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Implementación de un software de optimización de dinámica de sistemas mecánicos. Aplicación a la
optimización de un vehículo
Trabajo fin de Grado
Autor: Marta Frade Manso
Tutor: Daniel Dopico Dopico
Diciembre, 2015
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1. Introducción Optimización de la respuesta dinámica
de sistemas multicuerpo problema todavía abierto. Análisis de sensibilidad elemento clave. Bibliotecas
MBSLIM: dinámica y análisis de sensibilidad de sistemas genéricos.
Optimization Toolbox Matlab.
MBSMODEL.
Objetivo Dotar de capacidades de optimización a la
MBSLIM.
Casos implementación: Funciones sencillas en Matlab y Fortran.
Mecanismo de cinco barras:
Modelo de vehículo:
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2. Dinámica sistemas multicuerpo Sistema de ecuaciones.
Sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Diversas alternativas. Emplearemos
formulación de matriz R. Relación de velocidades, aceleraciones:
R y S obtenidas a través de desarrollos derivados de las ecuaciones de restricción
Sustituyendo en: Obtenemos:
Premultiplicando por RT y reordenando:
Forma compactada:
Index-3 DAE
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3. Análisis de sensibilidad Función objetivo :
Modelo Tangente Lineal (TLM):
Se busca calcular:
Cálculo restantes magnitudes:
Dopico, D., Zhu, Y., Sandu, A., y Sandu C. Sensitivity Analysis of Multibody Dynamic Systems Modeled by ODEs and DAEs.»Computational Methods and Applications, Computational Methods in Applied Sciences, vol. 35, ed. by Z. Terze, pp. 1-32 Springer, 2014
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4. Optimización Para optimizar la respuesta dinámica
del modelo emplearemos el Optimization Toolbox de Matlab®.
Pasos para definir el problema: Definir la función objetivo. (Matlab o
Fortran). Definir las restricciones ( archivo
separado o en propia sintaxis).
Por último queda ejecutar la optimización. Formas: Interfaz gráfica de usuario. Línea de comandos. Creación de un script.
Crearemos script y emplearemos solverfmicon, algoritmos de minimización con restricciones.
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4. OptimizaciónExplicación:
Óptimo con restricciones factible conrespecto a todas las restricciones.
Gradiente de la función objetivocombinación lineal de los gradientes de lasrestricciones.
Condición holgura complementaria.
Multiplicadores de Lagrange para lasrestricciones de desigualdad deben serpositivos ya que estamos minimizando.
Los multiplicadores de Lagrange para lasrestricciones de igualdad pueden serpositivos o negativos.
Condiciones KKT si x* es un mínimo local para:
gradientes restricciones en el óptimolinealmente independientes entre sí
Restricciones de desigualdad
Restricciones de igualdad
Todas las restricciones
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4. Optimización Condiciones necesarias y suficientes
Condiciones KKT son las condiciones necesarias.
Las suficientes para mínimo en el problema con restricciones son:• Cumpla las condiciones KKT para el sistema definido anteriormente.
• El Hessiano de la función Lagrangiana con respecto a x, sea positivo definido:
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5. Software utilizado Como ya se comento en la introducción
se ha empleado: MBSLIM: Para la simulación dinámica de
sistemas multicuerpo genéricos(+ simulación cinemática, resolución del equilibrio estático de mecanismos).
Matlab: En concreto la OptimizationToolbox que posee los algoritmos de optimización que necesitamos.
Solver: • fmincon
Algoritmos:• interior-point
• sqp
• active-set
• trust-region-reflective (default)
MBSmodel
Lenguaje Fortran 2003. Coordenadas naturales (+permite añadir
coordenadas relativas de ángulo y distancia) Formulaciones dinámicas:
Formulación ALI3-P
Formulación de Matriz R.
Formulación de penalizadores.
Formulación Hamiltoniana aumentada .
Integradores: Regla trapezoidal implícita de paso simple.
Newmark disipativo.
HHT (Hilber, Hughes and Taylor).
Alfa-generalizado.
Diferentes módulos. Módulo de fuerzas yrestricciones, solidos son los principales queemplea en usuario para modelizar.
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6. Descripción de los casos. Optimización función escrita en Matlab y
Fortran Función objetivo
Gradiente
Restricciones
Parámetros
Resultados
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6. Descripción de los casos. Mecanismo de cinco barras:
Mecanismo con dos grados de libertad
Función objetivo
Parámetros
Restricciones
Valores iniciales
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7. Resultados Caso: Optimización mecanismo de cinco barras. Dinámica.
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7. Resultados Caso: Optimización mecanismo de cinco barras. Dinámica
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7. Resultados Caso: Optimización mecanismo de cinco barras. Sensibilidades.
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Caso: Optimización mecanismo de cinco barras
7. Resultados
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6. Descripción de los casos. Vehículo:
Función objetivo
Parámetros
Sólo obtención de análisis desensibilidades para mecanismo inicial. Nº variables 168
Nº restricciones efectivas 154
Nº grados de libertad 14
Maniobra
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6. Descripción de los casos. Maniobra
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7. Resultados Caso: Optimización vehículo. Dinámica
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7. Resultados Caso: Optimización vehículo. Dinámica.
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7. Resultados Caso: Optimización vehículo. Sensibilidades.
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8. Conclusiones
Implementación conseguida en el mecanismo de cinco barras lo que nos permitió la optimización de los parámetros descritos así como realizar el análisis de sensibilidad de la dinámica del mecanismo.
Implementación parcial en el modelo del vehículo ya que solo conseguimos obtener el análisis de sensibilidades. Para la parte de optimización nos haría falta más tiempo, y queda por lo tanto en la línea de trabajo futuro.
Obtención de gráficas de optimización y sensibilidades para el caso del mecanismo de cinco barras y sólo de la dinámica y sensibilidad para el caso del modelo del vehículo.
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Gracias por su atención