Insiemi di livelloe vettori

titolo

A Bf

b

f -1(b) controimmagine di b mediante f

f (b) -1

Controimmagine

A ALTITUDINE

h

1000

h (1000) è la curva formata dai punti

con altitudine 1000 m. ( linea di livello )

- 1

Linee di livello

A Bf

b

f -1(b) controimmagine di b mediante f

f (b) -1

( insieme di livello )

insieme delle soluzioni dell’equazione

f(x) = b

Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto

Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto

I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :

I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :f è biettiva se e solo se :

b B , l’equazione :

f (x) = bha una e una sola soluzione:

f (b)1x =

Importante per i calcoli

f : RR RR , definita da:f(x) = 2x + 3

è biettiva.

Infatti, per ogni numero reale b , l’equazione:

2x + 3 = bha l’unica soluzione:

Esempio :

xb

3

2f b 1( )

Esempio di funzione biettiva

Controesempio :

f(x) = x 12

non è biettiva. Infatti, l’equazione: x 1 = 32

ha due soluzioni: 2 e 2

f : RR RR , definita da:

Inoltre, l’equazione: x 1 = 22

non ha soluzioni in R , perché non esiste alcun numero reale x tale che:

x = 12

Controesempio

1xy 2 3

2,2)3(f 1

PRESSIONEBAROMETRICA

p

A

x

1032

p(x) = 1032

p-1(1032) è la curva formata dai punti

in cui la pressione vale 1032 ( isobara )

isobare

Xo

h

Xo+ h

kk

Xo+ k

x

y

fRR22 RR

Xo

hXo+ h

h1

h2

(2 , 3) spostamento

A2

3

B

componenti

segm

ento

orie

ntat

oA

BC

2

3

D

segm

ento

orie

ntat

oCD

AB || CD AB = CD

segmenti orientati equipollenti

Segmenti orientati

(2 , 3)

segmenti orientati equipollenti vettore

vv

Concetto di vettore

(2 , 3)

v

A

B

v = AB

A = (x , y ) B = (x+2 , y+3 )

B = (x , y ) + ( 2 , 3 )

B = A + v v = B A

(2 , 3)

v w(4 , 1)

A

B

Cv+w

2 4

3

1

(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)

Somma di vettori

(2 , 3)

v w(4 , 1)

A

B

Cv+w

(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)

v w

AB

C

v+w

v w

AB

C

v+w

v v

AB

0

A

v

2v

3v2v

RR

C

v

vv11

vv22 v1

v2

(v1,v2) = (v1 , v2)

A

v

Bscalare

Moltiplicazione per uno scalare

RRnn addizione:

(1

u u un

, ,..., )2

( , ,..., )v v vn1 2+( , , ... , )u v u v u v

n n1 1 2 2

moltiplicazione per uno scalare:

(1

u u un

, ,..., )2

(1

u u un

, ,..., )2

(1

u u un

, ,..., )2

Operazioni in Rn

AB

rv

x

y

z

X

RR33

tv

t R X = A + tv

x a t v

y a t v

z a t v

1 1

2 2

3 3

equazioni parametriche f( t ) = ( a1+ tv1 , a2+ tv2 , a3+ tv3 ) f( t ) = ( a1+ tv1 , a2+ tv2 , a3+ tv3 )

f : R R3 f : R R3

Rette in R3

Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46 Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46

RR33

x

y

z

A

B

Cu

v

X

uv

u + v

X = A + u + v

333

222

111

vuaz

vuay

vuax

equazioni parametriche f() = ( a1+u1+v1 , a2+u2+v2 , a3+u3+v3) f() = ( a1+u1+v1 , a2+u2+v2 , a3+u3+v3)

f : R2 R3 f : R2 R3

Piani in R3

Esercizio 5.11 a pag. 49Esercizio 5.11 a pag. 49

Un’equazione lineare in n variabili è del tipo:

bxaxaxa nn2211

retta in R2n = 2

n = 3 piano in R3

sottoinsieme didimensione n1 IPERPIANO

A

B

v1

v2v

v |

MODULO di v :

v ||

22

21 vv

d(A,B) := |AB|

222

211 )b(a)b(a

DISTANZA tra A e B :

RR22

)a,a( 21

)b,(b 21

Modulo e distanza nel piano

distanza tra due punti:

A :(a , a ,..., a )1 2 n

B :(b ,b ,...,b )1 2 n

d(A,B) := |AB|(a b ) . . . (a b )n n1 12 2

RRnn

Modulo e distanza in Rn

)xx(x n21 ,...,,X

media aritmetica :

n

xxxx n21

...

n

x

x

n

1ii

)xxx( ,...,,X

XX: u vettore degli scarti

xxu ii : scarto i-esimo

2n

22

21 u...uu|| u 2

n2

22

1 )xx(...)xx()xx(

Media e scarti

n

)xx(...)xx()xx(:s

2n

22

21

x

Deviazione Standard

n

|| u

2n

22

21 u...uu|| u 2

n2

22

1 )xx(...)xx()xx(

(o scarto quadratico medio)

Varianza:

Var(x) := sx2

n

)xx(...)xx()xx( 2n

22

21

varianza

u1 + u2 + ... + un = 0

u := (u1, u2, ... , un) 

nn1 1 gradi di libertàgradi di libertàIPERPIANO

1n

u:sx 1n

)xx(n

1i

2i

Deviazione Standard CampionariaDeviazione Standard Campionaria

2xs Varianza Campionaria

Varianza campionaria

Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57

RRnn

)u,...,u,u(: n21u)v,...,v,v(: n21v

nn2211 vu...vuvu:, vuPRODOTTO SCALARE

xRRnn RRu v vu ,

vu DOT PRODUCT

Prodotto scalare

Pagina 134 2211 vuvu sinsincoscos vuvu

)sinsincos(cosvu

)cos(vu

vu

vu

,cos

vu

vu

,:cos

cosvu

vu ,

Figura 5.1

cos, vuvu

u

v

|| v || cos

cos, vuvu vu

Proiezione di un vettore

v

|| v || cos

cos, vuvu vu

1 || || u vuv cos||||

versore

u

v

11 vev

e1

e2

v1

v2

22 vev

y1

y2

Versori degli assi

Coefficiente di correlazione lineare

X = (x1, x2, … , xn) Y = (y1, y2, … , yn)

xxu ii yyv ii

u = (u1, u2, … , un) v = (v1, v2, … , vn)

Misure su un campione

vu

vu

,:cosr

xy

Coefficiente di correlazione lineare tra x e y

y mx q y mx qi i

yy

ni

(m x )i qn

m xn

nqn

im

xn qi

mx q)xx(myy )xx(myy ii uv mii umv

Coefficiente di correlazione

v um m > 0

uv

= cos cos :,

u vu v

rxy

Correlazione positiva

cos :,

u vu v

rxy

m < 0uv

= cos

v um

Correlazione negativa

cos :,

u vu v

rxy =

uv

Correlazione nulla

rx y

x y yxy

i

(x )(y )

(xi i

i ) ( )2 2

rCov x y

s sxyx y

( , ) COVARIANZA

n

)yy(

n

)xx(n

)yy)(xx(

r2

i2

i

ii

xy

cos :,

u vu v

rxy

Covarianza

Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144