Inferencia Estadistica

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Actualización JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ (Director Nacional de Curso) 100403 INFERENCIA ESTADÍSTICA Autor Primera Edición JORGE RONDON DANIS BRITO Evaluador EMERSON CHAPARRO IBAGUÉ JUNIO 2012

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Actualización

JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ

(Director Nacional de Curso)

100403 – INFERENCIA ESTADÍSTICA

Autor Primera Edición JORGE RONDON

DANIS BRITO

Evaluador

EMERSON CHAPARRO

IBAGUÉ

JUNIO 2012

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COMITE DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Constanza Abadía García

Vicerrectora Académica y de Investigación

Gloria Herrera

Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos

Maribel Córdoba Guerrero

Secretaria General

Inferencia Estadística

Tercera Versión

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2012

Unidad de Ciencias Básicas UNAD

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CAMPOS DE

FORMACIÓN

Básica CRÉDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72

Horas TIPO DE CURSO Teórico CÓDIGO:100403 ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL: 24

Horas

OBJETIVO GENERAL:

Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teoría y las técnicas de la

inferencia estadística en diversos campos de su saber formativo, y que dicha

aplicación se convierta en una herramienta de uso matemático para la toma de

decisiones sobre hipótesis cuantitativas de datos, basado en la información

extraída de una muestra.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Que el estudiante identifique las técnicas y procedimientos que se

deben emplear para que las muestras sean representativas de la población

que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinación de

los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.

Que el estudiante comprenda el comportamiento de una población a

partir del análisis metódico de una muestra aleatoria de la misma, y que

entienda que la inferencia inductiva de los parámetros estadísticos que

estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser

cuantificado.

Conocer los criterios técnicos que hay que tener en cuenta antes

de seleccionar un tamaño de muestra.

Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.

Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimación

por intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.

Determinar la prueba o técnica apropiada a aplicar en las diferentes

pruebas de hipótesis paramétricas y No paramétricas.

COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:

Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una población una

parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los

resultados obtenidos a toda la población.

Determinar los estadísticos necesarios para el análisis y solución de situaciones

que implican conjuntos de datos de su disciplina de formación, por medio del

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conocimiento de la teoría elemental del muestreo y de las distribuciones

muestrales.

Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadística para resolver

problemas concretos de investigación en el ámbito de otras disciplinas.

Aplicar apropiadamente los resultados teóricos y metodológicos de la inferencia

estadística de estimación y prueba de hipótesis en el marco de la modelación.

Habilidad para planear una investigación, diseño de instrumentos, definición de

variables, recolección de la información, resumen y presentación de los datos.

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UNIDADES DIDÁCTICAS

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................. 6

UNIDAD UNO: ................................................................................................................................................ 7

MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA ....................................................... 7

CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO ................................................................................... 8

Lección No 1: Conceptos Básicos .............................................................................................. 10

Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra ........................................................ 15

Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras ......................................................................... 30

Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No Paramétrico ................................... 31

Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores ................................................. 34

Ejercicios propuestos ................................................................................................................. 36

................................................................................................................................................... 36

CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES ........................................................................... 37

Lección No 6: Distribuciones Muestrales .................................................................................. 38

Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la Proporción ....................................... 40

Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción.............................................................. 58

Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y de la Proporciones .............. 62

Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la proporción y el total de la

Población ................................................................................................................................... 67

CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA .............................................................................. 74

Lección No 11: Nociones Fundamentales. ................................................................................ 75

Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de medias con muestras

pequeñas 30n ..................................................................................................................... 79

Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de medias muestras grandes

30n ...................................................................................................................................... 90

Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y diferencias de proporciones (siempre

son muestras grandes) 30n ................................................................................................ 94

Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional. ........................................... 96

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INTRODUCCIÓN

El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que

oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia.

El material está estructurado en dos unidades que son las temáticas macro del

curso académico.

El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los

saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la

Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de la Inferencia

estadística.

La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos

mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del

mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos

conocimientos.

Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante

posea como conocimientos previos: de estadística descriptiva y de la teoría de

probabilidad.

El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentan ejemplos

modelos del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios con

respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del

conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso.

Al final de cada unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las

cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas

analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de

alcanzar las metas propuestas.

Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se

recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas

audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así

lograr una efectiva comprensión, y aplicación de las temáticas estudiadas.

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UNIDAD UNO:

MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA

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CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO

Introducción

En los estudios de investigación lo primero que se define es el fenómeno a

analizar, luego la población objeto de estudio, la cual puede ser finita cuando

se conocen todos los elementos, o infinita cuando no se conocen todos

los elementos de la misma. Desde estos puntos de vista analizar la población

no es práctico, por tiempo y costos, lo que induce a seleccionar una

muestra, cuya importancia radica en el proceso de consecución de

datos que proporcionan la información suficiente y necesaria a cerca de

la población, además que con la muestra se están utilizando menos recursos,

debido a que sólo una parte de la población se encuentra bajo observación,

lo que resulta significativamente beneficioso sobre todo cuando se trata

de poblaciones grandes y dispersa.

Otro aspecto que justifica la decisión de tomar una muestra es en casos donde

se debe destruir los elementos de ésta, por ejemplo cuando se desea

identificar el grado de vacío de un producto enlatado, la resistencia de un

material y otros.

En las encuestas de opinión sobre la preferencia de un producto se nota más

claramente la utilidad de una muestra en contraste con la población,

para conocer las preferencias de los consumidores y poder acomodar

rápidamente el sistema de producción a dichos cambios.

En desarrollo del presente modulo, se utiliza la coma para indicar la parte decimal

de un número.

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Objetivo general

Que los estudiantes identifiquen los principios sobre población y

muestra, métodos de muestreo, distribución de muestreo para medias,

el teorema central del límite, aplicados al cálculo de tamaños de muestras

pertinentes.

Objetivos específicos

Comprender los conceptos de población y muestra.

Identificar los diferentes diseños de muestreo y su utilidad en

diferentes campos del saber.

Conceptuar una distribución muestra y calcular las estimaciones

requeridas, la varianza y el error de estimación para los mismos.

Conocer y comprender los elementos del teorema central de

límite y su utilidad.

Determinar un tamaño de muestra representativo tanto para medias

como para proporciones.

Realizar aplicaciones en Excel y SPSS.

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Lección No 1: Conceptos Básicos

Dentro de la inferencia estadística, el proceso de muestreo permite que a

partir de los resultados obtenidos al analizar una muestra, se pueda obtener

conclusiones en cuanto a una o varias de las características o parámetros de una

población. Esta área de la Estadística, ayuda a determinar la confiabilidad de la

inferencia de que los fenómenos observados en la muestra ocurrirán también

en la población de donde se selecciona la muestra. Es decir, sirve para

estimar la eficacia del razonamiento inductivo con el cual se infiere que lo

observado en una parte ser equivalente a lo observado en la población.

Las técnicas de muestreo son importantes en la medida que se utilice en

forma adecuada para la situación que se requiera. De las técnicas más

conocidas y utilizadas se tienen el Muestro Aleatorio Simple (M.A.S), Muestreo

Aleatorio Estratificado (M.A.E), Muestro Sistemático (M.S) y Muestreo por

Conglomerados (M.C). Se tratará de analizar estas técnicas, especialmente el

M.A.S y M.A.E.

El Éxito en el desarrollo del curso en mención está en los buenos

conocimientos previos en Estadística Descriptiva, Probabilidad y, algebra,

Trigonometría y Geometría analítica. Lo anterior debido a que se debe predecir

resultados o tomar decisiones que tienen un grado de incertidumbre o un

grado de error que se debe definir de antemano.

1.1. Población Y Muestra

Existe una serie de términos estadísticos básicos, que son muy utilizados y se

requiere sean comprendidos para avanzar en otros temas o unidades, en

esta sección se tratarán los conceptos de población y muestra.

Población ó Universo: Se considera a todo aquello sobre el que se

desea hacer un estudio estadístico. Según el número de unidades,

elementos o casos que la constituyen, la población puede ser finita o infinita.

Población Finita: Es aquella conformada por un determinado o limitado número

de elementos.

Población Infinita: Es aquella conformada por un determinado o limitado

número de elementos.

Cuando el número de unidades que integra una población es muy grande, se

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puede considerar a ésta como una población infinita. El investigador define la

población objeto de estudio en términos de espacio y tiempo, ya que de esta

manera los resultados serán sobre la población definida en el espacio

demarcado y en el tiempo definido.

Ejemplo

Estudiantes del Programa de Ingeniería de Sistemas

Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas de la UNAD

Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas en la UNAD de los

años

2.010, 2.011 y 2.012

Muestra: Se considera una muestra al subconjunto representativo de la

población, que ha sido seleccionada de manera técnica mediante un

procedimiento denominado diseño de muestreo, para garantizar que dicha

muestra es representativa de la población, es decir, que las unidades

seleccionadas en la muestra mediante un proceso aleatorio, hayan tenido

igual probabilidad de haber sido seleccionadas para el análisis.

Figura 1. Población y muestra

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Parámetros: Según Moore, D. (2000) es un número que describe alguna

característica de la población. En la práctica estadística el valor del parámetro no

es conocido ya que en muchos casos no podemos examinar toda la población.

Pudiendo ser por ejemplo el porcentaje de personas con VIH en Colombia, aquí

el parámetro es la “Proporción” de personas en la población (Colombia) que

tienen dicho virus.

Es conveniente el uso de un símbolo general para designar el parámetro de

interés, entonces éste será:

Entre los parámetros más importantes tenemos:

= Tamaño total de la población

= Promedio Poblacional

= Varianza Poblacional = Desviación estándar Poblacional

= Total Poblacional

=Proporción poblacional

Estadístico: Es un número que se puede calcular a partir de los datos de la

muestra. Moore, D. (pág. 270). Entonces un estadístico mide características,

pero en una parte de la población, es decir, en una muestra; por ejemplo el

porcentaje de personas en Bogotá con VIH; aquí se evidencia que la muestra es

la capital en donde se está analizando una característica, lo que permite sacar

conclusiones de todo el país, por lo cual se dice que la inferencia suministra

conclusiones de la población sirviéndose de los resultados encontrados en las

muestras.

El objetivo fundamental del muestreo es Estimar los parámetros de la

población a partir de algunos elementos cuyas mediciones son los Estadísticos

Los estadísticos más utilizados por su importancia son:

n =Tamaño de la muestra

=Promedio de muestra

S2 =Varianza Muestra

S =Desviación estándar Muestra

=Total Estimado

p =Proporción Muestra

Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso

de estimación en inferencia estadística puede ser descrito como el proceso de

estimar un parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una

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media muestra (un estadístico) para estimar la media de la población (un

parámetro).

Error de muestreo (error muestral): En estadística se sabe que existen

diferencias entre lo que se obtuvo en el estudio y lo que se esperaba. En el

proceso de estimación es poco probable que la media Muestra sea idéntica a la

media poblacional, igual para la varianza y la desviación estándar. El error de

muestreo es la diferencia entre el estadístico y el parámetro, es decir diferencia

entre lo encontrado en la muestra con lo esperado en la población.

| | es el Parámetro y es el estadístico.

Recuerde que | | es el simbolo de valor absoluto

Error tolerable: Se considera el error tolerable al error máximo que se

está dispuesto a aceptar y aún considerar que el muestreo ha alcanzado

su objetivo. En todo estudio estadístico siempre se considera un error tolerable,

partiendo del principio que a menor error tolerable, mayor será el tamaño de

la muestra. Si es el parámetro y es el estadístico, el error tolerable está

determinado por B, donde:

| |

Error estándar: La desviación estándar de una distribución, en el

muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del

estadístico. Por ejemplo, la desviación estándar de las Medias de todas las

muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el

error estándar de la media. De la misma manera, la desviación estándar de las

proporciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una

población, es llamada el error estándar de la proporción. La diferencia entre los

términos desviación estándar y error de estándar es que la primera se refiere

a los valores originales, mientras que la segunda está relacionada con valores

calculados.

1.2. Razones para seleccionar una muestra:

Entre los motivos que inducen a tomar una muestra aleatoria están:

Naturaleza Destructiva:

Existen casos donde se requiere destruir los elementos de la muestra

para medir la característica, como es el caso de medir la resistencia de un

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material, el vacío de un producto enlatado, otros. No es lógico pensar en destruir

todos los elementos de la población, de allí que se tome una muestra.

Imposibilidad Física de Medir Todos los Elementos de la Población:

Se sabe que existen poblaciones muy grandes, consideradas infinitas y es

casi imposible conocer todos los elementos de la misma.

Costos: Estudiar todos los elementos de la población es muy costoso, tanto en

tiempo como en dinero, por lo que es más rentable hacer un estudio Muestra.

Confiabilidad del Estudio Muestra: Esta demostrado con soporte matemático

que una muestra representativa arroja resultados que permiten inferir sobre la

población con una confiabilidad muy alta.

Unidad de observación: Son los elementos que se miden; es decir, sobre los

que se toman los datos de las variables a medir. En el caso de los hogares, la

unidad de observación serán las personas y en el caso de las llantas del

automóvil, cada una serán las unidades de observación.

Marco de muestreo: Se considera el referente para identificar las unidades de

observación, éste NO incluye todos los elementos de la población. Ejemplos de

marcos de muestreo tenemos el directorio telefónico de una ciudad, como

potenciales votantes, el registro de ventas de los últimos 5 años en

una compañía comercializadora y muchos otros.

1.3. Etapas en la Selección de La Muestra

En todo estudio de muestreo se debe definir las etapas que permiten su

desarrollo.

a) Definición de objeto de Estudio: Comprende la identificación del

problema y el establecimiento de las metas que busca el estudio.

b) Marco de Muestreo: Establecimiento de una metodología para identificar

los elementos que estarán en el muestreo, sus características y el

modelo que los identifica.

c) Identificación de Variables: Es pertinente identificar las variables de

estudio, para así definir la forma de medición que se haría.

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d) Tamaño de la Muestra: Por medio del modelo de muestreo pertinente

seleccionar la muestra representativa, sobre la que se realizarán las

mediciones.

e) Unidad de Muestreo: Se debe extraer las unidades de muestreo según el

modelo definido que determinan las n unidades maestrales de la población

N.

f) Trabajo de Campo: Son todas las acciones necesarias para obtener la

información, definiendo los costos, desplazamientos, herramientas física y

logísticas para su realización.

g) Análisis de Información: La información obtenida, requiere de un

proceso estadístico, el cual puede ser descriptivo o inferencia, para el

curso que nos ocupa se deben hacer los dos.

h) Resultados: Con el proceso desarrollado sobre los datos obtenidos, se

procede a la emisión de los resultados y la confrontación con las metas

propuestas para verificar el grado de eficiencia del trabajo realizado. Es

pertinente saber presentar los resultados, ya que un buen trabajo que no

se presente de la mejor manera, quedaría oscuro en su información.

Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra

Tipos de Muestreo

Con los conceptos previos que se han analizado, ahora corresponde

estudiar las clases de muestreo. Los dos grandes grupos están enmarcados en

las siguientes clases:

Muestreo probabilístico

Muestreo No probabilístico

2.1. Muestreo No Probabilístico

Son aquellos muestreos donde los elementos de la muestra se toman al azar,

siendo imposible determinar el grado de representatividad de la muestra. Para

el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede

considerarse satisfactoria.

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Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones

que a falta de tiempo no permiten disecar métodos de muestreo probabilístico

hay que recurrir a este tipo de muestreo, donde el investigador conoce la

población.

Dentro del muestreo no probabilístico se conoce varios

tipos:

Muestreo por conveniencia.

Muestreo por juicio

Muestreo Causa / Efecto

Muestreo por Cuotas

Muestreo de Poblaciones Móviles

2.1.1. Muestreo por conveniencia

La muestra se determina por conveniencia, incorporando elementos en la muestral

sin probabilidades especificadas o conocida de selección. Por ejemplo un

profesor que se encuentra investigando una causa universitaria, puede usar

alumnos voluntarios para formar la muestra, tan solo porque dispone fácilmente

de ellos y participan como elementos a un costo pequeño o nulo. Tiene la

ventaja de ser de fácil selección y recolección de sus datos. Tiene la

desventaja de no poderse evaluar en su bondad de la muestra en

función de la representatividad de la población, motivo por el cual se hace

imposible inferir a cerca de la población correspondiente.

2.1.2. Muestreo por juicio

En este método la persona por experiencia y capacidad selecciona a los

individuos u otros elementos de la población, que supone son los más

representativos de esa población. Por ejemplo un reportero puede

muestrear uno o dos senadores, por considerar que ellos reflejan la opinión

general de todos.

2.1.3. Muestreo causa / efecto

Se realiza cuando no hay una población definida y se requiere tomar

elementos para el estudio en cuestión, caso por el cual se toman los elementos

disponibles.

2.1.4. Muestreo por cuotas

Cuando es necesario obtener una cantidad dada de elementos que constituyen

una muestra proporcional a la población, se toman elementos hasta cubrir

dicha cuota. El caso de tomar una cantidad de carros en una esquina para

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hacer un estudio sobre accidentalidad en dicho sitio.

2.1.5. Muestreo de poblaciones móviles

Método propio de poblaciones móviles como en estudios de migración

ocurridos en un sitio determinado. El caso típico es con animales que migran,

donde se hace captura-marca- recaptura.

2.2. Muestreo Probabilístico

El muestreo aleatorio o muestreo probabilístico, es aquel en que cada uno de

los elementos de la población objeto de estudio, tienen una probabilidad

matemática conocida, y frecuentemente igual, para ser elegido en la muestra.

Muestra probabilística

Una muestra se considera probabilística si cumple con las siguientes

condiciones:

a) Se pueda definir un conjunto de muestras M1, M2, M3... Mi posibles

derivados del proceso de selección propuesta. Así se puede identif icar

que unidades de muestreo pertenecen a la muestra M1, M2, M3... Mi

b) A cada muestra posible le debe corresponder una probabilidad de

selección conocida P(S).

c) El proceso de selección garantiza que todos los elementos de la población

tienen una probabilidad P(yi)>0 de ser elegido en alguna muestra.

d) La selección es un proceso aleatorio que garantiza que cada

muestra S tenga una probabilidad P(S) de ser elegida. Muestreo aleatorio

simple

Dentro del muestreo probabilístico o aleatorio existen cuatro métodos:

1. Muestreo aleatorio simple

2. Muestreo estratificado

3. Muestreo sistemático

4. Muestreo por conglomerados

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2.2.1. Muestreo Aleatorio Simple

El M A S es la forma m á s sencilla de muestreo probabilístico y es la base de

técnicas más complejas. La muestra se puede tomar de una población finita

o infinita, la cantidad de muestras posibles depende del tipo de diseño y la

forma de tomar las muestras. Este tipo de muestreo se utilize cuando se

considera que la población es más o menos homogénea. Como ya sabemos el

muestreo puede ser con y sin reemplazamiento.

El marco de muestreo corresponde a la lista codificada de todas las observaciones

que hacen parte de la población. La muestra se elige de tal manera que cada

observación tiene la misma probabilidad de ser elegida, la elección de una

observación NO tiene influencia sobre la elección de otra. Es de aclarar que en el

M.A.S la unidad de muestreo es igual a la unidad de observación.

Técnicas para Seleccionar la Muestra

a) Tabla de números aleatorios

(Ver tabla siguiente). Se enumeran las unidades que conforman la población

objetivo de estudio, partiendo desde 01 hasta 99, desde 001 hasta 999, y así

sucesivamente, dependiendo del tamaño poblacional. Luego se define el

tamaño de la nuestra y como los elementos de la población están

listados y codificados, entonces se establece un punto de partida:

Columna x Fila y, se van leyendo ya sea horizontal o verticalmente los

números de la tabla hasta completar el tamaño de la muestra.

Ejemplo

Suponga que tenemos N=30 facturas de servicios públicos (unidades en la

población), saque una muestra aleatoria simple de tamaño n=5.

Paso 1: Asigne etiquetas: Dé a cada unidad en la población un número, etiqueta o

identificación. Todas las etiquetas deben tener el mismo número de dígitos. Como

tenemos 30 unidades y el número 30 tiene dos dígitos, todas las unidades tienen

que tener dos dígitos.

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Tabla 1.

Facturas de servicios públicos

Paso 2: Use la tabla: Empezando en un lugar escogido al azar lea grupos de

dígitos (dependiendo del número de dígitos en las etiquetas) de izquierda a

derecha, continuando con la línea siguiente cuando se acabe la línea que está

leyendo. Si el grupo de dígitos corresponde a una de las etiquetas, ese número

identifica a una de las unidades que será seleccionada. Si el grupo de dígitos no

corresponde a una de las etiquetas o si ya fue seleccionado, se salta al grupo

siguiente.

Por ejemplo suponga que el lugar de partida escogido al azar fue la fila 05,

columna 1 (la columna 1 es la 12345) y la lectura sera vertical (aunque puede ser

horizontal):

Se toman dos digitos porque la muestra es 30 (que tiene dos digitos)

33850 Este número no se escoge porque está por encima de 30

97340

Este número no se escoge porque solo se escogen numerous entre

01 y 30. Se sigue buscando y se llega hasta un número menor o

igual a 30

Este número si se escoge porque es menor a 30.

14756

Se continúa y si con la primera columna no se han encontrado los 5 números para

la muestra se pasa a la siguiente.

Cabe notar que el número 23913 de la tabla se salta ya que se repite el 23 que se

encontró en 23236

La muestra está conformada por las observaciones que se ubican en la posición:

14, 23, 09, 11 y 06

Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $

01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901 02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155 03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082 04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825 05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915 06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382 07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835 08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227 09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485 10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159

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Tabla 2.

Números aleatorios

Columna

00000 00001 11111 11112 22222 22223 33333 33334

Renglón 12345 67890 12345 67890 12345 67890 12345 67890

01 49280 88924 35779 00283 81163 07275 89863 02348

02 61870 41657 07468 08612 98083 97349 20775 45091

03 43898 65923 25078 86129 78496 97653 91550 08078

04 62993 93912 30454 84598 56095 20664 12872 64647

05 33850 58555 51438 85507 71865 79488 76783 31708

06 97340 03364 88472 04334 63919 36394 11095 92470

07 70543 29776 10087 10072 55980 64688 68239 20461

08 89382 93809 00796 95945 34101 81277 66090 88872

09 37818 72142 67140 50785 22380 16703 53362 44940

10 60430 22834 14130 96593 23298 56203 92671 15925

11 82975 66158 84731 19436 55790 69229 28661 1367512

39087 71938 40355 54324 08401 26299 49420 59208

13 55700 24586 93247 32596 11865 63397 44251 43189

14 14756 23997 78643 75912 83832 32768 18928 57070

15 32166 53251 70654 92827 63491 04233 33825 69662

16 23236 73751 31888 81718 06546 83246 47651 04877

17 45794 26926 15130 82455 78305 55058 52551 47182

18 09893 20505 14225 68514 46427 56788 96297 78822

19 54382 74598 91499 14523 68479 27686 46162 83554

20 94750 89923 37089 20048 80336 94598 26940 36858

21 70297 34135 53140 33340 42050 82341 44104 82949

22 85157 47954 32979 26575 57600 40881 12250 73742

23 11100 02340 12860 74697 96644 89439 28707 25815

24 36871 50775 30592 57143 17381 68856 25853 35041

25 23913 48357 63308 16090 51690 54607 72407 55538

26 79348 36085 27973 65157 07456 22255 25626 57054

27 92074 54641 53673 54421 18130 60103 69593 49464

28 06873 21440 75593 41373 49502 17972 82578 16364

29 12478 37622 99659 31065 83613 69889 58869 29571

30 57175 55564 65411 42547 70457 03426 72937 83792

31 91616 11075 80103 07831 59309 13276 26710 73000

32 78025 73539 14621 39044 47450 03197 12787 47709

33 27587 67228 80145 10175 12822 86687 65530 49325

34 16690 20427 04251 64477 73709 73945 92396 68263

35 70183 58065 65489 31833 82093 16747 10386 59293

36 90730 35385 15679 99742 50866 78028 75573 67257

37 10934 93242 13431 24590 02770 48582 00906 58595

38 82462 30166 79613 47416 13389 80268 05085 96666

39 27463 10433 07606 16285 93699 60912 94532 95632

40 02979 52997 09079 92709 90110 47506 53693 49892

41 46888 69929 75233 52507 32097 37594 10067 67327

42 53638 83161 08289 12639 08141 12640 28437 09268

43 82433 61427 17239 89160 19666 08814 37841 12847

44 35766 31672 50082 22795 66948 65581 84393 15890

45 10853 42581 08792 13257 61973 24450 52351 16602

46 20341 27398 72906 63955 17276 10646 74692 48438

47 54458 90542 77563 51839 52901 53355 83281 19177

48 26337 66530 16687 35179 46560 00123 44546 79896

49 34314 23729 85264 05575 96855 23820 11091 79821

50 28603 10708 68933 34189 92166 15181 66628 58599

Fuente:Web

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Paso 3: Indicar según las posiciones que arroja la tabla de números aleatorios

cuales elementos se escogerán para la muestra

Tabla 3:

Selección muestra de 5 recibos ejemplo 1

Este método de selección permite que todos los elementos que constituyen la

población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Los

elementos se escogen en forma individual y aleatoriamente de la totalidad de

la población. Esta selección puede ser sin reemplazamiento, similar a la que

se realiza en la extracción aleatoria de números en el juego denominado baloto.

Cada elemento que constituye la muestra se selecciona una sola vez,

denominándose extracciones sin reposición.

En otras ocasiones, cada elemento puede ser elegido más s de una vez en

la misma muestra, como por ejemplo, cuando se selecciona aleatoriamente el

número ganador de una lotería, que puede ocurrir ser el mismo número; en

estos casos se dice que las extracciones son realizadas con reposición.

b) Programa de Computador: Utilizando el programa Excel que es el más

común se puede desarrollar números aleatorios de la siguiente manera:

Si la población es de N = 1.000 observaciones y se desea una muestra de 20,

entonces: Sobre una celda se escribe =ALEATORIO ()*N y se da clic, el

sistema genera el primer número aleatorio, se despliega en la parte inferior

derecha de la celda del número hasta el tamaño de la muestra definida.

Sintaxis para obtener números aleatorios de una población de 1000

observaciones

No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $

01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901

02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155

03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082

04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825

05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915

06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382

07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835

08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227

09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485

10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159

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Figura 2. Sintaxis número aleatorio en excel

Al dar clic se genera el primer número aleatorio y desplegando se obtiene los

que se desea.

De esta manera se obtiene los números aleatorios que se requieren

para tomar la muestra aleatoria de la población objeto de estudio. Si se

vuelve a hacer el proceso, se obtendrán nuevos números y cada que se realice

un nuevo proceso, se generarán diferentes números; esto por lo de Aleatorio.

c) Método de Fan Muller:

Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que

seguir los siguientes pasos:

1. Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio entre 0

y 1. Ese número aleatorio se llamará r.

2. Se hace un recorrido secuencial de la población y se incluye a la muestra

el número aleatorio r si cumple:

Comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de

que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad

se vuelve a empezar en el paso 1.

3. El algoritmo termina cuando

d) Coordinado Negativo: El proceso general es de la siguiente manera:

1. Se adiciona una variable aleatoria U con distribución uniforme U (0, 1)

2. Se ordena el marco muestral según la distribución U.

3. La muestra se forma de los n primeros elementos del marco ordenado

2.2.2. Muestreo Aleatorio Estratificado

En el diseño de muestreo probabilístico, es pertinente identificar la población

objeto de estudio, ya que no siempre la variable de análisis es más o menos

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homogénea. Si se desea analizar la variable peso; por lo general los hombres

pesan más s que las mujeres, en estratos altos se paga más arriendo que

en estratos bajos. En estos y otros muchos casos el M. A. S. no es adecuado.

En casos donde la población es muy heterogénea respecto a la variable

de estudio el muestreo estratificado es mejor que el muestreo aleatorio simple.

La palabra estratificar hace referencia a formar Capias.

DEFINICIÓN: Una muestra aleatoria estratificada se obtiene mediante la

separación de los elementos de la población en subgrupos llamados ESTRATOS,

los cuales son disyuntos.

Obtenidos los estratos, en cada uno se obtiene la muestra por M.A.S para el

estudio de la variable de interés.

Como los elementos de los estratos son disyuntos, entonces cada

unidad de muestreo pertenece solo a un estrato. Las muestras

seleccionadas en los estratos deben ser independientes; es decir, la elegida

en un estrato no debe afectar la elección de otra muestra en otro estrato.

La esencia de la estratificación es que ésta saca provecho de la

homogeneidad conocida de las sus poblaciones, de tal forma sólo se requieran

muestras relativamente pequeñas para estimar las características de cada

sub-población, estas estimaciones individuales pueden entonces ser

fácilmente combinadas para producir una estimación de toda la

población; además, la economía en el tamaño de la muestra, un

valioso sub-producto del esquema del muestreo estratificado es que las

estimaciones obtenidas para diferentes partes de la población se

pueden usar posteriormente para hacer comparaciones.

Para una descripción general del muestreo aleatorio estratificado y los

métodos de inferencia asociados con este procedimiento, suponemos

que la población está dividida en h subpoblaciones o estratos de tamaños

conocidos N1, N2,..Nh tal que las unidades en cada estrato sean

homogéneas respecto a la característica en cuestión.

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Figura 3. Población divida en estratos

Ejemplo

Población de tutores del CEAD Ibagué - UNAD (ver figura 3). El tamaño de la

población 18 tutores (N= 18), la cual está dividida en 3 escuelas o subgrupos

(H=3). Cada escuela es un estrato, y se tiene que son diferentes los perfiles de los

tutores de una escuela a otra pero al interior de cada una son similares sus

profesiones, esto significa que los subgrupos son heterogéneos entre sí, pero

homogéneos dentro de cada uno.

VENTAJAS DEL MUESTREO ESTRATIFICADO

1. Evitar la obtención de muestras erróneas, tal es el caso de

escoger elementos que podrían sesgar el muestreo, por consiguiente

se puede perder representatividad de la población.

2. Obtener información precisa de ciertos subgrupos para hacer

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comparaciones

3. Producir un límite de error de estimación (B) más pequeño, comparado con

el obtenido en el M.A.S. para un mismo tamaño de muestra.

4. Los costos por observación en las encuestas son más reducidos ya

que se evitan desplazamientos extremos.

5. Las estimaciones se obtienen por subgrupos así los estratos se hacen

identificables.

Notación: Partiendo de la población o universo U cuyo tamaño es N,

ésta se divide en NL estratos.

Figura 4. Tamaño de estratos

N = N1 + N2 +…+NL (Tamaño poblacional)

= Tamaño del estrato i.

= Valor de la observación j en el Estrato i.

= Media poblacional en el estrato i.

= Varianza poblacional en el estrato i.

= Total poblacional en el estrato i.

Proporcion poblacional en el estrato i

La media poblacional del estrato, la varianza poblacional del estrato, el

total poblacional del estrato y el total poblacional, se obtiene de la siguiente

manera:

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En cada estrato se obtiene una muestra aleatoria por M.A.S. Si tenemos el

estrato l, se puede hacer el siguiente análisis.

Tamaño de la muestra en el estrato i

Promedio de la muestra del estrato i

Varianza muestral del estrato i

Proporción estimada del estrato i

Donde son los elementos j del estrato i

Tamaño de la submuestras en los estratos

(

) Ecuación No.1

Dónde:

N = Tamaño de la población

N = Tamaño de la muestra

Ni= Tamaño del estrato i

ni= Tamaño de muestra en el estrato i

N= N1+N2+N3+..+Nh

n = n1 + n2+…+ ni

Ejemplo

La sección operativa de una empresa de confecciones cuenta con 100

empleados, la cual está dividida en operarios de maquina plana, dibujantes y

cortadores, de los que hay 40, 35 y 25 operarios respectivamente; se quiere hacer

un estudio estadístico y se toma una muestra de 20 empleados. ¿Cuántos

operarios de cada línea deben escogerse si la selección se hace a través de un

muestreo estratificado?

N= 100

n = 20

N1= 40

N2= 35

N3= 25

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(

)

(

)

(

)

La muestra de 20 empleados debe estar compuesta por 8 de máquina plana,

7 dibujantes y 5 cortadores.

2.2.3. Muestreo Sistemático

Es utilizado por algunos contadores para revisar sumas, cuentas, inventarios,

etc., por ser un método directo y económico. Consiste en seleccionar uno a

uno, los elementos de la muestra en un orden determinado, dando un inicio

aleatorio. Es decir, la muestra queda ordenada.

La fracción de muestreo se establece por medio de la siguiente relación:

Dónde:

f = Fracción de muestreo

N= Población

n = Tamaño de la muestra

Ejemplo

De una población de 1.000 observaciones, se desea tomar una muestra de 10,

cuáles serían las observaciones que harían parte de la muestra sistemática.

La fracción de muestreo es:

f = Fracción de muestreo

N= Población

n = Tamaño de la muestra

El primer elemento se selecciona aleatoriamente en el intervalo cero a cien,

por ejemplo seleccionando el número 25, el segundo elemento que se

selecciona es 125 (25+100), luego el 225 (125+100) y así sucesivamente, hasta

completar la muestra de diez.

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Puede ver un ejemplo de muestreo sistemático en:

https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo

Un problema específico del muestreo sistemático es la existencia de cualquier

factor periódico o cíclico en la lista de la población que pudiera conducir a

un error sistemático en los resultados muestrales.

Ejemplo

Si en un hospital hay un universo de quince mil cien historias clínicas

que están numeradas interrumpidamente y se desea tener una muestra

equivalente al 10%, o sea, mil quinientas diez historias, ello significa que ha

de tomarse una de cada 10, ya que (15100 /1510 = 10). La primera historia

puede seleccionarse del primer grupo de 10. Si la primera historia

seleccionada es la número 8 en la población, teniendo en cuenta que el

ocho es un número cualquiera tomado aleatoriamente; la segunda será la 18=

(8+10) la tercera será la 28 = (18 + 10), la cuarta será la 38 = (28 + 10), y así

sucesivamente.

La estimación y tamaño de muestra tiene un análisis similar al muestreo

aleatorio simple M.A.S.

2.2.4. Muestreo Conglomerados

Este es un método de muestreo aleatorio en el que los elementos de la

población se dividen en forma natural en subgrupos, de tal forma que dentro de

ellos sean lo más heterogéneo posible y entre ellos sean homogéneos, caso

contrario al muestreo estratificado.

Este tipo de muestreo se usa en particular cuando no se dispone de una

lista detallada y enumerada de cada una de las unidades que conforman el

universo y resulta muy complejo elaborarla. Se le denomina así debido a

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que en la selección de la muestra en lugar de escogerse cada unidad se

procede a tomar los subgrupos o conjuntos de unidades, a los que se llama

"conglomerados". Aunque quizá por ello se tienda a creer que es lo

mismo que el estratificado, ambos se diferencian en que en los

conglomerados los subconjuntos se dan en la vida real o ya están

agrupados de esa manera; por ejemplo: Escuelas, tipos de Industrias,

bloques de casas y otros. En el estratificado el investigador decide las

agrupaciones que utilizar según la posible variabilidad de los fenómenos a

estudiar; otra diferencia es que en este el investigador conoce la distribución

de la variable, todo lo contrario que en el muestreo por conglomerado.

El proceso se indica definiendo los conglomerados, después se seleccionan los

subconjuntos a estudiar (o sea, que se realiza un muestreo de

conglomerados); de estos seleccionados se procede a hacer el listado de las

unidades que componen cada conglomerado, continuando posteriormente con la

selección de las unidades que integrarán la muestra, siguiendo algunos de los

métodos aleatorios indicados.

Si se desea hacer un estudio en las escuelas de educación primaria sobre un

determinado fenómeno, inicialmente se seleccionan las escuelas que se

estudiarán, de esas escuelas seleccionadas se determinan los grados o clases

que deben incluir y posteriormente se escogen los alumnos, que serán las

unidades de observación, utilizando uno de los métodos aleatorios. Se estima

que las inferencias que se hacen en una muestra conglomerada no son tan

confiables como las que se obtienen de un estudio hecho por muestreo aleatorio.

Ejemplo

Si un analista de la Secretaría de Salud necesita hacer un estudio de los

servicios médico-asistenciales que reciben los trabajadores del área

metropolitana, sería difícil obtener una lista de todos los trabajadores de la

población objetivo. Sin embargo podría obtenerse una lista de las empresas y

fábricas del área. Con esta lista, el analista puede tomar una muestra aleatoria

de las empresas o fábricas, que representan conglomerados de

trabajadores, y obtener la información de los servicios médicos que se les

están prestando.

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Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras

En el diseño Muestra hacemos referencia a la probabilidad de selección, la

cual consiste en definir el valor de probabilidad de que una muestra dada

sea seleccionada. En teoría de probabilidad existen dos tipos de selección:

3.1. Selección con Reemplazamiento:

Consiste en que los elementos seleccionados una vez medidos vuelven a la

muestra, lo que hace que el espacio Muestra permanezca constante. Por lo

anterior la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro, por lo que

los eventos se consideran independientes.

Ejemplo

Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿ Cuál será

la probabilidad que al seleccionar dos bolas, estas sean blancas?

La probabilidad de que la primera sea negra es: ( )

La probabilidad de que la segunda sea negra es: ( )

3.2. Selección sin Reemplazamiento:

Los elementos elegidos una vez la medición, estos NO vuelven a la

muestra, lo que hace que el espacio muestral cambie a medida que se van

tomado elementos de la muestra.

Ejemplo

Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿Cuál será la

probabilidad que al seleccionar dos bolas estas sean blancas, la selección es

sin reemplazamiento?

La probabilidad de que la primera sea negra es: 4/9

La probabilidad de que la segunda sea negra es: 3/8

Recordemos que una vez elegida la primera, ésta no vuelve a la muestra.

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Ejemplo

Suponga que tenemos N = 4 unidades 1, 2, 3 y 5 en una población

hipotética y desea seleccionar muestras con reemplazamiento y sin

reemplazamiento de tamaño n=2

Para los propósitos de esta selección, los valores podrían ser el número de

las personas que viven en cada una de cuatro unidades habitacionales que

constituyen una población. Se realizará una comparación entre el muestreo

aleatorio con y sin reemplazamiento para una muestra de tamaño n=2.

Primero se listan todas las posibles muestras no ordenadas de tamaño n= 2.

Para recordar:

Muestreo Con Orden Sin Orden

Con Repetición Regla del exponente Nn

Multiplicación de opciones:

n1 x n2 x n3….

Combinaciones

( )

Sin Repetición

Permutaciones

( )

( ) ( )

( )

Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No

Paramétrico

4. Métodos De Inferencia

Los procedimientos de inferencia permiten establecer conclusiones acerca de

una población, a partir de las propiedades estudiadas en una muestra de ella.

Además, como dichas conclusiones dependen de sucesos aleatorios, se les

asociará un nivel de confianza o de verosimilitud.

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32

Gráfico No.1 Métodos de inferencia

4.1. Métodos Paramétricos

Resuelve objetivos relacionados con parámetros de una población, tales como

media, varianza, proporción etc. Estos modelos se apoyan en el conocimiento

de la distribución de probabilidad asociada a dicha población aunque se

desconozca algún parámetro de dicho modelo. Por ejemplo podemos suponer

que el número de clientes atendidos por hora en una entidad bancaria sigue un

modelo de Poisson pero de parámetro µ desconocido.

Para resolver un problema de inferencia paramétrico se utilizan dos tipos de

procedimientos:

4.1.1. Estimación: Puntual cuando obtenemos valores aproximados del

parámetro desconocido y una medida de error asociado; por Intervalos

cuando obtenemos un rango de valores, que contiene el verdadero valor

del parámetro con una probabilidad o confiabilidad prefijada.

4.1.2. Test de Hipótesis: Cuando aceptamos o rechazamos una hipótesis

relacionada con uno o varios parámetros de una población desconocidos,

con un cierto nivel de error prefijado.

4.2. Métodos no paramétrico

Los métodos no paramétricos se refieren a menudo como distribución

libremente métodos pues no confían encendido asunciones que los datos están

dibujados del dado distribución de la probabilidad. Resuelven situaciones

relacionadas con el tipo de distribución de probabilidad asociada a la población

de estudio u otros objetivos no relacionados directamente con parámetros.

Lo deseable en estos casos será buscar la inferencia en contrastes que sean

válidos bajo un amplio rango de distribuciones de la población. Tales contrastes

se denominan no paramétricos.

Métodos de Inferencia

Parámetrico

Estimación Pruebas de Hipótesis

No Parámetrico

Pruebas No Parámetricas

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El término no paramétrico no se significa implicar que tales modelos carecen

totalmente parámetros, sino que el número y la naturaleza de los parámetros son

flexibles y no fijados por adelantado.

Ventajas y Desventajas

Las pruebas no paramétricas no necesitan suposiciones respecto a la

composición de los datos poblacionales. Las pruebas no paramétricas son de

uso común:

1. Cuando no se cumplen las suposiciones requeridas por otras

técnicas usadas, por lo general llamadas pruebas paramétricas.

2. Cuando es necesario usar un tamaño de muestra pequeño y no es

posible verificar que se cumplan ciertas suposiciones clave.

3. Cuando se necesita convertir datos cualitativos a información útil para

la toma de decisiones.

Existen muchos casos en los que se recogen datos medidos en una escala

nominal u ordinal. Muchas aplicaciones de negocios involucran opiniones o

sentimientos y esos datos se usan de manera cualitativa.

Ventajas

Las pruebas no paramétricas tienen varias ventajas sobre las pruebas

paramétricas:

1. Por lo general, son fáciles de usar y entender.

2. Eliminan la necesidad de suposiciones restrictivas de las pruebas

paramétricas.

3. Se pueden usar con muestras pequeñas.

4. Se pueden usar con datos cualitativos.

Desventajas

También las pruebas no paramétricas tienen desventajas:

1. A veces, ignoran, desperdician o pierden información.

2. No son tan eficientes como las paramétricas.

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Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores

5. Estimador

En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la

muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por

ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro

desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en

diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las

observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.

Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general,

escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes,

como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).

5.1. Propiedades de un estimador

El concepto de estimación de parámetros mediante la especificación de las

propiedades que deben cumplir los estimadores y el desarrollo de técnicas

apropiadas para implementar el proceso de estimación. Se utilizar· el punto

de vista práctico de la teoría del muestreo, que considera un parámetro como

una cantidad fija pero desconocida.

Para evaluar la calidad de un estadígrafo como un estimador este debe

cumplir las siguientes propiedades:

5.2. Insesgado

El término insesgado se refiere al hecho de que una media muestra es

igual a un estimador no sesgado de la media de una población, porque la

media de la distribución muestra de las medias muéstrales tomada de esa

misma población es igual a la media de la población. Se puede decir que un

estadígrafo es un estimador no sesgado, si en promedio tiende a asumir

valores por encima de los valores que se están estimando, tan frecuentes como

tienda a asumir valores que están por debajo del parámetro de la población que

se estima.

5.3. Eficiencia:

La eficiencia se refiere al tamaño del error estándar del estadígrafo de la

muestra. Si se comparan dos estadígrafos de una muestra del mismo tamaño y

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se desea decidir cuál de los dos es el estimador más eficiente, se escogerá

el estadígrafo que tenga el menor error estándar o desviación de la

distribución muestra. Supóngase que se escoge una muestra de un tamaño

dado y se decide cuando usar la media muestra o la mediana muestra para

estimar la media de la población. Si se calcula el error estándar de la media

muestra y se encuentra que es igual a 2.15 y luego se calcula el error

estándar de la mediana muestra y se encuentra que es de 2.6, se podrá

decir que la media muestra es un estimador más eficiente de la media de la

población porque su error estándar es menor o con menos variación, tendrá

una mayor oportunidad de producir un estimador más cercano al parámetro de

la población bajo estudio.

5.4. Consistencia:

Un estadígrafo es un estimador consistente de un parámetro de la población

si en la medida en que el tamaño de la muestra aumenta se está seguro de

que el valor del estadígrafo se acerca al valor del parámetro de la población.

Cuando un estimador es consistente, se vuelve más confiable tomando

muestras grandes. De esta manera, cuando usted se preocupa por

aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información acerca de

un parámetro de la población, debe primero encontrar si su estadígrafo es

un estimador consistente, si no es así, usted desperdiciará dinero y tiempo

al tomar muestras grandes.

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Ejercicios propuestos

En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el

departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el de

contabilidad y 100 en el de servicios al cliente. Con el objeto de realizar una

encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores. Qué

número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento

atendiendo a un criterio de proporcionalidad

R/ta: 30, 90, 40, 20

Suponga que se quiere estimar el número de días-hombre perdidos debido

a accidentes de trabajo en un mes particular. Además se sabe que la mayor

parte de dichos accidentes se presentan en los niveles operativo, técnico y

administrativo. ¿Cuál de los siguientes diseños de muestreo es el más

aconsejable?:

R/ta: Estratificado, identificando como estrato los niveles de trabajo

Supongamos que en la ciudad “T” hay 200 barrios. Si elegimos al azar dos

de estos barrios, de manera que la muestra esté compuesta por todos

los individuos de esos dos barrios. Se trata de de:

R/ta: Por conglomerados

Se ha proyectado realizar una encuesta sobre el consumo de leche en

las familias. El número de familias de la población es 6000 y el tamaño de

la muestra 840, con la siguiente clasificación de profesión u oficio:

Profesionales: 100 Comerciantes: 200

Operarios: 2000 Agricultores: 600

Servicios Generales:

1900 Empleados: 1200

Cuántas familias de agricultores deben estar representadas en la muestra.

R/ta: 84

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37

CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Introducción

Como se ha señalado anteriormente, el propósito del muestreo es averiguar las

características de la población en estudio. Se recuerda de nuevo que para

poder dar conclusiones de los parámetros se usan los estadísticos que son

mediciones obtenidas en la muestra, mientras que los parámetros son

características medibles propias de la población.

El escoger una muestra, es un proceso que inevitablemente puede arrojar

diferentes subconjuntos de la población, por ejemplo de la población de tutores,

se puede escoger como muestra los tutores de la ECBTI o escoger los de

ECEDU. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos

elegidos en la muestra seleccionada- también aleatoria- de tamaño “n” y, por lo

tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la

Distribución Muestral del estadístico.

Objetivo general

Que los estudiantes lleguen a formar, no sólo, una muestra si no un conjunto de

posibles muestras de una población, con las unidades de observación y sean

capaces de reconocer la distribución de ese conjunto de muestras.

Objetivos específicos

Comprender la importancia del teorema del límite central.

Establecer las diferencias entre un parámetro y un estadístico

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Lección No 6: Distribuciones Muestrales

En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las

muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite

calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al

parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el

error para un tamaño de muestra dado.

Como bien lo afirma Ximenez, C. (S, F.) “La estadística inferencial trata sobre las

inferencias con respecto a las poblaciones (sus parámetros µ y σ2) a partir de la

información contenida en las muestras (los estadísticos y S2).

Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se

establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en

relación ambas cosas es “la distribución muestral de un estadístico”.

Figura 5. Distribución de un estadístico

Algunos estadísticos pueden ser: La media, la proporción y la desviación.

Recuerde que todos son cálculos en las muestras.

A cada una de las muestras se les calcula el respectivo estadístico, es decir, se

tendrá tantos estadísticos como muestras se haya obtenido. Por ejemplo, si el

estadístico que se está estimando es la media, y si se obtuvo 8 muestras,

entonces, serán 8 medias muestrales las que tendrá.

Con todos los resultados del estadístico en todas las muestras, se forma la

distribución muestral del estadístico.

Distribución Muestral: Es la distribución de Probabilidad de un estadístico

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6. Diferentes distribuciones muestrales

Ya que a nivel muestral se pueden calcular diferentes estadísticos, como la

media, desviación y la proporción entre otros, se pueden encontrar sus

respectivas distribuciones muestrales, entre estas:

Distribución muestral de la medias

Distribución muestral de las proporciones

Distribución muestral de la diferencias de medias

Distribución muestral de la diferencias de proporciones

Nota: El muestreo se puede hacer sin o con reemplazamiento.

Ejemplo

En la figura a continuación se tiene que la variable X, es el número de párrafos

digitado por minuto, X: 1, 2, 3, 4.

Figura 5. Distribución de la población

Poblacionalmente se tiene:

Parámetros

E(X)= 2.5

Var (X)= 1.1180

E(x) es el valor esperado de la variable o promedio, y V(x) es la varianza.

( ) ∑

( ) ∑( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Se sugiere al lector comprobar los cálculos para la varianza con el comando

VAR.P en Excel.

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40

Ejemplo

Si se quiere escoger una muestra de tamaño 3, es decir compuesta por 3

personas y si además las muestras se toman con reposición es decir se puede

volver a incluir el individuo. La distribución muestral será:

Gráfico No.2. Histograma de medias muestrales

El 1,00 que se observa corresponde a la media de la muestra conformada por las

observaciones 1, 1, 1; es decir se tomo una muestra de tres personas pero al ser

con reposición, el primer elemento que se obtuvo fue 1, éste se devuelve la

población y tiene de nuevo la posibilidad de ser escogido, que es lo que vuelve a

suceder, del mismo modo en la tercera extracción. El valor 1,33 es la media de

una muestra que puede ser por ejemplo las observaciones 1, 1, 2. El total de

muestras es 24 conformadas por 3 personas, ya que se aplica el principio de las

permutaciones.

Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la

Proporción

Los estadísticos obtenidos en una muestra son variables aleatorias, por lo cual

deben tener una distribución de probabilidad, así que la media muestral tiene una

distribución.

Supongamos que se tiene una muestra de tamaño “n” observaciones tomada de

una población normal N (µ; σ2) cada observación X1= 1, 2, 3,…, n tendrá la

misma distribución que la población de donde fue tomada la muestra.

0

2

4

6

8

10

12

14

1,00 1,33 1,67 2,00 2,33 2,67 3,00 3,33 3,67 4,00

Distribución de frecuencias de medias muestrales

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7. Principios y conceptos en la medias muestrales

Teorema: (Población infinita)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea

la media de la muestra aleatoria de tamaño n

proveniente de una población infinita de tamaño N con media µ y varianza σ2.

Entonces:

( )

El valor esperado de la media muestral es la media poblacional

( )

La varianza del estimador es igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño

de la muestra.

Teorema: (Población Finita)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sea

la media de la muestra aleatoria de tamaño n

proveniente de una población finita de tamaño N con media µ y varianza σ2.

Entonces:

( )

( )

Comentario:

Se conoce como el factor de corrección para poblaciones finitas. Cuando N es

muy grande comparado con n, la diferencia se hace despreciable lo que origina

que para poblaciones infinitas dicho factor de corrección se hace uno.

7.1. Distribución Muestral de la Media

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia,

impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y

tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean

completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la

media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie

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42

su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos

los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en

el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones

se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones

asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un

estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro

poblacional desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a

otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente

distribución de frecuencias.

La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución

muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus

valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Figura 8. Distribución muestral de medias

Ejemplo Construcción de la distribución de las medias muestrales.

Un Colegio tiene siete profesores, la retribución por hora cátedra es la que se

muestra a continuación:

Tabla 4:

Tabla No. Salario profesores

Profesor Salario $ 1 2 3 4 5 6 7

7000 7000 8000 8000 7000 8000 9000

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43

Para determinar la distribución muestral de las medias, se seleccionaron todas

las muestras posibles de tamaño 2, sabiendo que son sin sustitución y que

no interesa el orden de selección en la población. Se calculan las medias de

cada muestra y se calcula la media de las medias muestrales.

Para saber cuántas muestras posibles se pueden tomar, se utiliza la combinatoria,

por los preceptos tomados: Sin repetición y no importa el orden

El valor de 21, es el número de muestras tamaño 2 que se pueden formar de

una población de 7 elementos. A continuación se indican las 21 muestras posibles

y el valor de la media para cada una de las muestras:

7 2 =7!

(7 2)! 2!=

7!

(5)! 2!=

5! × 6 × 7

5! 2!=

42

2!=

42

2= 21

Paso 1: Media de la población

𝜇𝑥 9

Paso 2: Varianza de dicha población.

𝜎𝑥

𝑁 (𝑥𝑖 𝜇)

𝑁

𝑖

𝜎𝑥

( ) (9 ) 9 9

𝜎𝑥

∑ 𝑥𝑖

𝑁 𝜇

La varianza poblacional está dada por:

Entonces:

Otra formulación es:

Recuerde que la desviación es la raiz cuadrada de la varianza, entonces la

desviavión en este caso es 𝜎𝑥 9 9 699

Paso 3: Distribución muestral de las medias

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Tabla 5:

Distribución salarios de profesores. Muestreo sin reemplazamiento y las medias

Muestra Prof. Salario Media Muestra Prof. Salario Media

1 1 y 2 7000-7000 7000 12 3 y 4 8000-8000 8000

2 1 y 3 7000-8000 7500 13 3 y 5 8000-7000 7500

3 1 y 4 7000-8000 7500 14 3 y 6 8000-8000 8000

4 1 y 5 7000-7000 7000 15 3 y 7 8000-9000 8500

5 1 y 6 7000-8000 7500 16 4 y 5 8000-7000 7500

6 1 y 7 7000-9000 8000 17 4 y 6 8000-8000 8000

7 2 y 3 7000-8000 7500 18 4 y 7 8000-9000 8500

8 2 y 4 7000-8000 7500 19 5 y 6 7000-8000 7500

9 2 y 5 7000-7000 7000 20 5 y 7 7000-9000 8000

10 2 y 6 7000-8000 7500 21 6 y 7 8000-9000 8500

11 2 y 7 7000-9000 8000

Suma Total 162.000

En el cuadro siguiente se indica la distribución de probabilidad para el

muestreo de medias, donde la sumatoria de todas las probabilidades es igual

a uno:

Tabla 6:

Distribución de probabilidad

Media muestral Número de medias Probabilidad

7000 3 0,1429

7500 9 0,4285

8000 6 0,2857

8500 3 0,1429

Suma 21 1,000

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La media poblacional es igual a la media de las medias muestrales

La media de la distribución muestral de medias, se determina sumando las

diferentes medias muestrales y dividiendo la suma entre el número de muestras.

La media de todas las medias muestrales en general se expresa:

Ecuación No.2

Primero se obtiene todas las muestras (todos los subconjuntos) y luego a cada

muestra le calcula la media, finalmente obtendrá, tantas medias como muestras

haya, y con esas medias calcula de nuevo un promedio; es decir, se calcula una

media de medias.

6

Vea el valor obtenido en el paso 1 (Media poblacional) y compárelo con el

resultado anterior ¡Son equivalentes!

Note que: es la media de las medias muestrales y es la media poblacional.

Por tanto para nuestro caso:

Paso 4: Media de la distribución muestral de medias

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46

Paso 5: Construcción de distribución de errores muestrales

�� 𝜇 𝑒

𝜇𝑒

𝜎𝑒

Error Muestral

Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la

media poblacional 𝜇, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún

error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de

tamaño 25 de una población con media 𝜇 ; si la media de la muestra es

�� , entonces a la diferencia observada �� 𝜇 se le denomina

el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos

cantidades: la media poblacional 𝜇 y el error muestral; si e denota el error

muestral, entonces:

Ecuación No.3

Al calcular la media y desviación estándar de los errores muestrales “e” (última

columna de la tabla 7) se tiene respectivamente:

Se deja como ejercicio al lector calcular 𝜇𝑒 y 𝜎𝑒

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Tabla 7:

Distribución de errores muestrales. Salario promedio de profesores

Muestra No.

�� Media de la muestra

𝜇�� Media de las medias muestrales Error muestral

e

1 7000 7714,3 -714,3 2 7500 7714,3 -214,3 3 7500 7714,3 -214,3 4 7000 7714,3 -714,3 5 7500 7714,3 -214,3 6 8000 7714,3 285,7 7 7500 7714,3 -214,3 8 7500 7714,3 -214,3 9 7000 7714,3 -714,3

10 7500 7714,3 -214,3 11 8000 7714,3 285,7 12 8000 7714,3 285,7 13 7500 7714,3 -214,3 14 8000 7714,3 285,7 15 8500 7714,3 785,7 16 7500 7714,3 -214,3 17 8000 7714,3 285,7 18 8500 7714,3 785,7 19 7500 7714,3 -214,3 20 8000 7714,3 285,7 21 8500 7714,3 785,7

𝝈𝟐𝒙 : 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 �� 𝒙 𝒊 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑖 𝝁𝒙 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝒏 ∶ 𝑁 𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝜎��

𝜎��

. . .

𝜎�� 9. . 9. .

𝝈𝟐𝒙 ∑(𝒙 𝒊 𝝁𝒙 )

𝟐

𝒏 Y otra forma es: 𝜎��

∑𝑥𝑖

𝑁 𝜇

��

Dónde:

𝜎�� . 6 Varianza

𝜎�� Desviación

Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales

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48

Muestreo con reemplazo

Si de una población se eligen muestras de tamaño n con

reemplazo (o la población es No finita), entonces el error estándar

de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de

los errores muestrales.

En general se tiene:

Ecuación No.4

Muestreo sin reemplazo

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin

reemplazo se puede usar la siguiente fórmula para encontrar :

Ecuación No.5

Error estándar del estadístico

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la media denotado por 𝜎��, es 451,75.

Aunque, se puede notar que en este caso la desviación de los errores

muestrales y el error estándar, son iguales.

𝜎𝑒 𝜎��,

𝑁 𝑛

𝑁 : Es llamado factor de corrección para poblaciones finitas, o en donde

se muestrea sin reemplazo.

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Más adelante se verá que, estas dos concepciones hacen parte de los principios

del teorema del límite central. Para lo cual se desarrollan dos ejemplos, uno de

muestreo con reemplazamiento y otro sin reemplazamiento.

El siguiente es un diagrama de flujo que le permite identificar en que caso debe

usar o no el factor de corrección.

Gráfico No.4. Diagrama de flujo para error estándar de la media

Teorema central del límite.

En el caso de una población con media y varianza 2 , la distribución muestral

de medias de todas las muestras posibles de tamaño n a partir de la población,

tendrá una distribución aproximadamente normal (siendo la media de la

distribución muestral igual a y la varianza igual a n/2 ) considerando que el

tamaño de la muestra es bastante grande.

El teorema central del límite es uno de los teoremas más importantes dentro de

¿Es la población

infinita?

COMIENZO

¿Se muestrea

con sustitución?

¿Es N≥ 20n?

𝜎�� 𝜎

𝑛√𝑁 𝑛

𝑁

𝜎�� 𝜎

𝑛

si

si

si

No

No

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las ciencias estadísticas, ya que su funcionalidad es muy grande.

Hay que destacar tres aspectos importantes del teorema central de límite.

Primer principio:

Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, la distribución muestral

de las medias será más o menos normal. Esto se cumple ya sea que la población

esté o no distribuida normalmente. Esto es, el teorema se verifica, ya sea que la

población esté distribuida en forma normal, o bien sea sesgada o uniforme.

Segundo principio:

Como se mostró con anterioridad, la media de la población, , y la media de todas

las medias muestrales posibles, x , son iguales. Si la población es grande y se

selecciona un número grande de muestras de la población, la media de las medias

muestrales se aproximará a la media poblacional.

Tercer principio:

La varianza de la distribución de medias muestrales se determina de n/2 .

No existe acuerdo general sobre lo que constituye un tamaño de muestra

“suficientemente grande”. Algunos estadísticos consideran que es 30; otros

piensan que un número pequeño como 12 es adecuado. El ejemplo sobre los

salarios por hora de todos los profesores del colegio funcionó bastante bien con

una muestra de 2. Sin embargo, a menos que la población sea aproximadamente

normal, los tamaños de muestra así de pequeños, por lo general no dan como

resultado una distribución muestral que se distribuya normalmente. A medida que

el tamaño de la muestra se vuelve cada vez más grande, la distribución de la

media muestral se aproxima más a la distribución normal con forma de campana.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE:

Sea X1, X2,…, Xn una variable aleatoria independiente e

idénticamente distribuida de una población infinita con media µ y

varianza σ2. Para σ2< ∞, Entonces: Presenta una

distribución Normal estándar.

O sea:

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Ejemplo: Muestreo sin Reemplazamiento

Suponga que se tiene una población conformada por 5 empleados de una empresa (N = 5), y la variable de interés es el número de años de experiencia

laboral de cada empleado. Los datos de la población son: 5,4,3,2,1iX

35

543211

1

N

i

ixN

Promedio de años de experiencia por empleado.

999.1)35(...)32()31(5

1)(

1 222

1

22

N

i

ixN

Ahora extraemos la raíz cuadrada a la varianza y obtenemos la desviación

estándar. 414.1

Seleccione ahora todas las muestras posibles de tamaño dos, sin

reemplazamiento (poblaciones finitas):

Recordar que cuando el muestreo es sin reemplazamiento y no interesa el orden,

entonces tenemos una combinatoria.

!!

!

xnnN

NC N

N

Reemplazando:

102!3

!345

!2!3

!5

!2!25

!55

2

x

xx

xC

Se tiene 10 muestras posibles de tamaño dos. Las posibles muestras se indican a

continuación:

Tabla 8:

Distribución de las medias muestrales

Muestra Media Muestral X Muestra Media Muestral X 1 - 2 1 – 3 1 – 4 1 – 5 2 – 3

1.5 2.0 2.5 3.0 2.5

2 – 4 2 – 5 3– 4 3– 5 4 - 5

3.0 3.5 3.5 4.0 4.5

Paso 1: Media de la población

Paso 2: Varianza de dicha población.

Paso 3: Distribución muestral de las medias

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310

5.40.45.35.30.35.20.35.20.25.1

X

Con la información anterior se logra demostrar el primer principio del teorema central del límite, que consiste en que el promedio de la población es igual al

promedio de la distribución muestral de medias: 3X

Observe que dicho principio se ha cumplido, en consideración a que el promedio

de años de experiencia para la población es de tres y el promedio de la

distribución muestral de medias es igual también a tres.

Como siempre primero calculamos la varianza y luego la desviación estándar.

7499.0

10

0.35.430.235.1222

2

2

n

XX

X

Ahora extrayendo raíz cuadrado a la varianza, obtenemos la desviación estándar.

8660.07499.0 X

Observemos que la desviación estándar de la población (1.4142) es diferente a la

desviación estándar de la distribución muestral de medias (0.8660), y una forma

de corregir esta diferencia es mediante la siguiente igualdad:

1

N

nN

nX

Ecuación No.6

Dónde:

X Desviación estándar de la distribución muestral de medias.

Desviación estándar de la población.

n Tamaño de la muestra.

N Tamaño de la población.

Paso 4: Media de la distribución muestral de medias

Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales

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1

N

nN Factor de corrección para poblaciones finitas.

Reemplazando los valores correspondientes se tiene:

8660,015

25

2

4142,1

x

El segundo principio del teorema central del límite para poblaciones finitas se

expresa: La desviación estándar de la distribución muestral de medias es igual al

factor de corrección poblacional multiplicada por la relación entre la desviación

estándar poblacional y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Dicho principio

queda demostrado con la relación anterior.

Ejemplo: Muestreo con Reemplazamiento

Ahora, cuando el muestreo se realiza para poblaciones finitas, y con reemplazamiento, el

número de muestras posibles está dada por:

nN Para N = Tamaño de la población y n = Tamaño de la muestra

El número de muestras de tamaño dos es: 2552 nN

Tabla 9:

Distribución de las medias muestrales

No. muestra Muestra Media muestral No. muestra Muestra Media muestral

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 3-1 3-2 3-3

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 2.0 2.5 3.0

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5

3.5 4.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

325

0.55.40.45.20.25.10.1

X

Paso 3: Distribución muestral de las medias

Paso 4: Media de la distribución muestral de medias

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El primer principio se mantiene, en el sentido, que la media poblacional es igual a

la media de la distribución muestral de medias.

0.1

25

0.30.50.35.435.1312222

2

n

XX

X

Observe que la desviación estándar de la población (1.4142) sigue siendo diferente a la desviación estándar de la distribución muestral de medias (1.0) La forma de corregir esta diferencia para poblaciones no finitas es mediante la siguiente igualdad:

nX

Corrección para poblaciones no finitas

Reemplazando en el caso que nos ocupa: 12

41421356.1x

¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las medias?

Recordemos que se puede calcular la probabilidad de algún

evento relacionado con la variable aleatoria que se distribuye

normal, mediante la siguiente fórmula:

(lo que se conoce como estandarización)

Para transformar una variable normal general en una normal estándar (este

proceso se llama tipificar) se debe:

X ~ N ( , )

~ N(0,1)

Ejemplo

a) Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486

b) Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115

c) Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574

La décima del valor buscado (por ejemplo en 0.67, es 0.6) le indica el valor a

buscar en la primera columna; luego use la centésima para ubicarse en la primera

fila (por el ejemplo en 0.67, es 7); finalmente la intersección de esas dos hileras es

Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales

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la probabilidad buscada.

Gráfico No 5. Ejemplo de uso de la tabla normal

Veamos ahora, como podemos utilizar la tabla de una distribución normal:

Así mismo, las medias muestrales se distribuyen como una normal, por tanto, se

puede calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la

media de la muestral, de la siguiente manera:

Poblaciones infinitas (o no se conoce):

Ecuación No.7

Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo:

Ecuación No.8

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias

Poblaciones infinitas (o no se conoce)

La altura media de los alumnos de un plantel de secundaria es de 1,50 mts. Y su desviación típica es de 0,25 mts. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1,60 mts.

P( X > 1,60) = ?

Se estandariza la variable (aplicar ecuación 3):

40,225,0

60,0

6

25,0

10,0

36

25,0

50,160,1

Z

Clic para ver Video:

Uso de la tabla normal

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Ahora la pregunta queda convertida en: P(Z> 2,40)

O su equivalente: 1- P(Z< 2,40) =?

Si se observa en la tabla de la normal, P(Z< 2,40) = 0,9918,

Entonces

1- P(Z< 2,40) = 1 – 0,9918 = 0,0082 = 0,8%

Entonces al tomar una muestra la probabilidad de que la media muestral de la

estatura sea superior a 1,60 es 0,8%, es decir, menos del 1%.

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias

Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación

estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de

16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Se estandariza la media muestral (se aplica la ecuación 4):

6

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es equivalente:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16

focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

7.1.1. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas:

Las poblaciones finitas, tiene la característica de que N es conocido, al hacer la

distribución muestral de las medias y muestreo sin reemplazamiento, se obtiene

una gráfica de la distribución que presenta una forma aproximadamente

acampanada, lo cual se puede observar en la siguiente gráfica.

Figura 6. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas

7.1.2. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones No Finitas:

La gráfica de la distribución muestral de medias para poblaciones no finitas y

muestreo con reemplazamiento tiene una distribución normal, tal como se puede

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observar a continuación:

Figura 7. Distribución muestral de medias: Poblaciones No Finitas:

Entonces:

Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción

8. Distribución muestral de proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la

muestra, sino que deseamos investigar la proporción de artículos defectuosos o

la proporción de personas con teléfono, etc en la muestra.

La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a

estas situaciones.

Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de

medias (ejemplo página 44 del presente módulo), a excepción de que se calcula

la proporción en la población y no la media (paso 1) ese cálculo corresponde a

P = A /N, en donde “A” es el total de elementos con la característica en la

Población y “N” el tamaño de la población. Así mismo, al extraer las muestras

de la población se calcula el estadístico proporción (p= a / n en donde “a” es el

número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra, en

lugar de la media de cada muestra que era lo que se calcula antes. (Curso de

Estadística 1. Página web, Instituto Tecnológico De Chihuahua). Ir a la página.

No importa que distribución tenga la población, pero la distribución muestral de

medias a partir de esa población, tiene una distribución normal

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59

Ahora bien, se debe tener en cuenta que cuando se hace análisis de una

característica cualitativa o atributo, se emplea la proporción de éxitos y no el

número de éxitos como en la distribución binomial.

Una distribución es una distribución total de éxitos en las muestras, mientras que

una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los

éxitos.

Figura 9. Distribución muestral de proporciones

Imagen extraída de: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image802.gif

Ejemplo

Construcción de la distribución de las proporciones muestrales.

Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos

defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo.

Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas

defectuosas.

Paso 1: Proporción Poblacional

𝑃 𝐴

𝑁 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas.

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Paso 2: Distribución muestral de proporciones

El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12

elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente

manera:

Artículos Buenos

Artículos Malos Proporción de artículos

defectuoso

Número de maneras en las que se puede obtener la

muestra 1 4 4/5=0.8 8C1*4C4=8

2 3 3/5=0.6 8C2*4C3=112

3 2 2/5=0.4 8C3*4C2=336

4 1 1/5=0.2 8C4*4C1=280

5 0 0/5=0 8C5*4C0=56 Total 792

Paso 3: Media de la distribución muestral de proporciones

𝜇𝑝 ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 6)

9

𝜇𝑝

𝜇𝑝 𝑃

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría

que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y

dividirla entre el número total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la Proporción de la población.

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Error estándar del estadístico

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la proporción denotado por , es 0,1681

La varianza de la distribución binomial es , por lo que la varianza de la

distribución muestral de proporciones es

.

Ecuación No.9

Si se sustituyen los valores en esta fórmula tenemos que:

√( ⁄ )( ⁄ )

Este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de

corrección para una población finita y un muestreo sin reemplazo:

Ecuación No.10

Lo que da como resultado: ( ⁄ )( ⁄ )

6

Paso 4: Desviación estándar de la distribución muestral de proporciones

𝜎𝑝 (

)

( 6 )

( )

6 ( )

( )

6

9

𝜎𝑝 6

También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, directamente con los datos:

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¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las medias?

Recordemos que se puede calcular la probabilidad. La fórmula

que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una

distribución muestral de proporciones está basada en la

aproximación de la distribución normal a la binomial. Esta

fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del

comportamiento de la proporción en la muestra.

Ecuación No.11

A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección

si se cumple con

las condiciones necesarias.

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de proporciones muestrales

Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de comerciar

con la China Continental; ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta a 100

sindicatos muestre que más del 52% tengan la misma posición?

P = 0,46 p = 0,52 n = 100 P(p>0,52) = ?

21,1

100

2484,0

06,0

100

54,046,0

46,052,0

n

PQ

PpZ

P ( z > 1,21) = 0,1131 P (p > 0,52) = 11,31%

Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y

de la Proporciones

9. Dos poblaciones.

En esta sección es importante destacar que ya no se trabaja con una sola

población sino con dos, de las cuales se extraen muestras respectivamente para

ser analizadas y que permitan inferir y comparar las dos poblaciones.

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63

9.1. Distribución Muestral de Diferencia de Medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media y

desviación estándar , y la segunda con media y desviación estándar . Más

aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una

muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula

la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La

colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las

diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico

Figura 10. Distribución muestral de diferencia de medias

Imagen tomada de:

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image811.gif

La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las

poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal

sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había

demostrado que Y

Así que:

Ecuación No.12

Ecuación No.13

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La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de

diferencia de medias es:

( ) ( )

Ecuación No.14

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de medias

muestrales

El rendimiento de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de

gasolina (k.p.g), con una desviación estándar de 6 k.p.g. las cifras comparables

para los autos B son de 25 y 5,5 k.p.g. se supone que el rendimiento de cada una

de ambas marcas está normalmente distribuido. ¿cuál es la probabilidad de que

en un concurso, el rendimiento medio para 10 autos de la marca A sea mayor que

el de 9 autos de la marca B?

x = 20 y = 25 x = 6 y = 5,5 1n = 10 2n = 9

P( yx > 0) = ?

90,1

96,6

5

36,36,3

50

9

25,30

10

36

25200

Z

P( yx > 0) = 0,5000 - 0,4713 = 0,0287 = 2,87%

9.2. Distribución muestral de diferencias de dos proporciones

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben

compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos

ejemplos:

Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban

matemáticas que las de los que aprueban inglés?

Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que

presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que

también presentan una reacción de ese tipo?

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65

Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y

mujeres en posiciones gerenciales.

Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos

que genera la máquina A a los que genera la máquina B?

Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos

proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es

aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2

5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente

normales, así que su diferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral

aproximadamente normal.

Figura 11. Distribución muestral de diferencia de proporciones

Imagen tomada de:

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image816.gif

En el caso de dos poblaciones independientes de tamaño 1N y 2N , distribuidas

binomialmente, con parámetros, medias poblacionales 1P y 2P (también se

pueden representar las medias por 1P y

2P ) y desviaciones proporcionales 1P y

2P , siendo: 111QPP y 222

QPP .

El error estándar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estará

dada por:

2

22

1

11

21 n

QP

n

QPPP Cuando son valores poblacionales

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66

Cuando 1n y 2n corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a

30:

2

22

1

11

21 n

qp

n

qps PP

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza por:

212121PPPPPP

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma en que fue presentada para diferencias entre dos medias muéstrales:

2

22

1

11

2121

2

22

1

11

21 21

n

qp

n

qp

PPpp

n

QP

n

QP

ppZ

PP

cuando 1n y 2n > 30

Ejemplo

Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de proporciones

muestrales

Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo, la primera

produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra,

produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200

unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿Cuál es la probabilidad

que difiera A de B en 8% o más?

P( 08,021 PP ) = ? 1n = 200 2n = 100 1P = 0,14 2P = 0,20

21 PP = 0,14 – 0,20 = -0.06

21 pp = 8% = 0,08

98,2

047,0

14,0

100

8,02,0

200

86,0014

06,008,0

Z

P( 08,021 PP ) = 0,0014 = 0,14%

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67

Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la

proporción y el total de la Población

10. Tamaño de muestra

En el apartado anterior se analizó la forma de estimar los parámetros de la

población: P 2 Promedio, Varianza, total y proporción poblacional

respectivamente. Pero siempre que se realiza una investigación se debe definir el

tamaño de la muestra. Tomar observaciones para una muestra cuesta dinero, por

lo cual se debe tomar la muestra adecuada, que de la información necesaria y a

costos razonables. Una muestra mal tomada arroja información inadecuada, lo

que hace perder tiempo y dinero.

10.1. Tamaño de la Muestra para estimar µ:

Determinar el número de observaciones que harán parte de la muestra, para

estimar µ, con un límite de estimación B definido, se obtiene a partir de la

ecuación del error de estimación.

10.1.1. Para poblaciones Finitas y Varianza Poblacional Conocida:

1

2

)2/1(N

nN

nZB

Despejando n, se obtiene: 222

22

)2/1(

)1(

ZBN

NZn

10.1.2. Para Poblaciones Infinitas y Varianza Poblacional Conocida:

Cuando N es muy grande, se asume una población infinita, en estos casos N –

1 se aproxima a N, entonces N – n ~ N, así se puede obtener el tamaño de una

muestra para poblaciones infinitas.

nZB

2

)2/1(

Entonces: 2

22

)2/1(

B

Zn

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68

Ejemplo

En un estudio sobre el tamaño de las manos para el diseño de guantes, se

estableció que la longitud de estas sigue una distribución normal. Por datos

conocidos se sabe que la desviación típica es de 1,5 cm. ¿Cuál será el tamaño de

la muestra para estimar el promedio de la longitud de los guantes, si se asume un

error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5%?

Z(1-α/2)=Z0,975 = 1,96

B = 0,5 y σ = 1,5

Según el problema la población es infinita, entonces:

57,34)5,0(

)5,1()96,1(2

22

2

2

)2/1(

B

Zn

En tamaño requerido para estimar la media de la longitud de los guantes, con un

error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5% debe ser de n =

35 observaciones.

Ejemplo

Un Banco desea identificar el promedio de cuentas por cobrar, estudios previos

han determinado que la variación de las cuentas está en $1.000. El Banco cuenta

con 1.400 clientes activos. Si el límite de error de estimación es de $50 ¿Cuál

debe ser el tamaño de la muestra a un nivel de significancia del 5%?

Se trata de una población finita. Por teoría la amplitud de variación es 4 veces la

desviación típica: A = 4σ entonces: σ = A/4 = 1.000/4 = 250

Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96

222

22

222

22

)2/1(

)250()96,1()50)(11400(

400.1)250()96,1(

)1(

ZBN

NZn

93,89100.240500.497'3

000.140'336

)250()96,1()50)(11400(

400.1)250()96,1(222

22

n

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69

En las condiciones dadas, la muestra debe ser de n = 90 cuentas.

10.2. Tamaño de la Muestra para estimar P:

En muchos estudios el Investigador está interesado en estimar la proporción de

población que tienen la característica, como la proporción de dietas preparadas

del total de dietas planeadas, la proporción de aves con un peso definido respecto

al total de aves pesadas, el porcentaje de personas que observan un programa de

televisión respecto al total de la población potencial que puede ver la televisión.

Dichos fenómenos son de tipo binomial.

Se sabe que:

n

i

iyn

p1

1 Para yi = 1.

El número de observaciones necesarias para estimar la proporción poblacional,

con un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia

definido, está dado a partir de la ecuación del error de estimación.

N

nN

n

qpZB

1

*)2/1(

Despejando n se obtiene:

qpZNB

NBNqpZn

*

*2

)2/1(

2

22

)2/1(

NOTA: Cuando no se conoce o no se puede determinar el valor de p, entonces se

asume como un caso dudoso y en estos casos p = 0,5

Ejemplo

En una ciudad se desea realizar una encuesta para determinar la proporción de

habitantes que están de acuerdo con el consumo de cigarrillo. La ciudad tiene

7.500 habitantes y por estudios previos se ha determinado que de cada 100

habitantes, 15 están de acuerdo. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para

estimar la proporción poblacional P; con un límite de error de estimación de 0,05 y

un nivel de significancia del 5%.

Por los datos:

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70

15,0100

15p

Luego 85,015,01 q

Aplicando la ecuación correspondiente:

)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(

)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(

*

*22

22

2

)2/1(

2

22

)2/1(

qpZNB

NBNqpZn

4898,075,18

75,1853,3673

)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(

)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(22

22

n

908,1912398,19

28,3692

4898,075,18

75,1853,3673

n

Por consiguiente se debe tomar una muestra de 192 habitantes para estimar la

proporción poblacional, con un límite de error de 0,05 y un nivel de confianza de

95%.

Ejemplo

En una compañía de 3.500 empleados, se desea saber la proporción de

empleados que están a favor de la organización de un Sindicato. El investigador

tomo una muestra de 400 empleados fruto del cálculo respectivo; además, asume

un nivel del 5%. Por ser una compañía relativamente nueva, NO hay datos al

respecto. ¿De qué valor fue tomado el error de estimación del muestreo?

Inicialmente por no conocer proporciones anteriores, entonces se asume un

fenómeno dudoso, así p = 0,5 luego q = 0,5. Conocemos el tamaño de la

población y de la muestra. Debemos despejar B de la ecuación del tamaño

muestral.

qpZNB

NBNqpZn

*

*2

)2/1(

2

22

)2/1(

Despejando B:

500.3500.3*400

000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1(** 222

)2/1(

2

)2/1(2

NnN

nqpZNqpZB

002132,0500.396'1

24,977.2

500.3500.3*400

000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1( 222

B

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71

04617,0002132,0 B

El error de estimación tomado fue casi de 0,04617, es decir casi 0,05

Ejemplos

1. El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el promedio de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un gran almacén por departamentos desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los clientes que usan la cuenta de crédito, con un error de $1.500, y una probabilidad aproximada de 0,95. ¿Cuántas cuentas deberá seleccionar, si sabe que la desviación estándar es de $30.000, la cual fue obtenida de los balances mensuales de la cuenta de crédito?

n = 2

22

E

Z =

2

22

500.1

000.302 = 1.600 cuentas se deben seleccionar

2. un auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, para que la verdadera proporción de error no exceda del 2%. Si la población es muy grande, ¿Qué tamaño tendrá la muestra que va a tomarse, si el auditor estima que la proporción de error es del 5%?

n = 2

2

E

PQZ =

2

2

02,0

95,005,02 = 475 cuentas

Calculo de n en poblaciones finitas

La fórmula más utilizada para el tamaño óptimo en el muestreo aleatorio simple, cuando la población es finita, se obtiene:

n =

N

n

n

o

o

1

donde: 2

22

E

Zno

En variables

n =

N

n

n

o

o

1

donde: 2

2

E

PQZno En proporciones

10.3. Tamaño de la Muestra para estimar Г:

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72

El número de observaciones necesarias para estimar Г, el total poblacional, con

un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia definido,

está dado a partir de la ecuación del error de estimación, partiendo que se conoce

la varianza poblacional.

1

22

)2/1(N

nN

nNZB

Despejando n se obtiene:

222

)2/1(

2

232

)2/1(

)1( NZBN

NZn

Ejemplo

Una compañía que hace estudios a nivel social, desea estimar el total de ingresos

de una población de 3.000 habitantes que tiene ingresos. Por estudios previos se

sabe que la varianza poblacional para los ingresos es de $40.000 ¿Cuántas

personas se deben tomar como muestra, si se asume un límite de error de

estimación de $100.000 y un nivel de confianza del 95%?

Los datos:

N = 3.000

σ2 = 40.000

B = 100.000

Entonces:

222

)2/1(

2

232

)2/1(

)1( NZBN

NZn

Para Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96 Reemplazando en la ecuación:

000.40)000.3()96,1()000.100)(1000.40(

000.40)000.3()96,1(222

32

n

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73

281,71001372976,4

109225,2

10382976,1109999,3

10148928,414

15

1214

15

X

X

XX

Xn

Por consiguiente para estimar el promedio de ingresos de la población objeto de

estudio, con un nivel de confianza del 95% y el error de estimación de $40.000, se

debe tomar una muestra aleatoria de 8 personas.

10.4. Tamaño de muestra para la diferencia de dos medias

Para calcular los tamaños de muestras en estos casos, se presentan dos

situaciones:

Tamaños de muestras iguales

Tamaños de muestras diferentes Para el primer caso no se tiene ningún problema porque al ser n1 sería igual n2

Se calcula una sola muestra de tamaño “n”

(

)

Para el segundo caso se calcula una “n” en función de la otra así.

(

)

10.5. Tamaño de muestra para la diferencia de dos proporciones

En este caso se calculan los tamaños con los mismos criterios anteriores, es decir

para muestras de igual tamaño y tamaños desiguales, así:

Tamaños Iguales:

( )

Tamaños Desiguales:

( )

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74

CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA

Introducción

El problema que presenta la estimación puntual de un parámetro reside en que

no garantiza ni mide la precisión de la estimación. Sólo la bondad de ajuste y el

tamaño de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la

estimación obtenida. Por esta razón es necesario dar, junto a la estimación, una

medida del grado de confianza que se merece, la cual se consigue mediante un

intervalo de confianza que proporcione unos límites dentro de los cuales se

confía esté el valor desconocido del parámetro. Esta confianza de inclusión se

mide mediante un porcentaje.

Con frecuencia se encuentra información como la siguiente:

El peso de un objeto es 104 más o menos 2 gramos.

El diámetro de un tornillo es de 8 más o menos 0.05 milímetros.

El contenido de proteínas de la carne de pollo es de 20.2 más o menos 1%.

En estos casos y otros similares se quiere indicar que la media verdadera se

encuentra en algún lugar entre el intervalo.

Lo anterior indica que existe la probabilidad de error en la medición y además no

se puede estar absolutamente seguro que el verdadero valor se encuentre

dentro del intervalo obtenido. Nótese que si el intervalo se hace más amplio

aumenta la posibilidad que se incluya el verdadero valor de la media.

Objetivo general

Mostrar los diferentes métodos para calcular los intervalos de confianza, a partir

de muestras grandes y pequeñas, para estimar los parámetros poblacionales de

una media y proporción, así como para la diferencia de medias y proporciones.

Objetivos específicos

Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a

partir de muestras pequeñas, para una media y una proporción.

Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a

partir de muestras grandes, para una media y una proporción.

Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias y dos

proporciones.

Exponer el uso de cálculo de intervalos de confianza utilizando paquetes de

Excel y SSPS.

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75

Lección No 11: Nociones Fundamentales.

En estadística muchos problemas exigen construir conjuntos (intervalos) que

contengan el verdadero valor del parámetro en estudio con una probabilidad

dada generalmente alta. Si por ejemplo X representa los grados de grasa de

una margarina se puede estar interesado en encontrar los límites bajos y altos

aceptables para este tipo de producto; pero no se puede asegurar con

probabilidad de uno que el verdadero valor se encuentre entre estos dos límites,

lo máximo que se puede lograr es elegir un número uno menos alfa ( 1 ) que

esté muy próximo a uno (recuerde que alfa es el nivel de significación o error

tipo uno) tal que la probabilidad que el verdadero valor se encuentre entre estos

dos límites inferior y superior sea mayor o igual a uno menos alfa.

En la práctica se elige un alfa fijo generalmente pequeño 0.01 o 0.05. La

probabilidad que la afirmación del intervalo incluya al parámetro sea cierta es

por lo menos (1 ) ; por lo tanto la probabilidad que la afirmación sea falsa es

por lo más un alfa. Un intervalo de confianza dado que incluya o no el verdadero

valor del parámetro, esto nunca se conoce con exactitud al menos que se

conozca el parámetro, pero se sabe que se tendrá éxito en encontrar el valor

verdadero del parámetro dentro de este tipo de intervalos por lo menos en el

(1 ) 100% de las veces.

Los dos tipos de problemas que resuelven las técnicas estadísticas son:

estimación y contraste de hipótesis. En ambos casos se trata de generalizar la

información obtenida en una muestra a una población. Estas técnicas exigen

que la muestra sea aleatoria. En la práctica rara vez se dispone de muestras

aleatorias, por la tanto la situación habitual es la que se esquematiza en la figura

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76

Entre la muestra con la que se trabaja y la población de interés, o población

diana, aparece la denominada población de muestreo: población (la mayor parte

de las veces no definida con precisión) de la cual nuestra muestra es una

muestra aleatoria. En consecuencia la generalización está amenazada por dos

posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las técnicas estadísticas

permiten cuantificar y críticamente dependiente del tamaño muestral, pero

también de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemático que

tiene que ver con la diferencia entre la población de muestreo y la población

diana y que sólo puede ser controlado por el diseño del estudio.

11. Estimación.

El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que

mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las

conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los

estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras

menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros

sus valores.

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de

conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para

hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de

las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en

los valores calculados de varias cantidades muestrales. Por ejemplo,

representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la

ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de

semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para

determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la

ESTIMACION

Puntual:

Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador

Por intervalos:

Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro, de la forma (a, b)

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77

resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del

valor de . De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a

la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo

acerca de .

11.1. Estimación puntual

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente

tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra

griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar

sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más

razonable de .

Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede

considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al

seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la

muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .

El proceso de estimación conlleva a obtener un estimador que tenga ciertas

condiciones deseables para hacer inferencia sobre el modelo de probabilidad que

ha generado los datos. Entre los métodos de estimación de la estadística

paramétrica, se tiene: Momentos, mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador

Media poblacional

Proporción Total

poblacional De

proporciones Diferencias de

medias

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78

11.2. Intervalos de confianza

Es un intervalo de extremos aleatorios con un nivel de confianza determinado, que

contiene el verdadero valor del parámetro

Clic acá para ver

Recurso: Mapas conceptuales intervalos de confianza

VIDEOS

INTERVALOS DE CONFIANZA

UNA POBLACIÓN

MUESTRAS GRANDES n >=30

Proporción

Media

MUESTRAS PEQUEÑAS n<30

Media

DOS POBLACIONES

MUESTRAS GRANDES n>=30

Diferencia de medias

Diferencia de proporciones

MUESTRAS PEQUEÑAS n<30

Diferencia de medias

VARIANZA

Intervalo de

confianza para la

media

Intervalo de confianza

para la diferencia de

medias

Intervalo de

confianza para la

proporción

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79

Tabla 4. Valores de Z y Z más frecuentemente utilizados

Za

Test unilateral Test bilateral

0.200

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.842

1.036

1.282

1.645

1.960

2.326

1.282

1.440

1.645

1.960

2.240

2.576

Potencia

(1-) Zb

0.01

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.99

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

2.326

1.645

1.282

1.036

0.842

0.674

0.524

0.385

0.253

0.126

0.000

Estimación por intervalos de Confianza.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es

un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el

verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el

intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota . La

probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza .

Generalmente se construyen intervalos con confianza 9 (o significancia

. Menos frecuentes son los intervalos con o .

Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de

medias con muestras pequeñas 30n

La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una

curva normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce 2σ en los

problemas de la vida real. Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no

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80

puede utilizarse para obtener intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar

procedimientos en los cuales se utilice 2S en lugar de 2σ , de esta manera en lugar

del estadígrafo z utilizaremos el para deducir inferencias acerca de la media. Si

la media de la población es μ la distribución muestral de 1-nt es una distribución t,

teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,… xn son elegidas

aleatoriamente y extraídas de una población normal.

Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución

muestral es la distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la

distribución normal, reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la

curva a diferencia de la distribución normal.

La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal

distribución t se va pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30

no existen diferencias entre la distribución normal y la distribución t. Entonces,

cuando n < 30 existe una curva diferente para cada valor de "n".

Grados de libertad. Números de elementos en una muestra que pueden variar

después de haber seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen

dos elementos en una muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para

especificar sólo uno de los dos valores, ya que el otro queda determinado

automáticamente; queda claro que el total de los dos valores es dos veces la

media.

Ejemplo

Si la media es de $ 6 pesos es posible elegir sólo un valor. Si se elige $ 4 pesos el

otro valor es $ 8, ya que $ 4 + $ 8 = 2 ($ 6). Así que hay un grado de libertad en

este ejemplo. Se podría haber determinado mediante n - 1 = 2 - 1 = 1 grados de

libertad. Si n=4, entonces hay 3 grados de libertad, lo que se obtiene mediante n -

1 = 4 – 1 = 3.

En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de

grados de libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos

uno, es decir: g.l =

1nt

1nt

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81

Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media μ,

muestras pequeñas.

1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar.

2. Obtener los grados de libertad g • 1 = n - 1

3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con

grados de libertad y con ayuda de la tabla del anexo.

4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de

libertad, y las siguientes columnas corresponden a los niveles de

significancía que son 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y

0.001

5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de

significancía del 10% y 18 grados de libertad hay que buscar la

intersección de la columna del 10% y la fila donde aparezca 18 (grados)

g • 1, obteniendo un valor de t = 1.734

6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral

7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población,

sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:

n

StX

con n – 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de

confianza.

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82

Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras

Una muestra de 10 cajas de atún dio un peso neto medio de 184 gramos y una

desviación estándar de 3.0 gramos. Encontrar los límites de confianza con un 95%

para el verdadero peso promedio de todas las latas de atún.

La siguiente grafica nos ayuda a comprender la presente situación:

En la tabla de la distribución t con 9 grados de libertad y un nivel de significancia

del 5% para dos colas, se registra un valor de 2.69 como valor crítico. (Recuerde

que es a dos colas.

El intervalo de confianza para la media de peso de todas las cajas de atún está

dado por:

(

) 69 (

) ( 6 )

Se interpreta que las cajas de atún tienen un promedio de peso entre 181.44 y

186.55 gramos con un nivel de confianza del 95% y expresado matemáticamente

es:

( 6 )

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Pro

bab

ilid

ad

Valor estadístico t

Distribución T-student con V grados de libertad

/2 0,025 1 0,95/2 0,025

1 0,95

-2,69 +2,69

Grados de Libertad n-1 =

10 - 1= 9

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83

Intervalos diferencias de medias y varianzas desconocidas e iguales

( = = )

Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba

estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para realizarlo debemos

hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de

que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o

mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas,

según se estudiará más adelante.

Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las

varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de

confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:

a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2

será T= , que es un estimador suficiente.

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:

donde por separado, y

c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente

probabilidad:

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84

De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se llega

al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la diferencia

entre dos medias µ1 - µ2 1 2, pero iguales:

Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras

aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones

normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un

intervalo de confianza del 100(1- )% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 es:

Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras

La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para

comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos.

Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de

poblaciones normales con varianzas desconocidas, construya un intervalo de

confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas.

Solución. Inicialmente mediante la distribución F debemos verificar si las

varianzas son iguales

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85

( = = )

Buscando en la tabla de la distribución F para 7 grados de libertad en el

numerador y 9 en el denominador, vemos que el valor de la probabilidad está

entre 0.10 y 0.25 (aproximadamente 0.19, mediante interpolación lineal). Como

esta probabilidad es muy alta, concluimos que no hay evidencia para rechazar la

hipótesis de que las varianzas sean iguales.

Como las varianzas son iguales, calculamos que está dado por:

El intervalo de confianza del 95% está dado por (t0.025,16 = 2.12):

Debido a que la diferencia real puede ser cero, no se puede concluir que existe

una diferencia en el contenido de nicotina de las dos marcas de cigarrillos.

Ejercicio propuesto

El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a

partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina

promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje

del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en

experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de

tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso

en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso

propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que

los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias

independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta

evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso?

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86

Intervalos para diferencias de medias y varianzas desconocidas y desiguales

Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las

varianzas son diferentes, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de

confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:

a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2

será T = , que es un estimador suficiente

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:

donde

c) El intervalo de confianza está dado por el siguiente teorema, basado en la

distribución t con n grados de libertad.

Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras

aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones

normales e independientes con varianzas desconocidas y desiguales, entonces un

intervalo de confianza aproximado del 100( )% para la diferencia entre medias

µ1 - µ2 es:

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87

Ejercicio propuesto

Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se

desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del

metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera

diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos

procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se

somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las

tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado:

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e

independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para

la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados

Intervalos de confianzas para diferencias entre dos medias con muestras

relacionadas o dependientes.

Cuando se comparan las medias de dos niveles es deseable que las

observaciones dentro de cada nivel sean lo más homogéneas posibles. Si existe

un efecto debido a factores externos éstos pueden neutralizarse mediante la

aplicación del principio de la aleatoriedad. Esto se logra tomando las

observaciones en pares. Se supone que las condiciones exteriores son las

mismas para cada par, pero pueden variar de un par a otro. Por ejemplo, suponga

que se tiene un grupo de personas que se someten a una dieta para reducción de

peso, y para cada persona se lleva el registro del peso, en kgs, antes de la dieta, y

un tiempo razonable después de haber empezado la dieta. En este caso, el peso

de cada persona después de la dieta no es independiente del peso de la misma

persona antes de la dieta; por lo tanto estas dos variables están correlacionadas, y

si se quiere examinar el efecto de la dieta, se debe llevar el registro del peso para

la misma persona antes y después de la dieta.

Sean (X11, X21), (X12, X22),...(X1n,X2n) los datos consistentes de n pares;

supondremos que las variables aleatorias X1 y X2 tienen medias µ1 y µ2, y

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88

varianzas , respectivamente. Podemos suponer que el conjunto de datos

apareados son observaciones de un conjunto independiente de parejas de

variables aleatorias provenientes de una distribución normal bivariada (X1 X2)

~f(X1, X2), y que las diferencias D = X1 - X2 se distribuyen normalmente con valor

esperado ED y varianza .

Sea Dj la diferencia entre las variables aleatorias del j-ésimo par, es decir, Dj =

X1j-X2j. El valor esperado y la varianza de la diferencia entre las variables está

dado por:

Si las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente, las diferencias estarán

distribuidas también de manera normal con media µD y varianza

Para estimar la media y la varianza de la diferencia, se debe tomar una muestra

aleatoria de tamaño n, antes y después, calcular la diferencia, y luego la diferencia

promedio y la varianza muestral de las diferencias, como se ilustra en el siguiente

cuadro.

Dada la muestra aleatoria se calculan los siguientes estadísticos que servirán para

estimar la media y la varianza de la diferencia, , respectivamente:

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89

Sabemos que la siguiente variable aleatoria sigue una distribución normal

estándar:

Sin embargo, como no es conocido, lo podemos estimar mediante la varianza

muestral , en cuyo caso la siguiente variable aleatoria sigue una distribución t

con n-1 grados de libertad.

Usando la distribución t podemos calcular el intervalo de confianza para la media

de observaciones pareadas, el cual está dado por el siguiente teorema.

Teorema. Si son la media y la desviación estándar muéstrales de la

diferencia de n pares aleatorios de mediciones normalmente distribuidas, entonces

un intervalo de confianza del 100(1- D = µ1 -µ2

es:

Ejemplo: Se está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar

las tareas de programación. Se le ha pedido a 12 programadores expertos,

familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar con

ambos lenguajes, y se registra el tiempo requerido, en minutos, para realizar estas

dos tareas. Los datos obtenidos son los siguientes:

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90

Encuentre un intervalo de confianza para la diferencia en los tiempos medios de

codificación. Use un nivel de confianza del 95%. Existe alguna evidencia que

indique una preferencia por alguno de los dos lenguajes?

Tenemos que:

El intervalo de confianza está dado por:

Dado que la diferencia puede ser cero, se concluye que no hay evidencia para

rechazar la hipótesis de que ambos lenguajes requieren el mismo tiempo de

programación, y por lo tanto no hay preferencia por ninguno de los dos lenguajes.

Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de

medias muestras grandes 30n

Recordemos que para obtener un intervalo de confianza se procese como sigue:

1. Se determina el riesgo de error que se quiere asumir al afirmar que el

parámetro (en este caso la media) se encuentra en el interior del

intervalo.

2. El intervalo de confianza se obtiene separando a izquierda y derecha de

la estimación del parámetro( en este caso la media) un múltiplo de error

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91

estándar ( )n

. El múltiplo está determinado por el valor del estadístico

Z asociado al nivel de confianza escogido.

Para la construcción del intervalo de confianza para la media poblacional μ, se han

fijado los siguientes pasos:

1. Fijar el nivel de confianza α-1

2. Calcular la estandarización z de acuerdo al nivel de confianza predeterminado

a través de la tabla de la distribución normal N (0,1)

3. Calcular la media x y desviación típica S de la muestra.

4. Calcular el error típico de la media (desviación típica de la distribución

muestral)

5. Calcular el error muestral

6. Construir el intervalo de confianza, sumando y restando a la media de la

muestra ( x ) el error muestral.

Ejemplo

Suponga por ejemplo que Ud. está dispuesto a aceptar un riesgo de error de

05.0 ; entonces 95.01 , luego se trata de un intervalo de confianza del

nivel 0.95. Dado que esta probabilidad se distribuye simétricamente a los dos

lados de la media, se obtiene 0.475 a cada lado. Ahora bien, el valor de Z

asociado a una probabilidad de 0.475 es de 1.96 (de acuerdo a la tabla de la

distribución normal) a la derecha de la media y de –1.96 a la izquierda, como se

puede apreciar en la siguiente gráfica:

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92

Intervalo de confianza para grandes muestras

El intervalo de confianza está dado por la siguiente relación:

nX

nX

96.1;96.1

Expresado en forma generalizada, para poblaciones infinitas o si se muestrea sin

reemplazamiento una población finita, la relación es:

nX

96.1

Si la población es finita o si se muestrea sin reemplazamiento una población finita,

la relación es la siguiente:

1N

nN

nZX

Recuerde que Z depende del nivel de confianza que se fije y que si la desviación

estándar poblacional es desconocida, se utiliza como estima la desviación

muestral (S).

Podrá darse cuenta las semejanzas con los procedimientos utilizados para las

pruebas de hipótesis, vistas anteriormente para pruebas unilaterales y bilaterales.

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93

Ejemplo

El contenido de proteínas de una muestra de 100 pollos criados en una

determinada granja dio una media de 20.2 gramos con una desviación estándar

de 1.14 gramos. Obtener el intervalo de confianza del 99% para el contenido

medio de proteína de todos los pollos de la granja.

Como el intervalo de confianza se distribuye simétricamente a los dos lados de la

media, en este caso a cada lado le corresponde una probabilidad de 0.495 (0.99/2

= 0.495). El valor de Z asociado a una probabilidad de 0.795 es 2.58.

El intervalo para la media será:

294.02.20100

14.158.22.20

nZX

El contenido medio de proteína de toda la población de pollos de la granja está

dentro de un intervalo de 19.91 y 20.49 gramos con un nivel de confianza del 99%,

y se expresa de la siguiente forma:

99.049.2091.19 P

Ejemplo

Se toma una muestra al azar de 40 vasos de kumis de un lote de 500, dieron un

promedio de 76 calorías por cada 100 gramos con una desviación estándar 2.9

calorías. Obtener el intervalo de confianza del 95% para el contenido medio de

calorías para todo el lote.

Nótese que se trata de una población finita y muestreo sin reemplazamiento. El

valor de Z asociado a un nivel de confianza del 95% es 1.96 (0.95/2 = 0.475) de

acuerdo a la tabla de la distribución normal.

El intervalo de confianza en este caso está dado por:

87.076499

40500

40

9.276

1

N

nN

nZX

Por tanto el contenido medio de calorías del lote esta dentro del intervalo de 75.13

y 76.87 calorías con un 95% de nivel de confianza, y expresado matemáticamente

es: 95.087.7613.75 P

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94

Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y

diferencias de proporciones (siempre son muestras grandes)

30n

Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.

El intervalo de confianza para la diferencia de medias de poblaciones infinitas está

dado por:

2

2

2

1

2

121

nnZXX

Se analizó el contenido de vitamina A de una muestra de mantequilla y de una

muestra de margarina enriquecida. En la muestra de mantequilla formada por 40

potes de 100 gramos, el contenido medio de vitamina A fue de 4.86 unidades con

una desviación estándar de 0.06. En la muestra de margarina enriquecida formada

por 50 potes de 100 gramos el contenido medio de vitamina A fue de 5.0 unidades

con una desviación estándar de 0.08 unidades. Encontrar el intervalo de confianza

del 95% para la diferencia de contenido medio de vitamina A para el experimento

en mención.

Generalmente el mayor valor de la media se toma como 1X .

El nivel de confianza del 95% corresponde un Z = 1.96.

Aplicando la fórmula se tiene:

029.014.000009.0000128.096.114.0

40

06.0

50

08.096.186.40.5

22

2

2

2

1

2

121

nn

ZXX

Por lo tanto se puede afirmar con un nivel del 95% que la diferencia de los dos

contenidos de vitamina A de la mantequilla y la margarina enriquecida se

encuentran entre 0.111 y 0.169 unidades.

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95

Intervalo de confianza para proporciones.

Recuerde las propiedades de la distribución binomial y de las pruebas de hipótesis

vistan anteriormente.

El intervalo de confianza para la proporción de la población infinita y muestreo con

reemplazamiento está dada por:

n

PQZP

En tanto que el intervalo de confianza para la proporción de la población finita y

muestreo con reemplazamiento está dada por:

1

N

nN

n

PQZP

Donde el valor de Z depende del nivel de confianza deseado.

Ejemplo

De un lote de 500 frascos de jugo se extrae una muestra de 50 frascos de los

cuales 43 cumplen con las especificaciones exigidas y 7 fueron rechazados. Hallar

el intervalo de confianza del 95% para la proporción de frascos de jugo aceptados

del lote de estudio.

Para un nivel de confianza de 95% el valor de Z = 1.96 (tabla de distribución

normal)

Aplicando la fórmula se tiene:

09.086.095.0049.096.186.0

499

450

50

)14.0)(86.0(96.186.0

1500

50500

50

50431

5043

96.150

43

1

N

nN

n

PQZP

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96

Con un nivel de confianza del 95% la proporción de frascos aceptados fue de 0.77

y 0.95, es decir el nivel de aceptación está entre 380 y 480 frascos de lujo de un

lote de 500 frascos

Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones.

El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de poblaciones

infinitas está dado por:

2

22

1

1121

n

qp

n

qpZPP

En un supermercado se vende queso de dos marcas diferentes. En el mismo

período de tiempo se vende 380 de un total de 500 unidades de la marca A y 333

de un total de 450 unidades de la marca B. Hallar el intervalo de confianza del

99% para la diferencia entre las proporciones de los quesos A y B que salen al

mercado y se venden.

Aplicando la fórmula de la diferencia de proporciones se tiene:

073.002.0450

)26.0)(74.0(

500

24.0)(76.0(58.274.076.0

450

450

117

450

333

500

500

120

500

380

58.2450

333

500

380

2

22

1

1121

n

qp

n

qpZPP

Por lo cual es de esperar con un nivel de confianza del 99% que la verdadera

diferencia de proporción de venta de los quesos A y B se encuentre entre –0.053 y

0.093. La diferencia de proporción negativa del límite inferior del intervalo indica

que en esta región la diferencia está a favor del queso B cuya proporción de venta

es menor en las muestras estudiadas.

Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional.

Para ver cómo se aplica un intervalo de confianza para la varianza poblacional,

suponga que se está interesado en estimar la varianza poblacional para el

mecanismo de llenado de tal modo que la media de la cantidad de llenado sea de

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97

16 onzas y es crítica la varianza de los llenados. Para el efecto se toma una

muestra de 20 envases llenos y se encuentra que la varianza de las cantidades de

llenado es 0025.02 s Sin embargo, no se puede esperar que esa varianza que

procede de una muestra de 20 envases, proporcione el valor exacto de la varianza

de la población de recipientes llenos con dicho producto. En consecuencia el

interés está es determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional.

Se utiliza el símbolo 2

para representar el valor de la distribución ji cuadrado que

da como resultado un área, o probabilidad, de a la derecha del valor ji cuadrado

establecido. Por ejemplo en la siguiente figura, se observa la distribución ji

cuadrado con 8523,322

025.0 que indica que el 2.5% de los valores de ji cuadrado

esta a la derecha de 32,8523, y 90655,82

975.0 que indica que el 97.8% de los

valores de ji cuadrado esta a la derecha de 8,90655. Consultan con la tabla del

anexo “G” que hace relación a la tabla de distribución de ji cuadrado, los

resultados son iguales.

En la gráfica se puede observar que 0.95 o el 95% de los valores de la ji cuadrada

están entre 2

975.0 y 2

025.0 . Significa esto que existe una probabilidad del 95% de

obtener un valor de 2 tal que:

2

025.02

22

975.0

1

Sn

Esta ecuación define un estimado de intervalo, porque el 95% de todos los valores

posibles de

2

21

Sn se encuentran en el intervalo de 2

975,0 a 2

025.0 .

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,0

01 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

Distribución Chi-Cuadrado. Función de Densidad Probabilidad con 19 grados de libertad

1 0,95

/2 =0,025 /2= 0,025

2(0,975) =8,90 2(0,025) =32,85

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98

Ahora se requiere llevar a cabo algunas operaciones algebraicas de la ecuación,

para determinar un estimado de intervalo de 2 de la varianza poblacional.

Realizando operaciones del extremo izquierdo de la ecuación se tiene:

2

22

975.0

1

Sn despejando la varianza se tiene:

2

975.0

22 1

Sn

realizando operaciones semejantes con la desigualdad del extremo derecho de la

ecuación se tiene:

2

2

025.0

21

Sn despejando la varianza se tiene:

2

025.0

22 1

Sn

Por último combinando los resultados de las operaciones se llega a:

2

975.0

22

2

025.0

2 11

SnSn

Esta relación representa el estimado del intervalo de confianza para la varianza 2 .

Ejemplo

Regresando al problema para determinar un estimado de intervalo de la varianza

poblacional de las cantidades de llenado, recuerde que la muestra es de 20

envases que presenta una varianza de 0025.02 S . Con un tamaño de muestra de

20, los grados de libertad son de 19. En la figura presentada anteriormente, se

determina que 90655,82

975.0 y 8523,322

025.0 . Con dichos valores,

reemplazando en la ecuación del intervalo para la varianza poblacional se tiene:

90655,8

0025.0120

8523,32

0025.0120 2

O sea que el intervalo se encuentra dentro de los límites: 0728.00374.0 2 .

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99

Con lo anterior se ha ilustrado el proceso de aplicar la distribución ji cuadrado para

establecer estimados de intervalo de una varianza y de una desviación estándar

de una población. Específicamente observe que como se usó 2

975,0 y 2

025.0 el

estimativo tiene un coeficiente de confianza de 0.95. Cuando la ecuación se

amplía a un caso general de cualquier coeficiente de confianza, el estimativo del

intervalo de confianza es:

2

21

22

2

2

2 11

SnSn

En donde los valores de 2 se basan en una distribución ji cuadrado con (n-1)

grados de libertad, y en donde 1 es el coeficiente de confianza.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Una investigación efectuada a 400 familias de clase medias, reveló que un

62% de sus ingresos anuales son utilizados para servicios de salud.

Determinar los límites de confianza del 99%

2. En una muestra de 14 observaciones que tienen una media de 34.86 y una

desviación estándar de 4.23, encuentre los límites que en el 95% de los casos

permiten acertar al afirmar que la media poblacional queda incluida entre ellos.

3. Un laboratorio químico desea estimar la reacción promedio de mercurio

utilizadas en un medicamento. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para

garantizar que habrá un riesgo de solo 0.001 de sobrepasar un error de 5mm o

más en la estimación? La desviación estándar de la reacción se estima en

50mm

4. Un sondeo efectuado a 400 familias de clase media reveló un gasto trimestral

promedio de $ 374.000 en productos de salud, con desviación de $80.000.

a) Determine un intervalo de confianza del 95%

b) ¿Cuál es el máximo error, cuando se afirma que dicha media es de $374.000 con

una confianza del 99%?

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