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INSTITUTO CONSCIÊNCIA GO

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

PROJETO GRÁFICO E EDITORAÇÃO

Equipe ICG

DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP)

ADRIENE GOMES DOS SANTOS CRB1 2623

C694 Coletânea Didática do Curso Técnico de Administração (CTA)/ Instituto Consciência GO (ICG). 12 vol.

Fundamentos da Contabilidade.l V.06. Goiânia: ICG, 2014. 70 p.: il..

Inclui Referências.

Modo de Acesso: http://www.institutoconscienciago.com.br/index.php?ACESSA=_biblioteca

1.Comunicação Empresarial. 2. Administração. I. Instituto Consciência GO. II Título

Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia Telefone: (62) 3224-8931 / (62) 8538 3828

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ....................................................................................................... 3

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 5

1. Números Proporcionais ........................................................................................ 6

2. Operações sobre Mercadorias ............................................................................ 10

2.1 Preços de custo e venda: ............................................................................. 10

2.2 Lucros e Prejuízos: ....................................................................................... 11

3. Taxa de Juros ..................................................................................................... 15

3.1 Homogeneidade entre tempo e taxa: ........................................................... 15

4. Inflação ............................................................................................................... 18

5. Capitalização Simples......................................................................................... 20

5.1 Juros Simples: .............................................................................................. 20

5.2 Montante Simples: ........................................................................................ 22

5.3 Desconto Simples: ....................................................................................... 24

6. Capitalização Composta ..................................................................................... 27

6.1 - Juros Compostos: ...................................................................................... 28

6.2 Montante Composto: .................................................................................... 29

6.3 Desconto Composto: .................................................................................... 31

BIBLIOGRAFIA BÁSICA .............................................. Erro! Indicador não definido. QUESTÕES .............................................................................................................. 35

GABARITO ............................................................................................................ 45





3

APRESENTAÇÃO

O Curso Técnico em Transações Imobiliárias (TTI) do Instituto Consciência

GO (ICG) iniciou sua trajetória acadêmica em julho de 2013, após a construção de

um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino técnico

profissionalizante de qualidade que, combinado à seriedade na execução do projeto

político pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas

regionais.

Passados doze meses, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo,

fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos. Ressalta-

se que esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a

qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos

alunos, favorecendo o reconhecimento pelo Conselho Estadual de Educação de

Goiás (CEE GO) deste curso que ora iniciamos com você, Curso Técnico

Profissionalizante em Administração (CTA), a partir de setembro de 2014.

Assim, oferecemos a você, estudante, este Livro Didático, produto do

trabalho de uma equipe composta por profissionais do ICG. Julgamos de suma

importância você conhecer o processo de organização deste Livro Didático que foi

organizado seguindo algumas etapas relacionadas abaixo:

1ª: coletânea de diversos subsídios de conteúdos relevantes de vários

autores;

2ª: seleção e organização do material específico para atender o curso;

3ª: autorização do autor do respectivo material ;

4ª:apreciação realizada pelo professor docente do respectivo componente

curricular;

5ª: revisão final.





4

Destacamos ainda, que este material não é produção inédita do ICG eem

cada capítulo consta a sua referência.

Aos autores e autoras do material didático pedagógico coletado, os nossos

sinceros agradecimentos, com certeza, vocês têm a alma nobre e estão contribuindo

imensamente com a qualidade da educação em nosso país.

Aos profissionais do ICG, envolvidos na organização deste Livro Didático (vide

Ficha Técnica na contracapa), os nossos agradecimentos.

A você em especial, estudante, oferecemos este material que servirá de guia

e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o

contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso Técnico em

Administração (CTA).

O ICG acolhe a todos e todas com respeito.

Profª Ma Sandra Isabel Chaves

Diretora Geral

Equipe Organizadora da Coletânea Digital

Profª Ma Sandra Isabel Chaves – Direção Geral

Profª Ma Angela Maria Naves da Silva – Assessoria Técnico-Pedagógica

Adriene Gomes – Bibliotecária - ( CRB1 2623)

Joana Chaves Pozzer – Secretária dos Cursos Técnicos

Prof. Luciano Galdino de Melo Resende – Informática Aplicada à Educação

Profª- Geanne Cardoso – Matemática

Profª Cleide Coelho Martins – Língua Portuguesa

Dr. Fabrício Segato - Advogado





5

Maria Clara Ribeiro de Bragança – Estagiária do Curso Técnico em Redes de Computadores

INTRODUÇÃO

O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do

décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema

econômico, social e político.

Como importantes características do Capitalismo podem citar:

A combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo)

formatando a economia de mercado;

O surgimento das grandes empresas;

As relações de trocas monetárias;

A preocupação com os rendimentos;

E principalmente, o trabalho assalariado.

Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases,

sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo

Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior

volume do capital em circulação.

Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar:

1º. Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV);

2º. Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos

lucros (séculos XV ao XVIII);

3º. Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os

industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar

que esta terceira fase ainda acontece.





6

Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a

utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para fazer previsões

de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante,

descontos, dentre outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao

comércio e às finanças; Consequentemente, originando o seu ramo específico,

chamado Matemática Financeira.

A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado

econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam um

grande poder para a execução de serviços.

1. Números Proporcionais

• Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b,

nesta ordenação, como o quociente entre a e b.

Então, escrevemos: ba ou a : b.

Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o seu valor,

diferente de zero.

ba→ (a é o numerador e b é o denominador).

Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28.

Solução: ba =

2832 , então

2832 =

1416 =

78 .Essas três frações são Razões

b 28 28 14 7

RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 7 – 11.





7

Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três

frações, obteremos o mesmo resultado.

Resposta: ba =

78 .

• A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção.

Exemplo 1: 1416 =

78 , 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da

proporção.

Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual

ao produto dos extremos”.

Exemplo 2: As razões 3

12 e 4

16 são iguais, logo:

312 =

416 , então: 3 x 16 = 4 x 12.

48 = 48.

• Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da

análise do exemplo a seguir:

Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5.

Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850 será

dividido em três partes.

Solução: Vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas,

respectivamente, pelas letras X, Y e Z.





8

81*541

850=

++=X .

3404*541

850=

++=Y .

4255*541

850=

++=Z .

Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850,

provando assim, que a divisão em partes proporcionais está correta.

No cálculo de cada uma das letras (X, Y e Z), devemos sempre dividir o

número principal (neste caso o número 850), pelo somatório das partes

proporcionais (no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar

o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais.

• Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação:

Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos

números 2 e 4.

1º. Passo: Devem-se inverter os números, tornando-os 21 e

41 .

2º. Passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador

(denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois

dividir, o mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida

multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que,

estes cálculos estão acontecendo com as frações 21 e

41 . Como o valor do

mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão para 42 e

41 .

3º. Passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas os

numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui

teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais, pois o





9

número principal (neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório

das partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por

cada uma das partes.

• 1º parte: .8002*12

200.1=

+

• 2º parte: .4001*12

200.1=

+

4º. Passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200,

provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está

correta.

• Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no

trabalho com porcentagens (percentagens).

Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária.

Solução: Devemos dividir a taxa por 100.

.1445,0100

45,14%45,14 == 0,1445 é a forma unitária.

Exemplo 2: Colocar a fração 43 na forma percentual.

Solução: Devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental

das Proporções que estão citadas no início deste tópico.

10043 x=

100*3*4 =x





10

3004 =x

75=x , então %7510075

43

==

Exemplo 3: Calcular 27% de 270.

Solução: transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número

encontrado por 270.

.27,010027%27 == Assim: 0,27 x 270 = 72,9.

72,9 corresponde a 27% de 270.

2. Operações sobre Mercadorias

2.1 Preços de custo e venda:

Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados

às operações de compra e venda.

Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo,

sendo que os mesmos podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o

preço de venda da mercadoria em questão.

Fórmula básica: PRV = PRC + LC






11

Onde: PRV = Preço de Venda; PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda.

2.2 Lucros e Prejuízos:

O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo.

Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra.

Solução: PRC = 3.000

PRV = 3.850

PRV = PRC + LC

LC = PRV - PRC

LC = 3.850 – 3.000

LC = 850

Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.

Exemplo 2: Lucro sobre a venda.

Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda.

Solução: PRC = 550

PRV = 705

PRV = PRC + LC

LC = PRV – PRC

LC = 705 – 550

3.000 100%

850 X

3.000 * X = 100 * 850

X = 28,333%

705 100%

155 X

705 * X = 100 * 155

X = 21,986%





12

LC = 155

Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%.

Exemplo 3:

Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de

15% sobre o preço da venda, calcule o mesmo.

Solução:

%15%100430

→→

X

5,6415*430*100

==

XX

O lucro foi de R$ 64,50.

Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100%. Exemplo 4:

Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o

lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo.

Solução: PRV = PRC + LC

PRC = PRV – LC

PRC = 670 – 152

PRC = 518

Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. Exemplo 5:





13

Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um

prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Solução:

X→

→%100

050.1%142

.44,7391050*100*142

==

XX

O preço de venda é R$739,44.

Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá então a 142%.

Exemplo 6:

Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço

e venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de

R$445,00.

Solução:

X→→

%100445%115

96,386445*100*115

==

XX

O preço venda de é R$386,96.

Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá a 115%.

Exemplo 7: Utilização de índices.

Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de

venda foi de 4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo

foi de R$2.500,00.





14

Solução:

812500.2 PRV

=

67,16668*500.2*12

==

PRVPRV

O preço de venda é R$1.666,67.

A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, consequentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício.

Custo Prejuízo Venda

125000.2

4P

8PRV





15

3. Taxa de Juros

Quando pedimos emprestada certa quantia, a uma pessoa ou a uma

instituição financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos

foi emprestada, mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo

empréstimo”.

Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o

bônus que se paga por um capital emprestado.

O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo (ao ano, ao

mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja

taxa se chama Taxa de Juros.

3.1 Homogeneidade entre tempo e taxa: Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na

mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros

(representada pela letra i).

Considerações Importantes:

1º. - O mês comercial possui 30 dias;

- O ano comercial possui 360 dias;

- O ano civil possui 365 dias.

2º. Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim,

para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes,

transformá-la para a forma unitária.

Ex.: i = 25,8% →forma unitária →i = 0,258.






16

Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial,

equivale a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: ano comercial = 360 dias.

%05,0360

%18==i ao dia.

Resposta: 0,05% ao dia.

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao

mês?

Solução: i = 12% ao ano.

%112

%12==i ao mês.

Resposta: 1% ao mês.

Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial,

equivale a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: mês comercial = 30 dias.

%1,030%3

==i ao dia.

Resposta: 0,1% ao dia.

Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao





17

ano?

Solução: (4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano.

i = 54% ao ano.

Resposta: 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao

ano, levando-se em consideração o ano civil?

Solução: (0,03% ao dia) x 365 = 10,95% ao nao.

i = 10,95% ao ano.

Resposta: 10,95% ao ano.

3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais

utilizam o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato,

teremos a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil.

Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360

dias, pois o ano utilizado é o ano comercial.

Juro Exato .365 xnCxJ i=→

Juro Comercial .360 xnCxJ i=→

Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico

capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas

duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem

iguais.





18

4. Inflação

(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o

problema inflacionário).

De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e

cumulativo dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas

sim, o bloco econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços

acontece de forma contínua, prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado.

O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do

montante dos meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda

por moeda legal; mas associado ao aumento do montante, acontece também, um

aumento dos preços.

O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente

chamado de carestia.

O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes

econômicas.

Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar

gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o

pagamento de serviços de água, luz e esgoto.

Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e

eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de

beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos

produtos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família

pobre e um acréscimo no orçamento da família rica.

Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um

determinado peso nas contas mensais, sofre também um aumento.

Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida:

Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com

vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer.






19

Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento

de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos

gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento

do custo de vida no mês.

Solução:

Produtos

Gasto no

orçamento

Gasto no orçamento na forma unitária

Aumento dos produtos

Aumento dos produtos na

forma unitária

Alimentos 12% 0,12 3% 0,03 Vestuário 10% 0,10 5% 0,05 Plano de Saúde

8% 0,08 4% 0,04

Lazer 5% 0,05 2% 0,02

Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se

multiplicar o gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na

forma unitária.

Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036.

Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005.

Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032.

Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.

Produtos

Aumento do custo do produto na forma

unitária

Aumento do custo do produto na forma

percentual Alimentos 0,0036 0,36% Vestuário 0,005 0,50%

Plano de Saúde 0,0032 0,32% Lazer 0,001 0,10%





20

Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual

obtemos o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% +

0,10% = 1,28%.

Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de

1,28%, devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal.

5. Capitalização Simples

No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente

sobre o capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final

do período de tempo( n ).

5.1 Juros Simples:

Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i.

Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C

x i x n.

Fórmula Básica: J = C x i x n

Onde: J = juros simples. C = capital inicial ou principal. i = taxa de juros. n = tempo de aplicação ou prazo de tempo.

Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de

2% ao mês, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x nC = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2






21

i = 2% ao mês = 0,02 J = 353

n = 2 meses J = R$353,00

Obs.: i e n estão na mesma unidade de tempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9%

ao ano, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x n.

C = 550.

i = 9% ao ano %75,012%9

=→ ao mês = 0,0075.

n = 4 meses.

J = 550 x 0,0075 x 4.

J = 16,50.

J = R$16,50.

Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00,

sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6

meses.

Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, niJC.

=

J = 650.

i = 5% ao mês = 0,05. 6*05,0

650=C

n = 6 meses. .67,2166=C

.67,166.2$RC =

Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo

R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i.

Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia

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22

Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, nC

JI.

=

J = 105.

C = 425. 6*425

105=i

n = 6 meses 04117,0=i

i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma

percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês.

Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação estava em meses.

5.2 Montante Simples:

À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital

inicial ou principal dá-se o nome de montante simples.

Fórmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C

S = C x (i x n + 1)

Onde:

S = Montante Simples.

J = Juros Simples.

i = Taxa de Juros.

n = Período de Aplicação.

Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses,

à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante.

Solução:





23

S = J + C

C = 1550.

i = 24% ao ano %212

%24=→ ao mês = 0,02.

n = 8 meses.

J = C x i x n.

J = 1550 x 0,02 x 8.

J = 248.

S = J + C.

S = 248 + 1550.

S = 1798.

S = R$1.798,00.

Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00,

para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês.

Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1) S = 360.000.

CSni =+ )1*(

i = 16% ao mês = 0,16. 000.200000.360)1*( =+ni

.5.8,0*16,0

.8,0*.18,1*

.8,1)1*(

mesesnn

ninini

==

=−==+

A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar

em meses.





24

5.3 Desconto Simples:

Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos

um desconto (abatimento).

• Algumas considerações:

Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento.

Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou

seja, antes da data de vencimento.

D =VN – VA Onde D = Desconto.

•• Desconto Racional ou “Por Dentro”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao

período de tempo correspondente.

Fórmula: ni

VNni

DRVA.1.1 +

== Onde: DR = Desconto Racional;

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = taxa;

n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de

R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento.

Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia




25

Solução: ni

DRVA.1

= VA = 16.000

i = 2,6% ao mês = 0,026

n = 3 meses.

DR = VA x i x n

DR = 16.000 x 0,026 x 3

DR = 1.248

DR = R$1.248,00

Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto

racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses

para o vencimento.

Solução: ni

DRVA.1

= VA = 750.

i = 12% ao ano 1% %112

%12=→ ao mês =0,01.

DR = VA x i x n

DR = 750 x 0,01 x 5.

DR = 37,5

DR = R$37,5.

•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e

ao período de tempo correspondente.

Fórmula: 1..1

VNni

DBni

VA==

−

Onde:

DB = Desconto Bancário;





26

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = Taxa;


Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal

igual à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento.

(Considerar o ano comercial).

Solução: 1.

VNni

DB= %6,0

360%8.700,2 =→=VN ao dia = 0,0005.

I = 18% ao ano DB = VN x i x n

DB = 2700 x 0,0005 x 33

DB = 44,55

DB = R$44,55.

Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de

5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de

R$42.000,00.

Solução: 1.

VNni

DB= VN = 42.000

i = 5,8% ao mês = 0,058.

DB = VN x i x n

DB = 42.000 x 0,058 x 5

DB = 12.180

DB = R$12.180,00.

• Considerações finais dentro da capitalização simples:





27

-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de

n meses:

Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao

ano, aplicada durante 8 meses.

Solução: 1º. Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;

2º. Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses;

3º. Calcula-se o valor da taxa i no mês;

ex.: 12

%36 ao mês.

4º. Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses;

ex.: 3% x 8 = 24%.

5º. Resultado Final: 24%.

6. Capitalização Composta

Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre

uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim,

formarem um novo capital (1º montante).

Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração

(juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um

segundo montante.

(E assim por diante).

Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do

período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.






28

6.1 - Juros Compostos:

Fórmula: ( )[ ]11 −+= niCxj

Onde: j = Juros Compostos;

C = Capital Inicial;

(1+i) = Fator de Capitalização;

i = Taxa de Juros;


Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização

composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro

obtido?

Solução: C = 829,30. i = 2,4% ao mês = 0,024

n = 3 meses.

( )[ ]( )[ ]( )[ ][ ]

.15,61$15,61

1073742,130,8291024,130,829

1024,0130,829

11

3

3

Rjj

xjxj

xj

iCxj n

==

−=−=

−+=

−+=

Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56,

aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.

Solução: C = 777,56.





29

i = 6% ao ano %5,012%6

=→ ao

mês = 0,005.

n = 2 meses.

( )[ ]( )[ ]( )[ ][ ]

.80,7$80,71010025,156,777

1005,156,777

1005,0156,777

11

2

2

Rjjxjxj

xj

iCxj n

=→=−=−=

−+=

−+=

6.2 Montante Composto:

Fórmula: s = C x (1+i) Onde: s = Montante Composto;

C = Capital Principal;

(1+i) = Fator de Capitalização.

i = Taxa de Juros;


Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à

taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses.

Solução: C = 627,43.

i = 2% ao bimestre = 0,02.

n = 6 meses

Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o

período de capitalização é bimestral.

s = C x (1+i)

s = 627,43 x (1+0,02)

s = 627,43 x (1,02) Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia




30

s = 627,43 x (1,061202)

s = 665,83

s = R$665,83.

Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado

à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.

Solução: C = 15.600,70.

i = 7,2% ao mês = 0,072.

n = 4 meses.

s = C x (1+i)

s = 15.600,70 x (1+0,072)

s = 15.600,70 x (1,072)

s = 15.600,70 x (1,320623)

s = 20.602,64.

s = R$20.602,64.

Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à

taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses.

Solução: s = 7656,70.

i = 18% ao ano %5,112

%18=→ ao mês = 0,015.

n = 4 meses.

( )niCxS += 1

( )nisC+

=1

( )4015,0170,656.7

+=C

( )4015,170,656.7

=C





31

061363,170,656.7

=C

.03,214.7$03,214.7

RCC==

Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga

gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses.

Solução: C = 300.

s = 4.800

n = 2 meses

s = C x (1+i)

(1+i) = Cs

(1+i) 300800.42

(1+i) = 16.

(1+i) = 6

1+ i = 4

i = 4 – 1

i = 3

i = 3 representa a taxa na forma unitária;

Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;

Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de

tempo n está sendo usado em meses.

Resposta: i = 300% ao mês.

6.3 Desconto Composto:

No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale

ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual.

Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.

Fórmula: VN = VA x (1+ i) n D = VN - VA Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia




32

Onde: VN = Valor Nominal;

VA = Valor Atual;

D = Desconto Composto.

Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de

1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.

Solução: VN = 1.250,52.

i = 1,7% ao mês = 0,017.

n = 2 meses.

VN = VA x (1+ i)n

VA = ( )ni

VN+1

VA = ( )2017,01

52,250.1+

VA = ( )017,152,250.1

VA = 1.209,06.

D = VN – VA

D = 1.250,52 – 1.209,06

D = 41,46

D = R$41,46.

Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano,

3 meses antes do vencimento.

Solução: VN = 753,53.

i = 18% %5,112

%18=→ ao mês = 0,015.

n = 3 meses.





33

( )niVAVN += 1*

( )ni

VNVA=

=1

( )3015,01

53,753+

=VA

045678,1

53,753=VA

61,720=VA

.61,720$RVA =

• Considerações finais dentro da capitalização composta:

Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:

Fórmula: ( )iiDepxM

n 11 −+=

Onde: M = Montante;

Dep = Depósitos.

Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um,

efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito.

Solução: Dep = 230.

i = 2% ao mês = 0,02.

( )iiDepM

n 11* −+=

( )02,0

102,01*2304 −+

=M





34

( )02,0

102,1*2304 −

=M

( ) 102,0

082432,1*230 −=M

02,0082432,0*230=M

.96,947$96,947

1216,4*230

RMMM

===

Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta:

Fórmula: ( ) ( )1211 ma ii +=+ Onde: i = Taxa anual

composta;

i = Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%.

Solução:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )425760,11

03,11

03,011

11

12

12

=+=+

+=+

+=+

a

a

a

ma

ii

i

ii

i = 1,425760 - 1

i = 0,425760

Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%.





35

“Somos aquilo que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, mas um hábito.”

Aristóteles

Referências

RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003.





36

QUESTÕES

(Resolva todos os exercícios, retornando ao texto, sempre que julgar necessário).

1. Escreva a fração 1816 na forma percentual:

88,889%

86,800%

80,600%

90,889%

92,800%

2. A taxa de juros de 23,5% na forma unitária é:

235,0

0,023

023,5

02,35

0,235

3. Calcular o valor do somatório de: 42% de 350 com 16% de 102:

160,40

163,32

165,45

167,32

161,23

4. Dividir o número 540 em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6:

148, 180, 212.





37

180, 212, 148.

100, 200, 240.

144, 180, 216.

200, 216, 124.

5. Dividir o número 325 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3

e 4:

200, 100, 25.

50, 75, 200.

150, 100, 75.

300, 10, 15.

20, 85, 220.

6. Uma mesa de escritório foi comprada por R$ 275,00 e vendida por R$ 345,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra:

25,45%

25,75%

22,40%

23,45%

26,40%

7. Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00 e vendida por R$ 205,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda:

25,20%

26,75%

25,89%

26,50%

26,83%





38

8. Um monitor de computador foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o preço

de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de

R$ 327,00:

R$ 300,00

R$ 305,00

R$ 310,00

R$ 295,00

R$ 290,00

9. Em uma determinada operação imobiliária (compra e venda), a taxa de

prejuízo para o preço de venda foi de 2 para 6. Determine o preço de venda

sabendo-se que o preço de custo foi de R$ 705,00:

R$ 515,45

R$ 522,75

R$ 538,75

R$ 532,75

R$ 528,75

10. A taxa de juros de 24% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a

quantos % ao dia?

0,050% ao dia.

0,056% ao dia.

0,067% ao dia.

0,072% ao dia.

0,035% ao dia.

11. A taxa de juros de 18% ao ano, equivale a quantos % ao mês?





39

1,50% ao mês.

1,30% ao mês.

1,25% ao mês.

1,35% ao mês.

1,55% ao mês.

12. A taxa de juros de 3,75% ao mês, equivale a quantos % ao ano?

40% ao ano.

45% ao ano.

35% ao ano.

30% ao ano.

42% ao ano.

13. Calcule os juros simples para um capital de R$ 823,00, aplicado à taxa de

24% ao ano, durante um período de 6 meses:

R$ 101,00.

R$ 99,40.

R$ 98,76.

R$ 95,20.

R$ 97,40.

14. Calcule a taxa necessária para transformar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 no

prazo de 3 meses no regime de capitalização simples (juros simples):

22,22% ao mês.

22,23% ao ano.

2,22% ao ano.

2,22% ao mês.





40

88,22% ao mês.

15. Aplicando-se a juros simples a quantia de R$ 30.000,00 , durante 8 meses, à

taxa de 5% ao mês, qual será o montante obtido no final do período?

R$ 34.000,00

R$ 36.000,00

R$ 38.000,00

R$ 40.000,00

R$ 42.000,00

16. Calcule o montante de uma série de 3 depósitos de R$ 150,00 cada um,

efetuados no fim de cada mês, à taxa de 1% ao mês, após o terceiro

depósito:

R$ 450,47

R$ 454,51

R$ 460,51

R$ 458,87

R$ 465,00

17. Calcule o montante, da aplicação de um capital de R$ 35.000,00, durante um

período de 4 meses, a juros compostos de 7% ao mês:

R$ 50.887,86

R$ 48.787,90

R$ 46.560,86

R$ 45.877,86

R$ 42.900,86

18. No regime de capitalização simples, a taxa acumulada a 18% ao ano,

aplicada durante 4 meses é de:





41

7%

4%

6%

8%

10%

19. No regime de capitalização composta, determine a taxa anual equivalente à

taxa mensal de 1,5%:

19,56%

20,06%

22,07%

18,40%

18,56%

20. Um capital C foi aplicado em um sistema de capitalização que, pagou juros

compostos, à taxa de 10% ao mês. Após um bimestre, o montante era de R$

1.050,00. Calcule o valor do capital C:

R$ 850,50

R$ 855,46

R$ 867,76

R$ 870,40

R$ 872,76

21. Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se para R$ 2.790,00 , em 1 ano, no regime

de capitalização simples. Calcule a taxa de aplicação ao ano.

19,50% ao ano





42

19,74% ao ano

18,56% ao ano

13,74% ao ano

15,64% ao ano

22. Calcule o montante simples para um capital de R$11.111,00, aplicado por um

período de 72 dias, à taxa de 18% ao ano:

R$ 11.350,60

R$ 11.430,23

R$ 12.400,00

R$ 11.510,99

R$ 10.540,99

23. Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$ 490,00 quando foi paga um mês

antes do vencimento. Calcule a taxa de desconto comercial simples:

12,33% ao mês

11,55% ao mês

13,55% ao mês

12,40% ao mês

11,80% ao mês

24. Sabendo-se que a taxa semestral é de 3,24%, calcule o valor da taxa nominal

anual:

6,40% ao ano

6,48% ao ano

5,72% ao ano

6,58% ao ano

6,48% ao mês





43

25. Calcular os juros compostos de um capital de R$ 14.401,00, à taxa de 8,6%

ao ano, durante um período de 3 anos:

R$ 4.300,00

R$ 3.390,15

R$ 4.100,15

R$ 4.044,15

R$ 4.032,00

26. Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 7.702,00, a juros compostos

de 6,2% ao ano, em um período de 3 anos:

R$ 8.340,00

R$ 8.400,65

R$ 8.686,65

R$ 8.540,70

R$ 7.680,00

27. Calcule o valor do desconto composto para uma dívida de R$ 6.000,00 que

foi descontada 1 ano antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano:

R$ 640,00

R$ 690,61

R$ 794,61

R$ 760,60

R$ 782,61

28. Um produto obteve dois aumentos consecutivos de 5% e 9%. No regime de

capitalização composta, calcule o aumento final do produto:





44

12,45%

13,00%

13,45%

14,00%

14,45%

29. Calcule a taxa semestral proporcional a 47,42% ao ano:

4,74%

20,42%

25,00%

23,71%

23,00%

30. Calcule os juros simples para um capital de R$ 57,57, à taxa de 9% ao mês,

durante um período de 23 dias:

R$ 4,50

R$ 5,97

R$ 3,97

R$ 2,62

R$ 3,45





45

GABARITO

1. A 11. A 21. B 2. E 12. B 22. D 3. B 13. C 23. E 4. D 14. A 24. B 5. C 15. E 25. D 6. A 16. B 26. C 7. E 17. D 27. E 8. A 18. C 28. E 9. E 19. A 29. D

10. C 20. C 30. C





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