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Research Collection

Doctoral Thesis

Theorie der spontanen Kondensation in Düsen und Turbinen

Author(s): Hedbäck, Anders J.W.

Publication Date: 1982

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Diss. ETH 7003

Theorie der

spontanen Kondensation

in

Düsen und Turbinen

ABHANDLUNG

zur Erlangung des Titels eines

Doktors der technischen Wissenschaften

der

EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

ZÜRICH

vorgelegt von

ANDERS J.W. HEDBACK

Civ Ing KTH

geboren am 2 März 1945

von Schweden

Angenommen auf Antrag von

Prof Dr W Traupel, Referent

Prof Dr G Dibehus, Korreferent

Juris Druck+Verlag Zürich

1982

Dieses Buch erscheint gleichzeitig als Heft

Nr. 20 der "Mitteilungen aus dem Institut für

thermische Turbomaschinen' an der ETH Zürich,

ISBN 3 260 04936 3

Meinen Eltern

Gunhild

und

Tore J. Hedbäok

gewidmet

- 1 -

VORWORT

Die vorliegende Arbeit, die eine möglichst strenge Behandlung

des Phänomens der spontanen Kondensation anstrebt, wurde wah¬

rend meiner Tätigkeit am Institut für Thermische Turbomaschi¬

nen der Eidgenossischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich

ausgeführt.

Mein ganz besonderer Dank gebührt Herrn Prof. Traupel, der

stets bereit war, konstruktiv die Probleme dieser Arbeit zu

besprechen.

Für die Anregung zu dieser Arbeit und die einmalige Introduk¬

tion in die Problematik des nassen Dampfes, die mir anfangs

der siebziger Jahre gegeben wurde, mochte ich

Herrn Dr. Gyarmathy danken.

Weiter danke ich der Firma Brown Boveri & Cie. (BBC) Baden

für die laufende Unterstützung, die Zurverfügungstellung von

Messergebnissen und die unbeschrankte Benutzung ihres Gross¬

computers, die diese Arbeit ermöglicht hat.

Besonders mochte ich den beiden Herren David Schiesser und

Eduard Rikli für ihre Bereitschaft danken, die Sprache des

Textes zu bereinigen. Schliesslich spreche ich auch

Fraulein Maya Muntwyler für die Zeichnungsarbeiten an den

Abbildungen meinen Dank aus.

Zürich im Winter 1982

Anders J. W. Hedback

- 2 -

INHALTSVERZEICHNIS

Kurzfassung 3

Abstract 4

Bezeichnungen 5

1 Keimbildung 7

1.1 Kritischer Radius 7

1.2 Keimbildungs-Arbeit 13

1.3 Keimkonzentration und Keimbildungsrate 16

2 Zeitliche Änderung des Tropfenradius 23

2.1 Tropfentemperatur 24

2.2 Wärmeübergang Tropfen — Dampf 30

2.3 Dem Tropfen zugeführte Wärme, Kondensationswärme 39

2.4 Enthalpieänderung des Tropfens 41

2.5 Formulierung des Wachstumsgesetzes 44

2.6 Schlupf Tropfen - Dampf 49

3 Zustandsänderungen der Phasen 54

3.1 Tropfenspektrum und Kondensatmasse 55

3.2 Enthalpie des Tropfen — Dampf Systemes 57

3.3 Spezifisches Volumen des Tropfen - Dampf Systemes 61

3.4 Entropie des Tropfen — Dampf Systemes 63

4 Strömung mit Kondensation - Stromfadentheorie 67

4.1 Die Energiegleichung 68

4.2 Die Kontinuitätsgleichung 69

4.3 Querschnittsverlauf - Düsen 73

4.4 Ruhende und bewegte Koordinatensysteme 75

5 Stoffeigenschaften, Zustandsgieichungen 77

6 Numerisches Verfahren 80

6.1 Programmbeschreibung für Düsen-Rechnungen 80

6.2 Ergänzende Programmbeschreibung für Turbinen-

Rechnungen 86

7 Vergleich der Theorie mit Messungen 88

7.1 Hochdruck — Kondensationsmessungen, Versuchsein¬

richtung 90

7.2 Ergebnis des Vergleichs Theorie - Düsenmessungen 93

8 Kondensation in einer Turbine 121

9 Literaturangabe 141

- 3 -

KURZFASSUNG

Diese Arbeit behandelt theoretisch die homogene spontane Ent¬

stehung von Nebel im Dampf. Hierbei bildet eine von

Sir William Thomson (Lord Kelvin) im Jahre 1870 vorgeschla¬

gene Modellvorstellung der Koexistenzbedingung zweier Phasen

die Grundlage auf welche diese hier vorgelegte Theorie auf¬

baut. Mit Hilfe der klassischen Thermodynamik und deren ex¬

akten Beziehungen lassen sich unter anderem genaue Formulier¬

ungen herleiten für den kritischen Radius, die Keimbildungs¬

arbeit, die Temperaturabhängigkeit des Tropfens vom Radius,

die Wärmeübergangs zahl Tropfen — Dampf im freimolekularen

Bereich samt dem Übergang zur Wärmeübergangs zahl im Kontinuum.

Diese genauen Ausdrücke ermöglichen die Berechnung der Keim¬

bildungsrate und des Wachstums kleiner Nebeltropfen.

Ferner werden zwei eindimensionale Berechnungsverfahren für

die Strömung des realen Dampfes mit Kondensation angegeben.

Eines dieser Verfahren setzt feste Kanalbegrenzungen — Düsen —

voraus, während in dem anderen der Druck- und Entropieverlauf

entlang des Strömungsweges vorgeschrieben sind; das entspricht

flexiblen Wänden und gegebenenfalls auch einer Turbinenströ¬

mung.

Ein Vergleich mit Düsenmessungen der spontanen Kondensation

bestätigt die Theorie. Diese zum Vergleich herbeigezogenen

Messungen umfassen den Druckbereich der Wilsonpunkte von

8 kPa bis 5 MPa und Entspannungsschnelligkeiten zwischen

1000 und 200 000 s"1.

Am Beispiel einer mehrstufigen Hochdruckturbine, in welcher

Kondensation auftritt, werden mit Hilfe der aufgestellten

Theorie einige Merkmale der Nebelbildung unter nicht idealen

Bedingungen erläutert.

- 4

ABSTRACT

Spontaneous Condensation in Nozzles and Turbines

Determination of condensation in power plant steam turbines is

highly affected by real steam conditions. This work theore-

ticaly treats the spontaneous appeareance of homogeneous fog

in steam. The theory is based on the fundamental ideas of

Sir William Thomson (Lord Kelvin) concerning the coexistance

of metastable and stable phases. Using the exact relations of

classical thermodynamics, precise formulations are derived for

the critical radius, the work needed to form a nucleus, the

temperature dependance of the droplets as a function of its

radius, and the heat transfer number between the droplets and

the steam. This formulation bridges the gap between rarefied

and continuum steam. The expressions permit the determination

of the nucleation rate and the growth of droplets.

Furthermore, two one-dimensional calculation methods for the

real steam flow with condensation are presented. One of these

methods predicts the condensation in flows through Channels

with fixed walls, for example nozzles. While the other con-

siders pressure and entropy to be known functions along the

flowpath. Using the latter case, condensation can be predic-

ted in complicated flow situations such as the flow through

turbines.

The theory has been verified by comparison with more than 50

steam (H_0) condensation experiments by different investigators,

In these experiments, the measured onset of condensation and

Wilson-points feil into the pressure ränge 8 kPa - 5000 kPa.

The expansion rate in these experiments varied between 1000 s

and 200 000 s"1.

Further, as an example, condensation calculations in a multi-

stage high pressure turbine have been made and discussed using

realistic expansion conditions.

- 5 -

BEZEICHNUNGEN

Die Numerierung der Gleichungen fängt in jedem Kapitel neu an.

Gleichungen auf welche mit einer einfachen Zahl hingewiesen

wird, z. B. (18) sind im nämlichen Kapitel zu finden. Die

Schreibweise (2.18) weist auf die achtzehnte Gleichung des

dritten Kapitels hin.

Die Zustandsgrössen des Dampfes sind mit dem Index d und die

der flüssigen Phase mit dem Index / gekennzeichnet. Eine Be¬

zeichnung, die mit dem Index r versehen ist, bedeutet, dass

der Zustand einer bestimmten Tropfengrösse zugeordnet ist.

Index i bezeichnet den Zustand des Dampfes unmittelbar an der

Tropfenoberfläche. Ein hochgestellter Stern * deutet auf ei¬

nen kritischen Zustand des Tropfens hin.

Alle Bezeichnungen die in den Gleichungen vorkommen sind am

jeweiligen Ort im Text definiert. Die wichtigsten durchge¬

hend verwendeten Symbole sind:

Wärme Koeffizient, Druck konst.

Wärme Koeffizient, Temp. konst.

Wärme Koeffizient, Vol. konst.

Freie Energie

Kraft

Freie Enthalpie

Enthalpie

Anzahl

Keimbildungsrate

Keimbildungsrate

Bolzmann-Konstante

Molekülmasse

Masse

Anzahl

Druck

pJ/kgK

°T J/kgPa

oV

J/kgK

f J/kg

F N

g J/kg

h J/kg

i

I 1/kgs

J l/m3sk J/K

m kg

M kg

n

V Pa

- 6 -

Q J Wärme

r m Radius

s J/kgK Entropie

t s Zeit

T K Temperatur3

v m /kg Volumen

x - Dampfgehalt

y- Nässegehalt

a W/m K Wärmeübergangszahl

n kg/ms Dynamische Viskosität

X W/mK Wärmeleitfähigkeit

v 1/kgm Tropfenzahl-Verteilung

5 m Koordinate des Strömungsweges

a N/m Oberflächen-Spannung2

iJj N/(m m/s) Impulsübergangszahl

üj Hz Frequenz2

ß m Querschnitt

- 7 -

1 KEIMBILDUNG

Die Ausführungen in diesem Kapitel schliessen sich prinzipiell

an die klassische Theorie der Keimbildung an, wie sie von

Volmer 1939 [3] angegeben wurde. Im Folgenden werden nur Kei¬

me behandelt die flüssig sind, d. h. von Kristallisation —

Eis - wird abgesehen. Diese vereinfachende Einschränkung der

Theorie ist zulässig für viele in der Praxis vorkommenden An¬

wendungen.

1.1 KRITISCHER RADIUS

Vor über hundert Jahren - am 7. Februar 1870 — zeigte Sir

William Thomson (später Lord Kelvin) in einem Gedankenexperi¬

ment, dass das thermodynamische Gleichgewicht zwischen einer

Flüssigkeit und ihrem Dampf bei einer gekrümmten Flüssigkeits-

Oberfläche anders ist als bei einer ebenen unendlich ausge¬

dehnten [1]. Zuerst stellte er sich zwei Flüssigkeitsniveaus

in einem von aussen hermetisch abgeschlossenen Behälter vor.

Wären die beiden Flächen eben, so würden Moleküle der oberen

Flüssigkeitsfläche verdampfen und infolge des Druckunterschie¬

des der beiden Höhen wieder an der unteren kondensieren. Dies

wäre ein schneller Vorgang, wenn von Verdampfungs- und Konden¬

sationswärmen abgesehen werden dürfte. Gleichgewicht wäre

herstellbar, wenn die untere Fläche konvex gekrümmt wäre.

Abbildung 1 dient der Erklärung dieser Behauptung. Der Behäl¬

ter ist mit dem Dampf der im Trichter vorhandenen Flüssigkeit

gefüllt. Auf dem Niveau a ist die Flüssigkeit beim Druck p

mit ihrem Dampf im Gleichgewicht. Die Oberfläche im Trichter

ist gross und folglich ist p gleich p" zu setzen, wobei Zei¬

chen (") Sättigungszustand der Dampfphase bedeutet. Beim Ni¬

veau b ist der Druck im Dampfraum infolge des Gewichtes der

Dampfphase höher als in a. Der Druckgradient in ^„-Richtung

ergibt

Bild 1. Gleichgewichts¬betrachtung nach

Sir William Thomson Ge¬

krümmte und ebene Ober¬

flächen.

3p

3a;9e X2 '

(1)

wobei g die Erdbeschleunigung und v ,das spezifische Volumen

der Dampfphase sind. Durch Umformung und Integration der

Gleichung (1) ist die Höhendifferenz a - b berechenbar

1

a - b dp .(2)

Die Schreibweise 3p für das Druckdifferential soll andeuten,

dass im ganzen System konstante Temperatur vorausgesetzt ist,

so dass die Differentiale also isothermen Bedingungen entsp¬

rechen. Die flüssige Phase im Trichter kann in ähnlicher

Weise integriert werden und man erhält

V

a -

vf 3p ,(3)

- 9 -

wobei p der Druck ini kugligen Gebilde am Trichterspitz ist.

Die obere Integrationsgrenze p" ist nach wie vor der Sätti¬

gungsdruck im Gleichgewicht bei einer ebenen Phasenfläche und

schliesslich ist u„ das spezifische Volumen der Flüssigkeits¬

phase. Die beiden Gleichungen (2) und (3) beschreiben die

gleiche Höhendifferenz und sie können also gleichgesetzt wer¬

den

vf 3p

p" p'

J ^ ^ =

)Pd Pr

Unter Verwendung der freien Enthalpie

(4)

- h T s

und ihres Differentialquotienten - bei konstanter Temperatur

können die Ausdrücke von Gleichung (4) auf einer Isothermen

in allgemeiner Form integriert werden.

P.

v 3p*g

3p

e2

j ^g = g(T,p2) - g(T3p1)

Die Relation

3?

3p

ergibt sich aus der Definition von g und der Differentialform

des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik

T ds - dh v dp

denn damit wird für konstante Temperatur

- 10 -

dg 37z 3s 3s dh-

- f t -

_ v

3p 3p 3p 3p 3p

Die Gleichung (4) lässt sich also exakt integrieren und führt

zu

gd(Ttp") - 9d(T,Pd) = gf(T,p")-

gf(T,pr) (5)

Aus der Definition der freien Enthalpie geht hervor, dass an

der Sättigungslinie die freien Enthalpien der Flüssigkeits¬

phase und der Dampfphase identisch sind. Demzufolge verein¬

facht sich Gleichung (5) zu

U(T>*d) = 3f(T3pr) (6)

Bei der Anordnung nach Bild 1 besteht ein kugliger, mit Flüs¬

sigkeit gefüllter Raumteil, in dem infolge der von b bis a

reichenden Flüssigkeitssäule ein höherer Druck herrscht als

im umgebenden Dampf. Von hier aus lässt sich der Übergang

vollziehen zu dem Fall, der uns interessiert, nämlich dem Fall

des im Dampfräum suspendierten Tropfens. Infolge der Oberflä¬

chenspannung herrscht auch in diesem ein höherer Druck als im

umgebenden Dampf. Die flüssigkeitsgefüllte Kugel nach Bild 1

und der freie Tropfen entsprechen einander genau, wenn die

Flüssigkeitssäule von b bis a gerade so viel zusätzlichen Druck

erzeugt, wie beim Tropfen durch die Oberflächenspannung ent¬

steht. Deshalb lässt sich Gleichung (6) direkt übernehmen,

wobei jetzt p der Binnendruck im Tropfen ist. Dieser innere

Tropfendruck kann über eine Gleichgewichtsbetrachtung des ver¬

tikal aufgeschnittenen Tropfens bestimmt werden. Sie muss

folgende drei Kräfte berücksichtigen, siehe Abbildung 2.

1 Der innere Druck p wirkt auf die Kreisfläche irr undr

9hat eine resultierende Kraft - tt r v x. .

rr 1

- 11 -

»a

» a

Bild 2. Zur Kräftebilanz eines vertikal aufgeschnittenenTropfens.

Beim Schneiden des Tropfens wurde eine freie Randlinie

der Länge 2 u r erzeugt. Um das Kräfte-Gleichgewicht

des Systems zu erhalten, muss die in der Oberflächenhaut

wirkende Spannung o durch eine Kraft 2 u r ö i berück¬

sichtigt werden.

Die Projektion des Dampfdruckes p , erzeugt schliesslich

2eine resultierende Kraftkomponente ir r p,x.

e Kräftebilanz des Systems in Abbildung 2 lautet somit:

-

n r p ic, + 2 i r a le, + u r p, r,

*r .2 1 ed 1(7)

aus (7) berechnet

2 a

(8)

- 12 -

Das Ergebnis der Gleichung (8) in (6) eingesetzt zeigt, dass

der Radius eindeutig bestimmbar ist aus der Gleichheit der

freien Enthalpien

2 a

gd(T'pd} = gf(T'pd + ; (9)

Die Schreibweise gAT,p-,) drückt aus, dass der Zustand des

Dampfes durch zwei unabhängige Variablen - hier T und p ,

-

gekennzeichnet ist. Wäre der Dampf mit einer ebenen (r = <*>J

Flüssigkeitsoberfläche im Gleichgewicht, so wäre er im Sätti¬

gungszustand; einer gegebenen Temperatur würde dann ein fester

Druck entsprechen, eben der Sättigungsdruck. Weicht aber der

Druck hiervon ab, so kann nur an einer Flüssigkeitsoberfläche

mit einer ganz bestimmten Krümmung Gleichgewicht bestehen,

d. h. mit einem Krümungsradius r. Gleichung (9) gibt für ei¬

nen beliebigen Zustand T, p-, diesen Krümmungsradius, der of¬

fenbar gleich dem Radius des Tropfens ist, der mit dem gege¬

benen Dampfzustand im Gleichgewicht ist. Er würde negativ

für Zustände T, p ,die im Überhitzungsgebiet liegen. Wie

vorausgesetzt, ist die Temperatur im ganzen System konstant.

Dieser Radius wird im folgenden als der kritische Radius r*

bezeichnet, da er der einzige Radius ist, welcher ein Gleich¬

gewicht zwischen Dampfphase und Flüssigkeitsphase unter gege¬

benen Zustandsbedingungen des Dampfes zulässt. Zur besseren

Veranschaulichung ist Abbildung 3 zu beachten, wo die Zustands-

grössen des Systems dargestellt sind. In einem Koordinaten¬

system log p ,T lassen sich sowohl für die Flüssigkeit als

auch für den Dampf Kurven konstanten Wertes der Funktion g

eintragen. In jenem Bild ist eine Kurve g -,für den Dampf und

eine g„ für die Flüssigkeit angegeben und zwar entsprechen sie

beide dem gleichen Funktionswert g. Dann entsteht die im Bild

angegebene Situation. Einem Dampfdruck p ,,der höher ist als

der T zugeordnete Siededruck entspricht der Binnendruck p

Gleichung (8) gemäss der Kurve g „.

- 13 -

log p

Pr"

Pd

2aPr"s Pd*"F

_- gf = konst.

/Flüssigkeit^ g .

= konst.

ii i

9ds9f\Sättigungslinie

^9d ^9f

Dampf

Bild 3. Gleichgewicht zwischen Tropfen und Dampf herrscht

falls die freien Enthalpien und die Temperatur

gleich sind.

1.2 KEIMBILDUNGS-ARBEIT

Das kleinste existenzfähige Gebilde von agglomerierten Mole¬

külen ist der Keim. Er wird als Kugel mit dem kritischen Ra¬

dius r* im Inneren des übersättigten Dampfes isotherm und re¬

versibel aus Monomeren - einzelnen, voneinander getrennten Mo¬

lekülen - gebildet. Obwohl der Keim im Gleichgewicht mit sei¬

ner Umgebung steht, wurde zu dessen Bildung Arbeit aufgewen¬

det. J. Willard Gibbs hat 1876 [2] anhand thermodynamischer

Überlegungen diese Arbeit A* bestimmen können. Später sind

Volmer [3] und Becker-Dörring [4], indem sie die Keimbildung

- 14 -

in vier Teilprozesse aufgliederten, zum gleichen Ergebnis ge¬

kommen.

Vermöge der freien Energie

F = G -

p V

soll der Arbeitsaufwand zur Bildung eines Keimes aus i* Mole¬

külen mit einer Gesamtmasse M* berechnet werden. Wenn vorerst

Oberflächeneffekte nicht in die Betrachtung einbezogen werden,

ist dieser bei isothermem, reversiblem Vorgang

A* = M* { ff(T}VrJ- fd<T,pd) -

Vd (»d ~ VrJ } (10)

Das dritte Glied stellt dabei die Verschiebungsarbeit der

Dampfatmosphäre dar, die nicht aufgewendet werden muss.

Damit wird auch

A* = M* I gf(T,prJ-

pr* vr*

- 9d(T,Pd ) + Pd vd-

pd (vd - vrj } (11)

Da die freien Enthalpien im kritischen Keim sowie im Dampf

gleich sind, bleibt also

A* = _ M* v^ (p^ _ Pd) (12)

und mit (8) wird

2 o

~ M* v (13)

An diesem Ausdruck fällt auf, dass er negativ ist, was durch

die Werte der in (12) auftretenden thermodynamischen Funktio¬

nen bedingt ist. Tatsächlich wird ja bei der Kondensation

- 15 -

eines Dampfes Energie frei. Die freiwerdende Arbeit ist zwar

in (13) durch die Oberflächenspannung ausgedrückt, die nur vom

Zustand innerhalb eines Volumenelementes abhängt. Eine voll¬

ständige Energiebilanz muss noch den Energieinhalt berücksich¬

tigen, der durch die Oberflächeneffekte selbst bedingt ist.

Dieser - positive - Anteil ist bei Reversibilität und konstan¬

ter Temperatur

2A* - 4 ir r* o . (14)o

Die Arbeit A* entspricht der Arbeit die aufgewendet werden

muss um die Oberfläche eines Keimes mit dem Radius r* zu bil¬

den. Bei einem isothermen, reversiblen Prozess ist die an dem

System geleistete Arbeit gleich der Erhöhung seiner freien

Energie. Die totale freie Energieänderung eines gebildeten

Keimes ist demnach als Summe der beiden Arbeitsbeiträge (13)

und (14);

?2 a

AF* = 4 TT r* a - M* v „ . (15)r*

*

Die Masse eines Keimes ist gegeben durch

4 TT r*

M* = —

, (16)3 v

*

wobei der Radius r* die massenumhüllende Fläche beschreibt.m

Eine Frage von grundlegender Bedeutung stellt sich hier:

Darf der massenbezogene Radius r* gleich dem Spannungsbezoge-

nen r* gesetzt werden? In einer allgemeinen Betrachtung, wo

grosse ausgedehnte Moleküle auch von der Theorie erfasst wer¬

den sollen, muss angenommen werden, dass djLe_beiden Radien

ungleich sind. Da eine genaue Ermittlung detaillierte Kennt¬

nisse der räumlichen Verteilung d^er intermolekularen Bindungen

- 16 -

der Oberflächenmoleküle voraussetzt, müssen hier zwei mitein¬

ander verknüpfte vereinfachende Annahmen getroffen werden:

1 Die Oberflächenspannung ist unabhängig vom Krümmungsra¬

dius .

2 Die Fläche, in der die Oberflächenspannung wirkt, umhüllt

die gesamte Masse eines Keimes.

Daraus kann gefolgert werden, dass

2»* ^ y»

&

m

Für das Medium Wasser (H~0) scheinen diese beiden Annahmen,

wie später in den Auswertungen von Messungen gezeigt wird,

gut der Wirklichkeit zu entsprechen. Die Gleichungen (15) und

(16) können nun kombiniert werden

4 TT v*

AF* - o (17)

und das Ergebnis stimmt mit jenem von Gibbs [2] überein.

1.3 KEIMKONZENTRATION UND KEIMBILDUNGSRATE

Die Ausführungen dieses Abschnittes haben z. T. nur referieren¬

den Charakter, da die detallierten Begründungen in der Litera¬

tur zu finden sind, auf die verwiesen wird.

Das Bolzmann'sehe Prinzip, das von Einstein [5] kritisch dis¬

kutiert wird, macht eine wahrscheinlichkeitstheoretische Aus¬

sage über den statistisch zu erwartenden Zustand. Es hat sta¬

biles Gleichgewicht zur Voraussetzung. Die Bolzmann'sehe Be¬

ziehung der Schwankungserscheinungen lässt sich daher nicht

ohne weiteres auf den metastabilen Zustand des kritischen Kei-

- 17 -

mes anwenden. Volmer und Weber [3, S. 83], [6] zeigen indes¬

sen, in welcher Weise die einseitig verlaufende Keimbildung

doch als eine quasireversible Schwankungserscheinung betrach¬

tet und so einer klassischen Behandlung zugeführt werden kann.

Allerdings wird später noch eine Ergänzung notwendig, da Keime,

welche die überkritische Grösse erreicht haben, nicht wieder

zerfallen können.

Laut der Bolzmann'sehen Beziehung kann dann die metastabile

Gleichgewichtskonstante K von kritischen Keimen bestimmt wer¬

den.

AS*

K - e

k(18)

AS* ist die mit der Keimbildung verbundene Entropieänderung

und k die Bolzmann-Konstante. Der isotherme Arbeitsaufwand

ist

äF* - T AS*

womit

AF*

AS* = (19)

T

Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Zusammenstosses meh¬

rerer Moleküle ist so gering, dass eine konsekutive Addition

einzelner Monomeren angenommen werden muss. Der Aufbau des

Keimes A.„, wobei i die momentane Anzahl Moleküle des Keimes

bedeutet, ist daher als eine Kettenreaktion anzunehmen.

A„ + 4, -*- A„

+ An + -* A.* ,

+ An -> A.*

+ A- + A . * ,-

->-* (20)112 1 %*-l 1 ^* 1 %*+l

Laut Pound [7] kann für kritische Keime die reversible Reak-

- 18 -

tion geschrieben werden

i* A, Z A (21)

für welche die Gleichgewichtskonstante

X(i*)

[xd))'

n (i*)

n(l) + l n(i)

i = 2

n(l)

n(l) + l n(i)

i = 2

(22)

ist. X(i*) ist der molare Anteil kritischer Keime und X(l)

der molare Anteil von Monomeren. Es sei n(i) die Anzahl Ge¬

bilde in einer Volumeneinheit, die gerade i Molelüle enthal¬

ten. Normalerweise ist aber

n(l) >> l n(i)i = 2

(23)

und folglich kann die Gleichgewichtskonstante K geschrieben

werden

K =

n (i*)

n(l)(24)

Ist n(l) die Konzentration aller Moleküle, so gilt auch

n(D >> l i n(i), (25)

i-2

- 19 -

so dass

n(i*)

(26)

n(l)o

geschrieben werden kann. Der Ausdruck für die Gesamtzahl der

Moleküle pro Volumeneinheit Dampf n(l) schreibt sich

n(l) = (27)o

v ,m

d

wobei v,das spezifische Volumen des Dampfes und m die Masse

d

eines Moleküls sind. Die Konzentration kritischer Keime in

einer Volumeneinheit ist aus den Gleichungen (18), (19) und

(26) zu gewinnen, indem die Gleichgewichtskonstante K elimi¬

niert wird,

AF*

n(i*) = n(l) ek T

(28)o

Die Gleichgewichtskonzentration n(i*) liefert zunächst keine

Information über die Keimbildungsrate J sondern gibt nur die

Anzahl kritischer Keime an, d. h. die Anzahl Agglomerationen

von Molekülen die gerade die kritische Grösse erreicht haben,

deren Zukunft noch ungewiss ist.

In der Herleitung der Keimkonzentration wird die Annahme ge¬

troffen, dass sich der Keim im thermodynamischen Gleichgewicht

befindet, d. h. die Wechselwirkung

Keim t Monomere

ist vorausgesetzt. Folglich müssten Keime die überkritisch

geworden sind in Monomere zerfallen können. Die Tatsache,

- 20 -

dass die einmal überkritisch gewordenen Keime weiterwachsen

und makroskopische Abmessungen erreichen, führt dazu, einen

"Quasi-Gleichgewichtsfaktor" einzuführen. Er beschreibt den

Übergang kritischer Keime zu überkritischer Grösse als sta¬

tionären - also quasi im Gleichgewicht ablaufenden — Prozess

in der unten genauer dargestellten Weise. Er geht hervor aus

dem Gradienten der hyposymmetrischen Keimkonzentration über dem

metastabilen Gleichgewicht. Dieser Faktor Z*, den erstmals

Farkas [8] hergeleitet hat, wurde später von Becker-Dörring

[4] und Zeldowich [9] in mathematisch strenger Weise nochmals

formuliert. Die Herleitung von z* - der Keimbildung angepasst

— ist unter anderem bei Pound ausführlich wiedergegeben [7,

S. 117], und er gibt folgenden Ausdruck für den Quasi-Gleich¬

gewichtsfaktor an

AF*

Z* = l/ t- (29)

3 tt k T i*6

Die Anzahl Moleküle {,* in einem kritischen Keim vom Radius r*

ist

4 TT P*

3 m v

(30)

wobei m die Masse eines Moleküls und v*

das spezifische Volu¬

men des Keimes bedeuten. Mit AF* aus Gleichung (17) und i*

aus (30) kann (29) geschrieben werden

m v#

/ ct

1/ (31)

2 tt v*2 X k T

Es wrrd angenomen, dass die Frequenz, mit der kritische Keime

in wachstumsfähige umgewandelt werden, der sekundlichen Stoss-

zugegeben

an¬wirdist,multiplizierenzuKeimbildungdiewelchemmit6

KorrekturgliedDasbeschrieben.ausführlich[10]inistdung

Keimbil¬derAnisothermenkorrektursogenannteDiesewerden.

mitberücksichtigtKeimbildungderinVorgängenichtisotherme

sollten[10]Feder-Russel-Lothe-PoundvonVorschlageinemLaut

mttfm,v1/2%so

(34)Tk

•1/—¥~=J.

AF*/2a*

v

werden:geschriebenUmformungnach

o(33)kann(27)Gleichungn(l)Molekülkonzentrationdiefür

Ausdruckdemmitzusammenundentnehmenzuresp.(28)und(32)

(31),Gleichungendenaussindn(i*)unda).#2*,GrössenDie

*^tso

(33)n(i*)üj.„Z*-

.J

als:werdenformuliert

jetztkannVolumeneinheitproKeimbildungsrateisothermeDie

werden.gleichen

aus¬sichRealgaseigenschaftenjeneKeimbildungsratediefür

GleichungderinweilzulässigistVereinfachungDieseführt.

einge¬ImpffrequenzderinnochZeldowich-Faktorimwederden

wur¬DampfesdesEigenschaftenrealenDiewerden.ausgedrückt

(32)]/=

\*

kT/r*2tt4

Gas-kinetischenderVerwendunguntersie,kannr*tt4fläche9

Impffrequenzeinealstheorie,

untersie,kannr*tt4fläche9

Keim-kritischenderKenntnisderMitsei.proportionalzahl

-21-

- 22 -

(35),2 2b + q

2 2hierbei können b und <? geschrieben werden:

2 m

fe r (26)

k T 2 o v

T (sd -

sf)-

2 m

(37)

Explicit erhält man die Keimbildungsrate pro Sekunde und

Masseneinheit Dampf:

2 a

I =

4 TT r* a

3 k T

v ,m

a

(38)

- 23 -

ZEITLICHE ÄNDERUNG DES TROPFENRADIUS

In diesem Kapitel soll die zeitliche Änderung des Tropfenra-

radius näher betrachtet werden. Bevor die massgebenden Pro¬

zesse im Detail behandelt werden, zunächst einige allgemeine

Bemerkungen. Die einmal gebildeten Keime wachsen, da neue

Dampfmoleküle auf ihnen kondensieren. Das Wachsen erfolgt

selbstverständlich nicht in dem Masse, wie dies die Stossfre-

quenz auftreffender Dampfmoleküle angibt, da jedes kondensie¬

rende Molekül dem Tropfen eine ansehnliche Wärmemenge in Form

von Kondensationswärme zuführt. Ein Teil dieser Wärme muss

wieder dem Dampf zurückgeführt werden, ansonsten der Tropfen

innert kürzester Zeit überhitzt würde. Für einen ganz bestirn¬

ten Tropfen soll die zeitliche Wärmebilanz nachfolgend formu¬

liert werden, wobei Grossbuchstaben darauf hindeuten, dass der

ganze Tropfen betrachtet wird.

dQi dB du-1 =

-2. T- (1)

dt dt dt

Die auf die Zeiteinheit bezogenen Grössen bedeuten;

dQj Die aus dem Tropfen durch Wärmeübergang abgeführ-

dt

duz

dt

dur

dt

te Wärme.

Die dem Tropfen zugeführte Enthalpie.

Die Enthalpieänderung des Tropfens infolge seiner

Grössenänderung.

In den folgenden Herleitungen der Glieder der Gleichung (1)

wird stets davon ausgegangen, dass der Tropfen sich in einer

- 24 -

unveränderlichen Umgebung befindet — konstante Zustände des

Dampfes. Diese quasistationäre Betrachtungsweise erweist sich

im Normalfall als zulässig, weil die Zustandsänderungen hin¬

reichend langsam erfolgen. Gasdynamische Stösse werden nicht

zum Normalfall gezählt, obwohl sie häufig auftreten.

2.1 TROPFENTEMPERATUR

In der Theorie der Keimbildung wurde vorausgesetzt, dass die

Temperatur im System überall gleich ist. Der Druck hingegen

ändert sich sprungartig an der Grenzfläche Dampf - Tropfen und

nimmt als Binnendruck innerhalb des Tropfens eine Grössenord-

nung an, die den Dampfdruck der Umgebung um einige Zehner¬

potenzen übersteigen kann (vgl. Gl. 1.8). Die Gleichheit der

freien Enthalpien im Tropfen und im Dampf (Gl. 1.6) ist ein

weiterer grundlegender Sachverhalt. Bei der Herleitung dieser

Gleichung wurde eine gradientenfreie Umgebung vorausgesetzt.

Mit Hilfe der beiden erwähnten Gleichungen kann jedem Werte¬

paar Temperatur - Druck ein eindeutiger Radius zugeordnet wer¬

den. In der Umkehrung bedeutet dies, dass ein bekannter Tro¬

pfenradius zusammen mit irgendeiner anderen unabhängigen Zu-

standsgrösse des Systems den Zustand im Tropfen bestimmt. So

kann, wenn der Radius und der Dampfdruck bekannt sind, die

Tropfentemperatur T eindeutig bestimmt werden. Somit werden

also dem System mindestens zwei nicht gleiche Temperaturen zu¬

geordnet, nämlich die Dampftemperatur T, und die Tropfentem¬

peratur T. Die Gleichungen (1.6, 1.8) wurden aber unter der

Bedingung hergeleitet, dass im Dampf und im Tropfen gleiche

Temperatur herrscht. Die Vermutung liegt deshalb nahe, dass

die zu Beginn getroffene Voraussetzung für die Berechnung der

Tropfentemperatur unzulässig war. Dies ist indessen nicht der

Fall, da Dampfmoleküle die den Tropfen "streifen", ungeachtet

des Zustandes den sie vor dem Kontakt mit dem Tropfen hatten,

genau die freie Enthalpie des Tropfens annehmen werden. Es

wird hier angenommen, dass jedes streifende Molekül kurzfris¬

tig im Tropfen verweilt. Nun ist es gleichgültig, ob das

- 25 -

identisch gleiche Molekül oder irgendein anderes an Stelle des

soeben angekommenen den Tropfen wieder verlässt. Wenn das Mo¬

lekül - mehr oder weniger unmittelbar - wieder den Tropfen

verlässt, wird es bis zum nächsten Molekülstoss die gleiche

frei Enthalpie beibehalten, die es im inneren des Tropfens an¬

genommen hatte. Die impfenden Moleküle werden, wenn sie wie¬

der emittiert werden, den Zustand im Dampfräum annehmen, der

durch die freie Enthalpie des Dampfes g -, beim Dampfdruck p ,

und der Temperatur T gegeben ist. Somit wird im Dampfräum

um jeden Tropfen ein Temperaturgradient vorhanden sein, des¬

sen Existenz im wesentlichen keinen Einfluss auf die quasi¬

stationäre Tropfentemperatur hat.

Aufgrund der erwähnten Tatsachen können die beiden Gleichungen

(1.6) und (1.8) zur Bestimmung der Tropfentemperatur herbei¬

gezogen werden. Wird die zu dem Radius r zugeordnete Tropfen¬

temperatur T eingesetzt, schreiben sich die beiden Gleichungen

VW = VW (2)

2 a(T )

Pr=

Pd+ —

* (3)

Die Tropfentemperatur kann, wenn reale Medien behandelt werden

sollen, aus diesen Gleichungen nicht analytisch bestimmt wer¬

den. Die Änderung der Tropfentemperatur kann aber in Funktion

des Tropfenradius durch eine Differentialgleichung beschrieben

werden. Im folgenden wird angenommen, dass die Lösung des

Gleichungssystemes (2) und (3) für einen Radius r bekant sei,

die Temperatur T und der Druck p also dem Gleichungssys-r

PO TO

tem genügen. Gesucht ist aber die Lösung T, p für denjeni¬

gen Tropfen, dessen Radius r, nahe an v liegt. Die freie

Enthalpie des Dampfes kann dann formuliert werden:

*gdg AT ,p,) = g AT ,p

,) + (T - T ) —- (4)ad v ed d to ed r ro „„

eineals-vorausgesetztwie—

,p

Dampfdruckderwobeiden,

ist.behandelnzuKonstante

j

Dampfdruckderwobeiden,

wer¬differenziertTemperaturdernachkann(3)GleichungDie

dT

dP„

rorT-T

ro^

rr

P~

P(

r^-r

lim

sollgehenrgegenrindemdet

gebil¬GrenzwertderwirdGleichungdieserSeitelinkedieFür

dp

l

(7)

*g

rd

S~

jSdTdT

ror

T-T

ro^

re

P-P

39\0,79

sich;ergibtUmformungenund)T-(TmitDivisionNach

(6)ro

dpvor

dT""

>-)p-(p+*-)T-(T

Zgd9f

dTror

)T-(T

werden:geschriebenkann

Daher3f(Tvo>Vro)-gleichauchist9d(TT0>Pd)sonderngleich,

(5)und(4)Ausdrückebeidendienurnichtsindsetzungen,

Voraus¬getroffenenderBeachtungunterund(2)GleichungLaut

(5)

dp*rotr

)p-(p+

dTror

<Xro'^rof'f^r'^r

)T-(T+),pATg=),pJTg

(Tropfen)FlüssigkeitdiefürgiltÄhnlich

-26-

- 27 -

dp

dT

2 da

r dT

2 o dr

r2 dT

(8)

Die Ausdrücke (7) und (8) sind gleichzusetzen, womit die ge¬

suchte Differentialgleichung entsteht:

dT

dr

2 r

*9f2 a -5-£

3p

*3f da2

—i_ T

8p dT

*9, d9,

dT dT

(9)

Wie bereits im Kapitel 1 gezeigt wurde, ist die erste Ablei¬

tungen der g'-Fläche nach dem Druck gleich dem spezifische Vo¬

lumen. In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass die erste

Ableitung der g'-Fläche nach der Temperatur gleich der Entropie

mit negativem Vorzeichen ist. Die Gleichung (9) kann deshalb

mit den üblichen Bezeichnungen der Zustandsgrössen verständ¬

licher formuliert werden.

dT

dr

2ov

2 r

vf % + p2 (sd~ Sf}

(10)

Alle Zustandsgrössen sind bei der Temperatur T und dem Druck

Pj resp. p zu ermitteln. Bei der Ermittelung der Tropfen¬

temperatur ist man nicht nur auf die Differentialgleichung (10)

angewiesen, sondern die Richtigkeit der Lösung kann mit den

beiden Ausgangsgleichungen (2) und (3) überprüft werden. In

ähnlicher Weise wie die Gleichung (10) hergeleitet wurde, kann

der Algorithmus gefunden werden, mit dessen Hilfe zunächst die

Güte der gefundenen Lösung überprüft und anschliessend verbes-

- 28 -

sert werden kann. Der nachstehende Algorithmus liefert die

gegenüber der n-ten Lösung verbesserte Lösung T (n+1):

T (n+1) -

v Tr(n)gd

~

9v

1 d£}r r dT

+ s ,

- s

(11)

Gyarmathy [11] hat 1962 einen Ausdruck für die Tropfentempe¬

ratur angegeben. Wir wollen hier einen Vergleich zwischen

dem von ihm angegebenen Ausdruck und der oben angeführten

Gleichung (10) anstellen, indem die Gl. (10) durch Verein¬

fachungen in dieselbe Form übergeführt wird, wie sie von Gyar¬

mathy gefunden wurde. Zunächst sind folgende vereinfachende

Annahmen zu treffen:

1 Die Oberflächenspannung a(T ) sei gleich der Oberflächen¬

spannung an der Sättigungslinie beim Dampfdruck p ,. Die

Sättigungstemperatur beim Druck p , wird T genannt.

a(Tr) a(T )s

Konst.

Die Oberflächenspannung ist folglich gleich für alle

Tropfenradien und demzufolge ist auch

^ -

0

dTU

zu setzen.

2 Das spezifische Volumen der Flüssigkeit v sei druck- und

temperaturunabhängig und kann dem spez. Volumen an der

Sättigungslinie beim Dampfdruck p , gleichgesetzt werden.

vf(Tr'Pr) = Vf(Ts'pd} = Konst-

Die Entropie der Flüssigkeit s^ sei ebenfalls druck- und

temperaturunabhängig und wäre auch an der Sättigungslinie

- 29 -

beim Dampfdruck p , zu ermitteln.

sjT ,p ) = sJT ,p -,) - Konst.

4 Die Entropie des Dampfes bei der Tropfentemperatur T

wäre gleich der Entropie weit weg vom Tropfen.

ed(Tr>Pd} = Sd(Td^d) = Konst-

Werden diese Vereinfachungen in der Gleichung (10) berücksich¬

tigt, erhält sie die Form einer separierbaren Differential¬

gleichung, die integriert werden kann

2 ° Vf

Sd-

sf

(12)

Die untere Integrationsgrenze entspricht der Randbedingung,

dass der Radius an der Sättigungslinie unendlich ist. Wird

in der Gleichung (12) der konstante Faktor vor dem zweiten

Integralausdruck mit K bezeichnet, bleibt nach durchgeführter

Integration

T - T - R - (13)s v r

Wäre nun der Radius r gleich dem kritischen Radius r* so wäre

auch T gleich T-,. Für diesen Spezialfall lautet die Gl. (13)

T-T* = T-T-, = K-^ (14)s r* s d p*

Die Unterkühlung AT ist definiert mit

AT = T - T, .

s d

Die Subtraktion der Gleichung (13) von (14) liefert

- 30 -

T - T, = K -^f - - HS)r d [r* r

und mit der Unterkühlung AT eingesetzt folgt

AT.

(16)T - T,r d

1 ~ ~

Diese Gleichung entspricht exakt dem von Gyarmathy angegebenen

Ausdruck für die Tropfentemperatur. Für die weiteren Ausfüh¬

rungen wird die genauere Gleichung (10) ohne Einschränkung

beibehalten.

2.2 WÄRMEÜBERGANG TROPFEN - DAMPF

Die Wärmeübergangszahl a für eine freischwebende Kugel (Trop¬

fen) im Dampf kann in zwei Wärmeübertragungswiderstände zer¬

legt werden. Einer dieser Widerstände ist auf die reine Wär¬

meleitung im Dampf zurückzuführen. Der zweite berücksichtigt

den Wärmetransport zwischen der Oberfläche des Tropfens und

einer gedachten Fläche im Dampf die unmittelbar an den Tropfen

grenzt. Damit nämlich — infolge Massenaustausch Oberfläche-

Dampf — eine Wärmeübertragung erfolgen kann, muss, wie aus

den nachfolgenden Betrachtungen hervorgeht, eine Temperatur¬

differenz zwischen der Tropfenoberfläche und dem den Tropfen

unmittelbar umgebenden Dampf bestehen. Die Temperaturvertei¬

lung um einen Tropfen sei somit, wie in Abbildung 4 dargestellt,

angenommen. Es ist dort gezeigt, dass die Temperatur an der

Tropfenoberfläche von T. auf die Tropfentemperatur T springt,

während im Feld ein stetiger Übergang von T. auf die Dampf¬

temperatur T-, weit weg vom Tropfen stattfindet. Die Tempera¬

tur T. ist als eine Trenntemperatur zwischen den beiden Wärme¬

übertragungs-Mechanismen aufzufassen. Die reine Wärmeleitung

ist gegeben durch die Temperaturdifferenz T. - T,. Die Wärme¬

übertragung, verursacht durch die Wechselwirkung Tropfen —

Dampf (hier Stoffaustausch) ist durch T -T.mit T als der

31 -

Bild 4. Temperaturverteilung um einen Nebeltropfen in

radialer Richtung L,.

Tropfentemperatur gegeben.

Die Wärmeleitung kann für eine Kugel im Kontinuum mit Hilfe

der Wärmeleitfähigkeit des Dampfes X durch eine Wärmeuber-

gangszahl a ausgedruckt werden. Bezogen auf den Radius r

des Tropfens ist diese Zahl zu formulieren,

*k(17)

Um die Wärmeübertragung durch Stoffaustausch für sich betrach¬

ten zu können, ist im Gedankenexperiment nach Bild 5 angenom¬

men, der ganze den Tropfen umgebende Dampfraum habe die Tem¬

peratur T.. Die Abbildung 5 stellt einen adiabatisch abge¬

schlossenen Behälter dar, in welchem den Dampfmolekulen

- 32 -

K

Bild 5. Gedankenexperimentzur Erklärung des molekula¬

ren Wärmeaustausches.

durch einen schweren Kolben K der konstante Druck p ,

aufgezwungen wird. Zusätzlich ist ein Subsystem (Tropfen)

im Behälter eingeschlossen dessen Druck p ebenfalls durch ei¬

nen schweren Kolben K konstant gehalten wird, von der Gra¬

vitationskraft wird im übrigen abgesehen. Es sei weiter mög¬

lich, die Tropfentemperatur T konstant zu halten, indem Wär¬

me dem Tropfen durch irgendeinen Prozess zu oder abgeführt

werden kann. Dieser Prozess wird im nächsten Abschnitt behan¬

delt und wir nehmen dessen Existenz hier vorerst an. Die

Berandung des Subsystems sei nur für Monomere durchlässig und

sie weist die Oberfläche A auf. - Von Wärmeübertragung durch

Strahlung kann unter den gegebenen Bedingungen abgesehen wer¬

den.- Es soll nun mit Hilfe einer Energiebilanz die dem

Dampf zugeführte Wärme bestimmt werden, wenn ein Molekül den

folgenden Kreisprozess a - e durchläuft

a Verlassen des Dampfraumes.

b Eindringen in den Tropfen.

- 33 -

c Der Zustand wird dem des Tropfens gleich.

d Verlassen des Tropfens.

e Integration in dem Dampfräum.

Da der Prozess im Dampfraum isobar ist, lässt sich die Ener¬

giebilanz am einfachsten mit Hilfe der Enthalpie durchführen,

da dann alle Verschiebungsarbeiten sogleich berücksichtigt

sind. Es ist H ,(T .,p J die Enthalpie des Moleküls beim Ver¬

lassen des Dampfraumes, H,(T >p-,) diejenige beim Wiederein¬

tritt. Ein vollständiger Zyklus der beschriebenen Art entsp¬

richt also einer Wärmezufuhr zum Dampf

vw - VW (18)

Da aber

VW = VW +

dB

dT

(T - T .)r %

(19)

und weiter definitionsgemäss

3fl

dT

C,

V

bleibt

hQ, = C (T - T .)p r i

(20)

Die kinetische Gastheorie liefert die Zahl von Molekülen, die

2die Tropfenoberfläche A = 4-nr pro Zeiteinheit treffen. Die¬

se Impffrequenz sei w . genannt und ist, falls die realen Eigen¬

schaften des Dampfes berücksichtigt werden»

- 34 -

4 tt r

ui-

2 TT V

(21)

Die Emissionsfrequenz u stimmt allerdings nicht mit der Impf¬

frequenz uberein, da der Tropfen wächst und somit weniger Mo¬

leküle ihn verlassen als auftreffen. Die Massenänderung eines

Tropfens ist in Funktion der Radiusänderung

dM

dt

4 tt r dr

dt

(22)

und auf die Molekulmasse bezogen

di

dt

4 tt r dr

(23)

m v dtr

Die Emissionsrate u liefert Gleichung (21) abzüglich (23)

4 tt r 1 dr

2 T 5 v dtr

(24)

Diese Gleichung druckt die pro Zeiteinheit vollendeten Schlei¬

fen des vorher beschriebenen Kreisprozesses aus und demzufolge

wird dem Dampf, in spezifischen Einheiten ausgedruckt, die

Wärme

dt

0) m a (Te p r

T .) (25)

zugeführt. Die Warmeubergangsgleichung in ihrer üblichen

- 35 -

Form kann geschrieben werden

dQ

dt

tt r a (T - T .)m v t

(26)

Das so definierte a kennzeichnet die Wärmeübertragung durchm

die oben beschriebene molekulare Wechselwirkung. Somit muss

gelten

4 t\ r a -aimcm e p

(27)

oder

a) m a

4 TT v

(28)

Mit eingesetzter Emissionsrate oj fuhrt dies aufe

2 n tf.

1 dr

v dtr

(29)

Das zweite Glied könnte in Überschlagsrechnungen vernachläs¬

sigt werden, da es für Wasser den Betrag um höchstens 3 % be¬

einflussen wird.

Die beiden Wärmeubergangszahlen et. Gl. (17) für die Wärmelei¬

tung im Dampf und a Gl. (29) für den molekularen Massenaus-m

tausch können zu einer gemeinsamen Wärmeubergangszahl a des

betrachteten Tropfens zusammengefasst werden, da der Gesamt-

wärmeubertragungswiderstand I/o, durch Summation der Wärme-

ubertragungswiderstände 1/a-, und 1/a entsteht. Es ist dem-

gemäss

- 36 -

(30)

1 1

+

Die Bedeutung der soeben hergeleiteten Wärmeübergangszahlen

dürfte an sich klar sein, trotzdem sollen ihre Eigenschaften

erörtert werden. Für diese Betrachtung können wir das zweite

Glied der Gleichung (29) vernachlässigen. Die durch Massen¬

austausch Tropfen - Dampf ermittelte Wärmeübergangszahl a

ist - im Gegensatz zu a- nur schwach von der Geometrie des

K.

Objektes (Tropfen) abhängig, sondern vorwiegend vom Zustand

des umgebenden Dampfes. Es ist auch zu erwähnen, dass dieser

Wärmeübergangszahl ein thermischer Akkomodationskoeffizient,

r/m

Bild 6. Wärmeübergangszahlen zwischen Tropfen und Dampf

(H„0) als Funktion des Tropfenradius.

- 37 -

der eine nicht vollständige Wärmeübertragung an die impfenden

Moleküle berücksichtigt, zugeordnet werden könnte. In dieser

Theorie ist eine perfekte Akkomodation vorausgesetzt (vgl.

Kap. 2.1). Hierbei fällt der Akkomodationskoeffizient ausser

Betracht, da er folgerichtig identisch Eins sein muss. Die

Abbildung 6 zeigt für vier ausgewählte Druckniveaus 0.01, 0.1,

1, und 10 MPa beim Sättigungszustand in Funktion des Tropfen¬

radius die beiden Wärmeubergangszahlen a und a, (dünne Li¬

nien) und die resultierende Wärmeubergangszahl a (dickere

Linien). Aus dieser dimensionsbehafteten Darstellung geht

hervor, dass gerade die Übergangszone zwischen der freimole¬

kularen Wärmeübertragung (a ) und der Wärmeübertragung des

Kontinuums (aj für die spontan auftretende Kondensation von

grösster Bedeutung ist.

Aus der Tatsache der Gleichheit der Wärmemengen, die vom Trop¬

fen auf den unmittelbar umgebenden Dampf und von diesem weiter

in das Feld übertragen werden, ergibt sich die Temperatur T . •

tt r2 a (T - T.) = 4 tt r2 a, (T .

- T-,) (31)m r ^ k % d

dt

Nach Umformungen ist

T. =-2—* *—<L

(32)

m k

und damit auch die Differenz

T - T ,

T - T.

-— —

. (33)r ^

a

1 + -^

ak

ist.entnehmenzu(30)Gleichungausawobei

dtdrr

(35),)T-(Tar2tt4

alskannwerdengeschrieben,)T-(TDampf—Tropfengefälle

Temperatur¬demmitdasdQ^/dt,Glieddasenthält(1),chung

Glei¬wurde,formuliertEinleitungderindieWärmebilanz,Die

ld

(34).vd-±-=v.

aus-genauhinreichendTemperaturintervallgegebenenim

.vmen

werdengedrückt

gegebeim

v.men

Volu¬spezifischedaskannist,konstant,pDampfdruckderDa

würde.führenNullWärmeübertragungdieaufT=T.Annahme

scheinendenaheliegendzunächstdiedasshier,erkenntMan

-38-

- 39 -

2.3 DEM TROPFEN ZUGEFÜHRTE WÄRME, KONDENSATIONSWÄRME

Im vorhergehenden Abschnitt wurde bereits erwähnt, dass es ei¬

nen Prozess gebe, der in der Lage sei, die Tropfentemperatur

konstant zu halten obwohl Wärme aus dem Tropfen laufend abge¬

führt wird. Man kann sich diesen Prozess folgendermassen vor¬

stellen: Wenn dem Tropfen Wärme entzogen wird durch reflek¬

tierte Moleküle, muss eine equivalente Wärmemenge dem Tropfen

zugeführt werden indem ein gewisser Bruchteil der ankommenden

Moleküle im Tropfen verbleibt und seine Energie mitbringt.

Die Energiebetrachtung, die mit Hilfe der Abbildung 5 durch¬

geführt wurde, ist demzufolge noch unvollständig. Ein Mole¬

kül, das in den Tropfen eindringt, liefert diesem die Wärme

AS - VW ~

Hf(Tr'^v1 > (36)

wie man daraus erkennt, dass in den Enthalpien die Verschie¬

bungsarbeiten schon eingeschlossen sind. Diese Gleichung

lässt sich auch schreiben

Aö = VW -

Hf(Tr,pr) -

{ vw - VW } (27)

Der Ausdruck in geschleifter Klammer ist aber nichts anderes

als C (T - T.). Wegen H - G + T S ist fernerp r %

&

üA(T.pA) - HJT ,p ) =

GjT.pJ - GJT.p) + T {S,(T ,pj - SJT ,p )}. (38)d v

r d f r r r d r d f r r

Wie oben festgehalten ist G-, = Gf, folglich erhält man

A« = Tr iSd(Tr,pd) - Sf(Tv,pr)} -

Cp(Tr- Ti) (39)

Dies ist die dem Tropfen pro ein Molekül zugeführte Wärme.

- 40 -

Wenn zu spezifischen Grössen übergegangen wird, erhält man

mit Hilfe der Gleichung (23)

24 tt r

wk

dr

VV

dt

(40)dt

wo W-, die im Tropfen infolge Phasenübergang freigesetzte Wär¬

me ist.

c (T - 7 Jfj = T {8,(T 3pJ - sJT ,p )} -

—2 Z «— (4i)k v a r

e d f jf rr

1 +-^

ak

Die den Tropfen impfenden Moleküle haben die Temperatur T.,

die zwischen derjenigen des Dampfes T, und des Tropfens T

liegt (vgl. Abb. 4). Die Abweichung dieser Temperatur von

der Tropfentemperatur T wurde bereits in 2.2 durch Gleichung

(33) angegeben.

Die Anfangs des Kapitels formulierte Wärmebilanzgleichung (1)

enthält das Glied dH /dt: dieses Glied setzt sich zusammenz

aus der dem Tropfen zugeführten Wärme Gleichung (40) und der

Enthalpieänderung des Tropfens infolge dessen Massenzunahme.

Somit ist

2dH 4 t: r dr

5.= {W + h } _

^ (42)dt v

K °dt

r

wobei h-, die spezifische Enthalpie der Tropfenmasse ist.

- 41 -

2.4 hNTHALPIEANDERUNG DES TROPFENS

Bis anhin wurde der Zustand des Tropfens als über die Zeit

konstant betrachtet. Dies fuhrt kemswegs eine Einschränkung

der Gültigkeit der hergeleiteten Gradienten mit sich, sofern

die Zustandsanderung des Tropfens genügend langsam erfolgt.

Dann kann diese 'schleichende' Änderung des Tropfenzustandes

für sich betrachtet werden. Die Enthalpieanderung eines Tro¬

pfens infolge einer Grossenanderung ist auf zwei Effekte zu¬

rückzuführen. Erstens nimmt die Tropfenmasse zu und infolge

des veränderten Gleichgewichtszustandes des Tropfens erfahrt

die Tropfenmasse die Enthalpieanderung dH.. Zweitens wird, da

die Oberflache zunimmt, mehr Oberflachenenergie gebunden.

Dieser Beitrag wird dH genannt. Zuerst wird die Tropfenmasse

behandelt. Deren spezifische Enthalpieanderung pro Zeitein¬

heit kann defmitionsgemass geschrieben werden als

dt(hb)

dt

-(g + T s)

d 3g—(g - T —

dt 3T

(43)

Nach ausgeführter Differentiation erhalt man

dh.

dt

d2g dT

-T +

3T2 dt

3<7 82ff- T

9p 8p3r

(44)

Nun ist

pr

32S,

r3T2

nichts anderes als die bei konstantem Druck gebildete spezi¬

fische Warme. In Analogie dazu lasst sich ein isothermer War-

mekoefflzient definieren durch

- 42 -

'Tr- T

T 3p9Tj

Der Differentialquotient der Temperatur in Gleichung (44)

wird mit Hilfe der Kettenregel ersetzt durch

dT

dt

dT drT_

dr dt

(45)

Eine Differenzierung der Grundgleichung (3) liefert den Ersatz

für den Differentialquotienten des Druckes in Gleichung (44)

dp,

dt

2 da dT

r dT dr

(46)

Mit guter Genauigkeit kann auch hier angenommen werden, dass

die Umgebung des Tropfens zeitlich isobar ist. Der zeitliche

Druckgradient des Dampfes wurde somit vernachlässigt. Die

beiden Differentialquotienten (45) und (46) in Gleichung (44)

eingesetzt und umgeformt:

dh,

dt

2 da

p TdT

dT

dr

2a

JT ~~2r

dr

r dt

(47)

wobei alle Grössen für die flüssige Phase mit dem Zustand T .°r

p zu ermitteln sind. Der Ausdruck in geschweiften Klammern

sei der Einfachheit halber W, gennant und ist als eine Wärme

pro Längenänderung (Radiusänderung) zu interpretieren.

p T

2 da

r dT

dT

dr

2a\

JT ~2\r r

(48)

- 43 -

Die Enthalpieänderung der Tropfenmasse pro Zeiteinheit für

einen Tropfen des Radius r ist somit

dB,

dt

d

dt

4 TT V

3 v

TT V

h, + — W,dr

>l dt

(49)

Die Oberflächenenthalpie für einen Tropfen sei ü genannt und

sie ist

H - 4 tt r a .

o(50)

Man erhält direkt mit

2a da dT

v dT dr

du

dt

ir r W

dr

dt

(51)

Die beiden Beziehungen (49) und (51) bilden zusammen den ge¬

suchten Ausdruck für die Enthalpieänderung eines Tropfens:

du düx du

(52)dt dt dt

- 44 -

2.5 FORMULIERUNG DES WACHSTUMSGESETZES

Die am Anfang des Kapitels aufgestellte Enthalpiebilanz (l)

schreibt sich mit der Gleichung (52) eingesetzt;

dQ-

dt

du

dt

du-,

dt

dti

dt

(53)

d. h. die abzugebende Wärme ist die zugeführte Enthalpie ver¬

mindert um die gesamte Enthalpiezunahme des Tropfens. Die

Enthalpiebilanzgleichung kann nun verwendet werden um die

Wachstumsgeschwindigkeit des Tropfens explizit auszudrücken.

In die Gleichung (53) werden die Gleichungen (35), (42), (49),

(51) eingesetzt und nach dv/dt aufgelöst;

dr

dt

a (T - TJ vr r d r

W, - ^- Wu - v Wk ÖD PO

(54)

Diese Beziehung ist ohne Zweifel komplex, wenn j/, , W-, , W undk b o

a voll berücksichtigt werden sollen. Für Überschlagsrech¬

nungen lässt sich eine einfachere Formulierung finden. Für

Wasser — Wasserdampf wurden in einem Druckbereich des Wilson¬

punktes von 0.1 bis 4 MPa mit der folgenden vereinfachten

Gleichung gute Ergebnisse erzielt:

dr

dt

v (Tr r V

T (s,-s)

v d v T+

o

pd

2 TT V

(55)

Jd

Dieser vereinfachte Zusammenhang soll aber keine weitere Ver¬

wendung finden, er wurde nur angegeben, um die wichtigsten Pa¬

rameter des Wachstumsgradienten aufzuzeigen.

- 45 -

Bisher wurde konsequent vom Wachstum im Sinne einer Radius¬

zunahme gesprochen. Abnehmende Tropfen können ohne Einschrän¬

kung der Gültigkeit der aufgeführten Gleichungen behandelt

werden. Folgende drei Fälle lassen sich für den Wärmeaustausch

Tropfen — Umgebung unterscheiden:

t > r,

r d

r d

r d

Dem Tropfen wird Wärme entnommen und dem Dampf

zugeführt - wie hergeleitet -.

Dem Tropfen wird Wärme zugeführt.

Kein Wärmeaustausch findet statt, d. h. der

Tropfen hat kritische Abmessungen und befindet

sich im Gleichgewicht mit seiner Umgebung.

In Abbildung 7 sind diese drei Fälle dargestellt. Offenbar

müssen überkritische Tropfen ( v > r* ) immer wärmer als der

umgebende Dampf sein. Folglich fliesst für überkritische

Tropfen Wärme in den Dampf. Gleichzeitig kondensiert Dampf

an der Oberfläche, womit der Tropfen wächst. Dieser Konden-

T

Tr>Td

T

^<Tr = Tr-= Td

Td

Tr<Td

1J /

\

c

L/>

Bild 7. Temperaturverteilung um überkritische, kritische

und unterkritische Tropfen in radialer Richtung £.

- 46 -

sationsvorgang liefert die abzugebende Wärme. Daraus kann

gefolgert werden, dass der zeitliche Gradient dr/dt, mit wel¬

chem der Tropfen seine Grösse ändert, hauptsächlich eine Funk¬

tion der Wärmeübergangszahl a und der jeweiligen Temperatur¬

differenz {T - T,) ist. Das gleiche gilt auch für unterkri¬

tische Tröpfchen (r < r*), mit dem einzigen Unterschied, dass

Verdampfung anstatt Kondensation stattfindet. In Abbildung

8.1 ist in der Druck-Temperaturebene der Zustandsverlauf eines

wachsenden Tropfens dargestellt. Der Zustand des Tropfens

befindet sich im Druckwassergebiet des Diagrammes zwischen

der Temperatur des Dampfes T, und der Sättigungstemperatur

beim Druck p ,,T genannt. Der Tropfenbinnendruck ist wegen

der Oberflächenspannung um einen Betrag 2a/r grösser

log p

Pr

r* >0

Radius nimmt zu

aT, >0Flüssigkeit

Pd

Sättigungslinie

\

Dampf

Tr L

Bild 8.1. Zustandsverlauf wachsender Tropfen bei konstan¬

tem Dampfdruck.

- 47 -

log p

Pr

Pd

/' min

Radius nimmt ab

X/

Flüssigkeit

Sättigungslinie

7!^

^L\x<ü

\r =00

Dampf

Tr Ts Td

Bild 8.2. Zustandsverlauf abnehmender Tropfen bei kon¬

stantem Dampfdruck.

als der Dampfdruck p ,.Es ist auch zu erwähnen, dass die

Tropfentemperatur T nie die Sättigungstemperatur T anneh¬

men kann, da es sich in diesem Falle um eine ebene Flüssig¬

keitsfläche (r = oo) handeln wurde und nicht mehr um einen

kleinen Tropfen. Gerät ein Tropfen in eine überhitzte Atmos¬

phäre, was durchaus möglich ist, so muss die Darstellung nur

wenig abgeändert werden. Siehe Abbildung 8.2. Der Zustand

des Tropfens ist immer noch im Druckwassergebiet darzustellen

mit der ihm zugeordneten Tropfentemperatur T (< T ). Der

Gleichgewichtsradius oder der kritische Radius v* für den Zu¬

stand T, und p, ist negativ - der kritische 'Tropfen' ist

konkav (r* < 0). Auf die hiermit verbundenen Kondensations¬

phänomene, die an konkaven Wänden auftreten, wird in dieser

- 48 -

Abhandlung nicht näher eingegangen. Jedoch ist das Verdunsten

eines Tropfens von Bedeutung und die angegebenen Gleichungen

sind auch in überhitzten Umgebungen unbeschränkt gültig.

In Abbildung 9 sind in der Zustandsebene für verschiedene

Dampfdrücke zwischen 0.01 und 3 MPa die Gleichgewichtskurven

(Gl. (2)) qualitativ für Wasser wiedergegeben. Die diese Kur¬

ven schneidenden dünneren Linien deuten jeweils den Gleichge¬

wichtsradius an.

109

P

Pa

108

107

10E

103

wz?—

10s - —

104 -

r = 5-1(TümGleichgewichts kurven

gd<Tr • Pdl=9f'Tr.Pr)für pd = konst.

3 MPa

; p =0.01 MPaDampf

$/ Sättigungslinie

275 300 350 400 450 500 T/K

Bild 9. Gleichgewichtskurven der Zustände der Tropfenbei verschiedenen Drücken des Wasserdampfes.

- 49 -

2.6 SCHLUPF TROPFEN - DAMPF

Die Tropfen können nie exakt den Geschwindigkeitsänderungen

des Dampfes folgen, sondern sie haben gegenüber dem Dampf ei¬

nen Schlupf, der von der jeweiligen Tropfenmasse, dem Dampf¬

zustand und vor allem von der Beschleunigung des Dampfes ab¬

hängt. Analog zur Herleitung der Wärmeübergangszahl a (Ab¬

schnitt 2.2) kann eine Impulsübergangszahl ty angegeben wer¬

den. Die Impulsübergangszahl tJj wird definiert als die Kraft

F die durch die Einheit der Fläche A infolge eines Geschwin¬

digkeitsunterschiedes Aw übertragen werden kann. Die Defini¬

tion ist zu formulieren

A Au

Für eine freischwebende Kugel im Dampf kann die Impulsüber¬

gangszahl \p —

genau so wie die Wärmeübergangszahl — in zwei

Impulsübertragungswiderstände zerlegt werden. Einer dieser

Widerstände ist durch die Zähigkeit im Dampf gegeben. Der

andere berücksichtigt den Impulstransport zwischen der Ober¬

fläche des Tropfens und einer gedachten Fläche im Dampf, die

unmittelbar an den Tropfen grenzt. Damit eine Impulsübertra¬

gung Tropfen — Dampf überhaupt erfolgen kann, muss nämlich

eine Geschwindigkeitsdifferenz zwischen der Tropfenoberfläche

und dem den Tropfen umgebenden Dampf bestehen. Die resultie¬

rende radiale Geschwindigkeitsverteilung um einen Tropfen

sei vereinfachend 'kugelsymmetrisch' angenommen, wie in Abbil¬

dung 10 dargestellt. An sich ist dies eine grobe Vereinfa¬

chung des wahren Sachverhaltes. Eine korrekte Behandlung des

Impulsaustausches zwischen dem Tropfen und dem Dampf hätte

von lokalen radialen Geschwindigkeitsverteilungen um den Trop¬

fen ausgehen müssen. Der erhaltene Schlupf erweist sich als

derart klein, dass eine Betrachtungsweise, die vom integralen

Mittelwert der Geschwindigkeitsverteilungen ausgeht, die

w

- 50

wd

W;

w,

^^ \1

AWdi

!_ AWr

1

1

AWjr'

1

l

1 \

Bild 10. Mittlere Geschwindigkeits-Verteilung um einen

Nebeltropfen in radialer Richtung £,.

geforderte Genauigkeit liefert. Die Abbildung 10, zeigt, dass

die Dampfgeschwindigkeit w . an der Tropfenoberfläche ungleich

der Geschwindigkeit des Tropfens w ist. Der Übergang zwi¬

schen den beiden Geschwindigkeiten ist durch einen Sprung ge¬

kennzeichnet, während im Feld ein stetiger Übergang von der

Dampfgeschwindigkeit w . am Tropfenrand auf die Dampfgeschwin¬

digkeit wj weit weg vom Tropfen stattfindet. Die Impulsüber¬

tragung in einem Kontinuum ist gegeben durch den Schlupf

Audi 'd

w .(56)

und die infolge Massenaustausch Tropfen — Dampf verursachte

Impulsübertragung ist eine Funktion des Geschwindigkeitsunter¬

schiedes

- 51 -

hw = w .

- w . (57)

Jene erstgenannte Impulsübertragung kann für eine Kugel im

Kontinuum bei schleichender Bewegungen mit Hilfe des Stokes'-

schen Widerstandsgesetzes durch eine Impulsübergangszahl i|i,

ausgedrückt werden. Bezogen auf die Fläche 4 tt r des Trop¬

fens wird diese Zahl, wenn n die dynamische Vikosität des

Dampfes ist

6 tt r n 3 n

** = ~

r-" —-

• (68)

4 tt r 2 r

Um den Impulsaustausch durch Stoffaustausch, für sich behan¬

deln zu können, ist im Gedankenexperiment angenommen: Der

Tropfen wird gleichmässig von allen Richtungen mit Dampfmole¬

külen geimpft; diese Dampfmoleküle haben im Mittel den Schlupf

Au. gegenüber den Tropfen. Im Tropfen nehmen sie die Trop¬

fengeschwindigkeit an und wenn sie den Tropfen wieder verlas¬

sen, emittieren sie wiederum gleichmässig in alle Richtungen,

mit im Mittel der Tropfengeschwindigkeit w . Dies gilt aller¬

dings nur für Moleküle des gleichen Mediums wie der Tropfen.

Moleküle eines inerten Gases prallen zum Teil an der Oberflä¬

che zurück und übertragen somit einen anderen Impuls als die

Dampfmoleküle. Solche Moleküle sind in dieser Betrachtung

nicht erfasst. Die Impffrequenz oi . wurde durch die Gleichung

(21) angegeben, sie lautet

24 TT V I p,

OK = y s—. (2D

m j 2 tt v .

Der pro Zeiteinheit resultierende Impuls ist somit

- 52 -

dl

— = in . m (w .

- w ) . (59 )

dt

Die Impulsübergangszahl i> verursacht durch die Molekülstösse

ist zu formulieren

K -- y—^f— (eo)

f 2 TT v .

Die beiden Impulsübertragungszahlen ty und ij; können zu einer

gemeinsamen Impulsübertragungszahl ^ zusammengefasst werden,

indem zunächst die Impulsübertragungswiderstände summiert wer¬

den, man erhält

1 1 1

- +

r H(61)

Der Impulsaustausch pro Zeiteinheit zwischen dem Tropfen und

dem Dampf - weit weg vom Tropfen - kann mit Hilfe der soeben

gebildeten Impulsübertragungszahl ty bestimmt werden

dl—^

= 4 tt v ty (Wd - w ) . (62)

dt

Die Impulsänderung pro Zeiteinheit ist gleich der Kraft F^mit welcher der Tropfen beschleunigt wird. Das Newton'sehe

Bewegungsgesetz liefert die Geschwindigkeitsänderung des

Tropfens

(63)

dwr

24 i r \b

4 tt r

hwr =

3 V \li

rTr

AwV

dt V

3 vT

- 53 -

wobei

Aw - w ,

- w (64)r d r

der Geschwindigkeitsunterschied zwischen der Dampfgeschwindig¬

keit weit weg vom Tropfen und der Tropfengeschwindigkeit ist.

Es sei ein Tropfen, dessen Geschwindigkeit w ist, in einer

DampfStrömung der Geschwindigkeit w,,

über das Weginkrement

A£ betrachtet. So ergibt sich, dass der Dampf die Zeit At,

und der Tropfen die Zeit At benötigen um den gleichen Weg

A£ zurückzulegen.

A5 A5

A*d =, Ltv -

——

. (65), (66)

wa wa r

Daraus kann gefolgert werden, dass die Verweilzeit des Tropfens

im Weginkrement A£ gegenüber dem Dampf durch die Relation

At -—— At, (67)

r dwr

gegeben ist. Das heisst, beim Übergang zum Strömungsweg als

unabhängige Variable muss jedem Tropfen eine—seiner Geschwin¬

digkeit entsprechende — Zeit zugeordnet werden. In einer

schlupfbehafteten Strömung ist die Zeit, die einem Tropfen

für den Wärmeaustausch mit der Umgebung zur Verfügung steht,

verschieden gegenüber einer schlupffreien Strömung. Die

Wachstumsgleichung (54) ist dementsprechend zu transformieren

dr dr 1

— = —

.(68)

dE, dt wr

- 54 -

5 ZUSTANDSÄNDERUNGEN DER PHASEN

In den vorangehenden Kapiteln wurde hereits gezeigt, dass der

Zustand innerhalb der im Dampf suspendierten Tropfen, der ge¬

krümmten Oberfläche wegen nicht einem Zustand an der Sättigungs¬

linie entspricht. Die globalen Gleichungen für die massenbe¬

zogene Enthalpie, Entropie sowie das massenbezogene Volumen

- spezifische Zustandsgrössen - werden in den Strömungsglei¬

chungen für das Kondensat sowie für den Dampf benötigt. Wäh¬

rend der Zustand des homogen angenommenen, unterkühlten Damp¬

fes "problemlos" ermittelt werden kann, bietet das Kondensat

Schwierigkeiten. Im Inneren von Tropfen verschiedener Radien

sind, wie erwähnt, die thermodynamischen Zustände des Konden¬

sates unterschiedlich. Kleine Tropfen können einen Binnen¬

druck aufweisen der um 400 MPa grösser ist als der des umgeben¬

den Dampfes, während der Druck in den schon angewachsenen

Tropfen die Grösenordnung des Dampfdruckes p , annimmt. Umge¬

kehrt zum Druck verhält sich die Temperatur des Tropfens, sie

ist ja für neugebildete kritische Tröpfchen - Keime - gleich

der Dampftemperatur, während sich die Temperatur der grossen

Tropfen der Sättigungstemperatur T des Dampfdruckes p ,etwa

asymptotisch reziprok zum Radius angenähert hat. Würden die

Kondensatzustände - aus Gründen einer Vereinfachung - an der

Sättigungslinie ermittelt, so würde dadurch die Dynamik der

spontanen Kondensation verfälscht. Die kleinen neuentstande¬

nen Tropfen sind im Bereich des Wilsonpunktes in einer derar¬

tigen Vielzahl vorhanden, dass sie, obwohl sie klein sind,

einen erheblichen Massenanteil des Kondensates ausmachen.

Ein repräsentativer mittlerer Tropfenradius für das Kondensat,

der allen thermodynamischen Bedingungen genügt, kann nicht ge¬

funden werden. Die Annahme, der massenbezogene mittlere Ra¬

dius sei zweckmässig für die Ermittlung des Zustandes des Kon¬

densates, ist naheliegend. Erstaunlicherweise muss man aber

feststellen, dass so eine Vereinfachung weitere Annahmen nach

sich zieht, die zu noch komplexeren Rechnungen führen, als sie

- 55 -

eine genaue Ermittlung der Zustandsgrössen erfordert.

In diesem Kapitel wird aus Gründen der Übersichtlichkeit die

Zeit als unabhängige Variable nur teilweise Verwendung finden.

Die Strömungswegkoordinate £ führt allerdings nicht zu ein¬

facheren Gleichungen, hingegen können unnütze Wiederholungen

der angeführten Formeln vermieden werden.

3.1 TROPFENSPEKTRUM UND KONDENSATMASSE

Die Tropfenzahlverteilung in Abhängigkeit des Tropfenradius

ist als bekannt vorausgesetzt. Sie ergibt sich aus der Keim¬

bildungsrate und dem Wachstumsgesetz - Kapitel 1 und 2. Wird

die Summenhäufigkeit in Funktion des Radius für die Masse M

des Mediums formuliert, erhält man die Funktion

n(r) - l i(r) Ar,

(1)

r

wobei i(r) Ar die Anzahl Tropfen mit Radien zwischen r und

r + Ar in der Masse M ist. Ein kontinuierliches und ableit¬

bares Spektrum vorausgesetzt, ergibt die spezifische Tropfen¬

zahlverteilung

1 d(n(r))

V(r) = —

. (2)

M dr

d(n(r)) ist die Zahl der Tropfen mit Radien zwischen r und

r + dr. Die Gesamtzahl Tropfen in der Masse M ist demnach

(S)

- 56 -

Der Dampfgehalt x ist definiert als der Massenanteil Dampf in

der Gesamtmasse des Mediums (Gemisch), und analog ist 1 - x

der Massenanteil Flüssigkeit derselben Masse. Es gilt

1 - x -

—1— (4)

M

Der Massenanteil Kondensat M„ kann direkt berechnet werden,

da die Masse eines Tropfens M gegeben ist durch

34 n r

Mr =. (5)

3 vr

Die Integration über alle vorhandenen Tropfen liefert somit

die Kondensatmasse M„.

00

f 4 TT r

M - M V(r) dv. (6)

1 ) 3 v

0

Die Dampfgehaltsänderung lässt sich berechnen, indem die Glei¬

chung (4) nach dem Weg abgeleitet wird

dx 1 dM„

— = —L. (7)

d^ M dt,

Die Massenänderung eines Tropfens entlang dem Strömungsweg ist

2dM 4 ts r dv

v= —

, (8)

d$ vr dl

wobei die zeitliche Änderung des spezifischen Volumens eines

- 57 -

Tropfens vernachlässigt wurde. Die Gleichung (8) integriert

über alle vorhandenen Tropfen der Masse M liefert

TT r dr

— v(i>) dv. (9)

v dgv

Analog zur Gleichung (6) ist das Kondensatvolumen V.

oo

I 4 TT v

V„ - M v(r) dv (10)

0

3.2 ENTHALPIE DES TROPFEN - DAMPF SYSTEMES

Die Enthalpie kann in üblicher Form durch eine Mischgleichung

ausgedrückt werden

h - x h-, + (1 - x) h„ . (11)d f

Die Änderung der Enthalpie entlang des Weges 5 ist demnach

dh dhj

dx d

— = x —- + h-, — + —((1 - x) h ) . (12)

dg dga

dg dgT

Diese Gleichung wurde nicht bis ins Detail differenziert, da

eine getrennte Behandlung des letzten Gliedes vonnöten ist.

Der Differentialquotient dhJdg soll in Funktion der Tempera¬

tur und des Druckes dargestellt werden. Daher wird die Defi¬

nition der Enthalpie h in Funktion der freien Enthalpie g,

der Temperatur T und der Entropie s geschrieben,

h = g + T s .(13)

- 58 -

Weiter wird die Relation

3<7

eingeführt, sie ergibt sich aus der Differentialform des zwei¬

ten Hauptsatzes der Thermodynamik und der Definition der freien

Enthalpie g. Somit ist die Enthalpie h einzig in Funktion des

Druckes und der Temperatur zu formulieren, da g eine Funktion

des Druckes und der Temperatur ist.

3?

dT

(14)

Nach dem Wege abgeleitet lautet diese Definitionsgleichung

(14) für den Dampf

dh

dt

dg d2g- T

3p 3p32\

dp d2g dT]T —~ —

i

dE, 5'7'2

(15)

dT2 dt,\d

Weiter ist definitionsgemäss die spezifische Wärmekapazität

bei konstantem Druck

^g

dT'

und zusätzlich wird die spezifische Wärmekapazität bei kon¬

stanter Temperatur definiert:

dp

^g

dpdT

- 59 -

In übersichtlicher Form kann daher die Gleichung (15) geschrie¬

ben werden

dh

dg

dp

dg

+ o

dT

dl.(16)

Um das wesentlich komplexere Differential

dg

( (1 - x) hf)

in Gleichung (12) zu bestimmen, muss ein anderer Weg einge¬

schlagen werden, da, wie mehrmals erwähnt, die Zustände und

die Zustandsänderungen mit der Zeit vom Radius und damit auch

von der Wachstumsgeschwindigkeit der jeweiligen Tropfen ab¬

hängig sind. Für einen Tropfen eines bestimmten Radius r wur¬

de die Enthalpieänderung durch die Gleichung (2.52) formuliert,

analog gilt

dE

dt

dHT

dt,

dH

di

(17)

Mit den im Kapitel 2 eingeführten Kurzformen ist sie zu

schreiben

dH

dg

4 TT T

b„

b r o

dr

dg

(18)

Diese Gleichung, multipliziert mit der Tropfenzahlverteilung

v(r) und integriert über alle vorhandenen Tropfenradien, lie¬

fert die Enthalpieänderung des Kondensates:

- 60 -

d2i dB

dE,

v(r) dr (19)

0

Das gewünschte Glied der Gleichung (12) kann somit formuliert

werden

d d— ((1 - x) h ) = —

dE, TdE,

f ,. ^

M

1 dEl

M dE,

(20)

Die linke Seite ausgerechnet führt zu

(1 ~ x)LdI±

dB,f

dE, M dE,

dh_p dx—sL

_v,

(21)

oder umgeformt

dhl

dE,

h„ dx—« ..

1 - x dE, 1 - x J dE,0

du

v(r) dr (22)

Die spezifische Enthalpie h„ der Flüssigkeit kann berechnet

werden, indem die Enthalpie der Masse des einzelnen Tropfens

4 t r"

3 V

(23)

und die gesamte Oberflächenenthalpie (Gleichung (2.50))

H = 4 tt r a (2.50)

über alle vorhandenen Tropfen integriert werden.

- 61 -

f(H, + H ) x>(r) dv

b o(24)

3.3 SPEZIFISCHES VOLUMEN DES TROPFEN - DAMPF SYSTEMES

Die Mischgleichung des spezifischen Volumens

X Vj + (1 - x) v„ (25)

kann nach dem Wege abgeleitet werden. Man erhält

dv dv,

dx dv„

dx

— = x + v-, — + (1 - x) —£ - v —

dE, dE, dE, dE,*

dE,

(26)

Bereits im Kapitel 1 wurde gezeigt, dass das spezifische Vo¬

lumen v mit Hilfe der freien Enthalpie g ausgedrückt werden

kann

3<7

3p

Nach dem Wege abgeleitet ergibt sich somit für den Dampf

dv

dt,

'd2g dp d2g dT](27)

k3p2 dE, dpdT dE,) d

Für die Ableitungen der freien Enthalpie g werden die folgen¬

den Kurzformen definiert

- 62 -

32<?

3P:

yg

dpdT

wobei die Gleichung (27) einfacher geschrieben werden kann

dv

dt

\ dp dT)(28)

Diese Gleichung ist nur für den Dampf gültig; die flüssige

Phase dagegen müsste gesondert behandelt werden. Ohne einen

merklichen Fehler zu begehen, kann die zeitliche Änderung des

spezifischen Volumens der Flüssigkeit vernachlässigt werden,

das heist man setzt

dvf

dt

Somit ist es nur notwendig, das spezifische Volumen des Kon¬

densates zu bilden. Dieses kann als Quotient des Gesamtvo¬

lumens V„ Gleichung (10) und der gesamten Masse M„ Gleichung

(6) formuliert werden

M

jL

f

(29)

- 63 -

3.4 ENTROPIE DES TROPFEN - DAMPF SYSTEMES

In Analogie zu den schon aufgestellten Mischgleichungen für

die Enthalpie und das spezifische Volumen schreibt sich die¬

jenige der Entropie

s = x s^+ (1 - x) s„ (30)

oder auf die betrachtete Masse M bezogen

Ms - Md sd+ M

sf . (31)

Abgeleitet nach dem Wege lautet sie

(M s) = (M, s J + (M s ) . (32)

d5 dt dl: *

Die Bedeutung der verschiedenen Glieder ist an sich klar, wo¬

bei trotzdem hervorgehoben werden soll, dass das Glied auf

der linken Seite die irreversible Entropiezunahme des Systems

darstellt. Wenn Kondensation der einzige irreversible Prozess

ist, ergibt sich dieses Glied aus der nachfolgenden Entwick¬

lung. Treten noch andere Irreversibilitäten auf (Reibung),

so ist die entsprechende zusätzliche Entropieproduktion zu

superponieren. Die im Dampf suspendierten Tropfen haben im

allgemeinen eine Temperatur T die sich von der Temperatur

des umgebenden Dampfes T, unterscheidet. Infolge dieser lo¬

kalen Temperaturdifferenzen entstehen Wärmeflüsse zwischen

den Tropfen und dem Dampf, wobei die Entropie des Systems

nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zunehmen muss.

Der Wärmefluss vom Tropfen wurde bereits durch die Gleichung

(2.35) angegeben. Diese Gleichung lautet

n r2 a (T - T J (2.35)r r d

dt

- 64 -

Hier ist Q die dem Tropfen bei der Tropfentemperatur T pro

Zeiteinheit entzogene Wärme. Die gleiche Wärmemenge wird aber

auch dem Dampf bei der Dampftemperatur r zugeführt. Die

Entropieänderung durch Wärmeübertragung ist

dQdS =

Folglich ist die Entropieänderung des Tropfens

'sd = -

sd

24 TT V dv Qr

VV

dt Td

4 TT V2 dv QrS = s , . (33)

dV dt Tr r

Das erste Glied auf der rechten Seite stellt die Entropie des

kondensierenden Dampfes dar. Die Entropieänderung des Dampfes— um einen Tropfen — ergibt sich in analoger Weise zu

(24)

Die irreversible Entropiezunahme des Systems — um einen Trop¬

fen - ist nichts anderes als die Summe dieser beiden ge¬

nannten Entropieflüsse

dS Q QS = - = -2-

--^

(35)dt T , T

d t

Wird anstatt Q die Gleichung (2.35) eingesetzt, erhält man

2 (Tr ~ V2S - 4 Ti" r a (36)

VTT,r d

- 65 -

Wie üblich wurde nur ein wachsender Tropfen behandelt (T >

T,) das gleiche Ergebnis würde man auch für abnehmende Trop¬

fen (T < T,) erhalten. Die spezifische Entropiezunahme der

Masse M ist gleich der Summe aller einzelnen Entropiezunahmen.

Die Gleichung (36), integriert über alle vorhandenen Tropfen,

liefert also die gesamte Entropiezunahme der betrachteten Mas¬

se des Mediums;

ds ( 4 tt r2 a (T - T J2M — = M l — - vir) dr (37)

dE, J w TT,r r d

wobei die Wärmeübergangszahl a aus der Gleichung (2.30) zu

entnehmen ist. Gleichzeitig wurde der Übergang zum Strömungs¬

weg £ vollzogen. Analog erhält man die Entropiezunahme des

Dampfes, indem die Gleichung (34) über alle vorhandenen Trop¬

fen 'Entropie-Quellen' integriert wird

—(Md sd)~ M sd v(r) dr

• (38)

dt J

Das Integral des ersten Gliedes auf der rechten Seite der

Gleichung (34) ist

du dM,

s ,

—£= s ,

—- (39)d

dtd

dt

und folglich kann die spezifische Entropieänderung der Dampf¬

phase über den Strömungsweg £ formuliert werden zu

2ds

, M f 4 -n r a T - T,d

-

' r— —£ ^- v(r) dr . (40)

dt, M, J w T,J

r d

- 66 -

Hier ist auch die Entropieproduktion durch den Schlupf (Rei¬

bung) vernachlässigt, die aber wohl sehr klein ist.

- 67 -

4 STRÖMUNG MIT KONDENSATION - STROMFADENTHEORIE

Eine Strömung in welcher Kondensation spontan auftritt, kann

nur bedingt mit Hilfe der eindimensionalen, stationären Strom¬

fadentheorie simuliert werden. Es sei angenommen, dass Wilson-

Düsen - eine Art von Lavaldüsen —, welche häufig verwendet

werden um die spontane Kondensation experimentell zu unter¬

suchen, den Bedingungen eines eindimensionalen Rechenverfahrens

genügen. Allerdings versagt die in diesem Kapitel angeführte

stationäre Betrachtungsweise für jene Düsen, falls die Konden¬

sationsvorgänge in der Nähe des engsten Querschnittes auftre¬

ten. In der Praxis interessiert die theoretische Ermittlung

der spontanen Kondensation unter übervereinfachten Umständen

(Düsen) wenig. Sie dienen bloss dem Nachweis der Richtigkeit

der Basistheorie.

Die komplexe Strömung in einer Turbinenbeschaufelung, in wel¬

cher Kondensation auftritt, kann mit Hilfe der stationären

Stromfadentheorie nicht direkt ermittelt werden. Liegt dage¬

gen die Möglichkeit vor, das mehrdimensionale Feld durch eine

vorbereitende Rechnung in einzelne Stromfäden zu zerlegen, so

bietet sich die Möglichkeit, die Konsequenzen der Kondensation

in jedem einzelnen Stromfaden abzuschätzen. Die Kontinuitäts¬

gleichung muss somit nicht mehr herbeigezogen werden, denn der

Druckverlauf längs des einzelnen Stromfadens wird bei einer

solchen Rechnung als bekannt vorausgesetzt.

In den nachfolgenden Berechnungsmethoden der Nassdampfströmung

wird vereinfachend angenommen, dass die Tropfen dem Dampf

schlupffrei folgen. Diese Annahme, die vor allem die Auflösung

der Energie- und der Kontinuitätsgleichung erheblich erleich¬

tert, ist zulässig sofern nur kleine Nebeltropfen behandelt

werden. Der Schlupf wird allerdings das Tropfenwachstum und

damit auch den thermodynamischen Zustand des Mediums beeinflus¬

sen und dies wird in der Rechnung weiterhin, wie in Kapitel 3

angegeben, berücksichtigt.

- 68 -

4.1 DIE ENERGIEGLEICHUNG

Allgemein lautet die Energiegleichung für eine isoenergetische

Strömung längs einer Stromlinie

2w

h + - h° (1)

wobei die Totalenthalpie h unter der gegebenen Voraussetzung

konstant ist. Bei der Nachrechnung der Strömung durch eine

Turbinenbeschaufelung muss allerdings jeweils an der Kontroll¬

fläche zwischen zwei Schaufelkränzen vom ruhenden in das be¬

wegte Koordinatensystem übergegangen werden et vice versa.

Bei diesem Übergang muss die Totalenthalpie neu bestimmt wer¬

den, d. h. sie macht dort einen Sprung. Konstanz von h° ist

dann also stets nur abschnittsweise gegeben. Im Falle des

Laufrades ist rein axialer Durchtritt vorausgesetzt, so dass

in der Energiegleichung kein Glied erscheint, das von der

Fliehkraft herkommt. Die Geschwindigkeit w wurde für den Dampf

sowie für das Kondensat gleich angenommen. Die Energieglei¬

chung (1) abgeleitet nach dem Wege g lautet

dh dw— + w — = 0

. (2)dg dg

Die vollständig differenzierte Mischgleichung der Enthalpie

(3.12) in (2) eingesetzt liefert,

dw x dh-, 1 - x dh„

h-, - h„ dx— = i f

--A £_

_ (z)dg w dg w dg w dg

Die Fundamentalgleichung von Gibbs

dh - v dp + T ds (4)

- 69 -

für den Dampf angeschrieben und durch das Weginkrement dE, di¬

vidiert lautet;

dh, dp , ds-,— - *d— + Td— ' <*>

dE,a

dE,a

dl

Diese Gleichung liefert den Ausdruck für den Enthalpiegradien¬

ten des Dampfes in Gleichung (3). Der Geschwindigkeitsgradi¬

ent ist somit zu formulieren

dw x v , dp , x T, ds,

1 - x dh„

dK w dE, w dE, w dE,

hj - h~ dx

w dE,(6)

4.2 DIE KONTINUITÄTSGLEICHUNG

Für den Stromfaden, dessen Stromfadenquerschnitt ü ist, gilt

die Kontinuitätsgleichung

w ü

- m = Konst. (7)

wobei w die Strömungsgeschwindigkeit, v das spezifische Volu¬

men des Mediums und m der konstante Massenstrom ist. Abge¬

leitet nach dem Weg ist sie zu schreiben;

(8)

1 dw 1 du 1 dv— — + — — = — —

w dE, Q dE, v dE,

- 70 -

Wird in dieser Gleichung dv/dE, durch Einsetzen der differen¬

zierten Mischgleichung (3.26) eliminiert, erhält man;

1 dw 1 du x dv

w &%. fl «25 v dt

v „dx

dK

(9)

Hierbei wurde dvJdK wie in Kapitel 3.3 begründet gleich Null

gesetzt. Die Änderung des spezifischen Dampfvolumens dvjdt,

laut Gleichung (2.28) in (9) eingesetzt liefert;

1 dw 1 dtt

w d£, ü dE,1

&K

+ D,

dl

dt,

+ D.

dx

dt

(10)

wobei die Kurzformen

x bTd

X "äV

V V dp

x b ,

pdX dvd

V V 3T

d f

eingeführt wurden. Der Enthalpiegradient des Dampfes wurde

mit Hilfe der Druck- und der Temperaturgradienten in der Glei¬

chung (3.16) ausgedrückt. Wird die Fundamentalgleichung von

Gibbs, wie sie in (5) angeschrieben wurde, nochmals herangezo¬

gen und Gleichung (3.16) gleichgesetzt, kann der Temperatur¬

gradient des Dampfes wie folgt dargestellt werden

dT

dl

= Ddpc

dK

+ D,

ds

dg

(11)

- 71 -

Hierbei wurde

Vd~

°Td

'Pd

'Pd

3T

ds

dv

ds

eingeführt. Somit kann der Temperaturgradient aus der Glei¬

chung (10) eliminiert werden und diese Gleichung erhält die

Form

1 dw 1 du

w d£, ü dE, dg

+ £,

ds

dg

+ Dr

dx

dg

(12)

wobei

Dl + D2 Di

x v

v a

D2 D5x 3u

v 3s

Hier bedeutet a, die Schallgeschwindigkeit des Dampfes, die

mit Hilfe des Isentropenexponenten k ,des trockenen Dampfes

definitionsgemäss ausgedrückt werden kann

/ k-,v , p ,

sd d ed

Mit dieser Schallgeschwindigkeit kann die Mach'sche-Zahl des

Dampfes Ma , gebildet werden. Zum Schluss wird noch der Druck¬

gradient des Dampfes in der Gleichung (12) eliminiert indem

die differenzierte und transformierte Energiegleichung, wie

- 72 -

sie in (6) angeschrieben wurde, mit (12) kombiniert wird.

Nach dem Geschwindigkeitsgradienten aufgelöst, ergibt sich

mit den nachstehenden Kurzformen;

+ D,

d

v

v

d„

2~

Mad

v

V

d„

2

Mad

h-, - h„

x vd

Vd~

Vf^

Vd hd ~

hfu v a ,

d

1 - —

Madv

x

V

Zv

[9s

Vd Td

1 -

du2— Ma

7

1 - x

X V

V

d,,

2—

Ma-,

d

- 73 -

ein Ausdruck für den Geschwindigkeitsgradienten des Mediums

dw 1 du die ds , dh„— = A + A — + A —- + A —i-

. (13)

dl Q dl dl6

dl, dl

4.3 QUERSCHNITTSVERLAUF - DÜSEN

Entweder kann eine feste Kanalbegrenzung von vorn herein gege¬

ben werden, oder man kann durch eine vorbereitende Rechnung

ohne Kondensation für einen gegebenen Zustandsverlauf entlang

der Düse den effektiven Querschnittsverlauf ü(l) ermitteln.

Es kann so zunächst für die Strömung ohne Kondensation der

Querschnitt ü in Funktion von p angegeben werden. Diese Strö¬

mung muss nicht isentrop sein, sondern es kann ein Gesetz an¬

genommen werden, das die Entropieänderung entlang des Strö¬

mungsweges beschreibt, wie sie z. B. durch Reibung zustande

kommen kann. In vielen Fällen können jedoch adiabate isen-

trope Bedingungen angenommen werden, d. h. es wird weder Wärme

zugeführt noch abgeführt und werden keine Irreversibilitäten

wie Reibung oder Stösse berücksichtigt.

Es wird davon ausgegangen, dass der Druck p und die Entropie

s entlang einem Stromfaden bekannt sind für eine Strömung in

welcher keine Kondensation auftritt. Werden die Kontinuitäts¬

gleichung, die Energiegleichung, die Gibbs'sche Fundamental¬

gleichung und die Zustandsgieichung herbeigezogen, kann ge¬

zeigt werden, dass die Querschnittsänderung entlang der Strom¬

röhre folgendermassen formuliert werden kann;

1 du da dp= B — + B —

,(14)

tt dll

dl dl

- 74 -

wobei

S, = —

U)2 T

92g

3p 3T

B2^

ar- pJ

r

+ —

*

u 3sP.

1

— .1 +

8p2

3 9

[3p3T

32<7

32" PJ

1

v

dv

3p

Die oben angegebene Methode, den Querschnittsverlauf in einer

Düse aus der Zustandsänderung auszudrücken, ist zweckmässig,

wenn Messungen nachgerechnet werden sollen. Der Vorteil liegt

darin, dass die Berechnung der Verdrängungsdicken von Grenz¬

schichten umgangen wird. Das rechnerisch erhaltene ü ist in

der Tat ein wirksamer Querschnitt, der Verdrängungseffekte

von Grenzschichten implizite schon enthält.

- 75 -

4.4 RUHENDE UND BEWEGTE KOORDINATENSYSTEME

Beim Übergang vom ruhenden zum mitbewegten Koordinatensystem

et vice versa müssen Totalzustand und Geschwindigkeit neu

festgelegt werden. Hierbei ist zu beachten: Der statische

Zustand des strömenden Mediums bleibt unverändert, d. h. Druck,

Temperatur, Entropie, Enthalpie etc. sind nach dem Übergang

dieselben. Die Geschwindigkeit - und damit auch der Total¬

zustand - sind dagegen neu zu ermitteln.

Bezeichnet man mit Zeichen ' die Grössen unmittelbar bevor der

Übergang zum neuen Koordinatensystem vollzogen wird, mit Zei¬

chen " die Grössen unmittelbar nach dieser Trennebene, so er¬

gibt sich der Anfangszustand im neuen Koordinatensystem wie

folgt. Die Geschwindigkeit w" bestimmt sich aus w' mit Hilfe

des örtlichen Geschwindigkeitsdreieckes. Weiter ist

p" = P\ v" = t>' h" - h', n -

„t

d"

"d'

d"

nd ' °d~

°d '

x" = x', v"

= v' h "

= h 's

"= s

'

(15)

'"= + x'h-,' + (1 - x')h' - h°' +

od f

w"2 - w'2(16)

Mit dieser Totalenthalpie und der Entropie, die ja mit derje¬

nigen des statischen Zustandes identisch ist, ist der Total¬

zustand zu Beginn des neuen Strömungsabschnittes bestimmt.

Vereinfachend ist in den Strömungsgleichungen - und nur in

diesen — angenommen worden, dass Kondensat und Dampf die

gleiche Geschwindigkeit haben. Bei der Behandlung des Trop¬

fenwachstums müssen aber die einzelnen Tropfengeschwindig¬

keiten w eingeführt werden. Das ist aber in strenger Weise

- 76 -

hier nicht möglich, da ja auch verschiedene Geschwindigkeits-

richtungen berücksichtigt werden müssten, was die eindimen¬

sionale Behandlung verunmöglicht. Deshalb begnügen wir uns

mit der approximativen Relation

w"

V = V —

• (17)w

'

- 77 -

STOFFEIGENSCHAFTEN ZUSTANDSGLEICHUNGEN

Für die in dieser Arbeit wiedergegebenen Auswertungen der

Kondensationsphänomene im Dampf wurde hauptsächlich die vom

IAPS "The International Assosiation for the Properties of

Steam" angegebenen Stoffwerte herangezogen.

Die Stoffeigenschaften ausserhalb des thermodynamisch stabi¬

len Gleichgewichtsbereiches eines Stoffes sind messtechnisch

schwer erfassbar. Als einzig möglich erscheinende Ermit¬

telungsmethode von metastabilen Zustandsgrössen des Wasser¬

dampfes kommt eine rein mathematische Extrapolation der im

überhitzten Gebiet gültigen Zustandsgieichung in Frage. Eine

solche Extrapolation ist mit derart grossen Unsicherheiten

verbunden, dass die Genauigkeit der errechneten Zustandsgrös-1)

sen nur vermutet werden kann. In einer Studie [12] wurde

die Extrapolationsfähigkeit der Gleichung für überhitzten Was¬

serdampf nach IFC-1967 [13] untersucht. Das Ergebnis dieser

Studie zeigt glatte Flächen für alle ersten und zweiten Ablei¬

tungen der gegebenen Gibbs-Funktion im Gebiet, wo die spontane

Kondensation eine ingenieurmässige Bedeutung hat. Obwohl die

Ergebnisse der Studie [12] für die IFC-1967'er Dampfgleichung

sprechen, wurden für Kontrollzwecke einige Rechnungen durchge¬

führt, in welchen die Dampfzustände mit der Zustandsgieichung

von Pollak [14] ermittelt wurden. Hierbei konnte festgestellt

werden: Im Hochdruckbereich — Ruhedruck 5 und 14 MPa - stell¬

ten sich kaum nennenswerte Unterschiede zwischen den Vergleichs¬

rechnungen heraus, vgl. die Abbildungen 25 und 28 Kapitel 7.2.

Im Niederdruckbereich dagegen ergaben die Rechnungen mit der

Pollak'schen Gleichung für den Dampf eine bessere Übereinstim¬

mung mit den Messungen, vgl. Abbildung 33 bis 36 und 38 Kapi¬

tel 7.2.

1)Die Kondensations-Berechnung die in [12, Bild 15] wiedergegeben

ist, wurde mit einer heute überholten Theorie ermittelt und sollte daher

keine Beachtung finden.

- 78 -

Die Zustandsgrössen des Kondensates werden mit der IFC-1967

Gleichung für Druckwasser berechnet. Allerdings wird der Gul-

tigsbereich im Hochdruckgebiet des Wassers zum Teil infolge

der hohen Binnendrucke in den kleinsten Tropfen überschritten.

Dies trifft für niedrige Dampfdrucke zu. Für Drucke die unter¬

halb der Grenze, gekennzeichnet durch eine Linie durch die

Punkte 260 MPa 273 K und 400 MPa 292 K liegen, haben die in

den Auswertungen ermittelten Zustandsgrössen des Druckwassers

akzeptable Werte angenommen. Bei Drucken oberhalb dieser Gren¬

ze ist die IFC-67 Gleichung für Druckwasser nur bedingt ver¬

wendbar. Die Entropie des Wassers, längs Isobaren bestimmt,

hat -nach der Gleichung- bei der angegebenen Linie ein flaches

Minimum. Dies ist thermodynamisch nicht haltbar. Trotzdem

liefert eine massige Überschreitung vernunftige Werte für die

freie Enthalpie g, die Entropie s, die Enthalpie h und das

spezifische Volumen u. Zustandsgrössen, die durch die zweite

Ableitung der ö'-Funktion nach der Temperatur beschrieben werden

müssen, dürfen hier nicht berechnet werden. Die in der Abbil¬

dung 35 Kapitel 7.2 wiedergegebene Rechnung G&M 112 soll in¬

folge einer kleinen Überschreitung der erwähnten Grenze mit

Vorsicht betrachtet werden. Zur Kontrolle wurde eine Rech¬

nung gemacht, in welcher die Zustände des Druckwassers mit

Hilfe der Zustandsgieichung von Pollak ermittelt wurde. Hier¬

bei waren keine Unterschiede festzustellen. Die fast linien¬

deckenden Ergebnisse sind in der Abbildung 36 Kapitel 7.2 dar¬

gestellt .

Weitere Stoffeigenschaften, die für die Auswertungen herange¬

zogen wurden, sind:

Oberflächenspannung IAPS 1976 [15]

Wärmeleitfähigkeit IAPS 1977 [16]

Dynamische Viskosität IAPS 1975 [17]

- 79 -

Verwendete Konstanten sind:

Bolzmann-Konstante k = 1.380662 10~23 J/kg [18]

Molare Gaskonstante R = 8.31441 J/mol K [18]

Molare Masse von H-0 m = 1.80153 10~2 kg/mol [19]

und somit;

2.991558 10"26 kg

die Masse eines H.,0 Moleküls

m =

- 80 -

NUMERISCHES VERFAHREN

Um die spontane Kondensation in einer Strömung simulieren zu

können, wurde ein Computer-Programm geschrieben, das die in

den vorhergehenden Kapiteln angegebene Theorie der Konden¬

sation möglichst genau berücksichtigt. Das an sich einfache

Programm wurde in den verschiedenen Modulen zum Teil sehr re¬

chenintensiv.

Die Differentialgleichungen werden mit der Heun-Methode gelöst.

Sie ist eine einfache Runge-Kutta-Methode, die in der Litera¬

tur auch Euler-Cauchy-Methode genannt wird [20], [21]. Sie

ist wie folgt definiert:

K2 = Ax f(xn, yn) (1)

K2 = Ax f(xn + Ax, yn+ K^ (2)

K + K

y ^i= y + —- — (3)

6.1 PROGRAMMBESCHREIBUNG FÜR DÜSEN-RECHNUNGEN

Der Programmablauf ist wie folgt:

1 Eingabe; Totalzustand, überhitzter Druck- und Entropieverlauf ent¬

lang des Strömungsweges.

2 Bestimmung des kritischen Massenstromes, so dass die Schallgeschwin¬

digkeit a im effektiven engsten Querschnitt gleich der tatsächlichen

Geschwindigkeit w wird. Hierbei ist die vorgeschriebene Entropie-

- 81 -

zunähme der Strömung zu berücksichtigen.

3 Der statische thermodynamische Zustand und die Geschwindigkeit am

Rechnungsanfang werden ermittelt. Hierbei werden der Totalzustand,

die lokale Abweichung der Entropie von der des ursprünglichen Total¬

zustandes, der Massenstrom und der effektive Querschnitt in die

Energie- und Kontinuitätsgleichung eingesetzt.

Eine Rechnung ist somit initiiert und das schrittweise Rech¬

nen bis zum Düsenende kann beginnen.

4 Die Enthalpie h wird mit Hilfe der Energiegleichung (4.1), das spe¬

zifische Volumen V mit der Kontinuitätsgleichung (4.7), die Nässe y

mit (3.4) bestimmt. Somit ist auch der Dampfgehalt x bekannt. Die

Enthalpie des Dampfes L ergibt sich aus (3.11).

5 Durch eine zweifache Iteration werden Temperatur und Druck des Damp¬

fes so bestimmt, dass der absolute Fehler in der Enthalpie h-, klei¬

ner 10 J/kg und der relative Fehler des spezifischen Volumens v

-9kleiner 10 wird.

6 Alle ersten und zweiten Ableitungen der ^-Funktion des Dampfes nach

der Temperatur und dem Druck werden analytisch berechnet.

Die Koeffizienten A7 bis A. der Gleichung (4.13) werden ermittelt.

Die Sättigungstemperatur T wird iterativ berechnet. Hierbei sollen

die freien Enthalpien g„ der Flüssigkeit und g-, des Dampfes bei Druck-

und Temperaturgleichheit der beiden Phasen gleich werden. Die Ite¬

ration wird fortgesetzt, bis der absolute Fehler der Sättigungs--9

temperatur kleiner 10 K ist.

9 Der kritische Radius r* wird iterativ ermittelt (1.9). Der relative

-10Fehler von r* ist kleiner 10 .

Zusätzlich wird die Entropie des

Druckwassers s„ bei der Temperatur T-, und dem Druck p #bestimmt.

- 82 -

Die Keimbildungsrate I (1.38) wird berechnet. Die Schrittlänge AE,

und die Geschwindigkeit w ergeben die Zeit Ai , während welcher der

Dampf sich im Weginkrement A£ aufhält. Unter der Annahme, dass wäh¬

rend des ganzen Schrittes der Zustand konstant blieb, wird die An¬

zahl der nun gebildeten Keime am Schrittende gerechnet. Die Anzahl

der pro Schritt A£ neu entstandenen Keime wird als Mittelwert aus

den am Anfang und den am Schrittende erzeugten Keimen berechnet.

Die neu gebildeten Keime werden ins Tropfenspektrum integriert. Das

Tropfenspektrum wird mit neuen Stützpunkten nach drei Kriterien ver¬

sehen. Zunächst wird ein lineares Netz mit 175 bis 200 Stützpunkten

vom kleinsten bis zum grösten Tropfenradius gelegt. Der kleinste

Radius ist gleich dem kleinsten kritischen Radius, der im Laufe der

ganzen Rechnung ermittelt wurde. Danach wird ein reziprokes Netz

mit 30 bis 70 Stützpunkten vom kleinsten bis zum massengemittelten

Radius gelegt. Dies, um die kleinen Tropfen numerisch besser behan¬

deln zu können. Diese beiden Netze werden kombiniert, so dass das¬

jenige Netz bevorzugt wird, welches die kleinsten Stützpunktabstände

ergibt. Um die Integrale des Tropfenspektrums möglichst genau be¬

rechnen zu können, wird das Spektrum mit zusätzlich 60 bis 100 Stütz¬

punkten im Bereich von 0.8 mal massengemitteltem Radius bis zum grös¬

ten Radius versehen. Die angegebenen Stützpunktzahlen sind flies¬

send, damit das Programm eine optimale Verteilung finden kann. Die

tatsächlich verwendete Stützpunktzahl für das ganze Spektrum variiert

zwischen 200 und 320. Durch lineare Interpolation in der Summenver¬

teilung der Tropfenzahlen, wird das alte Spektrum mit neuen Stütz-

-12punkten versehen. Tropfengruppen, die weniger als 10 mal die

gesamte Tropfenzahl N (3.3) beinhalten, werden vernachlässigt.

Die Endgrössen Radius, Tropfen-Zahl und -Geschwindigkeit, Dampfge-

schwindigkeit und Keimbildungsrate sind sogleich Startgrössen des

nächsten Schrittes und werden abgespeichert.

Die spezifische Tropfenzahlverteilung \>(v) (3.2) und die Tropfen-

und Volumenintegrale werden bestimmt (3.3, 3.10).

- 83 -

< 0.4 %.

< 0.5 K.

< 0.2 K,

< 0.1 K,

14 Die Rechnungen eines Schrittes sind abgeschlossen und die Ergebnisse

werden ausgegeben.

15 Die Schrittlänge des nächsten Schrittes wird nach den folgenden Kri¬

terien bestimmt:

- Druckänderung des Dampfes

- Temperaturänderung des Dampfes

- Änderung der Unterkühlung

falls Keimbildung stattfindet gilt aber

falls ein Wilsonpunkt gefunden ist und die

Unterkühlung kleiner 2 K ist, gilt < 0.07 K.

- Einfluss der Nässe wird vernachlässigt, falls

y < 10,ansonsten gilt

10 < y < 10 relative Änderung der Nässe < 10 %,

10 — y — 10 logarithmischer Ansatz für die

relative zulässige Nässeänderung zwischen

-310 < y relative Änderung der Nässe

- Zusätzlich darf die Schrittlänge höchstens um

vergrössert oder um

verkleinert werden.

16 Die für den nächsten Schritt benötigte Zeit wird bestimmt. Mit die¬

ser Zeit At wird die Keimbildung berechnet, wobei die Keimbildungs¬

rate unter Pkt. 10 berechnet wurde.

17 Die Wärmeleitfähigkeit A und die Dynamische-Viskosität n werden an

der Sättigungslinie ermittelt.

18 Die Tropfentemperatur wird iterativ bestimmt (2.11). Als Abbruch¬

kriterium dieser Iteration gilt, dass das Korrekturglied der Glei-_Q

chung (2.11) — zunächst für den grössten Tropfen — kleiner 10 sein

soll. Diese Genauigkeit wird später geändert (siehe unten). Die

Oberflächenspannung und deren Ableitung werden in jeder Schleife der

Iteration neu ermittelt und somit auch der Binnendruck des Tropfens

(2.3).

10 und 2 %

< 2 %

6 %

75 %

- 84 -

19 Nachdem die Tropfentemperatur für einen Tropfen bestimmt ist, werden

die, in den Kapiteln 2 und 3 angeführten Stoffgrossen, Wärmeübergangs¬

zahlen und Differentiale berechnet.

20 Die Starttemperatur für die Iterationsberechnung der Tropfentempera¬

tur wird mit Gleichung (2.10) berechnet.

21 Das Abbruchkriterium der Tropfentemperaturiteration wird neu defi¬

niert, so dass es 1 % vom Unterschied zwischen den zuletzt bestimm¬

ten Tropfentemperaturen beträgt. Die Rechnung wird im Pkt. 18 fort¬

gesetzt, bis alle Tropfentemperaturen berechnet sind.

22 Um die in Kapitel 3 angeführten Integrationen mit der Simpsonregel

berechnen zu können, werden zusätzlich alle Stoffgrössen, Wärmeüber¬

gangszahlen und Differentiale in den Interwallmittelpunkten benötigt.

Die Gleichung (2.10) liefert die Temperatur, die ein Tropfen mit ei¬

nem Radius in der Interwallmitte gehabt hätte.

23 Die in Kapitel 3 angeführten Integrale werden mit der Simpsonregel

integriert.

24 Die Änderung der Tropfengrösse wird mit einem Integralverfahren er¬

mittelt. Die Abbildung 11 dient der Erläuterung des Verfahrens.

Zunächst wird für wachsende Tropfen die Zeit-Radius-Kurve berechnet

(Simpsons Regel). Es wird also die Zeit berechnet, die ein Tropfen

benötigen würde, um von einem Stützpunkt des Tropfenspektrums bis

zum nächstgrösseren Stützpunkt zu wachsen. Die Summe dieser Teilin¬

tegrale bildet die sogenannte Zeitintegralkurve. In die so erzeugte

Integralkurve wird jedem Radiusstützpunkt des Tropfenspektrums ein

neuer Radius zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt mit der Zeit At,

welche jeder einzelne Tropfen zum Durchströmen des Weginkrementes

A£ benötigt. Ähnlich wird auch für abnehmende Tropfen eine Zeit-

Radius-Kurve bestimmt. Radien, die den kleinsten gefundenen kri¬

tischen Radius um mehr als 1 % unterschreiten, werden nicht berück¬

sichtigt d. h. kleinere Tropfen werden als verdunstet betrachtet.

- 85 -

rmin rlneu rl r r2 r2neu r3 r3 neu

Bild 11. Zur Erklärung des Integral-Verfahrens für das

Tropfenwachstum.

25 Der Geschwindigkeitgradient (4.13) wird bestimmt. Mit Hilfe der

Schrittlänge A£ wird eine neue Geschwindigkeit des Mediums und eine

dazugehörige Zeit berechnet.

26 Der Schlupf für die Tropfen wird ermittelt und somit die jeweiligen

Tropfengeschwindigkeiten.

27 Siehe Pkt. 13.

Die Rechnungen des ersten "Halbschrittes" sind abgeschlossen,

d. h. die K1 (Gleichung (1)) sind bekannt und die Berechnung

der K,, (Gleichung (2)) kann beginnen.

28 Der Querschnitt ü, der Querschnittsgradient (4.14) und der Entropie-

- 86 -

gradient werden aus den Eingaben ermittelt.

29 Siehe 4 bis 13 und 17 bis 27. In 11 wird ein Hilfsspektrum erzeugt.

Zum Pkt. 24: Die Radiusänderungen werden anhand des Hilfsspektrums

ermittelt.

Die Rechnungen des zweiten "Halbschrittes" sind abgeschlossen,

d. h. die K (Gleichung (2)) sind bekannt und Gleichung (3)

kann gelöst werden.

30 Die Entropiezunahme infolge Wärmeleitung (3.37), die resultierende

Dampfgeschwindigkeit, die Tropfengeschwindigkeiten, die benötigte

Zeit für die Durchströmung des Weginkrementes und die Verschiebungen

der Stützpunkte des ursprünglichen Tropfenspektrums werden berechnet.

Die Rechnung wird nun im Pkt. 4 fortgesetzt bis sie die gesam¬

te Düsenlänge abgearbeitet hat. Sie hört dann bei 14 auf.

6.2 ERGÄNZENDE PROGRAMMBESCHREIBUNG FÜR TURBINEN¬

RECHNUNGEN

Die Kondensationsberechnung in einer Turbine, in welcher der

Druckverlauf für einen Stromfaden fest vorgeschrieben ist,

wird im Prinzip gleich wie eine Düsenberechnung durchgeführt.

Unterschiede sind einzig dadurch gekennzeichnet, dass der

Druck und nicht der Querschnitt vorgegeben ist. Dies führt zu

einfacheren Rechnungen indem der Zustand des Dampfes mit Hilfe

der Enthalpie und dem Druck direkt — ohne zweifache Iteratio¬

nen - ermittelt werden kann. Weiter ist der Druckgradient

entlang des Strömungsweges bekannt und somit liefert die Ener¬

giegleichung in differentieller Form (4.6) den Geschwindig¬

keitsgradienten, ohne dass auf die Kontinuitätsgleichung zu¬

rückgegriffen werden muss.

werden.bestimmt4.4KapitellautGeschwindigkeit

dieundTotalzustandneuereinmüssenFallletztenImkranz.

Schaufel¬folgendendemmitbeginntoderauf14beidannhört

Sieist.abgearbeitetSchaufelkanaleinendurchStrömungsweg

gesamtederbisfortgesetzt,langeso4inwirdRechnungDie

ermittelt.Eingabendenausden

wer¬A?+?StellederanEntropiegradientundDruckgradientDruck,28

bestimmt.(4.6)GleichungdermitwirdGeschwindigkeitsgradientDer25

telt.

ermit¬werden(4.6)GleichungderDifferentialederKoeffizientenDie8

10kleinerh-,EnthalpiederinFehlerabsolutederdassbestimmt,

wirdJ/kg

bestimmt,

soDampfesdesTemperaturdiewirdIterationeinfacheeineDurch6

berechnet.nichtwirdVVolumenspezifischeDas5

werden.herangezogen

nichtKontinuitätsgleichungdiemusssomitermitteln,zuanfang

Rechnungs¬amStrömungszustanddenumgenügtEnergiegleichungDie3

ermitteln.zu0,

Querschnittbenötigteneffektivdenumwerden,angegebenaberkann

erStrömungsrechnung,diefürunwesentlichistwMassenstromDer2

sind:len

Programmodu¬angeführten1AbschnittindenvonAbweichungen

-87-

- 88 -

7 VERGLEICH DER THEORIE MIT MESSUNGEN

Zur Prüfung der in dieser Arbeit entwickelten Theorie des

spontan auftretenden Kondensationsvorganges wurden Messungen

in Wilsondüsen nachgerechnet. Charakteristisch für solche

Messungen ist die Änderung des Druckverlaufes im Bereich des

Wilsonpunktes gegenüber der Strömung des trockenen Dampfes.

Hieraus ist ersichtlich, dass ein Vergleich zwischen den Er¬

gebnissen der Theorie einerseits und den Messungen anderseits

nur dann erfolgreich durchgeführt werden kann, wenn eine ge¬

naue Druckverlaufmessung der Strömung des trockenen Dampfes

in der Wilsondüse vorliegt. Zusätzlich dient diese Druck¬

verlaufmessung zur Ermittelung des effektiv durchströmten

Querschnittes der Düse vgl. Kapitel 4.3.

Um Tendenzen der Theorie erkennen und von systematischen Mess¬

fehlern trennen zu können, wurden die Ergebnisse möglichst

vieler Experimentatoren nachgerechnet. Die aus der Literatur

zum Vergleich herangezogenen Wilsondüsenmessungen wurden

durchgeführt von:

Binnie und Green [22]

Gyarmathy und Meyer [23]

Barschdorf [24]

Ludwig [25]

Moses und Stein [26]

Auf eine Wiedergabe aller Ergebnisse der Nachrechnungen der

Messungen von Ludwig [25] wird verzichtet. Dies obwohl die

Theorie eine gute Übereinstimmung mit einigen seiner Messungen

zeigten. Zwischen den verschiedenen Mess-Serien treten nicht

erklärbare Diskrepanzen auf. Wird nämlich davon ausgegangen,

dass das Druckverhältnis p/p° der Strömung des trockenen

Dampfes entlang derselben Düse bei beinahe gleichen Total¬

zuständen sehr ähnlich sein muss, so sind die Messungen von

- 89 -

Ludwig inkonsistent und für den Vergleich mit der Theorie

nicht verwendbar. In der Abbildung 37 (Abschnitt 7.2) sind

zwei Messpunkte aus den beiden Mess-Serien L8 und L12 wieder¬

gegeben. Hierbei wäre ein zusammenfallender Verlauf der über¬

hitzten Messungen — gestrichelt dargestellt — zu erwarten.

Ausserdem möchte man meinen, dass die Nachrechnungen der Kon¬

densationsvorgänge ähnliche Abweichungen von den Messungen

ergeben würden. Es ist nicht gelungen, die Ursache dieser

2)Diskrepanzen festzustellen

. Da Ludwig zum Teil die gleiche

Messeinrichtung wie Barschdorf [24] verwendet hat, kann nicht

ausgeschlossen werden, dass die Messungen von Barschdorf und

Ludwig mit ähnlichen Messtoleranzen behaftet sind.

Die hier wiedergegebenen Messpunkte von Gyarmathy und Meyer

[23] wurden so ausgewählt, dass der trockene Teil des Druck¬

verlaufes der Kondensationsmessung mit der überhitzten Druck¬

verlaufmessung einigermassen übereinstimmt, weil nur diese

als zuverlässige Messungen betrachten werden können.

Neben den erwähnten Kondensationsmessungen im Niederdruckbe¬

reich wurden die Hochdruckmessungen, welche die Firma Brown-

Boveri & Cie. (BBC) in Baden, Schweiz, durchgeführt haben, zum

Vergleich herangezogen. Diese sorgfältig durchgeführten Mes¬

sungen wurden unter der Leitung von Dr. Gyarmathy in den Jah¬

ren 1971 und 1972 ausgeführt. Eine Veröffentlichung jener HD-

Messungen ist noch ausstehend, weshalb eine kurze Beschreibung

der Messmethode vonnöten ist.

Besprechung mit Dr. A. Ludwig.

- 90 -

7.1 HOCHDRUCK - KONDENSATIONSMESSUNGEN, VERSUCHSEINRICHTUNG

Um verschiedene Entspannungsschnelligkeiten der Strömung rea¬

lisieren zu können, wurde ein Rechteckkanal konzipiert, in

welchen verschiedene Wandkonturkorper eingebaut werden konnten.

Jeder dieser Korper bildete mit der gegenüberliegenden ebenen

Wand eine Düse. In der ebenen Wand wurden in einer bestimmten

axialen Position vier nebeneinander liegende Messbohrungen von

0.25 mm Durchmesser angebracht. Der Durchmesser wurde so klein

gewählt, um den z. T. starken Druckgradienten möglichst genau

zu erfassen. Durch Verschieben des Kanalkorpers konnte der

Druckverlauf entlang der Düse mit ein und derselben Druckmess¬

stelle ermittelt werden. In Abbildung 12 ist die Messstrecke

schematisch dargestellt. Der Dampf tritt durch ein feines

Sieb in die Beruhigungskammer ein. Am Austritt dieser Kammer

werden mit einem Totaltemperaturaufnehmer die Temperatur T

und mit einer Pitotsonde der Totaldruck p° der Strömung gemes¬

sen. Oberhalb des beweglichen Kanalkorpers ist die Druckmess¬

stelle angeordnet. Die verwendeten Kanalkorper wurden so aus¬

gelegt, dass sie die in der Tabelle 1 angegebenen Entspannungs-

Dampfeintntt

aufnehmer Spindel Korper

Bild 12. Schematische Darstellung der von Gyarmathy (BBC)verwendeten Versuchseinrichtung für die Hochdruck-

Kondensationsmessungen.

- 91 -

Schnelligkeiten

1 dp

p dt

der Strömung erzeugen konnten.

Tabelle 1 Daten der Hochdruck-Wilson-Düsen

Düse•

P Breite

b/mm

Höhe Hals

h/mm

Länge

ZVmm-1

s

2/M

4/B

5/B

6/B

10 000

50 000

100 000

200 000

10

20

20

20

10

4

2

2

130

50

90

60

Die mit den verschiedenen Kanalkörpern gebildeten Düsen sind

in Abbildung 13 wiedergegeben.

Gleichzeitig mit der Druckverlaufmessung wurde eine optische

Messung der "mittleren" Tropfengrössen durchgeführt. Hierbei

wurde die sogenannte Extinktionsmessmethode verwendet. Sie

beruht auf dem Prinzip der Lichtabschwächung eines monochro¬

matischen, dünnen Lichtbündels (Laserstrahl). Nachdem der

Lichtstrahl die Saphirfenster und den Düsenkanal senkrecht zur

Strömungsrichtung durchquert hat, wird er mit einem Fotomul¬

tiplikator verstärkt. Die Ermittelung des Tropfenradius setzt

zwei Messungen der Lichtintensität voraus: Zunächst ist die

Energie E des nicht abgeschwächten Strahles zu bestimmen,

d. h. im Kanal ist kein Tropfen sondern nur trockener Dampf

- 92 -

10

Düse 2/M

^^mW^

Düse 4/B

ssss^KyssssaasK^

Düse 5/B

^^^^^

Düse 6/B

Bild 13. Wandkontur-Körper und Düsen der Hochdruck Kon¬

densationsmessungen (BBC).

- 93 -

vorhanden. Bei der zweiten Messung im nassen Dampf wird die

Energie E des von den Tropfen zum Teil gestreuten (abgeschwäch¬

ten) Lichtstrahles gemessen. Aus dem Verhältnis der beiden

gemessenen Energien kann der Rayleigh-Radius rn berechnet wer-

den [27]. Der gemessene Rayleigh-Radius ist ein Mittelwert ei¬

ner polydispersen Tropfenverteilung. Er ist ausser für Ver-

gleichszwecke uninteressant. Ist eine berechnete Tropfenzahl¬

verteilung v(r) (Kapitel 3.1) bekannt, kann der Rayliegh-Radius

mit der Formel

1

N

1/6

r v(r) dr (1)

ermittelt werden.

7.2 ERGEBNIS DES VERGLEICHS THEORIE DUSENMESSUNGEN

Die Ergebnisse der nachgerechneten HD-Messungen sind in den Ab¬

bildungen 14 bis 32, diejenigen der ND-Messungen in den Abbil¬

dungen 33 bis 38 wiedergegeben. In diesen Diagrammen ist der

für die Rechnungen zugrundegelegte überhitzte Druckverlauf

gestrichelt dargestellt .Die vollausgezogenen Linien zeigen

die rechnerisch gewonnenen Druckverlaufe mit Kondensation. Zu¬

satzlich ist der rechnerisch ermittelte Rayleigh-Radius r„ m

einigen Diagrammen mit strich-punktierter Linie aufgetragen.

Die gemessenen Werte des Druckverhaltnisses und des Rayleigh-

Radius sind mit Symbolen markiert. Hierzu muss gesagt werden,

dass Barschdorf, Ludwig und Moses & Stein ihre Messergebnisse

mit vollausgezogenen Linien angegeben haben. Die hier wieder¬

gegebenen Symbole stellen willkürliche, aus ihren Veröffentli¬

chungen ausgemessene, Punkte der Linienzuge dar. In den Ta¬

bellen 2 und 3 sind die Hauptdaten der nachgerechneten Mes¬

sungen angegeben. Werte des überhitzten Totalzustandes, die

mit Klammern versehen sind, deuten darauf hin, dass der betref-

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- 95 -

fende Totalzustand willkürlich gewählt werden musste. Dies,

weil Angaben fehlen oder ein und dieselbe trockene Messung des

Druckverlaufes nicht die ganze Düsenlänge umfasst. Im letzten

Fall wurde aus mehreren trockenen Messungen ein Druckverlauf

zusammengesetzt. In der Kolonne 'Schieb' der Tabelle 2 sind

die Längen angegeben, um welche die Symbole der Messergebnisse

mit Kondensation in axialer Richtung verschoben wurden. Die

Verschiebung wurde so ermittelt, dass der trockene Teil des

Druckverlaufes mit dem überhitzten Druckverlauf übereinstimmt.

Diese kleinen Korrekturen sind gerechtfertigt, da sie im Be¬

reich der thermischen Dehnungen liegen.

Tabelle 3 Niederdruckmessungen, Übersicht

Bezeichnung

Kondensation Trocken

Abb. Ref.p°/kPa T°/K p°/kPa T°/K

B&G 92

B&G 95

B&G116

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G&M107

G&M112

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426.15

447.25

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388.65

392.85

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410.05

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25

25

26

26

g/mm

4/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

14.

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g/mm

4/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

15.

Bild

30

20

10

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Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

17.

Bild

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Düse

19,

Bild

aus

Ausschnitt

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

18.

Bild

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g/mm

5/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

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nm

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100

5/B.

Düse

21,

Bild

aus

Ausschnitt

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

20.

Bild

12

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g/mm

50

5/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

21.

Bild

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nm

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g/mm

6/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

22.

Bild

64

20

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G26-B

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p/p°

0.5

10

g/mm

6/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

23.

Bild

64

20

On

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0.5

10g/mm

6/B.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

24.

Bild

64

20

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G29-A

0.1

0.2

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0.5

140

2/M.

Düse

Zustandsgieichungen,

zwei

für

HD-Bereich

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

25.

Bild

g/mm

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p/p°

0.5

nm

200

140

g/mm

2/M.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

26.

Bild

80

60

40

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G35-B

G35-A

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o

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o

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CM

O

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O

140

2/M.

Düse

Zustandsgieichungen,

zwei

für

HD-Bereich

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

28.

Bild

g/mm

100

80

60

40

20

0

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_L

I

o

703.15

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674.42

13.83

713.75

13.83

T7K

p7MPa

Ü

G37-B

G37-A

0.1

40

0.2

80

0.3

120

0.4

160

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0.5

nm

200

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CM

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CO

140

g/mm

2/M.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

30.

Bild

80

60

40

20

0

I

INJ

703.15

619.96

T7K

8.000

8.927

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0.2

80

0.3

120

0.4

160

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113

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o

o

CM

CM

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T3

140

g/mm

100

2/M.

Düse

HD-Bereich,

im

(BBC)

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

32.

Bild

80

60

40

20

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13.83

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686.43

13.83

T7K

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G41-C

11

11

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0.1

40

0.2

80

0.3

120

0.4

p/p°

0.5

160

nm

200

200

;/mm

Zustandsgieichungen.

zwei

für

ND-Bereich

im

[22]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

33.

Bild

175

150

125

100

75

50

J_

_L

u\,

Pollak

Dampf

116

IFC-67

Dampf,

.15

433

96.5

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15

426

96.5

116

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15

374

65.5

95

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B

15

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65.5

92

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Pollak

Dampf

IFC-67

Dampf

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Pollak

Dampf

IFC-67

-Dampf

0.1

0.2

0.3

0.4

p/P"

0.5

250


zwei

für

ND-Bereich

im

[23]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

34.

Bild

£/mm

200

150

100

_l_

_L

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~~~

Pollak

Dampf

O&

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Dampf

488.15

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T7K

p7kPa

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0.1

0.2

0.3

0.4

p/pc

0.5


zwei

für

ND-Bereich

im

[23]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

35.

Bild

100

g/mm

80

60

40

20

V~—

Pollak

Dampf

112

/IFC-67

Dampf

Pollak

Dampf

/107

IFC-67

Dampf

453.15

50

Ü

388.65

38

112

G&M

389.65

62.1

107

G&M

T7K

p7kPa

0.1

0.2

0.3

0.4

P/P°

0.5


zwei

für

ND-Bereich

im

[24]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

36.

Bild

100

g/mm

90

80

70

60

50

40

Pollak

IFC-67

Dampf

Druckwasser

Pollak

IFC-67

Dampf

Druckwasser

B^0

IFC-67

Dampf

IFC-67

Druckwasser

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78.39

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78.39

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78.39

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T7K

p7kPa

5

IFC-67

IFC-67

,Dampf

Druckwasser

FC-67

I.

Dampf

Pollak

Druckwasser

140

Düse.

gleichen

der

in

Mess-Serien

zwei

ND-Bereich,

im

[23]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

37.

Bild

g/mm

120

100

80

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8-6

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12-6

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121.95

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L

410.05

129.45

12-2

L

410.25

121.85

8-6

L

T7K

p7kPa

0.1

0.2

0.3

0.4

P/P°

0.5

140

g/mm


zwei

für

ND-Bereich

im

[26]

Messungen

mit

Theorie

Vergleich

38.

Bild

130

120

110

100

90

_L

_L

_L

oto

xü

Pollak

Dampf

Pollak

Dampf

IFC-67

Dampf

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67

385.15

66.81

377.15

70.73

T7K

p7kPa

Ü

421

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M

410

S&

MIFC-67

Dampf

0.1

0.2

0.3

0.4

p/p°

0.5

- 121 -

8 KONDENSATION IN EINER TURBINE

Eine Hochdruckbeschaufelung, die so ausgelegt war, dass Repe¬

tierstufenverhältnisse herrschten, wurde für das Rechen-Bei¬

spiel der Kondensation in einer Turbine herangezogen. Die

quasi-dreidimensionale Gitterberechnung musste somit nur für

einen Schaufelkranz durchgeführt werden. Aus dieser Berech¬

nung, die mit dem Zeitschrittverfahren der Firma Brown-Boveri

& Cie. (BBC) durchgeführt wurde, Hessen sich drei geeignete

Stromfäden für die Kondensationsberechnung übernehmen. Für

diese drei Stromfäden wurden Kondensationsrechnungen durch¬

geführt.

In den Darstellungen der Rechenergebnisse sind nicht die ef¬

fektiven Strömungswege als Abszisse gewählt, sondern der axi¬

ale Weg längs der Maschine. Die in den Abbildungen 39 bis 47

vollausgezogenen Linien stellen somit die projizierten Druck¬

verläufe der Strömungswege dar. An diesen Linien ist die Stel¬

le im Spalt, bei welcher der Übergang vom ruhenden zum mitbe¬

wegten Koordinatensystem et vice versa vollzogen wurde, leicht

zu erkennen. Der Totalzustand des Dampfes am Eintritt der

Maschine wurde willkürlich zu 6 MPa und 553.15 K gewählt.

Für den zweiten bis zum zehnten Schaufelkranz wurde der je¬

weils gültige Ruhezustand der Strömung, wie im Kapitel 4.4

angegeben, neu ermittelt.

Die wiedergegebenen Rechnungen stellen alle extreme Spezial¬

fälle dar. Es wurde nämlich vorausgesetzt, dass ein Massen¬

element, das sich einmal entlang einer Stromlinie -z.B. Saug¬

seite - bewegte, im nachfolgenden Schaufelkranze genau der

gleichen Stromlinie folgt. In der Abbildung 39 ist die Ge¬

schichte eines solchen Massenelementes aufgetragen, das stets

der Saugseite der Beschaufelung folgt. In diesem Beispiel

wurde ein isentroper Strömungsvorgang vorgeschrieben. Dieses

Massenelement erfährt einen pulsierenden Verlauf des Verhält-

- 122 -

nises p/p°, wie die vollausgezogene Linie andeutet. Die Unter¬

kühlung AT - lang gestrichelt dargestellt -, die am Eintritt

noch negativ ist, pulsiert in gleicher Weise wie der Druck,

solange der Zustand der Strömung trocken bleibt. Während die

Maschine in jedem Schaufelkranz Arbeit abgibt, dringt der Zu¬

stand des betrachteten Massenelementes tiefer in den metasta¬

bilen Phasenraum ein. In der zweiten Laufreihe erreicht die

Unterkühlung derart grosse Werte, dass die gebildeten Tropfen

spurbar werden. Im Diagramm ist die Tropfenzahl N kurz ge¬

strichelt mit grossen Abständen dargestellt. Nachdem die Ge¬

schwindigkeit des Massenelementes ein Maximum erreicht hat

und sich verzögert der Schaufelhinterkante nähert, nimmt auch

die Unterkühlung schwach ab. Dabei schwindet die Keimbildungs¬

rate, so dass die Tropfenzahl beinahe konstant bleibt. In der

Abbildung 48.1 ist die spezifische Tropfenzahlverteilung v(r)

Gleichung (3.2) über dem Radius, zur Zeit, als die Unterküh¬

lung ein lokales Maximum erreichte, aufgetragen. Die soeben

gebildeten Tropfen wachsen rasch, und schon im Spalt — bei

der Axialkoordinate 255 mm — sind sie, wie im Diagramm 48.2

angegeben, verteilt. Der massengemittelte Radius r ist in

Abbildung 39 strichpunktiert aufgetragen. Man sieht, wie er

relativ grosse Werte annimmt, da die Keimbildung vernachläs¬

sigbar ist. Im dritten Leitrad oder im fünften Schaufelkranz

nimmt die Unterkühlung wieder zu, die Keimbildung setzt wieder

ein, die Tropfenzahl nimmt markant zu und infolge der vielen

neuentstandenen Tröpfchen wird der massengemittelte Radius

kleiner. Die Tropfenzahlverteilung zum Zeitpunkt, in dem die

Unterkühlung ihren früheren Höchstwert erreicht, ist in der

Abbildung 48.3 wiedergegeben. Das Verteilungsdiagramm 48.4

zeigt die Tropfenzahlverteilung 50 ns nachdem das Massenele¬

ment den Wilsonpunkt beim Druck 4.24 MPa und 14.43 K Unterküh¬

lung erlebte. Es ist ersichtlich, wie ein 'Loch' in der Ver-

-8teilungsdichte für sehr kleine Radien (r < 10 m) entstanden

ist. Die Ursache kann durch zwei Effekte erklärt werden:

Erstens ist die Wärmeubergangszahl a für kleine Tropfen und

hohe Drucke gross (vgl. Abbildung 6 Kapitel 2.2), zweitens

- 123 -

kann — infolge einer Gradientenänderung der Dampftemperatur -

die Tropfentemperatur beinahe gleich der Dampftemperatur blei¬

ben (AT « 0). Es sind also viele kleine Tropfen vorhanden,

die weder wachsen noch verdunsten können. Wenig später (24

Us) hat sich diese labile Lage zum Teil aufgelöst. In Abbil¬

dung 48.5 ist das 'Verteilungs-Loch' noch deutlich zu erken¬

nen, es wächst aber allmählich zu. In Abbildung 48.6 ist die

Tropfenzahlverteilung bei fast abgeklungener Unterkühlung dar¬

gestellt - Axialkoordinate 311.4 mm.

Wenden wir uns wieder der Abbildung 39 zu und betrachten die

anderen für die Kondensation wesentlichen Kurvenzüge, zunächst

die Nässe y, mit einer strich-doppelpunktierten Linie darge¬

stellt, die bis zum Wilsonpunkt vernachlässigbar blieb und

nachher rapid anwächst. Für sehr kleine Unterkühlungen ist

das System fast im Gleichgewicht und die hier errechnete Näs¬

se entspricht der Nässe, die eine normale Gleichgewichtsbe¬

trachtung ergeben würde. In den weiteren Stufen wird nach wie

vor der Druck fluktuierend abgebaut. Die vorhandenen Tropfen

wirken nun dämpfend auf das System. Bei einer schnellen Druck¬

senkung steigt die Unterkühlung, allerdings nicht ganz so viel

wie sie im trockenen Fall gestiegen wäre. Eine intensive Kon¬

densation an den Tropfen und die dabei frei werdende Wärme

mildert die sonst auftretende Temperatursenkung des Massen¬

elementes. Vor den Hinterkanten der Schaufeln erfährt die

Strömung einen Druckanstieg. Hierbei geht die Unterkühlung

zurück und der zuviel kondensierte Dampf muss wieder von den

Tropfen abgegeben werden. Der Dampf wird sogar kurzfristig

überhitzt. Die dünne Bezugslinie deutet die Gleichgewichts¬

lage AT - 0 an. Die Entropiezunahme As infolge Wärmeübertra¬

gung Tropfen — Dampf et vica versa ist im Diagramm dicht¬

kurz-gestrichelt dargestellt. Unmittelbar nach dem Wilson¬

punkt steigt sie hier fast sprungartig. Die weitere Zunahme

der Entropie in den nachfolgenden Schaufelkränzen ist klein.

Man beachte, dass die Nässe sich etwa verdoppelt, während die

Entropiedifferenz nur um wenige Prozent zunimmt. Diese

- 124 -

Entropiezunahme würde zum grössten Teil vermieden, wenn das

Massenelement keine Druck- und somit keine Temperaturfluktua¬

tionen erfahren würde. Die Entropiezunahme ist wie aus dem

Diagramm ersichtlich, dort am grössten, wo die Unterkühlung

ein Maximum aufweist. Nachdem das Massenelement alle zehn

Schaufelkränze an den Saugseiten der Schaufeln durchströmt

hat, weist es eine Tropfenzahlverteilung auf, wie in Abbil¬

dung 48.7 angegeben ist.

Ausser dieser soeben besprochenen Turbinenrechnung wurden zu¬

nächst auch solche für den mittleren und druckseitigen Strom¬

faden quasi isentrop durchgeführt. In Wirklichkeit ist die

Strömung durch eine Turbine aber nie isentrop. Eine Parame¬

terstudie über den Einfluss der strömungsbedingten Entropie¬

zunahme entlang des Strömungsweges des Massenelementes auf

die Kondensation ist daher von Bedeutung. Für die mittlere

Stromlinie, die an sich am repräsentativsten für die Gesamt¬

strömung ist, wurden fünf Rechnungen durchgeführt. Diese

Rechnungen können zunächst als eine Variationsstudie aufgefasst

werden, gleichzeitig ist es nicht auszuschliessen, dass es

fünf Massenelemente gebe, die simultan die Beschaufelung ver-

schiedenenorts mit den sehr unterschiedlichen Entropiezunah¬

men durchströmen. Stellt man sich nämlich mehrere Massenele¬

mente vor, die jeweils auf verschiedenen Höhen der Beschaufe¬

lung durchfHessen, so trifft das Massenelement, welches in

der Kanalmitte strömt, beinahe isentrope Bedingungen an (Ab¬

bildung 41). Ein Massenelement, das in der Nähe der Kanal¬

begrenzung - Zylinder, Welle - der Turbine durchströmt, er¬

fährt zum Teil eine erhebliche Entropiezunahme (Abbildung 45).

Diese Entropiezunahme ist wesentlich grösser als die aus dem

globalen Turbinen-Wirkungsgrad resultierende. Selbstverständ¬

lich dürften die Druckverläufe für zwei solche Extremfälle

nicht gleich angenommen werden, wie dies übersichtshalber hier

gemacht wurde. Eindeutig ist zu sehen, dass Kondensation erst

später einsetzt. In den hier gerechneten Beispielen ent¬

spricht diese Verspätung einem ganzen Schaufelkranz.

- 125 -

Eine andere interessante Erscheinung der Kondensation ist in

Abbildung 43 zu beobachten. In diesem Falle wird ein echter

Wilsonpunkt nie erreicht. Die Unterkühlung geht zögernd zu¬

rück infolge eines Druckanstieges. Hierbei schwindet die

Keimbildung, die gebildeten Tropfen wachsen rapide an und bie¬

ten dem Dampf nach kurzer Zeit eine grosse Oberfläche dar.

Diese Oberfläche genügt, um eine derart grosse Wärmeübertra¬

gung zwischen Kondensat und Dampf zuzulassen, dass die Unter¬

kühlung nie mehr richtig ansteigen kann. Folglich wurden we¬

sentlich weniger Keime gebildet als sonst bei einem echten

Wilsonpunkt auftreten würden. Infolge des zögernden Rückganges

der Unterkühlung findet die Wärmeübertragung bei grossem Tem¬

peratursprung statt, wobei die Entropiezunahme dementsprechend

gross wird (vgl. Kapitel 3.4).

Die Tropfenzahl-Verteilungsdiagramme am Austritt der Turbine

sind in den Abbildungen 48.7 bis 56 wiedergegeben. In der Ta¬

belle 4 ist eine Übersicht über die durchgeführten Turbinen-

Kondensationsrechnungen aufgelistet. Die Entropiezunahme

ist diejenige der Grundströmung, welche angenommen wurde. Die

unter 'Glob.' angegebenen Abbildungen stellen die Gesamtergeb¬

nisse dar, die unter 'Vert.' angegebenen die Verteilungsspek¬

tren der Tropfen am Austritt der Turbine.

Tabelle 4 Turbinen-Rechnungen, Übersicht

Stromlinie

Zust. EintrittEntropie¬zunahme

Abbildungen

p° 1 MPa T° 1 K As/(J/kg/K) Glob. Vert.

Saugseite 6 553.15 0 39 48

Saugseite 6 553.15 30 40 49

Mitte 6 553.15 0 41 50

Mitte 6 553.15 10 42 51

Mitte 6 553.15 20 43 52

Mitte 6 553.15 30 44 53

Mitte 6 553.15 40 45 54

Druckseite 6 553.15 0 46 55

Druckseite 6 553.15 30 47 56

- 126 -

Die Ergebnisse dieser Turbinenrechnungen haben an sich nur

qualitativen Charakter, da wesentliche vereinfachende Annahmen

gemacht werden mussten. Trotzdem vermitteln sie eine grund¬

legende Einsicht. Es zeigt sich nämlich, dass relativ kleine

Unterschiede im zugrundegelegten Entspannungsverlauf Ort und

Charakter der Kondensationsvorgänge stark beeinflussen. Da

nun in einer Maschine die einzelnen Dampfteilchen durchaus

verschiedenen Entspannungsvorgängen unterworfen sind, sind auch

die Kondensationsbedingungen sehr ungleich. Deshalb lässt

die Theorie nicht erwarten, dass in einer Schaufelung eine

scharf ausgeprägte spontane Kondensation an einer wohldefi¬

nierten Stelle auftreten wird. Vielmehr muss sich die Konden¬

sation offenbar ziemlich diffus verteilen. Genau dies ent¬

spricht auch wirklich der Beobachtung an Maschinen. Es ist

daher sehr befriedigend, dass die Theorie dieses Verhalten

zwangslos verstehen lässt.

Grundströmung.

isentrope

Saugseite,

HD-Nassdampfturbine,

einer

in

Kondensation

39.

Bild

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Grundströmung

der

Entropiezunahme

Saugseite,


einer

in

Kondensation

40.

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isentrope

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einer

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Grundströmung

der

Entropiezunahme

Mitte,


einer

in

Kondensation

42.

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Grundströmung

der

Entropiezunahme

Mitte,


einer

in

Kondensation

43.

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30

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Grundströmung

der

Entropiezunahme

Mitte,


einer

in

Kondensation

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As

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4

J/kgK.

40

=As

Grundströmung

der

Entropiezunahme

Mitte,


einer

in

Kondensation

45.

Bild

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Kondensation

46.

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Grundströmung

der

Entropiezunahme

Druckseite,


einer

in

Kondensation

47.

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136

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Bild 48.1. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Saugseite, l = 0.230 m, vgl. Abbildung 39.

r/jim


r/jim


137

r/p.m

Bild 48.4. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,

Saugseite, l - 0.285 m, vgl. Abbildung 39.

,22 V.

r/um


Saugseite, l = 0.289 m, vgl. Abbildung 39.

~7K0 r" 0.25 r/um


Saugseite, l = 0.311 m, vgl. Abbildung 39.

- 138

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1018 - / \ A-

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i

0.25 0.5 0.75 1 r/um 1.5


Saugseite, am Austritt, vgl. Abbildung 39. As - 0 J/kgK.

r/(im

Bild 49. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Saugseite, am Austritt, vgl. Abbildung 40. As - 30 J/kgK.

r/um

Bild 50. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,

Mitte, am Austritt, vgl. Abbildung 41. As = 0 J/kgK.

139

r/um

Bild 51. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Mitte, am Austritt, vgl. Abbildung 42. As = 10 J/kgK.

10" *

0 >« 0.25 r/jim


r/|im


140

r/jim

Bild 54. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Mitte, am Austritt, vgl. Abbildung 45. As - 40 J/kgK.

r/u.m

Bild 55. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Druckseite, am Austritt, vgl. Abbildung 46. As = 0 J/kgK.

r/^m

Bild 56. Tropfenzahlverteilung in einer HD-Nassdampfturbine,Druckseite, am Austritt, vgl. Abbildung 47. As = 30 J/kgK.

- 141 -

9 LITERATURANGABE

[1] Thomson W.

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Keimbildung in übersättigten Gebilden.

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Siehe auch [19].

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[15] IAPS

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Springer 1978

[-] Schottky W.

Thermodynamik

Springer 1929

[-] Traupel W.

Die Grundlagen der Thermodynamik

Braun Verlag Karlsruhe 1971

LEBENSLAUF

Am 2. März 1945 wurde ich in Södertälje in Schweden als Sohn

des Tore und der Gunhild Hedbäck geboren und durch die schwe¬

dische reformierte Staatskirche auf die Namen Anders Johan

Wilhelm getauft. Meine Schulausbildung begann im Herbst 1952

in Kvarntorp, einer kleinen Ortschaft in der Gegend von örebro.

Die Maturitätsprüfung in naturwissenschaftlicher Richtung habe

ich in Mörby Läroverk Danderyd 1965 abgelegt. Anschliessend

folgte während eines Jahres meine Ausbildung zum Kavallerist

in der schwedischen Armee.

Nach dem einjährigen Militärdienst nahm ich mein Studium an der

Abteilung Maschinenbau der "Kungliga Tekniska Högskolan" (KTH)

in Stockholm auf, und zwar studierte ich die Richtung Schiffbau.

Gegen Weihnacht 1972 erlangte ich das Diplom als "Civil Ingen-

jör".

Im Januar 1973 konnte ich als Versuchsingenieur bei der Firma

Brown Boveri & Cie. (BBC) Baden eintreten. Die geltenden Aus¬

länderbestimmungen begrenzten indessen die Dauer dieser Tätig¬

keit auf 18 Monate. Im September 1974 konnte mich aber Prof.

Traupel als wissenschaftlichen Assistenten in das Institut

für Thermische Turbomaschinen an der ETH Zürich aufnehmen.

Aus dieser Tätigkeit ist die vorliegende Arbeit hervorgegangen.

Im Januar 1982 konnte ich wiederum eine Stelle bei der Firma

Brown Boveri annehmen.

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