Informatica industriala
Transcript of Informatica industriala
Informatica industriala
Cursul 9 Prelucrarea digitala a semnalelor
Procesarea semnalelor
Obiective: extragerea din semnal a unor componente considerate relevante
pentru problema studiată (ex.: filtrare), transformarea semnalului pe baza unei anumite reguli
(amplificare/atenuare, întârziere, etc.). Domenii:
Analiza semnalelor - domeniul care se ocupă de descompunerea semnalelor complexe în semnale elementare
Un semnal complex se descrie ca o suma (ponderata) de semnale simple; (ponderea=amplitudinea semnalului simplu)
Sinteza semnalelor - generarea unor semnale complexe, cu anumite proprietăţi date, care se obţin prin combinarea unor semnale elementare.
Ex: modulatoare, multiplexare, generatoare de semnal, etc.
Semnale
Def.: semnal - o mărime fizică purtătoare a unei informaţii Clasificare:
Din punct de vedere al predictibilităţii, semnalele pot fi: deterministe, dacă evoluţia lor este previzibilă şi se pot descrie
prin funcţii de timp (ex.: x(t) = A sin(ωt+φ)) aleatoare, dacă au o evoluţie imprevizibilă sau mult prea
complexă pentru a putea fi exprimată printr-o expresie matematică (ex.: zgomot)
Din punct de vedere al evoluţiei în timp semnalele pot fi: continue, dacă sunt descrise prin funcţii continue de timp discrete, dacă au valori definite doar la anumite momente de
timp Din punct de vedere al amplitudinii semnalele pot fi :
continue, dacă domeniul de variaţie al amplitudinii este un interval continuu
cuantizate, dacă amplitudinea poate lua un număr finit de valori
Semnale
Semnale analogice - semnalele continue în timp şi ca domeniu de valori Se studiaza in teoria clasica a semnalelor (integrale/derivate
continue, transformata Fourier, Laplace, etc.) Semnale digitale – semnale discrete din punct de vedere al evoluţiei în
timp şi cuantizate ca domeniu de valori sunt denumite Se studiaza prin teoria semnalelor digitale sau discrete (sume
integrale, transformata in Z, etc.)
t
t
t
t
x(t)
x(t)
x(nT)
x(nT)
Continuu Discret
Continuu
Cuantizat
timpamplitudine
Sisteme liniare
Sisteme descrise prin ecuatii integro-diferentiale liniare Sisteme la care este valabil principiul suprapunerii efectelor:
Efectul unui semnal complex asupra unui sistem este egal cu suma efectelor produse de semnalele simple ce compun semnalul complex
Efectul produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex de intrare este egal cu suma efectelor produse asupra componentelor semnalului
Sisteme reale: Neliniare in ansamblu Linearizabile pe portiuni Cauze de neliniaritate:
Efect de saturatie (la valori prea mari) Legea de variatie a sistemului este neliniara prin natura
fenomenelor incorporate Transformari de stare (ex: fierbere, rupere, etc.)
Exemple de semnale (in domeniul continuu)
Semnal sinusoidal x(t) = A sin(ωt+φ) = A sin (2πf*t + φ) = A sin (2π/T * t + φ)
unde: A – amplitudinea semnalului
ω – pulsaţia
φ – faza iniţială a semnalului
f – frecvenţa semnalului
T – perioada
t – timpulφ
A
x(t)
t
Exemple de semnale
Semnal de tip treaptă unitară 0 pentru t < 0
σ(t) =
1 pentru t > 0
Semnal rampă 0, pentru t <0
x(t) =
a*t, pentru t ≥ 0
σ(t)
t
Vsat
tg α = a
α
Exemple de semnale
Semnal de tip impuls aperiodic
0 pentru t < 0
π(t) = 1 pentru 0 < t < Δt
0 pentru t > Δtt
Δt
a0
a1
a2
a3
T
t
N
x(t) = Σ ak π(t-kT)
k=0
Δt = T
Exemple de semnale
Impulsuri periodice 1, pentru t є (kT, kT+ Δt), k = 0, ∞
x(t) = 0, în rest
Semnal de tip Dirac 0 pentru t < 0
δ(t) = lim 1/ Δt pentru 0 ≤ t ≤ Δt Δt0 0 pentru t > ΔtUn semnal discret se exprimă ca o sumă ponderată de impulsuri
Dirac.: N
x(t) = Σ ak δ(t-kT) k=0
T
t
Δt
Δt1/ Δt
Semnale in domeniul discret Semnal discretizat in timp: secventa de valori ale semnalului la
momente kT (T- perioada de esantionare a semnalului) Exemple:
a. Semnal sinusoidal discret
x(kT) = A sin(ω*kT+φ)
b. Semnal treaptă unitară în domeniul discret
0, pentru k < 0σ(kT) = 1, pentru k ≥ 0
c. Impuls Dirac discret
1, pentru k = 0δ(kT) = 0, pentru k ≠ 0
Analiza semnalelor
Aproximarea semnalelor Un anumit semnal x(t) se poate descompune într-un
număr finit sau infinit de funcţii elementare
N
x(t) = Σ an* fn(t)
n=0
unde: an – ponderea funcţiei fn (valoare constantă)
fn(t) – set predefinit de funcţii elementare
N – numărul maxim de funcţii elementare necesare pentru exprimarea funcţiei x(t)
Set ortogonal de semnale elementare (simple) Relatia de ortogonalitate intre functii (semnale)
elementaret0+T C2 dacă m = n
∫ fm(t)*fn(t) dt=
t0 0 dacă n ≠ munde: fm şi fn - două funcţii elementare
C – norma (mărimea) funcţiei elementareT – intervalul de ortogonalitatet0 – momentul considerat pentru calcul
Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii
Aproximarea unui semnal x(t) prin functii elementare ortogonale
Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii t0+T t0+T N ∫ x(t)*fm(t) dt = ∫ (Σ an* fn(t))*fm(t) dt = t0 t0 n=0
N t0+T = Σ an ( ∫ fn(t)*fm(t)dt) = am* C2 , de unde rezultă n=0 t0
t0+T am = 1/C2 ∫ x(t)*fm(t) dt
t0
Componenta spectrala a unui semnal complex a0, a1,… an – amplitudinile componentelor
spectrale ale semnalului
a0
a1
a2
a3
a4
n
a5
Transformata Fourier discretă
Set ortogonal de semnale trigonometrice: 1/√2 , cos(n ωt), sin(n ωt), n = 0 .. N, ω=2π/T
Se verifică relaţiile de ortogonalitate:
t0+T T/2, pentru n = m ∫ cos (m ωt)*cos (n ωt) dt = t0 0, pentru n ≠ m
t0+T ∫ cos (m ωt)*sin (n ωt) dt = 0 t0
Analiza Fourier a unui semnal
exprimarea semnalului ca o sumă ponderată de semnale sinusoidale de forma:
∞ ∞
x(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1
t0+TCn = 2/T ∫ x(t)*cos (n ωt) dt t0
t0+T
Sn = 2/T ∫ x(t)*sin (n ωt) dt t0
t0+T
C0 =√2/T ∫ x(t) dt t0
Transformata Fourier discretă a unui semnal
periodic x(t), de perioadă T forma trigonometrică a transformatei Fourier discrete
∞ ∞
F(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1
F(t)=x(t) x(t)F(t)
t t
x(t) - semnal periodic x(t) – semnal aperiodic
Forma armonică a transformatei Fourier discrete Perechile de termeni Sn sin(n ωt) şi Cn cos (n ωt) se pot exprima
printr-o singură funcţie de formaAn cos (n ωt + φn) unde:
An2 = Cn
2 +Sn2 - reprezintă pătratul amplitudinii armonicii de
rang n, iar φn = - arctg Sn/Cn - reprezintă defazajul armonicii de rang n
unde: cos(ωt + φ1) – este componenta fundamentală de frecvenţă f
cos(nωt + φn) – este armonica de rang n şi frecvenţă n*fφn – este faza (unghiul de defazaj) al armonicii n
An – amplitudinea armonicii de rang n
∞
F(t) = A0 + Σ An cos(n ωt + φn) n=1
Forma complexă a transformatei Fourier
discrete
În expresia de mai sus, cos(n ωt + φn) se poate considera ca parte reală a numărului complex e j(n ωt + φn) (de reamintit forma trigonometrică a unui număr complex e jα = cosα +jsinα). Astfel termenul n din sumă devine:
An cos(n ωt + φn) = Re [An e j(n ωt + φn)] = Re [Anc e j(n ωt) ]
unde: Anc = An * e j(φn) – este amplitudinea complexă a armonicii n
+∞
F(t) = 1/2 Σ Anc ej(n ωt)
-∞
∞
F(t) = A0 + Re Σ Anc e j(n ωt) n=1
Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple pentru semnal constant:
x(t) = A- transformata Fourier are numai componenta constantă
C0 = A, Cn=0, Sn=0, pt, n=1.. ∞
pentru semnal sinusoidal: x(t) = A sin (ω0t)
- transformata Fourier are numai componenta fundamentală de pulsaţie ω0t
C0 = 0, Cn=0, S1=A, Sn=0, pt, n=2 .. ∞
ωt
A
ωtω0t
A
Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple
semnal dreptunghiular: A pentru t∈ [2kT, (2k+1)T)
x(t) =
-A pentru t∈ [ (2k+1)T, (2k+2)T)
+∞
x(t) = 2A/π Σ 1/(2k+1) * sin((2k+1) ωt)
k=0
- transformata Fourier conţine un număr infinit de funcţii sinus; amplitudinea sinusurilor scade asimptotic la 0, în raport cu pulsaţia
C0 = 0, Cn=0, S2k=0, S2k+1=2A/(2k+1)π- O aproximare buna a semnalului dreptunghiular se
poate face cu primele 3 componente spectrale ω 2ω 3ω 4ω 5ω ω
S2k+1 =2A/(2k+1)π
Sn
Transformata Fourier pentru semnale aperiodice (de tip impuls)
Impuls – semnal aperiodic de durata limitata Exemple de semnale de tip impuls:
semnal dreptunghiular singular impuls Dirac singular o semiperioadă a unui semnal sinusoidal
Perioada semnalului “T” tinde la infinit Pulsatia ω tinde la 0 => distanta dintre componentele spectrale este
infinitezimal de mica In transformata Fourier coeficientii Anc devin o funcţie continuă de
variabilă jω Integrala care calculeaza coeficientii=>transformata Fourier continua:
Transformata Fourier inversă permite generarea (reconstruirea) unui semnal pe baza distribuţiei sale spectrale
∞
X(jω) = ∫ x(t) * e- jωt dt -∞
∞
x(t) = 1/2π ∫ X(jω) * e- jωt dω -∞
Proprietatile Transformatei Fourier
Teorema întârzieriiF(x(t-t0)) = e-jωt0 X(jω)
Teorema derivăriiF( dx(t)/dt) ) = jω X(jω)
Teorema integrăriiF(∫ x(t)dt) ) = 1/jω * X(jω)
Teorema convoluţieiConvoluţia a două funcţii x(t) şi y(t) se defineşte în felul următor: ∞
x(t)○y(t) = ∫ x(τ)*y(t - τ) dτ -∞Convoluţia se utilizează frecvent pentru evaluarea efectului produs
de un sistem liniar asupra unui semnal complex. ∞
F [ (∫ x(τ)*y(t - τ) dτ ] = X(jω) *Y(jω) -∞