UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGAESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

PRACTICA N° 03

ESTADÍSTICA GAUSSIANA

Docente:

Alumno(s)

01 Berrocal Saccatoma Julián02 Cangana Mendoza Franklin kilder03 Acuña Yaranga David04 Del Castillo Perez, Raúl

Fecha de realización 04 de junio de 2013Fecha de entrega 15 de junio de 2013

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JULIO ORE

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I.FUNDAMENTO TEORICO

Histogramas y curvas de gauss

Histograma.

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

En términos matemáticos, puede ser definida como una función inyectiva (o mapeo) que acumula (cuenta) las observaciones que pertenecen a cada sub intervalo de una partición. El histograma, como es tradicionalmente entendido, no es más que la representación gráfica de dicha función.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.

Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

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CURVA DE GAUSS

Características de la distribución normal de la probabilidad.  1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. Presenta una forma de campana.

2. La media de una población distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.

3. A causa de la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución también se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.

4. Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

Propiedades

Algunas propiedades de la distribución normal son:

1. Es simétrica respecto de su media, μ;

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N (μ, σ).

2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;

3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.

4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;

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2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;

3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.

MODA, MEDIANA MEDIA

La media o promedio de la distribución: Se define, según ya vimos, Como

Y =∑j=19

y i ni

n

, y es la media aritmética de los valores observados.

La moda: Corresponde al valor de la variable donde está la máxima frecuencia, o sea, que en un histograma la moda corresponde al valor de la variable donde hay un pico o máximo. Si una distribución tiene dos máximos la denominamos distribución bimodal, si tiene tres máximos trimodal y así sucesivamente.

M d = Y J−1 +C J[ ∆1

∆1+∆2 ]

La mediana: Es el valor de la variable que separa los datos entre aquellos que definen el primer 50% de los valores de los de la segunda mitad. O sea que la mitad de los datos de la población o muestra están a derecha de la mediana y la otra mitad están a la izquierda de la misma.

M e = Y J−1 +C J[ n2−N ( j−1)

Nj−N ( j−1)]

Desviación estándar de las medidas y las medias

√∑i=1n

Y i2ni

n− y2

∑i=1

n

¿ y i− y∨ni

n

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II.RESULTADOS

1. Con los datos de las tablas 1, calcular la frecuencia de cada medida .con ello hacer un histograma frecuencia vs medida

NUMERO DE MEDIDA CANTIDAD DE CANICAS1 282 293 334 305 286 277 308 339 28

10 3111 2812 3513 3014 2915 3016 3417 3318 2919 3320 3221 3322 3323 3224 32

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25 3426 3427 2828 3129 3430 3231 2932 3233 3334 3135 3336 3037 3338 2939 3140 3441 3242 3043 3044 3245 3146 3247 3348 3249 3250 34

6

51 3052 3553 3154 3155 3455 3557 3458 3059 2860 3261 3362 3263 3164 2965 3366 3467 3168 3469 3570 2971 3372 3273 2974 3575 3576 3377 2978 3279 3280 3381 3382 2983 3084 3085 2986 3287 3188 3489 3490 3091 3092 2893 3594 3395 3196 3397 2998 3499 35

100 30media del conjunto 31.6

de medidos

frecuencia27=1%28=7%

29=12%30=14%31=11%32=16%33=18%34=13%35=8%

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1 3 4 5

iIntervalo de

clase

Promedio del intervalo de

clase c n f N1 26.5-27.5 27 1 1 1% 12 27.5-28.5 28 1 7 7% 83 28.5-29.5 29 1 12 12% 204 29.5-30.5 30 1 14 14% 345 30.5-31.5 31 1 11 11% 456 31.5-32.5 32 1 16 16% 617 32.5-33.5 33 1 18 18% 798 33.5-34.5 34 1 13 13% 929 34.5-35.5 35 1 8 8% 100

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2. Calcule la moda mediana, media del conjunto de medidas. Calcule también la desviación estándar de las medidas y la media.

MEDIA

x=31.6

MEDIANAn2=1002

= 50 27=N J−1≤n2≥N J=79[32.5-33.5>

M e = Y J−1 +C J[ n2−N ( j−1)

Nj−N ( j−1)]=32

MODA∆1=nJ +nJ−1=34 nJ = 18, nJ−1 =16, nJ+1=13

∆2= nJ +nJ+1=31

M d = Y J−1 +C J[ ∆1

∆1+∆2 ]

8

26.5-27.5 27.5-28.5 28.5-29.5 29.5-30.5 30.5-31.5 31.5-32.5 32.5-33.5 33.5-34.50%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%frecuencia

frecuencia

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Md=33

DESVIACIÓN MEDIA

N= cantidad de datos

∑i=1

100

¿ xi−x∨¿

N=1.828¿

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Promedio o media   .

.

=2.105764095

3. Analice su gráfica y trace a mano alzada una curva tipo gaussiana.

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4. con los datos de la tabla 2 haga un histograma cuentas vs posición de la canica. calcule la desviación estándar de las medidas y la media

posición canicas posición canicas1 2 11 82 4 12 73 7 13 34 5 14 55 4 15 16 7 16 27 8 17 18 7 18 19 8 19 0

10 9 20 0

Mas inclinado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

cantidad canicas

cantidad canicas

10

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Menos inclinado

posición canicas posición canicas1 4 11 22 6 12 13 11 13 04 13 14 15 7 15 06 13 16 07 8 17 08 6 18 09 8 19 0

10 4 20 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

2

4

6

8

10

12

14

cantidad canicas

cantidad canicas

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MÁS INCLINADO

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Promedio o media   .

.X=4.45

σ=3.03445131

DESVIACIÓN MEDIA

∑i=1

20

¿ xi−x∨¿

N=2.65¿

MENOS INCLINADO

N=cantidad de datos

Promedio o media   .

.

X=4.2

σ=4.54914683

DESVIACIÓN MEDIA

∑i=1

20

¿ xi−x∨¿

N=3.84¿

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III.CUESTIONARIO

1. Que significa una distribución gaussiana y aplicaciones tiene a las mediciones físicas.La distribución gaussiana que entre un número de datos que se llegó a experimentarse esta posee un único máximo que es la media, mediana moda y la probabilidad de que ocurre este evento es más probable.

Aplicaciones:

Medidas como masa, talla

En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.

Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico.

Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos.

Los rayos gaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas. Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el

procesamiento digital de imágenes.

2. En base a los resultados obtenidos sobre la curva gaussiana asócielo con el criterio de estimación de error sistemático de una medición directa con un instrumento analógico. ∆x=(1/2)u

Si unos histogramas ya asociados a la distribución gaussiana se deduce que la media aritmética es equivalente a la media, moda pero debería ubicarse en la parte central de la curva gaussiana la cual si cumple con la propiedad de gauss; por ello se relaciona estrechamente dada que el error sistemático se obtiene de la media aritmética (por la distribución gaussiana).

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A……………u/2……….3A/2…………u/2……………2A

3. averigüe otras distribuciones estadísticas usadas en las mediciones físicasEn las mediciones físicas las distribuciones usadas son:

Distribución x cuadrado Distribución exponencial Distribución t de Student Distribución Gamma Distribución Beta Distribución F Distribución uniforme (continua)

IV.CONCLUSIONES:

Experiencia n° 1 se aproxima a una curva gaussiana, porque las canicas obtenidas con la mano no son tan confiables para realizar datos estadísticos.

Experiencia dos y tres según realizado las experiencias dos y tres se puede concluir que a mayor ángulo se aproxima en mayor proporción a una curva gaussiana y a menor ángulo la curva es menos precisa.

La probabilidad de que las canicas lleguen a los casilleros para formar un curva gaussiana es más probable a mayor ángulo de inclinación y a menor ángulo ocurre lo contrario (ángulo agudo con respecto a la horizontal)

Conclusión general

Los histogramas de los experimentos uno, dos y tres se asemejan a una distribución gaussiana dado que no es simétrica respecto a sus extremos hacia al interior de la curva gaussiana.

V.BIBLIOGRAFIA:

1. Papoulis, A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, M.C. Graw HillCo. (1965)

2. Hoel, P. G., Introduction to Mathematical Statistics, J. Wiley & Sons (1971).

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