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Indice

Introducción............................................................................................. 1 • Esquema del trabajo. ............................................................................................... 3

• Bibliografía ............................................................................................................. 5

Capítulo 1: Dislocaciones

• I. Breve historia de las dislocaciones. ................................................................ 14

• II. Breve teoría de las dislocaciones. .................................................................... 15

• III. Modelos de dislocaciones mediante sistemas de reacción-difusión. ............... 17

• IV. El modelo de Walgraef-Aifantis. ..................................................................... 19

• V. El sistema de ecuaciones (P) considerado en éste trabajo. .............................. 20 • Bibliografía del capítulo 1. .................................................................................... 21

Capítulo 2: Existencia

• I. Existencia local, caso general. ......................................................................... 23 • II. Existencia local. Caso m = 2. ........................................................................... 28

• III. Existencia global. ............................................................................................. 30

• IV. Aplicación al problema (P). ............................................................................. 31

• Bibliografía del capítulo 2. .................................................................................... 35

1

Capítulo 3: Estabilidad de las soluciones estacionarias • I. Teoría general. ................................................................................................. 38

• II. Aplicación al problema (P). ............................................................................. 42

• III. Ejemplo. ........................................................................................................... 54

• Bibliografía del capítulo 3 .................................................................................... 56

Capítulo 4: Regiones invariantes • I. Teoría general. ................................................................................................. 59

• II. Aplicación al problema (P). ............................................................................. 63

• III. Ejemplo. ........................................................................................................... 76

• Bibliografía del capítulo 4 .................................................................................... 77

Capítulo 5: Comportamiento asintótico • I. Teoría general. ................................................................................................. 78

• II. Aplicación al problema (P)............................................................................... 85

• III. Ejemplo. ........................................................................................................... 89

• Bibliografía del capítulo 5. .................................................................................... 90

Conclusión ................................................................................................... 93

Bibliografía general ..................................................................................... 96

2

Introducción

Modelar y analizar la dinámica de reacciones químicas por medio de ecuaciones

diferenciales es una de las principales preocupaciones de la Ingeniería Química.

Estos modelos químicos usualmente toman la forma de sistemas de ecuaciones

parabólicas no lineales llamados sistemas de reacción-difusión. El entusiasmo por

estos sistemas es compartido por gran parte de la comunidad matemática y han

motivado muchos resultados matemáticos interesantes.

El ingrediente principal de estos sistema son ecuaciones de la forma

tu

∂∂

= D∆u + F(u)

donde u es un vector n-dimensional (cada componente representa una medida de

una de las cantidades que participan en el proceso de difusión), D es una matriz y ∆

es el operador de Laplace en coordenadas espaciales. La función vectorial F describe

las reacciones e interacciones.

Para dar algunos ejemplos comunes de sistemas de reacción-difusión en

aplicaciones, podemos mencionar la Dinámica de reactores nucleares (Kastenberg y

Chambré 1968, Rumble y Kastenberg 1972, Mottoni y Tesei 1979), Reacciones

químicas en medios distribuidos y teoría de la combustión (Ebel 1983), Interacciones

ecológicas en poblaciones distribuidas espacialmente (Alikakos 1979, Conway y

Smoller 1977, Mimura y Murray 1979, Rothe 1983), Modelos de morfogénesis

(Maginu 1975, Meihardt y Gierer 1980, Rothe 1979), Propagación de impulsos

nerviosos (Schwan 1969), Modelos en neurofisiología (U. an der Heiden, 1980), y

Genética de poblaciones (Fisher 1937, Peletier 1977, Rothe 1980).

3

Sistemas de reacción-difusión pueden dar lugar a un número de interesantes

fenómenos como comportamiento asintótico, múltiples estados estacionarios,

estructuras espaciales, pulsos o frentes móviles y oscilaciones.

El estudio de estos fenómenos necesita una variedad de métodos diferentes

provenientes de muchas areas matemáticas como, por ejemplo, análisis numérico,

bifurcación y teoría de la estabilidad, teoría de semigrupos, perturbaciones singulares,

espacio de fases, métodos topológicos y muchos otros.

Cuando están situados suficientemente lejos del equilibrio, sistemas físicos,

químicos o biológicos presentan diferentes tipos de transiciones concluyendo en

estados altamente ordenados con estructuras espaciales o temporales sobre medidas

macroscópicas y escalas temporales. Porque y como este comportamiento ocurre en

sistemas con dinámica no lineal compleja ha sido un desafio para investigadores

teóricos y experimentales.

Ejemplos famosos como las inestabilidades de Rayleigh-Benard o Taylor- Couette

son ahora clásicos en el campo de la hidrodinámica, como así también oscilaciones

químicas y sus ondas espirales asociadas con reacciones como en la conocida reacción

de Belusov-Zhabotinskii (1981). Estructuras de tipo mosaico fueron observadas en

otros sistemas químicos, bioquímicos y fotoquímicos (Walgraef, Dewel y Borckmans,

1984).

La competición entre diferentes tipos de estructuras espaciales ha sido observada

en cristales líquidos (Salan y Guyon, 1983), así también como el rol que los defectos

estructurales producen en las propiedades macroscópicas de cuerpos degradados

(Aifantis, 1984). La formación de redes en materiales irradiados y de

microestructuras de dislocaciones relacionadas con fatiga de materiales, han sido

asociados con inestabilidaes dinámicas (Walgraef y Aifantis, 1985).

Con un específico sistema de reacción-difusión, uno desea generalmente encontrar

una solución que cumpla ciertas condiciones adicionales, o determinar propiedades

4

cualitativas compartidas por muchas soluciones. Si para el investigador es importante

únicamente el comportamiento del sistema en un tiempo muy lejano, entonces el

concepto de estado asintótico adquiere importancia. El estado asintótico de una

solución muestra su comportamiento final, mientras ignora efectos de transición

intermedios.

Este estado asintótico puede ser definido como una colección de soluciones, todas

aproximándose a la misma solución cuando t → ∞. Si hay presentes simetrías en el

sistema de reacción-difusión considerado, una clase completa de soluciones puede ser

generada por una específica solución dada, mediante un apropiado grupo de

transformaciones [F].

La teoría y aplicación de los sistemas de reacción-difusión es muy abarcativa. En

este trabajo, se intenta dar unos pocos pasos en lo desconocido, centradose en un

particular sistema de ecuaciones que modela dislocaciones en materiales.

• Esquema del trabajo

En cada capítulo se presentan resultados para un sistema de ecuaciones de reacción-

difusión en general y se aplican al modelo.

Capítulo 1 – Dislocaciones

Breve descripción del concepto de dislocación, su origen, los modelos de

dislocaciones mediante sistemas de reacción-difusión y en particular el modelo de

Walgraef-Aifantis sobre el que se basa esta tesis.

5

Capítulo 2 – Existencia

Teoremas de existencia local para un sistema arbitrario, de existencia local para un

sistema de dos ecuaciones y de existencia global para un sistema de dos ecuaciones

con término no-lineal acotado por una función de forma polinómica.

Capítulo 3 – Estabilidad de soluciones estacionarias

Definición de estabilidad para soluciones del sistema estacionario (sin el término de la

derivada temporal), teoremas de estabilidad de la solución constante (caso particular

de solución estacionaria) para el sistema linearizado y su relación con el sistema

original.

Capítulo 4 – Regiones invariantes

Teorema de existencia de rectángulos invariantes para sistemas de reacción-difusión y

construcción de los mismos para el modelo.

Capítulo 5 – Comportamiento asintótico

Condiciones de convergencia de la solución u(x, t) de un sistema hacia su “promedio”

( ΩΩ

dx)t,x(u1

) y existencia de soluciones estacionarias no-constantes dentro de una

región invariante.

Conclusión

Breve resumen de los resultados obtenidos en el trabajo.

La bibliografía adicional en cada capítulo, relacionada con el tema presentado,

servirá para ampliar lo expuesto.

6

Bibliografía

• Bifurcación

D. Armbruster and G. Dangelmayr: “Coupled stationary bifurcations in non-flux

boundary value problems”, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. 101, 1987, Pág. 167-

192.

J. M. Greenberg, B. D. Hassard and S. P. Hastings: “Pattern formation and

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the American mathematical Society, Vol. 84, No 6, November 1978, Pág. 1296-1326.

N. Kopell and L. N. Howard: “Bifurcations and trajectories joining critical points”,

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Yoshiki Kuramoto: “Diffusion-induced chaos in reaction systems”, Supplement of

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H. G. Othmer: “Current problems in pattern formation”, Lectures on Mathematics

in the Life Sciences, Vol. 9, 1977, Pág. 57-85.

D. Walgraef: “Spatio-temporal organization in reaction-diffusion systems”,

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7

• Métodos numéricos

S. Carl: “A monotone iterative scheme for nonlinear reaction-diffusion systems

having nonmonotone reaction terms”, Journal of Mathematical Analysis and

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Jagdish Chandra, Francis G. Dressel, and Paul Dennis Norman: “A monotone

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Royal Society of Edinburgh, Vol. 87A, Pág. 209-217, 1981.

Rudolf Gorenflo: “Monotonic difference schemes for weakly coupled systems of

parabolic differential equations”, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 109, 1969, Pág.

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Rudolf Gorenflo: “On difference schemes for parabolic differential equations with

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Rudolf Gorenflo: “Analysis of parabolic differences schemes by Gerschgorin’s

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David Hoff and Joel Smoller: “Error bounds for finite-difference approximations

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No 171, July 1985, Pág. 35-49.

David Hoff: “Stability and convergence of finite difference methods for systems of

nonlinear reaction-diffusion equations”, SIAM J. Numer. Math., Vol. 15, No 6,

December 1978, Pág. 1161-1177.

8

Joseph W. Jerome: “Fully discrete stability and invariant rectangular regions for

reaction-diffusion systems”, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 21, No 6, December 1984,

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Joseph W. Jerome: “Convection-dominated nonlinear systems: Analysis of the

Douglas-Russell transport-diffusion algorithm based on approximate characteristics

and invariant regions”, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 25, No 4, August 1988, Pág. 815-

836.

J. Ka cur: “Solution to strongly nonlinear parabolic problems by a linear

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C. V. Pao: “Numerical methods for semilinear parabolic equations”, SIAM J.

Numer. Anal., Vol. 24, No 1, February 1987, Pág. 24-35.

Marián Slodicka: “On a numerical approach to nonlinear degenerate parabolic

problems”, Comenius University. Faculty of mathematics and Physics. Mathematics,

Preprint No M6-92, November 1992.

• Oscilaciones

S. P. Hastings and J. D. Murray: “The existence of oscillatory solutions in the

Field-Noyes model for the Belusov-Zhabotinskii reaction”, SIAM J. Appl. Math., Vol

28, No 3, May 1975, Pág. 678-688.

9

P. J. McKenna and W. Walter: “Nonlinear oscillations in a suspension bridge”,

Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 98, No 2, 1987, Pág. 167-177

R. M. Miura: “A nonlinear WKB method and slowly-modulated oscillations in

nonlinear diffusion processes”, Studies in Applied Mathematics, Vol. 64, Pág. 155-

170, 1981.

• Principio del máximo

Chris Cosner and Philip W. Schaefer: “On the development of functionals which

satisfy a maximum principle”, Applicable Analysis, Vol. 26, 1987, Pág. 45-60.

Chris Cosner: “A maximum principle for weakly coupled systems of second order

partial differential equations with nonnegative characteristic form”, Rocky Mountain

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• Sistemas λλλλ-ωωωω

M. R. Duffy, N. F. Britton and J. D. Murray: “Spiral wave solutions of practical

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J. M. Greenberg: “Axi-symmetric, time-periodic solutions of reaction-diffusion

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10

J. M. Greenberg: “Spiral waves for λ-ω systems”, SIAM J. Appl. Math., Vol. 39,

No 2, October 1980, Pág. 301-309.

N. Kopell and L. N. Howard: “Target patterns and horseshoes from a perturbed

central-force problem: Some temporally periodic solutions to reaction-diffusion

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Jonathan A. Sherratt: “Unstable wavetrains and chaotic wakes in reaction-

diffusion systems of λ-ω type”, Phisyca D, Vol. 82, 1995, Pág. 165-179.

Jonathan A. Sherratt: “Irregular wakes in reaction-diffusion waves”, Phisyca D,

Vol. 70, 1994, Pág. 370-382.

Jonathan A. Sherratt: “Oscillatory and chaotic wakes behind moving boundaries in

reaction-diffusion systems”, Dynamics and Stability of Systems, Vol. 11, No 4, 1996,

Pág. 303-324.

Jonathan A. Sherratt: “On the evolution of periodic plane waves in reaction-

diffusion systems of λ-ω type”, SIAM J. Appl. Math., Vol. 54, No 5, October 1994,

Pág. 1374-1385.

Joseph Paullet, Bard Ermentrout and William Troy: “The existence of spiral waves

in an oscillatory reaction-diffusion system”, SIAM J. Appl. Math., Vol. 54, No 5, Pág.

1386-1401, October 1994.

11

• Sistemas predador-presa

S. Roy Choudhury: “Turing instability in competition models with delay I: Linear

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S. Roy Choudhury: “Analysis of spatial structure in a predator-prey model with

delay II: Nonlinear theory”, SIAM J. Appl. Math., Vol. 54, No 5, Pág. 1451-1467,

October 1994.

J. M. Cushing: “Periodic time-dependent predator-prey systems”, SIAM J. Appl.

Math., Vol. 32, No 1, January 1977, Pág. 82-95.

S. R. Dunbar K. P. Rybakowski and K. Schmitt: “Persistence in models of

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No 1, October 1986, Pág. 117-138.

R. Gardner and C. K. R. T. Jones: “Stability of travelling wave solutions of

diffusive predator-prey systems”, Transactions of the American Mathematical

Society, Vol. 327, No 2, October 1991, Pág. 465-524.

• Soluciones Metaestables

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12

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ut = ε2uxx - f(u)”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Vol. 116A, Pág.

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• Teoremas de comparación

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systems: Irregular comparison functions and applications to questions of stability and

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13

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A. S. Vatsala: “Generalized quasilinearization and reaction-diffusion equations”,

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• Traveling waves

G. Bellettini, P. Colli Franzone and M. Paolini: “Convergence of front propagation

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Matematica Applicata “U. Dini”, No 17, 1996.

P. C. Fife, P. W. Bates, R. A. Gardner and C. K. R. T. Jones: “Phase field models

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Paul C. Fife: “Asymptotic analysis of reaction-diffusion wave fronts”, Rocky

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D. H. Sattinger: “On the stability of waves of nonlinear parabolic systems”,

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14

V. A. Volpert and A. I. Volpert: “Traveling wave solutions of monotone parabolic

Systems”, Preprint No 146, CNRS URA 740, 1993.

V. A. Volpert and A. I. Volpert: “Wave trains descreibed by monotone parabolic

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V. A. Volpert and A. I. Volpert: “Existence and stability of stationary solutions for

a class of semilinear parabolic systems”, Commun. In Partial Differential Equations,

Vol. 18(12), Pág. 2051-2069, 1993.

• Variedades inerciales

John Mallet-Paret and George R. Sell: “Inertial manifolds for reaction-diffusion

equations in higher space dimensions”, Journal of the American Mathematical Sciety,

Vol. 1, No 4, October 1988, Pág. 805-866

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Capítulo 1

Dislocaciones

• I. Breve historia de las dislocaciones

La existencia de dislocaciones permite a los metales ser deformados plásticamente

con facilidad, una circunstancia de la que nuestra moderna tecnología es dependiente.

Las dislocaciones han servido al hombre desde el primer momento en que éste

desarrolló herramientas de metal. Las dislocaciones también permiten que materiales

cristalinos no metálicos sean deformados plásticamente. De hecho, a ciertas

temperaturas, un material cristalino no metálico puede ser deformado tan fácilmente

como una pieza de metal. De igual modo las dislocaciones juegaron un papel

fundamental en todas las deformaciones sobre la tierra, como por ejemplo los

cataclismos que produjeron las montañas y continentes.

La facilidad con que los metales pueden ser deformados fué la crucial observación

experimental que condujo al descubrimiento de las dislocaciones. Mientras que esa

propiedad fue ya conocida por el hombre prehistórico, el hecho de que es una

propiedad verdaderamente inusual no fue completamente comprendido hasta muchos

milenios más tarde. Para la segunda década de nuestro siglo, la naturaleza atómica y

periódica de las substancias cristalinas había sido establecida mediante el empleo de

los rayos X.

Una vez que fue conocido que los cristales están constituidos por una formación

periódica de átomos, la magnitud del estrés requerido para producir una deformación

plástica en un cristal pudo ser calculada fácilmente. Para un material como el

aluminio, el estrés teórico calculado es del orden de 1011 dyn/cm2. Para el hielo,

16

aproximadamente 1010 dyn/cm2. Sin embargo, cristales simples de aluminio pueden

ser deformados con un estrés de sólo 3×106 dyn/cm2, mientras que el hielo de los

glaciares lo hace a sólo 105 dyn/cm2 [W-W].

Una discrepancia de 105 o más entre lo que se supone que debe pasar y lo que

realmente sucede siempre estimula la curiosidad humana. No es sorprendente

entonces que, más o menos al mismo tiempo, tres científicos trabajando

independientemente encontraran la causa de esa diferencia. En 1934 G. I. Taylor, E.

Orowan y M. Polanyi postularon que debe exixtir una imperfección dentro de las

redes cristalinas y que el movimiento de la imperfección a un nivel de estrés bajo, es

la principal causa de la deformación (en realidad, el concepto de dislocación ya había

sido esbozado en los años 1900 por Volterra y Timpe dentro de la Teoría de la

elasticidad). Esa imperfección es lo que llamamos una dislocación.

La dislocaciones fueron observadas por primera vez en los años cincuenta por

Hedges y Mitchell, quienes usaron una técnica para hacerlas visibles en cristales de

plata. Las dislocaciones son ahora comúnmente observadas mediante el microscopio

electrónico por medio de una técnica de trasmisión; esta fue desarrollada en 1956 por

Hirsch, Horne y Whelan e independientemente por Bollmann.

• II. Breve teoría de las dislocaciones

Las dislocaciones son las principales conductoras del flujo plástico. Esto significa

que para entender las propiedades mecánicas de los sólidos cristalinos se requiere

previamente el conocimiento de las propiedades básicas de las dislocaciones, de su

dinámica y de su interacción con varios tipos de obstáculos. De estos últimos, los

más problemáticos son las propias dislocaciones, como así también la interacción

mutua de dislocaciones de corto y largo alcance. Cuando interacciones dislocación-

17

dislocación son predominantes, las propiedades de flujo de un material dependen de

las propiedades de dislocaciones, tanto individuales como colectivas, de un modo

complejo, que todavía no es bien comprendido.

Una de sus más notable propiedades, es la formación espontánea de estructuras

organizadas, regiones alternadas ricas y pobres en dislocaciones que forman celdas,

subgranos, venas, paredes, canales, etc. Estas microestructuras muestran

periodicidades bien definidas, usualmente a nivel micrométrico. Este fenómeno

colectivo es relativamente poco importante en situaciones con bajo estrés, porque la

densidad de dislocaciones es baja, pero puede jugar un papel prominente en

propiedades de flujo tan pronto como la densidad total de dislocaciones contenida en

el cristal deformado supera un cierto valor crítico.

Se sigue de las investigaciones que las estructuras de dislocaciones son

importantes en dos aspectos:

i) son un ejemplo de auto organización en un sistema dinámico, y

ii) son un paso intermedio necesario en el desarrollo de aproximaciones físicas a la

teoría de la plasticidad, basadas en la teoría de dislocaciones [K1].

En un cristal deformado, hay dos tipos de población de dislocaciones, las

dislocaciones móviles y las inmóviles o de baja movilidad, también llamadas

dislocacciones fijas. Las dislocaciones móviles son responsables de generar la

tensión, mientras que las dislocaciones fijas son un obstáculo para las móviles. Las

estructuras de dislocaciones observadas por trasmisión mediante el microscopio

electrónico están formadas esencialmente por dislocaciones inmóviles.

Cada una de estas dos poblaciones tiene su propio proceso de creación y

aniquilación. Las dislocaciones móviles pueden aniquilarse mutuamente o

convertirse en inmóviles, por su interacción con las dislocaciones fijas o por formar

configuraciones estables. Las dislocaciones inmóviles están sujetas a mecanismos de

recuperación que tienden a limitar su densidad con un valor máximo [K2].

18

• III. Modelos de dislocaciones mediante sistemas de

reacción-difusión

Asumiendo que la densidad total de dislocaciones se divide en ciertas poblaciones,

como ser dislocaciones móviles e inmóviles o dislocaciones móviles y dipolos, una

ecuación clásica de continuidad o de balance dinámico puede ser escrita para la

población i:

ti

∂ρ∂

+ div Ji = gi(ρi, ρj, τ)

donde Ji = ρivi es el término de transporte, es decir el flujo asociado con la densidad

ρi moviéndose con velocidad vi . La función gi contiene un conjunto de términos

de reacción describiendo el mecanismo de corto alcance asociado con esta población

y está acoplado mediante interacciones locales con otra población j. En algunos de

esos términos de reacción el estrés τ , o alguna otra magnitud relevante, tiene el papel

de un parámetro de control describiendo la influencia de las condiciones externas

Si el término de la divergencia es omitido, familiares leyes de evolución para el

comportamiento del promedio de las densidades de dislocaciones son, en principio,

recuperadas. La omisión de los términos de reacción, conduce a ecuaciones de

conservación tales como aquellas usadas en la teoría continua de dislocaciones o en el

modelo de Holt (1970), donde las interacciones locales no son tenidas en cuenta.

Tales conjuntos de ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones no lineales, han

sido ampliamente usadas para describir el comportamiento acoplado de especies

químicas. En esos casos, el término de la divergencia puede ser transformado con la

ayuda de la ley de Fick, en un laplaciano de la densidad/concentración. Entonces, se

obtiene un sistema de ecuaciones de reacción-difusión que posee varios tipos de

19

soluciones, incluyendo formas de organización espiral espontánea, las cuales son

llamadas estructuras de Turing (Misbah 1988, Walgraef 1988).

En el caso de las dislocaciones, no es tan fácil establecer el carácter difusivo.

Simplifiquemos el modelo asumiendo que la velocidad de las dislocaciones es

proporcional al estrés efectivo. Entonces tenemos,

vi = M(τa - τµ)

donde M es el tensor de movilidad, τa es el estrés aplicado, τµ es el componente

atermal del flujo de estrés.

Además, si tomamos el primer término del desarrollo de Taylor de la función de

distribución que controla la distribución relativa de dislocaciones de ambos tipos,

τµ = β∇ρi(r)

Reemplazando, resulta entonces,

ti

∂ρ∂

- Di∆ρi = gi(ρi, ρj, τ)

El seudo coeficiente de difusión Di = βMρi depende del tensor de movilidad y de la

densidad de dislocaciones.

20

• IV. El modelo de Walgraef y Aifantis

En este modelo son consideradas dos poblaciones: dislocaciones móviles ρm y

una población de dislocaciones lentas ρi . El conjunto de ecuaciones toma la forma:

ti

∂ρ∂

- Di ∆ρi = g(ρi) - bρi + γρmρi2

tm

∂ρ∂

- Dm ∆ρm = bρi - γρmρi2

donde Di, Dm son los coeficientes de difusión; g(ρi) es una función que describe la

producción de dislocaciones lentas, mientras que el parámetro b controla la

transformación de dislocaciones inmóviles en dislocaciones móviles. Esta constante

juega el rol de un parámetro de control y su valor gobierna la naturaleza de las

soluciones del sistema; γ es una constante asociada con el bloqueo de una

dislocación móvil por un dipolo de dislocaciones lentas.

La función g es de la forma g(ρi) = α - βρi2 - cρi

3 donde α representa la

multiplicacción de dislocaciones por medio del proceso de Frank-Read, β la

aniquilación de dislocaciones como resultado de la interacción de dos vectores de

Burger opuestos y c es un parámetro asociado con la destrucción de dislocaciones

inmóviles.

Se supone, además, que Dm = 2

i

2m

0

v

γρ donde vm representa la velocidad promedio de

las dislocaciones móviles, y 0i

ρ es la densidad inicial de dislocaciones inmóviles.

Como resultado, tenemos la estimación Di << Dm [W-A 1], [W-A 2].

21

• V. El sistema de ecuaciones (P) considerado en este trabajo.

Se sigue el modelo presentado por los autores del artículo [S-F-B] que han

simplificado, por razones físicas, el modelo de Walgraef-Aifantis descartando el

término - cρi3 de la función g y tomado como dominio Ω el intervalo (0, 1),

idealización unidimensional de una barra de material, junto con condición de

Neumann en ∂Ω.

ut = d1∆u + α - βu2 - bu + γvu2

x ∈ Ω, t > 0

vt = d2∆v + bu - γvu2

(P) η∂

∂ u = 0

x ∈ ∂Ω, t > 0

η∂

∂ v = 0

Todos los coeficientes d1, d2, α, β, γ, b son constantes positivas, y las condiciones

iniciales u0, v0, son funciones continuas positivas.

22

Bibliografía del capítulo I

Elias C. Aifantis: “On the dynamical origin of dislocation patterns”, Materials

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24

Capítulo 2

Existencia

• I. Existencia local, caso general.

Sea Ω ⊂ ℜN un dominio acotado, cuya frontera ∂Ω es una (N-1)-dimensional

C2 + α-variedad diferenciable, α ∈ (0,1) de modo tal que Ω “vive” localmente a un

lado de ∂Ω.

De aquí en adelante (x,t) = (x1, x2, ..., xN, t) ∈ ℜN × [0, ∞).

Sea m ∈ N, D = diag(d1, d2, ..., dm) la matriz diagonal de los coeficientes de

difusión.

Nuestro problema es encontrar una solución u: Ω × [0, ∞) τ ℜm del sistema de

ecuaciones

ut – D∆u = F(x, t, u) (x, t) ∈ Ω × (0, ∞)

(2.1) B(x)•u(x, t) + η∂

∂ u(x, t) = 0 (x, t) ∈ ∂Ω × (0, ∞)

u(x, 0) = u0(x) x ∈ Ω

donde n(x) ∈ ℜN representa el vector normal exterior de norma uno en el punto

x ∈ ∂Ω y = ∂

∂=∂∂ N

1j jj x

)x(nn

es la derivada en la dirección de la normal exterior.

25

También pedimos:

B: ∂Ω → ℜm, B(x) = [B1(x), B2(x), ..., Bm(x)] Bj ∈ C1 + α (∂Ω) , Bj ≥ 0

u0: Ω → ℜm , u0 ∈ L∞

F: Ω × [0, ∞) × ℜm → ℜm , F medible en (x, t) para todo u ∈ ℜm

Para todo conjunto acotado A ⊂ Ω × [0, ∞) × ℜm, existe una constante L(A)

tal que

)A(L)u,t,x(F ≤∞ para todo (x, t, u) ∈ A

∞∞ −≤− vu)A(L)v,t,x(F)u,t,x(F para todo (x, t, u), (x, t, v) ∈ A

∞∞ •≤≤

=• )t,(umj1

max)t,(u j

Definición 2.1

Sea T ∈ (0, ∞]. Una E∞, 0, T solución suave del problema (2.1) para dato inicial

u0 ∈ L∞ (Ω, ℜm) en el intervalo de tiempo [0, T) es una función medible

u: Ω × (0, T) → ℜm que cumple:

u(•, t) ∈ L∞(Ω) y ∞•∈

)s,(u)t,0(s

sup < ∞ para todo t ∈ (0, T),

26

Además la función u cumple que:

u(•, t) = P(t)u0 + ••−t

0

ds)]s,(u,s,[F)st(P para todo t ∈ (0, T)

donde la integral es una integral de Bochner absolutamente convergente en L∞(Ω) y

P(t) es el semigrupo en el espacio L∞(Ω, ℜm) generado por el sistema (2.1) con

F ≡ 0. P(t) satisface que

∞∞ ≤ uu)t(P para todo u ∈ L∞(Ω, ℜm) , t ∈ [0, ∞) (ver [R] Pág. 110)

Teorema 2.1

Bajo las condiciones enunciadas anteriormente,

i) Para cada dato inicial u0 ∈ L∞(Ω, ℜm), existe T ∈ (0, ∞] tal que el problema (2.1)

tiene una única E∞, 0, T solución suave en el intervalo [0, T).

ii) Considerando el tiempo de existencia T como una funcional del dato inicial

u0 ∈ L∞(Ω, ℜm), obtenemos

inf T(u0) / u0 ∈ L∞(Ω, ℜm), ∞0u ≤ U0 > 0 para todo U0 ∈ [0,∞)

Además el tiempo puede elegirse maximal T = Tmax y en ese caso

∞→• )t,(ulim

maxTt = ∞ si Tmax < ∞

27

iii) Supongamos además

u0 ∈ C2 + α( Ω , ℜm) y que la constante L(A) definida anteriormente cumple que

]vustyx)[A(L)v,s,y(F)u,t,x(F 2 −+−+−≤−αα

para todo (x, t, u), (y, s, v) ∈ A

Entonces,

u ∈ 21

,2C

α+α+( Ω × [0, T], ℜm) para todo T ∈ (0, Tmax)

Dem. [R] Theorem 1, Pág. 111.

Mostraremos aquí unicamente la demostración para el punto i)

Sea U0 ∈ [0, ∞), U = U0 + 21

Elijamos T0 ∈ (0, ∞) y definamos el conjunto acotado

A = Ω × [0, T0] × [-U, U] m ⊂ Ω × [0, ∞) × ℜm . Sea L(A) la constante asociada

con A, y tomemos T ∈ (0, T0] de modo tal que L(A)T ≤ 21

Definamos el conjunto

Γ = u: Ω × [0, T] → ℜm medible, u(•, t) ∈ L∞(Ω) / u = ∞•∈

)s,(u]T,0[s

sup ≤ U

Claramente Γ es cerrado, y no vacío (0 ∈ Γ), Γ ⊂ L∞( Ω × [0, T]), por lo que Γ es

completo.

28

Para un dato inicial u0 ∈ L∞(Ω, ℜm), ∞0u ≤ U0 , sea la función Φ definida por

Φ(u)(•, t) = P(t)u0 + ••−t

0

ds)]s,(u,s,[F)st(P para todo t ∈ [0, T]

Mostremos que Φ es un operador de contracción que aplica el conjunto Γ en sí

mismo.

a) Sea u ∈ Γ, t ∈ [0, T]

∞•Φ )t,)(u( ≤ ∞0u + ds)]s,(u,s,[Ft

0 ∞•• ≤ ∞0u + L(A)t ≤ ∞0u + L(A)T ≤

≤ U0 + 21

= U.

Entonces, )u(Φ ≤ U. Luego, Φ(u) ∈ Γ, es decir, Φ aplica el conjunto Γ en sí

mismo.

b) Sean u, v ∈ Γ, t ∈ [0, T]

∞•Φ−•Φ )t,)(v()t,)(u( ≤ ds)]s,(v,s,[F)]s,(u,s,[Ft

0 ∞••−•• ≤

≤ L(A) ds)s,(v)s,(ut

0 ∞•−• ≤ L(A) vu − t ≤ L(A) vu − T ≤

21

vu −

Entonces, )v()u( Φ−Φ ≤ 21

vu − , es decir, Φ es operador de contracción

29

c) Aplicando el teorema de punto fijo de Banach, concluimos que existe una única

u ∈ Γ tal que Φ(u) = u.

Es inmediato ver que la solución obtenida cumple todas las propiedades de la

Definición (2.1).

• II. Existencia local. Caso m = 2

Sea Ω un dominio acotado en ℜn con frontera suave ∂Ω, ∆ el operador

Laplaciano en Ω y η∂

∂ la derivada normal exterior en ∂Ω . Consideremos el

sistema de ecuaciones de reacción - difusión

ut = d1∆u + f(t, u, v),

x ∈ Ω, t > 0,

vt = d2∆v + g(t, u, v),

(2.2) α1u + (1 - α1) η∂∂ u

= β1 ,

x ∈ ∂Ω, t > 0,

α2v + (1 - α2) η∂∂ v

= β2 ,

u = u0 , v = v0 , x ∈ Ω, t = 0

30

donde son asumidas como válidas las siguientes hipótesis básicas:

(H1) d1 , d2 , α1 , α2 , β1 y β2 son constantes, d1 , d2 > 0; β1 , β2 ≥ 0; y se cumple

uno de los siguientes casos

0 < α1 , α2 < 1, α1 = α2 = 1, ó α1 = α2 = 0.

Además, β1 = β2 = 0 si α1 = α2 = 0

(H2) f y g son funciones C1 de [0, ∞)3 en ℜ, cumpliendo

f(t, 0, η) ≥ 0 , g(t, ξ, 0) ≥ 0 para todo t, ξ, η ≥ 0

(H3) u0 , v0 son funciones medibles en Ω y existe una constante M0 > 0 tal que

0 ≤ u0(x), v0(x) ≤ M0 para todo x ∈ Ω.

Teorema 2.2

Asumiendo como válidas las hipótesis (H1)-(H3), el sistema (2.2) tiene una única,

no prolongable solución (clásica) (u, v) en Ω × [0, T*), y existen funciones

continuas N1 , N2 : [0, T*) → [0, ∞) tales que

0 ≤ u(x,t) ≤ N1(t), 0 ≤ v(x,t) ≤ N2(t) para todo (x,t) ∈ Ω × [0, T*).

31

Si T* < ∞ entonces ∞=+Ω∈↑

)t,x(v)t,x(usuplimxTt *

Dem. [H-M-P] Proposition 1.

• III. Existencia global

Supongamos ahora las siguientes hipótesis:

(H4) f, g son funciones medibles de (0, ∞)3 en ℜ tales que

( )vvuu)r(K)v,u,t(g)v,u,t(g)v,u,t(f)v,u,t(f −+−≤−+−

para todo 0 ≤ u, v, û, v ≤ r , c.t.p t

(H5) Existe L: [0, ∞) → [0, ∞) continua, tal que para todo u, v ∈ [0, ∞), c.t.p. t

g(t, u, v) ≤ L(t)(u + v + 1)

f(t, u, v) + g(t, u, v) ≤ L(t)(u + v + 1)

(H6) u0, v0 ∈ L∞(Ω), u0, v0 ≥ 0

32

(H7) f(t, u, v) ≤ L1(t, v)(uθ + 1) en c.t.p. t, para todo u, v ∈ [0, ∞), donde

θ ≥ 1, L1: (0,∞)2 → ℜ

(H8) Si en el sistema (2.1) α1 = 1 entonces α2 = 1 ó β1 = 0

Teorema 2.2

Asumiendo como ciertas las hipótesis (H4)-(H8), el sistema (2.1) tiene una solución

clásica con T* = ∞

Dem. [M-P] Theorem 1.1

• IV. Aplicación al problema (P).

Teorema 2.3

El sistema (P) tiene una única solución clásica global en Ω × [0, ∞) y existen

funciones continuas N1 , N2 : [0,∞) → [0, ∞) tales que

0 ≤ u(x,t) ≤ N1(t), 0 ≤ v(x,t) ≤ N2(t) para todo (x,t) ∈ Ω × [0,∞).

Dem.

Lo único que hay que demostrar es que se cumplen las hipótesis (H1) – (H8) y aplicar

los teoremas (2.1) y (2.2)

33

(H1) d1, d2 > 0, constantes; α1 = α2 = 0 y β1 = β2 = 0

(H2) f, g en este caso estan dadas por

f(u, v) = α - βu2 - bu + γvu2, g(u, v) = bu - γvu2

Es obvio que f, g: [0, ∞) → ℜ son de clase C1 y además se verifica que

f(t, 0, η) = α > 0 , g(t, ξ, 0) = bξ ≥ 0 para todo ξ ≥ 0

(H3) u0 , v0 son funciones continuas y positivas en Ω, con Ω dominio acotado en

ℜn por lo tanto existe una constante M0 > 0 tal que

0 ≤ u0(x), v0(x) ≤ M0 para todo x ∈ Ω.

(H4) Es evidente que f, g son funciones medibles de (0, ∞) 2 en ℜ

Sean 0 ≤ u, v, u , v ≤ r, entonces

)v,u(f)v,u(f − = vuubuvubuu 2222 γ−+β+γ+−β− ≤

≤ β 22 uu − + b uu − + γ vuvu 22 −

34

22 uu − = )uu)(uu( −+ = uu + uu − = (u + u ) uu − ≤

≤ 2r uu − vuvu 22 − = vuvuvuvu 2222 −+− ≤ u2 vv − + v 22 uu −

= u2 vv − + v 22 uu − ≤ r2 vv − + r 22 uu − ≤ r2 vv − + 2r2 uu −

Reuniendo lo calculado, obtenemos

)v,u(f)v,u(f − ≤ 2βr uu − + b uu − + γr2 vv − + 2γr2 uu − =

= (2βr + b + 2γr2) uu − + γr2 vv −

Similarmente se obtiene para g

)v,u(g)v,u(g − ≤ (b + 2γr2) uu − + γr2 vv −

Luego,

)v,u(f)v,u(f − + )v,u(g)v,u(g − ≤ (2βr + 2b + 4γr2) uu − + 2γr2 vv −

≤ K(r)[ uu − + vv − ] donde K(r) = 2βr + 2b + 4γr2

(H5) Sean L = max(α, b), u, v ≥ 0. Entonces

f(u, v) + g(u, v) = α - βu2 ≤ α ≤ α(u + v+1) ≤ L(u +v +1)

g(u,v) = bu - γvu2 ≤ bu ≤ b(u + v + 1) ≤ L(u + v +1)

(H6) Inmediata

35

(H7) Sean L1(v) = α + θv, θ = 2, u, v ≥ 0. Entonces

f(u, v) = α - βu2 - bu + γvu2 ≤ α + γvu2 ≤ α(u2 + 1) + θv(u2 + 1) = L1(v)(uθ + 1)

(H8) α1 = 0

El teorema está demostrado.

36

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39

Capítulo 3

Estabilidad de las soluciones estacionarias

• I. Teoría general.

Sean z = (z1, z2, …, zk), f = (f1, f2, …, fk), D la matriz diagonal de elementos

(D1, D2, …, Dk), Di > 0 ∀ 1 ≤ i ≤ k, ∆z = (∆z1, ∆z2, …, ∆zk), ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, … ϕ k),

que satisfacen el sistema

)z(fzDtz +∆=

∂∂

en Ω × [0, ∞)

(3.1) z(x, 0) = ϕ (x) x∈ Ω

0z =η∂

∂ en ∂Ω × [0, ∞)

donde Ω ⊂ ℜn es un dominio acotado con frontera suave, f es diferenciable en 0 y

f (0) = 0.

Bajo ciertas condiciones, se podría esperar que la solución del sistema (3.1) se

aproximara, cuando t → ∞, a la solución del sistema de ecuaciones del estado

estacionario (3.2)

40

0)z(fzD =+∆ en Ω

(3.2)

0z =η∂

∂ en ∂Ω

Soluciones de (3.2) son llamadas soluciones estacionarias del sistema (3.1).

Dado que f(0) = 0 es claro que Z ≡ 0 es en particular una solución estacionaria

costante de (3.1).

Definición 3.1

Sea 2

)x(gxsup

gΩ∈

=∞ , donde 2k

1jj2

)x(g)x(g =

=

i) Una solución estacionaria ξ(x) de (3.1) es estable si para todo ε > 0 existe

δ > 0 tal que si ∞ξ−ϕ < δ entonces

∞ξ−• )t,(z < ε para todo t ≥ 0

ii) La solución ξ(x) es llamada asintóticamente estable si existe δ > 0 tal que si

∞ξ−ϕ < δ entonces

∞ξ−• )t,(z < ε para todo t ≥ 0 y ∞ξ−• )t,(z → 0 cuando t → ∞

41

iii) Si δ puede ser elegido arbitrariamente grande, entonces la solución ξ(x) es

globalmente asintóticamente estable.

iv) La solución ξ(x) es inestable si no es estable.

Teorema 3.1

Sean 0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ …, Φ0, Φ1, Φ2, … soluciones del problema

-∆Φi = λi Φi en Ω

(3.3) 0i =η∂

Φ∂ en ∂Ω

Ω

=Φ 1dx)x(2i

Siendo f diferenciable en 0, podemos escribir

f(z) = Az + g(z), con A ∈ ℜk × k , 0z

)z(glim

0z=

∞

∞

→

42

Definimos el sistema linearizado como:

AzzDtz +∆=

∂∂

en Ω × [0, ∞)

(3.4) z(x, 0) = ϕ (x) x∈ Ω

0z =η∂

∂ en ∂Ω × [0, ∞)

Llamemos Ai = A – λiD. Entonces:

i) Si para todo i ≥ 0 los autovalores de Ai tienen parte real negativa, la solución

estacionaria z ≡ 0 del sistema (3.4) es globalmente asintóticamente estable.

Además, existen constantes K, ω > 0 tales que

∞ω−

∞ ϕ≤• tKe)t,(z para todo t > 0

ii) La solución estacionaria z ≡ 0 del sistema (3.4) es estable si para todo i ≥ 0 los

autovalores de Ai tiene parte real menor o igual a cero y aquellos con parte real igual

a cero son autovalores de multiplicidad 1.

iii) La solución estacionaria z ≡ 0 del sistema (3.4) es inestable si para algún i ≥ 0

existe un autovalor de Ai que tiene parte real positiva o con parte real igual a cero y

de multiplicidad mayor que 1.

Dem. [C-H] Theorem 1.

43

Teorema 3.2

La solución estacionaria z ≡ 0 del sistema (3.1) es asintóticamente estable si la

solución estacionaria z ≡ 0 del sistema (3.4) es asintóticamente estable.

Dem. [C-H] Theorem 2

• II. Aplicación al problema (P).

Para poder aplicar los resultados de la sección I a nuestro problema, el primer paso es

definir nuevas variables (x, y) de modo que las funciones f(x, y), g(x, y) (donde f,

g estan dadas por f(u, v) = α - βu2 - bu + γvu2, g(u, v) = bu - γvu2) satisfagan:

f(0,0) = g(0,0) = 0

i) Para eso observemos primero que:

f(P) = g(P) = 0 , P > 0 sii P = (Ue, Ve) =

αβ

γβα b

,

pues, 0 = g(Ue, Ve) = bUe - γVeUe2 , lo que equivale a Ue = 0 ó Ve =

eUb

γ.

44

Como f(0, v) = α > 0, Ue = 0 no sirve. Remplazando la segunda posibilidad

obtenemos 0 = f(Ue, eU

bγ

) = α - βUe2 ; por lo tanto Ue =

βα

(descaratando la

solución negativa -βα

). Con el valor de Ue obtenido, encontramos que

Ve = eU

bγ

= αβ

γb

Evidentemente la constante (Ue, Ve) es solución del problema (P) tomando como

condición inicial

u(x, 0) ≡ Ue , v(x, 0) ≡ Ve

ii) El siguiente paso es hacer un desarrollo de Taylor en el punto (Ue, Ve) de las

funciones f y g

( )ee V,Uuf

∂∂

= 2Ue(γVe - β) – b = 2b - 2βUe - b = b - 2βUe = b - 2 αβ

)V,U(u

fee2

2

∂∂

= 2(γVe - β) = 2αβ

b - 2β

vf

∂∂

(Ue, Ve) = γUe2 =

βγα

vuf2

∂∂∂

(Ue, Ve) = 2γUe = 2γβα

45

vuf

2

3

∂∂∂

(Ue, Ve) = 2γ

Llamando a las nuevas variables (Z, W) = (u – Ue, v – Ve) podemos escribir:

f(Z, W) = (b - 2 αβ )Z + βγα

W + (αβ

b - β)Z2 + 2γβα

ZW + γZ2W

Procediendo de igual modo con g,

( )ee V,Uug

∂∂

= b - 2UeγVe = b = b – 2b = -b

)V,U(u

gee2

2

∂∂

= -2γVe = -2αβ

b

vg

∂∂

(Ue, Ve) = -γUe2 = -

βγα

vug2

∂∂∂

(Ue, Ve) = -2γUe = -2γβα

vug

2

3

∂∂∂

(Ue, Ve) = -2γ

46

Entonces,

g(Z, W) = -bZ - βγα

W - αβ

b Z2 - 2γβα

ZW - γZ2W

y el problema (P) se transforma en:

Zt = d1∆Z + (b - 2 αβ )Z + βγα

W + (αβ

b - β)Z2 +

+ 2γβα

ZW + γZ2W

(P1) Wt = d2∆W - bZ - βγα

W - αβ

b Z2 - 2γβα

ZW - γZ2W

η∂

∂ Z = 0 ,

η∂∂ W

= 0 ,

iii) Podemos ahora entonces escribir la matriz A definida en el teorema (3.1)

A =

βγα−−

βγααβ−

b

2b

y la matriz de coeficientes

D =

2

1

d00d

47

iv) De aquí en adelante en esta sección, por motivos de simplicidad, el dominio Ω

será el intervalo (0, 1). Sean 0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ …, Φ0, Φ1, Φ2, … soluciones del

problema

-∆Φi = λi Φi en Ω

0i =η∂

Φ∂ en ∂Ω

Ω

=Φ 1dx)x(2i

Entonces, (ver [W] Pág. 73) tenemos

λj = (jπ)2 j ≥ 0

Φj(x) = 2 cos(jπx) j ≥ 0

y obtenemos las matrices

Aj = A - λjD =

π−βγα−−

βγαπ−αβ−

222

122

djb

dj2b

48

con polinomio característico

Qj (R) = R2 – [b - 2 αβ - βγα

- j2π2(d1 + d2)]R + j4π4d1d2 +

+ j2π2[(2 αβ - b)d2 + βγα

d1] + 2βγα αβ

Para ver en qué casos los autovalores de Aj tienen parte real positiva, usaremos dos

métodos contenidos en los siguientes lemas.

Lema 3.1 (Gerschgorin)

Los autovalores de la matriz A = (aij) están situados en la unión de los discos

Di = z ∈ C / z - aii ≤ ≠ ji

ija

Dem. [H-N-W] Pág.91

Lema 3.2

La parte real de las raíces del polinomio x2 + bx + c es negativa sí y sólo sí b, c > 0

Dem.

Dado que los coeficientes del polinomio son reales, tenemos solamente dos

posibilidades para las raíces:

i) Z1, Z2 ∈ ℜ ó ii) Z, Z , Z ∈ C

49

Si se cumple ii),

–b = Z + Z = 2Re(Z). Entonces Re(Z) < 0 si y solo si b > 0

Si se cumple i),

Si Z1, Z2 < 0, entonces -b = Z1 + Z2 < 0, por lo tanto b > 0.

Además, c = Z1Z2 > 0

Si b, c > 0 llamemos θ = 2b

.

Entonces,

Z1 = - c2 −θ - θ < 0 , Z2 = c2 −θ - θ

Usando la desigualdad

xy ≤ ( )

4yx 2+

con x = Z1, y = Z2 resulta

c ≤ 4

b2

= θ2 0 ≤ θ2 – c

Como c > 0, entonces 0 ≤ θ2 – c < θ2 , por lo tanto c2 −θ < θ.

Luego,

Z2 = c2 −θ - θ < 0.

50

Teorema 3.3

Sean θ = 2 αβ , ρ = 2

1

dd

βγα

. Supongamos que

i) b < min θ - β

αγ,

βαγ

ii) b < θ

iii) b < min θ + ρ1

2

dd

, ( )2ρ+θ

Si i), ii) ó iii) son ciertas, entonces la solución estacionaria constante 0 del problema

(P1) es asintóticamente estable.

Dem.

i) Para el caso 2 × 2 el Lema 3.1 nos asegura que los autovalores de Aj estan

situados en

1j raz/Cz ≤−∈ ∪ 2j rdz/Cz ≤−∈

donde aj = b – θ – π2j2d1 , r1 = β

αγ, dj = -

βαγ

– π2j2d2 , r2 = -b

Dado que los radios r1 , r2 no dependen de j , y los centros aj , dj van

“retrocediendo” en el semiplano Re(z) < 0 a medida que j aumenta, basta ver que

los primeros círculos con j = 0 están contenidos en Re(z) < 0.

51

Es decir, para garantizar que los autovalores de Aj estén contenidos en Re(z) < 0

para todo j ≥ 0, basta pedir que

0 > a0 = b – θ

0 > a0 + r1= b – θ + β

αγ

0 > d0 = -β

αγ

0 > d0 + r2= - β

αγ+ b

Puesto que b – θ + β

αγ > b – θ y -

βαγ

< 0 , sólo tenemos que exigir que

0 > b – θ + β

αγ y 0 > -

βαγ

+ b,

es decir,

b < θ - β

αγ y b <

βαγ

por lo tanto, basta con pedir b < min θ - β

αγ,

βαγ

Luego, si b < min θ - β

αγ,

βαγ

los autovalores de Aj están contenidos en

Re(z) < 0 para todo j ≥ 0 y el teorema (3.2) nos asegura que la solución

estacionaria constante 0 del problema (P1) es asintóticamente estable.

52

ii) Dado que los autovalores de la matriz Aj son las raíces del polinomio

Qj (R) = R2 – [b - θ - βγα

- j2π2(d1 + d2)]R + j4π4d1d2 +

+ j2π2[(θ - b)d2 + βγα

d1] + θβγα

el Lema (3.2) nos garantiza que los autovalores de Aj están contenidos en

Re(z) < 0 para todo j ≥ 0 , siempre y cuando

– [b - θ - βγα

- j2π2(d1 + d2)] > 0 para todo j ≥ 0

j4π4d1d2 + j2π2[(θ- b)d2 + βγα

d1] + θβγα

> 0 para todo j ≥ 0

Reorganizando los términos, debe cumplirse que

b < θ + βγα

+ j2π2(d1 + d2) para todo j ≥ 0

j4π4d1d2 + j2π2[(θ - b)d2 + βγα

d1] + θβγα


Si pedimos que b < θ , entonces

b < θ < θ + βγα

≤ θ + βγα


53

y dado que ahora θ – b > 0 resulta

j4π4d1d2 + j2π2[(θ - b)d2 + βγα

d1] + θβγα


Como en el punto i), el Teorema (3.2). asegura el resutado.

iii) Siguiendo adelante con el análisis comenzado en el punto ii) vimos que debía

cumplirse

b < θ + βγα


j4π4d1d2 + j2π2[(θ - b)d2 + βγα

d1] + θβγα


La primera desigualdad se satisface para todo j ≥ 0 pidiendo que b < θ + βγα

Para j = 0 la segunda desigualdad resulta cierta pues claramente θβγα

> 0

Para j ≥ 1, reagrupando términos, obtenemos que debe cumplirse

b < j2π2d1 + θ + ρ + θ22

2 jd πβγα

= H(ξj)

donde H(ξj) = d1ξj + θ + ρ + j1d ξ

θρ , con ξj = j2π2 , ρ =

2

1

dd

βγα

54

Remplazando ahora a ξj por ξ como variable continua en el intervalo (0, ∞)

H′ (ξ) = d1 - 21d ξθρ

H′ (ξ) = 0 sí y sólo sí ξ2 = 2

1d

θρ y puesto que estamos trabajando en el intervalo

(0, ∞) tomamos

ξMin = 1d

θρ

Reemplazando en H ′′ (ξ) = 23

1d ξθρ

, tenemos H ′′ (ξMin) > 0, lo que nos dice que la

función H alcanza un mínimo en el punto ξMin ∈ (0, ∞)

H(ξMin) = d11d

θρ + θ + ρ +

1dθρ

θρ1d

= 2 θρ + θ + ρ = ( )2ρ+θ

Entonces debemos pedir sobre b las siguientes condiciones

b < θ + βγα

= θ + ρ1

2

dd

b < ( )2ρ+θ

55

Es decir, debemos exigir

b < min θ + ρ1

2

dd

, ( )2ρ+θ

Nuevamente, el teorema 3.2 nos da el resultado.

Observación

Evidentemente, la cota menos restrictiva para b es la número iii) puesto que

min θ - β

αγ,

βαγ

≤ θ - β

αγ ≤ θ

θ ≤ θ + ρ1

2

dd

, θ ≤ ( )2ρ+θ θ ≤ min θ + ρ

1

2

dd

, ( )2ρ+θ

Con lo que tenemos

min θ - β

αγ,

βαγ

≤ θ ≤ min θ + ρ1

2

dd

, ( )2ρ+θ

Corolario

Bajo las hipótesis del teorema (3.3), la solución estacionaria constante (Ue, Ve) del

problema (P) es asintóticamente estable.

Dem.

(Z, W) → 0 sii (u – Ue , v - Ve) → 0 sii (u, v) → (Ue, Ve)

56

• III. Ejemplo

Tomemos α = 100, β = 4, γ = 1, d1 = 20.3, d2 = 1000 θ = 40, ρ = 0.5075

Entonces, las diversas cotas para b resultan ser:

i) min 15, 25 = 15

ii) 40

iii) min 65, 49.5186 = 49.5186

de donde claramente se sigue que la cota menos restrictiva para b es la iii).

57


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60

Capítulo 4

Regiones invariantes

• I. Teoría general

Para dos vectores a, b ∈ ℜn el símbolo a < b significará ai < bi para todo i.

Sean Ei i = 1, ..., n operadores diferenciales uniformemente elípticos lineales de

segundo orden en m variables espaciales

Ei = ==

∂+∂∂m

1jxjix

m

1k,jxjki jkj

)t,x(b)t,x(a

con coeficientes uniformemente acotados, definidos en un dominio cerrado D ,

donde D = Ω × (0, T) para algún T > 0, y para un (posiblemente no acotado)

dominio Ω ⊂ ℜm

Teorema 4.1

Sean a < b dos vectores constantes en ℜn tales que

Fj (x, t, u) < 0 para uj = bj , a ≤ u ≤ b, (x, t) ∈ D y

Fj (x, t, u) > 0 para uj = aj , a ≤ u ≤ b, (x, t) ∈ D

61

Sea u solución de

tu i

∂∂

- Ei ui = Fi i = 1, ..., n

a ≤ u ≤ b para t = 0

a ≤ u ≤ b ó η∂

∂u = 0 para x ∈ ∂Ω

Entonces,

a < u < b para todo (x, t) ∈ D

En otras palabras, el rectángulo [a, b] es invariante para el sistema de ecuaciones de

reacción-difusión.

Dem. [F] Corollary 5.2

Haremos una demostración para el caso m = 1, Ei = di∆, con di > 0, Fi = Fi(u)

Supongamos que el resultado no es cierto. Entonces, para cierto i existe (x0, t0) tal

que

ui(x0, t0) = bi , ui(x, t) < bi para todo (x, t) ∈ Ω × (0, t0) (E.1)

62

lo que implica que

tu i

∂∂

(x0, t0) = h

)ht,x(u)t,x(ulim 00i00i

0h

−−+→

= h

)ht,x(ublim 00i

0h

−−+→

≥ 0 (E.2)

Sea U(x) = ui(x, t0), entonces U(x0) = bi

i) Supongamos que U′(x0) > 0

Si U(x) ≤ bi para todo x > x0 entonces

h)x(U)hx(U 00 −+

= h

b)hx(U i0 −+ ≤ 0 para todo h > 0

Luego resultaría U′(x0) ≤ 0 Abs.

Entonces, existe x1 > x0 tal que U(x1) > bi , es decir ui(x1, t0) > bi

Como ui es continua en (x1, t0) , existe r > 0 tal que

ui(x, t) > b para todo (x, t) ∈ Br(x1, t0)

Luego, existe t1 < t0 tal que ui(x1, t1) > b lo cual contradice (E.1)

63

ii) Supongamos que U′(x0) < 0

Si U(x) ≤ bi para todo x < x0 entonces

h)hx(U)x(U 00 −−

= h

)hx(Ub 0i −− ≥ 0 para todo h > 0

Luego resultaría U′(x0) ≥ 0 Abs.

Entonces, existe x1 < x0 tal que U(x1) > bi , es decir ui(x1, t0) > bi

Como ui es continua en (x1, t0) , existe r > 0 tal que

ui(x, t) > b para todo (x, t) ∈ Br(x1, t0)

Luego, existe t1 < t0 tal que ui(x1, t1) > b lo cual contradice (E.1)

iii) Por i) y ii) concluimos que U′(x0) = 0

Por (E.1) sabemos que ui(x, t) < bi para todo (x, t) ∈ Ω × (0, t0)

Entonces, cuando t → t0 resulta ui(x, t0) ≤ bi para todo x ∈ Ω

Es decir, U(x) alcanza un máximo en x0

64

Por lo tanto, U′′(x0) ≤ 0 , es decir ∆ui(x0, t0) ≤ 0

Entonces,

tu i

∂∂

(x0, t0) = di∆ui(x0, t0) + Fi[u1(x0, t0), ..., ui(x0, t0), ..., un(x0, t0)] =

= di∆ui(x0, t0) + Fi[u1(x0, t0), ..., b, ..., un(x0, t0)] ≤

≤ Fi[u1(x0, t0), ..., b, ..., un(x0, t0)] < 0

lo que contradice (E.2)

Luego, la proposición es cierta.

• II. Aplicación al problema (P)

Lema 4.1

Sean r: (0, ∞) → ℜ, s: (0, ∞) → (0, ∞), Q:ℜ → ℜ, definidas por

r(x) = 2

2

xxbx

γα−+β

, s(x) = xbγ

, Q(x) = -Kx2 + x + 1

Definamos además las constantes

K = 2bβα

,

65

Z = β

−βα+2

b4b2

= 2

11K4b −+β

M = b

2α = K2

bβ

y recordemos que

Ue = βα

= Kbβ

, Ve = αβ

γb

= K1

γβ

Entonces, tenemos los siguientes resultados:

i)s s(x) = x ∀ x, y > 0 y x < y s(x) > s(y)

ii) 0 < Z < Ue

iii) r(Z) = 0

iv) f es creciente en (0 , M]

v)

βc

br =

γβ

c1

Q ,

βc

bs =

c1

γβ

para todo c > 0

vi) Si K > 0, K1

K1

Q =

.

Además, Q′ (x) < -1 para todo x > K1

66

Dem.

i) Claramente s s(x) = x. Además,

s′(x) = 2xb

γ− < 0 ∀ x ≠ 0, por lo tanto s es decreciente

ii) b2 + 4αβ > b2 βα+4b2 > b βα+4b2 - b > 0 Z > 0

Usando la desigualdad x2 + y2 < (x + y)2 , resulta

22 yx + < x + y para x, y ≥ 0

Reemplazando en la desigualdad anterior con x = b, y = 2 βα obtenemos

βα+4b2 < b + 2 βα

Entonces,

Z = β

−βα+2

b4b2

< βα

= Ue

iv) r′(x) = 3xbx2

γ−α

, entonces si 0 ≤ x ≤ b

2α se sigue que r′(x) ≥ 0 y por lo

tanto r es creciente en (0 , M]

67

v)

βc

br =

22

2

c1

bc1

bb

γαβ−β

γ+

γβ

= 2c

1K

c1

γβ−

γβ+

γβ

=

γβ

c1

Q

βc

bs =

bcb βγ

= c1

γβ

vi)

K1

Q = 1K1

K1

K ++− = K1

Q′ (x) = -2Kx + 1

Si x > K1

Kx > 1 -2Kx < -2 Q′ (x) = -2Kx + 1 < -1

Teorema 4.2

Supongamos que K > 1.

Entonces

i) K1

K1

0 −<

ii) Tomando 0 < δ <K1

K1 − obtenemos que

Q′(ξ) < -1 para todo ξ > K1

- δ

68

iii) Sea nuevamente 0 < δ <K1

K1 −

Si llamamos a1 = βδ+b

K1K

y b1 = βδ−b

K1K

, entonces

0 < a1 < Ue < b1 < M

r(a1) < s(b1) y s(a1) < r(b1)

iv) Se verifica la desigualdad 0 < 11K4

2−+

- K1

.

y si δ < 11K4

2−+

- K1

, entonces Z < a1

Finalmente, tenemos el siguiente resultado:

v) Tomando a2, b2 > 0 tales que r(a1) < a2 < s(b1) y s(a1) < b2< r(b1) resulta que

Σ = [a1 , b1 ] × [a2 , b2] es un rectángulo positivamente invariante para el sistema

(P), y la solución constante (Ue, Ve) ∈ Σ

Dem.

i) K > 1 K(K-1) > 0 K2 – K > 0 K2 > K K > K K1

< K1

69

ii) Por la parte i), sabemos que K1

K1

0 −< , entonces podemos elegir un δ tal

que

0 < δ <K1

K1 −

Sea ξ > K1

- δ, entonces

ξ > K1

- δ > K1

- (K1

K1 − ) =

K1

Lo que implica, por el Lema (4.1) (vi), que Q′(ξ) < -1

iii) a1 = βδ+b

K1K

y b1 = βδ−b

K1K

, lo que muestra evidentemente que a1 > 0

0 < δ K 1 - δ K < 1 < 1 + δ K K1

1δ+

< 1 < K-1

1δ

K1

Kδ+

< K < K-1

Kδ

βb

K1K

δ+ <

βb

K < βb

K-1K

δ

lo que prueba que a1 < P < b1

70

δ <K1

K1 − <

K21

K1 − δ K < 1 -

K21

K2

1 < 1 - δ K

K-1

1δ

< 2 K K-1

Kδ

< 2K βb

K-1K

δ < 2K

βb

lo que muestra que b1 < M

Aplicando el Lema 4.1 (v), para a1 , b1 obtenemos

r(a1) =

δ+γβ

KK1

Q =

δ+γβ

K1

Q

r(b1) =

δ−γβ

KK1

Q =

δ−γβ

K1

Q

s(a1) =

δ+γβ

KK1

=

δ+γβ

K1

s(b1) =

δ−γβ

KK1

=

δ−γβ

K1

71

Usando el hecho demostrado en el Lema (4.1) (vi) de que K1

K1

Q =

, resulta

δ+K1

Q -

δ−K1

=

δ+K1

Q -

K1

Q + δ

Apliquemos el teorema de valor medio a Q:

δ+K1

Q -

K1

Q = δQ′(ξ1) con ξ1 ∈ (K1

, δ+K1

)

Como ξ1 > K1

> K1

- δ resulta por la parte ii) que Q′(ξ1) < -1. Luego,

δ+K1

Q -

δ−K1

< -δ + δ = 0

Es decir,

δ+K1

Q <

δ−K1

Multiplicando ambos lados por γβ

, resulta

r(a1) =

δ+γβ

K1

Q <

δ−γβ

K1

= s(b1)

72

Procediendo de idéntica manera,

δ−K1

Q -

δ+K1

=

δ+K1

Q -

K1

Q - δ = -δQ′(ξ2) - δ

con δ2 ∈ (K1

, δ+K1

)

Luego,

δ−K1

Q -

δ+K1

> δ - δ = 0

δ+K1

<

δ−K1

Q

γβ

δ+K1

< γβ

δ−K1

Q

s(a1) < r(b1)

iv) Por el Lema (4.1)(ii), Z < Ue

bβ

K1

< bβ

11K42

−+

K1

< 11K4

2−+

0 < 11K4

2−+

- K1

73

Si δ < 11K4

2−+

- K1

δ + K1

< 11K4

2−+

K1K +δ

< 11K4

2−+

211K4 −+

< 1K

K+δ

211K4 −+

< 1K

K+δ

βb

211K4 −+

< βb

1KK

+δ

Z < a1

v) Como 0 < a1 < b1 entonces 0 < s(a1), 0 < s(b1)

Entonces, podemos elegir a2, b2 positivos tales que

max 0, r(a1) < a2 < s(b1) y s(a1) < b2< r(b1)

a2 < s(b1) y s(a1) < b2 por el Lema (4.1) (i) s(b2) < a1 < b1 < s(a2)

74

a1 ≤ u ≤ b1 s(b2) < u < s(a2) b2 > s(u) > a2 a2 < u

bγ

< b2

22 auγ < bu < 2

2 buγ bu - γ b2 u2 < 0 < bu - γ a2 u

2

F2(u, b2) < 0 < F2(u, a2)

a2 ≤ v ≤ b2 r(a1) < v < s(b1) 21

12

1

a

aba

γα−+β

< v < 21

12

1

b

bbb

γα−+β

vbbbb 211

21 γ+−β−α < 0 < vaaba 2

112

1 γ+−β−α

F1(b1, v) < 0 < F1(a1, v)

El Teorema (4.1) nos asegura el resultado. Además, en el punto iii) vimos que

a1 < Ue < b1, entonces por el Lema (4.1) i), s(b1) < s(Ue) < s(a1). Pero,

s(Ue) = eU

1bγ

= αβ

γb

= Ve . Luego, a2 < s(b1) < Ve < s(a1) < b2

75

Corolario 4.1

Sea Σ obtenido en el teorema anterior. Entonces

i) Σ ⊂ [0, bα

] × [0, γβ

]

ii) Σ “→” (Ue, Ve) cuando K → 1 ó K → ∞

iii) El Σ “más grande”, se obtiene cuando K = 4

Dem.

i) δ <K1

K1 − δ K < 1 -

K1

K1

< 1 - δ K K1

1δ−

< K

K1

Kδ−

< K βb

K1K

δ− <

βb

K = bα

Luego, b1 < bα

Como b2 < r(b1) y b1 < bα

b2 < r(b1) <

αb

r = 2

2bbbγαα−

αγ+

γβ

= γα

−γα

+γβ 22 bb

= γβ

76

ii) Si K → 1 ó K → ∞ entonces δ → 0 lo que implica

a1 = βδ+b

K1K

→ Kβb

= βα

y b1 = βδ−b

K1K

→ Kβb

= βα

Entonces, r(a1) → r(βα

) = αβ

γb

y r(b1) → r(βα

) = αβ

γb

De igual modo, s(a1) → s(βα

) = αβ

γb

y s(b1) → s(βα

) = αβ

γb

de modo que a2 → αβ

γb

, b2 → αβ

γb

iii) Definamos la función w: (0, ∞) → ℜ w(K) = K1

K1 −

w′(x) = 2K

1 -

23

K

121

= 0 si K = 4

w′′(x) = 3

25 K

2

K

143 − ; w′′(4) =

1281− < 0

Luego, w alcanza un máximo en K = 4

77

• III. Ejemplo

Tomemos α = 100, β = 4, γ = 1, b =10 K = 4, Ue = 5, Ve = 2.

K1

K1 − = 0.25 , es decir bastará tomar δ < 0.25.

Eligiendo δ = 0.24, resulta a1 = 37

125 ≈ 3.378, b1 =

13125

≈ 9.615

r(a1) = -1.8016, s(b1) = 1.04

r(b1) = 3.9584, s(a1) = 2.96

de modo que podemos elegir a2 ∈ (0, 1.04), b2 ∈ (2.96, 3.9584)

78


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79

Capítulo 5

Comportamiento asintótico

• I. Teoría general.

Sea Ω ⊂ ℜm, m ≥ 1 un dominio acotado con frontera “razonablemente suave” ∂Ω.

Consideremos el sistema de ecuaciones de reacción-difusión

tu

∂∂

= D∆u + j

m

1jj x

u)u,x(A

∂∂

=

+ f(u) (x, t) ∈ Ω × (0, ∞)

(5.1) η∂

∂u = 0 (x, t) ∈ ∂Ω × (0, ∞)

u(x, 0) = u0(x) x ∈ Ω

donde u = (u1, u2, ..., un), n ≥ 1, D es una matriz constante definida positiva, y

Aj : ℜn + 1 → ℜn × n es continua para todo j.

Además, supondremos que el sistema (5.1) admite una región invariante compacta

Σ ⊂ ℜn.

80

Sea λ el menor autovalor distinto de cero de –∆ en Ω con condición de Neumann,

a = max mj1,u,x/)u,x(A2j ≤≤Σ∈Ω∈ , d el menor autovalor de la matriz D

y M = max Σ∈u/u)f(J2

donde J(f) representa la matriz jacobiana de f.

Bajo esas condiciones tenemos el siguiente resultado

Teorema 5.1

Sea σ = dλ – M - a λm , y u0(x) ∈ Σ para x ∈ Ω

Si σ > 0, existen constantes ci > 0 i = 1, 2, 3, 4 tales que

t

1)(Lx ec)t,(u2

σ−Ω ≤•∇

t

2)(Lec)t(u)t,(u

2

σ−Ω ≤−•

donde ΩΩ

= dx)t,x(u1

)t(u satisface el sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias

dtud

= f( u ) + g(t), dx)x(u1

)0(u 0ΩΩ

=

)t(g ≤ c3e-σt

81

Si las matrices Aj son idénticamente nulas, o si son matrices diagonales juntamente

con la matríz D, entonces

)(L)t(u)t,(u Ω∞

−• ≤ c4e-σ’t σ’ <

mσ

Las constantes c1, c2, c3 son proporcionales a )(L0

2u Ω∇ , mientras que c4 es

proporcional a )(L0u Ω∞

∇ . Con Ω representamos la medida de Ω.

Dem. [C-H-S] Theorem 3.1

Haremos una demostración parcial para el caso de un sistema de dos ecuaciones con

matriz diagonal y Ω = (0, 1). Es decir, consideramos el problema

ut – d1uxx = f(u, v)

x ∈ (0, 1) t > 0

vt – d2vxx = g(u, v)

ux(0, t) = ux(1, t) = vx(0, t) = vx(1, t) = 0 t > 0

u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x) x ∈ (0, 1)

con f, g ∈ C1(Ω)

Sea W = (u, v), F = (f, g), D =

2

1

d00d

82

M = 2

JFW

supΣ∈

= 2vu

vu

)v,u(g)v,u(g)v,u(f)v,u(f

)v,u(sup

Σ∈

donde 02B λ= , para toda B ∈ ℜK × K, λ0 = máx λ / λ es autovalor de BBT

([N] Pág. 128)

Sea d = mind1, d2

Ya hemos visto en el capítulo 3 que el mínimo autovalor λ de -∆ correspondiente al

dominio (0,1) es igual a π2

Tenemos entonces σ = d π2 – M

Supongamos que σ > 0

En lo que sigue, usaremos repetidamente la primera fórmula de Green para funciones

∈ C2(Ω) que cumplen η∂

∂u = 0 en ∂Ω ([Sa], Pág. 163)

Ω

∆uv = Ω∂ η∂

∂uv -

Ω

∇∇ vu = - Ω

∇∇ vu

i) Lema:

Sea u ∈ C2(0,1) ux(0) = ux(1) = 0 Entonces

( ) dx1

0

2 ∆ ≥ π2 dxu

1

0

2 ∇

83

Dem. (Ver [S] Theorem 11.11 para el caso general)

Como es sabido ([R-R] Theorem 6.36) el sistema Φ0(x) = 1, Φn(x) = 2 cos(nπx)

n ≥ 1, es una base de L2(0,1).

También sabemos ([W] Pág. 73) que esos mismos Φn son autovectores con autovalor

λn = π2n2 n ≥ 1 del operador –∆ en (0, 1) con condición de Neumann.

Podemos escribir entonces

∆u = ≥

Φ0n

nna , u = ≥

Φξ0n

nn

donde,

an = Φ∆1

0n)u( = ∆Φ

1

0n )(u = - Φλ

1

0nnu = -λn Φ

1

0nu = -λnξn

a0 = -λ0ξ0 = 0

dxu21

0 ∇ = ∇∇

1

0

uu = - ∆1

0

uu = - Φ≥

1

0n

1nn ua = -

≥ξ

1nnna =

≥ λ1n n

2na

≤

≤ 1

1λ

≥1n

2na =

1

1λ

2

)1,0(L2u∆

lo que demuestra el lema.

84

ii) Definamos Q(t) = dxW,W21 1

0 ∇∇

Entonces,

Q’(t) = dxW,W1

0t ∇∇ =

= ∆∇∇1

0

dx)WD(,W + dxF,W1

0 ∇∇ =

= - dxWD,W1

0 ∆∆ + dx)W(JF,W

1

0 ∇∇

WD,W ∆∆ = d1(∆u)2 + d2(∆v2) ≥ d[(∆u)2 + (∆v2)] = d 2W∆

)W(JF,W ∇∇ ≤ )W(JF,W ∇∇ ≤ W∇ )W(JF ∇ ≤

≤ W∇ JF W∇ = JF W∇ 2 ≤ M W∇ 2

Remplazando, tenemos

Q’(t) ≤ -d ∆1

0

2 dxW + M dxW1

0

2 ∇

85

Por el Lema anterior,

dxW1

0

2 ∆ ≥ π2 dxW

1

0

2 ∇

Luego

Q’(t) ≤ -dπ2 ∇1

0

2 dxW + M dxW1

0

2 ∇ = -σ dxW

1

0

2 ∇ = -σ2Q(t)

Por lo tanto, ([N], Lema 10.14)

Q(t) ≤ Q(0)e-2σt

lo que implica

)1,0(L2W∇ ≤ )0(Q e-σt

iii) Aplicando la desigualdad de Poincaré-Wirtinger (ver [B] Pág. 194) tenemos que

existe una constante C tal que

2Luu − ≤ C

2Lu∇

Esto termina la demostración.

86

Teorema 5.2

Sea Σ una región invariante acotada para el problema (5.1). Si σ > 0, entonces las

únicas soluciones estacionarias del problema (5.1) en Σ son soluciones constantes.

Dem.

[C-H-S] Theorem 5.4

• II. Aplicación al problema (P)

Lema 5.1

Sea B ∈ ℜ2 × 2, BM = max(bij) Entonces,

i) 2

B ≤ 2BM

ii) 2

B 2 ≤ ( )j,i

2ijb

Dem.

i) Sea (x, y) ∈ ℜ2 , de norma uno.

2)y,x(B 2 = b11

2 x2 + 2b11b12 xy + b122 y2 + b21

2 x2 + 2b21b22 xy + b222 y2 ≤

≤ (b112 + b21

2)x2 + 2(b11b12 + b21b22)xy+ (b122 + b22

2)y2 ≤ 2BM2 x2 +

+ 2BM2 2xy + 2BM

2 y2

87

Dado que 2ab≤ a2 + b2

2)y,x(B 2 ≤ 2BM

2 (x2 + x2 + y2 + y2) = 4BM2 (x2 + y2) = 4BM

2

Luego,

2)y,x(B ≤ 2BM para todo (x, y) tal que

2)y,x( = 1

2B ≤ 2BM

ii) 02B λ= , λ0 = máx λ / λ es autovalor de BBT ([N] Pág. 128)

(BBT)i,j = k

jkik bb (BBT)i,i = ( )2

kikb Tr(BBT) = ( )

j,i

2ijb

λ0 ≤ Tr(BBT) = ( )

j,i

2ijb

Teorema 5.3

Sea K > 1, K = 2bβα

, Σ la región invatiante para el problema (P) obtenida en el

teorema (4.2) Sean (u, v) soluciones del problema (P) en Σ.

88

Si d1 > 2

1π

JMax donde

Jmax = 2max b(2K + 1), γ2

b

α

Entonces,

i) (u, v) → ( v,u ) uniformemente en Ω, cuando t → ∞

ΩΩ

= dx)t,x(u1

)t(u

ii) La única solución estacionaria del problema (P) contenida en Σ es la solución constante

(Ue, Ve) =

αβ

γβα b

,

Dem. En este caso,

f (u, v) = (α - βu2 – bu + γu2v, bu - γu2v)

D =

2

1

d00d

Jf =

γ−γ−γγ+−β−

2

2

uuv2buuv2bu2

89

Por el lema 5.1, sabemos que

2Jf ≤ 2 max 2γuv - b, 2γuv – b - 2βu, γu2, -γu2

y sabemos por el Corolario (4.1) que Σ ⊂ [0, bα

] × [0, γβ

]

Entonces,

0 ≤ uv ≤ γ

αβb

= γ

Kb -b ≤ 2γuv – b ≤ b(2K –1)

Puesto que K > 1, b(2K – 1) > b 2γuv - b ≤ b(2K –1)

0 ≤ u ≤ bα

0 ≤ 2βu ≤ 2βbα

= 2bK

-2bK – b ≤ 2γuv –b - 2βu ≤ b(2K – 1)

-b(2K + 1) ≤ 2γuv –b - 2βu ≤ b(2K – 1)

b(2K + 1) > b(2K – 1) 2γuv –b - 2βu ≤ b(2K + 1)

Luego,

M = 2

JFWSup

Σ∈ ≤ 2max b(2K + 1), γ

2

b

α = JMax

90

En el problema (P), d1 << d2 . Luego,

σ = d1 π2 – M ≥ d1π2 - JMax > 0

Entonces, por el teorema 5.1

)(L)t(u)t,(u Ω∞

−• → 0 cuando t → ∞

y por el teorema 5.2, la única posible solución estacionaria del problema (P) en

Σ es la solución constante (Ue, Ve) =

αβ

γβα b

,

• III. Ejemplo

Tomemos α = 100, β = 4, γ = 1, b =10 K = 4

Jmax = 2max90, 100 = 200

La condición que debe cumplirse en este caso es

d1 > 2

1π

JMax ≈ 20.264

91


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94

Conclusión

En este trabajo se estudiaron algunas propiedades del problema (P), tomado de la

Teoría de dislocaciones en materiales. Se probó que existe una única solución global

positiva del sistema, siempre que la condicion inicial (u0, v0) cumpla que

u0, v0 ∈ L∞(Ω), u0, v0 ≥ 0.

lo que está de acuerdo con las hipótesis físicas del modelo.

Se obtuvieron los siguientes resultados acerca del comportamiento de la solución

(u, v) en relación con la solución estacionaria constante (Ue, Ve)

(Ue, Ve) =

αβ

γβα b

, :

i) Si i) b < min θ - β

αγ,

βαγ

, ii) b < θ, ó iii) b < min θ + ρ1

2

dd

, ( )2ρ+θ

existe un δ > 0 tal que

∞− )V,U()v,u( ee00 < δ ∞−•• )V,U()]t,(v),t,(u[ ee → 0 cuando t → ∞

donde θ = 2 αβ , ρ = 2

1

dd

βγα

. Recordando que K = 2b

αβ, la condición ii) equivale a

pedir K > 41

.

95

ii) Si K > 1, existen constantes a1, b1, a2, b2, tales que

si (u0, v0) ∈ Σ, entonces [u(•, t), v(•, t)] ∈ Σ para todo t > 0

donde Σ = [a1, b1] × [a2, b2] es un rectángulo centrado en el punto (Ue, Ve).

Teniendo en cuenta que K > 1 > 41

, y usando el resultado del punto anterior,

podemos concluir que dentro de Σ, si (u0, v0) está “suficientemente cerca” del punto

(Ue, Ve), la solución (u, v) no sólo se mantiene “alrededor” de (Ue, Ve), sino que

converge a (Ue, Ve) cuando t → ∞.

iii) Si K > 1, d1 > 2

1π

JMax donde

Jmax = 2max b(2K + 1), γ2

b

α

entonces, dentro del rectángulo Σ definido en 2), la única solución estacionaria que

posee el sistema es la solución constante (Ue, Ve).

Además, si K > 1, d1 > 2

1π

JMax, la solución (u, v) se aproxima a su promedio

ΩΩ

= dx)t,x(u1

)t(u

uniformemente.

96

Muchas cuestiones quedan abiertas. En particular, será interesante estudiar el

comportamiento de las soluciones, para los casos en los que:

no existen regiones invariantes

la solución estacionaria constante es inestable

la condición inicial esta “lejos” de la solución estacionaria constante.

Algunas de éstas cuestiones fueron abordadas en los artículos [S-F-B], [W-A 1],

[W-A 2], donde se mostró la relacion entre la inestabilidad de la solución estacionaria

constante y la formación de dislocaciones.

97

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