MTODO GRFICO

El mtodo grfico es un procedimiento de solucin de problemas de programacin lineal muy

limitado en cuanto al nmero de variables (2 si es un grfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en

materia de interpretacin de resultados e incluso anlisis de sensibilidad. Este consiste en

representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polgono

(poliedro) factible, comnmente llamado el conjunto solucin o regin factible, en el cual por

razones trigonomtricas en uno de sus vrtices se encuentra la mejor respuesta (solucin

ptima).

EL PROBLEMA

La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y

T; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de

T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por

da se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximo

beneficio, cuntos metros de T y T se deben fabricar?

LA MODELIZACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL

VARIABLES

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

RESTRICCIONES

0,12XT + 0,2XT

0,072XT + 0,027XT

0,12x + 0,2(0) = 500

0,12x = 500

x = 500/0,12

x = 4167

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Seguimos con la segunda restriccin,

0,15X + 0,1y = 300

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Tercera restriccin,

0,072X + 0,027y = 108

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En el siguiente grfico se muestra el polgono solucin de color gris, en este conjunto es donde

cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser

restricciones de menor o igual y esta caracterstica se representa con una flecha haca abajo.

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Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones ptimas se alojan en los

vrtices del polgono solucin (color gris) y que identificar a la solucin ptima es cuestin de

elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnolgicas y

conocimientos matemticos).

La primera opcin es la geomtrica, esta depende de trazar la ecuacin que representa a la

funcin objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).

Funcin objetivo,

ZMAX = 4000x + 5000y

luego igualamos a 0.

4000x + 5000y = 0

luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la grfica

correspondientes a la ecuacin (en esta ocasin es recomendable ms de dos coordenadas,

incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).

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Una vez se ha esbozado la funcin objetivo (lnea negra) sacamos replicas perpendiculares a

esta que se encuentren con cada vrtice, y solo en el caso en que la lnea imaginaria

perpendicular a la funcin objetivo no corte el polgono solucin se ha encontrado la solucin

ptima. En otras palabras trasladamos la funcin objetivo por todo el polgono conservando la

perpendicularidad con la original, la detenemos en los vrtices y evaluamos si esta corta o no el

conjunto solucin.

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Claramente solo en el punto "B", es decir en el vrtice formado por la interseccin de las

ecuaciones 1 y 2, la lnea imaginaria no corta el polgono solucin, entonces es este punto el

correspondiente a la coordenada ptima.

Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolucin de ecuaciones

lineales 2x2, y se pueden considerar varios mtodos de solucin entre ellos:

- Mtodo por sustitucin

- Mtodo por igualacin

- Mtodo por reduccin o Eliminacin

- Mtodo por eliminacin Gauss

- Mtodo por eliminacin Gauss - Jordn

- Mtodo por determinantes

La riqueza de las matemticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el mtodo de

reduccin o eliminacin es muy sencillo de aplicar.

El mtodo por reduccin o eliminacin consiste en igualar los coeficientes de una de las variables

multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden

iguales pero con signos contrarios.

Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500

Ecuacin 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)

Ecuacin 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600

Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100

Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)

x = 555,55

luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con el objetivo de

despejar "y".

Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500

Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500

Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500

0,2y = 500 - 66,666

0,2y = 433,334

y = 433,334 / 0,2

y = 2166,67

De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".

Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT'

x = XT

y = XT'

XT = 555,55

XT' = 2166,67

y la contribucin obtenida (reemplazando las variables en la funcin objetivo) es de:

Zmax = 4000XT + 5000XT'

Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)

Zmax = 13.055.550

Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolucin por Solver - Excel,

sin embargo recuerden que el mtodo de bsqueda de la solucin ptima en el mtodo grfico

que utilizamos es el geomtrico y que existe una posibilidad mucho ms engorrosa pero

igualmente efectiva, este es el mtodo de iteracin por vrtice, y que consiste en hallar todas las

coordenadas de los vrtices y luego en cada coordenada se evala la funcin objetivo, (cada

coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos valores en la

funcin objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados seleccionando la mayor

cantidad).

Una herramienta muy til al momento de resolver ejercicios mediante el mtodo grfico es una

calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta (disponibleaqu).

VARIANTES EN EL MTODO GRFICO

Como en la mayora de los casos el ejemplo con el que aqu se explic el mtodo grfico es el

ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solucin ptima nica, sin embargo existen

una variedad de problemas diferentes a los ideales y que vale la pena analizar:

SOLUCIN PTIMA MLTIPLE Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programacin lineal consiste en la

cantidad de soluciones ptimas, gran cantidad de ellos presenta ms de una solucin ptima, es

decir una solucin en la cual la funcin objetivo es exactamente igual en una combinacin

cuantitativa de variables diferente.

Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el anlisis de sensibilidad, es decir

una vez encontradas mltiples soluciones iguales se debe proceder al comportamiento del

consumo de los recursos y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto de

productividad de los recursos ms limitados y costosos.

Un ejemplo de este caso es el siguiente:

La ebanistera "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la

elaboracin de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de produccin enfocado a estas

por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de

las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren ms que ser

ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de

pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa

modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa

modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de

utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa modelo B. Determine el

modelo adecuado de produccin para esta semana.

X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana

Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana

Restricciones

2X + Y

La grfica resultante sera:

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Como nos podemos dar cuenta mediante la geometra en dos vrtices la lnea imaginaria

perpendicular a la funcin objetivo no atraviesa el conjunto solucin, por ende en dos puntos se

presentan soluciones ptimas, que son los puntos B y C.

Observemos la solucin ptima mltiple

Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0

Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000

Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000

Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000

Existen entonces dos soluciones ptimas

Solucin ptima 1

X = 4 Y = 2

Solucin ptima 2

X = 5 Y = 0

La pregunta siguiente es cual decisin tomar?, pues depende de factores tales como una

anlisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de determinados recursos

(horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al modelo como lo puede llegar a ser en este

caso una necesidad de espacio de almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se

elaboran ms mesas que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar

los resultados pues requerir de la capacidad de quien toma las decisiones.

SOLUCIN PTIMA NO ACOTADA Otra de las variantes que presentan los modelos de programacin lineal corresponde a los

modelos de solucin ptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones ptimas. Hay

que reconocer que en la vida real gran parte de estos problemas se deben a un mal

planteamiento de las restricciones, sin embargo es comn que este tipo de problemas sean

evaluados en la vida acadmica.

Un ejemplo:

La compaa comercializadora de bebidas energticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra

promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promocin

se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2

polticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A

que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender

por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo.

Dado que se encuentran en promocin el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1800

pesos.

Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!

Variables

X = Cantidad de bebidas tipo A a vender

Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender

Restricciones

X => Y

X + Y => 1500

Funcin Objetivo

Zmax = 1800X + 1800Y

La grfica resultante sera:

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Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando indefinidamente la

funcin objetivo, en estos casos se dice que la solucin ptima no es acotada, por lo cual las

posibles soluciones son infinitas.

SOLUCIN INFACTIBLE El caso de la solucin infactible es ms tpico de lo pensado, y corresponde a los casos en los

cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones. Es muy comn ver este

fenmeno producto de inviables proporciones de oferta y demanda.

Un ejemplo:

La compaa de galletas "CAROLA" desea planificar la produccin de galletas que tendr que

entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compaa "CAROLA" se

compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentacin

D, presentacin N o una combinacin de ambas presentaciones), cada caja de galletas

presentacin D tiene un tiempo de elaboracin de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas,

mientras cada caja de presentacin N tiene un tiempo de elaboracin de 3 horas y un tiempo de

horneado de 1 hora. La compaa cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboracin y

con 480 horas de horneado.

Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentacin D y N es de

$8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de programacin lineal el plan de

produccin que maximice las utilidades.

Variables

X = Cantidad de cajas de galletas presentacin D a producir en 2 semanas

Y = Cantidad de cajas de galletas presentacin N a producir en 2 semanas

Restricciones

2X + 3Y

La compaa "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores

denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su

comercializacin: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2

horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B

requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen

contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.

La compaa dispone como mximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y

450 horas de control de calidad. Con base en la informacin suministrada determine las unidades

a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.

Las variables:

X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente

Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente

Las restricciones:

2X + 3Y

El Mtodo Simplex es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en cada paso. La

razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en caminar del vrtice de un

poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o disminuya (segn el contexto de la funcin

objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro

solucin es finito siempre se hallar solucin.

Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense George Bernard

Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear un algoritmo capaz de

solucionar problemas de m restricciones y n variables.

QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?

Una matriz puede definirse como una ordenacin rectangular de elementos, (o listado finito de

elementos), los cuales pueden ser nmeros reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de

columnas.

La matriz idntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo nmero tanto de

columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y

todos los dems componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idntica o identidad de

orden n, y se denota por:

La importancia de la teora de matrices en el Mtodo Simplex es fundamental, dado que el

algoritmo se basa en dicha teora para la resolucin de sus problemas.

OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MTODO SIMPLEX

VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan

mediante programacin lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en

ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el

recurso al cual hace referencia la restriccin y que en el tabulado final representa el "Slack or

surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolucin de investigacin de

operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el anlisis de sensibilidad y juegan un rol

fundamental en la creacin de la matriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restriccin es de signo

"=".

Por ejemplo:

VARIABLE ARTIFICIAL / MTODO DE LA "M" Una variable artificial es un truco matemtico para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o

cuando aparecen igualdades en el problema original, la caracterstica principal de estas variables

es que no deben formar parte de la solucin, dado que no representan recursos. El objetivo

fundamental de estas variables es la formacin de la matriz identidad.

Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente

es M (por esto se le denomina Mtodo de la M grande, donde M significa un nmero demasiado

grande muy poco atractivo para la funcin objetivo), y el signo en la funcin objetivo va en contra

del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximizacin su signo es menos (-) y en

problemas de Minimizacin su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la

solucin sea cero (0).

MTODO SIMPLEX PASO A PASO

EL PROBLEMA La empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado su produccin en

dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa

requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla

requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere

de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y

finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales

de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende

en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta

producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende

en $ 60000. El objetivo de la fbrica es maximizar las utilidades.

Problema planteado por Edwin

Bastidas - Ingeniero Industrial

PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Las variables:

X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)

X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)

X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)

X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

Las restricciones:

2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4

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Solucin: (segundo trmino)= En esta fila se consigna el segundo trmino de la solucin, es decir

las variables, lo ms adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se

escribieron en la definicin de restricciones.

Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila

"solucin" en la funcin objetivo.

Variable Solucin = En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a partir de esta en

cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte de la solucin final.

Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha

"Variable solucin" en la funcin objetivo.

Zj = En esta fila se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos entre trmino

y Cb.

Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un

"Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable

correspondiente que no forme parte de la solucin.

Solucin inicial:

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PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS

Este es el paso definitivo en la resolucin por medio del Mtodo Simplex, consiste en realizar

intentos mientras el modelo va de un vrtice del poliedro objetivo a otro.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Evaluar que variable entrar y cual saldr de la solucin ptima:

Maximizar Minimizar

riable que entra La ms positiva de los Cj - Zj La ms negativa de los Cj - Zj

ariable que sale

Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor

correspondiente a la interseccin entre b y la variable

que entra. La menos positiva de los b/a.

Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor

correspondiente a la interseccin entre b y la variable

que entra. La ms positiva de los b/a.

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2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solucin implica una serie de

cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarn a continuacin.

- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el

"a = 4".

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- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.

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- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harn los clculos

correspondientes en el resto de las celdas.

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De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces sea

necesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.

Maximizar Minimizar

Solucin ptima Cuando todos los Cj - Zj sean = 0

- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.

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En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj

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La manera de llegar a la otra solucin consiste en alterar el orden en que cada una de las

variables entro a la solucin bsica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la

igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aqu les presentamos una de las maneras de llegar a la

otra solucin.

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Podemos observar como existe una solucin ptima alternativa en la cual la combinacin de

variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se

encuentre la variable "S1" en la solucin ptima con un coeficiente de "3" significa que se

presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).

X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)

X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)

X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)

X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)

S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)

Con una utilidad de: $ 340000

PROBLEMAS DE MINIMIZACIN CON EL MTODO SIMPLEX

Para resolver problemas de minimizacin mediante el algoritmo simplex existen dos

procedimientos que se emplean con regularidad.

- El primero, que a mi juicio es el ms recomendable se basa en un artificio aplicable al algoritmo

fundamentado en la lgica matemtica que dicta que "para cualquier funcin f(x), todo punto que

minimice a f(x) maximizar tambin a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar

por el factor negativo (-1) a toda la funcin objetivo.

a continuacin se resuelve el algoritmo como un problema de maximizacin.

- El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimizacin consiste en aplicar los

criterios de decisin que hemos esbozado con anterioridad, en los casos de la variable que entra,

que sale y el caso en el que la solucin ptima es encontrada. Aqu recordamos los

procedimientos segn el criterio dado el caso "minimizar".

Minimizar

Variable que entra La ms negativa de los (Cj - Zj)

Variable que sale

Siendo "b" los valores bajo la celda solucin y "a" el

valor correspondiente a la interseccin entre "b" y la

variable que entra. La ms positiva de los "b/a".

Solucin ptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.

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La solucin ptima corresponde a:

X = 150

Y = 0

y la funcin objetivo quedara.

Zmax = $15300000

Claramente podemos observar como la restriccin 1 y la restriccin 2 no determinan el conjunto

solucin, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes.