Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Tecnologia e Geociências

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Análise Numérica do Resfriamento de de uma esfera maciça

Aluno : Marcelo Alexandre de Souza Júnior

Disciplina : Fenômenos de Transporte Computacional

Professor : Rita de Cássia Lima

Recife, 11 de Dezembro de 2012

Trabalho realizado pelo aluno Marcelo Alexandre de Souza

Júnior para avaliação parcial da Disciplina Fenômenos de

transporte Computacional do Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de

Pernambuco.

Orientadora: Rita Cássia de Lima.

RECIFE – PERNAMBUCO

DEZEMBRO – 2012

Problema Proposto

Uma esfera de de diametro inicialmente a é resfriada em um grande banho,

mantido a uma temperatura de e com um coeficiente de convecção de ( ⁄ ).As

propriedades termofísicas do material da esfera são: (

⁄ ), (

⁄ ) e

( ⁄ ).

a) Mostre, de maneiera qualitativa, as temperaturas do centro e da superfície da esfera em

função do tempo. b) Calcule o tempo necessário para superfície da esfera atingir a temperatura de .

c) Determine o fluxo térmico ( ⁄ ) na superfície externa da esfera no instante determinado

no item (b). d) Determine a energia ( ) que foi perdida pela esfera durante o processo de resfriamento até

a superfície da esfera atingir a temperatura de ( ). e) No tempo determinado na parte (b), a esfera é removida rapidamente do banho e coberta

por uma camada de isolante perfeito, de tal forma que não há mais perda de calor pela superfície da esfera. Qual será a temperatura da esfera quando ela atingir o regime permanente?

f) Calcule e represente graficamente os históricos das temperaturas na superfície e no centro da esfera para o período . Que efeito tem um aumento no coeficiente de

convecção para ( ( )⁄ ) sobre os históricos apresentados anteriormente?

Solução Numérica

A solução numérica foi obtida pelo método do balanço de energia nos volumes de controle do cilindro na direção radial :

1) Balanço de Energia para os nós internos(Figura 1):

Figura 1: Volume de Contole do nó interno da esfera (Visão 2D).

Equação de Balanço na direção radial para os nós internos:

2 2 3 3

112

2

44 4

2 2 3 2 2m i m i i i

ii

r dT r dT r r dTk r k r c r r

dr dr dt

Ao discretizarmos as derivadas por diferenças finitas, obtemos:

2 2 3 31 1 1 1 11 1 4

4 42 2 3 2 2

n n n n n ni ii i i i

m i m i i i

T T T T T Tr r r rk r k r c r r

r r t

Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da seguinte forma:

1 1

1

1

1

2 2 2 3 3

2 3

...3

...3

2 2 2 2 2

2 2 2

n n

i i

n

i

m mi i i i i

mi i i

T Tr r t

Tr t

k kr r r c r rr r r r r

k r c r rr r r

3

n

iT

2) Balanço de energia para o nó central (Figura 3) :

Figura 2: Volume de Controle do nó central (Visão 2D).

Equação de Balanço na direção radial para o nó central:

2 3

112

44

2 3 2m

r dT r dTk c

dr dt

Discretizando as derivadas por diferenças finitas, obtemos:

2 31 1 1

1 2 1 144

2 3 2

n n n n

m

T T T Tr rk c

r t

Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da forma:

1 1

1 2 12 2

6 61 n n nm mk t k t

T T Tc r c r

3) Balanço de energia para o nó da superfície (Figura 4):

Figura 3: Volume de Controle do nó da superfície (Visão 2D).

Equação de Balanço na direção radial para o nó de superfície:

2

2 3

34

4 42 3 2

m N

r R

r dT dTk R h R T T c R

dr dt

rR

Discretizando as derivadas por diferenças obtemos:

2 1 1 1

2 31

3

4 42 3

4

2

n n n n

N N N N

m N

T T T Trk R h R T T R

r t

rc R

Que após algumas manipulações algébricas, pode ser reescrita na seguinte forma:

2 2

2 3 1 1 2 3

1

3 3

2 3 2 32 2

n n nm m

N N N

k kr rR hR R T R T hR T R T

r t r t

c r c rR R

4) Balanço de Energia para o nó da superfície a partir do ítem “e”:

Equação de Balanço na direção raidal para o nó de superfície: 2

3

34

42 3 2

m

r R

r dT dTk R c R

dr dt

rR

Discretizando as derivadas por diferenças obtemos:

2 1 1 1

31

3

42 3

4

2

n n n n

N N N N

m

T T T Trk R R

r t

rc R

Que após algumas manipulações algébricas, pode ser reescrita na seguinte forma:

2 2

3 1 1 3

1

3 3

2 3 2 32 2n n nm m

N N N

k kr rR R T R T R T

r t r t

c r c rR R

Resultados e Discussão

a)

Gráfico 1: Distribuição da Temperatura no Centro e na superfície da esfera ao longo do tempo.

Pode-se observar no Gráfico 1 que as temperaturas na esfera decrescem ao longo do tempo, devido ao gradiente de temperatura que provoca um fluxo de calor para fora da esfera.

Quando a temperatura da superfície atinge 415 K e a esfera é isolada, não há mais variação da energia interna, pois não há mais fluxo de calor para dentro ou para fora do corpo e a temperatura dentro da esfera se homogeiniza numa temperatura de equilíbriop constante.

b) O tempo para que a superfície da esfera atinja 415 K, é:

Para h=75[W/m2] t= 73 s

Para h=200[W/m2] t= 28 s

c) Fluxo Térmico

O fluxo térmico na superfície da esfera no instante em que a temperatura da esfera

atinge 415 K, é dado por: ( inf)Q hA Ts T

Para h=75[W/m2] Q = 20,1438 [W/m

2 ]

Para h=200[W/m2] Q = 53,7062 [W/m

2 ]

d) Energia Interna

A energia interna é dada por:dT

dtU c

Para h=75[W/m2] U = 1,1393x10

06 (J)

Para h=200[W/m2] U = 2,9449x10

06 (J)

e) Temperatura de Equilíbrio

Para h=75[W/m2] Tequil=428 K

Para h=200[W/m2] Tequil=452 K

f)

Figura 4: Distribuição da temperatura no centro e na superfície da esfera para h = 75[W/m2] (à direita) e h = 200

[W/m2] (à esquerda).

Na Figura 4 pode-se observar as distribuições de temperatura na superfície da esfera e no centro da mesma em função do tempo para dois valores do coeficiente de convecção.

Para o valor mais elevado, observou-se uma queda mais brusca das temperaturas em função do tempo. O tempo necessário para que a superfície atingisse o valor de 415 K foi bem mais reduzido para o coeficiente de convecção elevado.(esposto no item b)

Para Tsup= 415 K

Código do Programa em Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Fenômenos de Transporte Computacional % % Profa. Rita de Cássia % % Problema 5.60 - Incropera (6ª Edição) % % Última atualização: 11/12/2012 % % Por: Marcelo Alexandre de Souza Júnior % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all close all clc % Dados do Problema proposto

Raio = 0.015; % [m] dr = 0.00015; % Incremento da malha na direção r km = 1.7; % [W*(m^-2)*(K^-1)] T_Infinito = 320; % [K] h1 = 200; % [W*(m^-1)*(K^-1)] h2 = 200; % [W*(m^-1)*(K^-1)] Tempo = 150; % [s] dt = 0.01; % Tamanho do passo no tempo Nt = Tempo/dt +1; % Número de passos no tempo dens = 400; % [kg*(m^-3)] c = 1600; % [J*(kg^-1)*(K^-1)] NP = Raio/dr+1; % Número de pontos M = sparse(NP,NP); % Matriz principal Resp = ones(NP,1); % Matriz dos termos Independentes T = ones(NP,1)*800;% Condição Inicial

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Montagem das Matrizes %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Pra facilitar a minha vida

A = (6*km*dt)/(dens*c*(dr^2)); B = (dens*c/(3*dt)); C = km/dr; D = h1*Raio^2; E = C*((Raio-dr/2)^2); F = B*((Raio^3)-(Raio-dr/2)^3); G = h1*T_Infinito*(Raio^2);

%%%%%%%%%%%%%% Matriz dos Coeficientes %%%%%%%%%%%%%%

% Equações dos nós internos % Equação do nó central

M(1,1) = (A+1); M(1,2) = -A;

for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr;

M(i,i+1) = -C*((ri+dr/2)^2); M(i,i-1) = -C*((ri-dr/2)^2); M(i,i) = (C*(((ri+dr/2)^2)+((ri-dr/2)^2)))+(B*(((ri+dr/2)^3)-... ((ri-dr/2)^3))); end

% Equação do nó da superfície

M(NP,NP-1) = -E; M(NP,NP) = D+E+F; %%% Fim da montagem da matriz dos coeficientes

% Contadores

T_centro(1) = 800; T_sup(1) = 800; cont = 0; % contador das iterações t = 0; % Contador do tempo

while (t < Tempo && T(NP) > 415)

Resp(1) = T(1); for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr; Resp(i) = (B*(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))*T(i); end Resp(NP) = G+F*T(NP);

cont = cont+1; T = M\Resp; T_centro(cont+1) = T(1); T_sup(cont+1) = T(NP); t = t + dt; end

fluxo = h1*4*pi*(Raio^2)*(T(NP)-T_Infinito) % Fluxo de calor U = dens*c*(800 - 415)/(3* t) % Variação da ... % % ... energia interna

while t < Tempo

M(NP,NP-1) = -E; M(NP,NP) = E+F; Resp(1) = T(1); for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr; Resp(i) = (B*(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))*T(i); end Resp(NP) = F*T(NP);

cont = cont+1; T = M\Resp; T_centro(cont+1) = T(1); T_sup(cont+1) = T(NP); t = t + dt;

end t;

tem = [0:dt:150];

plot(tem,T_centro,'C',tem,T_sup,'LineWidth',2) xlabel('Tempo(s)') ylabel('Temperatura(K)') title('Distribuição de Temperatura (K); h = 200 (W*m^-2)') hleg1 = legend('Centro','Fronteira'); % % plot(T);