Incertidumbre Gum
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INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN
PARTE II
METODOLOGIA GUM SIN CORRELACION
ALVARO BERMUDEZ CORONELING. QUIMICO
ESPECIALISTA EN INGENIERIA DE LA CALIDAD
2011
Cuantificación y propagación de la incertidumbreCuantificación y propagación de la incertidumbre
1. Metodologia
2. Concepto de incertidumbre típica combinada.
3. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).
4. Incertidumbre expandida
5. Supuesto práctico de la evaluación de incertidumbres.
Índice
MÉTODOS PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE Estimación experimental de contribuciones individuales Programas de ensayos de aptitudInformación de los proveedores p.e. certificados de calibración Modelado a partir de principios teóricos, estimacion de las contribuciones y composicion Estimación basada en el juicio
ESTRATEGIAS PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE
Aproximación ISOAproximación ISO
Identificar incertidumbres (CAUSA-EFECTO)
Encontrar modelo matemático de y = f(x1,x2,x3,..)
Cuantificar las incertidumbres de
cada parámetro
Cálculo incertidumbre combinada (propagación de Incertidumbre. Coeficiente sensibilidad).
Reevaluación?
Reevaluar componentes
FIN
Si
No
Elaborar flujograma
Identifica uno a uno todas las contribuciones a la incertidumbre y las compone en las diferentes etapas del
proceso
ESPECIFICACION
Paso 1. Especificación del mensurando
Paso 2. Establecer el modelo físico, identificando las variables de entrada Xi que permitan establecer el modelo matemático.
Paso 3. Determinar xi , valor estimado de la magnitud de entrada Xi , bien a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, bien por otros métodos
NXXXfY ,..., 21
Nxxxfy ,..., 21
IDENTIFICACION
Paso 1. Identificación de las fuentes de incertidumbre:
Existen muchas fuentes que pueden contribuir a la incertidumbre de medida. Aplicar un modelo del proceso de medida real para identificar las fuentes. La función f debe incluir todas las magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.
Paso 2. Identificar si existe o no correlación.
CUANTIFICACION Paso 1.Simplificar por agrupamiento las fuentes cubiertas por los datos existentes,
es decir, la cuantificación y reducción Paso 2. Asignar una función de distribución a cada fuente y Convertir la componente
a incertidumbres estándar u(xi)
Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series de observaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A
Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre típica u(xi ) se obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.
Paso 3. Estimar correlaciones
n
XsXsxu i
ii
)()()(
2)(
axu
3)(
axu
6)(
axu
2)(
axu
DISTRIBUCIONES
INCERTIDUMBRE ESTANDAR
ESTIMACION DE LA MEDIA
TIPO DE DISTRIBUCION
2
aaq
2
aaq
32
aa
62
aa
n
xin
s
COMBINACION Paso 1. Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y
del mensurando Y, a partir de la relación funcional f utilizando para las magnitudes de entrada Xi las estimaciones xi obtenidas en el paso de especificacion
Calcular la incertidumbre estándar combinada uc(y). Matriz de presupuesto.
Paso 2. Revisar y analizar las componentes. Diagrama de barras.
Paso 3. Estimación de la incertidumbre expandida multiplicando por el factor de cobertura.
N
ii
N
iiic yuxucyu
1
2
1
22 )()()( )()( iii xucyu
ORIGEN DE LAS COMPONENTES Componente de incertidumbre tipo A: Es la incertidumbre obtenida exclusivamente por medios estadísticos, la mejor estimación es la desviación estándar.
Componente de incertidumbre tipo B: Es la incertidumbre obtenida por medios diferentes a los estadísticos, tales como resolución del equipo, certificados de calibración, datos del fabricante, tablas, pruebas anteriores, tipos de distribución. Esta incertidumbre tiene su origen en los errores sistemáticos presentes en la medición .
Curso Académico 09-10
Concepto de incertidumbre estándar combinada Concepto de incertidumbre estándar combinada
Incertidumbre estándar combinada
Incertidumbre estándar
NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121
)(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu
La incertidumbre estádar de y (siendo y la estimación del mensurando Y) es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendo apropiadamente las incertidumbres estándar de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre estándar combinada de la estimación y se nota como uc(y).
Curso Académico 09-10
Ley de propagación de incertidumbres (i)Ley de propagación de incertidumbres (i)
NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 Aplicando el Desarrollo de la serie de Taylor de primer orden en torno al valor esperado, las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) se llega:
),(2)()(1
1 1
2
2
1
2ji
xj
N
i
N
ij xii
xi
N
i ic xxu
X
f
X
fxu
X
fyu
ji
LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE
En los casos en que la correlación es igual a +1 o -1 el termino para la estimación de la incertidumbre se establece por la siguiente ecuación:
)()(1
i
N
i ic xu
X
fyu
Ley de propagación de incertidumbres (ii)Ley de propagación de incertidumbres (ii)
Curso Académico 09-10
Ley de propagación de incertidumbres (iii)Ley de propagación de incertidumbres (iii)
),(2)()(1
1 1
2
2
1
2ji
j
N
i
N
ij ii
N
i ic xxu
x
f
x
fxu
x
fyu
Consideraciones (i)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Magnitudes de entrada correlacionadas
Ley de propagación de incertidumbres (iv)Ley de propagación de incertidumbres (iv)
Consideraciones (ii)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Ej. Determinación de un volumen a una temperatura t habiendo realizado la medida a temperatura t0: V = V0 [1+α (t-t0)]
o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocidao El volumen V0 se mide por pesada hidrostatica.
o La temperatura se mide con un sensor de temperatura
Magnitudes de entrada correlacionadas
Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido: ρ = m/Vo La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patróno El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando las
mismas masas patrón
),(2)()(1
1 1
2
2
1
2ji
j
N
i
N
ij ii
N
i ic xxu
x
f
x
fxu
x
fyu
Ley de propagación de incertidumbres (v)Ley de propagación de incertidumbres (v)
Consideraciones (iii)Consideraciones (iii)
Trataremos sólo el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas
Introducción a la Metrología
Ley de propagación de incertidumbres (vi)Ley de propagación de incertidumbres (vi)
Donde:
f ≡ Función de transferencia o función modelo; Y= f (X1,X2,…, XN )u(xi ) ≡ Incertidumbre estándar evaluada (tipo A o tipo B)
uc(y) ≡ Incertidumbre estándar combinada
La incertidumbre estándar combinada es una desviación estándar estimada y caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando Y.
)()( 2
2
1
2i
N
i ic xu
x
fyu
No correlacionadaNo correlacionada
Ley de propagación de incertidumbres (vii)Ley de propagación de incertidumbres (vii)
Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen
por una parte cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN y por
otro lado conducen a que todas la componentes guarden la coherencia en las unidades.
En general, la variación de y producida por una pequeña variación Δxi en la
estimación de entrada xi viene dada por:
Si esta variación es debida a la incertidumbre estándar de la estimación xi, la
variación correspondiente de y es:
)()( 2
2
1
2i
N
i ic xu
x
fyu
ix
f
)()( ii
i Δxx
fΔy
)()( ii
i xux
fΔy
Ley de propagación de incertidumbres (viii)Ley de propagación de incertidumbres (viii)
Por tanto, la varianza combinada uc2(y) puede considerarse entonces como una
suma de términos, cada uno de ellos representando la varianza estimada asociada a y, debido a la varianza estimada asociada a cada estimación de entrada xi.
N
ii
N
iiic yuxucyu
1
2
1
22 )()()(
)()()( 2
1
22
2
1
2i
N
iii
N
i ic xucxu
x
fyu
)()()( iiii
i xucxux
fΔy
Donde: )()( iii xucyu
Concepto de incertidumbre típica combinada (ix) Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)
NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121
)(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu
Incertidumbre típica combinada
Incertidumbre típica
N
iii
N
iic xucyuyu
11
)()()(
Coeficiente desensibilidad
Concepto de incertidumbre típica combinada (x)Concepto de incertidumbre típica combinada (x)
Ejemplo (Supuesta no correlación)Ejemplo (Supuesta no correlación)
Cálculo de la incertidumbre estándar combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular
Cálculo de la incertidumbre estándar combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular
b
h 21, XXfY hxbxxfAy 21,
ii Xx
22 )()( iic xucyu )()()( 22222 hucbucAu hbc
22
2 hb
Acb
2
22 b
h
Acb
)()()( 22222 hubbuhAuc )()()( 2222 hubbuhAuc
A
Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)
Aunque la incertidumbre estándar combinada, uc(y) puede ser utilizada
universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, es necesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del resultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando.
La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k.
Aunque la incertidumbre estándar combinada, uc(y) puede ser utilizada
universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, es necesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del resultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando.
La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k.
U = k uc(y) U = k uc(y)
Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)
Resultado de la medida: Y = y ± U
Lo que significa que:
• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y
• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.
• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y ≤ y + U
• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de confianza p asociado al intervalo definido por U.
Lo que significa que:
• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y
• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.
• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y ≤ y + U
• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de confianza p asociado al intervalo definido por U.
Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)
Elección de un factor de coberturaElección de un factor de cobertura
El valor del factor de cobertura k se elige en función del nivel de confianza
requerido para el intervalo y-U a y+U.
• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones
especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores.
• Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de cobertura k que proporcionase un intervalo Y = y ± U = y ± k uc(y) correspondiente a un nivel de confianza particular p, por ejemplo, un 95 o un 99 por ciento.
• En la práctica, puede suponerse que la elección de un factor k = 2 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%, y que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 99%. (k = 1 corresponde a p = 68,27 %, k = 2 corresponde a p = 95,45% y k = 3 a p = 99,73 %.)
GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTADGRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD
El número efectivo de grados de libertad se calcula según la ecuación de Welch-Satterthwaite.
n
i
i
cef
iyu
yu
1
4
4
)(
)(
GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD
GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD
DISTRIBUCIONGRADOS DE
LIBERTAD
NORMAL >200
RECTANGULAR 100
TRIANGULAR 100
Ejemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
1. Definición del problema de medición
La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismo material. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente la diferencia d entre sus longitudes.
La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismo material. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente la diferencia d entre sus longitudes.
d
l lp
d = l - lpd = l - lp
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
2. El modelo matemático
plld
),...,( 21 NXXXfY
resttp CCCdllp
Corrección por dilatación térmica
),,,,,,( Edlfl ppp
Corrección por resolución del comparador
ltltlC t )20( pppppppppt ltltlCp
)20(
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
dll p
l Valor del mesurando a determinar.
lp Longitud del patrón a 20 °C, tal como figura en su certificado de calibración.
d Diferencia entre los bloques, estimada como la media aritmética de 10 medidas independientes.
),...,( 21 Nxxxfy
mmlp 000623,50
nmd 215 mmUl )000838,50(
3. Estimación del valor del mensurando, l
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
4. Contribución de varianzas (i)
)()( 2
1
22
i
N
iic xuclu
)()()()()()( 22222222222resCtCtCdplc CucCucCucducluclu
resppttp
Ley de propagación de la incertidumbre
resttp CCCdllp
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
)()()()()()( 22222222222resCpttttdplc CucCucCucducluclu
respp
)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu
p
4. Contribución de varianzas (ii)
resttp CCCdllp
1
p
pt
tC C
fc1
d
fcd
1
t
C C
fc
t1
ppl l
fc 1
res
Cres C
fc
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
5. Incertidumbre debida a la calibración del patrón, u(lp)
El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón U = 0,040 μm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de cobertura k = 2. La incertidumbre estándar es entonces
El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón U = 0,040 μm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de cobertura k = 2. La incertidumbre estándar es entonces
222 104)( nmlu p
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:
nmlu p 202
040,0)(
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
6. Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)
Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y el bloque a calibrar, con una desviación esáandar de 13 nm. Se considera una distribución normal, por lo que la incertidumbre estándar se obtiene de una evaluación de tipo A.
Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y el bloque a calibrar, con una desviación esáandar de 13 nm. Se considera una distribución normal, por lo que la incertidumbre estándar se obtiene de una evaluación de tipo A.
22 8,16)( nmdu
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:
nmnm
n
dsdsdu 1,4
10
13)()()(
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(CΔtp )7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(CΔtp )
(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1
pppt lCp
)()()()()()()( 2222222pppppppppt luululCu
p
p
p (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ = -0,1 ºC
Cu p º1005,0)( 6 Decisión del evaluador
3º02,0
)(C
θu p nmCu
pt 6,6)( Δ
Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
8. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque, u(CΔt )
(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1
pt lC
)()()()()()()( 2222222pppt luululCu
(Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ=-0,1 ºC
Cu º1005,0)( 6 Decisión del evaluador
3º02,0
)(C
θu
nmCu t 6,6)( Δ
Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
9. Incertidumbre debida a la resolución de la máquina u(res)
nmmm
resu 9,212
01,0
3
2/01,0)(
22 3,8)( nmresu
Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto, considerando distribución rectangular:Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto, considerando distribución rectangular:
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
10. Incertidumbre típica combinada uc(l)
)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu
p
2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmluc
nmluc 3,84,888,1610·4)( 2
nmluc 6,22)(
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
11. Incertidumbre expandida, U11. Incertidumbre expandida, U
nmluU c 2,45)(2
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(l) por un factor de cobertura k.
Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a un nivel de confianza del 95%.
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(l) por un factor de cobertura k.
Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a un nivel de confianza del 95%.
Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
12. Resultado final12. Resultado final
nmluU c 2,45)(2
mml )000045,0000838,50(
BIBLIOGRAFIA
BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standarrization. 1993
Vocabulario Internacional de terminos basicos y generales en metrología.
ILAC-68. Guidelines on Assessment and Reporting of Compliance with Especification. 1996
EA-4/02 Expresion of the Uncertainty of Measurement in Calibration. 1999
MUCHAS GRACIAS