Innehåll - Åbo Akademiusers.abo.fi/tfredman/TDM/tdm_innehall.pdf · 2015-10-19 · Innehåll 1...
3
Innehåll 1 Inledning 9 1.1 Nyttan med abstraktion ..................... 9 2 Abstrakt algebra 11 2.1 Bakgrundsbegrepp från talteorin ................. 11 2.1.1 Division .......................... 11 2.1.2 Primtal .......................... 13 2.1.3 Delare ........................... 14 2.1.4 Aritmetikens fundamentalsats .............. 22 2.1.5 Diofantiska ekvationer .................. 23 2.2 Modulär aritmetik ........................ 29 2.2.1 Ekvationslösning i modulär aritmetik .......... 31 2.3 Grupper .............................. 35 2.3.1 Abelska grupper ...................... 40 2.3.2 Delgrupper ........................ 41 2.3.3 Ändliga grupper ...................... 42 2.3.4 Cykliska grupper ..................... 44 2.3.5 Sidoklasser och Lagranges sats .............. 48 2.3.6 Gruppisomorfier ...................... 54 2.3.7 Ringar och kroppar .................... 58 2.4 Partialordningar och lattice ................... 58 3 Kodning och kryptering 65 3.1 Kodning .............................. 65 3.1.1 Felrättande koder ..................... 66 3.1.2 Linjära koder ....................... 71 3.1.3 Kodkonstruktion ..................... 73 3.2 Kryptering ............................. 85 5
Transcript of Innehåll - Åbo Akademiusers.abo.fi/tfredman/TDM/tdm_innehall.pdf · 2015-10-19 · Innehåll 1...
Innehåll
1 Inledning 91.1 Nyttan med abstraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Abstrakt algebra 112.1 Bakgrundsbegrepp från talteorin . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Delare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Aritmetikens fundamentalsats . . . . . . . . . . . . . . 222.1.5 Diofantiska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Modulär aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Ekvationslösning i modulär aritmetik . . . . . . . . . . 31
2.3 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Abelska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 Delgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3 Ändliga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.4 Cykliska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.5 Sidoklasser och Lagranges sats . . . . . . . . . . . . . . 482.3.6 Gruppisomorfier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.7 Ringar och kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Partialordningar och lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Kodning och kryptering 653.1 Kodning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Felrättande koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.2 Linjära koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.3 Kodkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5
6 INNEHÅLL
3.2.1 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2.2 RSA-kryptografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Appendix I: Vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4 Appendix II: Dimensionssatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Grafer 1014.1 Planära grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1 Duala grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Graffärgning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1 Kromatiska polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.2 Berömda resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Catalantal och binära träd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.1 Genererande funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Cayleys sats: Antalet märkta träd . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5 Slumpvandring i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.1 Räkning av vandringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.2 Beräkning av sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5.3 Uppskattning av summan . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5 Nätverk 1415.1 Sociala nätverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Kommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2.1 Att hitta bästa väg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3 Flöden i nätverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Matchning 1616.1 Komplett matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2 Maximal matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 Stabil matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.1 Ett matchningsscenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.3.2 Stabila äktenskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4 Matchning i allmänna grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.4.1 Maximal matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.4.2 Stabil matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Spelteori 1817.1 Centrala begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.1.1 Enkla nollsummespel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
INNEHÅLL 7
7.1.2 Fångens dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2 Kombinatoriska spel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.3 Spelgrafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
