Informatik 2 Datenstrukturen Prof. Dr.-Ing. Holger Vogelsang [email protected].

Informatik 2Datenstrukturen

Prof. Dr.-Ing. Holger Vogelsang [email protected]

Holger Vogelsang Informatik 2 - Datenstrukturen 2

Inhaltsverzeichnis

Abstrakte Datentypen (3) Datenstrukturen in Java (11) Elementare Datenstrukturen (14) Iteratoren (32) Hashtabellen (48) Bäume (92) Graphen (180)


Abstrakte Datentypen Übersicht

Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung

von ModulenOSGiSpring

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht

Layouts WidgetsGrafik-

operationenGrafik-widgets

Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare

DatenstrukturenHash-

tabellenBäume GraphenIteratoren

Datenstrukturenin Java



Bisher: Einführung in objektorientierte Programmierung Einfache Datenstrukturen wie Array, Vektor und Liste

Jetzt: Festlegung von Schnittstelle und Funktionalität einer Datenstruktur, ohne eine konkrete

Implementierung zu verwenden

Definition: Abstrakter DatentypEin abstrakter Datentyp (ADT) ist ein Datentyp (eine Menge von Werten und eine Sammlung von Operationen auf diesen Werten), der nur über eine Schnittstelle zugänglich ist. Ein ADT kann bei identischer Funktionalität unterschiedliche mögliche Implementierungen besitzen.



Eine ADT-Spezifikation besteht aus einer Signatur und Axiomen (hier stark vereinfacht dargestellt, die mathematischen Begriffe wurden teilweise nicht verwendet).

Signatur ∑ = (S, Ω) mit- S = Die Menge von Datentypen, die der ADT verwendet. Einer der Datentypen wird in

der Regel durch den ADT neu definiert. Die anderen existieren bereits.- Ω = Die Menge von Methoden und Konstanten des ADT.

Axiome legen die Semantik und damit das Verhalten des ADT unabhängig von einer konkreten Implementierung fest.

In diesen Unterlagen werden teilweise Beispiele aus dem Buch „Algorithmen und Datenstrukturen“ von Saake und Sattler übernommen. Die Darstellung der ADTs entspricht auch der Syntax aus dem Buch.


Abstrakte Datentypen Beispiel: Liste

Unvollständiger ADT für eine Liste List von Elementen des Datentyps T.type List(T)import Natoperators

[] List_:_ : T List ListaddFirst : List T ListgetFirst : List TgetTail : List Listsize : List Nat

axioms l : List, x : TgetTail(addFirst(l, x)) = lgetFirst(addFirst(l, x)) = xgetFirst(x : l) = xgetTail(x : l) = lsize([]) = 0size(x : l) = succ(size(l))

x : l Element xund weitereListenelemente in l

[] erzeugt eineneue, leere Liste

succ entstammt ADTfür natürliche Zahlen

_:_ Konstruktions-vorschrift (neuer Operator)


Abstrakte Datentypen Beispiel: Liste

Mögliche Listen: [] leere Liste 1 : [] Liste mit dem Element 1 1 : 2 : 3 : 4 : [] Liste mit den Elementen 1 bis 4

Deutlich erkennbar: Das Wissen über die konkrete Implementierung der Liste ist für die Anwendung nicht erforderlich.

In einer Programmiersprache: Schnittstelle der Klasse (öffentliche Methoden und Datentypen) sowie die Dokumentation des Verhalten sind erforderlich.

Die Art der Implementierung ist unwichtig (sofern sie das Laufzeitverhalten nicht beeinflusst).

Wozu dient das Wissen über ADTs? ADT könnte in Java eine Schnittstelle (ein interface) sein. Die konkrete Implementierung implementiert die Schnittstelle. Es lässt sich prima „auf der Schnittstelle“ arbeiten.


Abstrakte Datentypen Anwendung eines ADT

Beispiel ADT List und konkrete Java-Umsetzung der Operatorentype List(T)import Natoperators



<<interface>>List

+add(int i, e: T): boolean+get(index: int): T+remove(index: int): T+size(): int

LinkedList


ArrayList


VerketteteListe

Vektor

T: class

T: class T: class


Abstrakte Datentypen Anwendung eines ADT

Beispiel ADT List und konkrete Java-Umsetzung der Axiometype List(T)import Natoperators



z.B. als Dokumentation oderzur Validierung einer Implementierung


Abstrakte Datentypen ADT: Beschreibung der Axiome

Die Axiome können durch nahezu beliebige „Sprachen“ beschrieben werden. Komplexere Aussagen sind z.B. mit OCaml (funktionale Programmiersprache, siehe

http://caml.inria.fr/) möglich soll hier nicht näher vertieft werden.

http://caml.inria.fr/

http://caml.inria.fr/


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung


Datenstrukturen in Java Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Datenstrukturen in Java Übersicht

Vereinfachte Übersicht über die Collections-Klassen in Java


Datenstrukturen in Java Schnittstellen

Iterable<E>: Über die Datenstruktur kann direkt iteriert werden siehe Iteratoren. Collection<E>: Gruppe von Elementen, Duplikate können erlaubt sein List<E>: Collection mit einer Ordnung, Indexzugriff ist erlaubt (möglicherweise

ineffizient) RandomAccess: Leere Schnittstelle, der Indexzugriff ist mit konstanter Zeit möglich. Queue<E>: spezielle Queue-Operationen vorhanden Deque<E>: Queue mit Einfüge- und Löschoperationen an Anfang und Ende Set<E>: Menge von Elementen ohne Duplikate SortedSet<E>: Menge mit einer Totalordnung der Elemente (anhand ihrer natürlichen

Ordnung oder anhand eines Vergleichs-Objektes) NavigableSet<E>: SortedSet mit Methoden, um kleinere oder größere Elemente zu

finden Map<K,V>: Bildet Schlüssel-Objekte (K) auf Werte (V) ab. SortedMap<K,V>: Eine Map mit einer Totalordnung der Elemente NavigableMap<K,V>: SortedMap mit Methoden, um kleinere oder größere Schlüssel

zu finden.


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung


Elementare Datenstrukturen Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Elementare Datenstrukturen Übersicht in Java

Elementare Datenstrukturen


Elementare Datenstrukturen Vektor – Prinzip

Die Klassen ArrayList<E> und Vector<E> verwalten dynamisch beliebig viele Objekte. Die Anordnung der Objekte erfolgt sequentiell. Die interne Implementierung erfolgt durch ein Array. Der Vektor besitzt eine Referenz auf den Speicherbereich. Ein Vektor eignet sich besonders für einen schnellen freien Zugriff über Indizes auf die

Elemente. Der Indexzugriff erfolgt immer geprüft. Vector ist im Gegensatz zu ArrayList thread-sicher und damit langsamer.

Extra Platz0 1 2 3 4 5 6 7

ArrayList

-values[*]: E-size: int

E: classArrayList

size


Elementare Datenstrukturen Beispiel zu ArrayList

Beispiel:import java.util.ArrayList;

public class ArrayListTest public static void main(String[] args) ArrayList<Integer> contents = new ArrayList<>(10);

for (int i = 0; i < 10; i++) contents.add(i * i);

int v = contents.get(12); // Geprüfter Zugriff --> // Abfangen der Fehler System.out.println(contents.size()); System.out.println(contents.contains(2));


Elementare Datenstrukturen ArrayList und Vektor in Java

Beide implementieren RandomAccess: Indexzugriff in konstanter Zeit


Elementare Datenstrukturen Vektor – Aufwandsabschätzungen

Aufwandsabschätzungen für die Vektor-Klassen

Operation AufwandEinfügen O(N)Löschen O(N)Indexzugriff O(1)Suche, sortierte Daten O(ln N) BinärsucheSuche, unsortierte Daten O(N) sequentielles Durchlaufen


Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip

Prinzip einer einfach verketteten Liste:

Die Liste besitzt einen Kopf und ein Ende. Jeder Listeneintrag verweist auf seinen Nachfolger. Jeder Listeneintrag beinhaltet die Nutzdaten.

LinkedList

LinkedListE: class

Listelementvalue

Listelementvalue

Listelementvalue

ListelementE: class

-value: E

last

first

first

last

0, 1

0, 1

0, 1next


Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip

Prinzip einer doppelt verketteten Liste:

Die Liste besitzt einen Kopf und ein Ende. Jeder Listeneintrag verweist auf seinen Nachfolger und Vorgänger Jeder Listeneintrag beinhaltet die Nutzdaten.

LinkedList

Listelementvalue

Listelementvalue

Listelementvalue

last

first

LinkedListE: class

ListelementE: class

-value: E

first

last

0, 1

0, 1

0, 1next

0, 1 prev


Elementare Datenstrukturen Liste in Java

LinkedList implementiert nicht RandomAccess: Indexzugriff nicht in konstanter Zeit!


Elementare Datenstrukturen Liste – Aufwandsabschätzung

Operation Aufwand

Einfügen (an Index x) O(N) sequentielles Durchlaufen

Einfügen (Anfang, Ende) O(1)

Löschen (an Index x) O(N) sequentielles Durchlaufen

Löschen (Anfang, Ende) O(1)

Indexzugriff O(N) sequentielles Durchlaufen

Suche, sortierte Daten O(N) sequentielles Durchlaufen

Suche, unsortierte Daten O(N) sequentielles Durchlaufen


Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip

Prinzip einer Queue (Warteschlange):

Daten werden in einer Queue am Ende mit offer eingetragen und am Anfang der Queue mit poll entfernt Warteschlange (häufig auch push/pop).

Es gibt einige Container-Klassen, die Queue-Funktionalität einsetzen. Beispiel: LinkedList. Einsatzgebiete

einfaches Nachrichtensystem (Nachricht ablegen = offer, Nachricht abholen = poll). allgemeine asynchrone Kommunikation zwischen Auftragnehmer und Auftraggeber

Queue

0 1 2 3


Elementare Datenstrukturen Queue in Java

LinkedList implementiert Queue


Elementare Datenstrukturen Queue in Java

Die Methoden gibt es doppelt (aus Queue und Deque):Funktion Methoden mit Ausnahmen Methoden ohne Ausnahmen

(Fehlercode)Einfügen (push) add(E), push(E) offer(E), addLast(E)

Entfernen (pop) remove(), removeFirst() poll(), pollFirst()

Auslesen (top) element(), getFirst() peek(), peekFirst()


Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip

Arbeitsweise einer Queue an einem Beispiel. Initialzustand:

offer(E4):

poll():

Queue

Queue

Queue

offer

poll

0 1 2

0 1 2 3

E1 E2 E3

E1 E2 E3 E4

0 1 2

E2 E3 E4


Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip

Prinzip eines Stacks (Stapel):

Daten werden in einem Stack am Ende mit offer eingetragen und ebenfalls am Ende mit poll entfernt Stapel (häufig auch push/pop).

Einsatzgebiete u.a.: Zwischenspeicherung von Objekten, wenn eine Rekursion zu einer Iteration aufgelöst

wird. Text-Parser.

Stack

0 1 2 3


Elementare Datenstrukturen Stack in Java

Es gibt eine Stack-Klasse, die aber nicht optimal ist. Besser: Klasse, die Deque implementiert.


Elementare Datenstrukturen Stack in Java

Die Methoden gibt es doppelt (aus Queue und Deque):Funktion Methoden mit Ausnahmen Methoden ohne Ausnahmen

(Fehlercode)Einfügen (push) add(E), push(E) offer(E), addLast(E)

Entfernen (pop) removeLast() pollLast()

Auslesen (top) getLast() peekLast()


Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip

Arbeitsweise eines Stacks an einem Beispiel. Initialzustand:

offer(E4):

pollLast():

Stack

Stack

Stack

0 1 2

E1 E2 E3

offer

0 1 2 3

E1 E2 E3 E4

E1 E2 E3

pollLast

0 1 2


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung


Iteratoren Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Iteratoren Motivation

Wie lässt sich ein Algorithmus schreiben, der unabhängig von einer konkreten Datenstruktur arbeiten kann?

Wie können beliebig viele Algorithmen quasi parallel eine unbekannte Datenstruktur bearbeiten?


Iteratoren Konzept

Problem: Bisher werden Listen oder Vektoren durch eine Schleife, die direkt auf die Elemente des Containers zugreift, durchlaufen. Wie kann aber ein Algorithmus unabhängig von der Klasse (dem Container) geschrieben werden?

Ziel: Konstruktion eines Algorithmus unabhängig von der konkreten Klasse (dem Container). Lösung: Iteratoren dienen als Bindeglied zwischen den Containern und Algorithmen auf

Containern Prinzip „Umkehr der Abhängigkeiten“! Iteratoren sind abstrakte Datentypen, mit deren Hilfe auf eine Folge von Objekten zugegriffen

werden kann. Ein Iterator verweist immer auf ein Objekt innerhalb einer Folge von Objekten. Die Vorlesung behandelt Iteratoren nicht vollständig.


Iteratoren Konzept

Mögliche Vektor- und Listenimplementierungen mit Sortierung der Elemente.

Mit einem Iterator können alle Elemente in ihrer Sortierreihenfolge besucht werden.

ArrayList

Extra Platz

LinkedListlast

first

sequentielles Durchlaufen

sequentielles Durchlaufen


Iteratoren Konzept

Iterator als Bindeglied zwischen Algorithmus und Datenstruktur:

ArrayList

Algorithmus

last

first

Zugriff auf die Datenstrukturüber eine einheitliche

Schnittstelle

LinkedList

erzeugtZugriff

erzeugtZugriff


Iteratoren Funktionsweise

Jede Datenstruktur bietet eigene Iteratoren, die eine der beiden folgenden Schnittstellen implementieren:

normaler Iterator, um eine Collectionvom Anfang bis zum Ende zudurchlaufen

Iterator, um eine List vorwärts und rückwärts zudurchlaufen• erlaubt das Ersetzen von Elementen• ermöglicht das Auslesen des aktuellen Indexes


Iteratoren Funktionsweise

Jede Datenstruktur hat Methoden, die die Iteratorobjekte erzeugen:

Datenstruktor Erzeugung des Iterators

Collection<E> Iterator<E> iterator()

List<E> ListIterator<E> listIterator()undIterator<E> iterator()(weil List auch eine Collection ist)


Iteratoren Beispiel

import java.util.ArrayList;import java.util.Iterator;import java.util.ListIterator;

public class IteratorTest

public static void print( Iterator<?> iter) while (iter.hasNext()) System.out.println(iter.next());

public static <E> void modify( ListIterator<? super E> iter, E value) while (iter.hasNext()) iter.next(); iter.set(value);

public static void main( String[] args) ArrayList<String> source = new ArrayList<>();

source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4"); print(source.iterator());

modify(source.listIterator(), "----");


Iteratoren Weiteres Beispiel

import java.util.ArrayList;import java.util.Iterator;import java.util.ListIterator;

public class IteratorTest

public static <E> void copy( ListIterator<? super E> dest, ListIterator<? extends E> source) while (source.hasNext()) // Im Ziel überschreiben? if (dest.hasNext()) dest.next(); dest.set(source.next()); // Anhängen, da Ziel kürzer else dest.add(source.next());

public static void main( String[] args) ArrayList<String> source = new ArrayList<>();

source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4");

ArrayList<String> dest = new ArrayList<>();

copy(dest.listIterator(), source.listIterator());

kopiert von ArrayList in ArrayList


Iteratoren Weiteres Beispiel – Variante 2

copy arbeitet auch mit LinkedList, Vector, und anderen Datentypen. public static void main( String[] args) LinkedList<String> source = new LinkedList<>();


LinkedList<String> dest = new LinkedList<>();


copy kann auch zwischen unterschiedlichen Containern kopieren. public static void main( String[] args) ArrayList<String> source = new ArrayList<>();


LinkedList<String> dest = new LinkedList<>();


Im SDK wird aber eher mit Collection und List statt mit Iteratoren gearbeitet.


Iteratoren Bedeutung von Iteratoren: Beispiel

Die folgenden Klassen verwalten ein einfaches Dateisystem direkt im Hauptspeicher des Computers.

File

-name: String-access: int-contents: byte[*]

Directory

-name: String-access: intfiles

0..* subdirectories

0..*

0, 1parent

// Eine Datei im Dateisystempublic class File private String name; // Name private int access; // Rechte private byte[] contents; // Inhalt

public File(String name, int access, byte[] contents) public boolean equals( Object other) //

// Verzeichnis im Dateisystempublic class Directory private String name; private Directory parent; // Vater

private LinkedList<Directory> subdirectories; private LinkedList<File> files; private int access;

//



Es ergibt sich ein Baum aus Verzeichnissen, in denen jeweils eine Anzahl von Dateien liegen kann.

Ziel: Schreiben einiger Methoden der Directory-Klasse, die über Iteratoren auf den Baum zugreifen.

Zählen aller Dateien Methode der Klasse Directory, die die Anzahl der Dateien in dem Verzeichnis sowie

seinen Unterverzeichnissen ermittelt.public int countFiles() int size = files.size(); for (Iterator<Directory> iter = subdirectories.iterator(); iter.hasNext();) Directory currentDirectory = iter.next(); size += currentDirectory.countFiles(); return size;



Suchen einer Datei Methode der Klasse Directory, die nur in diesem Verzeichnis (nicht in seinen

Unterverzeichnissen) eine Datei sucht. Doppelte Dateinamen kommen nicht vor. public boolean containsFile(File file) for (Iterator<File> iter = files.iterator(); iter.hasNext(); ) if (iter.next().equals(file)) return true; return false;


Iteratoren Bedeutung von Iteratoren

Abstrakte Zugriffe auf Datenstrukturen (nicht auf konkrete Collection-Klassen): Iteratoren Methoden der Schnittstellen List und Collection

- Viele Algorithmen sind auch als statische Methoden in der Klasse Collections vorhanden (sortieren usw.).

- Diese arbeiten fast immer auf den Schnittstellen List und Collection.


Iteratoren Eine Auswahl an Algorithmen der Klasse Collections

Algorithmus (Funktion) Bedeutung

static <T> void copy( List<? super T> dest, List<? extends T> src)

Kopiert Elemente eines Containers in einen anderen. Dabei werden die vorhandenen Elemente des Ziels überschrieben. Das Ziel muss genügend Platz für alle Elemente haben. Beispiel:LinkedList<String> src = new LinkedList<>();LinkedList<String> dest = new LinkedList<>();src.add("Test");Collections.copy(dest, src);

static <T> void fill( List<? super T> list, T obj)

Überschreibt alle Elemente eines Ziel-Containers mit einem festen Wert. Beispiel:ArrayList<String> a = new ArrayList<>();a.add("42");a.add("66");Collections.fill(a, "9");


Iteratoren Eine Auswahl an Algorithmen der Klasse Collections

Algorithmus (Funktion) Bedeutung

static <T extends Comparable<? super T>> void sort(List<T> list)

Mit sort kann der Inhalt eines Containers sortiert werden. Diese Methode verwendet den Standardtest equals, um zwei Objekte zu vergleichen. Beispiel:Vector<String> v = new Vector<>();v.add("66");v.add("42");Collections.sort(v);

static void sort(List<T> list, Comparator<? super T> c)

Diese Sortier-Methode verwendet den übergebenen Vergleicher, um zwei Objekte zu vergleichen.

static void reverse(List<?> list) Dreht die Reihenfolge der Elemente um. Beispiel:Vector<String> v = new Vector<>();v.add("66");v.add("42");Collections.reverse(v);


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

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Hashtabellen Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Hashtabellen Motivation

Wie können Daten laufzeiteffizient verwaltet werden? Welche Bedingungen gelten dabei? Wie sieht der Speicherbedarf dazu aus? Idee: Daten werden in einem Array abgelegt und der Index im Array aus den Daten

berechnet.


Hashtabellen Idee

Problem: Wie kann eine Menge von Werten M, die durch eine Schlüsselmenge K repräsentiert werden kann, effizient verwaltet werden?

schnelles Einfügen schnelles Suchen schnelles Löschen

Gesucht ist eine Abbildung H von der Menge der Schlüssel K in den zur Verfügung stehenden Adressraum.

Bisherige Lösung: Listen-, Vektordarstellungen, Arrays,... Dabei wurde beim Suchen jeweils die Speicheradresse ermittelt. Jetzt: Neue Lösung, bei der die Werte in einem Vektor oder Array liegen und die Werte

mittels einer Schlüsseltransformation auf den Adressraum (den Vektor) abgebildet werden.


Hashtabellen Problem der Schlüsselabbildung

Problem: Menge der möglichen Schlüsselwerte ist viel größer als die Menge der freien Speicheradressen.

Beispiel: Die Elemente einer Menge werden mit Schlüsseln der Länge 10 Zeichen beschrieben. Es sollen maximal 1000 Elemente und damit 1000 Adressen verwendet werden. Wie sollen 2610 mögliche Schlüssel auf 1000 Adressen verteilt werden?

Schlussfolgerung: Die Abbildungsfunktion H kann nicht eindeutig sein. Die Funktion H wird Hashfunktion genannt. Das Array, das die Werte aufnimmt, wird Hashtabelle genannt.


Hashtabellen Perfekte Hashfunktion

Eine (perfekte) Hashfunktion kann über einen Schlüsselwert direkt die Position des Objekts im Feld berechnen.

Beispiel: Es existieren 26 Objekte, die Personen beschreiben:public class Person ....

Diese Personen werden durch Ihren Nachnamen als Schlüssel identifiziert. Zufällig sind die Namen über das Alphabet verteilt. Es gibt also zu jedem Großbuchstaben genau eine Person, deren Namen mit diesem Schlüssel anfängt. Damit ergibt sich eine perfekte Hashfunktion:Person[] hashtable = new Person[26];int hash(String key) return key.charAt(0) – 'A';

Dann kann die Person zu einem Schlüssel einfach so gefunden werden:Person dozent = hashtable[ hash("Vogelsang") ];


Hashtabellen Perfekte Hashfunktion

Dieser Fall ist ziemlich unwahrscheinlich. Zumeist werden mehrere Personen den gleichen Anfangsbuchstaben haben und sich dann

die Positionen im Feld teilen müssen. Man spricht dann auch von Kollision. Bis zu einem gewissen Grad kann man Kollisionen dadurch begegnen, dass man die

Hashtabelle größer macht und die Hashfunktion so erweitert, dass zum Beispiel der zweite Buchstabe berücksichtigt wird. Damit das Ergebnis der Berechnung wieder in die Tabelle passt, wird es später modulo der Tabellengröße gerechnet.final int SHIFT = 257;int hash(String key) return key.charAt(0) + key.charAt(1) * SHIFT;


Hashtabellen Strategien zur Kollisionserkennung

Ab jetzt soll der Fall der nicht-perfekten Hashfunktion betrachtet werden. Frage: Wie soll verfahren werden, wenn beim Einfügen die Hashfunktion einen Index in der

Tabelle ermittelt, der bereits durch einen anderen Wert belegt ist?


Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung

Idee: Alle Objekte mit identischen Hashwerten werden am selben Index der Hashtabelle am Ende einer linearen Liste angehängt.

HashMapK, V: class

listK, V: class

listelementK, V: class

-data: pair<K, V>

first

last

0, 1

0, 1

0, 1next

lists

*

0 1 2 3 4 5 6 7



Vorteil: Die Hashtabelle kann nicht überlaufen. Solange überhaupt noch Speicher vorhanden ist, lassen sich auch Elemente in der Tabelle

eintragen. Bezeichnung:

mit Verkettung: Beim Suchen müssen nur Objekte mit gleichem Schlüsselwert in einer verketteten Liste verglichen werden.

Problem: Der Zugriff wird mit zunehmender Anzahl der Kollisionen langsamer. Die Suche kann sogar zur linearen Suche entarten. Ist die zu erwartende Anzahl von

Objekten bekannt, kann auch die Lösung mit einer Liste gut sein. Eine mögliche Lösung:

Einsatz von Bäumen statt Listen.



Nachteile von Hashtabellen mit Verkettung: Es muss dynamisch Speicher belegt werden, was das Eintragen in die Hashtabelle zu

einer relativ aufwändigen Operation macht. Dynamische Container brauchen mehr Platz als ein statisches Feld mit gleich vielen

Elementen. Bei zunehmender Anzahl der Kollisionen ist Listensuche erforderlich.


Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung

Implementierung einer sehr einfachen und nicht optimalen Hashtabelle für Schlüssel und Werte eines beliebigen Typs mit Kollisionslisten (Projekt HashMap, Pair überschreibt equals für die Duplikatprüfung beim Einfügen):public class SimpleHashMap<K,V> implements Iterable<SimpleHashMap<K,V>.Pair>

// Paar für Schlüssel (K) und Wert (V), normalerweise impl. Interface class Pair private K key; // + Getter private V value; // + Getter und Setter

public Pair(K key, V value) this.key = key; this.value = value; @SuppressWarnings("unchecked") @Override public boolean equals(Object otherPair) if (otherPair != null && otherPair.getClass() == getClass()) return ((Pair) otherPair).key.equals(key); return false;



// Vektor mit den Listen, die ihrerseits die Paare aufnehmen private ArrayList<LinkedList<Pair>> entries;

// Größe des Vektors übergeben public SimpleHashMap(int size) entries = new ArrayList<>(); // Im Vektor alle Listen anlegen for (int i = 0; i < size; ++i) entries.add(new LinkedList<Pair>());

// Schlüssel "key" und Wert "value" in der Hash-Tabelle ablegen public void put(K key, V value) int index = indexFor(key.hashCode()); Pair pair = new Pair(key, value); // Eventuell vorhandenes Paar mit id. Schlüssel löschen entries.get(index).remove(pair); entries.get(index).add(pair);



// Wert zu einem Schlüssel auslesen public V get(K key) int index = indexFor(key.hashCode()); // Die Listen sequentiell durchsuchen for (Pair pair: entries.get(index)) if (pair.key.equals(key)) return pair.value; return null;



/** * Berechnet den Indes aus einem Hashwert. Die Modulo-Berechnung * <code>abs(hashCode % laenge)</code> ist nicht ausreichend, da * der <code>hashCode</code> den Wert <code>Integer.MIN_VALUE</code> * besitzen kann. Der Absolutwert von <code>Integer.MIN_VALUE</code> * ist wiederum <code>Integer.MIN_VALUE</code>, also negativ! * @param hashCode Berechneter Hashwert. * @return Index innerhalb der Tabelle. */ private int indexFor(int hashCode) int absHashCode = abs(hashCode); if (absHashCode < 0) absHashCode = 0; return absHashCode % entries.size();



// Die Hash-Tabelle benötigt einen Iterator. Der wird // hier etwas anders als in der HashMap des JDK implementiert.

// Innere Klasse von SimpleHashMap class HashMapIterator implements Iterator<Pair> private int index; private Iterator<Pair> listIterator;

public HashMapIterator() // Erste nicht-leere Liste finden for (LinkedList<Pair> list: entries) if (list.size() > 0) listIterator = list.iterator(); break; ++index;



@Override public boolean hasNext() // Gibt es überhaupt ein Element? if (index >= 0 && index < entries.size() && listIterator != null) // Hat die aktuelle Liste ein weiteres Element? if (listIterator.hasNext()) return true; // Nächste Liste mit Eintrag suchen int nextIndex = index; while (++nextIndex < entries.size()) // Hat sie einen Eintrag? if (entries.get(nextIndex).size() > 0) return true; return false;



@Override public Pair next() // Gibt es überhaupt ein Element? if (index >= 0 && index < entries.size() && listIterator != null) // Hat die aktuelle Liste ein weiteres Element? if (listIterator.hasNext()) return listIterator.next(); // Nächste Liste mit Eintrag suchen while (++index < entries.size()) // Hat sie einen Eintrag? if (entries.get(index).size() > 0) listIterator = entries.get(index).iterator(); return listIterator.next(); throw new NoSuchElementException();



// Ein Löschen des aktuellen Elementes ist hier nicht implementiert // --> ist etwas länglich. @Override public void remove() throw new UnsupportedOperationException();

// Methode, um den Iterator der Hash-Tabelle auszulesen. Auch dieses // ist hier anders als in der HashMap des JDK umgesetzt. @Override public Iterator<Pair> iterator() return new HashMapIterator();



public class SimpleHashMapTest

public static void main(String[] args) SimpleHashMap<String, Integer> simpleHashMap = new SimpleHashMap<>(31); simpleHashMap.put("Answer", 42); simpleHashMap.put("What?", 66);

for (Iterator<SimpleHashMap<String, Integer>.Pair> iter = simpleHashMap.iterator(); iter.hasNext();) SimpleHashMap<String, Integer>.Pair pair = iter.next(); System.out.println(pair.getKey() + ": " + pair.getValue());

for (SimpleHashMap<String, Integer>.Pair pair: simpleHashMap) System.out.println(pair.getKey() + ": " + pair.getValue());


Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Aufwandsabschätzung

Annahmen: Die Auslastung der Tabelle ist α = N / M. N = Anzahl der Schlüssel, M = Anzahl der

Speicherplätze in der Tabelle. Der Schlüsselbereich S ist uniform, d.h., die Schlüssel werden gleichmäßig auf die Tabelle

verteilt. Die Berechnung der Hashfunktion hat Aufwand O(1).

Operation Aufwand

Einfügen (inkl. Duplikatsuche) O(N), im Mittel θ(α+1)

Löschen O(N), im Mittel θ(α+1)

Suche, erfolgreich O(N), im Mittel θ(α+1)

Suche, erfolglos O(N), im Mittel θ(α+1)


Hashtabellen Offene Hashtabellen/Geschlossene Hashtabellen

Ein anderer Ansatz zur Kollisionsbehandlung sind offene Hashtabellen (manchmal auch gesclossene Hashtabellen):

offen: offene Adressierung im Array geschlossen: Begrenzung der maximalen Schlüssel im Array

Ansatz: Verzicht auf dynamische Verknüpfungen wie Listen etc. Statt dessen: Ist beim Einfügen der gesuchte Index belegt, so wird ein freier Nachbarindex

gesucht und der Wert dort eingetragen. Zu Bestimmung eines Nachbarindexes existieren verschiedene Ansätze. Die Suche erfolgt analog:

Zunächst wird durch den Schlüssel ein Index ermittelt. Steht dort nicht der gesuchte Wert, so werden die Nachbarindizes durchsucht.

0 1 2 3 4 5 6 7


Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen

// Fiktive Beispielimplementierung einer Hash-Map ohne Duplikatsprüfungpublic class SimpleHashMap<K,V>

// Schlüssel- und Wertepaar class Pair public K key; public V value; public Pair(K key, V value) this.key = key; this.value = value;

@SuppressWarnings("unchecked") @Override public boolean equals(Object otherPair) if (otherPair != null && otherPair.getClass() == getClass()) return ((Pair) otherPair).key.equals(key); return false;



// ArrayList mit den Paaren private ArrayList<Pair> entries;

// Hash-Map in einer vorgegebenen Größe erzeugen public SimpleHashMap(int size) entries = new ArrayList<Pair>(size); for (int i = 0; i < size; ++i) entries.add(null); // jeder Eintrag ist leer



// Einfügen ohne Prüfung auf Duplikate (nicht sehr praxisnah). public void put(K key, V value) int startIndex = abs(key.hashCode()) % entries.size(); int count = 0; int currentIndex = startIndex; boolean finished = false;

do if (entries.get(currentIndex) == null) // freien Platz gefunden, Paar erzeugen und eintragen entries.set(currentIndex, new Pair(key, value)); finished = true; else // berechne nächsten Index count++; currentIndex = (startIndex + nextStep(count)) % entries.size(); while (!finished && (count < entries.size()));



// Suche nach einem Wert anhand seines Schlüssels public V get(K key) int startIndex = abs(key.hashCode()) % entries.size(); int count = 0; int currentIndex = startIndex;

// Solange suchen, bis ein leerer Eintrag gefunden wurde do if (entries.get(currentIndex) == null) return null; else // gefunden! if (entries.get(currentIndex).key.equals(key)) return entries.get(currentIndex).value; // Berechne nächsten Index count++; currentIndex = (startIndex + nextStep(count)) % entries.size(); while (count < entries.size()); return null;


Hashtabellen Offene Hashtabellen: Lineares Sondieren

Die Methode int nextStep(int attempt) ermittelt den nächsten zu testenden Eintrag.

Im einfachsten Fall ist nextStep:private int nextStep(int attempt) return attempt;

In diesem Fall nennt man die Vorgehensweise auch lineares Sondieren, und für die Testindizes gilt:h0 = hash(key);hi = (h0 + i);

Nachteil: Die Schlüssel ballen sich um primäre Schlüssel (Schlüssel, die beim Einfügen nicht kollidieren).

Ziel: nextStep sollte so gewählt werden, dass die Schlüssel wiederum gleichmäßig auf die freien Plätze verteilt werden.


Hashtabellen Offene Hashtabellen: Quadratisches Sondieren

Die Methode nextStep ermittelt den nächsten Eintrag durch eine quadratische Funktion.h0 = hash(key);hi = (h0 + i

2); Vorteil: Die Verteilung ist einfach zu berechnen und verhindert im Wesentlichen primäre

Ballungen. Nachteil: Es werden nicht alle Indizes der Hashtabelle berücksichtigt, damit wird u.U. ein

freier Eintrag nicht gefunden. Es wird aber mindestens die halbe Tabelle durchsucht, wenn deren Größe eine Primzahl ist. Der Nachteil trägt nur dann, wenn die Tabelle relativ voll ist. In der Praxis sollte man eine Auslastung von max. 50% vorsehen.


Hashtabellen Offene Hashtabellen: Doppelte Hashfunktion

Die Methode nextStep ermittelt den nächsten Eintrag durch einen Aufruf einer anderen Hashfunktion g.h0 = hash(key);hi = (h0 + i * g(key));

Doppelte Hashfunktionen zeigen das beste Verhalten, wenn die beiden Hashfunktionen hinreichend unabhängig voneinander sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Hashfunktionen den gleichen Wert liefern, sollte also gering sein.


Hashtabellen Offene Hashtabellen: Pseudozufallszahlen

Nach der Initialisierung durch den Konstruktor liefern sukzessive Aufrufe von nextStep der Reihe nach die Pseudozufallszahlen.

Die Überlaufstrategie mit einem Pseudozufallszahlengenerator leidet auch unter sekundärer Clusterbildung, es sei denn, der Startwert wird vom Schlüssel abhängig gemacht.


Hashtabellen Dynamische Hashtabellen

Dynamische Hashtabellen sind in der Lage, sich bei Bedarf automatisch zu vergrößern oder zu verkleinern, ohne dass ein komplettes Neuberechnen der Hashwerte erforderlich ist.

soll hier nicht betrachtet werden (zu kompliziert…)


Hashtabellen Vergleich der Verfahren – einige Zahlen

Vorteile der Hashtabelle mit Verkettung: Sie erlaubt Auslastungen α > 100%. Sie unterstützt sehr einfach das Löschen. Ein gegebener Schlüssel wird immer abgespeichert.

Vorteile der offenen Hashtabellen: Die Zugriffsoperationen sind wesentlich effizienter. Die Algorithmen sind einfacher zu implementieren.

Konkrete Werte der durchschnittlichen Anzahl von Versuchen für Füllgrade zwischen 60% und 95%:

Name Anzahl Versuche bei Füllgrad α60% 70% 80% 90% 95%

Kollisionsliste 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00Lineares Sondieren 1,75 2,17 3,00 5,50 10,50Pseudozufallszahlen 2,29 4,01 8,05 23,02 59,91


Hashtabellen Vergleich der Verfahren – einige Zahlen

Verlauf beim Einfügen

60% 70% 80% 90% 95%0

10

20

30

40

50

60

70

mit Verkettung

offen, lineares Sondieren

offen, Pseudozufallszahlen


Hashtabellen Implementierungen in Java

Es gibt noch weitere Klassen (siehe Folgeseiten)



Hashtabellenimplementierungen in Java: HashMap<K,V>:

- Ablage von Schlüssel-/Wertepaaren- Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt.- Mehrere Iterierungsmöglichkeiten kommen gleich

Hashtable<K,V>:- Ablage von Schlüssel- Wertepaaren- Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt.- im Gegensatz zu HashMap thread-sicher- Iterieren wie bei HashMap

HashSet<E>:- Ablage von Schlüsseln- Duplikate sind nicht erlaubt.- Iteratorzugriff mit der Methode public Iterator<E> iterator()



LinkedHashMap<K,V>:- Ablage von Schlüssel- Wertepaaren- Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt.- Alle Paare sind untereinander durch eine doppelt-verkettete Liste verbunden.

Entweder:• in Einfügereihenfolge, um diese zu erhalten• oder in jeweils aktualisierter Zugriffsreihenfolge beim Lesen, damit die Elemente

mit den häufigsten Zugriffen vorne in der Liste stehen Cache!- Iterieren wie bei HashMap

LinkedHashSet<E>:- siehe LinkedHashMap und HashSet (nur Schlüssel, verbunden über eine Liste)



Beispiel zum Einsatz einer Hash-Tabelle in einer Server-Anwendung: Wenn der Browser mit GZIP komprimierte Dateien verarbeiten kann und wenn der Dateityp nicht ohnehin schon komprimierte Daten enthält dann komprimiere die Daten vor dem Versand mit GZIP.

Die Hash-Tabelle enthält die Dateiendungen der nicht zu komprimierenden Dateien. Ausschnitt:

private HashSet<String> compressedFileTypes = new HashSet<String>();//public void doFilter(...) if (!isGzipSupportedByBrowser(request) || compressedFileTypes.contains(fileType)) chain.doFilter(request, response); return;

// vor dem Versand komprimieren GzipResponse gzipRespone = new GzipResponse(response); chain.doFilter(request, gzipRespone); gzipResponse.close();



Maps und Zugriff auf Iteratoren



Es existieren drei Varianten zum Iterieren: Set<K> keySet(): Liefert die Menge aller Schlüssel, über die iteriert werden kann.

Die Werte sind nicht direkt zugreifbar. Collection<V> values(): Liefert alle Schlüssel, über die iteriert werden kann.

Deren Zuordnung zu den Schlüsseln ist nicht mehr erkennbar. Set<Map.Entry<K,V>> entrySet(): Liefert die Menge aller Schlüssel-/Werte-

Paare, über die iteriert werden kann. Beispiel mit direkter Iterator-Verwendung:

HashMap<String, Integer> map = new HashMap<>();// füllenfor (Iterator<Map.Entry<String, Integer>> entryIter = map.entrySet().iterator(); entryIter.hasNext()); ) Map.Entry<String, Integer> entry = entryIter.next(); String key = entry.getKey(); Integer value = entry.getValue(); // …


Hashtabellen Weiterer Einsatz von Hashfunktionen

Wozu kann eine Hashfunktion noch dienen? Berechnung von Prüfsummen, um zu testen, ob eine Nachricht oder Datei verfälscht

wurde. Beispiel: siehe http://tomcat.apache.org/download-70.cgi

Datei Hashwert

http://tomcat.apache.org/download-60.cgi


Hashtabellen Weiterer Einsatz von Hashfunktionen

MD5 ist eine 128-Bit Prüfsumme (hier über den Inhalt der Datei):

Algorithmus: siehe http://www.faqs.org/rfcs/rfc1321.html

http://www.faqs.org/rfcs/rfc1321.html


Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion

Ziel: Gleichmäßige Verteilung der Werte in der Tabelle. Beispiel für eine schlechte Hashfunktion:

Studenten-Objekte sollen in einer Hashtabelle gespeichert werden. Jeder Student hat eine 6-stellige Matrikelnummer, die fortlaufend vergeben wird. Größe der Hashtabelle: 10001. Hashfunktion 1:

- Die ersten beiden Stellen der Matrikelnummer bilden den Schlüssel.- Problem: Alle Datensätze eines Jahrganges werden auf sehr wenige Positionen

abgebildet. Hashfunktion 2:

- Die letzten beiden Stellen der Matrikelnummer bilden den Schlüssel.- Besser: Die Datensätze verteilen sich gleichmäßiger auf die Tabelle.


Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion

Einige Hinweise zur Wahl der Hashfunktion: Integer-Zahlen i: die Zahl i selbst oder i mod 2n (n ist eine große Primzahl) Fließkommazahlen: Addition oder andere Verknüpfung von Mantisse und Exponent Strings: Addition der ASCII/Unicode-Werte einiger/aller Zeichen, eventuell mit einem

Faktor gewichtet Komplexere Objekte: Reduktion auf primitive Datentypen, die Attribute des Objektes

sind. Beispiel:public class Rectangle

private int x;private int y;private int w;private int h;

Hashwert aus Verknüpfung derKoordinaten + Größe


Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion: Beispiele von Java

Die Ermittlung einer guten Hashfunktion wird hier nicht besprochen. Hashfunktionen in Java (Ergebnis ist immer int):

für einen String s der Länge n:- s[0]*31(n-1) + s[1]*31(n-2) + ... + s[n-1] - 0 für leere Strings

für Byte-, Short- und Integer-Zahlen:- Die Zahl ist der Hashwert.

für Long-Zahlen:- Exklusiv-Oder-Verknüpfung der unteren und oberen 32 Bit- Rückgabe der unteren 32 Bit

für Double-Zahlen:- Umwandlung der Bit-Repräsentation der Zahl in long- Exklusiv-Oder-Verknüpfung der unteren und oberen 32 Bit (um Mantisse und

Exponent zu berücksichtigen)- Rückgabe der unteren 32 Bit



für Boole‘sche Werte:- true: 1231- false: 1237

für einen Vector bzw. eine List der Länge n:- v[0].hashCode()*31(n-1) + v[1].hashCode()*31(n-2) + ... +

v[n-1] .hashCode()- 0 für leere Vektoren

Wichtig in Java: Objekte liefern durch Überschreiben der Methode int hashCode() ihren eigenen

Hashwert zurück. Der Wert darf sich bei mehreren Aufrufen der Methode nicht ändern, solange sich das

Objekt nicht ändert. Wenn zwei Objekte beim Vergleich mit der equals-Methode gleich sind, so müssen

auch ihre Hashwerte identisch sein.



Beispiel für Klasse java.awt.geom.Rectangle2D (stark vereinfacht!):public abstract class Rectangle2D private double x; private double y; private double w; private double h;

@Override public int hashCode() long bits = Double.doubleToLongBits(x); bits += Double.doubleToLongBits(y) * 37; bits += Double.doubleToLongBits(w) * 43; bits += Double.doubleToLongBits(h) * 47; return (((int) bits) ^ ((int) (bits >> 32)));

// Die equals-Methode liefert dann true, wenn // alle x, y, w, h bei beiden Objekten gleich sind.


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung


Bäume Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Bäume Motivation

Was sind Bäume? Wozu dienen Bäume? Wie sind die Daten in einem Baum sortiert? Wie kann ein Baum effizient implementiert werden? Verschiedene Baumarten für unterschiedliche Einsatzgebiete


Bäume Übersicht

Beispiel: Teilebaum eines Autos

[Udo Müller, Fachgebiet WI]


Bäume Übersicht

Es ergibt sich ein Aufbau der Teile wie bei einem Stammbaum. Jeder Strich von oben nach unten bedeutet dabei, dass sich das Ausgangsobjekt aus den

tiefer liegenden Objekten zusammensetzt. Zusammengesetzte Objekte können durch einen solchen Baum eindeutig beschrieben

werden.


Bäume Übersicht

Stammbaum wichtiger Programmiersprachen (bis 2003)

[P. Henning, H. Vogelsang (Hrsg.), „Handbuch Programmiersprachen“]


Bäume Übersicht

Darstellung von (X)HTML-Seiten im Browser

wird im Browser intern durcheinen Baum (DOM) repräsentiert


Bäume Übersicht

Quelltext-Verwaltung in Eclipse

Quelltext wirdintern als Baumdargestellt


Bäume Übersicht

Dokumentenstruktur


Bäume Übersicht

Scene Graph von JavaFX:

Scene

FlowPane

Button ButtonButton Group

Ellipse Rectangle


Bäume Begriffe

Nicht nur für zusammengesetzte Objekte können Bäume verwendet werden. In der Informatik werden Bäume häufig verwendet, um effizient Objekte einzufügen, zu suchen und zu löschen. Begriffsübersicht

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72 Blätter (keineNachfolger)

Knoten

Wurzel

linkerTeilbaum

rechterTeilbaum

rechter Sohn(der Wurzel)

linker Sohn(der Wurzel)

Kante


Bäume Binärer Suchbaum

In dieser Vorlesung werden Bäume mit den folgenden Eigenschaften behandelt: Die Knoten enthalten Werte, die sich vergleichen lassen. In der Praxis wird man für die

Schlüssel die equals-Methode überschreiben und Comparable implementieren bzw. einen Comparator übergeben.

Für jeden Knoten gilt, dass er einen eindeutigen rechten Sohn und einen eindeutigen linken Sohn hat (sofern es diesen jeweils gibt).

Der linke Sohn (sofern es ihn gibt) hat immer einen niedrigeren Wert als der rechte Sohn (sofern es ihn gibt).

Der linke Sohn (sofern es ihn gibt) eines Knotens hat immer einen kleineren Wert als der Knoten.

Der rechte Sohn (sofern es ihn gibt) eines Knotens hat immer einen größeren Wert als der Knoten.


Bäume Binärer Suchbaum – eine einfache Implementierung

Beispielklasse für einen Baum mit Schlüsseln und Werten (siehe Projekt TreeMap):public class SimpleTreeMap<K extends Comparable<K>,V>

// Gleiche Paar-Klasse wie in der SimpleHashMap class Pair public K key; public V value; public Pair(K key, V value) /* ... */

// Knoten des Binärbaumes class Node private Pair data; private Node left; private Node right;

public Node(Pair data, Node left, Node right) /* ... */

// Getter und Setter // Wurzel des Baums private Node root;


Bäume Binärer Suchbaum – Komplettes Durchlaufen

Es gibt mehrere Arten, einen Baum zu durchlaufen: Preorder: Zuerst wird der Knoten selbst ausgegeben, dann seine Söhne. Inorder: Zuerst werden der linke Sohn, dann der Knoten selbst, dann der rechte Sohn

ausgegeben. Postorder: Zuerst werden die Söhne des Knotens ausgegeben, dann der Knoten selbst.


Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung

Preorder:public void dump(Node node) if (node != null) System.out.println(node.data.key + " "); dump(node.left); dump(node.right);

Inorder:public void dump(Node node) if (node != null) dump(node.left); System.out.println(node.data.key + " "); dump(node.right);

Postorder: Analog


Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung

Preorder, nicht-rekursiv:void dump(Node node) stack.offer(node); while (stack.size() > 0) node = stack.pollLast(); System.out.println(node.data.key); if (node.right != null) stack.offer(node.right); if (node.left != null) stack.offer(node.left);


Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung und Ausgabe

Levelorder (Queue anstatt Stack):void dump(Node node) queue.offer(node); while (queue.size() > 0) node = queue.poll(); System.out.println(node.data.key); if (node.left != null) queue.offer(node.left); if (node.right != null) queue.offer(node.right);


Bäume Binärer Suchbaum – Suche anhand eines Beispiels

Suche nach dem Wert 34: Enthält der aktuelle Knoten den gesuchten Wert: fertig. Ist der gesuchte Wert kleiner als der Knotenwert: linker Sohn Ist der gesuchte Wert größer als der Knotenwert: rechter Sohn

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72

34


Bäume Binärer Suchbaum – Implementierung der Suche

Suchmethode: public V get(K key) // Start am Wurzelknoten

Node searchNode = root;

// Solange es noch Knoten gibt und der aktuelle Knoten nicht // dem gesuchten Wert entspricht, suche weiter. while ((searchNode != null) && (!searchNode.data.key.equals(key))) // Wenn der gesuchte Wert größer als der Wert des Knotens // ist, nimm den rechten Zweig, ansonsten den linken. searchNode = (key.compareTo(searchNode.data.key) > 0) ? searchNode.right: searchNode.left; return searchNode != null ? searchNode.data.value : null;


Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Einfügen

Vorgehensweise beim Einfügen: Zunächst wird die Stelle gesucht, an der sich der Wert im Baum befinden sollte. Ist der Wert schon vorhanden, so wird einfach die Adresse dieses Wertes zurückgegeben. Ist er nicht vorhanden, so wird ein neuer Knoten erzeugt und dort eingehängt.


Bäume Binärer Suchbaum – Einfügen anhand eines Beispiels

Beispiel: Einfügen des Wertes 36

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72

36

36


Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Löschen

Die komplizierteste Funktion ist das Löschen aus einem binären Teilbaum. Dazu müssen drei Fälle unterschieden werden:

1. Der zu löschende Knoten hat gar keinen Sohn. Damit kann er direkt gelöscht werden.2. Der zu löschende Knoten hat genau einen Sohn. Dann wird der Sohn in den aktuellen

Knoten „kopiert“ und der Sohn gelöscht.3. Der zu löschende Knoten hat zwei Söhne. Dann wird im linken Teilbaum der Sohn mit

dem größten Wert gesucht und als neuer zentraler Knoten eingefügt (oder im rechten Teilbaum der kleinste Wert).


Bäume Binärer Suchbaum – Löschen anhand eines Beispiels

Beispiel: Löschen des Wertes 36 (Fall 1, der Knoten hat keinen Nachfolger)

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72

36

kann direkt gelöscht werden



Beispiel: Löschen des Wertes 34 (Fall 2, der Knoten hat einen direkten Nachfolger)

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72

36

36 ersetzt 34, die alte 36 wird gelöscht

36



Beispiel: Löschen des Wertes 42 (Fall 3, der Knoten wird durch das größte Element des linken oder das kleinste des rechten Teilbaums ersetzt das hat immer nur einen direkten Nachfolger)

42

27 68

6 39 51 75

12 34 41 64 72

36

41 ersetzt 42, die alte 41 wird gelöscht

41


Bäume Binärer Suchbaum – Beispielanwendung

public class SimpleTreeMapTest public static void main(String[] args) SimpleTreeMap<String, Integer> simpleTreeMap = new SimpleTreeMap<>(); simpleTreeMap.add("Question", 66); simpleTreeMap.add("Answer", 42); System.out.println(simpleTreeMap.get("Question")); System.out.println(simpleTreeMap.get("Answer??"));


Bäume Binärer Suchbaum – Aufwandsabschätzung

Annahme: Der Baum ist nicht balanciert.

Operation Aufwand

Einfügen, sortierte Reihenfolge O(N)

Einfügen, zufällige Reihenfolge O(N), im Mittel θ(ln N)

Löschen O(N), falls degeneriert

Indexzugriff O(N)

Suche, degeneriert O(N)

Suche, optimal eingefügt O(ln N)


Bäume Beispiel zum binären Suchbaum

Darstellung eines arithmetischen Ausdrucks als Baum:f = (a - b) * c - (d / b + sin(e))

Tipp: Klammerungen werden durch die Höhen der Operatorknoten untereinander wiedergegeben.


Bäume Balancierter Baum (AVL) – Idee

Ein Baum heißt vollständig, wenn jeder Knoten entweder zwei Söhne hat oder gar keine. Bei einem solchen Baum wächst die Höhe des Baumes, also der längste Weg beim Suchen,

logarithmisch mit der Anzahl der Objekte. Die Komplexität des Suchens wächst logarithmisch mit der Anzahl der Elemente. Gegenteil: Auch die lineare, geordnete Liste ist ein Suchbaum, wenn auch ein vollständig

entarteter. Die Komplexität des Suchens in einem derart degenerierten Baum wächst linear mit der Anzahl der Elemente.

Zu den gleichen Zahlen kann man unterschiedliche binäre Suchbäume konstruieren.



Beispiel, in dem der Baumaufbau von der Reihenfolge des Einfügens der Elemente abhängt.

45

41 68

34 42 51

6439

68

64

51

45

42

41

39

34



Ein Baum kann also zur Liste degenerieren. Problem: In der Praxis sind Suchbäume praktisch nie vollständig ausgeglichen, denn das

würde einen sehr großen Aufwand bedeuten. Lösung: Näherungsweises Ausgleichen eines Baums (Begriff: ausgeglichener Baum). Die erste Klasse von ausgeglichenen Bäumen waren die AVL-Bäume (nach den Erfindern G. M.

Adelson-Velski/E. M. Landis). Ziel: Je zwei Teilbäume an einem Knoten dürfen sich in der Höhe um nicht mehr als 1

unterscheiden. Dieses gilt für alle Teilbäume an allen Knoten. Ein Baum ist genau dann ausgeglichen, wenn dieses Ziel erreicht ist.


Nach jeder Einfüge- oder Löschoperation muss überprüft werden, ob ein Ausgleichen des Baums erforderlich ist

Das Ausgleichen erfolgt durch „Rotation“ der Knoten. Beispiel: Linksrotation um die Knoten B/D.

Eine Linksrotation reduziert die Höhe des rechten Teilbaums um 1 und erhöht die Höhe des linken um 1.

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen

B

D

Rotationspunkt

ec

a

D

B

e

ca


ec

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen durch Doppelrotation

Um die Höhe eines inneren Baums zu verändern, muss eine Doppelrotation LR oder RL angewendet werden.

Beispiel: Doppelrotation

B

F

aD

g ec

D

F

a

B

g


Bäume Balancierter Baum (AVL) – Algorithmus zum Ausgleichen

Gegeben sei ein Baum mit einer Wurzel W sowie deren linken Teilbaum L und rechten Teilbaum R.

Der neue Knoten soll in L eingefügt werden (wie bisher auch). Höhe(L) = Höhe(R): Nach dem Einfügen unterscheiden sich die Höhen um 1 ->

Ausgeglichenheit nicht verletzt. Höhe(L) < Höhe(R): Die Höhen werden gleich. Die Ausgeglichenheit ist nicht verletzt. Höhe(L) > Höhe(R): Die Ausgeglichenheit wird zerstört. Der Baum muss restrukturiert

werden. Lösung: Jeder Knoten enthält zusätzlich Balance-Informationen.

Höhe(L) = Höhe(R): balance = 0 Höhe(L) < Höhe(R): balance = 1; Höhe(L) > Höhe(R): balance = -1;


Bäume Balancierter Baum (AVL) – Beispiel

Aufwandsabschätzung

Operation AufwandEinfügen O(ln N)Löschen O(ln N)Indexzugriff O(N)Suche O(ln N)


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Idee

AVL-Bäume sind kompliziert auszugleichen. Normale binäre Bäume können im schlimmsten Fall zu einer linearen Liste entarten. Idee: Bäume können an einem Knoten mehr als einen Schlüssel haben.

2-Knoten (1 Schlüssel) 3-Knoten (2 Schlüssel)

4-Knoten (3 Schlüssel)

n

< n > n

n0

< n0 > n1

n1

> n0

< n1

n0

< n0 > n2

n1

> n0

< n1

n2

> n1

< n2


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Suchoperation anhand eines Beispiels

Suche nach dem Wert 15: Enthält der aktuelle Knoten den gesuchten Wert: fertig. Wähle das Intervall, in dem der Schlüssel liegen müsste und folge der Kante zum

nächsten Knoten.

10 20

13 14 157 8 22 24

15


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (naiv)

Grundidee (ineffizient) Suche nach dem Blatt-Knoten, in dem der Schlüssel liegen müsste. Der Knoten ist ein 2-Knoten: Schlüssel einfügen, es entsteht ein 3-Knoten. Der Knoten ist ein 3-Knoten: Schlüssel einfügen, es entsteht ein 4-Knoten. Der Knoten ist ein 4-Knoten:

Möglichkeit 1: Den Schlüssel als neues Blatt an den 4-Knoten anhängen Problem: Wie soll ausbalanciert werden?

Möglichkeit 2: Durchführen der folgenden Schritte: 1. Den mittleren Schlüssel des 4-Knotens entnehmen.2. Den 4-Knoten in zwei 2-Knoten aufspalten.3. Den neuen Schlüssel in einen der 2-Knoten einfügen.4. Den mittleren Knoten des ehemaligen 4-Knotens in den Vaterknoten einfügen.5. Wenn der Vater vorher ein 4-Knoten war auch aufspalten.6. Im schlimmsten Fall bis zur Wurzel aufspalten.


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (effizient)

Grundidee (effizient) Suche nach dem Knoten/Blatt, in dem der Schlüssel liegen müsste. Teile jeden auf dem Pfad liegenden 4-Knoten in 2 2-Knoten auf (der 2. Durchlauf entfällt

dadurch).


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (effizient)

Die Wurzel des Baums wird grundsätzlich in 3 2-Knoten aufgeteilt, wenn sie ein 4-Knoten war. Da die 4-Knoten auf dem Weg von der Wurzel zu den Blättern gespalten werden, spricht man

von einem Top-Down-Baum. Der Baum wächst immer in Richtung Wurzel, daher ist er stets ausbalanciert. Alle Äste

wachsen gleichmäßig. In der Praxis sind relativ wenige Aufspaltungen eines 4-Knotens erforderlich.


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation anhand eines Beispiels

Einfügen des Wertes 16:

10 20

13 14 157 8 22 24

Ausgangssituation

10 14

137 8 15

Einfügen von 16(vor Teilen der Wurzel)

20

22 2416


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation anhand eines Beispiels

10

137 8 15

Einfügen von 16(nach Teilen der Wurzel)

22 24

14

20

16


Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Aufwandsabschätzung

Der Baum ist immer balanciert.

Operation Aufwand

Einfügen, sortierte Reihenfolge O(ln N)

Einfügen, zufällige Reihenfolge O(ln N), im Mittel θ(ln N)

Löschen O(ln N)

Indexzugriff O(N)

Suche O(ln N)


Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Idee

Die Implementierung des Einfügens in einen 2-3-4-Baum ist leicht ineffizient, da in jedem Schritt geprüft werden muss, ob eine Aufspaltung notwendig ist.

Neue Idee 3-Knoten und 4-Knoten werden als spezielle kleine binäre Bäume dargestellt, die durch

„rote“ Verbindungen verkettet sind. Die „schwarzen“ Verkettungen halten den kompletten Baum selbst zusammen.

Ein zusätzliches Bit im Knoten zeigt an, ob er über eine rote oder eine schwarze Verbindung mit seinen Vater verkettet ist.

Ein Rot-Schwarz-Baum kann als eine spezielle Implementierung des 2-3-4-Baums gesehen werden.



Umwandlung eines 4-Knotens in einen kleinen Binärbaum:

Umwandlung eines 3-Knotens in einen kleinen Binärbaum:



Bedingungen für die Farben: Jeder Knoten im Baum ist entweder rot oder schwarz eingefärbt. Die Wurzel des Baums ist immer schwarz. Alle Blätter sind schwarz. Ist ein Vaterknoten rot, so sind beide Nachfolger schwarz. Jeder Pfad von einem beliebigen Knoten zu seinen Blättern enthält die gleiche Anzahl

schwarzer Knoten. Konsequenz: Die Pfadlängen von der Wurzel zu den Blättern kann sich maximal um den Faktor

2 unterscheiden. Warum? Im kürzesten Pfad sind alle Knoten schwarz. Im längsten Pfad wechseln sich rote und schwarze Knoten ab.


Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Aufwandsabschätzung

Der Red-Black-Tree soll hier nicht näher betrachtet werden.Der Baum ist immer balanciert.

Operation Aufwand

Einfügen, sortierte Reihenfolge O(ln N)

Einfügen, zufällige Reihenfolge O(ln N), im Mittel θ(ln N)

Löschen O(ln N)

Indexzugriff O(N)

Suche O(ln N)


Bäume Implementierungen in Java

Baum-Klassen


Bäume Implementierungen in Java

Baumimplementierungen in Java (Rot-Schwarz-Baum): TreeMap<K,V>:

- Ablage von Schlüssel- Wertepaaren- Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt.- Mehrere Iterierungsmöglichkeiten (wie bei HashMap):

• public Set<Map.Entry<K,V>> entrySet() liefert die Menge aller Schlüssel/Werte-Paare, über die iteriert werden kann

• public Set<K> keySet() liefert die Menge aller Schlüssel, über die iteriert werden kann

• public Collection<V> values() ermittelt alle Werte, über die iteriert werden kann

TreeSet<E>:- Ablage von Schlüsseln- Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt.- Iteratorzugriff mit der Methode public Iterator<E> iterator()


Bäume Die Klasse TreeMap: Beispiel Wörterzählen

public class TreeMapWordCountTest

// Wörter einlesen. Trennzeichen sind Leerzeichen, // Tabulatoren und Zeilenumbrüche usw. public static TreeMap<String,Integer> getWords(String text)

// TreeMap zum sammeln aller Wörter als Schlüssel // sowie deren Anzahl als Wert. TreeMap<String, Integer> words = new TreeMap<>(); // Der StringTokenizer zerlegt einen String in einzelne Tokens (Wörter). // Die Worttrennzeichen sind die einzelnen Zeichen im 2. Parameter. StringTokenizer tokenizer = new StringTokenizer(text, " \t\r\n.,;-"); while (tokenizer.hasMoreTokens()) String input = tokenizer.nextToken(); Integer count = words.get(input); words.put(input, count == null ? 1 : count.intValue() + 1); return words;



public static void main(String[] args)

String text = "C++ ist meine absolute Lieblingssprache und" + " ich freue mich auf die Klausur. Eigentlich" + " ist Java meine Lieblingssprache.";

TreeMap<String, Integer> words = getWords(text);

for (Map.Entry<String, Integer> wordEntry: words.entrySet()) System.out.println(wordEntry.getKey() + ": " + wordEntry.getValue());



Eingabe C++ ist meine absolute Lieblingssprache undich freue mich auf die Klausur. Eigentlichist Java meine Lieblingssprache.

Alphabetische Ausgabe der WörterC++: 1Eigentlich: 1Java: 1Klausur: 1Lieblingssprache: 2absolute: 1auf: 1die: 1freue: 1ich: 1ist: 2meine: 2mich: 1und: 1


Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums

B-Bäume sind eine Verallgemeinerung balancierter 2-3-4-Bäume. B-Bäume sind Mehrwegbäume. Die Ordnung des Baums ist o, o >= 2.

Jeder Knoten enthält maximal 2 * o Schlüssel. Jeder Knoten hat minimal o Schlüssel. Speicherausnutzung beträgt min. 50%

(Ausnahme: Wurzel, die zu weniger als 50% gefüllt sein darf). Die Schlüssel innerhalb eines Knotens sind aufsteigend sortiert. Wenn m die Anzahl der Schlüssel in einem Knoten ist, so hat der Knoten genau m + 1

Nachfolger, wenn er kein Blatt ist. Die Schlüssel des linken Teilbaums sind kleiner als der Schlüssel der Wurzel dieses

Teilbaums. Die Schlüssel des rechten Teilbaums sind größer als der Schlüssel der Wurzel dieses

Teilbaums. Alle Blattseiten liegen auf einer Ebene.

Optional: Neben einem Schlüssel können auch Werte abgelegt sein.


Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums

Ein B-Baum der Ordnung 2:

Aufbau eines Knotens ohne Werte (pi = Verweis auf Nachfolger, ki = Schlüssel):

Aufbau eines Knotens mit Werten (pi = Verweis auf Nachfolger, ki = Schlüssel, vi ist Datenwert von Schlüssel ki):

25

2010

181514138752 2422 282726 383532 46454241

4030

p0 … km-1k1 p1 k2 pm-1 km pm

p0 … km-1k1 p1 k2 pm-1 km pmv1 v2 vm-1 vm


Bäume Balancierter Baum (B) – Einsatzgebiet

B-Bäume werden häufig zur Verwaltung von Daten auf externen Massenspeichern eingesetzt: Der Baum enthält Schlüssel und Indizes für die eigentlichen Nutzdaten. Die Nutzdaten liegen sequentiell in einer eigenständigen Datei vor. Vorteile dieser Organisation:

- Wenn auf die Daten nicht sequentiell zugegriffen werden muss, muss nur der Baum abgesucht werden. Dieser enthält dann die Position der Nutzdaten in der zweiten Datei.

- Zum Einfügen und Löschen muss die Reihenfolge der Nutzdaten nicht verändert werden.

- Es sind nur sehr wenige Zugriffe notwendig Zugriffe auf den Massenspeicher sind sehr langsam.

- Nur der Wurzelknoten des Baums wird im Speicher gehalten. Ein ähnlicher Aufbau wird für Datenbanken gewählt.


Bäume Balancierter Baum (B) – Aufbau bei externem Massenspeicher

Zusammenhang zwischen Index (Baum) und Nutzdatendatei:

Anmerkungen: Im Beispiel: Schlüssel = Position in der Datei In der Realität: zusätzlich Nutzdaten mit der Position als Wert

10

181514138752

Satz 2

…

Satz 7

Satz 27

Satz 1

…

Satz 42

Satz 3

…

usw.


Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation

Funktionsweise der Suchoperation:1. Startknoten: Wurzel des Baums2. Suche mittels Binärsuche nach dem Schlüssel.3. Ist der Schlüssel vorhanden, so ist die Suche beendet.4. Ermittlung des Nachfolgeknotens: Auswahl des Verweises zwischen den zwei Werten,

zwischen denen der Suchschlüssel liegen muss.5. Wenn ein Nachfolgeknoten existiert (Knoten ist kein Blatt), dann lade den Knoten vom

Massenspeicher weiter an Punkt 2.6. Wenn kein Nachfolgeknoten existiert, so ist der Schlüssel nicht im Baum vorhanden.


Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation am Beispiel

Suche nach dem Schlüssel 35:

25

2010

181514138752 2422 282726 3832 46454241

4030

35


Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel

Es soll ein Baum durch das Einfügen der folgenden Zahlen entstehen: 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25.

Der Baum hat die Ordnung 2. Einfügen:

Analog zum Top-Down 2-3-4 Baum Das mittlere Element wird nach dem (gedachten) Einfügen ermittelt.

20

Eingefügt: 20

20

Eingefügt: 40

40 402010

Eingefügt: 10

402010

Eingefügt: 30

30

10 30

20

4015

Eingefügt: 15

10 30

20

15

Eingefügt: 35

4035



30

20

3510

Eingefügt: 7

157

20

3010

Eingefügt: 26

157 3526

20

3010

Eingefügt: 18

157 352618

20

4010

Eingefügt: 22

157 3518

40 40

40

30

2622



2010

26 40351815 22

Eingefügt: 5

30

75

2010

26 40351815 22

Eingefügt: 42

30

75 42



2010

26 403515 22

Eingefügt: 13

30

75 421813

2010

26 403515 22

Eingefügt: 46

30

75 421813 46



2010

26 403515 22

Eingefügt: 27

30

75 421813 4627

2010

26 403515 22

Eingefügt: 8

30

75 421813 46278



2010

26 3515 22

Eingefügt: 32

30

75 1813 278 4642

40

32

2010

26 3515 22

Eingefügt: 38

30

75 1813 278 4642

40

32 38



2010

3515 22

Eingefügt: 24

30

75 1813 268 4642

40

32 382724

2010

3515 22

Eingefügt: 45

30

75 1813 268 42

40

32 382724 4645



4030

3515 22

Eingefügt: 25

75 18138 4232 3824 4645

25

2010

26 27


Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation

Löschoperation in einem B-Baum:1. Unterscheidung zweier Fälle:

- Das zu löschende Objekt liegt in einem Blatt. Es wird gelöscht Schritt 2.- Das zu löschende Objekt liegt nicht in einem Blatt: Aus dessen linkem Teilbaum wird

das größte Element geholt (oder aus dem rechten Teilbaum das kleinste). Dieses ersetzt das zu löschende Objekt Schritt 2.

2. Ausgleichen: Durch das Löschen der Objekte kann ein Unterlauf auftreten (der Knoten ist nicht mehr zu min. 50% gefüllt). Es werden eine benachbarte Seite geladen und die Elemente auf beide Seiten gleichmäßig verteilt.

3. Tritt dabei ein Unterlauf auf, werden beide Seiten zusammengelegt und das mittlere Element des Vaterknoten in die gemeinsame Seite eingefügt.

4. Jetzt kann im Vaterknoten ein Unterlauf auftreten Schritt 2.


Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel

Es sollen aus dem Baum die folgenden Schlüssel entfernt werden: 25, 45, 24, 38, 32, 8, 27, 46, 13, 42, 5, 22, 18, 26, 7, 35, 15.

Der Baum hat die Ordnung 2.

4030

3515 2275 18138 4232 3824 4645

25

2010

26 27



4030

3515 20

Gelöscht: 25

75 138 4232 3822 4645

24

1810

26 27

4030

3515 20

Gelöscht: 45

75 138 4232 3822 46

24

1810

26 27



2210

3515 26

Gelöscht: 24

30

75 18138 42

40

32 3827 4620

2210

3515 26

Gelöscht: 38

30

75 18138 42

40

3227 4620



2210

4015 26

Gelöscht: 32

30

75 18138 423527 4620

2210

4015 26

Gelöscht: 8

30

75 1813 423527 4620



2210

4215 26

Gelöscht: 27

35

75 1813 46403020

2210

4215 26

Gelöscht: 46

35

75 1813 403020



2210

4218 26

Gelöscht: 13

35

75 2015 4030

2210

4018 26

Gelöscht: 42

75 2015 3530



2215

4020 26

Gelöscht: 5

107 18 3530

2615

20 30

Gelöscht: 22

107 18 4035



3015

26 35

Gelöscht: 18

107 20 40

15

30 35

Gelöscht: 26

107 20 40

20

35 40

Gelöscht: 7

1510 30

20

40

Gelöscht: 35

1510 30 10 20 30 40

Gelöscht: 15


Bäume Balancierter Baum (B) – Sequentieller Datenzugriff

Inorder-Durchlauf aller Knoten: Nachteil: Auf Knoten muss mehrfach zugegriffen werden (Laden vom Massenspeicher!).


Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen

Bedeutung der Ordnung o des Baums: Je größer o ist, desto flacher wird der Baum Je kleiner o ist, desto geringer ist der Aufwand zum Suchen innerhalb des Knotens.

Seien n = Anzahl Knoten im Baum mit n >= 2 o = Ordnung des Baums mit o >= 1 Dann gilt für die Höhe h des Baum: h <= log2*o ((n+1) / 2)

Damit gilt für die Suche eines Schlüssels Ermittlung und Laden der Seiten entlang des Pfads: O(log2*o( (n+1)/2 )) Suche innerhalb einer Seite mittels Binärsuche: O(ld( 2*o ))

Damit gilt für die komplette Suche: O(log2*o((n+1)/2 ))* O(ld( 2*o )), wobei der Aufwand für das Laden einer Seite wegen der Plattenzugriffe deutlich höher als die Suche innerhalb der Seite ist.


Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen

Erste Idee: Ein Knoten soll möglichst viele Elemente enthalten. Konsequenzen:

Beim rekursiven Abstieg zum Einfügen werden alle gefundenen Knoten im Speicher gehalten, um die Anzahl der Plattenzugriffe klein zu halten. Dadurch wächst bei sehr vielen Knoten der Speicherbedarf an.

Werden die Knoten nicht mehr im Speicher gehalten, so wächst die Zeit für die Plattenzugriffe (Verdopplung).

Bessere Idee: Häufig wird die Knotengröße so gewählt, dass ein Knoten sehr gut beispielsweise in einen Sektor auf dem externen Speicher passt und so effizient gelesen werden kann.


Bäume Balancierter Baum (B*)

Der B*-Baum ist eine Abwandlung des B-Baums mit Daten: Innere Knoten enthalten nur Schlüssel (so genannte Separatorschlüssel) und Nachfolger

als Paare (ki, pi):

- p0 verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln kleiner oder gleich k1.- pi (1 ≤ i < m) verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln größer als ki und kleiner oder

gleich ki+1.- pm verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln größer als km.

Die Werte befinden sich zusammen mit den Schlüsseln nur in den Blättern als Paare (k i, vi):

Die Daten werden in der Sortierreihenfolge der Schlüssel abgelegt. Alle Blätter werden zu einer doppelt verketteten Liste verbunden (Verweis p, n oben)

sehr schnelles sequentielles Durchlaufen aller Daten. Der Baum wird in der Literatur manchmal auch B+-Baum genannt, teilweise

unterscheiden sich B+- und B*-Bäume aber auch in der Literatur…

p0 … km-1k1 p1 k2 pm-1 km pm

p … km-1k0 k1 km nv0 v1 vm-1 vm


Bäume Balancierter Baum (B*)

Jeder innere Knoten hat min. k und max. 2k Einträge (=Ordnung beim B-Baum). Jeder Blattknoten hat min. k* und max. 2k* Einträge (außer Wurzel).

Wozu? In den inneren Knoten ist „mehr Platz“ für Schlüssel und Verweise auf Nachfolger

Baumhöhe sinkt bei identischer Knotengröße. Einfaches Sequentielles Durchlaufen der Datenelemente. B* ist die wichtigste Variante des B-Baums.


Bäume Balancierter Baum (B*) – Einfügeoperation

Einfügen: Ähnlich wie beim B-Baum.

1. Suche den Schlüssel des neuen Datensatzes im Baum führt immer zu einem Blatt, da Daten nur in Blättern gespeichert werden.

2. Füge den neuen Datensatz im Blatt ein. 3. Falls der Knoten überläuft, wird er gespalten („in der Mitte“).4. Beim Spalten wird ein „mittlerer“ Schlüssel (Separatorschlüssel) erzeugt und in den

Vaterknoten eingefügt. 5. Der Separatorschlüssel kann im Blatt vorkommen, muss es aber nicht.6. Beim Überlauf des Vaterknotens: weiter in Schritt 3


Bäume Balancierter Baum (B*) – Einfügeoperation am Beispiel

Beispiel: k = 4, k* = 2 Startsituation (Knoten bestehen aus Schlüssel und zugehörigem Wert):

Schrittweises Einfügen von [30, „Hoffmann“]:

Aufspalten des Knotens und Erzeugung eines Separatorschlüssels (23) in einem neuen gemeinsamen Vaterknoten.Neue Knoten als Liste verketten.

Überlauf im Vaterknoten: Rekursiv zur Wurzel hin fortsetzen.

10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler

10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler

10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler 30 Hoffmann

23

30 Hoffmann

Überlauf


Bäume Balancierter Baum (B*) – Löschoperation, sequentieller Datenzugriff

Löschen Daten werden immer nur in den Blättern gelöscht. Unterlauf ähnlich wie beim B-Baum soll hier nicht näher betrachtet werden.

Sequentieller Datenzugriff Verzeigerung in den Blattseiten folgen Vorteil: Auf jeden Blattknoten muss nur einmal zugegriffen werden.

Die Nutzdaten befinden sich nur in den Blättern!


Bäume Vergleich von B- und B*-Baum

B-Baum:

B*-Baum:

Index(mit Schlüsselnund Werten)

Index(mit Separator-schlüsseln)

Schlüssel mit Werten


Bäume Tries (digitale Bäume)

Trie (gesprochen „try“): Baum zur Speicherung von Zeichenketten eines Dokumentes, um später leicht das Vorhandensein der Texte im Dokument feststellen zu können (retrieval).

Aufbau: Knoten ist ein Array mit der Größe = Kardinalität des Alphabetes. Jeder Eintrag enthält einen Verweis auf einen anderen Knoten. Die Buchstaben werden nicht um Baum gespeichert (Index ergibt Buchstaben).

Aufbau: Alphabet mit 26 Zeichen als Großbuchstaben.

A B C D X Y Z…

A B C D X Y Z…

A B C D X Y Z…

A B C D X Y Z…


Bäume Tries (digitale Bäume)

Beispiel (unvollständig):

Probleme: Ungleichmäßige Verteilung der Daten (viele leere Verweise z.B. für Kombinationen wie

XX, XY, YY, YYYZ, …). Entartung zur Liste möglich.

A B C D Z… F …

E … R ……

Y

E … R ……

N … T …… E … I …… E … I ……

J … N …… G … T ……

Benjamin Bennet Bettina Brigitte Britta Fred Frieda


Bäume Binäre Tries

Ausweg aus dem Problem der ungleichmäßigen Auslastung: Repräsentation der Zeichenketten als Binärfolge. Knoten enthält nur noch Nachfolger für 0 und 1.

Weiterhin problematisch: Entartung zu Listen.


Bäume Patricia Bäume

Ziel: Vermeidung des Entartens zu einer Liste. Lösung: Practical Algorithm to Retrieve Information Coded in Alphanumeric (Patricia). Idee:

Irrelevante Teile der Zeichenkette werden übersprungen. Jeder Knoten enthält die Anzahl zu überspringender Zeichen (Trie) oder Bits (bin. Trie).

Beispiel (kompakte Darstellung eines Trie):

2

4

2

Oberkante

Objektiv

Objektmenge Objektmethode

e j

i m

n t


Bäume Patricia Bäume

Suchen: Die im Knoten angegebenen Stellen überspringen. Zum richtigen Nachfolger laufen.

Vorteil: Kompakte Struktur, schnelleres Durchlaufen (besonders bei langen Wörtern).


Typinfo.,I/O

Annota-tionen

Laufzeit-typinfo.

Ein-,Ausgabe

EntwurfPrinzipie

nVerbindung


Graphen Übersicht

GrafischeOberflä-

chen

Übersicht



Effekte,Animationen

OffenePunkte

Ereignisse

Daten-strukturen

ADTsElementare





Graphen Motivation

Wozu dienen Graphen? Welche Arten von Informationen können damit modelliert werden? Wie können Graphen im Speicher abgebildet werden? Einige wichtige Algorithmen für Graphen.


Graphen Idee

Viele Probleme lassen sich allgemein unter Verwendung von Objekten und Verbindungen formulieren:

Darstellung eines Straßennetzes:

[https://maps.google.com/]


Graphen Idee

Schienennetzplan (KVV):

[http://www.kvv.de/fileadmin/user_upload/kvv/dokumente/netz/liniennetz/2013/L0SCHI_DEZ12_Betreiber.pdf]


Graphen Idee

Oder etwas berühmter (London Tube):

[http://www.tfl.gov.uk/assets/downloads/standard-tube-map.gif]


Graphen Idee

Beziehungen in einem sozialen Netzwerk:

[http://blog.iconsultants.eu/2012/10/was-ist-der-facebook-open-graph-und-warum-gibt-es-ihn/]

Netz aller Flugverbindungen Elektronische Schaltungen aus Komponenten und Verbindungen Scheduling: Welche Aufgaben hängen von anderen Aufgaben ab?


Begriffe Ein Graph ist eine Menge von Knoten und Kanten. Knoten sind einfache Objekte, die Namen und andere Eigenschaften haben können. Kanten sind Verbindungen zwischen Knoten.

Graphen Begriffe

6 39

Knoten

27 41

42 68

51

16

Kante


Graphen Begriffe

Ein Graph ist unabhängig von seiner Darstellung:

Ein Pfad von einem Knoten x zu einem Knoten y ist eine Liste von aufeinander folgenden Knoten, die durch Kanten verbunden sind.

Ein Graph ist zusammenhängend, wenn von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten ein Pfad existiert.

Ein Zyklus ist ein Pfad, in dem Anfangs- und Endknoten identisch sind. Ein Baum ist ein Graph ohne Zyklen. Ein Gruppe nicht zusammenhängender Bäume wird Wald genannt.

6 39

27 41

42 68

51

16

41 39

27 6

42 68

5116


Graphen Begriffe

Ein Spannbaum ist ein Teilgraph, der alle Knoten enthält sowie die Kanten, die notwendig sind, um einen Baum zu bilden.

Graphen mit wenigen Kanten (E < V log V) werden licht genannt. Graphen, in denen nur wenige Kanten fehlen, werden dicht genannt. Gewichtete Graphen: Die Kanten haben Gewichte (Kosten, Entfernungen, ...). Gerichtete Graphen: Die Kanten können nur in einer vorgegebenen Richtung durchlaufen

werden („Einbahnstraßen“).

6 39

27 41

42 68

51

16

Graph

6 39

27 41

42 68

51

16

Spannbaum


Graphen Darstellung im Programm

Knoten werden auf ganze Zahlen (Indizes) abgebildet, um sehr effizient darauf zugreifen zu können:

Knoten werden nummeriert. Der Hashwert des Namens eines Knotens wird als Index verwendet perfekte

Hashfunktion. Einfachste Darstellung eines Graphen: Adjazenzmatrix („Nachbarschaftsmatrix“):

Annahme: Der Graph hat V Knoten. Es wird ein Feld (zweidimensionales Array) graph der Größe V*V mit Boole‘schen

Werten gefüllt:- Der Wert graph[ x ][ y ] = true, wenn eine Kante von Knoten x zu Knoten y führt.

- Der Wert graph[ x ][ y ] = false, wenn es diese Kante nicht gibt.- Die Matrix ist symmetrisch für ungerichtete Graphen: graph[ x ][ y ] = graph[ y ][ x ] Speicherplatzverschwendung, aber einfachere Algorithmen



- In der Regel ist es praktisch zu definieren, dass ein Knoten immer zu sich selbst führt: graph[ x ][ x ] = true abhängig vom Einsatz des Graphen

Beispiel:

Löschen eines Knotens x: An den Positionen [ 0...V-1 ][ x ] und[ x ][ 0...V-1 ] muss false eingetragen werden (Löschen der Kanten).

0 1 2 3 4 5 6 70 t f f f f t t f1 f t t f f f t f2 f t t f t f f f3 f f f t t t f t4 f f t t t t t f5 t f f t t t f f6 t t f f t f t f7 f f f t f f f t

0 5

6 4

1 2

3

7



Beispielgraph:

1 2

3

46

5 70



Aufwand Adjazenzmatrix: O(V2) Speicherplätze sowie O(V2) Schritte zur Initialisierung. Nachteil der Adjazenzmatrix: Bei lichten Graphen ist die Speicherplatzverschwendung sehr

hoch. Für lichte Graphen existiert daher eine Adjazenzliste („Nachbarschaftsliste“, auch

Adjazentstruktur): Für jeden Knoten werden alle mit ihm verbundenen Knoten in einer Liste gehalten. Die Listen liegen in einem eindimensionalen Array.

Beispiel:

0 5

6 4

1 2

3

7

0 1 2 3 4 5 6 7

5

6

2

6

1

4

4

5

7

2

3

0

3

4

0

1

4

3

5

6



Ein Kante, die Knoten x mit Knoten y verbindet, wird in der Liste von Knoten x und in der Liste von Knoten y aufgeführt effiziente Suche: Mit welchen Knoten ist Knoten x verbunden?

Vorteil Speicherbedarf: O(V+E), Initialisierung: O(V) Nachteile:

Einige Algorithmen sind aufwändiger und ineffizienter zu implementieren. Das Löschen eines Knotens x ist aufwändig: In allen Listeneinträgen von x den Knoten x

löschen, dann alle Listeneinträge von x löschen. Konsequenz: Keine „direkte“ Darstellung eines Graphen im Speicher, da der Aufwand für

Algorithmen sonst sehr hoch wird.


Graphen Darstellung gerichteter und gewichteter Graphen im Programm

Gerichtete Graphen Jede Kante wird nur einmal dargestellt. Darstellung einer Kante von Knoten x zu Knoten y:

Adjazenzmatrix: graph[ x ][ y ] = true. Adjazenzliste/Adjazenzstruktur: y erscheint in der Liste von x.

Gewichtete Graphen Die Darstellung erfolgt wie bei ungerichteten Graphen mit den folgenden Erweiterungen:

Adjazenzmatrix: Anstelle von true steht in graph[ x ][ y ] der numerische Wert (die Gewichtung) der Kante. Anstelle von false wird eine nicht benutzte Gewichtung eingetragen (z.B. -1).

Adjazenzliste/Adjazenzstruktur: Die Liste enthält für jeden Eintrag ein weiteres Feld mit der Gewichtung.


Graphen Tiefensuche

Tiefensuche: systematisches Besuchen aller Knoten und Kanten im Graphen Der Algorithmus ist Basis vieler anderer Lösungen im Zusammenhang mit Graphen. Ablauf:

Ein Feld visitedNodes nimmt für alle Knoten den Index in der Besuchsreihenfolge auf.

Wurde der Knoten noch nicht besucht, so enthält es die Konstante UNSEEN (z.B. -1). Solange es noch unbesuchte Knoten ki gibt, wird der nächste unbesuchte aus

visitedNodes genommen:- In visitedNodes erhält der Knoten ki den nächsten Index.- Es werden alle von ki aus erreichbaren Knoten besucht, die bisher noch nicht besucht

wurden.


Graphen Tiefensuche

V ist die Anzahl der Knotenprivate int[] visitedNodes = new int[ V ];private int visitId;private static final int UNSEEN = -1;

public void visitNodes()

visitId = 0;

// Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; ++i) visitedNodes[ i ] = UNSEEN;

// Knoten besuchen for (int i = 0; i < V; ++i) if (visitedNodes[ i ] == UNSEEN) visitNode(i);


Graphen Tiefensuche

Tiefensuche bei Darstellung mit Adjazenzmatrix Der Graph liegt im zweidimensionalen Array graph. Rekursives Besuchen aller Knoten, die mit dem übergebenen Knoten verbunden sind:

public void visitNode(int nodeIndex) visitedNodes[ nodeIndex ] = ++visitId;

// Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = 0; i < V; ++i) if (graph[ nodeIndex ][ i ] && (visitedNodes[ i ] == UNSEEN)) visitNode(i);

Zeitaufwand für die Tiefensuche: O(V2), da jedes Bit in der Matrix geprüft wird.


Graphen Tiefensuche

Beispiel (siehe Tafelanschrieb):

0 5

6 4

1 2

3

7


Graphen Tiefen- und Breitensuche

Hinweise Die Rekursion kann genau wie bei Bäumen durch eine Iteration unter Verwendung einer

Stack-Klasse implementiert werden. Wird der Stack durch eine Schlange (Queue) ersetzt, so ergibt sich automatisch Breitensuche. Unterschiede zwischen Breiten- und Tiefensuche:

Tiefensuche: Es werden erst die Pfade zu den am weitesten entfernt liegenden Knoten gesucht. Erst im Fall einer Sackgasse werden näher liegende Knoten besucht.

Breitensuche: Erst werden alle Knoten in der Nähe und danach immer weiter weg liegende Knoten betrachtet.


Graphen Breitensuche iterativ

Der folgende Ausschnitt zeigt eine iterative Lösung zur Breitensuche im Graphen.private int[] visitedNodes = new int[ V ];private static final int UNSEEN = -1;

public void breadthFirstSearch(int startNode)

int visitId = 0; // Breitensuche mit Queue // Tiefensuche mit Deque (als Stack) Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

// Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; ++i) visitedNodes[ i ] = UNSEEN;

queue.offer(startNode);

while (!queue.isEmpty()) // Vordersten Knoten der Queue besuchen int node = queue.poll(); // Tiefensuche: queue.pollLast();


Graphen Breitensuche iterativ

if (visitedNodes[ node ] == UNSEEN)

visitedNodes[ node ] = ++visitId;

// Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = V - 1; i >= 0; --i) if (graph[ node ][ i ] && (visitedNodes[ i ] == UNSEEN)) queue.offer(i);


Graphen Suche des kürzesten Pfades iterativ

Der Breitensuchalgorithmus kann sehr leicht zur Suche des kürzesten Pfades zwischen zwei Knoten verwendet werden:

Statt der Reihenfolge der Besuche wird in predNodes der Vorgänger jedes Knotens abgelegt.

Der Algorithmus bricht ab, wenn das Ziel erreicht ist. Algorithmus:

private boolean[] visitedNodes = new boolean[ V ];private int[] predNodes = new int[ V ];private final static int UNSEEN = -1;

public boolean pathfinder(int startNode, int endNode)

LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();

// Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; i++) visitedNodes[ i ] = false; predNodes[ i ] = UNSEEN; queue.offer(startNode);


Graphen Suche des kürzesten Pfades iterativ

while (!queue.isEmpty()) // Vordersten Knoten der Queue besuchen int node = queue.pollFirst();

if (!visitedNodes[ node ]) visitedNodes[ node ] = true;

// Fertig ? if (node == endNode) return true; // Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = V - 1; i >= 0; i--) if (graph[ node ][ i ] && !visitedNodes[ i ] && predNodes[ i ] == UNSEEN) predNodes[ i ] = node; // jetzigen als Vorgänger eintragen queue.offer(i); return false;


Graphen Suche des kürzesten Pfades in einem gewichteten Graphen

Suche des kürzesten Pfades in einem gerichteten (nicht so wichtig) und gewichteten Graphen mit nicht-negativen Gewichten mittels Dijkstra-Algorithmus (gehört zu den Greedy-Alghorithmen wählen schrittweise in jedem Zustand den aussichtsreichsten Folgezustand aus)

Zeitaufwand (abhängig von der Darstellung des Graphen im Speicher): min. O(V2 + E)

0 5

6 4

1 2

3

7

3

11

1

11

2

3 810

1 3

11

2 22


Graphen Suche des kürzesten Pfades in einem gewichteten Graphen

Ablauf:1. Alle Knoten erhalten die Attribute „aktuelle Distanz zum Startknoten“ (Distanz) und

„Vorgängerknoten im Pfad“ (Vorgänger). 2. Die Distanzen werden mit ∞ (unendlich) initialisiert. Nur der Startknoten erhält zu sich

selbst die Distanz 0.3. Solange es noch unbesuchte Knoten ki gibt, wird derjenige mit dem geringsten Abstand

zum Startknoten gewählt (verspricht am ehesten Erfolg):1. Markiere diesen Knoten ki als schon besucht

2. Berechne für alle Knoten kx, die von ki aus erreichbar sind, die Abstände zum Startknoten als: Abstand kx = Abstand ki + Gewichtung von ki zu kx

3. Ist der berechnete Abstand kx kleiner als der bisherige Abstand zu kx, dann wurde ein kürzerer Pfad zu kx gefunden:

a. Trage den neuen Abstand kx am Knoten kx ein und merke als Vorgänger von kx den Knoten ki.

b. Trage ki als Vorgänger von kx ein. Java-Code: siehe Eclipse-Projekt „GraphAlgos“.


Graphen Weitere Algorithmen

Es existieren viele weitere Algorithmen für Graphen, die in der Praxis sehr wichtig sind: Kürzeste Pfade zwischen allen Knoten, kürzester Pfad von einem Knoten zu allen

anderen, … Kürzeste Menge der Linien, die alle Punkte innerhalb einer Ebene verbinden. Topologisches Sortieren eines azyklischen, gerichteten Graphen: Erst werden die Knoten

ermittelt, auf die kein anderer Knoten verweist. Dann die Knoten, auf die nur bereits im ersten Schritt ermittelte Knoten verweisen... Abhängigkeitsgraph.

Diese Algorithmen sollen nicht mehr Bestandteil der Vorlesung sein.


Graphen Bibliotheken

Für die Verwendung von Graphen in Java existieren eine ganze Anzahl unterschiedlicher Bibliotheken. Interessant sind:

JGraphT (http://www.jgrapht.org/): Frei verfügbare Bibliothek mit Graphenalgorithmen JGraph (http://www.jgraph.com/jgraph.html): Frei verfügbare Bibliothek zur Darstellung

von Graphen (z.B. denen von JGraphT) Beispiel zur Suche des kürzesten Pfades in einem Graphen (Projekt GraphDemo):

// Gerichteter GraphListenableGraph g = new ListenableDirectedGraph(DefaultEdge.class); // Knoten ergänzeng.addVertex("v1");g.addVertex("v2");g.addVertex("v3");g.addVertex("v4");// Knotenverbindeng.addEdge("v1", "v2");g.addEdge("v2", "v3");g.addEdge("v3", "v1");g.addEdge("v4", "v3");List<DefaultEdge> result = DijkstraShortestPath.findPathBetween(g, "v1", "v4");

http://www.jgrapht.org/



http://www.jgraph.com/jgraph.html

http://www.jgraph.com/jgraph.html

Informatik 2 Datenstrukturen Prof. Dr.-Ing. Holger Vogelsang [email protected].

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