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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation IIVorlesung 5
SS 2000
Konstruktion der Voronoi-Diagramme I
Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5
2 2
Übersicht I
• Voronoi Regionen (Wdhg.)• Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.)• Konstruktion des Voronoi-Diagramms• Was ist das schwierigste Teilproblem?
– Split
– Rekursion I– Rekursion II
– Merge
• Teilschritte von „Divide and Conquer“• Split
• VD( P2 )
• VD( P1 )
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3 3
Übersicht II
• Merge• Konstruktion des trennenden Kantenzuges
• Konvexe Hülle von P1 und P2• Konstruktion der Nord- und Südspitzen
• Vereinigung• Löschen der überflüssigen Segmente
• Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P
• Datenstruktur für Voronoi-Diagramm• Kosten
• Länge des Kantenzuges im Worst Case• Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case
• O(n) * O(n) = O(n2) ?
• „Investitionen müssen sich amortisieren“
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4 4
Voronoi Regionen (Wdhg.)
beschränkte VoronoiRegionen
unbeschränkte VoronoiRegionen
Die konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi Regionen
Jede Voroni-Region ist konvex!
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5 5
Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.)
• Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis
• Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten• Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens
2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!)• Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die
konvexe Hülle• Der „duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte
miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation
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6 6
Konstruktion des Voronoi-Diagramms
„Divide and Conquer“
1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten
2. Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2
3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2)
4. Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2)
5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene
Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal
Die gewünschte Laufzeit O(n * log n) wird erreicht,
wenn „ Split“ and „ Merge“ nicht mehr als O(n) Schritte benötigen,
Was ist das schwierigste Teilproblem?
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7 7
P1
P2
Was ist das schwierigste Teilproblem? - Split
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8 8
Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion I
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9 9
Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion II
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10 10
Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge
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11 11
Teilschritte von „Divide and Conquer“
• Input: Sortiere aufsteigend nach x-Koordinate• Split:
– Bestimme den Median – Zerlege in annähernd gleich große Teilmengen links und
rechts des Medians
• Merge– Konstruktion des trennenden Kantenzuges – Abschneiden überflüssiger Kanten– Bildung der Voronoi-Regionen (wie bei Overlay-Algorithmus)– Einfachster Fall von Merge: die Teilmengen enthalten je einen
Punkt• der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte dieser
Punkte
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12 12
P1
P2
Split
P
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13 13
VD( P2 )
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14 14
VD( P1 )
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15 15
Merge
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16 16
Konstruktion des trennenden Kantenzuges
Was wissen wir über den trennenden Kantenzug?
• monoton in Nord-Süd-Richtung• jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen
einer roten und einer grünen Region• Problem: sukzessive Identifikation der
benachbarten roten und grünen Punkte• die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind
unbeschränkt, also Halbgeraden
• die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen
• sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle
• beginnen wir also mit den beiden (grünen und roten) „Nordspitzen“
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17 17
max y
min ymin y
max y
Konvexe Hülle von P1 und P2
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18 18
max y
min ymin y
max y
Konvexe Hülle von P1 und P2
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19 19
Konstruktion der Nord- und Südspitzen
• die konvexe Hülle ist Abfallprodukt der Erzeugung des Voronoi-Diagramms
• synchrone Herleitung beider Strukturen• die konvexe Hülle ergibt sich aus den Teilstrukturen durch
Einfügen zweier zusätzlicher Kanten• diese verbinden die roten und grünen Nord- und Südspitzen
miteinander• die neuen Spitzen ergeben sich aus den Minima/Maxima der
alten rot-grünen Spitzen• Datenstruktur wie bei Overlay
(doppelt verkettete Kanten)• zusätzlicher Aufwand: O(1)
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20 20
Vereinigung
Mittelsenkrechte bilden
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21 21
Vereinigung
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22 22
Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
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23 23
Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
Neues aktives VD
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24 24
Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
Neues aktives VD
Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD
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25 25
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
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26 26
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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27 27
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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28 28
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
Mittelsenkrechte deraktiven VD
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29 29
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
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30 30
Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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31 31
Vereinigung
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Neues aktives VD suchen
Mittelsenkrechte deraktiven VD
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32 32
Vereinigung
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33 33
Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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34 34
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35 35
Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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36 36
Vereinigung
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37 37
Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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38 38
Vereinigung
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39 39
Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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40 40
Vereinigung
Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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41 41
Vereinigung
Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang
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42 42
Vereinigung
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43 43
Löschen der überflüssigen Segmente
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44 44
Löschen der überflüssigen Segmente
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45 45
Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P
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46 46
Datenstruktur für Voronoi-Diagramm
• Doppelt verkettete Kantenliste• Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit• Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen
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47 47
Kosten
• wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?
• Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges• Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den
benachbarten Voronoi-Regionen
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48 48
O(n)
Länge des Kantenzuges im Worst Case
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49 49
Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case
O(n)
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50 50
O(n) * O(n) = O(n2) ?
Voronoi-Regionen sind konvex
Kantenzug ist monoton
war jetzt alles umsonst?
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51 51
O(n) * O(n) = O(n2) ?
Voronoi-Regionen sind konvex
Kantenzug ist monoton
Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!
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52 52
„Investitionen müssen sich amortisieren“
• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens
zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im
Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!