INFORMATIKA II MATLAB 1. deo
Transcript of INFORMATIKA II MATLAB 1. deo
INFORMATIKA IIMATLAB 1. deo
Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek
Šta je MATLAB?
Jezik koji nudi velike mogućnosti kada su u pitanju tehnička proračunavanja
Integriše proračunavanja sa vizuelizacijom i programiranjem kroz jedno okruženje koje je lako za korišćenje i u kome se i problemi i rešenja izražavaju
pomoću uobičajene matematičke notacije Naziv MATLAB je skraćenica od matrična
laboratorija (matrix laboratory)
Karakteristične oblasti
Matematika i proračunavanja Razvoj algoritama Prikupljanje podataka Modeliranje, simulacija i izrada
prototipova Analiza, istraživanje i vizuelizacija
podataka Naučna i inženjerska grafika Razvoj aplikacija, uključujući izgradnju
grafičkog korisničkog interfejsa
Razvoj i korišćenje
MATLAB se razvijao tokom godina na osnovu doprinosa koji su davali mnogi korisnici
Postao je standardno nastavno sredstvo na univerzitetima i to kako na uvodnim tako i na naprednim kursevima iz matematike i različitih inženjerskih i naučnih disciplina
U industrijskom okruženju MATLAB predstavlja alatku izbora u oblasti istraživanja, razvoja i analize
Glavni delovi MATLAB sistema (1)
Desktop alati i razvojno okruženje Ovo je skup alatki i funkcionalnosti koje
olakšavaju korišćenje MATLAB funkcija i datoteka Mnogi od ovih alata predstavljaju grafičke
korisničke interfejse Ovim skupom su obuhvaćeni MATLAB desktop i
komandni prozor, prozor s prethodnim komandama, editor i debager, analizator koda i ostali izveštaji, pretraživač za pregledanje sistema za pomoć (help), radni prostor, datoteke i putanja za pretraživanje
Glavni delovi MATLAB sistema (2)
MATLAB biblioteka matematičkih funkcija
Veoma širok skup algoritama za proračunavanje koji obuhvataju: elementarne funkcije: zbir, sinus, kosinus,
operacije sa kompleksnim brojevima... složene funkcije: invertovanje matrice,
izračunavanje sopstvenih vrednosti matrice, Beselove funkcije, brze Furijeove transformacije...
Glavni delovi MATLAB sistema (3)
MATLAB jezik Jezik matrica/niski visokog nivoa sa
naredbama za kontrolu toka, funkcijama, strukturama podataka, ulazom/izlazom i karakteristikama objektno orijentisanog programiranja
Omogućava kako "programiranje na malo" odnosno brzo kreiranje programa za jednokratnu upotrebu tako i "programiranje na veliko" odnosno kreiranje velikih i složenih aplikativnih programa
Glavni delovi MATLAB sistema (4)
Grafika MATLAB poseduje značajne mogućnosti za
prikazivanje vektora i matrica u obliku grafova, kao i za označavanje i štampanje ovih grafova
Obuhvata funkcije visokog nivoa za vizuelizaciju dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih podataka, obradu slike, animaciju i prezentaciju grafike
Takođe sadrži funkcije niskog nivoa koje omogućavaju potpuno podešavanje izgleda grafike kao i izgradnju kompletnog grafičkog korisničkog interfejsa za razvijenu MATLAB aplikaciju
Glavni delovi MATLAB sistema (5)
Spoljni MATLAB interfejsi/API Bilbioteka koja omogućava pisanje C i
Fortran programa koji se povezuju sa MATLAB-om
Obuhvaćene su funkcionalnosti za poziv rutina iz MATLAB-a (dinamičko povezivanje), pozivanje MATLAB-a kao mašine za proračunavanje, i za čitanje i ispisivanje MAT-datoteka
Alati za specifične primene
MATLAB sadrži i veći broj dodatnih rešenja vezanih za specifične primene predstavljenih u vidu panela sa alatima
Paneli sa alatima su sveobuhvatni skupovi MATLAB funkcija (M-datoteka) i pružaju mogućnost velikom broju korisnika MATLAB-a da lako savladaju primena neke specijalizovane tehnologije
Kroz panele sa alatima proširuje se MATLAB okruženje u cilju rešavanja određenih klasa problema
Oblasti za koje postoje paneli sa alatima obuhvataju obradu signala, kontrolne sisteme, neuronske mreže, fazi logiku, talasiće (wavelets), simulaciju i mnoge druge
Osnovni element podataka
MATLAB je interaktivni sistem u kome osnovni element podataka predstavlja niska koja ne zahteva dimenzionisanje
Korišćenje niski u MATLAB-u: omogućava rešavanje mnogih problema
vezanih za tehnička proračunavanja (posebno onih koji su formulisani pomoću matrica ili vektora)
omogućava korisniku da problem reši mnogo brže nego kada bi pisao odgovarajući program u nekom programskom jeziku kao što je C ili Fortran
Pokretanje MATLAB-a i njegovi prozori
Kada se program pokrene prikazuje se standardan izgled MATLAB-a koji sadrži tri prozora: komandni prozor (Command
Window prozor tekućeg direktorijuma
(Current Directory) prozor s prethodnim
komandama (Command History)
MATLAB sadrži još pet prozora koji se mogu aktivirati iz menija Desktop, preko stavke Desktop Layout
MATLAB-ovim alatkama i svojstvima se pristupa pomoću dugmeta Start u donjem levom uglu
MATLAB-ovi prozori i njihove namene
Prikazuje datoteke u tekućem direktorijumu.Prozor tekućegdirektorijuma (Current Directory)
Sadrži podatke o svim upotrebljenim promenljivama.Prozor radnog prostora(Workspace Window)
Sadrži komande unesene u komandnom prozoru.Prozor s prethodnimkomandama (Command History)
Omogućava pristupanje alatkama, demonstracijama i dokumentaciji.
Prozor za pokretanje(Launch Pad Window)
Sadrži pomoćne informacije.Prozor sistema za pomoć(Help)
Za pisanje skript datoteka i funkcijskih datoteka, te za otkrivanje i otklanjanje grešaka u njima.
Prozor za pisanje programa(Editor)
Sadrži rezultate grafičkih komandi.Grafički prozor (Figure)
Glavni prozor za unošenje promenljivih i izvršavanje programa.Komandni prozor(Command Window)
NamenaProzor
Komandni prozor (1)
Glavni MATLAB-ov prozor koji služi za: izvršavanje komandi otvaranje drugih prozora pokretanje programa koje je napisao korisnik upravljanje MATLAB-om
Komandni prozor (2)
Za rad je ponekad najpogodnije da samo komandni prozor bude vidljiv a da se ostali prozori zatvore
Kada se u meniju Desktop izabere DesktopLayout, a u podmeniju koji se otvara Command Window Only ostaje otvoren samo komandni prozor
Grafički prozor
Otvara se automatski kada se izvrši grafička komanda i u njemu se pojavljuje grafika koju je ta komanda generisala
Prozor za pisanje programa
U ovom prozoru se pišu i uređuju programi Ovaj prozor se koristi za pisanje skript
datoteka i za pisanje funkcijskih datoteka Prozor se otvara iz menija File u komandnom
prozoru
Prozor sistema za pomoć Prozor sistema za
pomoć (Help) sadrži ugrađenu pomoć, a može se otvoriti iz menija Help na traci menija svakog MATLAB-ovog prozora
Interaktivan je i služi za dobijanje pomoćnih informacija o bilo kojoj komponenti ili svojstvu MATLAB-a
Rad u komandnom prozoru
Da bi se upisala komanda kursor mora biti neposredno iza komandnog odziva (»)
Upisana komanda biće izvršena kada se pritisne <Enter>
Uvek se izvršava samo poslednja upisana komanda - prethodno izvršene komande ostaju nepromenjene
U isti red se može upisati više komandi ako se razdvoje zarezom
Kada se pritisne <Enter>, komande će biti izvršene redom, sleva nadesno
Rad u komandnom prozoru
Ne može se vraćati u prethodni red komandnog prozora da bi se izmenila i ponovo izvršila izmenjena komanda
Za ponovno izvršavanje prethodne komande pritisne se taster sa strelicom nagore i iza komandnog odzivnika (») će se prikazati prethodna komanda koja se sada može izmeniti (ako treba) i izvršiti
Pritiskom na strelicu nadole redom se prikazuju sve prethodno upisane komande
Ako je komanda preduga da bi stala u jedan red upišu se tri tačke (...) i pritisne <Enter> pa se nastavak komande piše u sledećem redu
Komanda se može protezati na više redova i sadržati do 4096 znakova
Tačka-zarez (;)
Kada se komanda upiše u komandni prozor i pritisne <Enter> i rezultat komande se prikazuje u komandnom prozoru
Ukoliko se na kraju komande unese tačka-zarez (;) njen rezultat se neće prikazati
Ova opcija može biti korisna kada je rezultat očigledan ili poznat ili kada je veoma veliki
Ukoliko se u isti red upiše više komandi, njihovi rezultati se neće prikazati ako se razdvoje znakovima tačka-zarez umesto zarezima
Znak procenta (%)
Kada se na početak reda upiše znak procenta (%) red se time označava kao komentar
Redovi označeni na ovaj način se ne izvršavaju Ukoliko se znak % i odgovarajući tekst
(komentar) upišu iza komande (u istom redu) to neće uticati na izvršavanje komande
Obično nema potrebe da se u komandnom prozoru pišu komentari ali se opisi i objašnjenja u vidu komentara često dodaju programima
Komanda clc
Komanda clc (clc<Enter>) briše sadržaj komandnog prozora
Ova opcija može biti korisna kada posle dužeg rada u komandnom prozoru njegov sadržaj postane predugačak
Komanda clc briše sadržaj komandnog prozora ali nema nikakvih drugih efekata
Posle izvršavanja komande clc sve prethodno definisane promenljive i dalje postoje i mogu se upotrebljavati
Prethodno upisane komande i dalje se mogu prikazati strelicom nagore
Aritmetičke operacije sa skalarima Operacije sa skalarima -
pojedinačnim brojevima Brojevi se u aritmetičkim
proračunima mogu upotrebljavati direktno (kao na kalkulatoru) ili se mogu pridružiti promenljivama, koje se potom koriste za izračunavanja
Simboli aritmetičkih operacija su dati u tabeli
Svi simboli (sem deljenjasleva) su isti kao na većinikalkulatora
Za skalare je deljenje slevaoperacija inverzna deljenju zdesna
Deljenje sleva se uglavnom upotrebljava za operacije sa nizovima
5^3 (znači 53 = 125)
^Stepenovanje
5 \3 = 3/5\Deljenje sleva
5/3/Deljenje zdesna
5*3*Množenje
5-3-Oduzimanje
5 + 3+Sabiranje
PrimerSimbolOperacija
Prioritet izvršavanja MATLAB izvršava operacije
prema sledećem redosledu prioriteta, koji je isti kao na većini kalkulatora
U izrazu koji sadrži više operacija, operacije višeg prioriteta izvršavaju se pre operacija nižeg prioriteta
Ako dve ili više operacija imaju isti prioritet, izraz se izračunava sleva udesno
Redosled izračunavanja se može promeniti zagradama
Sabiranje i oduzimanjeČetvrti po redu
Množenje, deljenje (jednak prioritet)Treći po redu
StepenovanjeDrugi po redu
Zagrade. Kada su zagrade ugneždene, prvo se izračunava unutrašnja zagrada
Najviši
Matematička operacijaPrioritet
Korišćenje MATLAB-a kao kalkulatora MATLAB je
najjednostavnije koristiti kao kalkulator, kada se u komandni prozor upiše matematički izraz i pritisne <Enter>
MATLAB će izračunati izraz, napisati ans = i prikazati numerički rezultat u sledećem redu
To je pokazano u vežbi
Korišćenje MATLAB-a kao kalkulatora
Obratitipažnju naredosledizvršavanja
Tri tačke (...) se upisuju da bi se izraz nastavio u sledećem redu
Formati prikaza rezultata
Korisnik može da izabere format u kojem MATLAB prikazuje rezultat na ekranu
U prethodnoj vežbi je za ispisivanje rezultata korišćen je fiksan zarez i 4 decimale; to je kratki (short) format koji je podrazumevani format za numeričke vrednosti
Izlazni format se zadaje komandom format, nakon čega se svi rezultati prikazuju u to formatu
MATLAB ima više formata za prikazivanje brojeva Pojedinosti o tim formatima se mogu dobiti ako se u
komandni prozor upiše help format Format prikaza na ekranu ne utiče na preciznost kojom
MATLAB izračunava i pamti brojeve. U svim primerima MATLAB koda i zadacima, umesto
decimalnog zareza koristi se decimalna tačka
Formati i njihov opis
Dodaje prazne redove (obrnuto od compact).format loose
Uklanja prazne redove da bi više redova sa sadržajem stalo na ekran.format compact
>> 290/7 ans =41.43
Dve decimale.format bank
>> 290/7 ans =41.4285714285714
Petnaest cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom.format long g
>> 290/7 ans =41.429
Pet cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom.format short g
>> 290/7 ans = 4.142857142857143e+001
Naučna notacija sa 15 decimala.format long e
>> 290/7 ans = 4.1429e+001
Naučna notacija sa četiri decimale.format short e
>> 290/7 ans = 41.42857142857143
Fiksni zarez sa 14 decimala za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 <=broj<= 100. Izvan ovog opsega primenjuje se format long e.
format long
>> 290/7ans =41.4286
Fiksni zarez sa četiri decimale za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 <broj< 1000. Izvan ovog opsega primenjuje se format short e.
format short
PrimerOpisKomanda
Ugrađene elementarne matematičke funkcije
Sem osnovnih aritmetičkih operacija, izrazi u MATLAB-u mogu sadržati i funkcije
MATLAB ima veoma veliku biblioteku ugrađenih funkcija, a korisnik može definisati i svoje funkcije
Funkcija se poziva imenom i argumentom u zagradama
Na primer, funkcija sqrt (x) izračunava kvadratni koren (engl. square root) broja.
Ime joj je sqrt, a argument je x Argument funkcije može biti broj,
promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost, ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive
I argumenti i izrazi mogu sadržati funkcije
Vežba pokazuje primere korišćenja funkcije sqrt (x) kada se MATLAB upotrebljava kao kalkulator sa skalarima
Elementarne matematičke funkcije
>> factorial(5) ans =120
Faktorijel od x (x!) gde x mora biti pozitivan ceo brojfactorial(x)
>> log10(1000)ans = 3.000
Logaritam sa osnovom 10log10(x)
>> log(1000)ans = 6.907S
Prirodni logaritam - logaritam sa osnovom e (ln)log(x)
>> abs(24)ans = 24
Apsolutna vrednostabs(x)
>> exp(5)ans=148.4132
Eksponencijalna funkcija (ex)exp(x)
>> sqrt(81)ans=9
Kvadratni korensqrt(x)
PrimerOpisFunkcija
Trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije su asin(x), acos(x), atan(x) i acot(x)
Hiperboličke trigonometrijske funkcije su sinh(x), cosh(x), tanh(x) i coth(x)
Iz primera u tabeli se vidi dase kao oznaka zakonstantu koristi pi
>> cot(pi/6)ans =1.7321
Kotangens ugla x (u radijanima)
cot(x)
>>tan(pi/6)ans=0.5774
Tangens ugla x (u radijanima)
tan(x)
>> cos(pi/6)ans=0.8660
Kosinus ugla x (u radijanima)
cos(x)
>> sin(pi/6)ans =0.5000
Sinus ugla x (u radijanima)
sin(x)
PrimerOpisFunkcija
Funkcije za zaokruživanje
>> sign(5)ans =1
Funkcija signum: vraća 1 kada je x > 0, -1 kada je x < 0, i 0 kada je x = 0
sign(x)
>> rem(13,5)ans =3
Vraća ostatak deljenja x sa yrem (x,y)
>> floor(-9/4)ans=-3
Zaokruživanje na najbliži manji ceo brojfloor(x)
>> ceil(11/5)ans=3
Zaokruživanje navišeceil(x)
>> fix(13/5)ans=2
Zaokruživanje nanižefix(x)
>> round(17/5)ans=3
Zaokruživanje na najbliži ceo brojround(x)
PrimerOpisFunkcija
Definisanje skalarnih promenljivih Promenljiva je ime koje sadrži najmanje jedno slovo a
može biti i proizvoljna kombinacija slova i cifara (s tim da mora započinjati slovom), a kome je pridružena numerička vrednost
Promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost može se upotrebljavati u matematičkim izrazima, funkcijama i svim MATLAB-ovim iskazima i komandama
Promenljiva je zapravo ime određene lokacije u memoriji
Kada se definiše nova promenljiva MATLAB joj dodeljuje odgovarajuću lokaciju u memoriji gde se čuva njoj pridružena vrednost
Svaki put kada se upotrebi ime promenljive, MATLAB koristi njoj dodeljenu vrednost
Ako se promenljivoj dodeli nova vrednost, menja se sadržaj odgovarajuće lokacije u memoriji
Operator dodele U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele
(assignment operator) Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj Ime_promenljive = numerička vrednost ili izraz Levo od operatora dodele može biti samo jedno
ime promenljive. Desno može biti broj ili izraz koji sadrži brojeve
i/ili promenljive kojima su prethodno dodeljene numeričke vrednosti
Kada se pritisne taster Enter, numerička vrednost s desne strane dodeljuje se promenljivoj, a MATLAB u sledeća dva reda prikazuje promenljivu i njoj dodeljenu vrednost
Kako radi operator dodele? Poslednji iskaz
(x=3x-12) ilustruje razliku između operatora dodele i znaka jednakosti
Kada bi u tom iskazu znak = označavao jednakost, vrednost x bi bila 6 (kada se reši jednačina po x)
Primer
Upotreba prethodno definisane promenljive u definisanju nove promenljive
Primer sa tačka-zarezom
Ako se na kraj reda upiše tačka-zarez pa zatim pritisne <Enter>, MATLAB neće prikazati promenljivu i njoj dodeljenu vrednost, ali će joj vrednost ipak dodeliti i smestiti je u memoriju
Kada se upiše ime postojeće promenljive i pritisne <Enter>, u sledeća dva reda prikazaće se ime i vrednost te promenljive
Upisivanje nekoliko dodeljenih vrednosti i istom redu Dodeljivanje vrednosti se razdvaja zarezima (posle zareza se
može otkucati više razmaka) Kada se pritisne <Enter>, vrednosti se dodeljuju sleva
udesno, a promenljive i njima dodeljene vrednosti prikazuju se u sledećim redovima
Ukoliko se umesto zareza otkuca tačka-zarez, vrednosti promenljivih neće biti prikazane
Primer: dodeljivanje vrednosti promenljivama a, B i C u istom redu
Primer
Dodeljivanje nove vrednostipostojećoj promenljivoj
Primer
Upotreba već definisane promenljive kao argumenta funkcije
Pravila za imena promenljivih
Imena promenljivih u MATLAB-u mogu imati do 63 znaka, mogu sadržati slova, cifre i podvlake, i moraju počinjati slovom
MATLAB pravi razliku između velikih i malih slova, na primer, AA, Aa, aA i aa su imena četiri različitepromenljive
Treba izbegavati korišćenje imena rezervisanihreči, tj. nazive ugrađenih funkcija za promenljive(cos, sin, exp, sqrt itd.)
Funkcija čije je ime upotrebljeno za definisanjepromenljive, više se ne može koristiti
Unapred definisane promenljive Pojedine često korišćene promenljive automatski su definisane čim se
MATLAB pokrene Vrednost unapred definisanih promenljivih može biti proizvoljno
redefinisana Promenljive pi, eps i inf obično se ne redefinišu Ostale unapred definisane promenljive (i i j) ponekad se redefinišu
(obično unutar petlji za indeksne promenljive - brojače) ukoliko se ne koriste kompleksni brojevi
522
Skraćeno od Not-a-Number (nije broj) - upotrebljava se kada MATLAB ne može da izračuna numeričku vrednost (na primer, rezultat operacije 3/0)
NaN
Isto što i promenljiva ij
Definisano kao što je 0 + 1 .0000ii
Označava beskonačno veliku vrednostinf
Najmanja razlika izmedu dva broja koju MATLAB još uvek može da prepozna koja jejednaka je što je približno 2.2204e-016
eps
Konstanta pi
Promenljiva kojoj se dodeljuje vrednost poslednjeg izraza koji nije dodeljen nekoj drugojpromenljivoj - ako korisnik ne dodeli vrednost izraza nekoj promenljivoj MATLAB gaautomatski dodeljuje promenljivoj ans
ans
1
Komande za rad sapromenljivama Komande iz
tabele se koriste za uklanjanje promenljivih ili zadobijanje podataka o svim postojećim promenljivama
Kada se neka od njih upiše u komandni prozor i pritisne Enter prikazaće se podaci ili izvršiti jedan od navedenih postupaka
Prikazuje imena svih promenljivih koje postoje u memoriji, njihovu veličinu, klasu i veličinu u bajtovima
Whos
Prikazuje imena svih promenljivih koje postoje u memoriji
Who
Uklanja iz memorije promenljive x, y i zclear x y z
Uklanja sve promenljive iz memorijeClear
IshodKomanda
Vežba: Trigonometrijska formula
Trigonometrijska formula data je jednačinom:
xxxx
tan2sintan
2cos 2
Proveriti da li je formula ispravna izračunavanjem vrednost obe strane jednačine, uz zamenu x =/5
Vežba: Geometrija i trigonometrija Četiri kružnice su
smeštene kao na slici
U svakoj tački dodira kružnice su tangentne jedna na drugu
Odrediti rastojanje između centara C2i C4
Poluprečnici kružnica su: R1 = 16 mm, R2 = 6.5 mm, R3 = 12 mm i R4 = 9.5 mm
Vežba: Geometrija i trigonometrija
Linije koje povezuju centre kružnica čine četiri trougla
Poznate su dužine svih stranica dva takva trougla, ∆C1C2C3 i ∆C1C3C4
Taj podatak se koristi za izračunavanje uglova 1 i 2 tih trouglova pomoću kosinusne teoreme
Na primer, 1 se izračunava iz jednačine:
(C2C3)2 = (C1C2)2 + (C1C3)2-2(C1C2)(C1C3)cos
Zatim se izračuna dužina stranice C2C4 pomoću trougla ∆C1C2C4
I tu pomaže kosinusna teorema (poznate su dužine C1C2 i C1C3, a ugao 3 je zbir uglova 1 i 2
Programski kod
Provođenje toplote
Ako se telo čija je temperature T0 u trenutku t=0 smesti u prostor konstantne temperature Tc onda će se temperatura tela menjati prema jednačini:T=Tc + (T0-Tc) e-kt
gde je T temperatura tela u trenutku t a k je zadata konstanta Primer: konzerva piva temperature 120° F stavljena je u frižider
unutrašnje temperature 38° F - izračunati temperaturu konzerve posle tri sata (zaokruženo na najbliži stepen) uz pretpostavku da je k = 0.45
Najpre se definišu sve promenljive, a potom se izračuna temperatura jednom MATLAB-ovom komandom
Složeno obračunavanje kamate Ako je glavnica P uložena uz godišnju kamatnu stopu r, a kamata se
pripisuje n puta godišnje, stanje B na računu posle t godina štednje iznosi:
nt
nrPB
1
Ako se kamata pripisuje jednom godišnje, stanje na računu posle t godina štednje iznosi:
Na prvi račun je uloženo 5.000 € na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate
Na drugi račun uložen je isti iznos, ali uz mesečno pripisivanje kamate
Kamatna stopa za oba računa je 8.5% Koliko godina i meseci štednje na drugom računu treba da prođe
da bi njegovo stanje dostiglo stanje prvog računa nakon 17 godina štednje
trPB 1
Složeno obračunavanje kamate
Rešenje: Na osnovu druge jednačine izračunati B za 5.000 €
uloženih na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate
Za B izračunato u prethodnom koraku izračunati t pomoću prve formule (1) za mesečno pripisivanje kamate
Pretvoriti t u odgovarajući broj godina i meseci >> P=5000;r=0.085;ta=17;n=12; >> B=P*(1+r)^ta >> t=log(B/P)/(n*log(1+r/n)) >> godina=fix(t) >> meseci=ceil((t-godina)*12)
Programski kod
Vežbe za samostalan rad U pravouglom trouglu sa stranicama čije su katete 11 cm
i 21 cm izračunati hipotenuzu i uglove (u stepenima) (acos)
Rastojanje d tačke (x0,y0) od prave Ax+By+C=0 dato je formulom:
Izračunati rastojanje tačke (2,3) od prave 3x+5y-6=0 Prvo definisati promenljive A,B,C, x0, y0, pa potom izračunati d (abs,sqrt)
Izračunati:
22
00
BA
CByAxd
7
)8ln6
tan()
87sin()
65(cos2