FUNDACIÓN UNIVERSITARIA AGRARIA DE COLOMBIAwww.uniagraria.edu.co

INFORME V – CURVA DE LISSAJOUSOmar García, Nelson David Rodríguez Morales, Wilmer Romero.

Juan Salcedo b

a Estudiantes de Ingeniería Civil y Mecatrónica bDocente Física, Dpto Ciencias Básicas.

Resumen:

Keywords:- Ángulo de Fase- Amplitud de Onda- Armonógrafo- Curvas De Lissajous.- Fenómenos Ondulatorios- Frecuencia - Frecuencia Angular- Fuerza de Tensión- Longitud- Medida de Fase- Medida de Frecuencia.- Movimiento Armónico Simple (MAS)- Movimiento Circular Uniforme (MCU)- Oscilaciones- Ondas con mas de un MAS (Movimiento armonico Simple)- Osciloscopio - Péndulo - Péndulo de Foucault

Como se puede evidenciar en la vida diaria el sistema de proyección de un elemento de ondas propagadas en el espacio como el Sonido, que tienen diferentes comportamientos según el medio de propagación puede variar según variables propias de la Física de Calor y Ondas como intensidad de frecuencia, tonalidad y volumen y aspectos propios de más de un MAS en un sistema de cierto desarrollo ondular como la longitud de onda, la amplitud, la frecuencia angular, la fuerza de Tensión proporcionada por casos como por ejemplo el péndulo de Foucalt que no tiene una única trayectoria sino que forma figuras como en movimiento orbital, al igual que este péndulo, las Curva de Lissajous dadas por una vibración de sonido son experimentadas según figuras o representaciones graficas de las ondas sonoras a diferentes frecuencias como variación de una región dada y medio para inter-comunicar las razones de variables propia para el sistema de desarrollo propio a otras zonas que necesitan recibir los códigos en forma de sonido e información relevante.En este laboratorio se experimentara y analizara por medio de dos simuladores y una experiencia domestica, las figuras de Lissajous como medio de referencia de cómo es la propagación del sistema de ondas sonoras, describiendo detalladamente cómo afectan en la formación de las trayectorias dicho cambio de representaciones graficas y las variables del MAS que afectan principalmente, es por ende el principal enfoque a la descripción de las Curva de Lissajous y el desarrollo patente de figuras experimentadas y hallando el enfoque experimental del recurso dado, para priorizar su explicación.

1. OBJETIVOS

Objetivo General:

Describir detalladamente como se ve afectada la formación de las trayectorias en una Curva De Lissajous, por medio de la definición de sus características principales y la tomada de referencia del sistema experimental proyectado en un simulador que describe más de un MAS.

Objetivos Específicos:

Definir y conceptualizar las principales características y causas para realizar una experiencia de comprobación del método de la Curva de Lissajous, con sus aspectos relacionados al MAS.

Determinar cuáles son las variables del MAS que más afectan a las Curvas de Lissajous para determinar cómo varia y según que su trayectoria.

Comprobar el referente teórico extraído de fuentes bibliográficas de la Curva De Lissajous con la práctica experimental, para poder definir de esta manera el sistema de mayor enfoque primordial de un caso evaluado en dicha metodología a nivel de ondas sonoras.

Realizar de variadas formas bien sea variando la Frecuencia y la diferencia del ángulo de fase para la Curva de Lissajous o variando las longitudes, para el caso práctico de Péndulo de Lissajous sobre las figuras y así hallar la descripción más lógica del sistema de proyección alimentado con el recurso de apropiación del concepto definido.

Tetrahedron

2. ASPECTOS TEÓRICOS:

Curva de Lissajous

1

Figura 1. Curva de Lissajous en tres dimensiones.

En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares, tales que posean dos componentes de desplazamiento o lo que es conocido como un plano bidimensional:

(1.)

Estas curvas fueron investigadas e identificadas por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayor detalle, por Jules Antoine Lissajous, por esta razón se derivan los nombres de dichos nombramientoa.

En mecánica clásica, la trayectoria de un movimiento armónico complejo bidimensional es una curva de Lissajous.

Descripción

“La composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se obtiene a través de la relación existente el M.A.S y el movimiento circular uniforme.

Compondremos dos M.A.S de direcciones perpendiculares dados por las ecuaciones

Las amplitudes son Ax y Ay, las frecuencias angulares wx y wy, respectivamente, y d es la diferencia de fase entre ambos movimientos.

El primer M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ax sobre el eje X, el segmento marcado en color rojo. Al girar con velocidad angular wx, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es wxt. El origen de ángulos se encuentra en la parte derecha de la circunferencia en el punto marcado por O.

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous

El segundo M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio  Ay sobre el eje Y, el segmento marcado en color azul. Al girar con velocidad angular wy, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es wyt+d. El origen de ángulos se encuentra en la parte inferior de la circunferencia en el punto marcado por O y d es la posición angular de partida en el instante t=0.”2

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 Figura 2. Relación Curva de Lissajous con el MUC.

Propiedades

“La apariencia de la figura es muy sensible a la relación, esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, δ = π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si

es un número racional, esto es, si y son evaluables. En el caso de que el cociente de frecuencia no sea un racional la curva además de no ser cerrada es un conjunto denso sobre un rectángulo, lo cual significa que la curva pasa arbitrariamente cerca de cualquier punto de dicho rectángulo.

En el caso de que el cociente sí sea un número racional, entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que

y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T

obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracción irreducible).

La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous.”4

2 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm

3 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm

2

Instrumentos Utilizados para medir las Curvas de Lissajous

- Armonógrafo:

5 Figura 3. - Armonógrafo

Un armonógrafo es un aparato mecánico que utiliza péndulos para crear una imagen geométrica.

Según sus relaciones de Longitud y Frecuencia las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo y quedan representadas de la siguiente manera:

4 http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous

5 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Harmonograph.jpg

Espirógrafo

Es bastante parecido en aspecto a las curvas de Lissajous, pero con pequeñas diferencias en cuanto a las Matemáticas subyacentes.

- Osciloscopio:

El osciloscopio se emplea en todos los procesos que abarca la electrónica y en muchas áreas de la técnica.

Tetrahedron

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Figura 4. - Curva de Lissajous en un osciloscopio.- Medida de frecuencia

La frecuencia de una señal se puede medir con un osciloscopio por dos métodos:

A partir de la medida del período de dicha señal  empleando la fórmula:

F(Hz) = 1/T(sg) Mediante la comparación entre una frecuencia de valor

conocido y la que deseamos conocer. En este caso el osciloscopio se hace trabajar en régimen X/Y (Deflexión exterior).Aplicando cada una de las señales, a las entradas "X" e "Y" del osciloscopio y en el caso de que exista una relación armónica completa entre ambas, aparece en la pantalla una de las llamadas "figuras de Lissajous", a la vista de la cual se puede averiguar el número de veces que una frecuencia contiene a la otra y por lo tanto deducir el valor de la frecuencia desconocida.

- Medida de fase: El sistema anterior de medida de frecuencia mediante el empleo de las "curvas de Lissajous", se puede utilizar igualmente para averiguar el desfase en grados existente entre dos señales distintas de la misma frecuencia.  Hacemos trabajar el osciloscopio con deflexión horizontal exterior, aplicando a sus entradas horizontal y vertical (X/Y) las dos señales que se desean comparar. Mediante esta conexión se formará en la pantalla una "curva de Lissajous" que debidamente interpretada nos dará la diferencia de fase existente entre las dos formas de onda que se comparan. En los siguientes dibujos, se dan algunos ejemplos de este sistema de aplicación.

Curva de Lissajous. Señales desfasadas 30º (o bien 330º).

Curva de Lissajous. Señales desfasadas 90º (o bien 270º).

6 http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous

Curva de Lissajous. Señales desfasadas 110º (o bien 250º)

Curva de Lissajous. Señales desfasadas 180º.

Péndulo De Lissajous o de Bowditch“En la práctica experimental para representarla se utilizaron péndulos dobles hechos con dos cuerdas y botellas de plástico con un agujero en el tapón y llenas de pintura, lo cual según la relación de la variación de la longitud daba diferentes figuras de Lissajous como se pudo comprobar también este tipo de Curvas depende de la Longitud.En concreto, Bodwitch cogió un pequeño hilo y lo suspendió por sus dos extremos, fijándolo a una tabla horizontal. Entonces colocó en el punto medio de ese hilo un péndulo tradicional, es decir, un hilo de cierta longitud en cuyo extremo se encontraba una pelota plomiza. El conjunto, como se aprecia en la figura adjunta, tenía forma de "Y". 

Este péndulo así construido tenía dos modos de oscilación distintos. En el primero de ellos, la pelota oscilaba en el plano perpendicular a la "Y", y lo hacía pivotando sobre los dos puntos fijos al tablero. El otro modo consistía en el movimiento del péndulo en el mismo plano de la "Y". Pero ahora el péndulo no oscilaba sobre los dos puntos de arriba, sino que lo hacía, para entendernos, sobre el vértice de la "V". En ambos casos, el movimiento era equivalente al de un péndulo simple, sólo que la longitud efectiva del péndulo variaba en cada uno. 

Cuando el péndulo oscilaba en una de estas dos direcciones, el resultado no tenía nada de especial. Pero, ¿y si lo hacía en una dirección oblicua? Bodwitch se dio cuenta que entonces el movimiento se complicaba. Unas veces el péndulo trazaba una trayectoria circular; en otras ocasiones, era elíptica, parabólica o describía una curva con dos ramas, parecido a un ocho. Incluso a veces, el movimiento del péndulo describía todas ellas de forma cíclica. Bodwitch comprendió que había una inmensa variedad de estas curvas o de combinaciones de ellas, y que dependían de las proporciones que las diferentes partes del péndulo mantuviesen entre sí: básicamente, la longitud de las cuerdas que formaban la "Y". La variación de estas magnitudes producía cambios en las formas de las curvas.”7

3. ASPECTOS EXPERIMENTALES

3.1. Materiales

3 .1 .1 . Curva de Lissajous: Simulador utilizando Java, de las siguientes páginas:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm http://www.tianguisdefisica.com/pendulo3.htm

3.1 .2 . Péndulo de Lissajous:- Botella con tapa

7 http://laaventuradelaciencia.blogspot.com/2011/09/el-armonografo.html

4

- Hilo o Pita.

- Vinilo

- Hojas Reciclables

3.2. Procedimientos:

3 .2 .1 . Curva de Lissajous:

1. Ingresar a las siguientes páginas de simulación utilizando Java: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm http://www.tianguisdefisica.com/pendulo3.htm

2. Hallar para diferentes Amplitudes y diferentes Ángulos de Fase las variaciones de la Curva de Lissajous

3. Hacer el análisis matemático de lo que sucede en la experiencia.3.1. Para el Simulador se procede de la siguiente forma:

Se introduce 

La frecuencia angular del primer M.A.S. (eje X), en el control de edición titulado Frecuencia angular X

La frecuencia angular del segundo M.A.S. (eje Y), en el control de edición titulado Frecuencia angular Y

Se pone un ángulo de fase (en grados) para ambos entre los dos M.A.S, en el control de edición titulado Diferencia de fase

Se pulsa el botón titulado Empieza

3.2 .2 . Péndulo de Lissajous:

4. Armar el montaje del péndulo de botella, de tal manera que las longitudes de la cuerda se puedan variar.

5. Preparar la solución de vinilo con agua para modelado del movimiento producido en el péndulo.

6. Fijar una altura a la cual se pone el soporte superior donde será colgado el montaje.

7. Llenar la botella con nuestra solución y abrir un pequeño orificio en la tapa de la botella para que el líquido sufra una fluidez.

8. Poner el papel en el que se desea delinear el movimiento en este caso papel periódico.

9. Situar el montaje en el centro del papel.

10. Partir de una posición de reposo con Ángulos pequeños para que las oscilaciones sean moderadas.

11. Llevar acabo 5 oscilaciones diferentes para el informe.

4. Resultados:

4.1. Simulador 1:

1. Fx=1 Hz Fy=1 HzӨx=0° Өy=0°

2. Fx=1 Hz Fy=2 HzӨx=0° Өy=0°

3. Fx=2 Hz Fy=1 HzӨx=0° Өy=0°

4. Fx=1 Hz Fy=2 HzӨx=30° Өy=0°

Tetrahedron

5. Fx=1 Hz Fy=2 HzӨx=150° Өy=0°

6. Fx=1 Hz Fy=2 HzӨx=150° Өy=30°

7. Fx=1 Hz Fy=5 HzӨx=150° Өy=30°

8. Fx=1 Hz Fy=5 HzӨx=150° Өy=0°

9. Fx=1 Hz Fy=5 HzӨx=0° Өy=0°

10. Fx=9 Hz Fy=8 HzӨx=0° Өy=0°

6

4.2. Simulador 2:

1. ωx=1 Hz ωy=1 Hz∆Ө=0°

2. ωx=1 Hz ωy=1 Hz∆Ө=180°

3. ωx=1 Hz ωy=1 Hz∆Ө=90°

4. ωx=2 Hz ωy=1 Hz∆Ө=90°

5. ωx=2 Hz ωy=1 Hz∆Ө=180°

6. ωx=2 Hz ωy=1 Hz∆Ө=180°

7. ωx=2 Hz ωy=1 Hz

Tetrahedron

∆Ө=45°

8. ωx=3 Hz ωy=2 Hz∆Ө=0°

9. ωx=3 Hz ωy=2 Hz∆Ө=45°

10. ωx=3 Hz ωy=2 Hz∆Ө=90°

11. ωx=2 Hz ωy=3 Hz∆Ө=0°

12. ωx=2 Hz ωy=3 Hz∆Ө=90°

5. ANALISIS DE RESULTADOS:5.1 .1 . Curva de Lissajous:

Componemos dos MAS de direcciones perpendiculares y de la misma frecuencia angular w, desfasados d. Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A.

x=A·sen(w·t)y=A·sen(w·t+d)

La trayectoria como podemos comprobar es una elipse.La medida de la intersección de la elipse con los ejes X e Y nos permite medir el desfase d, entre dos señales x e y.

1.Intersección con el eje Y

Cuando x=0, entonces w ·t=0, ó π

y0=A·sen∂y0=A·sen(π+∂)=-A·sen∂

Si medimos en la parte positiva del eje Y, tendremos que sen ∂= y0/AComo se pudo demostrar según la teoría y la experiencia la relación de frecuencia 1:2 da un moño y la relación 9:8 tiende a dar un cuadrado, esto debido a que la diferencia es mínima, cercana a 1, por lo cual se puede expresar como una relación muy próxima a la relación de un mismo ángulo de fase para ambas coordenadas, es decir una diferencia de ángulos de fase de 0°.

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Como se pudo demostrar en las gráficas al variar el ángulo de fase tomado al tomar El ángulo de Fase inicial como 30° y su suplementario (180-El angulo de Fase inicial) va a dar la gráfica o figura con posición opuesta.

La diferencia de 120° (150°-30°) da como resultado la figura de una parábola.

La relación 1-5 es un seno para una diferencia de ángulos de fase de 0°.

La relación 1-5 no varía para una diferencia de ángulos de fase de 0° o de 120°.

- SEGUNDO SIMULADOR:

En el segundo simulador la relación 1-1 tanto para 0° como para 180° era una gráfica de una línea cada una en sentido opuesto de la otra, mientras para la misma relación y 90° de diferencia de ángulo de fase era una elipse. Pudiendo distinguir la relación de posición u orientación de los ejes centrales.

Para la relación 2-1 de frecuencia respecto a 90° y 180° de ángulo de fase no variaba la gráfica.

Para la relación 2-3 de frecuencia respecto a 0° y 90° de ángulo de fase no variaba la gráfica.

Para la relación 2-1 de frecuencia respecto a 45° de ángulo de fase y la relación 1-2 de frecuencia respecto a 90° de ángulo de fase no variaba la gráfica, variaba la posición respecto al eje.

4.2.2. Péndulo de LissajousEl modelado del péndulo de botella siempre va a sufrir diferentes movimientos de oscilación debido a las longitudes variadas en el experimento. Teniendo en cuenta también el ángulo que se adapte para soltar el sistema.La longitud que varía la amplitud de la oscilación es L1 y la longitud que hace variar el patrón de movimiento es L2.Según esta gráfica:

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8 http://www.tianguisdefisica.com/pendulo3.htm

Para los seis casos se tomaron las siguientes Longitudes:1. L1=111 cm.

L2=51 cm.2. L1=101 cm.

L2=51 cm.3. L1=101 cm.

L2=41 cm.4. L1=111 cm.

L2=41 cm.5. L1=101 cm.

L2=51 cm.

6. CONCLUSIONES:- Las figuras de Lissajous se obtienen de la superposición de dos movimientos armónicos perpendiculares. La trayectoria resultante dependerá de la relación de las frecuencias o frecuencias angulares y de la diferencia de fase.- Los dibujos creados en la experiencia son denominadas las Curvas de Lissajous, figuras que fueron investigadas por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayor detalle, por el matemático francés Jules Antoine Lissajous al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido y definir una bidimensional de un péndulo como dos sentidos del MAS en un sistema Ondulatorio.- Se pudieron concluir varias decisiones sobre como los angulos complementarios y suplementarios variaban de posición o se igualaban según el caso de la relación frecuencia y angulo de fase.- Se puede establecer una relación igualmente con la longitud de la siguiente manera:

ω/ π= (L/g)-1/2

7. BIBLIOGRAFÍA:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htmhttp://www.tianguisdefisica.com/pendulo3.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajoushttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Curvas_en_parametricas/index.htmhttp://laaventuradelaciencia.blogspot.com/2011/09/el-armonografo.html http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Harmonograph.jpg http://www.buenastareas.com/ensayos/Curvas-De-Lissajous/1890535.html