2016

Tecnicatura Universitaria

en Organización de

Empresas Agropecuarias

MATEMÁTICA

Curso de Ambientación para Alumnos Ingresantes

Alumnos Ingresantes

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1

Bienvenidos…

Éste es nuestro primer contacto y a través de él deseamos darte la

bienvenida a nuestra Facultad de Ciencias Agropecuarias y en particular a

la cátedra de Matemática.

Uno de los objetivos de este material es lograr un primer

acercamiento con la asignatura, nivelando en aquellas áreas que necesitás

para una mejor inserción en la primera etapa de tus estudios universitarios.

Por nuestra parte te ofrecemos acompañarte y guiarte para que

logres las competencias matemáticas necesarias para poder aplicarlas a lo

largo de la carrera, sin embargo necesitamos también de tu dedicación,

esfuerzo y entusiasmo, lo cual garantizará tu compromiso con el deseo de

aprender.

En esta línea de compromiso con tu aprendizaje, te brindamos este

material en el cual encontrarás conceptos teóricos, ejemplos, ejercicios

propuestos con sus respuestas y problemas sencillos de aplicación. Además

para amenizar y poner en juego tu creatividad encontrarás algunos

acertijos matemáticos y problemas de ingenio a resolver.

Al final del cuadernillo, se agrega también la bibliografía que podés

consultar, para ampliar tus conocimientos sobre los temas estudiados.

Te esperamos y te deseamos muy buen comienzo!!!

Equipo de trabajo de las cátedras de Matemática

de la Facultad de Ciencias Agropecuarias.

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Contenidos

Unidad 1:

Operaciones con los números reales Magnitudes proporcionales Regla de tres y porcentajes Aplicaciones

Unidad 2:

Expresiones algebraicas Polinomios Factorización Aplicaciones

Unidad 3:

Ecuaciones de primer y segundo grado Función lineal y cuadrática Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Aplicaciones

Problemas para ejercitar tu ingenio, tu creatividad y tu razonamiento lógico Bibliografía

3

Unidad 1 Operaciones con Números Reales y Complejos Introducción Los distintos conjuntos de números reales que se utilizan se deducen a partir de sucesivas ampliaciones del conjunto de números naturales.

Símbolos:

N = Números Naturales Z = Números Enteros Q = Números Racionales I = Irracionales R = Números Reales C = Complejos

1) Números Naturales Se representan con los símbolos:

,....5,4,3,2,1N

Propiedades: 1- El conjunto de los números naturales es infinito 2- Tiene primer elemento. No tiene último elemento. 3- Todo número natural tiene un sucesor.

Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos

Ej. m N ; sig m / sig N

4- Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números

naturales. Conjunto discreto.

Representación geométrica

Operaciones en N

1.1 Propiedades de la suma a) Es una operación cerrada, es decir: a + b N, a, b N

b) Conmutativa: a + b = b + a, a, b N

c) Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, a, b, c N

d) Cancelativa: a + b = a + c b = c, a, b, c N

4

1.2 Propiedades de la diferencia a) No es una operación cerrada: 5 – 7 / N La diferencia entre dos números naturales existe sí y sólo sí el minuendo es mayor que el sustraendo, es decir:

SI a, b N, a – b = número N, a > b

b) No se verifica la propiedad conmutativa: 5 – 7 7 – 5

c) No es asociativa: 7 – (4 – 1) (7 – 4) – 1

d) Cancelativa: a – b = c – b a = c

1.3 Reglas de supresión de paréntesis a) a + (b – c) = a + b – c b) a – ( b + c) = a – b – c c) a – (b – c) = a – b + c

1.4 Propiedades del producto a) Es una operación cerrada: a, b N, a . b N

b) Conmutativa: a . b = b . a a, b N

c) Asociativa: a. (b . c) = (a . b) . c, a, b, c N

d) Cancelativa: (a . b = a . c b = c ) a, b, c N

e) Existencia del elemento neutro: 1 N / a . 1 = 1 . a = a, a N f) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y la diferencia:

a . ( b + c ) = a . b + a . c a. ( b – c ) = a . b – a . c

Como consecuencia de la propiedad conmutativa del producto, se obtienen las propiedades siguientes:

( b + c ) . a = b. a + c . a

( b - c ) . a = b. a - c . a

1.5 Propiedades del cociente a) No es una operación cerrada: 7 : 4 N El cociente entre dos números naturales existe en el caso que el dividendo es múltiplo del divisor.

b) No es conmutativo: 6 : 3 3 : 6

c) No es asociativa: 8 : (4 : 2) (8 : 4) : 2

d) Cancelativa: a : b = c : b a = c e) Distributiva del cociente respecto a la suma y diferencia; esta propiedad es válida sólo a la derecha:

Observación:

En N, con la operación suma se pueden plantear problemas que no siempre tienen solución, como es el siguiente:

“Sean n, m N con n m. Hallar x N de manera que n + x = m”

Por ejemplo: ¿Existe x N / 6 + x = 4? La respuesta es negativa, no se puede encontrar x número natural que lo verifique. Si, en cambio, se considera este problema en el conjunto de Números Enteros la respuesta al planteo anterior es afirmativa, al existir x = -2 número entero que soluciona el problema, pues: 6 + (-2) = 4. Luego, es necesario considerar este conjunto de números enteros.

5

2) Números Enteros

Se representan con los símbolos:

Z = ,...3,2,1,0,1,2,3...

O bien: Z0ZZ

Propiedades:

1. El conjunto de Números Enteros (Z) es infinito. 2. No tiene primer ni último elemento. 3. Todo número entero tiene sucesor. 4. Dos números, un entero y su sucesor, se dicen consecutivos. 5. Todo número entero tiene un antecesor. 6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Conjunto discreto.

Representación geométrica:

Volviendo a la pregunta anterior pero formulada de otra manera:

¿Existe x Z tal que, n + x = m?

La respuesta entonces es afirmativa, existe un único x Z definido por: x = m – n que satisface la ecuación dada.

Operaciones en Z

2.1 Propiedades de la suma Se verifican las propiedades 1.1 de la suma de números naturales. Además:

f) Existencia del elemento inverso aditivo (opuesto):

a Z, -a Z/ a + (-a) = (-a) + a = 0

2.2 Propiedades de la diferencia Se verifican las propiedades 1.2 de la diferencia de Números naturales, excepto la propiedad 1.2 a). Es decir: La diferencia de números enteros es una operación cerrada, pues:

a – b Z, a, b Z.

2.3 Reglas de supresión de paréntesis Son válidas las mismas reglas citadas en el punto 1.3

2.4 Propiedades del producto Se verifican las mismas propiedades 1.4 del producto de números naturales.

2.5 Propiedades del cociente Se verifican las mismas propiedades 1.5 del cociente de números naturales.

6

2.6 Reglas de signos para el producto y el cociente: a . b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a . b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) a : b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a : b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0)

En síntesis...

(+).(-) = - (+).(+) = + (-).(+) = - (-):(-) = +

(+):(-) = - (+):(+) = + (-):(+) = - (-):(-) = +

Pero, también en Z hay problemas que no siempre tienen solución. Por ejemplo, para la operación producto:

“si n, m a Z con n 0 y m un número que no es múltiplo de n. ¿Existe x a Z tal que: n.x = m?” Por ejemplo: ¿Qué número x verifica que 5.x = 2?

Ningún número entero lo verifica, pero sí el número fraccionario x = 5

2

ya que 5. 5

2 = 2

Por lo tanto es necesario considerar una ampliación del conjunto de los números enteros. Para ello consideramos el conjunto de los números racionales (fraccionarios) para resolver problemas como el planteado anteriormente.

3) Números racionales

Son números racionales los de la forma: n

m con n, m Z y n 0, donde m: es el

numerador y n: es el denominador.

Propiedades:

El conjunto de números racionales es infinito. No tiene ni primer ni último elemento.

Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de números racionales. Conjunto denso.

Representación geométrica

7

Operaciones en Q

3.1 Definición de suma y diferencia

Suma: s.q

q.rs.p

s

r

q

p

Diferencia: s.q

q.rs.p

s

r

q

p

El común denominador es el mcm (mínimo común múltiplo) entre los dos denominadores.

3.2 Propiedades de la suma y de la diferencia La suma y la diferencia de números racionales gozan de las mismas propiedades que la suma y la diferencia de números enteros; propiedades ya citadas en los puntos 2.1 y 2.2. También son válidas las reglas de supresión de paréntesis mencionadas en el punto 2.3.

3.3 Definición de producto y cociente

Producto: sq

rp

s

r

q

p

Cociente: rq

sp

r

s

q

p

s

r

q

p

3.4 Propiedades del producto

Se verifican las propiedades 1.4 y además existe el elemento inverso, es decir:

q

p Q y p 0,

p

q Q / 1

p

q

q

p

3.5 Propiedades de la división Se verifican las propiedades 1.5, salvo 1.5.a, es decir, la división en Q es una operación cerrada:

s

r

p

q Q,

q

p Q,

s

r Q

3.6 Orden en Q: Si b > 0 y d > 0, entonces se define el siguiente orden:

bcdad

c

b

a

Entonces hasta aquí se consideraron tres conjuntos de números:

N, Z, Q que guardan la siguiente relación: QZN

La pregunta simple que uno puede plantearse es: “¿Existen otros números que no sean números racionales?” Sí existen. Para confirmar esta afirmación veamos el siguiente problema.

Común denominador

8

¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo, isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud unitaria (igual a 1)? Si aplicamos el Teorema de Pitágoras, vemos que la longitud de la hipotenusa es

2 .

Se puede demostrar que este número 2 no pertenece a Q.

Concluimos que existen números que no son racionales, a estos los llamamos irracionales.

4) Números Irracionales

Son números irracionales por ejemplo: 2 , 3 , 5 , , e, etc.

Este conjunto de números irracionales junto con el conjunto de los números racionales determinan el conjunto de los números reales ®.

Q: Números Racionales R = Números Reales

I: Números Irracionales

5) Números Reales Se simbolizan:

R = ,...2/7,...2,...1,...0,...7/3,...4,...5...,

Propiedades: El conjunto de R cumple con todas las propiedades del conjunto de los números racionales: Es infinito. No tiene primer ni último elemento. Entre dos números reales, existen infinitos números reales. Conjunto denso. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación de menor o igual.

Representación geométrica: Recta Real: A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real. La representación geométrica corresponde a la recta numérica o eje numérico.

0 R+ R-

9

Operaciones en R Todas las operaciones cumplen las mismas propiedades que los números racionales.

6) Potenciación

Sea a R, entonces se define:

a0 = 1 si a 0;

aa1

a....a.a.aan para n N y n > 1

La definición se amplía para exponente entero negativo:

Si z = -n con n N 0a,a

1)a(a

n

n1z

6.1 Propiedades de la potenciación

a) mnmn aaa

b) nnn ba)ba(

c) m.nmn a)a(

d) n

nn

b

a

b

a

; con b 0

e) mn

m

n

aa

a

Reales

Irracionales

Racionales Enteros Naturales

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Notación Científica

Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente. Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma:

a x 10n

donde 1 a 10 y n es un entero. Decimos que un número escrito así está en notación científica. Por ejemplo:

1.000.000 = 1 x 106 0.0000000954 = 9,54 x 10-8 La mayoría de las calculadoras convierten automáticamente un número en notación científica cuando éste es muy grande o muy pequeño como para ser expresado en forma decimal.

Por ejemplo, el número 2,789 x 1015 requiere 16 dígitos para su forma decimal pero, ya que pocas calculadoras pueden expresar más de diez dígitos, el signo de multiplicación y la base no se muestran. Entonces, el número:

2,789 x 1015

aparece como:

2,789 15

y el número:

3,05 x 10-14

aparece como:

3,05 -14

Dígitos significativos

La mayoría de las aplicaciones de las matemáticas en el mundo real, incluyen medidas que están sujetas a error y, en consecuencia, se consideran aproximaciones. Podemos describir la exactitud de una aproximación estableciendo cuántos dígitos significativos tiene. Supongamos que el resultado de una medida se exprese en notación científica:

x = a x 10n, donde 1 a 10 y se sabe que los dígitos en a son exactos (excepto, posiblemente, el último dígito, el cual puede ser aproximado si el número fue redondeado). Si a contiene k lugares decimales (es decir, k dígitos a la derecha del punto decimal), entonces se dice que x tiene k + 1 dígitos significativos. Según esta convención:

4,2693 x 10 23

tiene cinco dígitos significativos y

7,60 x 10 -20

tiene tres dígitos significativos.

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7) Radicación

Se define como raíz enésima de un real a, al real cuya potencia enésima es a, es decir:

Nn,abab nn

Donde,

n a : Radical a : Radicando

n : Índice : Signo radical

Se puede determinar el signo de la raíz según que el índice sea par o impar, y el radicando positivo o negativo. Ejemplos:

a) 82pues28 33

b) 8)2(pues28 33

c) 16)2(y162pues216 444

d) 4 16 no es posible calcularla en R, pues ningún número real elevado a

exponente par da por resultado un número negativo.

7.1 Propiedades de la Radicación

Sean m y n enteros positivos, a y b números reales. Entonces:

a) a)a( nn

b) paresnsi,aimparesnsi,a)a(n n

c) nnn b.aba

d) nn

n

b

a

b

a

e) n.mm n aa

siempre y cuando los radicales representen números reales.

Observación: Tanto la potenciación como la radicación no son distributivas con respecto a la suma y a la diferencia.

Ej. 861410100pues64366436;35)35( 222

Así como se amplió el conjunto de número naturales; el conjunto de números reales también puede ser ampliado a un nuevo conjunto de números; el conjunto de número complejos C. En consecuencia en C, se podrán resolver problemas como el siguiente:

Hallar x R / x2 + 4 = 0

que en R no tienen solución.

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Exponentes Racionales

El concepto de raíz enésima de un número nos capacita para ampliar la definición

de n1

x de exponentes racionales; y como veremos, con frecuencia es más fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales. Para cualquier número real x y para cualquier entero positivo n, definimos:

nnn1

xquedado;xx es un número real.

Además definimos

mn1nm

)x(x

para cualquier entero m tal que m/n sea la mínima expresión. Para x > 0, se puede demostrar que:

nm

mn1

n1

m x)x()x(

Sin embargo, para x <0 y ciertas opciones de m y n, n1

x no es un número real y,

en consecuencia, mn

1)x( no está definida, aunque la expresión n

1m )x( podría

estar definida.

Propiedades de los exponentes fraccionarios:

Sean x e y números reales, r y s números racionales. Entonces:

a) srsr xx.x

b) rss.rsr )x(x)x(

c) rrr y.x)y.x(

d) r

rr

y

x

y

x

e) sr

s

r

xx

x

partiendo de que todas las expresiones representan números reales.

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Ejercitación 1) Resolver

);48)(98)(38()84)(74)(64() a

;)12(9)25(316) b

4

251

6

832

8

2416

2

37)

c

;101114

61722

7816

6178

2138

293116)

d

);5(:4:)315()5(:)83()545() e

)11(210111285:7124) f

;64:232

)64(:24

)72(:360

)8(:)200(

25:)100(

)6(:48

4:)12(

)6(:)90()

g

2) Resolver

a) ;6

7

21

)8(

14

1

7

8

3

1)

a

;90

73

36

17

18

5

20

170)

b

3) Resolver

;7

10

9

2

2

1

5

3)

a

;5

8

3

5

2

1

4

3)

b

;10

6:

5

2)

c

;5

6:

3

8)

d

4) Resolver

;6

52

3

1

9

8

4

3

2

1

3

21)

a

;2

1

5

7

8

21

7

4

4

3

8

1

5

41

5

1

4

5)

b

14

;15

4:

2

1

3

1

5

1)

c ;

5

1

9

8:

5

2

12

5)2()

d

;

4

13

28

5

3:2

11

3

21

4

3

)e

;3

1

2

1

4

3

3

2

12

41

31

3

1

)f

5) Resolver

;3

4)

12

a

15

3

3

1)

b

;3

1

8

92

3

)

2

c

6) Resolver

;)1(4

1

4

1:

2

1

2

11

6

5) 4

2432

a

;81

25

81

16) b

;4

1:4981:

5

3

5

22)

22

c

15

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) -4 b) -16 c) 4 d) 20 e) -1 f) 1 g) 1

2) a) 0 b) 22/15

3) a) 2/21 b) 1 c) 2/3 d) -20/9

4) a) 9/4 b) 53/40 c) 31/8 d) 3/2 e) -3/2 f) –12/25

5) a) 9/16 b) –315 c) 1

6) a) -1/2 b) –13/9 c) 7/80

Problemas de aplicación: NOTACIÓN CIENTÍFICA

1) Un animal tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4500000 glóbulos rojos

en cada milímetro cúbico de ésta, calcula en notación científica su número aproximado de glóbulos rojos.

RTA.:.1310.25,2 glóbulos

2) Una molécula de hidrógeno pesa g2410.3,3

.¿Cuántas moléculas hay en un gramo de hidrógeno?

RTA: moléculas2310.3

3) Calcula tu edad en segundos utilizando la notación científica. ¿Cuál es el orden de magnitud?

4) La velocidad de la luz es 810.3 m/s. a) ¿Qué distancia recorre la luz en un

año? b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? Distancia del Sol-

Plutón es: 610.91,5 km . RTA: a)

km1210.45,9 b) 19,7 seg

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MAGNITUDES PROPORCIONALES

Razones y proporciones

Se denomina razón entre dos números a y b (b≠0), al cociente de la división de

a por b. El primer número se denomina antecedente y el segundo consecuente. En símbolos:

a : b o bien a/b

Por ejemplo, el porcentaje es una razón entre un número y 100.

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Dados cuatro números

a, b, c, d, distintos de cero, en ese orden, forman una proporción cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón de los dos últimos. En símbolos:

d

c

b

a Se lee: a es a b como c es a d

Se denominan extremos de la proporción a a y d, mientras que b y c se llaman medios.

Propiedad fundamental: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

cbdad

c

b

a..

Cálculo de un elemento de una proporción

Para calcular un elemento de una proporción es suficiente aplicar la propiedad fundamental. Considerando que se desea calcular un extremo, simbólicamente:

17

Magnitudes proporcionales

Magnitud es toda propiedad que se puede medir, por ejemplo el tiempo, el peso, la superficie, el volumen, la longitud, etc.

Las magnitudes pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes x y y, son directamente proporcionales cuando están relacionadas por la función y = k . x, siendo k un número distinto de cero que se denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad. El cociente entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo, es

constante, kx

y

Propiedades

1. Dadas las magnitudes directamente proporcionales, si se multiplica una cantidad de la primera por un número, la cantidad correspondiente a la segunda magnitud queda multiplicada por el mismo número (es decir si aumenta o disminuye la cantidad de una de las magnitudes, la cantidad correspondiente a la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción).

Dadas las cantidades de las magnitudes x1, y1, si x1 aumenta n veces, entonces y1 aumenta n veces también, simbólicamente:

.

2. Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de la primera es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la segunda. En lenguaje simbólico:

2

1

2

1

y

y

x

x

Representación gráfica de una función de proporcionalidad directa

La función y = k . x se representa mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas.

x

y y = k . x

18

Por ejemplo, la tabla que sigue representa la cantidad de conservante en kg que se agrega a distintas cantidades de un producto alimenticio.

Producto (tn) 20 30 40 50

Conservante

(kg)

2 3 4 5

El cociente entre el conservante y la masa de producto elaborado es siempre 0,1, por lo tanto las magnitudes son directamente proporcionales. Si x es la masa del producto e y la del conservante, y= k .x, para la primera columna numérica: 2= k. 20 k= 2/20=0,1, es decir la constante de proporcionalidad es 0,1. La fórmula es y = 0,1. x. Se puede observar que si se duplica la cantidad de producto se duplica la cantidad de conservante que se debe agregar.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes x y y, son inversamente proporcionales cuando están

relacionadas por la función x

ky , siendo k un número distinto de cero que se

denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad. El producto entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo, es constante, y . x = k.

Propiedades

1. Dadas las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente queda dividida por el mismo número (es decir si aumenta o disminuye la cantidad de una de las magnitudes, la cantidad correspondiente a la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción).

Dadas las cantidades de las magnitudes 11 yex , si 1x aumenta n veces,

entonces 1y disminuye n veces también. Simbólicamente:

1212

1y

nynxx

2. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre dos

cantidades de la primera es igual a la razón inversa entre las cantidades

correspondientes a la segunda. En lenguaje simbólico: 1

2

2

1

y

y

x

x

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Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa

La función x

ky se representa mediante una hipérbola

equilátera.

x

Por ejemplo, la tabla que sigue representa la viscosidad de una sustancia en función de la temperatura.

Temperatura

(ºC)

20 40 60 80

Viscosidad

(Pa.s)

1,8 0,9 0,6 0,45

El producto entre la viscosidad y la temperatura es siempre 36, por lo tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Si x es la temperatura e y la viscosidad, y= k / x, para la primera columna numérica: 1,8= k / 20 k= 1,8 . 20=36, es decir la constante de proporcionalidad es 36. La fórmula de la función de proporcionalidad inversa en este caso es: y= 36 / x

Problemas de regla de tres

Son problemas en los que se involucran magnitudes proporcionales en los que conocido un par de elementos correspondientes y otro de una de las magnitudes, se debe calcular el elemento que le corresponde en la otra magnitud.

Si interviene sólo dos magnitudes, la regla de tres es simple.

Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres es directa y si son inversamente proporcionales la regla es inversa.

Para resolver este tipo de problemas se utilizan las definiciones y propiedades de las magnitudes proporcionales.

y

20

Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE

1. ¿A qué distancia del pueblo se encuentra un agricultor que transporta abono en un vehículo, si las ruedas avanzan 3.77 m en cada vuelta y al llegar a la finca ha contado 492 vueltas de las ruedas?

2. Un productor espera cosechar 58 quintales de alfalfa / ha en una chacra de 180

m por 150 m. La alfalfa pierde al secarse 4/7 de su peso. Si el agricultor tiene 8 vacas y cada una de ellas consume 14 kg de forraje seco/día, ¿durante cuántos días podrá alimentarlas con la alfalfa?

3. Los ¾ de un terreno trapezoidal (con B = 240 m, b = 180 m, h = 2/3 de B) fueron

sembrados con remolacha azucarera. El rendimiento al cosechar es de 40 tn/ha. a) ¿Cuál es el peso de la remolacha cosechada? b) ¿Cuántas tn se habrían cosechado se hubieran sembrado los 5/6 del terreno? c) Sabiendo que las remolachas dan el 12% de su peso en azúcar, ¿cuál es, a $220 el quintal, el valor del azúcar obtenido? 4. Una refinería de azúcar funciona 150 días por año. Por día recibe 50 vagones de

10 tn de remolacha azucarera cada uno, la cual pierde el 5% de su peso en el lavado y el 2% al ser cortada. Si las remolachas cortadas proporcionan el 15% de su peso en azúcar, qué cantidad de azúcar produjo la refinería en el año? ¿Qué extensión debe sembrarse con remolacha para mantener esta producción? (Rendimiento por ha: 40 tn)

5. Un granjero posee 6 toros , 15 vacas, 12 terneros y 6 caballos. Un toro

pesa 850 kg, una vaca 650 kg, un ternero 100 kg y un caballo 600 kg. Se calcula que un animal da, en los meses de invierno, 10 veces su peso en estiércol.

a) ¿Cuál será el largo del montón de estiércol si mide 6 m de ancho y 2.5 m de alto? (1 dm3 de estiércol pesa 0.9 kg). b) El granjero usó, a razón de 30 tn/ha, los 6/23 de ese montón, para abonar un campo rectangular de 180 m de largo, ¿qué ancho tiene el campo? 6. Argentina tiene 33 millones de habitantes y se consume 450 kg de pan

por habitante por año. Cada hectárea de trigo produce, en promedio, 16.5 qq. De cada 100 kg de trigo se obtienen 78 de harina y de cada 100 kg de harina se obtiene 130 de pan. Fijar la superficie de cultivo necesaria para que a ningún argentino le falte el pan necesario par su consumo diario, suponiendo que sólo se puede hacer una cosecha anual de este cereal.

7. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con

20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas?.

21

8. Para elaborar la ración para engorde de los animales, se debe utilizar la siguiente fórmula: - pellet de soja: 8%

- afrechillo de trigo: 15% - heno molido: 8% - premezcla mineral: 3% - maíz rolado: lo que resta.

El productor debe tener en cuenta que en el proceso de rolado pierde un 4% del peso del maíz, en merma de manipuleo pierde: 3% de pellet de soja, 3% de afrechillo de trigo, 7% de heno molido. La materia seca de la ración es del 88% de su peso. Sabiendo que cada animal consume por día el 3% de su peso vivo en materia seca; determinar la cantidad de cada ingrediente que debe comprar un productor que tiene un feedlot de 700 novillitos, de 250 Kg peso promedio, para elaborar el alimento necesario para 15 días.

9. Un apicultor tiene 25 colmenas. Cada colmena produce 30 Kg de miel y 2,5 Kg

de cera por año. La miel se vende a $ 6 el kilo y la cera a $ 5,60 los 500 gr. Calcular: a) El rendimiento bruto promedio del colmenar b) Sabiendo que: los gastos de conservación ascienden al 15% de lo producido en la venta de la miel y la cera. Deben agregarse, además, los gastos especiales de alimentación durante el invierno: por colmena 2,5 Kg azúcar a $ 1,30 el kilo. ¿Qué ganancia anual obtiene al apicultor?.

10. En una granja hay 15 caballos y 60 vacas. La alimentación de cada animal exige

diariamente 12 Kg de alfalfa seca, durante 6 meses para las vacas y durante todo el año para los caballos. La alfalfa verde pierde, al secarse, los 3/5 de su peso. Se estima, aproximadamente, que el rinde de un campo de alfalfa es de 240 qq por hectárea de forraje verde al año. ¿Qué superficie se debe sembrar para asegurar la alimentación de todos los animales en un año?

11. Un propietario posee 24 durazneros y 18 perales. Este año cosechó 85 Kg de

duraznos y 120 Kg de peras por árbol. Vendes los 2/3 de las peras a $ 2,40 el Kg, y los 3/5 de los duraznos a $ 2,50 el Kg.

a) ¿Cuánto obtiene con la venta? b) Lleva el resto a una fábrica de conservas, donde los duraznos descarozados y pelados pierden el 25% de su peso y las peras preparadas pierden el 10%; esta fruta es envasada en latas que tienen 1500 gr de capacidad cada una. ¿Cuánto obtendrá, a razón de $5,50 por lata, con la preparación de sus conservas?

12. 12) En un campo, entran 40000 kg de grano de maíz destinado a alimentar a

500 novillos en feedlot. Como desecho se desperdicia el 13 % debido a pérdidas en el almacenamiento y distribución del grano. Hallar la cantidad aprovechada.

13. 13) El análisis de una muestra de 1435 g de mineral indica un total de 0,369 g de

hierro. Hallar el porcentaje de hierro en el mineral.

14. 14) En un tambo de 583 vacas, el 80,6% de los animales se encuentran en ordeñe, el resto son vacas secas. De éstos aproximadamente el 68 % corresponden al lote de punta y el resto a vacas en el lote de cola. ¿Qué cantidad de vacas hay en cada categoría?

22

RTAS. Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE

1) 1.854,84 m 2) 60 días 3) a) 100,8 Tn b) 112 Tn c) $26.611,2 4) a) 10.473,75 Tn b) 1.875 ha 5) a) 0.14555 dm b) 95 m 6) 8.875.739,65 ha 7) 18 días. 8) Maíz: 61523,44 Kg; Heno: 7697,96 Kg; Afrechillo de trigo: 13838,45 Kg; pellet de

soja: 7380,52 Kg; premezcla mineral: 2684,66 Kg. 9) a) $ 5200 b) $ 4338.75 10) 20,25 ha

11) a) $ 3060 por los duraznos y $ 3456 por las peras. b) $ 4620 12) 34.000 kg 13) 0.0257 % 14) Ordeñe: 470 vacas Secas: 113 vacas Punta: 320 vacas Cola: 150 vacas

23

Unidad 2 Expresiones Algebraicas

A – DEFINICIONES

Expresión literal: Es la reunión de letras (variables) y cifras (números reales) combinados entre sí y sometidos a operaciones matemáticas. Expresión algebraica: Es toda expresión literal en la que aparece una combinación finita de las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos:

x + y ; xy2

yx 22 ;

3322 bab3ba3a

Expresión algebraica entera: Es toda expresión algebraica en las que las operaciones matemáticas de que se compone son las siguientes: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente natural. Ejemplos:

ax2 + bx + c ; x2 – 2xy + y2 ; cx + d

Expresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica: Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, siendo la segunda no nula. el numerador y el denominador de la fracción se llaman dividendo y divisor respectivamente. Ejemplos:

1x

1xx2

2

2

;

22

32

yx

xxxy2

Monomio: Es toda expresión entera en la que no intervienen las operaciones de suma ni de resta. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3

Coeficiente de un monomio: Es el número real que precede al monomio. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3 tienen por coeficientes, respectivamente 3 y – 1 / 3.

24

Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen las mismas letras o variables con los mismos exponentes, es decir, cuando difieren solamente por los coeficientes. Ejemplos:

yx4 2 ; yx

5

6 2

Grado de un monomio: Es el número natural de sus factores literales; es decir, la suma de los exponentes de todas sus letras o variables. Ejemplo:

El monomio 232 zyx9 es de 7mo. grado.

Polinomio: Es la suma algebraica de monomios llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo tres

términos se llama trinomio, etc.

Ejemplos:

bax ; yx son binomios;

22 yxy2x es un trinomio;

5x2x3x2 34 es un polinomio.

Grado de un polinomio: Es el mayor de los grados de los monomios que componen el polinomio. se simboliza con: gr [p(x)]. Ejemplo:

p(x) = 5x2x3x2 34 es de 4to grado o gr [p(x)] = 4

q(x) = 3x7 2 es de 2do grado o gr [q(x)] = 2

Polinomio homogéneo: Es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado. Ejemplo:

22 yxy2x4 es un polinomio homogéneo de 2do grado

Polinomio ordenado respecto a una de sus letras (o variables): es cuando los términos del polinomio están dispuestos de modo que los exponentes de dicha letra ordenatriz o variable vayan aumentando o disminuyendo sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o decreciente, según que los exponentes de la letra ordenatriz o variable vayan de menor a mayor o viceversa. Ejemplo:

El polinomio 8ax4x2ax5x7 22463 ordenado en forma decreciente

respecto de la variable x será:

8ax4x7x2ax5 22346

Polinomio completo: Es todo polinomio que contiene términos de todos los grados de la letra ordenatriz o variable elevado hasta el grado cero. Ejemplo:

25

El polinomio 1x5 puede completarse de la forma:

1x0x0x0x0x 2345

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número real que resulta de reemplazar las letras o variables por números determinados y ejecutar las operaciones en la expresión dada. Ejemplos:

El valor numérico de la expresión: yx

yxy2x 22

para x=3 , y=2

Es igual a 5, pues: 55

25

23

22.3.23 22

Observación: Una expresión algebraica tiene un valor numérico para cada sistema de valores que se atribuyan a sus variables, siempre que las operaciones a las cuales están sometidas, sean posibles. Ejemplo:

La expresión 2x

6x4x2

carecerá de valor numérico para x=2, por no ser posible la

división cuando el divisor es nulo.

Operaciones con polinomios

1) Suma: 3xy4yxyxxy3yx3yxxy 333333333

2) Resta:

3yx2xy2xyyxxy3yx3yxxy 3333333333

3) Producto:

a) Producto de un polinomio y un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva:

cdbdadd.cba

26

Ejemplo:

xy6yx2yx2xy2.3yxxy 244233

b) Producto de dos polinomios: Se utiliza la propiedad

cebeaecdbdade).cba(d.cbaed.cba

Ejemplo:

2xx2.1xx2x3 223

21xx2x3x.1xx2x3x21xx2x3 2323223

2x2x4x6xxx2x3x2x2x4x6 232342345

2x3x7x10x7x6 2345

Nota: La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica:

2x3x7x10x7x6

2x2x4x6

xxx2x3

x2x2x4x6

2xx2X

1xx2x3

2345

23

234

2345

2

23

27

4) Cociente de dos polinomios:

En general cuando se divide un entero positivo p por un entero positivo s, obtenemos un único cociente q y un residuo r que satisfacen:

rq.sp donde 0 < r < s

Un resultado análogo, llamado algoritmo de división para polinomios se enuncia de la siguiente manera:

El algoritmo de división para polinomios:

Sea f(x) y q(x) polinomios con g(x) 0 , entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x)

tales que:

)x(r)x(q).x(g)x(f

Donde, r(x) es 0, o tiene un grado menor al grado de g(x). Llamamos a f(x) dividendo, a g(x) divisor, a q(x) cociente y a r(x) residuo. Cuando r(x)=0, entonces, entonces f(x)=g(x).q(x) y g(x) es un factor de f(x). En este caso se dice que f(x) es divisible por g(x). Observación: Si g(x) es un polinomio de primer grado, entonces el resto o residuo r(x) es un polinomio de grado cero, es decir, un número real. Ejemplo: Consideremos una disposición práctica para f(x):g(x)

_ 3223 a2xa7ax2x8

22 aax3x4

xa2ax6x8 223 ax2

322 a2xa5ax4

322 axa3ax4

32 axa2

con lo cual q(x)= 2x-a y r(x)= 32 axa2

Por otro lado se puede verificar que:

g(x).q(x)+r(x) = (22 aax3x4 )( ax2 ) + (

32 axa2 ) =

32322223 axa2axa2xa3ax6ax4x8 =

3223 a2xa7ax2x8 = f(x)

Nota: Cuando f(x) y g(x) no sean polinomios completos, conviene a los efectos del cálculo, completarlos previamente.

28

c) Cociente de un polinomio entero en la variable x por otro de primer

grado de la forma: x – a Ra :

Sean f(x) = 1x)x(gy3xx3

En este único caso, en que, el polinomio g(x) es un polinomio de primer grado se puede calcular la división a través del siguiente procedimiento: División práctica o Regla de Ruffini: (es imprescindible que el polinomio dividendo sea completo) Permite conocer el cociente q(x) y el resto r(x) de la división de f(x) por x – a.

Ejemplo: 2x:2x7x9x6x5 234

El cociente q(x): es otro polinomio en x, de grado igual a la unidad menor que el polinomio dividendo, y el resto r, un polinomio de grado cero.

1)x(fgr)x(qgr ; 0)x(rgr (es un nº real)

Para realizar la división aplicando la regla práctica de Ruffini, se ordena y completa el polinomio dividendo f(x), según potencias decrecientes de x, los coeficientes del cociente q(x) y del resto r resultan de:

5 -6 -9 7 2 2 10 8 -2 10

5 4 -1 5 12

Cociente: q(x) = 5xx4x5 23 3)x(qgr

Residuo o resto: r = 12 0rgr

Los coeficientes se obtienen: 1er. coeficiente: 5

2do. coeficiente: 4)6()2(5

3er. coeficiente: 1)9()2(4 Coeficientes del divisor q(x)

4to. coeficiente: 57)2)(1(

Residuo o resto: 122)2(5

29

Teorema del residuo

Cuando un polinomio f(x) se divide por x – a, el residuo r es el valor del polinomio en x = a, esto es, r = f(a). Demostración: Si se divide el polinomio cociente f(x) por el binomio x – a se tiene:

f(x) = q(x).(x – a) + r

Si se calcula el valor numérico de f(x) para x = a, se obtiene:

f(a) = q(a)(a – a) + r = 0 + r = r

Se concluye:

f(a) = r

Ejemplo:

Determine el residuo cuando f(x) = 2x7x9x6x5 234 se divide por

x – 2.

Según el teorema del residuo: r = f(2)

= 2)2(7)2(9)2(6)2(5 234

= 12

Se dice que un número a es cero o una raíz de un polinomio f(x) si f(a) = 0. En este

caso, 0)a(fr y se deduce por tanto, según lo anteriormente dicho que se puede

escribir el polinomio f(x) como:

)ax)(x(q)x(f

Esto nos permite enunciar el siguiente teorema:

Teorema del factor Un número a es una raíz de un polinomio f(x) sí y sólo sí x – a es un factor de f(x). Por tanto, cuando a es raíz de f(x), x – a es un factor. Y viceversa, si x – a es un factor de f(x), entonces f(x) tiene la forma: f(x) = q(x)(x – a) En este caso vemos que: f(a) = q(a)(a – a) = 0

Ejemplo:

Determinar si x + 1 es factor de f(x) = 1x6x5x 24

Si se calcula: 111)1(6)1(5)1()1(f 24

Puesto que 0)1(f se concluye que: x + 1 no es un factor de f(x).

30

Resumen:

Ejemplos: Utilizando la Regla de Ruffini se obtienen las siguientes divisiones exactas:

f(x) g(x) q(x) = f(x):g(x)

22 ax ax ax

22 ax ax ax

33 ax ax 22 aaxx

33 ax ax 22 aaxx

44 ax ax 3223 axaaxx

44 ax ax 3223 axaxx

55 ax ax 432234 axaxaaxx

Ejercitación

1) Hallar el valor de los siguientes polinomios para: x = -3 ; x = 1/2 ; x = 0

a) 6x5x2

b) 24x3x.2 2

c) 32 x6x3x

d) 1xxxx 234

e) )1x()1x( 2

2) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En

caso afirmativo dar su grado y coeficiente principal.

a) x83

b) 7yyy 3123

c) 1ttt 134

d) )18z4z5(z 32

e) 103 x

2

1x.7x23

f) 4r

3) Ejecutar las operaciones indicadas y expresar el resultado como un

polinomio estándar.

31

a) 1x2x3x7x4x5x3 2325

b) 1y9y4y58y7y3y 2323

c) x2x4x31x2x 242

d) x8x2x14xx7x3 24567

e) v6v4v2 2

f) 5yy4y2y 22

4) En las siguientes expresiones utilizar el algoritmo de la división para

dividir f(x) por g(x). Expresar el resultado en la forma: f(x) = q(x)g(x) + r(x)

a) 8x)x(g;7x4x)x(f 2

b) 1xx)x(g;1x4x7x5)x(f 223

c) xx3)x(g;2xx27)x(f 23

d) 2x)x(g;7xx3)x(f 4

e) 3

1x)x(g;xx4x6)x(f 345

5) Aplicar la Regla de Ruffini para dividir f(x) por g(x). Identificar el cociente

q(x) y el residuo r(x).

a) 2x)x(g;5xx2)x(f 2

b) 1x)x(g;1x9x)x(f 3

c) 2x)x(g;16x)x(f 4

d) 1x2)x(g;2x3x2x4)x(f 23

6) Utilizar la Regla de Ruffini, para hallar un valor de k tal que f(x) sea

divisible por g(x).

a) 1x)x(g;k9x2kx)x(f 24

b) 2x)x(g;4kx2kxx)x(f 23

7) Aplicar el teorema del residuo para hallar r, cuando f(x) se divide por

g(x).

a) 2x)x(g;6x4x2)x(f 2

b) 2

1x)x(g;2x5x4x)x(f 23

c) 3x)x(g;5x3x2xx)x(f 234

8) Determinar si el polinomio dado g(x) es un factor del polinomio f(x).

a) 4

1x)x(g;2x8x3x3)x(f 23

32

b) 2

3x)x(g;3x4x2xx2)x(f 234

c) 2,0x)x(g;1x5x2x10xx5)x(f 2345

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 6;4

15;30 b) 24;2

4

15

2

3;259 c) 0;

2

1;192

d) 1;16

11;121 e) 0;

4

1;12

2) a) Polinomio grado 1. coeficiente principal: 8 b) No es polinomio. c) No es polinomio. d) Polinomio de grado 5, coeficiente principal: 5 e) No es polinomio. f) No es polinomio.

3) a) 6683 235 xxxx b) 726 23 yyy

c) 153 24 xx d) 148273 24567 xxxxxx

e) 2 vvv 248 23 f) 2014234 yyyy

4) a)

b) 11x21)12x5)(1xx()x(f 2

c) 24)39)(3()( 2 xxxxxf

d) 57)251263)(2()( 23 xxxxxf

e) 9/1)3/1366)(3/1()( 234 xxxxxxf

5) a) 32)( xxq ; r = 11

b) 10)( 2 xxxq ; r = -11

c) 842)( 23 xxxxq ; r = 32

d) 544)( 2 xxxq ; r = -1/2

6) a) k = -1/5 b) k = ½ 7) a) 6 b) 29/8 c) 76 8) a) No es factor b) Si es factor c) Si es factor.

33

C- FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de factores. Se tienen los siguientes casos:

CASO 1: Factor común: Un factor común de un polinomio es un MCD de todos sus términos.

Ejemplos:

i) ;yxy2xy4y4xy8yx4 22322

ii) ba2yx)yx(b)yx(a2xybyxa2

CASO 2: Descomposición en grupos de igual números de términos con un factor común en cada grupo. Para emplear este método se empieza por agrupar los términos del polinomio en binomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cada uno de estos binomios o trinomios en dos factores de manera de obtener un factor común a todas las expresiones parciales del polinomio.

Ejemplos:

i)

bxaxaxbaxx

abbxaxxabbxaxx 22

ii)

1x2x2x2xx

2xx2x2xx2x

22

2323

CASO 3: Trinomio cuadrado perfecto: Es todo trinomio formado por dos términos que son cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplos:

i) ;baab2ba222

ii) ;abbaab2ba2222

iii)

222224 a5yx

3

1a25yax

3

10yx

9

1

34

CASO 4: Cuatrinomio cubo perfecto Es todo cuatrinomio formado por dos términos que son cubos perfectos, un tercer término que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y un cuarto término que es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.

Ejemplos:

i) ;baab3ba3ba32233

ii) ;baba3ba3baab3ba3ba322332233

iii)

1a

3

21a2a

3

4a

27

8 23

CASO 5: Diferencia de cuadrados Toda diferencia de cuadrados se puede transformar en el producto de la suma de las bases por la diferencia de las mismas.

Ejemplos:

i) ;bababa 22

ii) ;1a1a1a1a1a1a1a 2222224

iii)

ba3yx2ba3yx2

ba3yx2ab6ba9yxy4x4222222

Caso 6: Suma o diferencia de potencias de igual grado

f(x) g(x) f(x) es divisible por g(x)

mm ax x + a si m es impar

mm ax x – a nunca

mm ax x + a si m es par

mm ax x – a siempre

35

Ejemplos:

i) 2233 aaxxaxax ;

ii) 2233 aaxxaxax ;

iii) 322344 axaaxxaxax

iv) 322344 axaaxxaxax

36

Ejercitación

1) Sacar factor común en las siguientes expresiones:

a) 642 a35a30a25

b) 52432 xa21ax3xa6

c) 52423222 xa75xa105xa30xa15

2) Factorizar por agrupaciones las siguientes expresiones:

a) ;abbxaxx2

b) ;1baab

c) ;bybxayax 2222

d) ;yz9xz6xy6x4 2

e) ;bca14ca7ba10ba5 34223

3) Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) ;41aa2

b) ;b9ab2

3

16

a 22

c) ;1a2a 36

d) ;4

aax2x4

22

4) Factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:

a) ;64a144a108a27 23

b) ;ybyaxb3byxa3xa 33222233

c) ;aa3a3a 3456

d) 32 a

8

1a

4

3a

2

31

5) Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

a) ;ybxa 2222

b) ;baba222222

c) ;y44

x 22

d) ;b

y

a

x

2

2

2

2

e) ;ba81 44 f) ;yx 88

6) Factorizar las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado:

a) ;ba8 33 b) ;1x5 c) ;zy8x 333 d) 1ba 33

37

7) Factorizar combinando los distintos casos de factoreo:

a) 22 bm45ba5

b) 223 ab4ba12a9

c) a9xa6xa 325

d) 85 ab48a3

e) 33 xyyx

f) xxxx 234

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 422 7655 aaa b) 23 723 axxaax

c) 3222 572115 xxxxa

2) a) bxax )( b) ))(1( cba c) ))(( 22 yxba

d) )32)(32( yxzx e) )2)(75(2 baacba

3) a) 2)2/1( a b)

2a

3b4

c)

23 )1( a d)

2

22

ax

4) a) 343 a b) 3byax c) 33 )1( aa d)

3

21

a

5) a) byaxbyax b) 24ab c)

y

xy

x2

22

2

d)

b

y

a

x

b

y

a

x e) bababa 339 22

f) yxyxyxyx 2244

6) a) )bab2a4)(ba2( 22 b) )1xxxx)(1x( 234

c) )zy4xyz2x)(yz2x( 222 d) )1abba)(1ab( 22

7) a) )m3a)(m3a(b5 b) 2)b2a3(a c)

22 )3xa(a

d) )b2a)(b2a)(b4a(a3 2222 e) )yx)(yx(xy

f) )1x()1x(x 2

38

Unidad 3

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

A) Ecuaciones de primer grado con una incógnita Se darán algunas definiciones. Identidad algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables contenidas en las expresiones, excluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos expresiones pierde significado.

Ejemplo.

xyyxyx 2222

Ecuación algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas en las dos expresiones. Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica Miembros de la ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual y segundo miembro a la que se encuentra a la derecha. Solución de una ecuación: son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Resolver una ecuación: consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación. Una ecuación puede clasificarse en: i) Compatible determinada: cuando tiene un número finito de soluciones. ii) Compatible indeterminada: cuando tiene infinitas soluciones. iii) Incompatible: cuando no existe ninguna solución.

Ejemplo.

La ecuación 02 x ; tiene una sola solución, 2x

La ecuación xx ; tiene infinitas soluciones

La ecuación 12 x ; No tiene solución en el campo de los números Reales.

Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en:

Ecuación de una incógnita

Ecuación de dos incógnitas, etc.

39

Ecuación de primer grado con una incógnita Es toda expresión de la forma:

0bax con a, b R y 0a ; x: variable

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, y viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera.

Metodología para resolver una ecuación Debido al hecho que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuado se quiere resolver una ecuación se puede resolver una ecuación cualquiera que sea equivalente a la dada; y por lo tanto será particularmente muy ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente, hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, y de la cual, se sabe encontrar con facilidad sus soluciones. Por lo tanto es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades: Principio de adición: si a ambos miembros de una ecuación se le suma una misma constante (o un mismo polinomio) la ecuación obtenida es equivalente a la dada. Ejemplo:

1032 x si se le suma 5 a cada miembro

510532 x

1582 x esta ecuación es equivalente a la dada, tienen la misma solución.

Principio de multiplicación: si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica por una constante distinta de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

865 x

8.2652 x

161210 x ecuación equivalente a la dada.

40

Ejemplo:

Resolver: 052 x

Si se suma 5 a ambos miembros:

5552 x

52 x

Si ahora se multiplica por 21 ambos miembros

2

1.52.

2

1x entonces:

2

5x

¿Qué consecuencias prácticas podemos obtener de estas propiedades? a) Lo que en un miembro está sumando pasa al otro restando. (cambia de signo al pasar de miembro)

Ej. 052 x

52 x

b) Lo que en un miembro está como factor pasa al otro miembro como divisor.

Ej. 52 x

2

5x

Ejemplo: Resolver 8563 xx

6853 xx

(-6 pasó al 2do. Miembro +6 y 5x pasó al 1er. Miembro como –5x)

142 x

(-2 que es un factor en el 1er. Miembro pasa al 2do miembro como divisor de 14)

2

14x 7x

La verificación de la solución obtenida se realiza reemplazando la solución en la ecuación dada.

8)7(56)7(3 ; ;835621 2727 verifica

41

(-1,5)

(0,3)

(1,1)

(2,-1)

eje x

eje y

B) Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: Función lineal

Se llama ecuación de primer grado con dos incógnitas x, y a toda expresión que tiene la siguiente forma:

0 cbyax

donde a, b, c son números reales, tales que a, b no se anulen simultáneamente,

es decir .022 ba

Ejemplo:

3yx2

3;1;2032 cbadondeyx

Tendremos ahora infinitos pares de valores (x, y) que reemplazados en la ecuación la verifican. Para encontrar algunos de estos pares conviene despejar y en función de x.

32 xy

Al darle valores a x, puedo determinar valores de y, algunos de las cuales pueden especificarse en una tabla de valores de la forma:

Si se representa en un sistema de ejes coordenados cartesianos todos estos pares, se tendrá una recta. (se toma en el eje de abscisas la primera componente y en el eje ordenadas, la segunda componente de cada par).

42

k

x

y

Las coordenadas de cualquier punto de la recta, verifican la ecuación: 032 yx

y también cualquier par (x,y) solución de dicha ecuación está sobre la recta.

FUNCIÓN LINEAL

Si se considera la ecuación: 0 cbyax (cuya representación gráfica es una

recta) y de ella se despeja y, y se obtiene:

caxby

b

c

b

axy

si se llama con b

am

y

b

ck se obtiene:

kmxy

Esta relación es una función pues cumple las condiciones de existencia y unicidad. (para cada valor de x, existe y es único el valor de y). La gráfica de esta función es una recta y la función recibe el nombre de Función lineal.

Si consideramos una función lineal kmxy cuya gráfica es:

Al número k se lo llama ordenada al origen y nos da la ordenada del punto donde la recta corta al eje de ordenadas. El valor m mide la pendiente de la recta y nos dice cuanto se incrementa o disminuye la ordenada al incrementarse en 1 la abscisa. Por lo tanto tgm el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x.

Conociendo m y k es muy sencillo representar gráficamente a la recta. La ecuación de la recta se la puede obtener también con los siguientes datos:

a) Recta que pasa por un punto (x0, y0) y que tiene una pendiente m.

43

00 xxmyy

b) Recta que pasa por dos puntos dados 221,1 ,)( yxPyyxP

1

12

121 xx

xx

yyyy

c) Recta que corta al eje x en x = a y al eje y en y = b

1b

y

a

x

44

Ejercitación 1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

a) 732 x

b) 543 x

c) 885 x

d) 922 xx

e) 23

5

3

22 xxx

f) 5

32

3

2

xx

g)

xx

35

222

h) 2423

xxxx

i) 22

x

x

j) xx

222

3

2) Resolver:

a) 2532 xx

b) 4

53

2

64

3

23

xxx

c) 5224 xx

d) 3354 xx

e)

2

1815 xx

f) 03

2

5 x

x

3) Resolver:

a) 6

1

3

24

5

1

xxx

b) 3

523

5

23

xxx

c) 320

73

12

9

8

3

xxx

d) 7

11

3

23

xx

x

e) 2

53

5

47

xx

x

f) 3

32

4

43

3

9

xxx

4) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 367

2

2

79

xx

x

b) 35

24

7

34

5

23

xxx

c) 65

37

3

7

2

42

xxxx

d) 2

2

2

2

3

2

106

54

x

x

xx

xx

e) x

x

xx

x

x

x

14

3

11

11

1

1

1

f) 03

1

2

2

1

1

xxx

45

5) Representar gráficamente, determinar la pendiente y la ordenada al origen:

a) 422 xy

b) 22 xy

c) xy 2

d) 12 xy

e) 22 xy

f) xy

g) 2 yx

h) 132

yx

i) 132

yx

j) 13

yx

k) 02

yx

l) 5

2

3

2

yx

6) Representar gráficamente, determinar la pendiente y la ordenada al origen:

a) 2 xy

b) 2y

c) 32 xy

d) 23

2

y

x

e) 0y

f) 3

1

3

yx

g) 223

1 yx

h) yxx

23

2

7) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) (0, 1) ; (3, 2) b) (1, 1) ; (2, 2) c) (3, 0) ; (0, -3)

d) (2, 3) ; (-3, 3) e) (0, 2) ; (1, 4)

8) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (x, y) y tiene

pendiente m:

a) (2, -1) , m = 1 b) (2, -2) , m = -2 c) (-1, -1) , m = 3

d) (2, -1/3) , m = -1/3 e) (-1, -3) , m = -3/5

9) Determinar la ecuación de la recta paralela al eje y, que pasa por el punto (6, 2). ¿Es una función? 10) Determinar la ecuación de la recta.

a) Bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Bisectriz del segundo y cuarto cuadrante. c) eje x d) eje y

11)Una empresa agropecuaria fabrica un producto que tiene costos variables de $ 6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa obtenga utilidades de $60.

46

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) x = 2 b) x = -1/3 c) 0 d) incompatible e) x = 2 f) x = 1 g) x = 4/11 h) x = 24/11 i) x = 2 j) x = -1/3 2) a) x = 5/3 b) x = 59/27 c) x = -3/2 d) x = -8 e) x = 1 f) x = 5/9 3) a) x = -3/13 b) x = 4 c) x = 51 d) x = 10/3 e) x = 3 f) x = 12 4) a) x = 9 b) x = incompatible c) x = 1 d) x = -1/2 e) x = 5 f) incompatible 5) a) m = 1 ; b = 2 b) m = 2 ; b = -2 c) m = 2 ; d) m = 2 ; b = -1 e) m = 2 ; b = 2 f) m = -1 ; g) m = -1 ; b = 2 h) m = -3/2 ; b = -3 i) m = -3/2 ; b = 3 j) m = -3 ; b = 3 k) m = 1/2 l) m = 5/3 ; b = 16/3 6) a) m = -1 ; b = 2 b) m = 0 ; b=2 c) m = -2 ; b = 3 d) m = 1/3 ; b = -8/3 e) m = 0 f) m = 3 ; b = -1 g) m = 3 ; b = - 4 h) m = -2/3 ; b = -8/3 7)

a) y = 1/3x + 1 b) y = x c) y = x – 3

d) y = 3 e) y = 2x + 2

8) a) y = x – 3 b) y = -2x + 2 e) y = -3/5x-18/5

c) y = 3x + 2 d) y = -1/3x + 1/3

9) x = 6 - NO 10) a) y = x b) y = -x c) y = 0 d) x = 0 11) x = 35 unidades

47

C) Ecuaciones de segundo grado con una

incógnita Definición: se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x, a toda expresión de la forma:

0cbxax2 , 0a,Rc,Rb,Ra (1)

Definición: Se llama discriminante de la ecuación a la expresión:

ac4b2 (2)

Teorema:

Si 0 , entonces la ecuación (1) tienen dos soluciones, dadas por las

siguientes expresiones:

a

bx

21

,

a2

bx2

(3)

Si 0 , entonces la ecuación (1) tiene una solución doble, dada por la

expresión siguiente: a2

bx

Si, 0 entonces la ecuación (1) no tienen ninguna solución real. Tiene dos

raíces complejas (una es la conjugada de la otra), dadas por las siguientes expresiones:

a2

i

a2

bx1

,

a2

i

a2

bx2

(4)

donde i = 1 es la unidad imaginaria.

Si 0 , entonces los coeficientes a, b, c de la ecuación (1) están relacionados

con las dos raíces o ceros (3) de la ecuación (1) de la siguiente manera:

Propiedad: Si 0 , entonces se tienen las relaciones:

a

bxx

21 (5) ,

a

cxx 21. (6)

Las relaciones (5) y (6) continúan aún siendo válidas para los otros dos casos

0 y 0 .

48

Propiedad: Si 21 xyx son las dos raíces de la ecuación (1) entonces se tiene la

siguiente factorización para el polinomio de segundo grado, dado por:

Rx),xx)(xx(acbxax0 212 (7)

Si 0 , entonces la factorización (7) viene dada por:

22

a2

bxacbxax

(8)

Si 0 , no existe factorización en el campo de los números reales.

Corolario: Sea 0 , entonces:

i) si b = 0, se tiene 12 xx ;

ii) si a y c tienen igual signo (ambos positivos o ambos negativos) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen igual signo. Además, el signo de las raíces está dado

por el signo del número ./ ab

iii) si a y c tienen distintos signos (uno es positivo y el otro negativo) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen distintos signos.

Ejemplos

i) La ecuación 012 x no tiene ninguna solución real pues: 04 . Sus

dos soluciones complejas son ix .

ii) La ecuación 0122 xx tiene una única solución real (doble) x = 1 pues

0 . Además 22 )1(12 xxx

iii) La ecuación 022 xx tiene dos soluciones 21 21 xyx pues

09 . Como 01a y 02c se verifica además que las dos raíces

tienen signos opuestos. Por otro lado, se tiene que:

)2)(1(22 xxxx

iv) La ecuación 0232 xx tiene dos soluciones 12 21 xyx pues

01 . Como 01a y 02 c se verifica además que las raíces

tienen igual signo, el cual coincide con el signo del número

.03 ab Por otro lado, se tiene:

)1)(2(232 xxxx

49

Corolario: Una ecuación de segundo grado que tiene por raíces a dos números

reales 21 xyx está dada por:

0.)( 2121

2 xxxxxx (9)

siendo 21 xxs

21.xxp entonces: 02 psxx

La forma general de una ecuación de segundo grado con incógnita x es:

ax2 + bx + c = 0 con a 0. A modo de resumen se puede decir que:

Método de completar cuadrado: Cuando una expresión no puede ser factorizada fácilmente y la ecuación no tiene la

forma de cx 2, se puede encontrar las raíces completando cuadrado.

Se aplica a la expresión:

02 cbxx

la expresión debe tener coeficiente principal 1. Se rescribe la expresión

cbxx 2

de manera que solamente los términos con la variable x estén en el primer miembro.

Luego agregamos 2)2/(b a ambos lados:

ax2 + bx + c = 0 con a 0

Completa Incompleta

b 0 , c 0

b 0 , c = 0

ax2+bx = 0

Ejemplos

4x2-4x+1 = 0

x2-6x-16 = 0

-3x2-6x+12 = 0

b = 0 , c 0

ax2+c = 0

b = 0 , c = 0

ax2 = 0

Ejemplo

3x – x2 = 0

Ejemplo

3x2 – 48 = 0

Ejemplo

4x2 = 0

50

222 )2(2 bcbbxx

ahora el primer miembro es un cuadrado perfecto:

cbbx 22)2(2

y aquí sí es fácil despejar x.

Ejemplo:

Resolver 0122 2 xx , completando cuadrados:

a) Dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de 2x

0212 xx

b) Se escribe la ecuación como:

2/1xx2

c) Se añade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. 222 )2/1(2/1)2/1( xx

d) Entonces se tiene: 4/3)2/1( 2 x

e) Se despeja x: 2

1

4

3x

D) Ecuación de Segundo Grado con dos Incógnitas. FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Sea la función cuadrática cbxaxy 2 de RR y a 0 (1)

Su representación gráfica es una parábola. Se puede demostrar que todas las funciones cuadráticas tienen una gráfica de

forma similar a la gráfica de 2)( xxf .

Puede darse que: Si a > 0 en (1), la parábola se abrirá hacia arriba (Fig.1). Si a < 0 en (1), la parábola se abrirá hacia abajo (Fig. 2).

En el caso del polinomio cuadrático de término único 2)( axxf las gráficas de

0a,ax)x(f 2 ; y 0a,ax)x(f 2 son simples reflexiones una de otra

a través del eje x (Fig. 3).

51

Si se considera la función cbxaxy 2, para graficarla se debe encontrar

donde la parábola corta al eje x. Para ello basta con igualar el trinomio a cero y resolver la ecuación cuadrática:

02 cbxax

Esto puede factorizarse:

0))(( 21 xxxxa

donde 21 xyx son raíces o ceros de la ecuación.

Para hallar éstas raíces se aplica la resolvente: Puede observarse que la gráfica de la función cuadrática puede o no tener

intersección con el eje x:

02 cbxax

a

acbbx

2

42

042 acb Dos raíces reales diferentes. Dos intersecciones con el eje x:

x = 1x , x = 2x

La gráfica atraviesa el eje x dos veces

042 acb Raíces reales e iguales. La intersección con el eje x es:

a2

bx

La gráfica es tangente al eje x.

042 acb No hay raíces reales. No hay intersecciones con el eje x. La gráfica está completamente por arriba o por debajo del eje x.

x

y

x

y

2xy

Fig.

1

x

y

2xy

Fig.

2

0,2 aaxy

0a,axy 2

Fig.

3

a

acbb

2

42

1x

2x

52

Si el coeficiente: 0a , las ramas van hacia arriba.

0a , las ramas van hacia abajo.

El vértice de la parábola se encuentra en el punto:

a

bf

a

b

2,

2

La intersección con el eje y: es f(0) = c.

Ejemplo: 652 xxy donde: a = 1, b = -5 , c = 6

0a ramas de la parábola hacia arriba.

f(0) = 6 corta al eje y en y = 6 Se aplica resolvente:

Son 31 x y 22 x dos raíces reales y distintas y son los valores que la curva

corta al eje x. El vértice está en el punto:

2

5,

)5(f

o sea:

4

1,

2

5),( PyxP

Gráfica:

2

15

)1)(2(

)6)(1(425512

x

31 x

22 x

4

1,

2

5V

X

Y

53

Ejercitación 1) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 0152 xx

b) 0273 3 xx

c) 0732 2 xx

d) 26322322 xx

e) 2

13

2

1

1

2

x

x

x

x

f) 21

221

x

x

x

x

g) 22 21186 xxxx

h) 06.262 xx 2) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado en la incógnita x

)Rb,a(

a) abxbaab

xabx 3933

2 222

b) 023 22 aaxx

c) 01236 22 aaxx

d) 4

5

4

3

2

ax

ax

ax

ax

e) 1213 xx

3) Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes

duplas de números:

a) 5

3

2

1

x

x

b) 5

3

2

1

x

x

c) 3/1

2

2

1

x

x

d) 1

1

2

1

x

x

e) 5/2

1

2

1

x

x

f)

23

23

2

1

x

x

4) Hallar dos números cuya suma sea s y cuyo producto sea p.

54

a) 2,0 ps

b) 3,4 ps

c) 18,11 ps

d) 3/1,6/7 ps

5) Representar en un sistema de ejes coordenados cartesianos las siguientes

funciones:

a) 22xy

b) 22xy

b) 22 2 xy

c) 52 2 xy

d) 12 2 xy

e) 32 2 xy

f) xxy 42

g) xxy 42

6) Graficar la función dada. Hallar el vértice de la parábola y sus

intersecciones.

a) 142 2 xxy

b) 425 2 xxy

c) 13 xxy

d) 62 xxy

e) 25 xy

f) 23 xy

g) 562 xxy

h) 12

1 2 xxy

7) Factorizar las siguientes expresiones:

a) 3114 2 xxy

b) 32 xxy

c) 4105 2 xxy

d) 2128 xxy

8) Utilice la técnica de completar el cuadrado de las siguientes expresiones en la

forma: khx 2)(

a) 23162 2 xxy

b) 3105 2 xxy

c) 1369 2 tt

d) 0122 uu

9) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por

un camino de ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 540 m2

10) En cada un de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se

recorta un cuadrado de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.

11) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad

que tenía hace trece años. Calcular la edad de Marcela.

12) El número de cerdos atacados cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función: f(x) = - x2 + 38 x + 75, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule: a. ¿Cuántos cerdos enferman el quinto día? b. ¿Cuándo deja de aumentar el número de animales enfermos? c. ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?

55

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 1

2

x 0 19

x 5 19

,

,

b)

2x

3/1x

2

1

c) Soluciones complejas d)

1x

1x

2

1

e) 3x

0x

2

1

f)

4/2x

4/2x

2

1

g)

3

5x h)

1

2

x 3 2 2 3

x 3 2 2 3

2) a) ab3x

0x

2

1

b)

a2x

ax

2

1

c)

6axx 21 d)

a3

10x

0x

2

1

e) 1

5

2

1

x

x

3) a) 015x8x2 b) 015x2x2

c) 02x7x3 2 d) 01x2

e) 02x3x5 2 f) 07x6x2

4) a) 2 b) 3 , 1 c) 2 , 9 d) 3

2,2

1

6) a) V (1, -1) b) V (1/5, 19/5) y = 4 c) V (1, 4)

1y

221x

221x

2

1

3y

3x

1x

2

1

d) V (4, -4)

12y

6x

2x

2

1

e) V (5, 0) f) V (3, 0) g) V (3, 4) h) V (-1, 1/2)

25y

5x

5x

2

1

9y

3x

3x

2

1

5y

5x

1x

2

1

1

2

x

x

y 1

7) a) )4/1x)(3x(4 b) 1 11i 1 11i

x x2 2

c)

5

51x

2

51x)5( d) )6x)(2x)(1(

8) a) 9)4x(2 2 b) 8)1x(5 2

56

c) 35)2t(9 2 d) 2)1u( 2

9) 3 m

10) 16 cm

57

Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas.

DEFINICIÓN: un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y es el dado por el:

(s) i) cbyax

ii) 111 cybxa

donde a, b, a1 y b1 R, de manera que no sean simultáneamente nulos. Los números a, b, a1 y b1 son coeficientes del sistema de ecuaciones y los números c y c1 se llaman términos independientes.

DEFINICIÓN: se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y, a un par ordenado de números reales, de manera que sustituidos respectivamente en las letras x, y satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

DEFINICIÓN: resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar el conjunto de raíces comunes, es decir, la intersección de los conjuntos solución de ambas ecuaciones. Si s1 es el conjunto solución de i) s2 es el conjunto solución de ii)

Entonces el conjunto solución se expresa: 21 sss

Un sistema s, puede ser: A - Compatible: tiene solución: 1 - Determinado: admite una única solución. 2 - Indeterminado: admite infinitas soluciones. B - Incompatible: no tiene solución. Recordando que cada una de las ecuaciones que constituyen el sistema son funciones lineales, su representación gráfica es una recta en el plano x, y. Como se ve en las Fig. 1, Fig. 2 y Fig. 3, respectivamente, hay tres casos para representar gráficamente las diferentes posibles soluciones de un sistema: i) Las rectas se intersectan en un solo punto. ii) Las ecuaciones describen la misma recta. iii) Las dos rectas son paralelas.

x

y

x

y

x

y

Fig.1 Fig.3 Fig.2

58

En estos casos se dice, respectivamente: i) El sistema compatible o consistente y las ecuaciones independientes. Tiene exactamente una solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas. ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones, esto es, todos los pares de números reales correspondientes a los puntos de una recta. iii) El sistema es incompatible o inconsistente. No hay soluciones.

Diferentes métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Se explicitará la metodología de algunos métodos y se la aplicará, como ejemplo, para la resolución del siguiente sistema:

32 yx

522

3 yx

cuya única solución está dada por x = 2; y = -1.

A) Método de sustitución: a) Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones (de la que resulte más fácil y sencillo).

xy 23

b) Se reemplaza esto en la otra ecuación:

52322

3 xx

c) Se resuelve la ecuación de primer grado en la incógnita x que queda:

5462

3 xx

11x2

11 2x

d) Este valor hallado, se reemplaza en la ecuación encontrada en a) para obtener el valor de la incógnita y:

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se reemplazan los valores hallados en cada una de las ecuaciones del sistema dado:

59

31)2(2 33 verifica.

5)1(2)2(2

3 55 verifica.

B) Método de igualación a) Se despeja una de las incógnitas de cada una de las ecuaciones x o y, indistintamente, por ejemplo la y:

xy 23 (i)

5x2

3y2

2

5

4

3 xy (ii)

b) Se igualan las expresiones obtenidas para obtener una ecuación de primer grado en una variable, en este caso, en la variable x:

2

5

4

323 xx

c) Se resuelve la ecuación obtenida, respecto de la ecuación x:

2

5

4

323 xx

x2x4

3

2

53 x

4

11

2

11 x = 2

d) Se reemplaza, este valor de x obtenido, en una de las ecuaciones halladas en a) i) o a) ii):

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se sustituyen los valores obtenidos en cada una de las ecuaciones del sistema.

C) Método de reducción o de sumas y restas a) Se multiplican las dos ecuaciones por un número conveniente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo la y, sean iguales: En este caso, se multiplica la primer ecuación por 2:

32 yx 624 yx

522

3 yx 52

2

3 yx

b) Se suman o restan las ecuaciones, de acuerdo a que los coeficientes resulten de distinto o igual signo respectivamente:

11222

34

yx

60

1102

11x

c) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x:

11x2

11 x = 2

d) Se reemplaza este valor hallado en una de las ecuaciones dadas, y se despeja la otra incógnita:

1

43

34

322

y

y

y

y

e) Verificación: se sustituye los valores encontrados en cada una de las ecuaciones del sistema dado: En la ecuación (1):

3)1()2(2

314

33 verifica.

En la ecuación (2):

5)1(2)2(2

3

523

55 verifica.

61

PROBLEMAS

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? El siguiente método le permitirá contar con una guía para resolver problemas: Paso 1: representar la cantidad desconocida mediante un símbolo algebraico tal como x, que denote que es una variable. Paso 2: expresar las demás cantidades en términos de x. Paso 3: traducir el problema en expresiones algebraicas, en las cuales intervenga x. Paso 4: resolver la expresión algebraica (ecuación) y se obtendrá la solución buscada.

Ejemplo 1: Leonardo y Marcelo son mellizos, Matías tiene dos años más que ellos y las edades de los tres suman 23 años. ¿Cuántos años tiene Matías? Solución: Paso 1: Se llama con x a la edad de Leonardo o a la de Marcelo Paso 2: Si Matías tiene 2 años más que ellos, entonces tendrá:

x + 2 años

Paso 3: Las edades de los tres, sumadas, dan 23, y se escriben con los símbolos que se denotaron:

x + x + (x + 2) = 23

Paso 4: Se resuelve la ecuación planteada en la incógnita x:

2323 x

2233 x

21x3 x = 7

Respuesta: Leonardo tiene 7 años. Marcelo tiene 7 años. Matías tiene 9 años.

Ejemplo 2: En un terreno rectangular uno de sus lados mide 3m. Más que el otro. Si la superficie del terreno es de 238 m2. ¿Cuánto mide cada lado? Solución: Paso 1: Se llama con x a uno de los lados. Paso 2: El otro lado será:

3x

62

Paso 3: El área de un rectángulo es: Lado x lado, en este caso igual a 238, por lo tanto:

2383. xx

02383 xx

Paso 4: Se resuelve la ecuación cuadrática en la incógnita x:

023832 xx

Se aplica la fórmula cuadrática o resolvente: El valor x = -17 debe descartarse pues no puede haber lados de longitud negativa (físicamente imposible) Luego un lado mide: x = 14 m Y el otro lado: x + 3, o sea 17 m Respuesta: un lado mide 14 m y el otro lado mide 17 m.

Ejemplo 3: La suma de un número, más el duplo de otro, es 11 y el duplo del primero menos el segundo es 2. ¿Cuáles son los números? Solución: Paso 1: Se llama con x al primer número. Paso 2: Se llama con y al otro número. Paso 3: Se plantean las ecuaciones que resultan de leer el problema obteniéndose el siguiente sistema:

112 yx

22 yx

Paso 4: Se resuelve dicho sistema por el método que se considere conveniente, en este caso, por sustitución: - Si se despeja x de la primera ecuación:

yx 211

- Se reemplaza x en la segunda ecuación y se obtiene:

22112 yy

2422 yy

- Se resuelve dicha ecuación en la incógnita y quedando:

2522 y

2225 y

4y

- Si se sustituye este valor de y en la primera ecuación:

yx 211

3x

Respuesta: los números correspondientes son 3 y 4.

2

313

1.2

2381493

141 x

172 x

63

Ejercitación 1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

a)

523

532

yx

yx

b)

133

92

yx

yx

c)

423

53

yx

yx

d)

105

63

yx

yx

e)

1743

59153

yx

yx

f)

29

1732

yx

yx

g)

1186

362

yx

yx

h)

264

132

yx

yx

i)

2

9

22

5

9

5

yx

yx

j)

2

3

32

5

12

5

3

yx

yx

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

222

2

aayx

ayx

b)

1

3

ayx

ayax

c)

0

2

aybx

b

y

a

x

d)

1

1

a

y

b

x

b

y

a

x

64

3) Representar gráficamente los sistemas expresados en los siguientes ítems, e interpretar su solución: 1 a) ; 1 d) ; 1 g) ; 1 h) ; 2 a) ; 2 b) ; 2 c)

4) Problemas de aplicación

1) Determinar dos números consecutivos cuya suma sea 27.

2) Una persona compra una mercadería pagando $30 por adelantado y 12 cuotas fijas por un valor igual a 1/15 del precio total ¿Cuánto cuesta la mercadería?

3) El área de un rectángulo no cambia si se aumenta la altura en 3 metros y se

disminuye la base en 3. El área del rectángulo aumenta en 16 m2 si se aumenta la altura en 5 m y se disminuye la base en 3 metros. Indicar cuál es la altura y la base de dicho rectángulo.

4) Un productor ganadero compró 1000 novillos a $150 cada uno. Vendió 400 de ellos, obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las 600 que le quedaron si la utilidad promedio del lote deberá ser del 30%?

5) Un ciclista con viento a favor avanza a 24 km por hora y en contra del viento avanza a 10 km por hora. ¿Cuál es la velocidad del ciclista cuando no sopla el viento?

6) Un camión de entregas llega a un almacén con 8 cajas pequeñas y 5 grandes.

El cobro total por cajas, incluyendo el impuesto y los gastos de envío, es de $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña ¿Cuáles el costo del flete de cada una de las cajas? 7) Si una fábrica A invirtió $120000 menos que otra fábrica B y entre ambas

suman $305000, ¿cuál es el monto de la inversión realizada por cada fábrica?

8) El área total sembrada en un campo es 200ha. El área sembrada con maíz excede en 32 ha a la sembrada con trigo y en 65 ha a la sembrada con cebada. Encuentre el área sembrada con cada cereal.

9) En un establecimiento agropecuario, se alimentan 2000 vacunos de dos razas diferentes Shorton y Aberdeen Angus. Del total se envían a faena 200 animales, de los cuales se sabe que un 60 % corresponde a la raza Shorton y el resto a la segunda raza. Indique la cantidad de animales de cada raza que se faenarán.

10) En una envasadora de café se trabaja con granos de dos calidades diferentes, cuando se toma 2 kg de la primera calidad y 3 kg de la segunda resulta una mezcla que puede venderse a $ 5,5/kg, y cuando se toma 3 kg de la primera clase y 2 kg de la segunda resulta la mezcla a $7 /kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?

65

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 1y

1x

b)

2y

5x

c)

1y

2x

d)

0y

2x

e)

4y

3/1x

f) 1y

7x

g) incompatible h) indeterminado i)

1y

2x

j)

3y

1x

2) a) Si a = 2 indeterminado

Si 2a única solución: x = 0, y = 2a

b) :Ra única solución: x = 1, y = 0

c) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido

Si 0a y 0b : única solución: x = a, y = b

d) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido.

Si 0a y 0b y:

ab

aby,

ab

abx

:soluciónúnica:ba

leincompatibba

adominerdetin:ba

4) 1) 13 y 14 2) $150 3) 8m y 11m 4) $200 5) 17km/h 6) $13 y $16

66

PROBLEMAS PARA EJERCITAR TU INGENIO, TU CREATIVIDAD Y TU RAZONAMIENTO LÓGICO

1) María Eugenia tiene cuatro fragmentos de una cadena de oro, cada fragmento tiene tres eslabones. Ella quiere hacer rearmar la cadena pero tiene miedo de que le cueste mucho. El joyero a quien consulta da un vistazo y dice: cobro $1 por abrir cada eslabón y $1 por soldarlo. Como debo abrir y luego soldar cuatro eslabones, entonces usted deberá pagarme $8 por la cadena. María Eugenia piensa y luego dice al joyero: “Usted trabaja y cobra más de lo necesario”. ¿Qué solución pensó María Eugenia? 2) En la orilla de un río se encuentran un lobo, una cabra y un fardo de pasto. Hay una sola canoa que da cabida al dueño, más una sola de las cosas. ¿En qué forma puede hacerse la travesía para evitar que el lobo se coma a la cabra, o ésta al fardo, durante la ausencia del dueño. 3) Los 9 puntos de la figura están ordenados formando un cuadrado. Puede unirlos a todos mediante cuatro líneas rectas, sin levantar el lápiz. 4) Un automovilista calculó que si viajaba a 60 km/h llegaría al sitio previsto una hora después de medianoche, pero si la velocidad era de 90 k/h llegaría una hora antes de medianoche. ¿A qué velocidad debería viajar para llegar justa a la medianoche al lugar previsto? 5) Se tienen 8 perlas de igual forma y color. Una de ellas es más pesada que las otras siete, que pesan igual. Con una balanza de dos platillos y realizando sólo dos pesadas, hay que determinar cuál de las 8 perlas es la más pesada? 6) Tres maridos se encuentran con sus respectivas esposas ante un río que se proponen atravesar. Sólo disponen de una pequeña embarcación, sin barquero, apta para transportar dos personas a la vez. ¿Cómo pasarán esas seis personas de manera que ninguna mujer quede en compañía de dos hombres si su marido no está presente? 7) Un analista debía ser enviado a negociar un contrato. Para saber si era capaz de la misión se le tomó una prueba. La prueba consistía en saber en cual de los tres portafolios se encontraban las instrucciones. Cada portafolio tenía una inscripción. De las tres sólo una era verdadera. ¿Cuál portafolio tenía las instrucciones? 8) En una caja de zapatos se tienen diez pares de zapatos color marrón y diez pares de zapatos color negro. ¿Cuántos zapatos hay que sacar de la caja para tener la seguridad de conseguir un par del mismo color? 9) Dos hombres A y B entran en un armario a oscuras, donde están colgados dos sombreros rojos y uno negro.

A B

Las

instrucciones

no están aquí

C

Las

instrucciones

están aquí

67

Al salir, cada uno de ellos puede ver el sombrero del otro, pero no el suyo. Se le pregunta a A por su sobrero y responde que no tiene fundamento para responder y que no sabe de qué color es su sombrero. Oye B esta respuesta y al preguntárselo: de que color es su sombrero, responde que es rojo. ¿Cuál es el fundamento de la respuesta? 10) Con solo cuatro ochos (8) y tres operaciones matemáticas se puede obtener la siguiente igualdad:

8 8 8 8 = 120 ¿Cuáles son las operaciones matemáticas que se deben realizar? 11) En el año 1992 me encontré con un amigo que durante la charla me preguntó en que año me case. Yo le dije que en el año 2000 la suma de las cuatro cifras del año en que me casé era igual a los años de casado que tendría en el año 2000. ¿Cuántos años de casado llevaba en el año 1992? 12) Con 12 fósforos se puede construir una figura en forma de cruz, que tenga una superficie equivalente a cinco cuadrados hechos también con fósforos. Cambiando la posición de todos los fósforos, se debe obtener una figura que tenga una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados. 13) El número de una casilla es igual a la suma de los números de las dos casillas inferiores a ella. Así en el primer encasillado: A = B + C. Con ese criterio complete las tres pirámides: 14) En un cierto país los ministros siempre mienten y los no ministros siempre dicen la verdad. A, B y C habitantes de ese país están hablando. A dice algo acerca de si es o no es ministro, pero nosotros no podemos oírlo. B que sí lo ha oído dice: “A dice que él no es ministro” C entonces dice: “A es un ministro” ¿Cuántos son ministros y cuántos no ministros? 15) Si tengo dos recipientes iguales de 15 litros de capacidad. En el primer recipiente coloco agua y en el segundo recipiente coloco igual volumen de jugo de naranja. Si ahora retiro el vaso colmado de jugo de naranja del segundo recipiente y lo coloco en el primero y luego retiro de la mezcla del primer recipiente el mismo vaso colmado y lo coloco en el segundo recipiente. ¿La cantidad de agua del primer recipiente es igual a la cantidad de jugo de naranja del segundo? SI – NO. Justifique su respuesta. 16) Una persona dice lo siguiente: “tengo tantos hermanos como hermanas”. La hermana de la persona que acaba de hablar declara: “tengo dos veces más hermanos que hermanas” ¿Cuántos hermanos y hermanas son?

6

2

4 2 2

3 7

8

2

0

1

4

7

9

2

3

1 2 2

9 1

0

4

3

B C

A

68

Bibliografía

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Swolowski. Cole. Grupo Editorial Iberoamérica. Tercera Edición. 1996.

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Waller Fleming. Dale Varberg. Editorial Prentice Hall. Tercera Edición. 1991.

Álgebra. Max. A. Sobel. Norbert Lerner. Editorial Prentice Hall. Segunda edición. 1989.

Blufstein, Alejandro. 1992. Muy Interesante. Nº 85. Argentina. p.106-109

Blufstein, Alejandro. 1992. Muy Interesante. Nº 86. Argentina. p.106-109

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