Indutores Acoplados e Indutância Mútua

EA513 Circuitos Eltricos DECOM FEEC UNICAMP Aula 26

Esta aula: Indutores acoplados e Indutncia mtua Transformador linear Transformador ideal

Indutores Acoplados e Indutncia Mtua

Indutor: Fluxo magntico produzido pela

passagem de corrente eltrica (contnua ou variante no tempo) fluxo proporcional corrente. Campo magntico varivel induz tenso no

indutor, proporcional variao temporal do fluxo:

dttdiLtv )()( = .

em que L a indutncia prpria

1

Esta Nota de Aula foi preparada (incluindo as figuras) com base no captulo 13 do livro Anlise de Circuitos em Engenharia, Hayt, Kemmerly e Durbin, 7a. edio, McGraw Hill.


Consideremos agora que o fluxo produzido por um bobina (indutor) atravesse uma outra bobina. A variao temporal do fluxo da primeira bobina induzir uma tenso na segunda bobina

dttdiMtv )()( 1212 = e dt

tdiMtv )()( 2121 =

Podemos mostrar que: MMM == 2112

M (indutncia mtua)

Coeficiente de acoplamento 21LL

k = , com 10 k

polaridade da tenso induzida devido

indutncia mtua depende da combinao dos fluxos magnticos produzidos pelas bobinas.

A

2


3

O fluxo )(1 t produzpor )(1

ido ti na primeira

bobina para baixo (regra da mo direita). O fluxo )(2 t produzido

por )(2 ti na segunda bobina tambm para baixo.

Portanto, os fluxos se somam, em ambas bobinas. Tenso induzida na primeira bobina: Devido corrente )(1 ti (fluxo prprio):

dttdiLtv )()( 111 =

Devido corrente )(2 ti (fluxo acoplado):

dttdiMtv )()( 212 +=

pois o fluxo )(2 t se soma ao fluxo )(1 t Portanto:

dttdiM

dttdiLtv )()()( 2111 +=


Da mesma forma,

dLtv )( 22 = dttdiM

dtti )()( 12 +

Usamos pontos para indicar no circuito a forma de combinao (soma ou subtrao) dos fluxos entre duas bobinas acopladas.

Uma corrente entrando pelo terminal po na in circuito aberto com referncia positiva no terminal pontuado da outra bobina

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ntuado de uma bobi duz uma tenso de


Exemplos de situaes de pontos em indutores utuamente acoplados: m

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Exemplo:

dttdiM

dttdiLtv )()()( 2111 +=

e

dttdiM

dttdiLtv )()()( 1222 +=

Com sinais senoidais, ficamos com:

2111 IIV MjLj += ,

6

1222 IIV MjLj += .


Transformador Linear

LLL jXR +=Z a carga, L1: indutor primrio, L2: indutor secundrio, R1 e R2: resistncia dos fios das bobinas.

ransformador linear: ncleo das bobinas

relao near entre a corrente da bobina e o fluxo

produzido. Materiais magnticos no

Tfeito de material que resulta em uma li

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levam a transformadores lineares.


Impedncia cia vista elo gerador

de entrada: a impednSVp , ou seja

1IVZ Sent =

As equaes de malha so:

2IIZV MjS = 111

222IZ+1 que:

0 I= Mj em

1111 2222

Usando as equaes acima, chegamos a 22M

Z LjR += LLjR ZZ ++= e

2211 Z

ZZent +=

entrada independe da osio dos pontos nos indutores; Se mudarmos a posio de um ponto,

mudamos

Note que a impedncia de p

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M por ( )M na equao da segunda malha.


Impedncia refletida:

22

22

ZZ Mref =

screvendo 222222 jXR +=Z , e racionalizando EentZ , temos

222

222

2222

222

222

22

11

2222

22

11

XRXMj

XRRM

RM

ent

+++=++=

Z

ZZjX

22

Duas concluses importantes:

1) Aumento da perda no circuito primrio devido ao circuito secundrio:

O termo 2222

22

XRRM

+

sempre positivo e soma

1R2222

, causando aumento da pe da no circuitorio

r prim

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2) Reflexo da reatncia do secundrio: A reatncia do secundrio 22X reflete para o ircuito primrio com sinal oposto quele no

Note

csecundrio.

que X LXL += 222 dependendo da n LZ .

pode ser positivo ou egativo, atureza da cargan

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Transformador Ideal Coeficiente de acoplamento unitrio (k = Indutncia proporcional ao quadrado do

nmero

1)

de espiras N.

a relao de nm Definimos ero de espiras como

222 aLaN == 11 LN

Vamos escrever as equaes das duas malhas:

2111 IIV MjLj = ,

e ( ) 2210 IZI LjMj L ++= . A impedncia de entrada dada por,

11

1

1

IVZ =ent


Usando as equaes de malha, alm das ipteses (transformador ideal):

hegamos

h Coeficiente de acoplamento k = 1, 122 LaL = ,

c

21

1 LajLj

Lent ++= ZZ

222 La1

.

Manipulando essa expresso, ficamos com

2

1aLj

L

Lent +=

ZZZ .

ento Se fizermos 1L muito grande, ou seja, 1L ,

12

2aL

entZZ = .


Exemplo: 1001 =N e 100002 =N N

1

1002 ==N

a .

Portanto: citor de 10F na carga aparece capacitor de 100mF no circuito

primrio (aumenta a capacitncia) Um indutor de 30 mH na carga aparece

como um indutor 3H no circuito primrio ra a

resistncia).

Um capacomo um

.

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(diminui a indutncia, o mesmo vale pa


Relao ns or entre te es e entre c rentes

Das equaes de malha,

2111 ( ) 2210 IZI LjMj L ++= , IIV MjLj = ,

po

demos escrever

1

2 Mj=II

. 2LjL +Z

e fizermos muito grande, ento

2LS

aLL

LjMj 1

2

1

21

2 ===

II

Ou 2211 NN II = Usando agora LZIV 22 = e

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2111 aL

entZIZIV ==


1NIV2222 Naa === IV

11

ortanto: P

22 N=V e 2

1

1

2

NN=

II

11 NV

Note que , ou seja, em um ansformador ideal h conservao de potncia

re rio.

*11

*22 IVIV =

tr

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complexa ent o primrio e o secund

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