Innotesting2019, Workshop Vibration Betrachtungen zu Resonanz… · 2019. 2. 27. · Resonanz des...

Betrachtungen zu Resonanz, Dämpfung, Vergrößerungs- und Gütefaktor in Berechnung und Messung

Innotesting 2019, Workshop Vibration

Dr.-Ing. Werner Kuitzsch, Spectral Dynamics GmbH

2 | Resonanz | © Kuitzsch

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Ein-Freiheitsgrad-System (SDOF), Beschreibungsgrößen

Übertragungsfunktion, komplex, Betrag, Phase

Unterschiedliche Definitionen der Resonanz

Systemkenntnisse aus Vergrößerungsfaktor und Gütefaktor

Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Dämpfung

Halbwertsbreite und Güte, Berechnung

Vergleich von Verstärkungsfaktor und Gütefaktor,

Systemdämpfung und Dämpfung aus Gütefaktor

Messung von Halbwertsbreite und Güte

Vergleich von Verstärkungsfaktor und Gütefaktor bei Geschwindigkeitsbezug

INHALT


Dämpfungsbereiche D Systemantwort

keine unendlich

gering scharfes MaximumAmplitudenresonanz

schwach schwaches Maximum Amplitudenresonanz

stark kein Maximum, Phasenresonanz

kritisch Kriechfall

Ein-Freiheitsgrad-System (SDOF), Beschreibungsgrößen

Freie Schwingung: F(t), aErr(t) = 0

Eigenfrequenz, gedämpft 2Dω ω 1 D

Erzwungene Schwingung: F(t), aErr(t) ≠ 0

Erregeramplitude: 0 0 0F m a , a

f, Ω 2πfErregerfrequenz, -kreisfrequenz:

m y c y k y F t Bewegungsgleichung:

2 Erry 2 ω D y ω y a t

1 2 0,5000

1 2 0,7071

1 2 0,7071

0

1

ErrF(t) m a t Massenkraft

Die folgenden Systemantworten sind für die Anregung F0 bzw. a0 = 1 gerechnet, so dass V(,D) für sich betrachtet werden kann.

Err 0a t a sin ΩtHarmonische Beschleunigungsanregung:

Harmonische Kraftanregung: 0F t F sin Ωt

Eigenfrequenz, ungedämpft 0k ω kω , fm 2π m

0

Ω fηω f

Frequenzverhältnis:

η 1 ω

Dämpfungsmaß cD2mω

Übertragungsfunktion, komplex, Betrag, Phase

Antwortzeitverlauf: Ant 0y t y V η sin Ωt δ η Übertragungsfunktion, komplex V():

2 221V η

1 η 2ηD

Phasenfunktion (): 22ηDδ η arctan

1 η

nach /KloEl1a/

21V η

1 η i 2ηD

Vergrößerungsfunktion, Betrag V():

Real- und Imaginärteil des Nenners

Resonanz ist allgemein: Das verstärkte Mitschwingen eines schwingungsfähigen Systems unter einer zeitlich veränderlichen Einwirkung (lat. resonare „widerhallen“); hier der eingeschwungene Zustand des Systems, d.h. die freie Schwingung ist abgeklungen, nur noch rein erzwungene Schwingung.


Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, AmplitudenresonanzKarl Klotter /KloEl1a/: nach der Resonanzfrequenz-Definition Res beim Maximum der Vergrößerungsfunktion V()

„sollte man es vermeiden, von der Resonanzfrequenz des Schwingers, zu sprechen“,sondern von Weg-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungsresonanzen mit den jeweiligen Resonanzfrequenzen.

2Resη 1 2 D Resonanzfrequenz

Vergrößerungsfaktor

Wegresonanz, wandert in Abhängigkeit von D zu kleineren (analog auch Beschleunigungsantwort auf konstante Beschleunigungsanregung)

Geschwindigkeitsresonanz, bleibt bei = 1 unabhängig von D

Resonanzfrequenz Re sη 1

Re s1 1V η 1

2 D η

Re s Re s 21V η

2 D 1 D

Vergrößerungsfaktor Re s Res1V η

2 D

3 2 22

1V η1 η 2ηD

2 2 22

ηV η1 η 2ηD

(1) Amplitudenresonanz: Abhängigkeit der Amplitude V von der Erregerfrequenz und Dämpfung D

DIN 1311, Schwingungslehre, Blatt 2, einfache Schwinger geht bei Resonanzen von Größtwerten aus.


Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Phasenresonanz

nach /KloEl1a/

Winkelresonanzfrequenz (90°-Frequenz)

Res entspricht ω, der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.

Re sη 1beiRe sπδ 902

(2) Phasenresonanz: Abhängigkeit der Phase δ von der Erregerfrequenz und Dämpfung D

0y t y V η sin Ωt δ Weg der bewegten Masse m

P t F t v t Mechanische Leistung aus Geschwindigkeit v(t) und Kraft F(t)

Weitere Betrachtungsgrößen:

siehe /Magnus/

0v t y V η Ω cos Ωt δ Geschwindigkeit der bewegten Masse m

0F t F sinΩt Kraft, konstante Amplitude 0 0F k y

Gilt für Resonanz von Weg (V3), Geschwindigkeit (V2), Beschleunigung (V1) bei Ω²-Anregung


Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz

P t F t v t Mechanische Leistung aus Geschwindigkeit v(t) und Kraft F(t)

0 0P t F t v t F y V η Ω sinΩt cos Ωt δ

mit Kraftamplitude 0 0F k y Anregungsfrequenz Ω η ω

20 0 0

NmP k y ωs

Leistungsamplitude:

mit Additionstheoreme 1sinα cosβ sin α β sin α β2

Schwingungsleistung

Blindleistung:

Blind 0 Blind 0 2 22ηP t P V η sin 2Ωt δ P sin 2Ωt δ

2 1 η 2 η D

Wirkleistung:

2

Wirk 0 Wirk 0 2 22

D ηP t P V η P1 η 2 η D

(3) Energie-, Leistungsresonanz:

enthältGleichanteil mit sinδ, als mittlere Leistung, die (von der Dämpfung) irreversibel im System umgesetzt wird:

0 0ScheinF y V η Ω

P t sin δ sin 2Ωt δ2

Scheinleistung:

Wechselanteil mit sin(2Ωt+δ), der (aufgrund der Elastizität) periodisch mit 2∙Ω zwischen Erreger und System hin und her strömt:

siehe /Magnus/

2 222 D ηsinδ

1 η 2 η D

Kennwinkel



Einsichtige Erklärung zu

Wirkleistung,

Blindleistung,

Scheinleistung

für

Nicht-Elektrotechniker bzw.

Maschinenbauer.

Wirkleistung

Blindleistung

Scheinleistung




Einsichtige Erklärung zu

Wirkleistung,

Blindleistung,

Scheinleistung

für

Nicht-Elektrotechniker bzw.

Maschinenbauer.


2 222 D ηsinδ

1 η 2 η D

Real

Imaginär

δ

22ηDtanδ

1 η



Blindleistung ≙ 2∙Ω periodische Leistung

Blind 2 22

ηV η2 1 η 2 η D

2

Wirk 2 22

D ηV η1 η 2 η D

Wirkleistung ≙ mittlere Leistung

Leistung-Vergrößerungsfunktionen siehe /Magnus/

Resonanzfrequenz Re sη 1

Resonanzamplitude Wirk,Re s Blind,Re s1V η V η

4 D

Resonanz des Schwingers bedeutet nunmehr allgemein, dass die vom Schwingerabsorbierte und dissipierte (umgewandelte) (Wirk-)Leistung bzw. kinetische Energie ein Maximum hat.

Res ≠ 1, Ω ≠ ω: Weg y(t) gegenüber Kraft F(t) um 90° (bis 180°) phasenverschoben.→ Energie wechselt 2x pro Periode die Richtung.→ Leistung P hat kein Maximum, Verhältnis von Wirkleistung PWirk zu Blindleistung PBlind

wird kleiner.

Bedeutung der Winkelresonanzfrequenz für die Leistung bzw. die kinetische Energie:Res = 1, Ω = ω: Weg y(t) gegenüber Kraft F(t) um -90° phasenverschoben (Phasenresonanz).

→ Geschwindigkeit v(t) mit Kraft F(t) in Phase (0°), damit stets in gleicher Richtung.→ Leistung P (Wirk & Blind), , erreichen ihr Maximum! Wirk 0 Wirk 0P P V 1 sin90 P 1 4D 1



Zu (3) Leistungsresonanz

Bisherige Feststellung, dass die Leistung P(t) ein Maximum hat, wo die Geschwindigkeit v(t) eine Maximum hat.

Bewegungsgrößen:

Allgemein hat weder die Wegamplitude y0(Ω), noch die Beschleunigungsamplitude a0(Ω)=-Ω²ꞏy0(Ω) ein Maximum an der Stelle, wo das Maximum der Geschwindigkeitsamplitude v0(Ω)=Ωꞏy0(Ω) liegt.

Weg 0Ant Ant 0v Ω

y t v t sin Ωt y Ω sin ΩtΩ

→ Geschwindigkeit Ant 0v t y t v Ω cos Ωt

Beschleunigung Ant Ant 0 0a t v t Ω v Ω cos Ωt a Ω sin Ωt

genau bei Eigenfrequenz ω, =1.Ihr Maximum:

unter der Eigenfrequenz ω, 1.

Ergebnis der Leistungsbetrachtung:

Die Resonanz findet nicht – je nach Betrachtungsgröße – bei einer anderen Frequenz statt.

Die scheinbar „falsche Lage“ der Resonanzmaximums kommt durch die „falsche Betrachtungsgröße“

zustande!

Nicht die einfach sichtbaren Bewegungsgrößen – y(t), a(t) – selbst sind die fundamentalen dynamischen

Größen, sondern Impuls, m∙v, und Energie, m∙v²/2, Leistung, F∙v!

aus /PhyAlt/


Systemkenntnisse aus Vergrößerungsfaktor und Gütefaktor

Der aus der a0,Ant ist maximale Strukturantwort bei a0,Err als Anregung,

berechnete

Q-Faktor Re sηQΔη

0,AntRe s

0,Err

aV

aVergrößerungsfaktor

besagt → dort ist die maximale Belastung in der Struktur,→ nicht, ob dort eine ausgeprägte Strukturresonanz ist,

könnte auch Klappern der dergleichen sein!

Die Information zur Strukturresonanz liefert hingegen Res die Resonanzfrequenz, Δ die Halbwertsbreite und die daraus berechnete Güte bzw. Resonanzschärfe,

Die Bereiche müssten sein Q = … 1,→ D = 0 … 0,7071 (was aber nicht zu D=1/(2Q)=0,5 passt,

siehe Folie über Unterschied von DQ zu D, dazu später).

Vergrößerungs- und Gütefaktor geben unterschiedliche, sich ergänzende Informationen zum Systemverhalten:

Er ist ein Maß für die Ausprägung der Resonanzspitze, wie hoch und schmal, wie „gefährlich“.


Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Dämpfung D (< 1)

Antwortfunktionen:Vergrößerungsfunktion V():

2 22

1V η1 η 2ηD

Phasenfunktion ():

22ηDδ η arctan

1 η

Kurve der maximalen Schwingungsantwort:

2Re sη D 1 2 D

Re s 21V D

2 D 1 D

2

Re s1 Dδ D arctan

D

Frequenz


Phase

nach /KloEl1a/

Weiter mit der an sich „falschen bzw. ungünstigen“ Betrachtungsgröße, jedoch der meist gemessenen Beschleunigungsgröße V() ≙ V3().


Übertragungsfunktion für die Dämpfungen D = 0,1, D = 0,3826

Maximalen Schwingungsantwort:

Dämpfung D = 0,1 D = 0,3826

Frequenz 0,9899 0,8409

Vergrößerungs-faktor 5,025 1,414

Phase -84,26 -67,50

2Resη 1 2 D

Res 2

1V2 D 1 D

2

Res1 Dδ arctan

D

Maximalen Schwingungsantwort VRes(D):


Güte, Berechnung mittels Halbwertsbreite, woher 2∙D

Hier gilt in V() |Realteil| = Imaginärteil 21 η 2ηD

Re sπδ 902

45π πδ 90 45 452 4

45π πδ 90 45 1352 4

2 2Kin,Res Re s Res

1E m v V2

Kinetische Energie in Resonanz

Halbe Energie für die Halbwertsbreite2

Kin,Res 2 Re sRes

E V1 1 m v2 2 2 2

Winkelresonanzphase bei Res = 1 Halbwertsphase bei 1 Halbwertsphase bei 2

22η D D 1 D 21η D D 1 D Halbwertsfrequenzen

2 1Δη D η η 2 D Halbwertsbreite entspricht 2∙Dämpfung D (in der normierten Darstellung mit Res = 1)!

Res1V

2 D

entspricht Vergrößerungsfaktor(Vergleich der Überstimmung bei höherer Dämpfung D, siehe später)

Güte(-faktor), auch Resonanzschärfe Resη 1Q DΔη 2 D

entspricht im Ortskurvendiagramm (Übertragungsfunktion V() im (Re,Im)-Diagramm, siehe /KloEl1a/ )

Res1 1

VV η2

Res2 2VV η

2 Re s Re s

V η 1

Bezogen auf die lineare Bewegungsgröße stehen aus der Resonanzkurve zur Verfügung

HalbwertsamplitudenResonanzamplitude, -frequenz


Halbwertsbreite und Güte für die Dämpfungen D = 0.1, D = 0,3826

Minimale Frequenz der Halbwertsbreite 1 = 0, nicht < 0

12

Max1 1D 1 0,382682 2

Dämpfung D = 0,1 D = 0,3826

Frequenz 0,9899 0,8409

Vergrößerungs-faktor 5,025 1,414

Phase -84,26 -67,50

2Re sη 1 2 D

Re s 2

1V2 D 1 D

2

Res1 Dδ arctan

D

Halbwertsamplitude 3,55 1,0002

Frequenz, oben 1,0858 1,1892

Frequenz, unten 0,8837 0,0160

Halbwertsbreite 0,2021 1,1732

Güte 4,899 0,717

ResHBW

VV2

122 2

2η (1 2D ) 2 D 1 D 122 2

1η (1 2D ) 2 D 1 D

2 1Δη η η

ResηQΔη

2 2 21 Max Max Maxη 0 (1 2D ) 2 D 1 D

führt auf maximal mögliche Dämpfung Dmax

Q ≈ V Q ≪ VErgebnis


Vergleich von Verstärkungsfaktor VRes(D) und Gütefaktor Q(D)

In der Resonanz kann die höhere Amplitudenantwort a0,Ant gegenüber der Anregung a0,Err beschrieben werden mit

Güte

2

D 02 2 4

1 2 D1 1Q D2 D2 1 2 D 1 8 D 8 D

Vergrößerungsfaktor 0,AntRe s 20,Err

a 1V Da 1 2 D 1 D

Gütefaktor Re sηQ DΔη

Ergebnis: Der „Standard“-Faktor V2D(D) ist nur wenig kleiner als der Verstärkungsfaktor VRes(D). Der Q-Faktor Q(D) ist tendenziell niedriger als der Verstärkungsfaktor VRes(D)

bei D = 0,1 -0,22dB, D = 0,2 -0,9dB, D ≈ 0,3 -6dB.

Vergrößerungsfunktion 2 22

1V η1 η 2ηD

Re s Re s 1 2V , η , η , ηErgebnisse aus V(), direkt eingesetzt

Ergebnis Res D 021 1V D

2 D2 D 1 D

„Standard“-Faktor 2D1V D

2 D

Dämpfung D

In Berechnung vorgegeben

„good approximation“for D < 0,1 /ShoVib/


Vergleich von Systemdämpfung D und Dämpfung DQ aus Gütefaktor Q(D)


In der Berechnung wurde angesetzt die Dämpfung

Res 21V D

2 D 1 D

Q1D D

2 Q D

Ergebnis: Der gegenüber dem Verstärkungsfaktor VRes(D) tendenziell niedrigere Q(D) führt reziprok zu einer

entsprechend höheren Dämpfung DQ(D) – einer bis zu +5,5dB höheren gegenüber den in der Berechnung angesetzten D (Folie vorher, Folie Rechenwerte).

Eine höhere, aus der Halbwertsbreite bestimmte Dämpfung DQ(D) kann auf schwächere, abgeschätzte Belastungen VQ(D) führen als VRes(D), entsprechend der Abweichungen des Q-Faktor in der vorherigen Folie.

D

Aus dem Gütefaktor mit dem „Standard“-Ansatz zurückgerechnet

Daraus ergaben sich aus V(), siehe vorherige Folie:

„Standard“-Faktor 2D1V D

2 D


„Halbwerts“-Dämpfung

Der mit einem aus der Halbwertsbreite ermittelten Dämpfung DQabgeschätzte Vergrößerungsfaktor V2D(D) und damit die Belastung wäre entsprechend geringer

„Halbwerts“-Vergrößerung Q Q1V D

2 D D


Messung von Halbwertsbreite und Güte

Rückkehr aus Frequenzverhältnis, -normierung auf dimensionsbehaftete Frequenzen f [Hz] 0

Ω η ω, f η f

Güte(faktor) Res Re s2 1

f fQΔf f f

aus Messung Abweichungen in der Messung gegenüber der Berechnung wegen „falscher Betrachtungsfunktion (Bewegungsgröße)“, nicht geringe Dämpfung D.

→ Die ungedämpfte Eigenfrequenz f0 kann nicht direkt gemessen werden, anstelle dessen Resonanzfrequenz fRes aus Maximalwert ARes der Messkurve und Halbwertsfrequenzen f1, f2 bezogen auf fRes und ARes/√2

Dämpfung Q1D

2 Q

Re s Re sA , fResonanzwerte

Halbwertsamplitude Re sHBWAA

2

1 2f , fHalbwertsfrequenzen

2 1Δf f f Halbwertsbreite

Vorteil der Messung des Q-Faktors gegenüber der des Vergrößerungsfaktor Vres;benötigt keine Kenntnis der Anregung a0,Err!


Messung der Beschleunigung für VRes und Q bzw. D und DQ

Aus „Peak Ratio“: D = 1/(2∙5,13) = 0,097Aus „3dB Down“: DQ = 1/(2∙4,87) = 0,103 ≙ +0,45dB∙DBemerkung: Dämpfung ist mit D ≈ 10% insgesamt gering und hat nur kleine Abweichungen von 5% zueinander.

≙

Auswertung des Diagramms, weil in den oberen Tabellen die Amplitudenwerte nicht enthalten sind.

≙-0,45dB∙PeakRatio

Resonance Search & Dwell (Ausschnitt)


Vergleich von Verstärkungsfaktor VRes(D) und Gütefaktor Q(D) bei Geschwindigkeitsbezug

Für die Geschwindigkeitsresonanz ist charakteristisch, dass

mit den Halbwertsfrequenzen


Re sη 1

Re s1V D

2 D


Ergebnis: Mit der geschwindigkeitsbezogenen (Amplituden)-Resonanz stimmen über den gesamten Dämpfungsbereich überein die Vergrößerungsfaktoren VRes(D) und Gütefaktoren Q(D)

und damit auch die daraus gerechneten Dämpfungen!

In Berechnung vorgegebenev(t)-Vergrößerungsfunktion

2 22

ηV η1 η 2ηD

Resonanzfrequenz

22 22

22 21

η (1 2D ) 1 2D 1

η (1 2D ) 1 2D 1

2 1Δη η η


Messung der Geschwindigkeit für VRes und Q bzw. D und DQAuswertung des Diagramms

Ergebnis, Vergleich der Geschwindigkeits- zur Beschleunigungsmessung und : Die „Peak Ratio“ (AmpAnt/AmpErr) sind gleich.→ Damit deren Dämpfungen sind ebenfalls gleich, D = 1/(2∙5,12) = 0,097. Der Gütefaktor aus „3dB Down“ ist mit 5,63 größer, sogar größer als aus „Peak Ratio“, ≈ 10% bzw. +0,84dB.→ Die Dämpfung : DQ = 1/(2∙5,63) = 0,089 ≙ -0,84dB∙D.

Bemerkung: Der Gütefaktor > Verstärkungsfaktor entspricht nicht den Erwartung der „Gleichheit“ aus der vorherigen Folie; wäre weiter zu

untersuchen (System kein ideales SDOF-System?). konservative Abschätzung der Dämpfung und Belastung! Mit der Geschwindigkeitsbetrachtung v existiert die Proportionalität zu mechanischen Spannung σ, siehe unter Literatur.

≙+0,84dB∙PeakRatio

≙

Geschwindigkeit aus der Beschleunigung gewonnen, v0=a0/Ω


Rechenwerte VRes, Δ, Q in Abhängigkeit von der Dämpfung D


Literatur

/ShoVib/ Harris, C.M.; Crede, E.C.: Shock and Vibration Handbook. MacGraw-Hill Book Company, New York, 2nd Edition 1976.

/MeyGui/ Meyer, E.; Guicking, D.: Schwingungslehre, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1974.

/KloEl1a/ Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, 1. Band: Einfache Schwinger, 3. Auflage, Teil A: Lineare Schwinger. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

/Magnus/ Magnus, K.: Schwingungen. Eine Einführung in die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 1961, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart.

Crandall, S. H., “Relation between Strain and Velocity in Resonant Vibration”, J. Acoust. Soc. Amer. , 1962, v. 34, n. 12, pp 1960-1961, Dec.

Hung F.V., “Stress and Strain Limits on the Attainable Velocity in Mechanical Vibration ”, JAcorrst. Soc. Aper., 1960, v.32, n. 9, pp 1123-1 128, Sept.

/PhyAlt/ http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/altlast/index.html; Altlasten der Physik (49), Resonanz und Resonanzfrequenz.

/WikiRes/ https://de.wikipedia.org/wiki/Resonanz.

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