“FORMANDO PERSONAS DE BIEN UTILES A LA SOCIEDAD”

INSTITUCIÓN EDUCATIVA MAYOR DE MOSQUERA

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 3

TRIANGULO DE PASCAL - COCIENTES NOTABLES

TEOREMA DE TALES.

DIVISION SINTETICA O REGLA DE RUFFINI.

AREA(S MATEMÁTICAS

GRADO: OCTAVO CURSO 801,802,803,804

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS Y

MATEMÁTICAS APLICADAS

DOCENTE: GRACIELA VARGAS, GUSTAVO MOSQUERA, RUTH CONSUELO VARGAS

ESTUDIANTE: Tiempo: 19 de Julio al 6 de Agosto- 2021 FORMA DE ENTREGA PLATAFORMA INSTITUCIONAL CLASSROOM.

OBJETIVO

Determina y analiza las herramientas a emplear para resolver ejercicios aplicando el triángulo de Pascal Halla el área de un triángulo rectángulo aplicando el teorema de Tales. Resuelve problemas reales en los que se involucran los cocientes notables.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

. Puntualidad y responsabilidad en la entrega del taller.

. Procedimiento y respuesta correcta en la solución de ejercicios propuestos.

. Desarrollo de la totalidad de los ejercicios planteados en la guía.

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Lea la siguiente información. Luego, resuelva las divisiones aplicando las reglas mencionadas.

a – b

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4. 𝑋2−𝑌2

𝑋+𝑌 5.

𝑋2− 𝑌2

𝑋−𝑌 6.

1− 𝑚2

1+ 𝑚2 7.

9− 𝑥4

3−𝑥2

8. 𝑎3+ 𝑏3

𝑎+𝑏 9.

𝑚3− 𝑛3

𝑚−𝑛 10.

64𝑎3+ 𝑏3

4𝑎+𝑏 11.

27𝑥3− 𝑦3

3−𝑦

12. Luisa afirma que el cociente y el residuo de la división (𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 2)÷ (x+2), son respectivamente (𝑥2 − 5𝑥 + 6 y -10. ¿Luisa tiene razón? Realiza el ejercicio aplicando la regla de Ruffini 13. Resuelve aplicando la regla de Ruffini. (𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 + 2) ÷ (𝑥 + 1).

GEOMETRIA. Resuelva las siguientes situaciones aplicando el Teorema de Tales de Mileto. Recuerde que las operaciones correspondientes deben aparecer en la actividad. No se aceptan solo resultados. 14. Un poste vertical de 3 metros, proyecta una sombra de 1,5 m. ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4 m.?

Lea la siguiente información. Luego, resuelva las divisiones aplicando las reglas mencionadas.

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15. Usa el Teorema de Tales para calcular X.

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BIBLIOGRAFIA TRIANGULO DE PASCAL https://www.youtube.com/watch?v=9ri5dwV2K6E&t=8s COCIENTES NOTABLES https://www.youtube.com/watch?v=9ri5dwV2K6E&t=8s TEOREMA DE TALES https://www.youtube.com/watch?v=9ri5dwV2K6E&t=8s

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Ejemplo 1:

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, ¿cuánto medirá su hipotenusa?

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝒄𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐

𝒄𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔

𝒄𝟐 = 𝟐𝟓

𝒄𝟐 = √𝟐𝟓 = 𝟓

Respuesta: La hipotenusa mide 5 cm

Ejemplo 2:

Hallar el valor del cateto

𝒙𝟐 + 𝟖𝟐 = 𝟏𝟎𝟐

𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒

𝒙𝟐 = √𝟑𝟔 = 𝟔

Respuesta: El cateto mide 6cm

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ACTIVIDAD Resuelve utilizando el teorema de Pitágoras.

1° Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la perspectiva hacia al extremo superior

del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?

2° Una letra“N” se ha construido con tres listones de madera. Los listones verticales son de 20cm y están

separados 15cm. ¿Cuánto mide el listón diagonal?

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOS.

Una muy buena manera de organizar datos, es mediante una tabla de frecuencia, que

además de presentarlos en forma organizada, sirve también para analizar y

comprender su distribución, con el fin de descubrir propiedades de interés en el estudio

del fenómeno.

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Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos.

Lo primero que debemos determinar para nuestra tabla de frecuencia, es el número de intervalos, los cuales

perfectamente pueden ser determinados en forma empírica entre 5 y 15, proporcional al número de datos. Cuando

no se tiene seguridad en el tema, una buena solución es utilizar la siguiente fórmula:

K = √𝑛

donde n es el número de datos y k el número de intervalos.

Rango: También se llama recorrido o amplitud total. Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

𝑅 = 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Tamaño del intervalo: se obtiene mediante la siguiente fórmula:

𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠

Con estos resultados, realizaremos una tabla donde sus columnas serán:

1. Intervalos: Donde estarán los límites inferiores y superiores de cada intervalo. 2. Marca de clase (mi): Que es el punto medio de cada intervalo. 3. Frecuencia absoluta (fi): Que es el número de veces que aparece un determinado valor en el

intervalo. 4. Frecuencia acumulada (Fi): Que es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores

inferiores o iguales al valor considerado.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al peso en kilogramos de 50 personas. Expresar estos datos en una tabla de frecuencia.

Solución: hallar el número de intervalos, sabiendo que n = 50,

entonces aplicamos la fórmula

k = √𝑛 donde: k=√50= 7.07≅ 7

Tomaremos k = 7, pues siempre debemos aproximar al primer entero mayor, es decir tendremos 7 intervalos.

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Ahora hallamos el tamaño del intervalo.

𝑡. 𝑖. = 84 − 51

7

= 4.7 ≈ 5

Intervalos: [50-55); [55-60); [60-65); [65-70); [70-75); [75-80); [80-85)

Luego halamos Mi de cada intervalo: hallando la media entre los extremos del intervalo.

50+55 = 52.5 aproximamos = 53

2

De esta manera ya podemos empezar a organizar los datos en una tabla de frecuencias

INTERVAL O

Mi

fi

[51-55] 53 3

[56-60] 58 10

[61-65] 63 3

[66-70] 68 10

[71-75] 73 12

[76-80] 78 10

[81-85] 83 2

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son una manera de interpretar los datos de una muestra y de una población.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que no son sólo valores, sino que tienen una interpretación específica.

Es importante analizar si las medidas de tendencia representan de manera adecuada la población; para esto es

de mucha utilidad elaborar un diagrama de puntos y ver qué tan alejados están los diferentes datos de estas

medidas.

Para calcular la media o promedio en un conjunto de datos no

agrupados se utiliza la siguiente expresión:

Para calcular la media en un conjunto de datos agrupados se utiliza la

siguiente expresión.

Donde fi es la frecuencia de cada dato y Mi es la marca de clase del intervalo de la frecuencia fi.

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Continuando con el ejemplo anterior, podemos agregar una columna más a la tabla de frecuencias (Mi.fi) que

nos permita hallar el promedio.

INTERVAL

O

Mi

fi

Fi

Mi.fi

[51-55] 53 3 3 159

[56-60] 58 10 13 580

[61-65] 63 3 16(Fi-1) 189

[66-70] 68 10 26 (fi) 680

[71-75] 73 12 38 876

[76-80] 78 10 48 780

[81-85] 83 3 50 166

∑ 50 3430

Promedio: 𝑥 = 3430

= 68,6 50

Una vez los datos están organizados se escoge el valor así: ● Si el número de datos es impar, se toma el valor que esté situado en la mitad. ● Si el número de datos es par, se promedian los valores de la mitad.

Mediana para datos agrupados:

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +

𝑛

2−𝐹𝑖−1

𝑓𝑖

Para nuestro ejemplo debemos identificar en que intervalo está la mediana. Para esto calculamos:

𝑛 50 =

2 2

= 25

De la tabla de frecuencia, en la columna de frecuencia acumulada buscamos el valor de 25 o el valor mayor más

cercano a 25. Entonces, se tiene que es 26 (marcado para nuestro ejemplo en la tabla anterior con el color verde).

Lo que significa que la posición de la mediana se encuentra en esa casilla. Es decir, los datos para obtener

la mediana los sacamos así: Li= límite inferior=66.

N= número de datos=50

La mediana es el dato que divide el

conjunto de datos en dos partes

porcentualmente iguales.

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𝑀𝑒 = 66 + 25 − 16

10 ⋅ 5

Fi-1=dato anterior a la posición ( marcado en nuestro ejemplo con color naranja)=16

Fi=20.

Entonces:

Li = 66, Fi−1 = 16, fi= 10

Mediana

𝑀𝑒 = 66 +

9 ⋅ 5 𝑀𝑒 = 66 + 4.5 = 69.5

10

La moda de un conjunto de datos corresponde al dato que más se repite.

Moda para datos agrupados:

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +

Donde d1 = fi − fi−1; d2 = fi − fi+1

𝑑1

𝑑1 + 𝑑2

En este caso los valores se tomarán del intervalo donde la frecuencia sea mayor.

12 − 10 𝑀𝑜 = 71 +

(12 − 10) + (12 − 10) 5 =

𝑀0 = 71 +

2

2+2

⋅ 5 = 73

VIDEO TABLA DE FRECUENCIA:

https://www.youtube.com/watch?v=CuKr7GzohbI&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

VIDEOMEDIDASDETENDENCIACENTRAL:

https://www.youtube.com/watch?v=oH3hTV53TdU&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

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ACTIVIDAD

3° El profesor de matemáticas de grado Octavo de un colegio de Quibdó

realizó una encuesta entre sus estudiantes para saber cuántos minutos al día

permanecían en redes sociales. Los resultados en minutos para los 39

estudiantes se muestran a continuación:

18 10 15 24 30 28 25 30 35 55 60 45 45

30 15 20 24 28 27 40 36 20 32 50 45 48

15 24 25 29 33 35 48 45 60 15 25 28 20

De acuerdo con la situación anterior hallar:

1. Rango, número de intervalos y tamaño del intervalo.

2. Hallar la (Mi) marca de clase de cada intervalo.

3. Organizar la información en una tabla de frecuencias.

4. Hallar las medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda.

5. Representa la información en el gráfico que más se ajuste.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Adición de polinomios La adición de dos o más polinomios es el polinomio formado por la suma de los términos semejantes. Ejemplo:

Sume 5x²y³ – 7xy² + 3x – 1 y 6 – 2x + 4xy² + 3x²y³

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Sustracción de polinomios:

VIDEO: https://www.youtube.com/watch?v=Yng9FbUK2M

ACTIVIDAD

4° Escriba los términos que faltan en cada cuadrado para que el total sea el polinomio dado.

5° Adicione los polinomios utilice la forma vertical y horizontal.

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6° Efectúe las sustracciones teniendo en cuenta los elementos de la tabla. Observe el ejemplo.

.

7° Efectúe las sustracciones. Tenga en cuenta cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo.

8° Responda las preguntas a,b y c de acuerdo con la siguiente información.

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EPITAFIO

En la tumba de Diofanto, famoso algebrista griego, había un epitafio escrito en forma de problema que daba

detalles de su vida.

¡Caminante! En esta tumba yacen los restos de Diofanto, al terminar de leer este texto podrás saber la duración

de su vida.

Su infancia ocupó la sexta parte de su vida. Después transcurrió una doceava parte de su vida hasta que su

mejilla se cubrió de vello. A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio.

Pasó un quinquenio y le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito.

Su hijo murió al alcanzar la mitad de los años que su padre llegó a vivir. Tras cuatro años de profunda pena por

la muerte de su hijo, Diofanto murió.

a. Si x representa la edad en la que murió Diofanto, la ecuación que permite determinar x es:

A. 𝑥 = 𝑥

+ 𝑥

+ 𝑥

6 12 7 + 5 +

𝑥 + 4

2

B. 𝑥 = 𝑥

+ 𝑥

+

5 13

𝑥 + 5 + 𝑥

+ 4 .6 3

C. 𝑥 = 𝑥

+ 𝑥

+

6 12

2𝑥

7 + 5 +

𝑥 + 4

2

b. Diofanto murió a la edad de:

A. 80 años

B. 84 años

C. 21 años

D. 86 años

c. De acuerdo con el acertijo de Diofanto, su barba le apareció a los:

A. 20 años

B. 19 años

C. 21 años

D. 18 años

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