Injective Surjective Functions5

Injective & Surjective Functions

10th grade Standard/High-Level

developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document)

1. Cercetați dacă următoarele funcții sunt injective:

a) * * 3: , ( )f f x x b) 3: , ( ) 2 3f f x x x c) 4 2: 1, , ( ) 3 1f f x x x x

d) 2

2: ,1 , ( )

1

xf f x

x

e) : , ( ) 2f f x x

f) 3: , ( ) 2f f x x g) : 0, 0, , ( ) 3f f x x x .

2. Cercetați injectivitatea și surjectivitatea următoarelor funcții și determinați inversele acestora dacă este cazul:

a) 2: 1, 1, , ( ) 4 4f f x x x b) * 4: 4, , ( )f f x x

x

c) 2: 2, , , ( ) 2 1f a f x x x ; discuție după a

d)2 1, 1

: , ( )2, 1

x xf f x

x x

e)

1 3 , 1: , ( )

1 , 1

x xf f x

x x

f) 2 2 2, 1

: , ( )2 1, 1

x x xf f x

x x

g) : 0,1 , ( ) 2f f x x h) : , ( ) 2f f x x

i)* : , ( ) 1f f x x x

j)* : 0,2 , ( ) 1f f n n n

k) : 0, 0, , ( ) 1f f x x x

l) 2012 ,

: , ( )2013 , \

x xf f x

x x

3. Determinați ,a b a.î. funcția 2: , , , ( ) 3 1f a b f x x x să fie: a) bine definită

b) injectivă c) surjectivă d) bijectivă; determinați 1f în acest caz.

4. Determinați a a.î. funcția 2 1

: \ 1 \ , ( )1

xf a f x

x

să fie corect definită, apoi arătați că funcția

este bijectivă și determinați-i inversa.

5. Fie 1 , 2

: , ( )1, 2

x xf f x

ax x

. Determinați a a.î. funcția să fie: a) injectivă b) surjectivă

c) bijecție.

6. Dacă , ,a b a b , arătați că funcțiile : 0,1 ,f a b , ( ) 1f t ta t b și

: , 0, , ( )t a

g a b g tb t

sunt bijecții.




7. Fie : 1,1 ,1

xf f x

x

. Arătați că f este impară, strict crescătoare și bijectivă. Aflați 1f .

8. Determinați ,a b minime a.î. funcția : , ,f a b ,9

( )f x xx

este bijectivă.

9. Determinați funcțiile bijective : 1,2,..., 1,2,...,f n n în fiecare din cazurile:

a) (1) 1 (2) 2 ... ( )f f f n n

b) (1) 1 (2) 2 ... ( )f f f n n

c) (1) (2) ( )

...1 2

f f f n

n

10. Fie ,A B două mulțimi finite având a , respectiv b elemente. Arătați că:

a) a b d.n.d. există o funcție injectivă :f A B .

b) a b d.n.d. există o funcție surjectivă :f A B .

11. Se consideră funcțiile :f care au proprietatea că pentru orice , ,x y x y avem că

( ), ( ) ,f x f y x y . Arătați că aceste funcții sunt injective și determinați aceste funcții.

12. Determinați funcțiile injective : 1,2,3 1,2,3f cu proprietatea că 1 (1) 2 (2) 3 (3)f f f .

13. Determinați funcțiile bijective 1: , , , .f f x f y x y x y ( Manuela Prajea, GM)

14. Determinați funcțiile strict crescătoare : 0, 0,f a.î. , , 0,f xf y f x f y x y .

(Manuela Prajea, GM)

15. Arătați că : , ( ) 2f f x x x este bijecție și determinați 1f .

16. Determinați funcția :f știind că 1f f și că funcția : , ( ) ( )g g x x f x este bijecție.

17. Fie : , :f D E g E F . Arătați că:

a) ,f g injective/ surjective g f injectivă/surjectivă

b) g f injectivă f injectivă

c) g f surjectivă g surjectivă

18. Dacă :f A A este o funcție a.î. 2012 2012

2012

...f f f f f

este bijecție, atunci și f este bijecție.




19. Dacă funcțiile , :f g A A au proprietatea că f g este injectivă și g f este surjectivă, arătați că ,f g sunt

bijective.

20. Fie :f a.î. ( ) , .f f x f x x x Arătați că f este bijecție.

21. Fie , : , ( ) ( ), ,f g f n g n n f injectivă și g surjectivă. Arătați că ( ) ( ), .f n g n n

22. :f : 2012

... 2 1, . (1) ?f f f x x x f

23. Fie : , , .f f f x f x x x 0 ?f

24. Fie * * 2 *: , ( ) , .f f f x x x Arătați că f este bijectivă și *, .f x f x x

25. Construiți toate funcțiile : 1,2 , ,f a b c care sunt: a) injective b) surjective c) bijective .

26. Fie :f D E . Arătați că:

a) f injectivă există :g E D a.î. 1Dg f

b) f surjectivă există :g E D a.î. 1Ef g

27. Dacă :f este o bijecție impară și strict monotonă, atunci și 1f este impară și strict monotonă.

28. Să se arate că următoarele funcții nu sunt injective:

(i) : , ( ) 0, 3 0, 6 3f f x x x x x

(ii) : , ( ) 2 3f f x x x x

(iii) : , ( ) ,f f f x x x

29. Fie , , , 0a b c a . Arătați că:

(i) 2: \ , ( )f f x ax bx c nu este injectivă.

(ii) 2: , ( )g g x ax bx c este injectivă \

b

a .

30. Dacă , ,a b a b , construiți o funcție bijectivă : 0,1 ,f a b și o funcție bijectivă : , 0,1g a b .

31. Construiți o funcție : 0,1 2,5f care să fie: a) bijectivă b) injectivă și nesurjectivă c) surjectivă și

neinjectivă




32. Construiți o funcție :f care are proprietatea: a) este injectivă și nesurjectivă b) este surjectivă și

neinjectivă c) este bijectivă și diferită de funcția identică.

33. Determinați funcțiile :f A A care satisfac f f f și sunt: a) injective b) surjective.

34. Determinați funcțiile surjective : 1,f care satisfac egalitatea:

22 , ,f x f y f x xf y f y x y .

35*. Arătați că există o infinitate de bijecții :f și o infinitate de bijecții :f .

36. Construiți o funcție bijectivă :f .

37. Construiți o funcție bijectivă : 1,1f .

38. Fie A o mulțime finită de numere reale având cel puțin două elemente și :f A A o funcție care satisface

relația: , , ,f x f y x y x y A x y . Arătați că:

a) f nu este surjectivă

b) există a A a.î. ( )f a a .

39. Construiți o funcție surjectivă :f A A care să ia fiecare valoare a sa de o infinitate de ori, unde:

a) 1,1A b) A .

40. Determinați funcțiile surjective :f care îndeplinesc condiția: 1 ,n

f n n n .

41. Determinați funcțiile bijective :f care îndeplinește simultan următoarele condiții:

a) (0) 1f b) ,f f n n n c) 2 2 ,f f n n n .

42. Să se studieze injectivitatea și surjectivitatea funcției

2min 2 2 , 1: ,

inf 1 , 1

t x

t x

t t xf f x

t x

43.Construiți o funcție surjectivă :f care satisface și condiția: 0f .

44.Dați exemplu de bijecții , :f g pentru care f g f g x f x g x nu este bijecție.

45.Arătați că oricare ar fi bijecțiile , :f g , f g nu este bijecție.

46.Dacă reprezintă mulțimea funcțiilor :f și , , , , ,Ij Sj Mo Pr Ip Pe reprezintă submulțimile lui

formate din funcțiile injective, surjective, monotone, pare, impare și respectiv periodice, stabiliți relațiile între

oricare două clase de funcții enumerate mai sus.




Not Only Injective & Surjective Functions …And Much More…

47.Fie : 0, 0,f o funcție cu proprietatea 2 , 0,f f x x x . Arătați că funcția este bijectivă

și că are loc relația: , 0,f x f x x .

48.Determinați funcțiile , :f g care verifică condițiile:

a) g este injectivă

b) f g x y g x f y pentru orice ,x y .

49.Cercetați dacă există numerele naturale ,m n și funcțiile , :f g astfel ca 2 1mf g x x și

2 2ng f x x pentru orice x .

50.Determinați toate funcțiile : 1,2,..., 1,2,...,f n n cu proprietatea f i f j i j pentru orice

, 1,i j n .

51.Determinați funcțiile :f care satisfac condițiile:

a) ,f f n n n b) 2 2 ,f f n n n c) 0 1f .

52.Aratați că există funcții bijective :f .

53.Determinați funcțiile injective :f cu proprietatea 1,f f x f x x .

54.Determinați funcțiile :f care au proprietatea 2 6,f f n f n n n .

55.Determinați funcțiile :f care au proprietatea 6 ,f f n f n n n .

56.Determinați funcțiile :f pentru care , .f f n n n

57.Determinați funcțiile :f pentru care , .f f f n n n

58. Determinați funcțiile :f care au proprietatea 2 3,f f n f n n n .

59.Determinați funcțiile :f pentru care f m f n f f m f n pentru orice ,m n .

60.Arătați că nu există nicio funcție bijectivă de la mulțimea numerelor naturale la mulțimea numerelor reale

( i.e. mulțimea numerelor reale nu este numărabilă ).

Injective Surjective Functions5

Documents

Transcript of Injective Surjective Functions5