Alumna: Univ. Gutierrez Bautista BrendaCI: 6179380 L.P.Docente: Lic. MullisacaGestión: 2012La Paz -Bolivia

ANÁLISIS NUMÉRICO

Método de Muller

Método de Muller

Contenido1. Introducción.................................................................................................3

2. Fundamento teórico.....................................................................................3

2.1Formula Metodo Muller ............................................................................4

3. JAVA de Eclipse............................................................................................5

3.1 Código.....................................................................................................5

3.2 Corrida.....................................................................................................6

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Método de Muller

M É T O D O D E M ül l e r

1. Introducción

Este método utilizado para encontrar raíces de ecuaciones  con raíces múltiples, y consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos elegidos. Dichos coeficientes son sustituidos en la formula cuadrática para obtener el valor donde la parábola intersecta al eje X; es decir, la raíz estimada. La aproximación se puede facilitar, si se escribe la ecuación de la parábola en una forma conveniente.

Una de las mayores ventajas de este método, es que al trabajar con la formula cuadrática es posible localizar tanto raíces reales, como raíces complejas.

2. Fundamento teóricoEl método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller, trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola.

 Para esto necesitaremos de tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La aproximación la podemos escribir como:

 f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C

 Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones.

f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + Cf2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + Cf2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C

 De la última ecuación podemos ver que el calor de C = f2(x2). Sustituyendo los valores de C en las otras dos ecuaciones tenemos

 f2(x0)- f2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)f2(x1) - f2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)

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 Si definimos

h0 = x1 - x0

h1 = x2 – x1

d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]

 Sustituyendo en las ecuaciones tenemos

 

(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )-d1* h1 = A(h1)2 - Bh1

 La solución de este sistema de ecuaciones es:

 A = (d1 – d0)/(h1 + h0)

B = Ah1 + d1

C = f(x2)

2.1.Formula Método Muller El método de Muller cuenta con tres valores iniciales necesitados son denotados como xk, xk-1 y xk-2. La parábola pasa a través de los puntos: (xk, f(xk)), (xk-1, f(xk-1)) y (xk-2, f(xk-2)), si se escribe en la forma de Newton, entonces:

donde f[xk, xk-1] y  f[xk, xk-1, xk-2] denotan restas divididas. Esto puede ser escrito como:

donde

La próxima iteración esta dada por la raíz que brinda la ecuación  y = 0.

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3. Java de Eclipse

Implementaremos el algoritmo matemático haciendo uso del programa Eclipse Java. Uso el método de Müller con el siguiente ejemplo los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la ecuación f(x) = x3 – 13x – 12. (CHICOS AQUÍ PUEDEN AÑADIR MÁS COSAS)

3.1 Código4. public class metmuller {5. public static void main(String[] args) {6.7. Muller();8.9. }10. static public void Muller()11.12. {13. double x0 = 4.5, x1 = 5.5, x2 = 5.0, x3;14. double h0, h1, d0, d1, A, B, C;15. double den, raiz;16. do17.18. {19.20. 21.22. h0 = x1 - x0;23. h1 = x2 - x1;24. d0 = (f(x1) - f(x0)) / h0;25. d1 = (f(x2) - f(x1)) / h1;26. A = (d1 - d0) / (h1 + h0);27. B = A * h1 + d1;28. C = f(x2);29.30. raiz = Math.sqrt(B * B - 4.0 * A * C);31.32. if (Math.abs(B + raiz) > Math.abs(B - raiz))33.34. den = B + raiz;35.36. else37.38. den = B - raiz;39.40. x3 = x2 - 2 * C / den;41.42. System.out.println(" x = " + x3 + " " + f(x3));43.44. x0 = x1;

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45. x1 = x2;46. x2 = x3;47.48. }while (Math.abs(f(x3)) > 0.000001);49.50. }51.52. static public double f(double x)53.54. {55.56. return(x*x*x - 13*x -12);57.58. }59.60. }61.

3.2 Corrida

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