Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik ...

JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35 ISSN 2338-5677(Media Cetak)ISSN 2549-6646 (Media Online)

Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian ListrikMenggunakan Matlab

Silmi 1, Rina Anugrahwaty 2

Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Mesin 1

Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Telekomunikasi 2

[email protected] 1, [email protected] 2

AbstractThe linear system is widely used and applied in solving electric circuit problems. The linear equation can besolved using the Gaussian elimination method. To calculate n equations by the unknown number of n of largeand complex systems, it takes a long time and is not efficient. The procedure performed by converting the linearequations into the form of augmentation matrix is then operated into a triangular matrix. Implementation of theGauss elimination method shows the manual calculation results and designed Matlab software are not different.This is proven by applying to seven (7) linear equations, the current quantities from I1 to current I6 are equal tozero (0) and the current I7 equals one (1).Keywords: Gaussian Elimination, electric circuit, Matlab

AbstrakSistem persamaan linier banyak digunakan dan diterapkan dalam penyelesaian permasalahan rangkaian listrik.Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Untuk menghitung npersamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang besar dan kompleks, membutuhkan waktuyang cukup lama dan tidak efisien. Prosedur yang dilakukan dengan mengkonversi persamaan linear ke dalambentuk matriks augmentasi kemudian dioperasikan menjadi matriks triangularisasi. Implementasi dari metodeeliminasi Gauss menunjukkan hasil perhitungan secara manual maupun menggunakan Matlab tidak adaperbedaan. Hal ini dibuktikan dengan menggunakan tujuh (7) persamaan linear, besaran arus dari I1 sampai I6

hasilnya nol (0) dan arus I7 sama dengan satu (1).Kata Kunci : Eliminasi Gauss, rangkaian listrik, Matlab

1. Pendahuluan1.1. Latar Belakang

Komputer adalah salah satu teknologi yangsangat berkembang dan penerapannya telahdimanfaatkan dalam persoalan matematika berbagaidisiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidangfisika, kimia dan rekayasa seperti teknik sipil,mesin, elektro dan sebagainya. Peranan komputertersebut mempercepat proses perhitungan tanpamembuat kesalahan..

Salah satu penggunaan sistem persamaanlinear pada rangkaian listrik adalah denganmenggunakan metode eliminasi Gauss. Namun,untuk menghitung jumlah n persamaan denganjumlah n yang tidak diketahui dari sistem yangsangat besar dan kompleks, diperlukan komputeruntuk menghitung persamaan rangkaian listriktersebut. Matlab dapat membantu penyelesaiansistem persamaan linear dengan menggunakanmetode eliminasi Gauss [1].

Tulisan ini bertujuan untuk memberikan solusipenyelesaian metode eliminasi gauss padarangkaian listrik dengan menggunakan Matlab,agar tidak membutuhkan yang lama untukmenghitung persamaan tersebut.

2. Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara

mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriksmenjadi matriks yang lebih sederhana dan banyakdigunakan dalam penyelesaian sistem persamaanlinier. Prosedur penyelesaian dari metode iniadalah dengan melakukan operasi baris menjadimatriks eselon-baris. Metode ini mengubahpersamaan linear tersebut ke dalam matriksaugmentasi dan mengoperasikannya.

Sistem persamaan linier merupakan salah satusistem persamaan yang terdiri dari sejumlahpersamaan dan variabel yang berhingga. Untukdapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linieradalah mencari nilai-nilai variabel-variabelpersamaan tersebut.

Ada dua metode untuk mencari penyelesaianpersamaan [2] :

1. Metode langsung, yang mana terdiri darimetode eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, matriks invers dan metodedekomposisi LU.

2. Metode tak langsung, yang sering disebutjuga metode iterasi. Metode ini terdiri dari


31

metode iterasi Jacobi dan metode iterasiGauss-Seidel.

Adapun bentuk umum dari sistem persamaanlinier adalah sebagai berikut [3] :+ + …+ =+ + …+ =⋮ + + …+ =

Penyelesaian dengan menggunakan metodeeliminasi Gauss terdiri dari beberapa tahap, yaitu:

1. Konversi persamaan linear ke dalambentuk matriks teraugmentasi.+ 2 + = 6+ 3 + 2 = 92 + + 2 = 12Maka, persamaan linear yang dikonversike dalam bentuk matriks teraugmentasiadalah: 1 2 11 3 22 1 2 6912

2. Kemudian operasikan matriks yang telahdikonversi ke dalam bentuk matriksteraugmentasi dengan prosestriangularisasi. Baris ke-2 pada matiksdikurangi dengan baris ke-1.1 2 10 1 12 1 2 631Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1:1 2 10 3 20 −3 0 630Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2:1 1 10 1 10 0 3 639Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-3:1 2 10 1 10 0 1 633

3. Setelah terbentuk matriks baru dandiperoleh persamaan linear baru, yaitu:+ 2 + = 6+ = 3= 3

4. Lakukan subsitusi balik maka diperoleh:+ = 3 → + 3 = 3 → = 0+ 2 + = 6 → + 2(0) + 3 = 33. Analisis rangkaian listrik dengan metode

eliminasi Gauss

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linearpada rangkaian listrik dengan metode eliminasiGauss adalah mencari nilai-nilai variabelnya.Sebagai contoh penerapan rangkaian listrik denganmenggunakan metode eliminasi Gauss [4] dapatdilihat pada gambar 1.

Gambar 1. Rangkaian listrik.Persamaan yang diperoleh adalah sebagai

berikut : ∙ + ( + ) ∙ =∙ + ( + ) ∙ =Persamaannya dapat disusun ke kembali dalambentuk matriks berikut :0 ( + )0 ( + )−1 1 1 = = 00 8 60 6 9−1 1 1 = 1280Selanjutnya dikonversi ke dalam bentuk matrikstriangularisasi dengan cara menjadikan baris ketigakolom kedua bernilai = 0.= 0 8 60 6 9−1 1 1 1280 → −1 1 10 6 90 8 6 0812= = 86 = 1.333

′ = − ∙ = 0 − 1.333 ∙ 0 = 0′ = − ∙ = 8 − 1.333 ∙ 6 = 0′ = − ∙ = 6 − 1.333 ∙ 9 = −6′ = − ∙ = 12 − 1.333 ∙ 8= 1.333′ = −1 1 10 6 90 0 −6 081.333


32

Nilai arus masing-masing hambatan rangkaianlistrik tersebut adalah sebagai berikut:= = 1.333−6 = −0.222= − ∙ = 8 − 9 ∙ −0.2226 = 1.666= − ( ∙ + ∙ )= 0 − (1 ∙ −0.222 + 1 ∙ 1.666)−1 = 1.444

4. MatlabSalah satu perangkat lunak (software) yang

digunakan untuk perhitungan matematika adalahMatlab. Matlab merupakan singkatan dari matrixlaboratory, yang mana digunakan sebagaipengembangan algoritma matematika dankomputasi, pemodelan, simulasi dan pembuatanprotipe dari penerimaan data dan pengembanganaplikasi berbasis grafik dan pembuatan GraphicalUser Interface (GUI). Hal yang paling pentinguntuk diketahui, seluruh perhitungan yangdilakukan pada perangkat lunak ini dilakukansecara matematis dalam bentuk matriks. Gambar 2menunjukkan tampilan dari Matlab [5].

Gambar 2. Tampilan Matlab default setting

5. Implementasi dan PembahasanAdapun algoritma eleminasi Gauss adalahsebagai berikut:

1. Konversi sistem persamaan linear ke dalambentuk matriks augmentasi.

2. Periksalah elemen-elemen pivot, apakah adayang bernilai nol. Elemen-elemen pivotadalah elemen-elemen yang menempati

diagonal suatu matriks, tetapi jika adaelemen diagonal yang bernilai 0, maka barisdimana elemen itu berada harus ditukarposisinya dengan baris yang dibawahnyasampai elemen diagbal matriks menjadi nol.

3. Lakukan proses triangularisasi.

4. Hitung nilai .5. Lakukan subsitusi mundur untuk

memperoleh nilai variabel yang dicari.

Gambar 3. Algoritma eliminasi Gauss

Pada kasus jumlah n persamaan denganjumlah n yang tidak diketahui dari sistem yangsangat besar dan kompleks, diperlukanlah Matlabuntuk melakukan perhitungan dalam mencarisolusi.

1. Penyelesaian menggunakan 3 buahpersamaan linear. Gambar rangkaianlistrik dapat dilihat pada Gambar 4.

I2

I1

I3

R 12 O h m

R 26 O h m

R 33 O h m

V 11 2 V o lt

V 28 V o lt


33

Gambar 4. Rangkaian listrik untuk 3persamaan linear

Gambar 4. Proses Pembentukkan Matriks dansubsitusi persamaan.

Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapatpersamaan sebagai berikut [4]:0 + 8 + 6 = 120 + 6 + 9 = 8− + + 1 = 0Dari persamaan di atas dapat disusun ke dalampersamaan di bawah berikut:

0 8 60 6 9−1 1 1 = 1280′ = −1 1 10 6 90 0 −6 081.333

Setelah dibentuk matriks triangular, makasubsitusi kembali ke dalam bentuk persamaan,sehingga diperoleh arus masing-masing sebagaiberikut:= = . = −0.222167

= − ∙ = 8 − 9 ∙ −0.2221676= 1.666583= ( ∙ ∙ )= 0 − (1 ∙ −0.222167 + 1 ∙ 1.666583)−1= 1.444416

Dengan menggunakan Matlab besaran arusadalah :

I3 = - 0,222; I2 = 1,666 dan I1 = 1,444

2. Penyelesaian menggunakan 6 buah persamaanlinear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihatpada Gambar 6.

Gambar 6. Rangkaian listrik untuk 6 persamaanlinear

Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapatpersamaan sebagai berikut :76 − 25 − 50 + 0 + 0 + 0 = 10−25 + 56 − − 30 + 0 + 0 = 0−50 − 1 + 106 − 55 + 160 − 25= 00 − 30 − 55 + 160 − 25 − 50= 0


34

0 + 0 + 0 − 25 + 56 − 1 = 00 + 0 + 0 − 50 − 1 + 106 = 0Bentuk matriks triangular:

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 76 −25 −50−25 56 −1−50000

−1−3000106−5500

0 0 0 10−30 0 0 0−55160−25−50160−2556−1

−25 0−50 0−1 0106 0⎦⎥⎥⎥⎥⎤

Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusidalam bentuk persamaan, diperoleh arus masing-masing sebagai berikut:

I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.

Dengan menggunakan Matlab besaran arus dapatadalah :

I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.

3. Penyelesaian menggunakan 7 buah persamaanlinear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihatpada Gambar 7.

Gambar 7. Rangkaian listrik untuk 7 persamaanlinear

Dari rangkaian listrik di atas diperoleh 7persamaan linear dengan menggunakan hukumKirchoff adalah sebagai berikut [6]:−26 = 72 − 17 − 3534 = 122 − 35 − 87−4 = 233 − 87 − 34 − 72−13 = 149 − 17 − 35 − 28 − 35− 34

−27 = 105 − 43 − 3424 = 141 − 35 − 34 − 725 = 105 − 35 − 43Penerapan eliminasi Gauss dengan

menggunakan Matlab adalah :a. Matriks triangular:

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 72 0 −170 122 −350 −87 −34 −35 00 00 0 0 00 −87−72 233−16 −35 1490 0 −28 0 −28−43 105 −35 −34−34 00 0 −35−35 0 0 0 −34105 −43 141 −720 0 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎤

Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusidalam bentuk persamaan, diperoleh arus masing-masing sebagai berikut:

I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A;I4 = 0 A; I5 = 0 A; I6 = 0 A; I7 = 1 A.

Dengan menggunakan Matlab besaran arusadalah:

I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A; I4 = 0 A; I5 = 0 A;I6 = 0 A; I7 = 1 A.

Dari hasil perhitungan dengan cara manualdan menggunakan Matlab, besaran arus dengan 3, 6dan 7 persamaan linear tidak ada perbedaan,misalnya dengan menggunaan 7 persamaan lineararus I1 sampai dengan arus I6 menghasilkan arusyang sama yaitu sama dengan nol (0) dan arus I7sama dengan satu (1).

6. KesimpulanMatriks yang digunakan pada Matlab

memerlukan matriks augmentasi sebagai input yangtidak dapat dibentuk secara otomatis di Matlab,sehingga perlu dibentuk persamaan linear yangdiperoleh dari rangkaian listrik denganmenggunakan hukum Kirchoff.

Berdasarkan pembahasan yang dilakukandengan menggunakan 3, 6 dan 7 persamaan lineardari rangkaian listrik, implementasi metodeeliminasi Gauss menggunakan Matlab dapatmembantu proses perhitungan dengan hasil yangakurat dan tidak membutuhkan waktu yang lama.

7. Daftar Pustaka

[1] Suparno, Supriyanto. 2014. Komputasi untukSains dan Teknik Menggunakan Matlab.Jakarta: Universitas Indonesia.

[2] Steven, Chapra. 2010. Applied NumericalMethods with Matlab for Engineers and


35

Scientists. New Delhi: Mcgraw-Hill EducationIndia.

[3] Kisabo, Bhar., Funmilayo, Adebimpe., andOkey, Augustine. 2016. Comparative Analysisof Numerical Solution to a Linear System ofAlgebraic Equations. International Journal ofSystems Science and Applied Mathematics.Vol.1(4): 50-57.

[4]. Taing, Seamleng, 2001. Algebra andApplications. New York: Springer.

[5] Kumar Agam. 2012. Matlab and Simulink forEngineers. USA: Oxford University Press.

[6] Bourne, Murray. 2017. Metrics and LinearEquations. http://www.intmath.com/matrices-determinants/6-matrices-linear-equations.phpdiunduh 4 Mei 2017.

Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik ...

Documents

Transcript of Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik ...