Índice Ret - elai.upm.es · componentes de la imagen, con el mismo elemento estructurante. ......

1

MORFOLOGÍA MATEMÁTICA

Mª del Carmen Tobar Puente

2

Índice• Retículo• Transformaciones morfológicas en conjuntos • Imágenes binarias y conjuntos• Transformaciones morfológicas en imágenes en grises

– Transformaciones elementales: erosión, dilatación– Apertura y cierre– Gradiente morfológico– Top-hat

• Transformaciones morfológicas en imágenes en color– Tratamiento marginal– Tratamiento vectorial

• Orden lexicográfico• Espacio cromático HSV• Distancia de matiz: orden de matiz• Orden total en HSV

• Bibliografía

3

Retículo

• 5HWtFXOR: conjunto ordenado en el que todo subconjunto de dos elementos admite ínfimo y supremo.

• (MHPSORV

Dado un conjunto, X, el conjunto de los subconjuntos de X, con la relación de inclusión de conjuntos es un conjunto con orden parcial, que es retículo:

( )( )

,

, ,

,QI $ % $ %

6XS $ % $ % $ % ;

= ∩

= ∪ ∀ ⊆

4

Retículo

En el conjunto de todas las aplicaciones de un conjunto A en un conjunto totalmente ordenado,

se define la relación:

es un conjunto parcialmente ordenado, que es retículo:

( ) , : / aplicacion) $ % I $ % I= →

( ),W

% ≤

( ) ( ) ( ), ,W

I J ) $ % I J I [ J [ [ $∀ ∈ ≤ ≡ ≤ ∀ ∈

( ),) $ %

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , ( , )

( , )

I [ VL I [ J [I J / $ % ,QI I J [

J [ VL J [ I [

I [ VL J [ I [6XS I J [

J [ VL I [ J [

≤∀ ∈ = ≤

≤= ≤

5

Transformaciones en retículos

• Una aplicación de un retículo en sí mismo

es una transformación:

&UHFLHQWH

([WHQVLYD

$QWLH[WHQVLYD

,GHPSRWHQWH

( ) ( ), /[ \ $ [ \ [ \ψ ψ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤

( )[ $ [ [ψ∀ ∈ ≤

( )[ $ [ [ψ∀ ∈ ≤

: $ $ψ →

2ψ ψ=

6

Transformaciones morfológicas elementales en conjuntos

• Sea G un grupo, con la operación interna +, y 0 el elemento neutro.

• finito, (Elemento estructurante)• (526,Ï1 del por el elemento estructurante E:

• ',/$7$&,Ï1del por el elemento estructurante E:

( *⊂ 0 (∈$ *⊂

( ) /( [ V

V (

$ [ * ( $ $ε −∈

= ∈ ⊆ =

$ *⊂

( ) ( ) /( V[

V (

$ [ * ( $ $δ∈

= ∈ − ∩ ≠ ∅ =

2

7

Erosión y dilatación de conjuntosElemento estructurante E

Erosión de A por E

Dilatación de A por E

0

x

xx

xx

xxx

x

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxx

2$ ⊂

8

Erosión y dilatación de conjuntos

• (526,Ï1 por el elemento estructurante E

(Ínfimo en )• ',/$7$&,Ï1 por el elemento estructurante E

(Supremo en )

( )3 *

( ) ( )( )

:

/

(

( [ V

V (

3 * 3 *

$ $ [ * ( $ $

ε

ε −∈

→

→ = ∈ ⊆ =

( ) ( )( ) ( )

:

/

(

( V[

V (

3 * 3 *

$ $ [ * ( $ $

δ

δ∈

→

→ = ∈ − ∩ ≠ ∅ =

( )3 *

9

Propiedades de la erosión y la dilatación de conjuntos

• Transformaciones crecientes:

• La erosión es antiextensiva:

• La dilatación es extensiva:

• Dualidad de la erosión y la dilatación:

( ) ( ) ( )( ) ( )

, /( (

( (

$ %$ % 3 * $ %

$ %

ε εδ δ

⊆∀ ∈ ⊆ ⇒ ⊆

( ) ( )($ 3 * $ $ε∀ ∈ ⊆

( ) ( )($ 3 * $ $δ∀ ∈ ⊆

( ) ( )( )FF

( ($ $ε δ=

10

Conjuntos e imágenes binarias

• Imagen binaria (Blanco y negro):

• Erosión y dilatación de por el elemento estructurante :

• Se tiene:

• (URVLyQ\GLODWDFLyQ de por :I

2: 0,1I Ω ⊂ →

( ) ( ) , / , 1$ [ \ I [ \= ∈Ω =

( )( V

V (

$ $ε −∈

=( ) ( )( ) ( ) ( ) , / , 1 , / , 1

V V$ [ \ I V [ \ [ \ I [ \−= − + = = =

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ), es decir, , min , ,( V (

V (V (

I ,QI I I [ \ I V [ \ [ \ε ε∈∈

= = + ∀ ∈Ω

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sup , es decir, , max , ,( V (

V (V (

I I I [ \ I V [ \ [ \δ δ− ∈∈= = − + ∀ ∈Ω

2( ⊂

2( ⊂

( )( V

V (

$ $δ∈

=

11

Imágenes binarias: erosión y dilatación




• Dualidad de la erosión y la dilatación:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2, , 0,1 /( (

( (

I JI J / I J

I J

ε εδ δ

⊆∀ ∈ ≤ ⇒ ⊆

( ) ( )2 , 0,1(

I / I Iε∀ ∈ ≤

( ) ( )2 , 0,1(

I / I Iδ∀ ∈ ≤

( ) ( )( )FF

( (I Iε δ=

12

imagen original erosión dilatación

Elemento estructurante: cuadrado 3x3

Elemento estructurante: disco de radio 2


3

13

Transformaciones morfológicas elementales en imágenes en grises• Imagen en grises:

• (URVLyQ de por el elemento estructurante :

(Imagen más oscura)

• 'LODWDFLyQ de por el elemento estructurante :

(Imagen más clara)

I

( ) 2: con Im 0,1,...., 1I I OΩ ⊂ → ⊆ −

2( ⊂

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ), es decir, , min , ,( V (

V (V (

I ,QI I I [ \ I V [ \ [ \ε ε∈∈

= = + ∀ ∈Ω

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sup , es decir, , max , ,( V (

V (V (

I I I [ \ I V [ \ [ \δ δ− ∈∈= = − + ∀ ∈Ω

I

2( ⊂

14

Erosión y dilatación

7043583360

6871563533

5772504332

2543522423

4343333333

4343333232

4343242323

2543242323

Elemento estructurante:

Cuadrado de lado 37171716060

7272726060

7272725643

7272725243

Imagen originalImagen erosionada

Imagen dilatada

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Transformaciones morfológicas elementales en imágenes en grises• Retículo de las aplicaciones

• (URVLyQ por elemento estructurante :

• 'LODWDFLyQpor elemento estructurante :

( ) 2: / aplicacion Im 0,1,..., 1I I I OΩ ⊂ → ⊂ −

2( ⊂

( ) ( )( ) ( )

2 2: , ,(

( V

V (

/ /

I I ,QI I

ε

ε∈

→

→ =

2( ⊂

( ) ( )( ) ( )

2 2: , ,(

( V

V (

/ /

I I 6XS I

δ

δ −∈

→

→ =

16

Propiedades de la erosión y la dilatación en imágenes en grises




( ) ( ) ( )( ) ( )

2, , /( (

( (

I JI J / I J

I J

ε εδ δ

≤∀ ∈ ≤ ⇒ ≤

( ) ( )2 ,(

I / I Iε∀ ∈ ≤

( ) ( )2 ,(

I / I Iδ∀ ∈ ≤

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Imágenes en grises: Apertura y cierre

• Operaciones de realce de las formas de los objetos.

• $SHUWXUD de f por el elemento estructurante E:

– Elimina objetos pequeños.– Suaviza los bordes

• &LHUUH de f por el elemento estructurante E:

– Cierra agujeros y grietas.– Suaviza los bordes de los objetos

( ) ( )( )( ( (I Iγ δ ε=

( ) ( )( )( ( (I Iϕ ε δ=

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imagen original apertura cierre

Elemento estructurante: disco de radio 2


Imagen en blanco y negro

4

19


imagen original apertura cierre

Imagen en grises

20

Imágenes en grises.Propiedades de la apertura y cierre


• Transformaciones idempotentes:

• La apertura es antiextensiva:

• El cierre es extensivo:

•

( ) ( ) ( )( ) ( )

2, , /( (

( (

I JI J / I J

I J

γ γϕ ϕ

⊆∀ ∈ ≤ ⇒ ⊆

( ) ( )2 ,(

I / I Iγ∀ ∈ ≤

( ) ( )2 ,(

I / I Iϕ∀ ∈ ≤

2

2

( (

( (

γ γϕ ϕ==

( ) ( ) ( ) ( )( ( ( (I I I I Iε γ ϕ δ≤ ≤ ≤ ≤

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Imágenes en grises: gradiente morfológico o de Beucher

• *UDGLHQWHSRUHURVLyQ

• *UDGLHQWHSRUGLODWDFLyQ

• *UDGLHQWHVLPpWULFR

• Para localizar los bordes de los objetos

• El gradiente simétrico intensifica la detección de bordes. Es la suma de los gradientes por erosión y por dilatación.

( ) ( )( (J I I Iε− = −

( ) ( )( ( (J I I Iδ ε= −

( ) ( )( (J I I Iδ+ = −

22


gradiente por erosión gradiente por dilatación gradiente simétrico

Imagen en blanco y negro

23

Imágenes en grises: top-hat

• Descubrir las estructuras de la imagen eliminadas en el filtrado de apertura o cierre.

• Top-hat por apertura:– Antiextensiva– Idempotente– Destaca los objetos claros eliminados en la

apertura.

• Top-hat por cierre:– Destaca los objetos oscuros eliminados en el

cierre.

( ) ( )( (I I Iρ γ− = −

( ) ( )( (I I Iρ ϕ+ = −

24

top-hat por apertura top-hat por cierre

imagen original apertura cierreImagen en blanco y negro

5

25

top-hat por apertura top-hat por cierre

gradiente por erosión gradiente por dilatación gradiente simétrico

Imagen en grises

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Transformaciones morfológicas en imágenes en color

Imagen en color:Depende del espacio de color con el que se visualiza la imagen: RGB, HSV,….

Tratamiento marginal Tratamiento vectorial

2 3:I Ω ⊂ →

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Imágenes en color: tratamiento marginal

• Aplicar la morfología en imágenes en grises a cada una de las tres componentes de la imagen, con el mismo elemento estructurante.

,QFRQYHQLHQWHV: Depende del espacio de color con el que se visualice la imagen: RGB,

HSI, HSV, CIELAB,… Aparecen colores inexistentes en la imagen original.

a) Sección numérica de la

imagen en color

b) sección numérica de la

imagen erosionada

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Imágenes en color: tratamiento vectorial

• 7UDWDPLHQWRYHFWRULDOEs necesario tener definido un orden total en el espacio cromático.Orden lexicográfico en :

(6 órdenes distintos)

3

( ) ( )

’

, , ’, ’, ’ ’ ’

’ ’ ’

[ [

R

[ \ ] [ \ ] [ [ \ \ \

R

[ [ \ \ \ \ ] ]

<≤ ⇔ = <= = ≤

29


• En el orden lexicográfico se da prioridad a una de las componentes sobre las demás. – En RGB, los tres colores básicos deberían tener un tratamiento

similar.

– En espacios de color basados en la percepción de la visión humana (CIELAB, HSV, HSI,..) la componente con prioridad dependerá del tipo de imagen.

30

Espacio cromático HSVEspacio cromático perceptual: luminancia (valor), saturación y matiz

OXPLQRVLGDG (brillo): emisión de luzPDWL](tono): denominación de los colores (longitud de onda)

VDWXUDFLyQ: proporción de color cromático puro

Componente acromática: valor desacopladas

Componentes cromáticas: matiz y saturación

Escala de saturaciones (matiz verdoso)

Escala de luminosidades (matiz verdoso)

Escala de matices

6

31

Espacio cromático HSV

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )2

max , , min , ,Si max , , 0 entonces

max , ,

sino 0

max , ,

12arccos Si entonces 360

5 * % 5 * %5 * % 6

5 * %

6

9 5 * %

5 * 5 %

+ % * + +

5 * 5 % * %

−≠ =

==

− + − = > = −

− + − −

32

Orden en HSV

• Orden en matiz:– Matiz indefinido: S=0 (Umbral de saturación: discrimina los pixeles

cromáticos de los acromáticos)– Valor angular– Matiz de referencia: dependerá de la imagen a procesar

matiz de referencia en a) 0º b)135º

33

Distancia de matiz: preorden

Preorden:

( )

0 360º

si 180º,

360º si 180º

UHI UHI

UHI

UHI UHI

+

+ + + +

G + +

+ + + +

≤ <

− − ≤= − − − >

( )min

max 180º mod 360º

UHI

UHI

+ +

+ +

=

= +

matiz de referencia en a) 30º b)135º c) 225º

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Orden en matiz

UHI+

Se tiene un orden total en el conjunto cociente ( Clases de equivalencia formada

por los dos matices que están a la misma distancia de )

a) Imagen original b) c) d)

Mapa de distancia a matiz con matiz de referencia a) 30º b) 135º c)225º

35

Orden lexicográfico en HSV

• Se dará prioridad a las componentes H, S , V según– la imagen a tratar

– la información que se quiera extraer

– En el 98% de los píxeles, la elección se hace en la 1ª componente de la terna. Por ello, tiene importancia la 1ª componente y mucho menos la 2ª y la 3ª; de los 6 órdenes lexicográfico, realmente se tienen 3

V: Preservar el contorno de los objetos de la imagen

S: Objetos muy coloreados en fondo grisH, con matiz de referencia adecuado: Objetos de un color específico

36

Espacio HSV

componente matiz componente saturación componente valor

imagen original

MATLAB: el orden en matiz no tiene en cuenta la distancia definida

7

37

Espacio HSV

componente matiz componente saturación componente valor

imagen original

38


• Erosión:• Dilatación:

• Apertura:• Cierre:

• Gradiente por erosión:• Gradiente por dilatación:• Gradiente simétrico:

• Top-hat por apertura:• Top- hat por cierre:

( ) ( )( V

V (

I LQI Iε∈

=

( ) ( )sup( V

V (

I Iδ −∈

=

( ) ( )( )( ( (I Iϕ ε δ=

( ) ( )( (J I I Iε− = −( ) ( )( (

J I I Iδ+ = −

( ) ( )( (I I Iρ γ− = −( ) ( )( (

I I Iρ ϕ+ = −

( ) ( )( )( ( (I Iϕ δ ε=

( ) ( )( ( (J I I Iδ ε= −

39

Órdenes en el espacio cromático

• Se pueden tener otros órdenes totales en el espacio cromático, además del lexicográfico, que permitiría realizar las operaciones morfológicas.

• Para poder definir las operaciones morfológicas en imágenes en color se ha utilizado un retículo de funciones vectoriales, y en el espacio cromático se exigía un orden total (como el lexicográfico utilizado). En realidad, es suficiente tener definido en el espacio cromático un orden parcial, de modo que sea un retículo. Esto permite tener más órdenes definidos, y por lo tanto, distinto significado las operaciones morfológicas definidas a partir de éstos órdenes.(Tenemos , por ejemplo, orden canónico, orden α−lex (Ortiz),…)El principal inconveniente es que al definir las operaciones morfológicas elementales (ver diapositiva 13),el mínimo y el máximo que aparece en las definiciones de la erosión y la dilatación pasarían a ser ínfimo y supremo, y por lo tanto el valor de la erosión y la dilatación en un pixel dado podría no estar en la imagen, lo que llevaría a colores LQH[LVWHQWHV en la imagen original.

40

Bibliografía• W. Brockett, P. Maragos. Evolution equations for continuous-scale morphological

filtering. IEEE transactions on signal processing, Vol 42, Nº 12. (1994)• A. Hanbury. Lexicographical orden in the HLS colour space. Technical report N

04/01/MM Centre de Morphologie Mathematique. École de Mines de Paris. 2001• A.Hanbury and J. Serra. Mathematical Morphology in the L*a*b* Colour Space.

Technical report N-36/01/MM Centre de Morphologie Mathematique. École de Mines de Paris. 2001.

• A.Hanbury and J. Serra. Colour image analysis in 3D-polar coordinates.• R. Molina. Introducción al procesamiento y análisis de imágenes digitales.

Departamento de Ciencias de la computación e I.A. Universisdad de Granada (1998)• F. Ortiz. Tesis• F. Ortiz, F. Torres, E. de Juan and N. Cuenca. Colour Mathematical Morphology for

neural image analysis. Real Time Imaging 8, 455-465. (2002). • C. Platero. Apuntes de visión artificial • J. Serra. Lecture notes on Morfhological operators. First French-Nordic Summer

Course in Mathematics. Uppsala University, SWEDEN. June 2001.

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