el sentido negativo del eje b. Ambos planos pasan por el origen y son perpendiculares al plano del ecuador (u horizontal). Por lo tanto, sus proyecciones estereográficas se presentan a la derecha de la figura 31.

Proyecciones especiales de planos en el sistema cúbico

En la figura 32 se mues-tran diferentes orienta-ciones de planos en el sistema cúbico y sus correspondientes pro-yecciones estéreográ-ficas. En la figura 32a aparece un plano de simetría horizontal (σh) con su correspondiente

Figura 32

Figura 33. Proyección estereográfica de planos verticales (σv), y planos diagonales (σd), con diferentes orientaciones en el sistema cristalino cúbico. (La porción de los planos que intersectan el hemisferio sur se proyectan como línea punteada).

Proyección estereográfica. En las figuras 32b y 33a se ilustran planos de simetría especular verticales. Nótese que todos los espejos verticales son perpendiculares al plano horizontal (el plano ab). Los planos diagonales (σd) se ilustran con sus estereogramas en las figuras 33b-g. Hay planos diagonales cuya proyección se

muestra como una elipse: media elipse corresponde a la porción del hemisferio norte del plano, remarcado en negro, y la otra media elipse corresponde al hemisferio sur, en línea punteada gris (figuras 33d-g). En general, en el sistema cúbico, la presencia del plano horizontal, está acompañada de todos los planos especulares verticales (si está σh, entonces están todos los σv, como se ilustra en la figura 34a. En total se tiene un σh, y dos σv). Por otro lado, si está presente un plano diagonal (σd) entonces están todos los σd (que suman un total de 6); el estereograma con todos los espejos diagonales aparece en la figura 34b. En la figura 34c se muestra el estereograma con todos los planos de simetría que pueden haber en el sistema cúbico: el plano horizontal, los dos verticales y los seis diagonales.

Figura 34. Estereogramas de planos de simetría en el sistema cúbico. (a) Estereograma de los planos de simetría horizontal y verticales (en el sistema cúbico, siempre se presentan formando un conjunto de 3 planos especulares mutuamente perpendiculares). (b) Estereograma de los planos de simetría diagonal (en el sistema cúbico, siempre se presentan en grupo también, suman 6). (c) Estereograma de los planos de simetría horizontal, vertical y diagonal.

Proyecciones especiales de ejes en el sistema cúbico

Además de las direcciones de los ejes cristalográficos a, b, y c; en el sistema cúbico hay direcciones especiales que tienen mucha importancia para orientar ejes de simetría. Destacan las direcciones de las diagonales principales, y las direcciones paralelas a las diagonales de las caras del cubo. En la figura 35a, izquierda, aparece un eje C3 orientado en una de las diagonales principales, justamente en la línea donde se intersectan los planos σd y σd’ representados también en la misma figura. En el estereograma a la derecha de la figura 35a aparecen las proyecciones de los planos σ d y σd’ (dos elipses trazadas con línea punteada) que se intersectan en un punto ubicado en el lado positivo de los ejes a y b, donde se aparece el símbolo . Este punto está sobre la superficie de la esfera (es

Figura 35. (a) Planos diagonales que se intersectan en la diagonal principal del cubo, que definen la dirección de la diagonal principal, donde aparece orientado un eje de simetría C3 (la proyección estereográfica aparece a la derecha). (b) Cuatro ejes C3 en las diagonales principales del cubo y su proyección estereográfica.

un polo); por lo tanto el eje C3 pasa por ese polo y el centro de la esfera. En la figura 35b se muestran las cuatro diagonales principales que hay en un cubo, con ejes de simetría C3 en cada una de ellas. La proyección estereográfica de los cuatro ejes C3 orientados cada uno en las cuatro diagonales principales, se ilustra en la figura 35b.Las otras direcciones importantes son las que van paralelas a las direcciones diagonales de las caras. En la figura 36a se muestra una cara (en color amarillo) que es perpendicular al eje a. Puede verse claramente que el eje binario C2 que se ilustra allí, va en dirección paralela a la diagonal de la cara representada en amarillo. En la figura también se muestra el plano diagonal σd, sobre el cual yace el eje C2. A la derecha de la figura 36a se tiene la proyección estereográfica del eje C2. Otras direcciones diagonales se muestran en la figura 36b-d.

Figura 36. Ejes de simetría C2 paralelos a planos diagonales y su proyección estereográfica

En la figura 37 se presentan todos los ejes binarios en dirección de las diagonales a las caras (suman seis en total). El estereograma correspondiente aparece a la derecha de la figura.

Figura 37