CS06RA646

INSTITUT ZA NUKLEARNE NAUKE„BORIS KIDRIČ"

1

EAZRADA ]£ETOIJA TE0KIJSKI2AITALIZE KUKLEAHNIE

( I I I PAZA)1-7

U o c

VINČA-BEOGRAD

IKSTITUT ZA NUELEAHNE-NAUKE "BORIS KIDRIČ"

Labora-fcorija za reaktorsku i neutronsku fiziku

Šifra Instituta: Ugovor sa SKKTE:

2,o5 oll-5ol/34

Fosilac ugovora:

Inž.J,Pop-Jordanov

oll-5ol/34

RAZRADA METODA TEORUSKEMALIZE NUKLEARKIHREAKTORA ( I I I PAZA)

I-VV- D e o

,IZ-196-o299-1963

VINČA - BEO&RAD

LABORATORIJA 09 UGOVOR 2 . o 5

ZALATAK 2 . o 5 e

POSTAVLJANJE MONTE CARLO METODE ZA RESAVANJE INTE

GRALNOG OBLIKA TRANSPORTNE JEDNAČINE

III faza

I-I

Nosilac zadatka ^°^ Nosilac ugovora

Ing. Mirko Lalović Ing. Jordan Pop Jordanov

Načelnik La"boratorije

Ing. Nenad Raišić

Z A D A T A K

Matematički prilaz postavljanju

met ode Monte Cario. Problem orga-

nizovanja uzorka

A B S T R A K T

Dat je matematicki prilaz Monte Carlo rnetodi u.

opšte, a po elementima koji dozvoljavaju konkretno rešava-

nje izvesnih problema. (Provera je izvršena na estimiranju

prostog integrala). Narocito je vodjeno računa o siatema-

tičnosti izlaganja materije što je mestimično zahtevalo

tretiranje i osnovnih pojmova, statistike i verovatnoće, a

sve to skupa zahteva postupak modeliranja stokastickog po-

cesa odnosno Monte Carlo metod.

U Y O D

Ideja J. von Neumana i Ulam-a da se statistički mo-

del može koristiti za rešavan.je bilo koga matematičkog ili fi-

zičkog problema iskorišćena'.j e za razvijarge takozvane Monte

Carlo metode, Odredjeni fizički problem odnosno matematički

tretira se stokastički, što znači da se traži odredjena igra

slučaja odnosno model te igre sa poznatim rezultatima. Iz tih

rezultata potom se odredjuje vrednost slucajno promenljive.

Uslov pri ovome je da odredjeni model igre da isti rezultat

kao i fizicki fenomen.

Grubo, Monte Carlo metoda predstavlja račun koji ko-

risti takozvano slučajno odabiranje uzoraka. Neka se posmatra

primera radi jedan slučajni eksperimenat. Odredjivanje slučaj-

nih uzoraka po zakonu verovatnode koje opisuje eksperiment, do-

bijamo jedan broj uzoraka iz kojih se moze doneti zakljuoak o

eksperimentu i oceniti vrednost parametara vezanih za prostor

.uzorakao Eksperimenat može predstavljati izvestan fizički pro-

blem. U svakom slučaju mora biti postavljen jedan apstraktni

verovatni model eksperimenta. Upotrebom sekvenca pseudo slu-

Sa.jnih bro.ieva, ttj . realnih brojeva izmedju o i l koji su pri-

bližno i uniforno i nezavisno rasporedjeni u tome intervalu,

uzorci se onda uzimaju prema tome modelu potom se analiziraju

i obradjuju tako dobijeni statistički podaci.

Sa današnjim razvojem digitalnih mašina Monte Carlo

metoda trebalo bi da ima sve veći značaj u odnosu na analiti-

cke ili semi analitičke metode. Monte Carlo metoda može biti

2.

vrlo dug račun čak i za današnje đigitalne mašine pošto je

potrebno često odabirati hiljade uzoraka da bi se redukova&a

statistička neodredjenost na neku vrednost unapred datu. No

i pored ovoga kada se uzme u obzir brzina današnjih digitalnih

mašina i metodi za redukciju varijance, se postižu dobri i

efikasni rezultati.

Iv'lonte Carlo metoda u reaktorskim računima može biti

vrlo korisno primeryena. U mnogira slučajevima razlika izmedju

transportnog i difuzionog tretmana ostaje nepoznata. Primenom

Monte Carlo metode zbog njene osobine da reprodukuje fizički

eksperimenat postižu se rezultati sa greškom koju unose samo

ulazni podaci. ^vde se pre svega misli na preseke. Suština

Monte Carlo meibode mogla bi se ovim dati: za datu jednačinu

treba naći stokastički proces koji daje takvu raspodelu ili

grupu parametara koja zadovoljava jednačinu. Drugim rečimaJ

naći igr.u sluLaja odnosno ry en model koji ee se koristiti za

odredjivanje izvesnog broja uzoraka nad kojlma će se kasnije

izvršiti odredjena statistika.

Medju prvim zadacima koji ovde treba da se reše na-

laze se način i metoda odabiranja slučajnih uzoraka. Sta

slucajni uzorak za nas predstavlja?. U matematičkom smislu

to je vrednost slucajno promenljive uzete iz date raspodele

gustina VErovatnoće, u fizičkom smislu slučajni uzorak je

vrednost slučajno promenljive velicine, a ova može biti bilo

koja dimenzija multifaznog prostora. Kod analize transporta

neutrona ove dimenzije su ^v, SL , E ) .

Za odabiranje slučajnih uzoraka potrebni su uniforno

raspodeljeni sluča.jni brojevi čija produkcija predstavlja pro-

blem za sebe i kao takvom mu je posvećeno sledeće poglavlje.

Produkcija uniforno raspodeljenih slueajnih. brojeva

U organizovanju svakog Monte Carlo procesa pocetni

posao pretstavlja dobijanje slučajnih uniforno raspodeljenlh

brojeva. Do clanas je poznato nekoliko metoda za generiranje

ovih brojeva. Korišćene su fizicke i aritimetičke metode.

i'izički modeli pojavili su se kao prvi i u njihovom korišće-

nju ispoljili rmoge nedostatke, te se danas vise ne koriste.

Jedna od mana ove metode je u tome da prilikom otkrivanja gre-

ške proces se nije mogao nastaviti kada se greška koriguje

već se morao ispočetka ponoviti. Što se tiče aritimetičkog

metođa poznata je cinjenica da ne postoje sčučajni brojevi

kao takvi već samo modeli za njihovu proizvodnju, Ovde će bi-

ti prikazana nekolika aritimetička modela za proiz^rodnju zni-

forno raspodeljenih brojeva.

Metoda 1 Kvadrira se četvorocifreni broj a pa se iz njegove

sredine izdvoji četvorocifreni br.oj an + 1

se a ., kvadrira i postupak ponovi.

Potom

Metoda 2 Mriože se dva Setvorocifrena broja (a_ . a ) iz pro-

izvoda se izđvoje četiri sređnje cifre koje daju

novi slucajni broj a,. Sada se obrazuje produkt

a2«a i postupak prethodno dat ponovi.

Metođa 3 Iz produkta petorocifrenog broga a' i osmocifrenog

broja a

n + j J izdvoji se jedan osmocifreni broj

a iz an

Primer:

Pošto

h1 jedan petocifreni broj a*

je

a

i .ag = 90765432, aj^76543. Pošto

a 2 = 3414624687944, a-40246879.

= 3080616859297, a^ = 06168592 itd,

4.

Metoda 4 ,, *~^ v/.

Pored ovih metoda danas se koriste i još nekoliko drugih no

u suštini primena bilo kojih od onih metoda obezbedjuje gene-

rir.anje uniforno rasporedjenih slučajnih brojeva. U vezi sa

dobijanjem ovih brojeva pojavljuje se problem njihove periode

kao i problem donje granice. Ovo drugo ilustrovaćemo odmah na

jednom primeru. ITeka je realizacija funkclje raspodele gusti-

ne verovatnoda dala ovu relaciju x =-Xlo gR. Ova relacija mo-

že predstavljati izraz za odredjivanje srednjeg slobodnog pu-

ta neutrona. Ukoliko je R uzeto iz opsega (2 <± Q <• rf ) po-

kazuje se da je odabrano x preko ove relacije ograničeno na

16 srednjih slobodnih puteva neutrona. Ovo ograničenje unosi

grešku od e što u izvesnim slučajevima može biti od uti-

caja na tacnost rezultata. Izbegavanje ove greške postiže sese

proširivanjem opsega iz koga uzimaju slucajni brojevi.

Realizaci.ia p.d.f. (funkcija raspodele gustine verovatnoća1'

Korak dal.je u postavljanju Monte Carlo procesa pred-

stavlja realizacija pojedinih p.d.f. Ovaj problem vezan je

za slučaj Monte Carlo metode i njegovom rešavanju može se pri-

61 sa vise strana. Mi ćemo ovde pokušati da ga prikažemo što

razumljivije. Ovaj problem svodi se na odabiranje slučajnih

uzoraka iz p.d.f. bilo kakvog oblika. Ako slučajni brojevi

uniforno rasporedjeni treba da sadovolje neku ne unifornu

raspodelu u intervalu o,l izvesni stokastički modeli su mo-

gući da se to lako i efikasno posiigne.

Neka jet = i1' (x) = f f (u) du, i neka je x = 0

(t) - transformacija inverzna^od F (x). K je uniforno raspo-

deljena slučajno promenljiva te važi ova relacija:

x = 0 (R) (1)

Ođredjivarge slučajno promenljive x iz relacije (1)

je moguće, mada je to cesto zameian posao. Postoji način da

se x odredi rnnogo efikasnije i sa daleko inanje računanja no

što daje relacija (1). J vo jednog primera koji ee to ilu-

strovati. Pretpostavimo da želimo do ID it i vrednosti slučajno

promenljive Q u intervalu (- 1,1) prema raspodeli:

Obični postupsck je da se nadje slučajni "broji iz uniforne

raspodele (R) i da se odredi & iz relacije:

je

Da, hi se ovo izbeglo niog ić je sledeci postupak; odaberu se

dva slucajna "broja iz uniforne raspodele XY. Postavi se uslov?,2 2. 2. ?

^ 1 ako je ispunjen odredguje se sin X / ( A 12.

+ i ^ 1 , ako. je ispunjen odredguje se sin

ako nije odabiraju se sledeća dva broja At. Kacunanje korena

u izrazu za sinjf koji u našem slucaju daje (9 , je zametan

posao te. se on izbegava tražeći Q iz raspodele sin (2^-

Iz raspodele za sin (2*/- ft/z) dobijamo da je ona ista kao iraspodela za sini^stim što prva daje relaci^u - c o s 2c/> =2 2 2 2

Navešćemo još jeđan primer za određjivanje slučajno

pronenljive iz raspodele e dx. JNormalni postupak je ovde

6.

da se prvo odredi slučajni brcg it iz uniforne raspodele a

potom x iz relacije x = -logR. Kao i u prethodnom primeru

odredjena je igra slučaja ili eksperiment kcgi 6e nam dati

x kao rezultat a da pri tome ne rešavarao gornju jednacinu.

Ovim se postupak za dotijanje vrednosti slucajno promenljive

znatno ubrza. Time smo mi učinili izvesnu ue'tedu u vremenu

rada masina, koja pri posmatrailju oelokupnog Monte Carlo pro-

cesa moze loiti znatna.

Postupak za odredjivanje x je sledeći: odaberimo dva

slucajna broja R-, i B. iz uniforne raspodele i ispitajmo da

li je ispunjen uslov R- R . iiko je uslov ispunjen stav-

ljamo x = R . Ako nije ispitujerao dalje lanac

Postoji broj n za koji je sa verovatnoćom 1 ispunjen uslov

•Rn< R^ -,. Ako je n neparno x je onda;

x = Rn •+- 01 + n

Uokaz gornjeg postupka

Neka E^ pretstavlja izvestan dogadjaj

Rl > *? ^ \

P (E ) = n" 1!v n

a verovatnoca da je

P (x<.H<.x + dx/ E ) = nx11"1 dx1 n

7.

Verovatnoća da simultano imamo ispurgene uslove za R i

je X ^ R ^ X + dx} E je ( x n~ / n-1! - xn/n!) đx.

Suma svih neparnih n daje e sleđi P (X-«R1<X + đx) = e đx.

Na ovim posebnim primerima pokazan je nacin za efi-

kasno odredjivanje slucajno promenljivili iz pojedinih p.d.f.

O.vaj program efikasnog odredjivanja slučajno promenljivih

ffioze se uopštiti pri čemu je potrebno uvesti jedan sasvim nov

način tretiranja raspodela. Naime ako je poznata vrednost

slucajno promenljive x i njena kumulativna raspodela verovatno-

ća l? (x) kao i slučajno promenljiva y i odgovarajuća G (5O

postavlja se pitanje da li je moguće odrediti p.d.f. jeđne

nove slučajno promenljive z (x,y) odnosno njenu kumulativnu

raspodelu Z ili H (z). Rešenje ovoga pro"blema u opštem slu-

čaju je vrlo teško i rai se zadovoljavamo samo izvesnim funkci-

,jama odnosno relacijama za koje možemo odrediti Z«

Ako je poznato X i 1 možemo tražiti Z da zadovolji

relaciju Z - X. + Y ili Z = X - Y» Sledeće relacije koje se

mogu postaviti izmedju Z i XY su ovoga oblika:

Z = X . Y

Z = X/Y

Z & X i Y

Z X i 1

Primera radi pokazaćemo na koji će se način moći

odrediti p.d.f. za Z odnosno h (Z) za slučaj da Z treba da

ispuni uslov iz relacije 2 ^ X i l ,

h (z) = f (z) (1 - G (z)) + g (z) (1 - F (z))

h (z) = f (z) + g (z) - f (z) • G (z) - g (z) F (z).

Verovatnoća i statistika u Monte Carlo metodi

Pojmovi koji su prethodili ovora poglavlju bill su

slueajni brojevi iz uniforne raspodele i odredjivanje slu-

čajno promenljive iz bilo kakve raspodele. Pre nego što pre-

djemo dalje na pojmove iz statistike i verovatnoće daćemo

opštu definiciju pojma slučajno promenljive. Ako svakom x

odgovara jedan y kažemo da je y definisano kao funkcija nad

realnim lorojevima x. Neka je S broj uspeha u m Bernilijevili

eksperimenata, onda je S funkcija definisana nad prostorom

uzoraka. Svakoj od 2 tačaka toga prostora uzoraka odgovara

jedan broj S .

.Funkcija definisana nad prostorom uzoraka zove se

slučagno promenljiva.

Drugim rečima to je numerička vrednost ili vredno-

sti vezane za igru slučaja i na takav način da za razne do-

gadjaje ili rezultate igre daje odredjenu vrednost. Slučajno

promenljiva funkcija definisana je sa kumulativnom funkcijom

raspodele (c.d.f.) F (x). F (x) daje verovatnoću da će X uze-

ti vrednost manju ili jednaku x. Ako je F (x) integral onda

X mora imati svoju gustinu verovatnoća datu preko f (x) (p.d.f)

Ako f (x) postoji svuda onda je F (x) kontinualno

i daje verovatnoću 0 daće slučajno promenljiva uzeti fiksnu

vrednost. Stoga se obično govori o intervalu u koji će X pasti

(x i x + dx). Ta verovatnoda data je sa I? (x. +Ax) - F (x) =

f (x) dx. Za odredjeni interval a, b verovatnoća je da 6e

x pasti u taj interval:

P ( a < x <srt>) = P (b) - i1 (a) = Jt (x) dx

Cesto se susrećemo sa vise slucajno promenljivih de-

finisanih za isti proces. U torn slucaju uvedeni su ovi poj-

movi:.

c.d.f. koje definiše verovatnoću da se dogodi sle-

dede (X s x, Y r<- y) jei? (x, y) pri čemu definišemo i funkci-

3u p.d.f. sa f (x,yj =

gde se f (x,y) naziva združena p.d.f. a f (x,y)^xA^ 0 e v e~

rovatnoća da se ispuni ovaj uslov, {%<: X$;x + dx, y<; Y^.y + dy)

Dalje je definisana F (x) =3? (x,*^), odavde sledi

definicija f (x)

f (x) =Jt (x,y) dy =

f ( x) se naziva marginarna p.d.f. za xf Na sličan način

definisane su i g (y) i G- (y) kao g (y) ='$'$ 0°^, y)/&7*

Uslovna verovatnoda odnosno p.d.f data je sa f (x/y) =

f (x,y)/ g (y). Slučajno promenljive su nezavisne medjusobom

onda kada važi relacija F (x,y) = !P (x).G (y).

a. Ocekivana vrednost

Slučajno promenljiva je uvek vezana sa ocekivanom

vrednošdu, Ako je f (x) p.d.f. (X) onda je ocekivana vre-

dnost X, obeležena sa X data sa:

X = /x.f (x).dx, nekada X obeležavamo sa E (x)

Ocekivana vrednost zbora slučajno promenljivih jednaka je

zbiru očekivanih vređnosti

Bfyc

10.

Očekivana vrednost je mera valjanosti odabranog eksperimenta,

Očekivanje se može definisati preko limesa kao Z = lim. l/R^^

gđe je x. uzeto iz f (x) dx.

Jedan specijalni tip očekivane vrednosti je od po-

sebnog značaja u statistici:

zove se momenat entog reda

Momenat drugoga reda nazvanim varijanca a kvadratni koren

varijance standardna devijacija.

Veličina '6 đefinisana je: 2 = ^ Ž-C?L-) i o n a s e u

_ „

graničnom slučaju približava.Z za ,N-**s>«»° i zove se procena Z.- 2 2

Ako postoji Z od Z (x) onda se.može izvršiti procena razlike

Z 6d)Z za B veliko. Varijanca je onđa:

Verovatnoća da za veliko M imamo dogadjaj;

5 ^<-

je asimtocki nezavisna od prirode Z (x)-i f (x) i zavise samo

od w,© i data je sa: %

Ovaj zadnji stav pretstavlja takozvanu Central limit teoremu

koja pored zakona velikih brojeva zauzima centralno mesto u

statistic!. Central limit • teorema izražava osoloinu da za veliki

broj uzoraka verovatnoća da procena leži u granicama (^^ f t 3~ )

11.

je data Gausovotn raspodelom odnosno pokazuje da je raspodela

velikog too3a uzoraka upravo normalna..

G-lavni razlog zašto je Monte Carlo me to da priorite-

tna u rešavanju vise dimenzionalnih integrala leži u činje-

nici da nijedan od zakona koji su ovde tretirani ne zavisi

od dimenzije integrala. Broj tacaka potrebnih za rešavanje

integrala zavisi samo od vrednosti standardne devijacije.

U Central limit teoremi koristimo vrednosti standardne

devijacije i ocekivanja koje su obično nepoznate i prethodno-

in treToa odrediti. Zbog toga mi prvobitno vrsimo prooenu va-

rijance i ocekivanja. Varijanca u ovom slucaju je procenjena

na ovaj "način:A

Z

Kao.opšte pravilo uzima se uvek procena umesto očeki-

vane vrednosti i sa njom se ulazi u izraze i računa. Ako je

procena varijance dala vrednosti koje ne "zadovoljavaju mora

se onda menjati tehnika odabiranja uzoraka ili povećavati

njihov broj. Kao što je već pokazano standardna devijacija

Z od Z meri se sa /fjj . -Ua bi ova bila što manja potrebno je

povećati N, broj uzoraka, ili smanjitiO , primenom specijal-

nih tehnika odabiranja uzoraka. Zavisno od problema može se

pokazati optimalni uslov izmedju smanjivanja 6" i povećava-

nja broj a. uzoraka.

Jedan mali račun može nam pokazati u kakvoj su vezi

ova dva posla smanjenje 5~ odnosno promena^J u funkciji pro-

12.

mene W. JNeka trud da ređukujemo £> buđe izražen sa L a

trud da redukujemo !N sa L . Onda je ukupan trud L =t

L . = ^ +

greška je data sa;

i l i IM =

(nt a d a imamo L = Ln + lu —1 2

2 r

IVaj5ešće član dL /dL možemo zaneraariti te dobijamo:

Hešavanjem jednačine po L dobijamo relaciju izmedju teli-

nike uzimanja usoraka i broja uzoraka. Sledeći korak odavde

bice analiza pcgedinih. tehnika odabiranja uzoraka uopšte,

a potom. primena jedne od rgih na konkretan primer sa stati-

st ikom koja će se potom izvesti na tako odabran prostor uzo-

raka.

• L I T E R A T U R A

1. Monte Carlo Method

E.D. Cashwell, Pergamon Press London 1959

2. Probability Theory and its Applications

W. Feller, John Willy & Sons inc. New York 1952

3. Monte Carlo Methods and their applications to žieutron

transport problem

V/APD - 195 July 1959

4. Monte Carlo. Method

NBSAMS-12, 1951

5. A Monte Carlo Philco-2ooo Program For the Calculation of

neutron capture probabilities

WAPD-TM-229 March 1961

6. Survey of Modern Algebra

G. Birkhoff Macmilan com. NeW Yurk 1954

7. Digital Computors and Nuclear reactor calculations

W. Sangren

8. H. Kahn

Aplication of Monte Carlo Method AECU 3259 (1954)

Symposium on Monte Carlo Methods

John willy Sons 1956

9. J. Spanier TUT-T°- A Two Dimensional Monte Carlo Method

for Capture Probabilities on IBM 7-o4 \MPD-TM-125

lo. J.M. Hammerley : Conditional Monte Carlo Method

J.A.Cita Vol.3 (1956)

Strana 2

11. G. Gertzel Quota Samping and Importance

Functions in Stochostie Solution of ^artiele

Problem/NDA memo (1949)

12. G. Gertzel and M.H. Kalos

Monte Carlo Methods in Transport Problems

Int. Review Series in Atomic Energy Seris I

Vol. 2 Perganon Press 1958

13« H.Cromer. Monte Carlo Code for Colenla fing peeonance

Escape Probabilities

WAPO - 'M - 96 . .

14. Wandel, Grups and Conditional Monte Carlo

AM all of Math. Stat. Vol. 23 (1957)