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Prof. Dr. Elmar Müller-HorscheFH Augsburg Formelsammlung Ingenieurmathematik 1

Die blauen Formeln hat der angehende Ingenieur im Kopf!

Inhalt (1. Semester)Seite

Grundbegriffe 3 Trigonometrische Funktionen3 Additionstheoreme3 Halb- Doppelwinkelformeln3 Verschiebungen und Dehnungen4 Kreis und Kugel4 Parabel4 Vektoren, Skalar- und Vektorprodukt4 Binomische Formel

Differenziation 5 Ableitung der elementaren Funktionen6 Differenziationsregeln6 Ableitung der Umkehrfunktion

Höhere Funktionen 6 Logarithmus6 Exponentialfunktion7 Logarithmische Auftragungen7 Arcusfunktionen7 Hyperbolische Funktionen7 Areafunktionen

Taylorentwicklungen 8 Näherungen und Taylorreihe8 Die wichtigsten Taylorreihen

Integralrechnung 9 Hauptsatz der Analysis9 Stammfunktion und unbestimmtes Integral9 Integrationsregeln

10 Substitution10 Partielle Integration11 Nullstellen von Polynomen11 Partialbruchzerlegungen12 kompliziertere Partialbruchzerlegungen13 Integraltafen: Grundintegrale13 Integrale mit rationalen Funktionen13 Integrale mit Wurzelfunktionen

14, 15 Integrale mit Winkelfunktionen15 Integrale mit Arcusfunktionen15 Integrale mit Exponentialfunktionen16 Integrale mit Hyperbelfunktionen

Anwendungen 16 Bogenlänge, Oberflächender Integralrechnung 17 Volumen, Schwerpunkt, Moment, Arbeit

Matrizen und 18 Matrix, Matrixmultiplikationlineare Gleichungs- 18 Rechenregeln, Definitionen, Determinante

systeme 19 Gaußelimination20,21 Rang einer Matrix, homogene, inhom. und allgemeine Lösung

22 Gauß-Jordan-Verfahren



Inhalt (2. Semester)

SeiteKomplexe Zahlen 23 Kartesische und polare Darstellung

23 Rechenregeln23 Komplexe Schwingungen24 Komplexe Frequenzgänge

Fourierreihen, 25 Fourierreihendiskrete Fourier- 26 Anwendung der Fourieranalyse in der Schwingungslehre

Transformation 26 Diskrete Fouriertransformation27 Schnelle Fouriertransformation

Kurven und Flächen 27 Parametrische ebene Kurven28 Zylinder- und Kugelkoordinaten, 3D-Kurven28 Tangente, Normale, Krümmung28 Tangential- und Nomalbeschleunigung, 3D-Flächen

Partielle Ableitung 29 Partielle Ableitung,29 Tangentialebene29 Kettenregel, Gradient30 Höhere Ableitungen, Extremwerte30 Taylorreihen mehrerer Veränderlicher

Mehrfachintegrale 31 Flächenintegrale31 Oberflächeninhalt32 Statische Momente, Flächenschwerpunkt32 Flächenmomente 2. Grades32 Volumenintegrale33 Massenträgheitsmomente

Laplace- 33, 34 Definition, Anwendungen, wichtige BildfunktionenTransformation 34, 35 Rechenregeln, Transformationssätze

35 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung35 Korrespondenztafeln

Differenzial- 38 Definition, einfache Lösungsverfahrengleichungen (DGL) 39 Lösung mit der Laplacetransformation

39 Gekoppelte DGL-Systeme



Grundbegriffe

TrigonometrischeFunktionen

2 2

1 2 3sin : sin 30 sin 45 sin 602 2 2

3 2 1cos : cos30 cos 45 cos 602 2 2

sintan : tan 45 1cos

sin cos 1 " "

GegenkatheteHypotenuse

AnkatheteHypotenuseGegenkathete

Ankathetex x trigonometrischer Pythagoras

= ° = ° = ° =

= ° = ° = ° =

= = ° =

+ =

Additionstheoremesin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )1 tan tan

α β α β α β

α β α β α β

α βα βα β

± = ⋅ ± ⋅

± = ⋅ ⋅

±± =⋅

∓

∓

Halbwinkelformeln1 cossin

2 2

1 coscos2 2

1 cos sin 1 costan2 1 cos 1 cos sin

α α

α α

α α α αα α α

− = ±

+ = ±

− − = ± = = + +

Doppelwinkelformeln2 2 2 2

2

sin(2 ) 2 sin cos

cos(2 ) cos sin 2 cos 1 1 2 sin

2 tantan(2 )1 tan

α α α

α α α α α

ααα

= ⋅

= − = ⋅ − = − ⋅

⋅=−

Verschiebungen undDehnungen

Veränderung des Graphen in Formel ersetzenVerschiebung um a nach oben y durch y-aVerschiebung um b nach rechts x durch x-bDehnung um Faktor c nach oben y durch y/cDehnung um Faktor d nach rechts x durch x/d

Bsp.: x2 + y2 = 1 Einheitskreis(x/d)2 + (y/c)2 = 1 Ellipse mit Halbachse d in x- und c in y-Richtung



Grundbegriffe

Kreis und Kugel Kreisumfang 2πR= πD (Radius, Durchmesser)Kreisfläche πR2

Kugelfläche 4πR2

Kugelvolumen 43

πR3

Parabel allgemeine Parabelgleichung: y = ax2 + bx + c

Nullstellen („Mitternachtsformel“): 2

1/ 24

2b b acx

a− ± −=

VektorenSkalarprodukt

2 2 2 ˆ( ) : 1

: cos

: (0 )

x x xy y y

z z z

x y z

x x y y z z

a a bBezeichnung a a Addition a b a b

a a b

Betrag Länge a a a a a Einheitsvektor a

Skalarprodukt a b a b a b a b ab

Winkel zwischen a und b

θ

θ θ π

+ = + = + +

= = + + =

⋅ = + + = ⋅

≤ ≤

Vektorprodukt :

sin

, ,

y z z y

z x x zx y y x

a b a bVektorprodukt c a b a b a b

a b a b

Eigenschaften a b ab

a b c bilden Rechtssystem

c steht senkrecht auf a und b

Vorsicht a b b a

θ

− = × = − −

× = ⋅

× = − ×

Binomische FormelBinominialkoeffizient

( ) ( )( )

0

1

0 1

!: :!( )!

" "0 1

1 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1

!: ( 1) ... 2 1: ( )

nn n k k

k

n n

k k

nbinomischer Satz a b a bk

nnBinominialkoeffizient oderk k n kZeile n Spalte k im Pascalschen Dreieckn

Fakultät n n n n k k

−

=

−

= =

+ =

=−

=

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − =

∑

∏ ∏



Differenziation

Ableitungen derwichtigsten

elementarenFunktionen

−

−

−−

⋅

−

⋅

+

+

−

−

⋅

2

2

2

2

2

2

2

2

1

( ) '( )

1arcsin1

1arccos1

1ar

sin coscos sin

1tancos

e eln1ln

1logln

ctan1

sinh coshcosh sinh

1tanhcosh

1arsinh1

1arcosh1

1artanh1

x x

x x

r r

a

x r x r reell

x xx x

xx

a a a

x

f x f x

xx

xx

xx

x xx x

xx

xx

x

x

x

x

xa

x

x



Differenziation

Differenziations-regeln

( )

( )

( )

2

, : , :

' '

' '

' '

( ( ) '( ( )) '( )

f g Funktionen von x a b KonstantedLinearität af bg af bgdxdProduktregel f g f g fgdxd f f g fgQuotientenregeldx

g x

Nachdiffere

g gdKettenreg

nziere

el f g x f g xd

nx

+ = +

⋅ = +

−=

= ⋅

Ableitung derUmkehrfunktion ( ) ( )1 1

11 1' '( ) ( ( ))

'( )'( ( ))f x oder f f x

f xf f x− −

−= =

Höhere Funktionen

Logarithmus

0

logln ln 1

1 2,7 1828 1828

log ln

..!

ln lnlg 10 lg10 1 lgln10 2,30

log(1) 0log( ) log log

log log log

log lo

l

g

a

k

b

Logarithmus mit beliebiger Basisnatürlicher Logarithmus e

e Euler Zahlk

x xer Logarithmus x

ab a ba a bba b a

x x

∞

=

=

= = −

− = = =

== +

=

= −

=

⋅

∑

lnoglna

xea

=

Exponentialfunktion

( ) ( )

( ) ( )

1ln . .

' 'ln

yy

x

x y x y

xx y

y

yx xy

x x x

x

x

x

e x Exponentialfunkt Umkehrfunkt des Logarithmus

a a a

a aa

a a

a a

a

a e e

a

−

+

−

= =

⋅ =

=

=

= ⋅ =

≠ =



Höhere Funktionen

LogarithmischeAuftragungen

Funktionstyp Auftragung Steigung Punkt

( ) bxy x C a= ⋅ y log. x lin.

2

1

2 1

loglog a

a

yy yb

x x x∆= =

∆ −C=y(0)

( ) by x C x= ⋅ y log. x log.

2

1

2

1

lglglg lg

yy yb xx

x

∆= =∆

C=y(1)

Hauptäste der Winkelfunktionen (eineindeutige Bereiche):Definitionsbereich Wertebereich

sin -π/2 .. π/2 -1 .. 1 arcsincos 0 .. π 1 .. -1 arccostan -π/2 .. π/2 -∞ .. ∞ arctan

InverseWinkelfunktionen(Arcusfunktionen)

Wertebereich Definitionsbereich

HyperbolischeFunktionen

−

−

−

−

−=

+=

−= =+

− =2 2

e esinh2

e ecosh2

sinh e etanhcosh e e

cosh sinh 1

x x

x x

x x

x x

x

x

xxx

x x

Inversehyperbolische

Funktionen(Areafunktionen)

( )( )

= + +

= + − ≥

+= <−

2

2

arsinh ln 1

arcosh ln 1 1

1 1artanh ln 12 1

x x x

x x x x

xx xx

3 2 1 0 1 2 35

4

3

2

1

0

1

2

3

4

55

5−

sinh x( )

cosh x( )

ex

2

33− x5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

2

1

0

1

22

2−

tanh x( )

55− x



Taylorentwicklungen

Taylorreihe( )

1

( ) ( ) '( )

( )( ) ( )!

knk

k

lineare Näherung f x h f x f x h

f xNäherung n ten Grades f x h f x hk

Taylorreihe n=

+ ≅ + ⋅

− + ≅ + ⋅

→ ∞

∑

alternative Schreibweise (Entwicklungszentrum sei jetzt nicht mehr xsondern b, Berechnungsstelle sei jetzt nicht mehr x+h sondern x):

( )

0

( )( ) ( )!

kk

k

f bf x x bk

∞

== ⋅ −∑

Die wichtigstenTaylorreihen

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

02 1

0

2

0

1

1

0

!

sin 12 1 !

cos 12 !

ln 1 1 1

1 11

nx

nn

n

n

nn

n

nn

n

n

n

xe xn

xx xn

xx xn

xx xn

x xx

geometrische Reihe

∞

=+∞

=

∞

=

∞−

=∞

=

= < ∞

= − < ∞+

= − < ∞

+ = − <

= <−

∑

∑

∑

∑

∑



Integralrechnung

Hauptsatz derDifferenzial- undIntegralrechnung

Hauptsatz der Analysis: ( ) ( )x

a

d f t dt f xdx

=∫In Worten: Ableitung des bestimmten Integrals nach der oberen Grenze =

Integrand, genommen an der oberen GrenzeIntegration ist die Umkehrung der Differenziation

Stammfunktion Damit kann man bestimmte Integrale so bestimmen:F(x) heißt „Stammfunktion“ von f(x), wenn F‘ = fF ist bis auf eine „Integrationskonstante“ C eindeutig

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

b baa

a

f x dx F b F a F x F x= − = =∫Um eine Stammfunktion F vom Integrand f zu erhalten, müssen dieDifferenziertabellen nur von rechts nach links gelesen werden. Allerdingslässt sich analytisch (also mit Standardfunktionen) praktisch jede Funktiondifferenzieren, jedoch nicht notwendigerweise integrieren. Differenzierenist Routine, Integrieren ist Kunst!

UnbestimmtesIntegral

anderer Ausdruck für Stammfunktion, bedeutet genau dasselbe. AnderesSymbol: ( ) ( )f x dx F x=∫ (beim Integralzeichen werden die Grenzenweggelassen)

Integrationsregeln - Linearität (gilt für bestimmte und unbestimmte Integrale)( ( ) ( )) ( ) ( )a f x b g x dx a f x dx b g x dx⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅∫ ∫ ∫

- Vertauschen der Grenzen

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫- Zwischenschieben einer Grenze

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫- Mittelwert einer Funktion f(x) im Bereich a x b≤ ≤

1: ( )b

a

f f x dxb a

=− ∫

- Differenziation nach einer Variablen in der oberen oder unterenGrenze

( )

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )h x

g x

d f t dt f h x h x f g x g xdx

= ⋅ − ⋅∫



Integralrechnung

Integration durchSubstitution

( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x⋅ =∫Grund: die rechte Seite differenziert nach der Kettenregel ergibt geradeden Integranden.

In der Praxis nutzt man dies so aus:- Ein im Integrand (evtl. wiederholt) vorkommender Ausdruck g(x) wird

durch u ersetzt (u=g(x))

- Die Ableitung nach x '( )du g xdx

= wird als Merkhilfe auseinander

gezogen, was ja eigentlich unkorrekt ist, da dudx

das Symbol für

Ableitung und keinen Bruch darstellt: du = g‘(x)dx- Mit dieser Beziehung wird dx in du umgewandelt, mit der Substitution

u=g(x) müssen außerdem alle x aus dem Integranden verschwinden(notfalls mit Hilfe der Umkehrfunktion x=g-1(u))

- Letztendlich entsteht ein neues Integral mit Integrationsvariable u. DieSubstitution lohnt natürlich nur, wenn der neue Integrand einfacher alsder alte ist.

2

22

2

: ( !)2

2 2 2

22 2

ux

u u xx

eBsp e dx du bleibt unlösbaru

e e ee xdx du

du duu x du xdx dxx u

−

−−

−

− −

=

= = − = −

= = = =

∫ ∫

∫ ∫

Mitsubstitution der Grenzen bei bestimmten Integralen:( )

( )( )

( )

( ( )) '( ) ( ) ( )g bb

u g bu g a

a g a

f g x g x dx f u du F u ==⋅ = =∫ ∫

Partielle Integrationoder

Produktintegration [ ]

' '

' 'b b

ba

a a

u v dx u v u v dx

u v dx u v u v dx

⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅

∫ ∫

∫ ∫



Partialbrüche

Nullstellen vonPolynomen

- Polynome vom Grad n haben genau n Nullstellen 1 ... nx x . Diese sindeventuell komplex und/oder mehrfach („Hauptsatz der Algebra“)

- „Standardform“ eines Polynoms vom Grad n:1 2

1 2 1 0( ) ...n nnQ x x a x a x a x a−

−= + + + + +(kann durch Ausklammern des Koeffizienten bei xn immer erreichtwerden!)

- Produktdarstellung eines Polynoms in Standardform mit Hilfe der

Nullstellen: 1 21

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n ii

Q x x x x x x x x x=

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − = −∏- Nullstellensuche: bis zum Grad 4 gibt es Formeln, ab Grad 5 gibt es

prinzipiell keine Formeln mehr (Abel, 1820)n=2 Mitternachtsformel (1.Sem. Lektion 4)n=3,4 Cardanische Formeln, zu kompliziert für die Anwendung

- Polynomdivision: Ist eine beliebige Nullstelle xi von Q(x) bekannt, solässt sich Q(x) ohne Rest durch (x - xi) teilen. Bsp:

3 2 2

3 2

2

2

2 23 60 : ( 3) 203

233

20 6020 60

0 Rest

x x x x x xx x

x xx x

xx

+ − − + = − −+

− −− −

− −− −

Das resultierende Polynom ist dann im Grad um eins reduziert(„Abspaltung einer Nullstelle“). Seine Nullstellen sind daher einfacherzu bestimmen als die vom ursprünglichen Q(x).

Rationale Funtionen( )( ) ,( )

P xf x P Polynom vom Grad m Q vom Grad nQ x

=

„Echt gebrochen“ m < n, sonst „unecht gebrochen“. Unecht gebrochenerationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision in ein Polynomplus eine echt gebrochene rationale Funktion verwandeln.

Partialbruch-zerlegung (PZ)einfache reelle

Nullstellen

f(x) sei echt gebrochener rational, Nenner besitze Standardform und nreelle einfache Nullstellen:

1 2

( )( ) ... (*)( ) n

P x A B Zf xQ x x x x x x x

= = + + +− − −

Zur Bestimmung der reellen Konstanten A ... Z wird Gleichung (*) mit Q(x)durchmultipliziert. Die entstehende Polynomgleichung wird entwederdurch Koeffizientenvergleich gelöst (lineares Gleichungssystem) oderdurch Einsetzen der Nullstellen für x (schneller, führt direkt auf diegesuchten A ... Z).



Partialbrüche

Stammfunktion derPZ (einfache reelle

Nullstellen)

1 2( ) ln ln ... ln nf x dx A x x B x x Z x x= ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ −∫(Integration der Partialbruchzerlegung ist einfach)

PZ (mehrfache reelleNullstellen)

Mehrfache reelle Nullstellen, z.B. ( )31( )Q x x x= − :

( ) ( )1 2 3

2 31 1 1

( )( )( )

A A AP xf xQ x x x x x x x

= = + +− − −

Stammfunktion derPZ (mehrfache reelle

Nullstelle) ( ) ( ) ( ) 11 1

11n n

dxx x n x x −=

− − ⋅ −∫

PZ (komplexeNullstellen)

- Komplexe Nullstellen können immer zu einem reellen quadratischenAusdruck zusammengefasst werden, der den Ausgangspunkt für diereelle Partialbruchzerlegung liefert:

2 2 4 0x bx c mit Diskriminante b c+ + − <

- Reeller Partialbruchansatz für komplexe Nullstellen:

( ) ( ) 22

( )( ) ......

P x Bx Cf xx bx cx bx c

+= = ++ ++ + ⋅

- Mehrfache komplexe Nullstellen, z.B.

( ) ( ) ( )1 1 2 2

2 2 22 2

( )( ) ......

P x B x C B x Cf xx bx cx bx c x bx c

+ += = + ++ ++ + ⋅ + +

Die Konstanten 1 2 1 1, ,..., , ,..., , ,...A A B C B C können wieder entwederdurch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen einfacher Zahlen für x(0, ±1, ±2, reelle Nullstellen) bestimmt werden.

Stammfunktion derPZ (einfache

komplexe Nullstelle)

22

2

2 2ln arctan2

: 4

Bx C B C Bb x bdx x bx cx bx c

mit c b

+ − += ⋅ + + + ⋅∆ ∆+ +

∆ = −

∫



Integraltafeln

Grundintegrale+

= −

= ⋅ ≠ −+

=

=

= ⋅ ≠

∫

∫

∫

∫

∫

1

ln (ln 1

1 11

1 l

)

1 wobei

n

e e

>0, 1ln

n n

x x

x x

x dx x x

a

x dx x nn

dx xx

dx a a

x

a

d

a=

= −

−

=

∫

∫

∫

sin cos

cos sin

tan ln cosx d

x dx x

x dx x

x x

RationaleFunktionen

=+

<+ = = − − >

∫

∫

2 2

2 2

1 1 arctan

1 artanh für 1 1 ln

2 1 artanh für

xdxa x a a

x x aa aa xdx

a x a a x a x aa x

Wurzelfunktionen ( )( )

( )

+ = + + + +

= + +

− = − − + −

− = − + > <

∫

∫

∫

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 ln2

1 arsinh2

1 ln2

1 arcsin wobei 0, 2

x a dx x x a a x x a

xx a x aa

x a dx x x a a x x a

xa x dx x a x a a x aa

( )2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 ln arsinh

1 ln arcosh

1 arcsin

xdx x x aaa x

xdx x x aax a

xdxaa x

= + + =+

= + − = −

=−

∫

∫

∫



Integraltafeln

Winkelfunktionen 2

2

2

2

1 1sin tan

1 tancos

cos 1sin sin

sin 1cos cos

dxx x

dx xx

x dxx x

x dxx x

= −

=

= −

=

∫

∫

∫

∫

− +−

+ −−

⋅ =

⋅ −− + ⋅

+ +⋅ =

⋅ −+ ⋅

+ +

∫

∫∫

∫

2

1 12

1 12

sinsin cos

2

sin cos 1sin cos

( )sin cos

sin cos 1sin cos

( )

beide Formeln

m nm n

m n

m nm n

axax ax dx

a

ax ax max ax dx

m n a m nax ax dx

ax ax nax ax dx

m n a m n

≠ −nur für m n

π

− −

− −

− = =

−= + >− −

+ = = +

−= + >− −

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

1 2

1 2

1 1 cosln ln tansin sin 2

1 cos 2 1 wobei 1sin ( 1)sin 1 sin

1 1 sinln ln tancos cos 2 4

1 sin 2 1 wobei 1cos ( 1)cos 1 cos

n n n

n n n

x xdxx x

x ndx dx nx n x n x

x xdxx x

x ndx dx nx n x n x

−−

−−

= −

⋅ −= − + − >

= +

⋅ −= + − >

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

2

12

2 2

2

12

2 2

sin cossin

cos sin ( 1)sin sin 0

cos sincos

sin cos ( 1)cos cos 0

n nn n

n nn n

ax x axx ax dx

a a

x ax n x ax n nx ax dx x ax dx n

a a a

ax x axx ax dx

a a

x ax n x ax n nx ax dx x ax dx n

a a a



Integraltafeln

Winkelfunktionen(Fortsetzung)

−−

−−

−−

⋅ −= − + >

⋅ −= + >

= − >−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

12

12

12

sin cos 1sin sin wobei 1

cos sin 1cos cos wobei 1

tantan tan wobei 1( 1)

nn n

nn n

nn n

ax ax nax dx ax dx nna n

ax ax nax dx ax dx nna n

axax dx ax dx nn a

Arcus- undAreafunktionen

( )

2 2

2 2

2 2

arcsin arcsin

arccos arccos

arctan arctan ln2

x xdx x a xa a

x xdx x a xa a

x x adx x x aa a

= + −

= − −

= − +

∫

∫

∫2 2

2 2

2 2

arsinh arsinh

arcosh arcosh

artanh artanh ln2

x xdx x a xa a

x xdx x x aa a

x x adx x a xa a

= − +

= − −

= − −

∫

∫

∫

Exponential-funktionen undLogarithmen

( )

( )

( )

−

+

= −+

= ++

= −

= + − ≠ −+

∫

∫

∫ ∫

∫

2 2

2 2

1

1

2

ee sin sin cos

ee cos cos sin

ee e

ln ( 1)ln 1 wobei 1( 1)

axax

axax

n axn ax n ax

nn

bx dx a bx b bxa b

bx dx a bx b bxa b

x nx dx x dxa a

xx x dx n x nn



Integraltafeln

HyperbolischeFunktionen

sinh cosh

cosh sinh

tanh ln(cosh )

x dx x

x dx x

x dx x

=

=

=

∫

∫

∫2

2

2

2

1 1sinh tanh

1 tanhcosh

cosh 1sinh sinh

sinh 1cosh cosh

dxx x

dx xx

x dxx x

x dxx x

= −

=

= −

= −

∫

∫

∫

∫

( )

=

=

∫

∫

1 ln tanhsinh 2

1 2arctan ecosh

x

xdxx

dxx

Anwendungen der Integralrechnung

Das bestimmte Integral liefert nicht nur die Fläche unter demFunktionsgraphen, sondern es kann für eine Vielzahl vonSummieraufgaben angewandt werden, bei denen viele unterschiedlichkleine Teile zusammengezählt werden müssen:

Bogenlänge Bogenlängenelementchen 2 2 21 ( ')ds dx dy y dx= + = +

Bogenlänge 21 ( ')b

a

s y dx= +∫

OberflächeOberflächenelementchen eines Rotationskörpers mit Drehachse x undKontur y(x): 22 2 1 ( ')dS y ds y y dxπ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +

Oberfläche 22 1 ( ')b

a

S y y dxπ= ⋅ +∫



Anwendungen der Integralrechnung

Volumen einesRotationskörpers

Volumenelementchen (= dünne Scheibe mit Dicke dx, Aufschnittsenkrecht zur x-Achse) eines Rotationskörpers mit Drehachse x undKontur y(x): 2dV y dxπ= ⋅ ⋅

Volumen 2b

a

V y dxπ= ∫

VolumenVolumen einer dünnen Scheibe mit Fläche A(x) und Dicke dx, diesenkrecht zur x-Achse steht: ( )dV A x dx= ⋅

Gesamtvolumen ( )b

a

V A x dx= ∫

MomentGewichtskraftmoment dM (im Uhrzeiger pos.) einer bei x liegendenTeilmasse dm bezüglich eines Drehpunktes mit x-Koordinatex (Erdbeschleunigung g in Richtung –y):

( )dM g x x dm= ⋅ − ⋅Damit lassen sich alle möglichen Flächen- und Linienschwerpunkte durchIntegration berechnen, deren Konturen durch Funktionen y(x) gegebensind. Bezüglich des Schwerpunktes verschwindet das Gewichtskraft-Gesamtmoment.

Arbeit Teilarbeit (=Teilenergie) dW, die bei Verrückung um dx von KraftF geleistet wird:

dW F dx= ⋅ (Skalarprodukt!)

Damit lassen sich alle möglichen Gesamtenergien durch Integrationausrechnen, bei denen sich entweder die Kraft längs des Wegesverändert, oder bei denen komplizierte, gekrümmte Wege ausgeführtwerden, oder bei denen viele unterschiedlich große Teilarbeiten verrichtetwerden müssen.



Matrizen

Matrix,Matrixmultiplikation

n x m Matrix A: rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen, m Spaltenaik: Element von A , also die Zahl in der i-ten Reihe und k-ten Spalte

Matrixmultiplikation: A(n x m)·B(m x p) = C(n x p) nach dem SchemaZeile · Spalte (Spaltenzahl von A muss gleich sein Zeilenzahl von B!):

{1

4 5 53 2 0 11 2 . 1. .

6

3 42

1

224

m

ik il lkl

i noder c a bx x x k pxx x x x

=

≤ ≤= ⋅ ≤ ≤∑

Vektoren können als einspaltige Matrizen aufgefasst werden. Bei derMultiplikation b⋅A muss also die Spaltenzahl von A mit derKomponentenzahl von b übereinstimmen.

Rechenregeln - Multiplikation Matrix mit Zahl geschieht elementweise- Addition Matrix mit Matrix geschieht elementweise- Multiplikation A·B ist nicht kommutativ: ⋅ ≠ ⋅A B B A . Bei nicht-

quadratischen Matrizen kann eines der beiden Produkte gar nichtgebildet werden

- ( ) ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A B C A B C- ( )⋅ + = ⋅ + ⋅A B C A B A C- ( ) ( ) ( )r r r r⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A B A B A B A B

Definitionen - transponierte Matrix AT: Zeilen und Spalten werden vertauscht.- quadratische n x n Matrix: Zeilenzahl = Spaltenzahl- symmetrische Matrix: AT = A- inverse Matrix: A-1: A-1·A = A·A-1= 1 (Einheitsmatrix). Die Inverse

ist nur bei quadratischen Matrizen definiert und spielt bei der Lösunglinearer Gleichungssysteme eine entscheidende Rolle. DieBerechnung ist aufwendig.

Determinante det Aeiner quadratischen

Matrix (= Zahl)

- 2x2 Matrix: 11 22 12 21det : a a a a= −A- 3x3 Matrix: Sarrusregel- nxn Matrix: Rückführung auf (n-1)x(n-1)-Unterdeterminanten

(„Laplacescher Entwicklungssatz“), sehr rechenaufwendig- Mit Determinanten und Unterdeterminanten (sog. Adjunkten) kann die

Inverse A-1 berechnet werden. Das Verfahren ist jedoch vomRechenaufwand her inakzeptabel.

- Ist det A = 0, so existiert die Inverse A-1 nicht. Die Zeilen oderSpalten von A sind dann nicht linear unabhängig.



Lineare Gleichungssysteme

Gaußelimination 1. Bringe A b durch Elementarumformungen (= Addition oderSubtraktion des Vielfachen einer Zeile mit dem Vielfachen eineranderen Zeile) in obere Dreiecksgestalt (Vorwärtselimination):– Suche Zeile, die nicht mit Null beginnt und markiere sie– Nulle durch Elementarumformungen mit markierter Zeile die

1. Spalte aller anderen Zeilen (sofern nötig)– nach n-1 Schritten ist obere Dreiecksform erreicht (bestehend aus

den markierten Zeilen)

2. Löse entstandenes „gestaffeltes“ Gleichungssystem von unten nachoben (Rückwärtssubstitution)

Beispiel:

1 2 3 12 3

3

0 1 2 8

6 6 7 391

2 3 13

:3 4 5 26 3 26 4 5 ; 1

8 2 21 2 8 321 3

3 22 2 1

a

b aa

c b

Lösung

x x x xx x

xab

− − − − ⋅+ ⋅

= − − == − =

=




Rang einer Matrix,freie Parameter,

allgemeinehomogene Lösung,

spezielleinhomogene Lösung,

allgemeineinhomogene Lösung

Bei der Gaußelimination eines allgemeinen Gleichungssystems( ) ( ) ( )A m n n mx b× ⋅ = (Hochindex = Dimension n,m beliebig)

kann es vorkommen, dass in einem Schritt alle Zeilen mit Null beginnen.Es ergibt sich dann eine unterbrochene Diagonalreihe, einigeTreppenstufen werden breiter (rote Blöcke im unteren Bild). Außerdemkönnen mehr oder weniger Zeilen als Unbekannte vorkommen. DasResultat der Gaußelimination wird in jedem Fall so aussehen:

Das Gleichungssystem ist nur dann widerspruchsfrei, wenn der grüneBlock lediglich aus Nullen besteht. Die Lösung kann dann in 2 Schrittenerfolgen:

allg. homogene Lösung spez. inhomogene Lsg.

- Allgemeine Lösung der „homogenen Gleichung“ 0A Ox⋅ = . Dazuwerden die roten Blöcke mit Vorzeichenumkehr nach rechts gestellt,der schwarze Block wird gestrichen und es erfolgt wie gewohnt dieRückwärtssubstitution. Die sich ergebende „allgemeine homogeneLösung“ Ox ist n-komponentig und enthält die freien Parameter:

1 1 2 2 ...O n r n rx c c cλ λ λ − −= ⋅ + ⋅ + + ⋅

- Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung A Sx b⋅ = . Dazuwerden alle λs Null gesetzt (die roten Blöcke werden gestrichen), aufder rechten Seite wird nur der Schwarze Block berücksichtigt. Sx istwie Ox n-komponentig (die zu Null gesetzten freien Parameter λwerden in die Lösung hinein geschrieben, z.B. an die Stelle x3 und x4).

- Die allgemeine Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung istdann einfach: O Sx x x= +




Rang einer MatrixBeispiel

5 Gleichungen mit 4 Unbekannten1 2 3

1 2 43

40

2 3 1 5 203 7 1 5 200 1 1 1 4 01 1 1 0 1 45 5 5 20 13:5 5 5 20

43 1 0 1

0 00 0

1

1 4 21 1

21

2

01

00

1

3

4 2 0

1 1

3

003

oderzusammen

gefa

x

x

ss

x x

x x x

t

x−

− −

−−

− − − −− − −

− − −− −−− −− −

− − −−

−

Rang der Matrix ist nur 3, nur so viele unabhängige Informationen steckenim Gleichungssystem, da die Zeilen 2 und 3 aus anderen Zeilen durchLinearkombination folgen (z.B. Zeile2 = 2·Zeile1 + 5·Zeile4). Also kannman auch nur 3 Unbekannte x1, x2 und x3 bestimmen, x4 bleibt unbestimmtund wird zum „freien Parameter“ λ umgetauft. Das Gleichungssystem istwiderspruchsfrei, da der grüne Block aus Nullen besteht.

41 2 3

1 3

2 33

2 14 20 0,5

0,5 1,1 4 2

1 5113 1,5

12

O

allg. homogene Lsg.xx x x x

x x

x x

x

x

λλ λλ λ

λ

= =− − = −== + = − − − = −

−

In Ox wird der freie Parameter 4xλ = mit hineingeschrieben.

1 2 31 2 3

2 33

34 2 30 2,5

4 2,5 6,54013 6

1 4 21 1

,52S

spez. inhomogene Lsg.x x x xx x

x x

x

x − = − = − == − =− =

−−

In Sx wird ebenfalls der freie Parameter 4 0xλ = = mithineingeschrieben. Gesamtlösung ist O Sx x x= +



Berechnung der inversen Matrix nach Gauß-Jordan

Gauß-Jordan-Verfahren zur

Berechnung von A-1

1. Schreibe rechts neben A die entsprechende Einheitsmatrix 12. Eliminiere A 1vorwärts, mache jedes Diagonalelement auf der linken

Seite zu Eins, wende alle Elementarumformungen auch auf die rechteSeite an

3. Eliminiere rückwärts, bis links die Einheitsmatrix 1 erscheint. Dierechte Seite ist dann das Ergebnis A-1

Beispiel:

2 2 1 13 3 2 1

2 5 2 1 0 2 23 7 3 0 1 3 3

1/( 2)0,5 0 11 0 3 2

1

1 0 1 7 5

,5 1 2 32 22,5

1 2 0 1 9 6 31

11 0 0 1 5 4 1

2 3 1

11

1 2,5 1 0,5 0

1

2

1

12

a

b aa

c bb

dd

de

aa

cc

e

f

cae

− − − − ⋅− − − − ⋅

−− + ⋅

⋅−

−−

−

⋅− − ⋅

− ⋅−

−

Ergebnis und Kontrolle:1 0 0 1 5 4

1 0 1 7 51 0

1111 1 2 3 12 2 2 1 13 3 3

3 2

2 1

fedaaa

− −−

−

Im oberen roten Block sind die Ergebniszeilen der Rückwärtseliminationnur so sortiert, dass links die Einheitsmatrix entsteht. Im unteren Blockwurde die Ausgangsmatrix links hingeschrieben. Wenn man den Blocklinks unten mit dem rechten oberen nach dem Falk-Schema multipliziertmuss unten rechts die Einheitsmatrix erscheinen.



Komplexe Zahlen

kartesische undpolare Darstellung

( )

Re Im

2 2

2

,

( , )

: :

, arg( ) : tan

cos sin

1

al aginärteil teil

j

komplexe Einheitkomplexe Zahl z x j y x y reell

Punkt x y in der komplexen Ebene

Betrag z x y ryPhase Argument z mitx

Polardarstellung z r j

Euler Formel r e

konj

j

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

= + ⋅

=

= + =

= =

= +

− = ⋅

= −

* : jugiert komplex z x jy r e ϕ−= − = ⋅

Rechenregeln

( )

( )

* *

* 2

( ) ( )

,

( )

j j

j

j

z x jy re w u jv seAddition z w x u j y v

Vektoraddition

Multiplikation z w rs eBeträge multiplizieren Phasen addieren

z rDivision polar ew sz z w z wDivision kartesisch Nenner reellw w w s

ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

+

−

= + = = + =+ = + + +

⋅ = ⋅

= ⋅

⋅ ⋅= =⋅

2

. !

0 .. 1j k

n nn n

pos reell n Lösungen

komplexe Wurzel z r e k nϕ π + ⋅ = ⋅ = −

komplexeSchwingungen

{{

.

" "

ˆ( )

Re ( )( ) Im ( )

j t j j t

komplexer lässt pos AnfangsAnfangs Zeiger mit Amplitude phasewert rotierenZeiger

komplexe Schwingung s t b e x e e

s treelle Schwingung x t s tHorizontaleZeigerprojektion auf Vertikale

ω ϕ ω

ω

−−

= ⋅ = ⋅ ⋅

=

Komplexe Schwingungen lassen sich viel leichter addieren unddifferenzieren als reelle Schwingungen. Das ist der Hauptgrund für dieEinführung der komplexen Zahlen in der Ingenieurmathematik. Derkomplexe Anfangswert b beinhaltet Information über Amplitude x undPhasenlage ϕ.



Komplexe Schwingungen

komplexerFrequenzgang

( ) ( )( )( )

arg( )

komplexer Frequenzgang F s t F r tr t komplexe Anregungs t komplexe Schwingung

Amplitudenfrequenzgang FPhasenfrequenzgang F

= ⋅

==

Eingeschwungene angeregte Schwingungen schwingen genau mitAnregungsfrequenz ω. Damit kann man Anregung und sich ergebendeSchwingung durch unterschiedlich lange und unterschiedlich orientierteZeiger darstellen, die aber synchron mit gleicher Drehzahl ω drehen! VomAnregungszeiger kommt man zum Schwingungszeiger durch komplexeMultiplikation mit dem komplexen Frequenzgang F. Er beinhaltet sowohldie Zeigerverlängerung oder –verkürzung (= Amplitudenfrequenzgang) alsauch die Zeigerdrehung (= Phasenfrequenzgang). F hängt von derSystemdämpfung und der Anregungsfrequenz ab, nicht aber von der Zeit.F kann sehr einfach algebraisch bestimmt werden.

fester Dämpfer,Anregung der Feder

0

0

0

( )( / )

( / )( ) (1/ )

( , 1/ )

(1/ )2

m schwingende Masse kgD Federkonstante N mk Dämpfungskoeffizient Ns m

Anregungs kreis frequenz s

D Eigenfrequenz ungedämpft sm

k Abklingkoeffizient sm

Frequenzverhältnis

Dämfungsgrad

ω

ω

δ

ωηωδθ

ω

=

=

=

=

21

1 2F

jη θη=

− + ⋅

GleichzeitigeAnregung von

Dämpfer und Feder2

1 21 2

jFjθη

η θη+ ⋅=

− + ⋅

feste Feder,Anregung des

Dämpfers2

21 2

jFj

θηη θη

⋅=− + ⋅

Unwuchtanregung2

21 2F

jη

η θη=

− + ⋅

ˆ ˆ ˆ :

ˆ :

x F a a AnregungsamplitudeMa M Unwuchtmasse imm

Abstand von Drehachse

ε

ε

= ⋅

= ⋅



Fourierreihen

Satz von Fourier2π – periodische Funktionen lassen sich wie folgt durch sin- und cos-Wellen darstellen („Fourierreihe“):

0

1 1

2

( ) ( 2 )

2cos sin

( cos sin )n nn

f x f x na DC Anteil

a x b x Grundwelle

a nx b nx Oberwellen

π

∞

=

= ± ⋅ =

+ −

+ + +

+ +∑

Die Fourierkoeffizienten an und bn lassen sich durch kompliziertereIntegrale bestimmen:

} { } {2

0

1 cos 0,1,2..( ) 1,2,..sinnn

a nxf x dx nb nx

π

π= =∫

Bei T-periodischen Funktionen ( ) ( )f t n T f t± ⋅ = wird einfach nur x

durch 22t f t tTπω π= ⋅ = ⋅ ersetzt (f : Frequenz, ω : Kreisfrequenz).

Gesamtamplitudenund Phasen

Anstelle der sin- und cos-Koeffizienten a und b verwendet der Ingenieurhäufiger die Gesamtamplituden A und Phasen ϕ:

2

0

1

2

(

arctan

) cos( )2

n

n n

n n n nn

n

af

b

x

A

A

ba

nx

a

ϕ

ϕ

∞

== + −

= + =

∑

Anwendung in derSchwingungslehre

Aus der Schwingungslehre ist bekannt, wie ein System auf sin- oder cos-förmige Anregungen (= „harmonische Anregungen“) reagiert.Nichtharmonische Anregungen können aber mit der Fourierreihe durchdie Überlagerung (= Aufsummation) einer Vielzahl von harmonischenAnregungen dargestellt werden. Die Reaktionen des System auf Grund-und Oberwellen werden dann einfach ebenfalls aufsummiert und manerhält die Systemreaktion bei nichtharmonischer Anregung.



Diskrete Fouriertransformation

DiskreteFouriertrans-

formation (DFT)

Die diskrete Fouriertransformation ist eine numerische Näherung für dieKoeffizienten an und bn der Fourierreihe. Die zur Berechnung notwendigenIntegrale werden einfach mit der Streifenflächenmethode angenähert. anund bn werden dabei zu einem komplexen „Spektralwert“ cnzusammengefasst, wodurch die sin- und cos-Funktionen durch

jnxe± ersetzt werden können, was die Rechnung stark vereinfacht.

21

0

0 2

*2 2

2 ,2: ; : ; : ( ); , 0,1.. 1

21 ; : ( )

, ( )

1.. 2 1

n nn k k k

N jn k Nn k

k

N

N m N m

f sei periodisch N äquidistante Stützstellena j bc x k y f x k n N

N

c w y w e SchnörkelfaktorN

c c sind reell DC Anteil und Oberwellenrest

c c m N

π

ππ

− − ⋅⋅

=

+ −

−− ⋅= = ⋅ = = −

= ⋅ ⋅ =

−

= = −

∑

2( )

2arg 1.. 2 1

N

n n

n n

ab c keine weiteren Informationen

Gesamtamplituden A cPhasen c n Nϕ

== − = −

IDFTInverse Diskrete Fouriertranformation und Trigonometrische Interpolation:

( ) ( )2 11

0 20 1

cos cos 2NN

n kk n n k n N k

n ny w c c A n x c N xϕ

−−⋅

= == ⋅ = + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅∑ ∑



Schnelle Fouriertransformationen

SchnelleFouriertrans-

formation (FFT)

Die schnelle Fouriertransformation ist ein geschicktes Rechenschema zurDurchführung der DFT mit möglichst wenig Rechenoperationen. Sie ist deram häufigsten eingesetzte mathematische Algorithmus in unsererheutigen Zeit und spielt bei so bekannten Anwendungen wie Musik-komprimierung in mp3 und Bilddkomprimierung in jpg eine wichtige Rolle.

Parametrische ebene Kurven

DefinitionBei parametrische Kurven werden die Punktkoordinaten als Funktion einerHilfsgröße (= Parameter) dargestellt: ( )( )( ) ( )

x tr t y t= .

Parameter können z.B. sein: Zeit t, Abrollwinkel ϕ, zurückgelegteWegstrecke s usw.

Steigung: dy ydx x

= (Punkt = Ableitung nach dem Parameter, auch wenn

dieser nicht die Zeit t ist!)

Bogenlänge: 2 2b

a

s x y dt= +∫

- 45°

-135°

- 45°

-135°

- 22,5°

- 45°

- 67,5°

-112,5°

- 135°

-157,5°

w(16) = e - j·22,5°w(8) = e - j·45°w(4) = e - j·90°=-j

0000 y0

1000 y8

0100 y4

1100 y12

0010 y2

1010 y10

0110 y6

1110 y14

0001 y1

1001 y9

0101 y5

1101 y13

0011 y3

1011 y11

0111 y7

1111 y15

16·c0

16·c1

16·c2

16·c3

16·c4

16·c5

16·c6

16·c7

16·c8

16·c9

16·c10

16·c11

16·c12

16·c13

16·c14

16·c15



Zylinder- und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten r, ϕ, z :

2 2cos

sin tan

:

r

z

Geschwindigkeitenv r radialv r tangentialv z

x r r x yyy r

axi

z z

al

x

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ== ⋅

=

= ⋅ = +

= ⋅ =

=

Kugelkoordinaten r, ϕ, θ :

2 2 2sin cos

sin sin tan

cos cos

:

sin

r

x r r x y zyy rxzz rr

Geschwindigkeitenv r radialv r tangential Südv r tangential Ost

θ

ϕ

θ ϕ

θ ϕ ϕ

θ θ

θθ ϕ

= ⋅ = + +

= ⋅ =

= ⋅ =

=

= ⋅= ⋅

Tangente, Normale, Krümmung

Verallgemeinerte Geschwindigkeit (t sei irgendein Parameter, nicht

notwendigerweise die Zeit): ( )

( ) ( ) ( )( )

x tv t r t y t

z t

= =

Tangenteneinheitsvektor: ˆ vTv

= (Geschwindigkeit immer tangential)

Hauptnormale:ˆˆˆ

TNT

= (zeigt zum Krümmungsmittelpunkt)

Krümmungsradius ρ, Krümmung κ : 1:T

vκ

ρ==

Krümmung einer ebenen Kurve, dargestellt durch Funktion y = f(x):

( )322

'': '1

''

f ff

κ = ≅+

(Näherung für flache Kurven f ‘<<1)

κ ist hier Vorzeichen behaftet: pos., wenn nach oben gekrümmt.

Tangential- undNormal-

beschleunigungBeschleunigung

2

,

ˆ ˆ( ) :tangential

normal zentripetal

va t v v T Nρ

= = ⋅ + ⋅

x

y

z

z

rϕ

P

x

y

z

θ rϕ

P



Partielle Ableitung

Partielles Differenzieren ( , )f x yx

∂∂

(eigenes Symbol! Kurzform: xf )

bedeutet Berechnung der Steigung in x-Richtung der Schnittlinie y =konst. Man differenziert einfach nach x, behandelt y wie eine Konstante.Bsp.:

3 2 4 4

2 2 3

3 4 3

( , )

3 4 ( 1,1) 1

2 4 ( 1,1) 3

x x

y y

f x y x y x y yf f x y x y fxf f x y x y fy

= + +∂ = = + − = −∂∂ = = + + − =∂

Tangentialebene xf und yf geben die Steigung der Tangentialebene t(x,y) an die Fläche( , )z f x y= in x- und y-Richtung an. Diese wäre im obigen Beispiel:

( , ) ( 1,1) ( 1,1) ( ( 1)) ( 1,1) ( 1)

1 ( 1) 3( 1) 3 3x yt x y f f x f y

x y x y= − + − ⋅ − − + − ⋅ − =

= − + + − = − − +Dies ist dann auch gleich die lineare Näherung einer „mehrdimensionalen“Funktion, hier in der Umgebung des Punktes (-1,1).

KettenregelSämtliche zur Endvariablen führende Wege ergeben einen Term in derKettenregel. Im Beispiel führen 2 Wege von f nach r (über x und y) aber 3Wege nach s (über x, y und z).

f f x f yr x r y rf f x f y f dzs x s y s z ds

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Gradient( , )( , ) : ( , )

xy

f x yf x y f x y ∇ =

Die partiellen Ableitungen bilden einfach die Komponenten eines Vektors,der „Gradient“ heißt. Der Gradient gibt die Richtung der steilsten Steigungan. Sein Betrag ist die steilste Steigung. Mit dem Gradienten kann man dieSteigung der Fläche z=f(x,y) an beliebigen Stellen 0 0( , )x y in beliebigeRichtungen der xy-Ebene ausrechnen („Richtungsableitung“). DieRichtung sei durch den Einheitsvektor u gegeben. Die gesuchte Steigungist dann: 0 0 ˆ( , )f x y u∇ ⋅ (Skalarprodukt).

f(x,y,z)

y(r,s)x(r,s) z(s)

sr



Partielle Ableitung

Höhere Ableitungen Bezeichnungsweise: ( )2

x xyyf f f f

y x y x∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

Satz von SchwarzDie Reihenfolge bei höheren gemischten Ableitungen ist egal, z.B.:

yx xyf f=

ExtremwerteExtremwerte (horizontale Tangentialebene!) von z = f(x,y) treten nur anden Stellen auf, an denen die ersten partiellen Ableitungen verschwinden:

0x yf f= =

Die Kriterien für die Art der Extremstelle mit Hilfe der 2. Ableitungen sindjetzt komplizierter als bei Funktionen einer Variablen:

( )( )( )( )

2

2

2

2

0 0

0 0

0

0

xx xx yy xy

xx xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

Maximum f und f f f

Minimum f und f f f

Sattel f f f

unklar f f f

< ⋅ − >

> ⋅ − >

⋅ − <

⋅ − =

TaylorreihenFür eine Funktion f(x,y,z) mit 3 Variablen gilt z.B. (Entwicklungspunkt sei(a,b,c), Schrittweiten seien h, k und l ):

02

2 2 2

1( , , ) ( , , )!

( , , ) . . :

2 2 2

( ,

n

n

xx yy zz xy xz yz

f a h b k c l h k l f a b cn x y z

h k l f a b c z B ist dabei eine Abkürzung fürx y z

h f k f l f hk f hl f kl falle Ableitungen ausgewertet an der Stelle a

∞

=

∂ ∂ ∂+ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

, )b c



Flächenintegrale

Mehrfachintegrale werden schrittweise von innen nach außen integriert.Es wird immer nur „ganz normal“ mit einer Integrationsvariablen integriert,die weiter außen stehenden Integrationsvariablen werden dabei alskonstant angesehen:

.: ( )

( , ) ( )

( , )

b d b

a c a

äußeres Iinneres Integral A x

b d

a c

f x y dy dx A x dx

dx dy f x y alternative Schreibweise

=

= =

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫Ergebnis der inneren Integration ist eine Funktion A(x), die die Fläche imSchnitt x = konstant zwischen der Funktion f und der xy-Ebene im Bereichc<y<d darstellt. A(x)dx ist als Scheibenvolumen zu interpretieren,Scheibendicke ist dx. Alle Scheiben des Aufschnittes werden bei deräußeren Integration zusammengezählt. Das Ergebnis ist damit dasVolumen zwischen der Funktionsfläche z = f(x,y) und der xy-Ebene imrechteckigen Bereich a<x<b und c<y<d.

Die Integrationsreihenfolge darf vertauscht werden. Bei konstantenGrenzen des Integrationsbereiches ist dies unproblematisch. Beiabhängigen Grenzen müssen diese aber beim Vertauschen von innererund äußerer Integration verändert werden!

Obwohl das Ergebnis als Volumen interpretiert werden kann (s.o.), sprichtman beim Doppelintegral von einem Flächenintegral, da dasIntegrationsgebiet ein flächiger Bereich der xy-Ebene ist. dy·dx ist dort dasFlächenelementchen, das gelegentlich auch mit dA abgekürzt wird.

dA inPolarkoordinaten dA r dr dϕ= ⋅ ⋅

FreiformoberflächenDas Freiform-Oberflächenelementchen (Freiformfläche durch z=f(x,y)gegeben) kann folgendermaßen bestimmt werden:

2 2 2 21 1x y x ydS f f dA f f dx dy= + + = + + ⋅Die Integration über einen Bereich der xy-Ebene ergibt dann dieentsprechende Gesamtoberfläche.



Flächenintegrale

Statische MomenteStatische Momente Sx, Sy ebener Querschnitte bezüglich x- oder y-Achse:

x yG G

S y dA S x dA= ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫Der Querschnitt sei durch Gebiet G in der xy-Ebene gegeben.Entscheidend ist immer der Abstand des Flächenelementchens dA vonder jeweiligen Achse. Der Abstand von der x-Achse ist z.B. y!

Flächenschwer-punkte ebenerQuerschnitte

Schwerpunkt ( , )x y ebener Querschnitte:

( , ) ,y xS Sx yA A

=

A: Querschnittsfläche

Flächenmomente2.Grades

In der Biegetheorie werden die Flächenmomente 2. Grades benötigt:2

2

2 2

.

.y

xx yp

Gxy

I axiales Flächenmoment bzgl y AchsexI axiales Flächenmoment bzgl x Achsey dA polares Flächenmoment I IIx y

DeviationsmomentIxy

− −= = ++

∫∫

Volumenintegrale

Volumenintegrale sind 3-fach Integrale und bestehen aus innerem,mittlerem und äußerem Integral:

( , , ) ( , , )

( , , )

f fb d b d

a c e a c e

inneres Integral

mittleres Integral

äußeres Integral

G

f x y z dz dy dx dx dy dz f x y z

f x y z dV

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫Die Integrale werden wieder schrittweise von innen nach außenberechnet, wobei die weiter außen stehenden Integrationsvariablenjeweils als konstant angesehen werden. dx·dy·dz ist dabei dasVolumenelementchen dV in kartesischen Koordinaten.

dV in Zylinder-koordinaten

dV r dr d dzϕ= ⋅ ⋅ ⋅

dV inKugelkoordinaten

2 sindV r dr d dθ θ ϕ= ⋅ ⋅ ⋅



Volumenintegrale

Massenträgheits-momente

Viele Formeln für Drehbewegungen kann man durch Modifikation derentsprechenden Formeln für linearen Bewegungen erhalten. DieGeschwindigkeit v wird durch die Kreisfrequenz ω ersetzt und die Massem durch das Massenträgheitsmoment J:

( )

( )

2

2

:DrehachseG

G

J Abstand von Drehachse dm

Abstand von Drehachse dVρ

= ⋅ =

= ⋅

∫∫∫

∫∫∫Falls die x-Achse Drehachse ist, gilt also beispielsweise:

( )2 2x

G

J y z dm= + ⋅∫∫∫dm ist dabei das Massenelementchen, das durch ρ·dV oder inkartesischen Koordinaten durch ρ·dx·dy·dz bestimmt werden kann (ρ:Dichte). Das Integrationsgebiet G erstreckt sich über den gesamtenDrehkörper und ist im Allgemeinen durch abhängige Grenzen in einemmöglichst günstigen Koordinatensystem anzugeben. Darin bestehtmeistens die Schwierigkeit bei der konkreten Berechnung!

Laplace-Transformation

DefinitionMit der Laplace-Transformation (LT):

{ }0

( ) ( ) : ( ) pt

Bildfunktion Originalim Bildbereich funktion im

Zeitbereich

F p f t f t e dt∞

−

−

= = ⋅∫L

wird aus der ursprünglichen Zeitfunktion f(t) eine andere Funktion F(p)gebildet. Man spricht von der Bildfunktion, die von der Variablen p im

Bildbereich abhängt. p hat die Dimension 1s

und wird in vielen

Lehrbüchern auch mit s abgekürzt. Um die Verwechslungsgefahr mit derSekunde zu vermeiden, verwenden wir hier aber p.

Der große Vorteil der LT ist folgender: aus komplizierten mathematischenOperationen im Zeitbereich (z.B. Differenzieren) werden einfachealgebraische Operationen im Bildbereich (Multiplikation mit p). Häufigkann man dann schnell die Lösung einer Differenzialgleichung imBildbereich finden und braucht nur noch deren Rücktransformation.




die wichtigstenBildfunktionen

Hin- und Rücktransformation geschieht meist mit Hilfe von Tabellen(„Korrespondenztafeln“). Hier die wichtigsten Korrespondenzen:

1

2 2

2 2

( ) ( )

1

1!

1

sin

cos

nn

at

F p f t

Einschaltfunktionp

Impulsfunktionn t

p

ep a

tp

p tp

ω ωω

ωω

+

→←

−

+

+

-1LL

Linearität { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a f t b f t a F p b F p⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅L

Differenzieren imZeitbereich

{ }{ } { }2 ( )

( ) ( ) (0)

( ) ( ) (0) (0) ( ) .n

f t p F p f

f t p F p p f f f t usw

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅ − =

L

L L

Integrieren imZeitbereich

0

( )( )t F pf d

pτ τ

= ∫L

Verschiebung imZeitbereich

Verschiebung im Zeitbereich um a nach rechts (Vorsicht, die verschobeneFunktion wird im Bereich 0<t<a Null gesetzt!):

{ }( ) ( )paf t a e F p−− = ⋅L

Dämpfungssatz { }( ) ( )ate f t F p a− ⋅ = +L

Ähnlichkeitssatz { } 1( ) pf at Fa a

= L

0

1f

t

0

1/af

t

Fläche = 1

a

0lima→




Faltungssatz{ }1 2 1 2

1 2 1 20

( ) ( )

: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )t

f f F p F p

Faltungsintegral f t f t f t f f t dτ τ τ

⊗ = ⋅

= ⊗ = ⋅ −∫

L

Rücktransformationrationaler

Funktionen

Rationale Funktionen kommen häufig als Lösungen von DGL im Bildraumvor. Sie lassen sich mit der Partialbruchzerlegung, der Linearitätsregel undden Korrespondenztafeln leicht zurück transformieren.

Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1LL

ElementareFunktionen

1

2 2

2 2

1 ( )

1 ( )!

1

sin

cos

nn

at

t Einschaltfunktionp

t Impulsfunktionn t

p

ep a

tp

p tp

σ

δ

ω ωω

ωω

+

−

+

+

Partialbrüche1

p a−ate

( )1

np a− ( )1

1 !

n att en

− ⋅−

( )2 2

1p a ω− −

sin att eωω

⋅

( )2 2

p ap a ω

−− − cos att eω ⋅



Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1LL

Modifizierterer Sinusund Cosinus 2 2

sin cosppϕ ω ϕ

ω⋅ + ⋅

+( )sin tω ϕ+

2 2cos sinp

pϕ ω ϕ

ω⋅ − ⋅

+( )cos tω ϕ+

( )2

2 2

24p p

ωω+

2sin tω

( )2 2

2 2

24

pp p

ωω

++

2cos tω

( )22 2

2 p

p

ω

ω+sint tω⋅

( )2 2

22 2

p

p

ω

ω

−

+cost tω⋅

HyperbolischeFunktionen 2 2

ap a−

sinh at

2 2p

p a−cosh at

Wurzelnpπ 1

t

12 p p

π⋅ t

23

4 ppπ⋅ t t

Logarithmen 0,57722γ =ln p

p pγ− − ln t

ln p ap

−

1 atet

−

2 2

2ln pp

ω +

( )2 1 cos tt

ω−

Arcusfunktionen arctanpω sin t

tω



Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1LL

Ein - Ausap bpe e

p

− −−

Treppe ( )1

1 app e−−

Rampe - Plateau ( )2

1 apk e

p

−−

Rechtecktanh ap

p

Ständig Ein - Aus ( )1

1 app e−+

Dreieck 2tanh2

apap

GleichgerichteterSinus 2 2 coth

2a p

ap aπ

+

a

1

tb

a1

t2a

23

at

kt

1t

2a-1

4a 6a

1ta 2a 3a

1t

2a 4a 6a

1t

π/a



Differenzialgleichungen (DGL)

DefinitionVersucht man in der Bewegungslehre, in der Biegelehre oder in der Statikkonkrete Problemstellungen in die mathematische Formelsprache zuübersetzen, so gelangt man häufig zu sog. Differenzialgleichungen (DGL).Die gesuchte Funktion (Bahn-Zeit-Funktion, Biegelinie oder Seilzug-Umschlingungswinkel-Funktion) ist mit ihren Ableitungen in einerGleichung verknüpft:

( )( , , ',..., ) 0 : ( )nf x y y y gesucht y x=Dies stellt die allgemeine Form einer DGL n-ter Ordnung dar. Diese sindnicht eindeutig lösbar sondern besitzen n unabhängigeIntegrationskonstante, die über Anfangs- oder Randbedingungenbestimmt werden müssen („wo befand sich die Masse z.Zt. t=0 und wieschnell war sie da“ ist z.B. eine typische Anfangsbedingung in derDynamik).

Trennung derVariablen

Lösungsmethode: Trennnung der Variablen bei DGL vom Typ:

1 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( !)

: ( ( )) ( ) :

dy f y f xdxf y dy f x dx f y dy f x dx Merkhilfe

Lösung F y x F x C F Stammfunktion von f

⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= +∫ ∫

Lösungsüber-lagerung bei linearen

DGLs

Lösungsüberlagerung bei Linearer DGL vom Typ:( )

2 1 0( ) ... '' ( ) ' ( ) ( ) ( )nn

Störfunktion

y f x y f x y f x y f x g x⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1) Finde allgemeine Lösung yh(x) der „homogenen Gleichung“ (rechteSeite = 0). Diese Lösung beinhaltet i.A. n unabhängige Integrations-konstante (s.o.).

2) Finde eine spezielle Lösung ys(x) der „inhomogenen Gleichung“ (incl.Störfunktion auf der rechten Seite). Diese Lösung ist nicht eindeutig.Man versucht, die einfachste Lösung zu finden. Die Lösungbeinhaltet keine Anpassparameter (Integrationskonstante).

3) Komplettlösung ist dann einfach die Summe: y(x) = yh(x) + ys(x). DieIntegrationskonstanten der homogenen Lösung müssen dann nochaus Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.



Differenzialgleichungen (DGL)

Lösung mit Laplace-Transformation

Die Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten und Anfangs-bedingungen:

( )2 1 0

( 1) ( 2)

... '' ' ( ) (*)

( 0), (0), ... , '(0), (0) :

nn

n n

a y a y a y a y g t

y t y y y vorgegebene Werte− −

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=(Variable jetzt mal die Zeit t) kann nach Schema f mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Dazu werden einfach linke und rechteSeite von (*) Laplace transformiert :

( ){ } { }

11 ( )

0

1 0

( ) (0) ... (**)

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

nn n i i

ni

a p Y p p y

a p Y p y a Y p G p

Y p y t G p g t

−− −

=

⋅ ⋅ − ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ =

= =

∑

L L

(**) kann dann nach Y(p) (= Lösung im Bildraum) aufgelöst werden. Esergeben sich dabei oft rationale Funktionen. Um die gesuchte Lösung y(t)im Zeitbereich zu erhalten, muss man nur noch mit Partialbruchzerlegungzurück transformieren. Diese Lösung enthält dann keine freienIntegrationskonstanten mehr und erfüllt sämtliche vorgegebenenAnfangsbedingungen.

Gekoppelte DGL-Systeme

Das Verfahren (Laplace-Transformation) ist auch bei gekoppelten DGL-Systemen anwendbar.

Bsp.: ' 6 0 (0) 1' 5 2 0 (0) 0

y z y yz z y z

+ + = =+ + = =

Man bekommt im Bildraum ein algebraisches Gleichungssystem, das nachY(p), Z(p) usw. aufgelöst werden muss.

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