Implement Bcs for Mms Liu
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8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
1/38
I m p l e m e n t a t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r
M e s h l e s s M e t h o d s
F r a n k C . G u n t h e r
W i n g K a m L i u
y
D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g
N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y
2 1 4 5 S h e r i d a n R d .
E v a n s t o n , I L 6 0 2 0 8 - 3 0 1 9
U S A
A b s t r a c t
B o u n d a r i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a n a s p e c t o f t h e n u m e r i c a l
s o l u t i o n o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h e r e m e s h l e s s m e t h o d s h a v e h a d
t o s u r m o u n t m a n y i n i t i a l d i c u l t i e s d u e t o t h e l a c k o f a n i t e - e l e m e n t -
l i k e K r o n e c k e r D e l t a c o n d i t i o n . F u r t h e r m o r e , i t i s f r e q u e n t l y d e s i r a b l e ,
e s p e c i a l l y i n u i d m e c h a n i c s , t o i m p o s e g e n e r a l , n o n l i n e a r b o u n d a r y a n d
i n t e r f a c e c o n s t r a i n t s . T h i s p a p e r d e s c r i b e s a c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t a l -
g o r i t h m b a s e d o n d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t h a t c a n b e u s e d f o r g e n e r a l c o n -
s t r a i n t s b o t h i n m e s h l e s s m e t h o d s a n d n i t e e l e m e n t s . F i r s t , a m e t h o d o f
p a r t i t i o n i n g m e s h l e s s s h a p e f u n c t i o n s s u i t a b l e f o r i m p o s i n g l i n e a r b o u n d -
a r y c o n d i t i o n s i s d e v e l o p e d . S u b s e q u e n t l y , a n a n a l o g o u s m e t h o d i s d e -
v e l o p e d f o r n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s . S p e c i a l a t t e n t i o n i s g i v e n t o i m p o s i n g
g e n e r a l b o u n d a r y a n d u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s o n t h e N a v i e r -
S t o k e s e q u a t i o n s i n t e r m s o f c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s . N u m e r i c a l r e s u l t s u s -
i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e w i t h t h e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d
( R K P M ) , i n c l u d i n g v i s c o u s , s u p e r s o n i c o w p a s t a N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l ,
a r e s h o w n .
T h e s u p p o r t o f t h i s r e s e a r c h b y A F O S R , O N R , a n d N S F i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d
y
C o r r e s p o n d i n g a u t h o r . E - m a i l : w - l i u @ n w u . e d u
1
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
2/38
1 I n t r o d u c t i o n
B o u n d a r i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a n a s p e c t o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n
o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h e r e m e s h l e s s m e t h o d s h a v e h a d t o s u r m o u n t
m a n y i n i t i a l d i c u l t i e s . R K P M ' s b o u n d a r y c o r r e c t i o n t e r m 2 9 , 2 7 , 2 3 , 2 6 ] w a s
i n t r o d u c e d t o p r e s e r v e c o n s i s t e n c y c l o s e t o t h e b o u n d a r y , t h e r e b y a v o i d i n g a
d e c i e n c y o f S m o o t h P a r t i c l e H y d r o d y n a m i c s ( S P H ) 3 1 ] . H o w e v e r , t h e e n -
f o r c e m e n t o f e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s r e m a i n s a n a r e a o f o n g o i n g r e s e a r c h ,
s i n c e t h e s h a p e f u n c t i o n s i n m e s h l e s s m e t h o d s a r e n o t s t r i c t i n t e r p o l a n t s , i . e .
t h e y d o n o t s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n :
N
A
( x
B
) 6=
A B
6=
1 i f A = B
0 o t h e r w i s e ,
( 1 )
w h e r e N
A
( x
B
) i s t h e s h a p e f u n c t i o n o f n o d e A e v a l u a t e d a t n o d e B , a n d
A B
i s t h e K r o n e c k e r d e l t a . A c o n s e q u e n c e o f t h i s i s t h a t t h e a p p r o x i m a t e d v a l u e o n
t h e b o u n d a r y d e p e n d s o n i n t e r i o r n o d e s a s w e l l a s b o u n d a r y n o d e s . B o u n d a r y
c o n d i t i o n s a r e i n t e r m s o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f n o d a l v a l u e s . T h i s p r e v e n t s
t h e n i t e e l e m e n t t r e a t m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w h e r e b o u n d a r y n o d e s a r e
s i m p l y o m i t t e d f r o m t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e .
V a r i o u s w a y s o f i m p l e m e n t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r m e s h l e s s m e t h o d s
h a v e b e e n s u g g e s t e d , s u c h a s c o m b i n i n g t h e E l e m e n t F r e e G a l e r k i n m e t h o d
( E F G ) 3 , 4 , 2 , 1 4 ] w i t h n i t e e l e m e n t s h a p e f u n c t i o n s c l o s e t o t h e b o u n d a r y 1 3 ] ,
t h e u s e o f a m o d i e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e 3 0 ] , t h e u s e o f w i n d o w o r c o r r e c t i o n
f u n c t i o n s t h a t v a n i s h o n t h e b o u n d a r y 7 ] , a n d t h e u s e o f L a g r a n g e m u l t i p l i -
e r s 3 , 2 9 ] . T h e s e m e t h o d s h a v e p r o v e n u s e f u l , b u t e i t h e r g i v e u p t h e m e s h l e s s
c h a r a c t e r o f t h e a p p r o x i m a t i o n c l o s e t o t h e b o u n d a r y , o r n e c e s s i t a t e t h e s o l u t i o n
o f a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o n s t r a i n t s t h a t r e p r e s e n t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , o r
r e n d e r a s y s t e m w i t h a n i n c r e a s e d n u m b e r o f u n k n o w n s .
I n u i d m e c h a n i c s , i t i s f r e q u e n t l y d e s i r a b l e t o i m p o s e g e n e r a l b o u n d a r y c o n -
d i t i o n s t h a t c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f a s i n g l e v a r i a b l e . F o r e x a m p l e ,
i m p o s i n g a t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n a s y s t e m o f c o n s e r v a t i v e v a r i -
a b l e s i n v o l v e s i m p o s i n g a c o n s t r a i n t i n t e r m s o f t o t a l e n e r g y , m o m e n t u m , a n d
d e n s i t y . T h i s s i t u a t i o n i s s o m e w h a t s i m i l a r t o t h e o n e a r i s i n g f r o m s h a p e f u n c -
t i o n s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n . I n d e e d , d ' A l e m b e r t ' s
p r i n c i p l e c a n b e u s e d t o r e s o l v e b o t h p r o b l e m s , a s t h i s p a p e r a t t e m p t s t o s h o w .
D ' A l e m b e r t 1 5 ] w a s t h e r s t t o f o r m u l a t e a p r i n c i p l e o f r e p l a c i n g n d i e r -
e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f o r m
M
x + f
i n t
( x ) = f
e x t
( x ) ( 2 )
a n d m c o n s t r a i n t s
g ( x ) = 0 ( 3 )
b y n m u n c o n s t r a i n e d e q u a t i o n s . I n e e c t , d ' A l e m b e r t a s s e r t e d t h a t , i f o n e
w e r e t o c h o o s e n m g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y , ( 2 ) a n d ( 3 ) c o u l d b e e q u i v a l e n t l y
2
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
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constraint
l
x
x2
1
F i g u r e 1 : A n e x a m p l e f o r d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e
r e p l a c e d b y t h e s m a l l e r s y s t e m
@ x ( y )
@ y
T
T
M
@ x ( y )
@ y
T
y +
@ x ( y )
@ y
T
T
f
i n t
( x ( y ) ) =
@ x ( y )
@ y
T
T
f
e x t
( x ( y ) )
( 4 )
w h e r e
@ x ( y )
@ y
T
i s c a l l e d t h e J a c o b i a n m a t r i x J ( y ) . A c l a s s i c a l e x a m p l e f o r d ' A l e m b e r t ' s
p r i n c i p l e i s s h o w n i n F i g u r e 1 . A p e n d u l u m c a n b e d e s c r i b e d b y t h e s p a t i a l c o -
o r d i n a t e s o f i t s p o i n t m a s s ,
x =
x
1
x
2
=
l c o s
l s i n
( 5 )
w h i c h h a v e t o s a t i s f y t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t
g ( x ) =
x
2
1
+ x
2
2
l
2
= 0 ( 6 )
W e c a n c h o o s e g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s
y =
( 7 )
w h i c h l e a d t o t h e J a c o b i a n m a t r i x
J =
@ x ( y )
@ y
T
=
l s i n
l c o s
( 8 )
3
-
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1
u0 u1
F i g u r e 2 : D o u b l y s u p p o r t e d b e a m
T h i s p a p e r i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . F i r s t , w e d e v e l o p d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e
f o r m e s h l e s s m e t h o d s i n t h e s i m p l e r c a s e o f l i n e a r m a t r i x e q u a t i o n s w i t h l i n e a r
c o n s t r a i n t s a n d s h o w e x a m p l e s o f s u i t a b l y m o d i e d s h a p e f u n c t i o n s p a c e s i n o n e
d i m e n s i o n . I n t h e s e c o n d p a r t , w e e x t e n d d ' A l e m b e r t s p r i n c i p l e t o n o n l i n e a r
a n d t i m e - d e p e n d e n t c o n s t r a i n t s u n d e r s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n o f t h e v i s c o u s , c o m -
p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d o f i n t e r f a c e c o n d i t i o n s f o r u i d - s t r u c t u r e
i n t e r a c t i o n .
2 L i n e a r B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r M e s h l e s s M e t h -
o d s
I n t r o d u c t o r y E x a m p l e
C o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l e x a m p l e p r o b l e m t h a t i s s h o w n i n F i g u r e 2 . T h e
p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k c a n b e w r i t t e n a s
Z
1
0
u
h
x
u
h
x
d x = u
h
( 1 ) u
h
x
( 1 ) u
h
( 0 ) u
h
x
( 0 ) = 0 ( 9 )
w h e r e t h e s u p e r s c r i p t h d e n o t e s a n a p p r o x i m a t e d f u n c t i o n ,
u
h
( x ) = N
T
( x ) d ( 1 0 )
i s t h e d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a t e d b y a s h a p e f u n c t i o n c o l u m n m a t r i x N a n d a
c o l u m n m a t r i x d o f n o d a l v a l u e s , a n d
u
h
( x ) = N
T
( x ) d ( 1 1 )
i s t h e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a t e d b y s h a p e f u n c t i o n s a n d n o d a l v a l u e s
d . A s u p e r i m p o s e d T d e n o t e s t h e t r a n s p o s e . T h e b e a m i s s u p p o r t e d o n b o t h
e n d s , w i t h x e d d i s p l a c e m e n t s u
0
a n d u
1
, l e a d i n g t o b o u n d a r y c o n d i t i o n s
u
h
( 0 ) = u
0
( 1 2 )
u
h
( 1 ) = u
1
( 1 3 )
a n d c o n s t r a i n t s
u
h
( 0 ) = 0 ( 1 4 )
u
h
( 1 ) = 0 ( 1 5 )
4
-
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o n a d m i s s i b l e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s . I n o t h e r w o r d s , u
h
b e l o n g s t o a n a p p r o x i -
m a t e d t r i a l f u n c t i o n s p a c e
S
h
S =
u u 2 H
1
u ( 0 ) = u
0
u ( 1 ) = u
1
( 1 6 )
w h e r e S i s t h e c o m p l e t e s e t o f a d m i s s i b l e t r i a l f u n c t i o n s , a n d H
1
i s t h e s e t o f
s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s 8 ] . A n a l o g o u s l y , u
h
b e l o n g s t o a n a p p r o x i m a t e d
t e s t f u n c t i o n s p a c e
V
h
V =
u u 2 H
1
u ( 0 ) = 0 u ( 1 ) = 0
( 1 7 )
O u r g o a l i s t o n d s u i t a b l e e x p r e s s i o n s f o r
S
h
N = f N
1
N
2
; : : : ; N
n
g ( 1 8 )
V
h
N ( 1 9 )
w h e r e N
i
a r e t h e e l e m e n t s o f t h e s h a p e f u n c t i o n v e c t o r , n i s t h e n u m b e r o f n o d e s
i n a m e s h l e s s a p p r o x i m a t i o n , a n d
S
h
= S \ N ( 2 0 )
V
h
= V \ N ( 2 1 )
U s i n g ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) , w e o b t a i n t h e m a t r i x e q u a t i o n
d
T
K d = 0 ( 2 2 )
w i t h t h e s t i n e s s m a t r i x
K =
Z
1
0
N
x
N
T
x
d x ( 2 3 )
T h e b o u n d a r y c o n s t r a i n t s c a n b e w r i t t e n a s
G
T
d = g ( 2 4 )
G
T
d = 0 ( 2 5 )
w h e r e
G =
N ( 0 ) N ( 1 )
( 2 6 )
a n d
g =
u
0
u
1
( 2 7 )
I n n i t e e l e m e n t s , t h e s h a p e f u n c t i o n s s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n
a n d G i s t h e r e f o r e s i m p l y a d i s t r i b u t i o n m a t r i x . T h i s p r o p e r t y m a k e s c h o o s i n g
a s e t o f i n d e p e n d e n t n o d a l v a r i a b l e s a n d a p p l y i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e 1 5 ]
e a s y . O n e c a n s i m p l y d i s t i n g u i s h \ b o u n d a r y n o d e s " a n d \ i n t e r i o r n o d e s " a s
s h o w n i n F i g u r e 3 . I n R K P M a n d o t h e r m e s h l e s s m e t h o d s , t h e s h a p e f u n c t i o n s
d o n o t a l w a y s s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n . C o n s i d e r f o r e x a m p l e t h e
s e t o f R K P M s h a p e f u n c t i o n s i n F i g u r e 4 . T h i s m a k e s t h e c h o i c e o f a s e t o f
i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s l e s s o b v i o u s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e s h a l l s h o w a w a y
o f a p p l y i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o m e s h l e s s m e t h o d s w i t h l i n e a r c o n s t r a i n t s ,
a n d s u b s e q u e n t l y w e s h a l l e x t e n d d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s
a n d s h o w i t s a p p l i c a t i o n t o t h e v i s c o u s , c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
5
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
6/38
restraintboundary node
interior nodes
F i g u r e 3 : B o u n d a r y t r e a t m e n t f o r n i t e e l e m e n t s
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N(x)
x
set of RKPM shape functions
F i g u r e 4 : R K P M s h a p e f u n c t i o n s ( c u b i c w i n d o w f u n c t i o n , l i n e a r c o n s i s t e n c y ,
d i l a t i o n p a r a m e t e r 1 . 9 )
6
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
7/38
L i n e a r C o n s t r a i n t s
C o n s i d e r t h e m a t r i x e q u a t i o n , o b t a i n e d b y R K P M o r a n o t h e r m e s h l e s s m e t h o d ,
d
T
M
d + K d f
= 0 ( 2 8 )
w i t h m c o n s t r a i n t s
G
T
d = g ( 2 9 )
G
T
d = 0 ( 3 0 )
M i s a n n n m a s s m a t r i x , K i s a n n n s t i n e s s m a t r i x , f i s a n n 1
f o r c e v e c t o r , d i s a n n 1 v e c t o r o f n o d a l v a r i a b l e s , d i s a n n 1 v e c t o r o f
v i r t u a l v a r i a t i o n s o f n o d a l v a r i a b l e s , a n d a s u p e r i m p o s e d d o t s i g n i e s t h e t i m e
d e r i v a t i v e . G i s a n n m c o n s t r a i n t m a t r i x . W e a s s u m e t h e o r t h o g o n a l i t y
c o n d i t i o n
G
T
G = I ( 3 1 )
w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x .
I f ( 3 1 ) i s n o t s a t i s e d , i t c a n e a s i l y b e e n f o r c e d f o r a n y g i v e n l i n e a r c o n s t r a i n t s
b y m o d i f y i n g G a n d g , f o r e x a m p l e b y u s i n g t h e G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m s h o w n
i n F i g u r e 5 . F o r a d e s c r i p t i o n o f G r a m - S c h m i d t a n d o t h e r o r t h o g o n a l i z a t i o n
a l g o r i t h m s , s e e 3 2 ] a n d m a n y o t h e r s .
G i v e n o r t h o g o n a l c o n s t r a i n t s , o n e c a n n d a n n ( n m ) J a c o b i a n m a t r i x
J w i t h
J
T
G = 0 ( 3 2 )
J
T
J = I ( 3 3 )
G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i z a t i o n c a n b e u s e d t o o b t a i n J f r o m G . A p o s s i b l e
a l g o r i t h m i s s h o w n i n F i g u r e 6 . N o t e t h a t t h i s a l g o r i t h m c a n b e m a d e m o r e
e c i e n t b y u s i n g t h e f a c t t h a t a l l p
i
a s s o c i a t e d w i t h n o d e s t h a t h a v e n o i n u e n c e
o n t h e b o u n d a r y a r e a l r e a d y o r t h o g o n a l n o t o n l y t o e a c h o t h e r b u t a l s o t o a l l g
i
A n a c t u a l o r t h o g o n a l i z a t i o n p r o c e d u r e i s t h e r e f o r e o n l y n e c e s s a r y f o r b o u n d a r y
i n u e n c e n o d e s .
G i v e n J , o n e c a n w r i t e d a n d d u s i n g g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y a n d g e n e r a l i z e d
v i r t u a l v a r i a t i o n s y a s
d = J y + G g ( 3 4 )
d = J y ( 3 5 )
T h e c o n s t r a i n t s ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) a r e s a t i s e d f o r a l l y a n d y . T h i s f o l l o w s f r o m ( 3 1 )
a n d ( 3 2 ) :
G
T
d = G
T
( J y + G g ) = G
T
J y + G
T
G g = 0 y + I g = g ( 3 6 )
G
T
d = G
T
( J y ) = G
T
J y = 0 ( 3 7 )
7
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
8/38
G =
g
1
g
m
g =
g
1
: : : g
m
T
g
1
=
g
1
g
1 2
g
1
=
g
1
g
1 2
f o r i = 2 ; : : : ; m f
f o r j = 1 ; : : : ; i f
= g
T
i
g
j
g
i
= g
i
g
j
g
i
= g
i
g
j
g
g
i
=
g
i
g
i 2
g
i
=
g
i
g
i 2
g
F i g u r e 5 : G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m t o o r t h o g o n a l i z e c o n s t r a i n t s
8
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
9/38
G =
g
1
g
m
J =
j
1
j
n m
p
i
=
0 1 0
T
| { z }
o n l y i
t h
e l e m e n t i s 1
r = 1
f o r i = 1 ; : : : ; n f
j
r
= p
i
f o r k = 1 ; : : : ; m f
= j
T
r
g
k
j
r
= j
r
g
k
i f j
r 2
= 0 e x i t l o o p
g
f o r k = 1 ; : : : ; r 1 f
= j
T
r
j
k
j
r
= j
r
j
k
i f j
r 2
= 0 e x i t l o o p
g
i f j
r 2
6= 0 f
j
r
=
j
r
j
r 2
r = r + 1
g
g
F i g u r e 6 : G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m t o d e t e r m i n e J
9
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
10/38
F r o m ( 3 3 ) , o n e c a n d e d u c e t h a t J h a s r a n k n m , a n d t h a t t h e r e f o r e , a l l
a d m i s s i b l e d a n d d a r e d e s c r i b e d b y ( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) . U s i n g t h e s c a l a r p r o d u c t
t h e o r e m
y
T
r
y
= 0 8 y , r
y
= 0 ( 3 8 )
o n e c a n w r i t e ( 2 8 ) , ( 2 9 ) , a n d ( 3 0 ) e q u i v a l e n t l y a s
~
M
y +
~
K y
~
f = 0 ( 3 9 )
w i t h
~
M = J
T
M J ( 4 0 )
~
K = J
T
K J ( 4 1 )
~
f = J
T
( f K G g ) ( 4 2 )
E q u a t i o n ( 3 9 ) h a s n m u n k n o w n s , a s o p p o s e d t o n + m u n k n o w n s t h a t w o u l d
h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g L a g r a n g e m u l t i p l i e r s .
H o w c a n G a n d J i n t e r p r e t e d i n a s h a p e f u n c t i o n c o n t e x t ? U s i n g ( 3 4 ) i n
t h e a p p r o x i m a t i o n e q u a t i o n ( 1 0 ) , w e o b t a i n
u
h
( x ) = N
T
( x ) d = N
T
( x ) J y + N
T
( x ) G g ( 4 3 )
T h i s c a n b e i n t e r p r e t e d a s s p l i t t i n g t h e s h a p e f u n c t i o n s e t N i n t o t h e i n t e r i o r
s e t
N
J
= J
T
N ( 4 4 )
a n d t h e b o u n d a r y s e t
N
G
= G
T
N ( 4 5 )
a s s h o w n i n F i g u r e 7 . T h e n a l f o r m
u
h
( x ) = N
T
J
y + N
T
G
g ( 4 6 )
c l o s e l y r e s e m b l e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n t r e a t m e n t i n n i t e e l e m e n t s .
1 0
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
11/38
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N(x)
x
original shape functionsinterior setboundary set
F i g u r e 7 : D e c o m p o s i t i o n o f R K P M s h a p e f u n c t i o n s i n t o b o u n d a r y s e t a n d i n -
t e r i o r s e t
1 1
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
12/38
3 N o n l i n e a r B o u n d a r y a n d I n t e r f a c e C o n s t r a i n t s
f o r t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s
T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e a p p l i c a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o t h e v i s c o u s ,
c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . U s i n g a P e t r o v - G a l e r k i n p r o c e d u r e , a n
u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n i s d e v e l o p e d , t h e n t h e u s e o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n -
c i p l e t o i m p o s e n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s i s e x p l a i n e d i n d e t a i l . T h e p r o c e d u r e t h a t
i s u s e d c a n e a s i l y b e a d a p t e d t o o t h e r n o n l i n e a r p r o b l e m s .
T h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s i n T e r m s o f C o n s e r v a t i o n V a r i -
a b l e s
F o r a f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n t h a t i s b o t h c o n c e p t u a l l y a n d
c o m p u t a t i o n a l l y s i m p l e , o n e c a n d e n e t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s 3 3 ]
U =
8
>
>
>
>
>
>
>
:
U
1
U
2
U
3
U
4
U
5
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
1
u
1
u
2
u
3
e
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 4 7 )
H e r e , i s t h e d e n s i t y , u
1
u
2
, a n d u
3
a r e t h e v e l o c i t i e s i n t h e t h r e e c o o r d i n a t e
d i r e c t i o n s , a n d e i s t h e t o t a l e n e r g y d e n s i t y .
L e t u s d e n e t h e E u l e r u x e s
F
i
= u
i
8
>
>
>
>
>
>
>
:
1
u
1
u
2
u
3
e
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
+ p
8
>
>
>
>
>
>
>
:
0
1 i
2 i
3 i
u
i
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 4 8 )
a n d t h e d i u s i v e u x e s
F
d
i
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
0
1 i
2 i
3 i
i j
u
j
q
i
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 4 9 )
p i s t h e p r e s s u r e ,
i j
t h e K r o n e c k e r d e l t a ,
i j
a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e v i s c o u s -
s t r e s s t e n s o r , a n d q
i
a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e h e a t - u x v e c t o r .
T h e s o u r c e v e c t o r i s d e n e d a s
c =
8
>
>
>
>
>
>
>
:
0
b
1
b
2
b
3
b
i
u
i
+ r
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 5 0 )
1 2
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
13/38
w h e r e b
i
a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e b o d y f o r c e v e c t o r p e r u n i t m a s s , a n d r i s
t h e h e a t s u p p l y p e r u n i t m a s s . S u m m a t i o n o v e r d o u b l e i n d i c e s i s i n t e n d e d .
W i t h t h e s e d e n i t i o n s , t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e w r i t -
t e n a s
U
t
+ F
i i
= F
d
i i
+ c ( 5 1 )
T h e n e c e s s a r y c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s a r e
e =
1
2
u
2
1
+ u
2
2
+ u
2
3
+ c
v
| { z }
s
( 5 2 )
p = ( 1 ) c
v
( i d e a l g a s ) ( 5 3 )
i j
= u
k k
i j
+ ( u
i j
+ u
j i
) ( N e w t o n i a n u i d ) ( 5 4 )
q
i
=
i
( 5 5 )
w i t h t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :
c
v
s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t v o l u m e
: : : a b s o l u t e t e m p e r a t u r e
s : : : i n t e r n a l e n e r g y d e n s i t y
: : : r a t i o o f s p e c i c h e a t s
; : : : v i s c o s i t y c o e c i e n t s
: : : c o e c i e n t o f t h e r m a l c o n d u c t i v i t y .
F o r S t o k e s ' s a s s u m p t i o n t h a t t h e r m o d y n a m i c a n d m e c h a n i c a l p r e s s u r e s a r e
e q u a l ,
=
2
3
( 5 6 )
T h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s c a n b e r e c o v e r e d b y
= U
1
( 5 7 )
u
1
=
U
2
U
1
( 5 8 )
u
2
=
U
3
U
1
( 5 9 )
u
3
=
U
4
U
1
( 6 0 )
=
2 U
1
U
5
U
2
2
+ U
2
3
+ U
2
4
2 c
v
U
2
1
( 6 1 )
p = ( 1 )
U
5
U
2
2
+ U
2
3
+ U
2
4
2 U
1
( 6 2 )
R K P M F o r m u l a t i o n o f t h e U n c o n s t r a i n e d P r o b l e m
M u l t i p l i c a t i o n o f ( 5 1 ) b y t h e P e t r o v - G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
( 6 3 )
1 3
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
14/38
i n t e g r a t i o n o v e r t h e d o m a i n a n d i n t e g r a t i o n b y p a r t s y i e l d s t h e w e a k f o r m
Z
U
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
U
t
+
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
i
F
d
i
+
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
F
i i
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
c
d
=
Z
@
U
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
F
d
i
n
i
d ( 6 4 )
=
Z
@
U
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
K
i j
( U ) U
j
n
i
d
o r
Z
U
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
U
t
+ U
T
i
F
d
i
~
U
T
j
B
T
j
F
d
i i
+
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
F
i i
U
T
+
~
U
T
j
B
T
j
c
d
=
Z
@
U
U
T
F
d
i
n
i
d
=
Z
@
U
U
T
K
i j
( U ) U
j
n
i
d
( 6 5 )
d e p e n d i n g o n w h e t h e r i n t e g r a t i o n b y p a r t s i s p e r f o r m e d o n t h e w h o l e P e t r o v -
G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n o r o n l y o n i t s r s t t e r m . I n o u r c o m p u t a t i o n s , w e h a v e
f o u n d b o t h f o r m u l a t i o n s t o l e a d t o e q u i v a l e n t r e s u l t s .
U
i s t h e u i d d o m a i n , U
i s c a l l e d t h e G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n , @
U
i s t h e u i d b o u n d a r y , a n d n = n
i
i s
t h e o u t w a r d n o r m a l o n t h e b o u n d a r y . T h e p e r t u r b a t i o n s
~
U
j
c a n b e d e r i v a t i v e s
o r w a v e l e t f u n c t i o n s , a s w a s s h o w n i n 1 8 , 1 7 ] .
T h e m a t r i c e s B
i
a r e r e l a t e d t o t h e a d v e c t i v e m a t r i c e s
A
i
=
@ F
i
@ U
T
( 6 6 )
W e c h o o s e
B
i
=
i
A
T
i
( n o s u m ) ( 6 7 )
w h e r e
i
d e p e n d s o n t h e v e l o c i t y a n d d i s c r e t i z a t i o n p a r a m e t e r i n e a c h d i r e c t i o n .
F o r a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f s e v e r a l p o s s i b l e c h o i c e s o f B
i
, a s w e l l a s r e l a t e d
m a t t e r s , s e e 3 5 , 1 1 , 1 0 , 9 , 3 3 , 1 ] .
U n l e s s t h e r e a r e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e n o r m a l d i u s i v e u x F
d
i
n
i
i n t h e b o u n d a r y i n t e g r a l i s u n k n o w n a n d n e e d s t o b e e v a l u a t e d f r o m e q u a t i o n
( 4 9 ) a n d t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s .
L e t u s r e p l a c e U
~
U a n d U b y a p p r o x i m a t i o n s w i t h N N P
U
n o d a l p o i n t s :
U
i
U
h
i
=
N N P
U
X
A = 1
N
A
( x ) d
i A
( 6 8 )
~
U
i j
U
h
i j
=
N N P
U
X
A = 1
~
N
A j
( x ) d
i A
( 6 9 )
U
i
U
h
i
=
N N P
U
X
A = 1
N
B
( x ) d
i B
( 7 0 )
1 4
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
15/38
a n d d e n e t h e f o l l o w i n g a r r a y s :
d
U
=
8
>
>
>
>
>
:
d
1 1
d
2 1
d
N V A R
U
; N N P
U
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 7 1 )
d
U
=
8
>
>
>
>
>
:
d
1 1
d
2 1
d
N V A R
U
; N N P
U
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 7 2 )
N
( A )
U
| { z }
N V A R
U
N V A R
U
= N
A
I ( 7 3 )
N V A R
U
i s t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s a t e a c h n o d a l p o i n t . I n t h r e e d i m e n s i o n s ,
N V A R
U
= 5 , a n d i n t w o d i m e n s i o n s N V A R
U
= 4 I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . T h e n
t h e u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n b e c o m e s
d
T
U
r
U
= d
T
U
M
U
( d
U
) d
U
+ f
i n t
U
( d
U
) f
e x t
U
( d
U
)
= 0 ( 7 4 )
w i t h
f M
U
g
A B
| { z }
N V A R
U
N V A R
U
=
Z
U
N
( A )
U
T
+
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
N
( B )
U
d ( 7 5 )
f
i n t
U
A
| { z }
N V A R
U
1
=
Z
U
N
( A )
U
T
+
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
j
F
d
j
+
N
( A )
U
T
+
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
F
j j
d ( 7 6 )
f
e x t
U
A
| { z }
N V A R
U
1
=
Z
@
U
N
( A )
U
T
+
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
F
d
j
n
j
d
o r , d e p e n d i n g o n h o w i n t e g r a t i o n b y p a r t s i s a p p l i e d ,
f
i n t
U
A
| { z }
N V A R
U
1
=
Z
U
N
( A )
U
T
j
F
d
j
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
F
d
j j
+
N
( A )
U
T
+
~
N
( A i )
U
T
B
T
i
F
j j
d ( 7 7 )
f
e x t
U
A
| { z }
N V A R
U
1
=
Z
@
U
N
( A )
U
T
F
d
j
n
j
d ( 7 8 )
r
U
i s t h e u i d r e s i d u a l .
1 5
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
16/38
B o u n d a r y C o n d i t i o n s u s i n g d ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e
W e u s e d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o i m p o s e b o u n d a r y c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m
g ( d
U
t ) = 0 ( 7 9 )
o n t h e m a t r i x e q u a t i o n ( 7 4 )
1
T h e v a l u e s o f t h e c o n s e r v a t i o n v a r i a b l e s a t a n o d a l p o i n t A a r e
U
( A )
=
8
>
>
>
>
>
:
U
h
1
( x
A
)
U
h
2
( x
A
)
U
h
N V A R
U
( x
A
)
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 8 0 )
A s w e h a v e d i s c u s s e d b e f o r e , f o r m e s h l e s s m e t h o d s i n g e n e r a l
U
( A )
6=
8
>
>
>
>
>
:
d
1 A
d
2 A
d
N V A R
U
A
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 8 1 )
P r e v i o u s l y , w e h a v e s h o w n h o w t o n d g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s d i r e c t l y f r o m l i n e a r
c o n s t r a i n t e q u a t i o n s . T h e s a m e p r o c e d u r e c o u l d b e u s e d a f t e r l i n e a r i z i n g ( 7 9 ) f o r
e a c h s t e p o f a N e w t o n - R a p h s o n p r o c e d u r e . H o w e v e r , t h i s w o u l d m e a n r e p e a t i n g
t h e o r t h o g o n a l i z a t i o n p r o c e d u r e s i n F i g u r e s 5 a n d 6 a t e v e r y i t e r a t i o n s t e p .
A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n c h o o s e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s f r o m s p e c i c c o n s t r a i n t s
\ b y i n s p e c t i o n . " T h i s i s t h e m e t h o d w e a r e g o i n g t o e x a m i n e i n m o r e d e t a i l
n o w .
L e t u s d e n e m o d i e d n o d a l v a l u e s
d
i A
=
N
A B
d
i B
( 8 2 )
w i t h t h e b o u n d a r y s h a p e f u n c t i o n m a t r i x
N
A B
=
N
B
( x
A
) i f A B a r e b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s
A B
o t h e r w i s e
( 8 3 )
A n o d e A i s c a l l e d a b o u n d a r y i n u e n c e n o d e i f
9 x 2 @ N
A
( x ) 6= 0 ( 8 4 )
I t i s e a s y t o s e e t h a t
U
( A )
=
8
>
>
>
>
>
:
d
1 A
d
2 A
d
N V A R
U
A
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 8 5 )
1
A l t e r n a t i v e l y , t h i s c a n b e r e g a r d e d a s r e q u i r i n g t h e t e s t f u n c t i o n s U
h
i n t h e w e a k f o r m
t o b e l o n g t o t h e t a n g e n t s p a c e o f t h e t r i a l f u n c t i o n s U
h
1 6
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
17/38
f o r a l l n o d e s A 2 @ . A t r a n s f o r m a t i o n m e t h o d s i m i l a r t o ( 8 2 ) i s p r o p o s e d
i n 2 1 , 2 3 , 5 ] .
L e t u s a s s u m e t h a t t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a t a n o d a l p o i n t A a r e c o n -
s t r a i n e d b y
g
( A )
U
( A )
t
= 0 , U
( A )
= U
( A )
y
( A )
t
( 8 6 )
w h e r e y
( A )
i s a l o c a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h n o d e A
F o r e x a m p l e , a t m o v i n g w a l l b o u n d a r i e s , t h e r e i s n o s l i p a n d n o p e n e t r a t i o n ,
i . e . i n 2 D
g
( A )
U
( A )
t
=
(
U
( A )
2
U
( A )
1
u
w a l l
U
( A )
3
U
( A )
1
v
w a l l
)
= 0 ( 8 7 )
w h e r e u
w a l l
a n d v
w a l l
a r e t h e x - v e l o c i t y a n d y - v e l o c i t y o f t h e w a l l . T h i s i s
e q u i v a l e n t t o
U
( A )
=
8
>
>
>
:
U
h
1
( x
A
)
U
h
2
( x
A
)
U
h
3
( x
A
)
U
h
4
( x
A
)
9
>
>
=
>
>
;
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
y
( A )
1
u
w a l l
y
( A )
1
v
w a l l
y
( A )
1
y
( A )
1
y
( A )
2
+
u
2
w a l l
+ v
2
w a l l
2
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 8 8 )
i f t h e d e n s i t y a n d i n t e r n a l e n e r g y a r e c h o s e n a s g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s , i . e .
y
( A )
=
(
y
( A )
1
y
( A )
2
)
=
s
( 8 9 )
F o r u n c o n s t r a i n e d n o d e s , w e c h o o s e
y
( A )
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
y
( A )
1
y
( A )
2
y
( A )
N V A R
U
A
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
=
8
>
>
>
>
>
:
d
1 A
d
2 A
d
N V A R
U
A
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 9 0 )
D e n i n g a g l o b a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s ,
y =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
y
( 1 )
y
( A )
y
( N N P )
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
( 9 1 )
w e c a n o b t a i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e u n c o n s t r a i n e d v a r i a b l e s i n e q u a -
t i o n ( 7 4 ) :
d
U
= d
U
( y t ) ( 9 2 )
d
U
= J
U
( y t ) y +
@ d
@ t
( y t ) ( 9 3 )
d
U
= J
U
( y t ) y ( 9 4 )
1 7
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
18/38
w i t h
J
U
=
@ d
U
@ y
T
=
@ d
U
@
d
T
U
@
d
U
@ y
T
=
~
N
1
U
2
6
6
6
6
6
6
6
4
J
( 1 )
U
0
J
( A )
U
0
J
( N N P )
U
3
7
7
7
7
7
7
7
5
( 9 5 )
I n o t h e r w o r d s , t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i x J
U
i s a s s e m b l e d f r o m t h e l o c a l
J a c o b i a n m a t r i c e s
J
( A )
U
=
@ U
( A )
@
y
( A )
T
( 9 6 )
a n d p r e - m u l t i p l i e d b y t h e i n v e r s e o f t h e b o u n d a r y m a t r i x
~
N
U
, w h i c h r e l a t e s
d
U
t o d
U
t h r o u g h
d
U
=
~
N
U
d
U
( 9 7 )
f r o m w h i c h
@ d
U
@
d
T
U
=
~
N
1
U
( 9 8 )
N o t e t h a t a l t h o u g h
~
N
U
f o r m a l l y h a s d i m e n s i o n s
( N V A R
U
N N P
U
) ( N V A R
U
N N P
U
)
i t i s i d e n t i t y f o r a l l n o d e s e x c e p t b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s . T h u s i t s i n v e r s i o n
o n l y r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f a s m a l l s y s t e m o f e q u a t i o n s .
F o r t h e e x a m p l e o f a m o v i n g w a l l b o u n d a r y ,
J
( A )
U
=
2
6
6
6
4
1 0
u
w a l l
0
v
w a l l
0
y
( A )
2
+
u
2
w a l l
+ v
2
w a l l
2
y
( A )
1
3
7
7
7
5
( 9 9 )
f r o m ( 8 8 ) .
U s i n g e q u a t i o n s ( 9 2 ) t o ( 9 4 ) , t h e u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n ( 7 4 ) b e -
c o m e s
r
y
= J
T
U
( y t )
M
U
( y t ) J
U
( y t ) y +
@ d
@ t
( y t )
+ J
T
U
( y t )
f
i n t
U
( y t ) f
e x t
U
( y t )
= 0 ( 1 0 0 )
W e h a v e o m i t t e d y , w h i c h d o e s n o t h a v e t o s a t i s f y a n y c o n s t r a i n t s , b y v i r t u e
o f t h e s c a l a r p r o d u c t t h e o r e m
y
T
r
y
= 0 8 y , r
y
= 0 ( 1 0 1 )
1 8
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
19/38
0
=
r rU
+
Jy J rwT T
U w= +
interface
fluid
structure
0
0
0
F i g u r e 8 : d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e f o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n
M o r e c o n c i s e l y , w e c a n w r i t e e q u a t i o n ( 1 0 0 ) a s
r
y
=
~
M y +
~
f
i n t
~
f
e x t
= 0 ( 1 0 2 )
w h e r e
~
M = J
T
U
( y t ) M
U
( y t ) J
U
( y t ) ( 1 0 3 )
~
f
i n t
= J
T
U
( y t ) f
i n t
U
( y t ) ( 1 0 4 )
~
f
e x t
= J
T
U
( y t )
f
e x t
U
( y t )
@ d
@ t
( y t )
( 1 0 5 )
I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t , u s i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e , w e h a v e r e d u c e d
a s y s t e m o f N V A R
U
N N P
U
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 7 4 ) a n d N B C a l g e b r a i c
e q u a t i o n s ( 7 9 ) t o a s y s t e m o f N V A R
U
N N P
U
N B C d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
( 1 0 2 ) , w h e r e N B C i s t h e n u m b e r o f n o d a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s i s d o u b l y
b e n e c i a l s i n c e i t r e d u c e s t h e n u m b e r o f e q u a t i o n s a n d a v o i d s t h e n e c e s s i t y o f
s o l v i n g a s y s t e m o f d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s t h a t a r i s e s f r o m t h e m e t h o d
o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s .
D ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e f o r F l u i d - S t r u c t u r e I n t e r a c t i o n
T h e a p p l i c a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n i s a
s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n o f t h e u i d - o n l y c a s e . C o n s i d e r t h e t w o - d i m e n s i o n a l
u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n s y s t e m i n F i g u r e 8 . I n i t s R K P M o r F E M a p p r o x i -
1 9
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
20/38
m a t i o n , t h e u i d i s d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 7 4 ) . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s t r u c t u r a l
m a t r i x e q u a t i o n , a g a i n i n a n R K P M o r F E M a p p r o x i m a t i o n , c a n b e w r i t t e n a s
a s y s t e m o f r s t - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
d
T
w
d
T
w
r
w
=
d
T
w
d
T
w
d
w
M
w
d
w
d
w
f
i n t
w
( d
w
) + f
e x t
w
( d
w
)
= 0 ( 1 0 6 )
w i t h
d
w
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
d
( w )
1 1
d
( w )
2 1
d
( w )
N V A R
w
; N N P
w
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 1 0 7 )
d
w
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
d
( w )
1 1
d
( w )
2 1
d
( w )
N V A R
w
; N N P
w
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 1 0 8 )
d
w
=
8
>
>
>
>
>
>
>
:
d
( w )
1 1
d
( w )
2 1
d
( w )
N V A R
U
; N N P
U
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
( 1 0 9 )
w
i
w
h
i
=
N N P
w
X
A = 1
N
A
( x ) d
( w )
i A
( 1 1 0 )
w
i
w
h
i
=
N N P
w
X
B = 1
N
B
( x ) d
( w )
i B
( 1 1 1 )
N V A R
w
= N S D : ( 1 1 2 )
f
i n t
w
a n d f
e x t
w
a r e t h e i n t e r n a l a n d e x t e r n a l f o r c e s , r e s p e c t i v e l y , a n d M
w
i s t h e
m a s s m a t r i x . N S D = 2 i s t h e n u m b e r o f s p a t i a l d i m e n s i o n s , w
i
i = 1 ; : : : ; N S D
a r e t h e d i s p l a c e m e n t s .
T h e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s f o r a s t r u c t u r e i n t e r a c t i n g w i t h v i s c o u s o w a r e n o
i n t e r p e n e t r a t i o n , n o s l i p , n o n o r m a l h e a t u x , a n d e q u i l i b r i u m o f t r a c t i o n s :
u
1
= w
1
( 1 1 3 )
u
2
= w
2
( 1 1 4 )
q
i
n
i
= 0 ( 1 1 5 )
i j
n
j
p n
i
=
i j
n
j
( 1 1 6 )
C o n d i t i o n s ( 1 1 5 ) a n d ( 1 1 6 ) w i l l b e e n f o r c e d w e a k l y .
2 0
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
21/38
I n o r d e r t o c o n c e n t r a t e o n t h e e s s e n t i a l s o f t h e f o l l o w i n g d e r i v a t i o n s , w e a s -
s u m e c o n s t r a i n t s w i t h o u t e x p l i c i t t i m e - d e p e n d e n c e . H o w e v e r , g e n e r a l i z a t i o n t o
e x p l i c i t l y t i m e - d e p e n d e n t c o n s t r a i n t s i s s t r a i g h t f o r w a r d . T o a p p l y d ' A l e m b e r t ' s
p r i n c i p l e , w e a s s o c i a t e a l o c a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y
( A )
w i t h e a c h
n o d e , w h e t h e r i t i s i n t h e u i d d o m a i n , t h e s t r u c t u r a l d o m a i n , o r a t t h e u i d -
s t r u c t u r e i n t e r f a c e . F o r i n t e r f a c e n o d e s , o n e c a n c h o o s e
y
( A )
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
w
1
w
2
w
1
w
2
s
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
( 1 1 7 )
f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t
U =
8
>
>
>
>
>
:
y
5
y
3
y
5
y
4
y
5
y
5
y
6
+
y
2
3
+ y
2
4
2
9
>
>
>
=
>
>
>
;
( 1 1 8 )
w =
y
1
y
2
( 1 1 9 )
w =
y
3
y
4
( 1 2 0 )
s a t i s f y e q u a t i o n s ( 1 1 3 ) a n d ( 1 1 4 ) . E q u a t i o n ( 1 1 7 ) g i v e s r i s e t o t h r e e l o c a l J a c o -
b i a n m a t r i c e s
J
( A )
U
=
@ U
( A )
y
( A )
@
y
( A )
T
=
2
6
6
4
0 0 0 0 1 0
0 0 y
5
0 1 0
0 0 0 y
5
1 0
0 0 y
3
y
5
y
4
y
5
y
6
+
y
2
3
+ y
2
4
2
y
5
3
7
7
5
( 1 2 1 )
J
( A )
w
=
@ w
( A )
y
( A )
@
y
( A )
T
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
( 1 2 2 )
H
( A )
w
=
@ w
( A )
y
( A )
@
y
( A )
T
=
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
( 1 2 3 )
w h i c h r e l a t e g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s t o u i d v a r i a b l e s , s t r u c t u r a l d i s p l a c e m e n t s ,
a n d s t r u c t u r a l v e l o c i t i e s , r e s p e c t i v e l y .
I t n o w r e m a i n s t o d e n e t h e l o c a l J a c o b i a n m a t r i c e s f o r n o d e s t h a t a r e n o t
a t t h e i n t e r a c t i o n b o u n d a r y , a n d t o a s s e m b l e t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i c e s f r o m
t h e i r l o c a l c o u n t e r p a r t s .
F o r i n t e r i o r u i d n o d e s , J
( A )
U
= I , w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x , a n d J
( A )
w
i s
a 0 N V A R
U
p l a c e - h o l d e r . C o n v e r s e l y , i n t h e s t r u c t u r e i n t e r i o r i n g e n e r a l , J
( A )
U
2 1
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
22/38
i s a 0 N V A R
w
p l a c e - h o l d e r a n d J
( A )
w
= I . T h e p l a c e - h o l d e r s e n s u r e c o r r e c t
a s s e m b l y o f t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i c e s , a s s h o w n i n F i g u r e 8 . F o r b o u n d a r y
n o d e s t h a t a r e n o t F S I n o d e s , t h e l o c a l J a c o b i a n m a t r i c e s d e p e n d o n t h e n a t u r e
o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a s d e s c r i b e d a b o v e .
I n a n a l o g y t o e q u a t i o n ( 8 2 ) ,
d
( U )
i A
=
N
( U )
A B
d
( U )
i B
( 1 2 4 )
d
( w )
i A
=
N
( w )
A B
d
( w )
i B
( 1 2 5 )
w i t h t h e b o u n d a r y s h a p e f u n c t i o n m a t r i c e s
N
( U )
A B
=
N
B
( x
A
) i f A B b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s i n u i d d o m a i n
A B
o t h e r w i s e
( 1 2 6 )
N
( w )
A B
=
N
B
( x
A
) i f A B b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s i n s t r u c t u r a l d o m a i n
A B
o t h e r w i s e
( 1 2 7 )
N o d e s w i t h i n u e n c e o n t h e u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e a r e c o n s i d e r e d b o u n d a r y
i n u e n c e n o d e s .
G l o b a l l y , t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s a n d u i d / s t r u c t u r e
v a r i a b l e s a r e a s f o l l o w s , i f t h e c o n s t r a i n t s o n t h e s t r u c t u r e a r e a s s u m e d t o b e
l i n e a r :
d
U
= d
U
( y ) ( 1 2 8 )
d
U
= J
U
( y ) y ( 1 2 9 )
d
w
= d
w
( y ) ( 1 3 0 )
d
w
= J
w
( y ) y = d
w
( y ) ( 1 3 1 )
d
w
= H
w
( y ) y ( 1 3 2 )
d
U
= J
U
( y ) y ( 1 3 3 )
d
w
= J
w
( y ) y ( 1 3 4 )
d
w
= H
w
( y ) y ( 1 3 5 )
w i t h
y =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
y
( 1 )
y
( A )
y
( N N P )
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
( 1 3 6 )
J
U
=
@ d
U
@ y
T
=
@ d
U
@
d
T
U
@
d
U
@ y
T
2 2
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
23/38
=
~
N
1
U
2
6
6
6
6
6
6
6
4
J
( 1 )
U
0
J
( i )
U
0
J
( N N P )
U
3
7
7
7
7
7
7
7
5
( 1 3 7 )
J
w
=
@ d
w
@ y
T
=
@ d
w
@
d
T
w
@
d
w
@ y
T
=
~
N
1
w
2
6
6
6
6
6
6
6
4
J
( 1 )
w
0
J
( i )
w
0
J
( N N P )
w
3
7
7
7
7
7
7
7
5
( 1 3 8 )
H
w
=
@ d
w
@ y
T
=
@ d
w
@
d
T
w
@
d
w
@ y
T
=
~
N
1
w
2
6
6
6
6
6
6
6
4
H
( 1 )
w
0
H
( i )
w
0
H
( N N P )
w
3
7
7
7
7
7
7
7
5
( 1 3 9 )
w h e r e N N P i s t h e t o t a l n u m b e r o f n o d e s .
T h e b o u n d a r y m a t r i c e s
~
N
U
a n d
~
N
w
a r e d e n e d t h r o u g h
d
U
=
~
N
w
d
U
( 1 4 0 )
d
w
=
~
N
w
d
w
( 1 4 1 )
U s i n g e q u a t i o n s ( 1 2 8 ) t o ( 1 3 9 ) i n ( 7 4 ) a n d ( 1 0 6 ) y i e l d s t h e c o u p l e d u i d -
s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n m a t r i x f o r m
J
T
U
r
U
+ J
T
w
r
w
= 0 ( 1 4 2 )
o r
0
B
@
J
T
w
J
w
+ H
T
w
M
w
H
w
| { z }
s t r u c t u r e
+ J
T
U
( y ) M
U
( y ) J
U
( y )
| { z }
u i d
1
C
A
y = J
T
w
H
w
y
+ H
T
w
f
e x t
w
( y ) f
i n t
w
( y )
( s t r u c t u r e ) ( 1 4 3 )
+ J
T
U
( y )
f
e x t
U
( y ) f
i n t
U
( y )
( u i d )
T h e u n d e r l i n e d p a r t s o f e q u a t i o n ( 1 4 3 ) r e e c t t h e f a c t t h a t y c o n t a i n s v e l o c i t i e s
a s w e l l a s d i s p l a c e m e n t s f o r t h e s t r u c t u r e .
2 3
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
24/38
4 N u m e r i c a l E x a m p l e s
I t e r a t i o n M e t h o d
O u r g o a l i s t o n d n u m e r i c a l l y s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s o f t h e h i g h l y n o n l i n e a r
m a t r i x e q u a t i o n ( 1 0 2 ) w h e t h e r i t r e p r e s e n t s a u i d - o n l y o r a u i d - s t r u c t u r e s y s -
t e m . E x p e r i e n c e i n t h e e l d o f n u m e r i c a l u i d d y n a m i c s s h o w s t h a t a N e w t o n -
R a p h s o n o r s i m i l a r m e t h o d a p p l i e d w i t h y = 0 o n l y c o n v e r g e s t o a p h y s i c a l
s o l u t i o n u n d e r e x t r a o r d i n a r y c i r c u m s t a n c e s . H o w e v e r , c o n v e r g e n c e i s i m p r o v e d
i f t h e m a s s m a t r i x
~
M i s r e t a i n e d i n t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e . W e b r i e y o u t l i n e
t h e s t a n d a r d p r o c e d u r e t h a t w a s u s e d t o o b t a i n t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s
s e c t i o n .
C o n s i d e r a n o n l i n e a r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n
r ( y y ) = M ( y ) y + f ( y ) = 0 ( 1 4 4 )
t h a t i s t o b e s o l v e d w i t h t h e i m p l i c i t b a c k w a r d E u l e r i n t e g r a t i o n s c h e m e
t y = y
n + 1
y
n
( 1 4 5 )
w h e r e t i s a t i m e s t e p , a n d t h e s u p e r s c r i p t n m e a n s \ a t t h e c u r r e n t t i m e s t e p " .
W i t h
y
n
= y ( 1 4 6 )
y
n + 1
= y + y ( 1 4 7 )
( 1 4 8 )
o n e c a n o b t a i n
y = y ( 1 4 9 )
w i t h a f a c t o r =
1
t
. F o r e a c h t i m e s t e p , t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n
r ( y y ) r ( y 0 ) +
@ r
@ y
T
( y 0 ) y = 0 ( 1 5 0 )
w a s s o l v e d u s i n g G M R E S 3 2 ] w i t h a K r y l o v s u b s p a c e o f d i m e n s i o n 1 0 a n d n o
r e s t a r t s . T h e t a n g e n t s t i n e s s w a s a p p r o x i m a t e d b y
@ r
@ y
T
( y 0 ) y
r
y
1
y
r
y
( y 0 )
( 1 5 1 )
w h e r e i s c h o s e n s u c h t h a t
1
y i s s m a l l 1 2 ] .
N o t e : F o r a n i n t e r p r e t a t i o n o f o t h e r t h a n t h e i n v e r s e o f a b a c k w a r d E u l e r
t i m e s t e p , c o n s i d e r e q u a t i o n ( 1 5 0 ) i n i n d e x n o t a t i o n ,
@ r
i
@ y
j
y
j
=
M
i j
+
@ M
i k
@ y
j
y
k
+
@ f
i
@ y
j
| { z }
K
i j
y
j
( 1 5 2 )
2 4
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
25/38
wall (no slip,
inflowprescribed
outflow
U = U8
no penetration)
0 0.5 1
X
-1
-0.5
0
0.5
1
Y
F i g u r e 9 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : p r o b l e m s t a t e m e n t a n d g r i d
I f y i s s m a l l , t h e t a n g e n t s t i n e s s b e c o m e s
K
= M + K ( 1 5 3 )
w i t h
K =
@ f
@ y
T
( 1 5 4 )
T h u s , t h e t a n g e n t s t i n e s s K o f t h e s t a t i o n a r y e q u a t i o n i s m o d i e d b y M t o
i m p r o v e c o n v e r g e n c e .
M a c h 3 N A C A 7 0 1 2 A i r f o i l
T h e r s t p r o b l e m w e c o n s i d e r i s o w p a s t a N A C A 7 0 1 2 A i r f o i l a t M a c h 3 , a
R e y n o l d s n u m b e r o f 1 0 0 0 a n d z e r o a n g l e o f a t t a c k . T h e R e y n o l d s n u m b e r i s
d e n e d b a s e d o n t h e f r e e s t r e a m v a l u e s a n d t h e a i r f o i l c h o r d l e n g t h . P r o b l e m
s t a t e m e n t a n d c o m p u t a t i o n a l g r i d a r e g i v e n i n F i g u r e 9 . A t i n o w , t o p , a n d
b o t t o m v a l u e s f o r a l l f o u r c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e p r e s c r i b e d . A t t h e o u t o w ,
t h e r e a r e n o b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . t h e b o u n d a r y i n t e g r a l i s e v a l u a t e d f r o m
t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . O n t h e a i r f o i l , t h e r e i s n o s l i p , n o p e n e t r a t i o n a n d n o
h e a t u x . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w a s d i s c r e t i z e d u s i n g 4 8 1 3 n o d a l p o i n t s ,
w h i c h l e d t o a m o d e l w i t h 1 8 1 0 8 d e g r e e s o f f r e e d o m , a s o p p o s e d t o 2 0 3 9 6 d e g r e e s
o f f r e e d o m t h a t w o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d h a d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s b e e n
2 5
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
26/38
i m p l e m e n t e d w i t h L a g r a n g e m u l t i p l i e r s . R K P M s h a p e f u n c t i o n s w i t h c u b i c
s p l i n e w i n d o w f u n c t i o n s a n d l i n e a r c o n s i s t e n c y w e r e u s e d . T h e r e l a t i v e d i l a t i o n
p a r a m e t e r f o r t h e i r r e g u l a r g r i d w a s c h o s e n t o b e a p p r o x i m a t e l y 0 7
F i g u r e 1 0 s h o w s t h e s o l u t i o n i n t e r m s o f d e n s i t y , v e l o c i t i e s , t e m p e r a t u r e ,
p r e s s u r e a n d M a c h n u m b e r . T h e R K P M s o l u t i o n c a p t u r e s t h e l e a d i n g e d g e
s h o c k a n d t h e b o u n d a r y l a y e r q u i t e w e l l . E v e n m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e
s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g R K P M ' s m u l t i r e s o l u t i o n c a p a b i l i t i e s t o d e -
c o m p o s e t h e s o l u t i o n i n t o l o w a n d h i g h s c a l e , a s i s d o n e f o r t h e p r e s s u r e i n
F i g u r e 1 1 . T h e h i g h s c a l e s h o w s t h e e x a c t l o c a t i o n o f t h e l e a d i n g e d g e s h o c k .
T h i s i n f o r m a t i o n a r i s e s n a t u r a l l y i n t h e c o u r s e o f R K P M c o m p u t a t i o n s a n d i s
n o t t h e r e s u l t o f a n y p o s t - p r o c e s s i n g . S i n c e t h e h i g h - s c a l e s o l u t i o n i s a v a i l a b l e
d u r i n g t h e s o l u t i o n p r o c e s s , i t c a n b e u s e d t o d e t e c t s h o c k r e g i o n s a n d i n s e r t
m o r e n o d e s t h e r e t o c a p t u r e h i g h g r a d i e n t s . T h i s t e c h n i q u e i s d e m o n s t r a t e d f o r
t h e n e x t e x a m p l e p r o b l e m .
B o w S h o c k P r o b l e m w i t h A d a p t i v i t y
I n t h i s p r o b l e m , s u p e r s o n i c o w p a s t a b l u n t o b s t a c l e i s c o n s i d e r e d . T h e c o m p u -
t a t i o n a l d o m a i n i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 . A l l c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e p r e s c r i b e d
a t t h e i n o w a n d t h e t o p , s y m m e t r y i s p r e s c r i b e d a t t h e b o t t o m , a n d t h e r e i s
n o s l i p , n o p e n e t r a t i o n , a n d n o h e a t u x a t t h e o b s t a c l e . N o b o u n d a r y c o n d i -
t i o n s a r e p r e s c r i b e d a t t h e o u t o w . T h e f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r i s 3 , a n d t h e
R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n f r e e s t r e a m v a l u e s a n d t h e d i a m e t e r o f t h e o b s t a c l e
i s 2 0 0 0 . F i g u r e 1 3 s h o w s t h e i n i t i a l c o m p u t a t i o n a l g r i d a n d s u b s e q u e n t r e n e -
m e n t s b a s e d o n t h e p r e s s u r e h i g h s c a l e . F i g u r e 1 4 s h o w s h o w t h e s h o c k g a i n s
m o r e a n d m o r e d e n i t i o n d u r i n g t h e s o l u t i o n p r o c e s s .
5 C o n c l u s i o n s
W e h a v e p r e s e n t e d a s i m p l e a n d c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t m e t h o d o f i m p o s i n g
e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r m e s h l e s s m e t h o d s . D ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e
u s e s a s e t o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s , a n d a J a c o b i a n m a t r i x t o p r o j e c t t h e r e s i d -
u a l o n t o t h e a d m i s s i b l e s o l u t i o n s p a c e . I t c a n b e u s e d f o r g e n e r a l , n o n l i n e a r
c o n s t r a i n t s . W e u s e i t f o r a l l o u r c o m p u t a t i o n s o f v i s c o u s , c o m p r e s s i b l e o w s .
F o r l i n e a r c o n s t r a i n t s , w e c u r r e n t l y f a v o r o b t a i n i n g t h e J a c o b i a n m a t r i x d i r e c t l y
v i a o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n s . H o w e v e r , f o r p r o b l e m s w i t h
n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s , c h o o s i n g g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s \ b y i n s p e c t i o n " l e a d s t o
d e c r e a s e d c o m p u t a t i o n a l c o s t . O u r c o m p u t a t i o n s d e m o n s t r a t e t h e v i a b i l i t y a n d
e c i e n c y o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e f o r m e s h l e s s m e t h o d s .
6 A c k n o w l e d g e m e n t s
T h e s u p p o r t o f t h i s r e s e a r c h b y t h e A i r F o r c e O c e o f S c i e n t i c R e s e a r c h
( A F O S R ) , t h e O c e o f N a v a l R e s e a r c h ( O N R ) , a n d t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n -
d a t i o n ( N S F ) i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .
2 6
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
27/38
F i g u r e 1 0 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : S o l u t i o n f o r M a c h 3
2 7
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
28/38
F i g u r e 1 1 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : m u l t i p l e s c a l e d e c o m p o s i t i o n o f t h e p r e s s u r e
2 8
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
29/38
8
prescribedinflow
wall
symmetry
outflow
(no slip,no penetration)
U=U
F i g u r e 1 2 : B o w s h o c k p r o b l e m : p r o b l e m s t a t e m e n t
2 9
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
30/38
F i g u r e 1 3 : B o w s h o c k p r o b l e m : g r i d r e n e m e n t i n f o u r s t a g e s
3 0
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
31/38
F i g u r e 1 4 : B o w s h o c k p r o b l e m : p r e s s u r e a t t h e d i e r e n t s o l u t i o n s t a g e s
3 1
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
32/38
A I m p l e m e n t a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e f o r
S e l e c t e d B o u n d a r y a n d I n t e r f a c e C o n d i t i o n s
i n V i s c o u s F l o w
I n t w o d i m e n s i o n s , t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e
U =
2
6
6
4
U
1
U
2
U
3
U
4
3
7
7
5
=
2
6
6
6
4
u
1
u
2
c
v
+
u
2
1
+ u
2
2
2
3
7
7
7
5
S o m e p r i m i t i v e v a r i a b l e s a r e
: : : d e n s i t y
u
1
v e l o c i t y i n 1 - d i r e c t i o n
u
2
v e l o c i t y i n 2 - d i r e c t i o n
: : : t e m p e r a t u r e
s : : : i n t e r n a l e n e r g y
T h e s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t v o l u m e i s c
v
W e w i l l a l s o i m p o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t e r m s o f t h e v i s c o u s s t r e s s t e n s o r
a n d t h e h e a t u x v e c t o r q
F o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s , w e w i l l a s s u m e d i s p l a c e m e n t s w
1
a n d
w
2
, a s w e l l a s v e l o c i t i e s _w
1
a n d _w
2
T h e i n d e x n i s u s e d f o r q u a n t i t i e s n o r m a l t o t h e b o u n d a r y .
M o v i n g w a l l w i t h z e r o h e a t u x
B o u n d a r y c o n d i t i o n s :
q
n
= 0 n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n
u
1
= g
1
u
2
= g
2
o r
U
2
= U
1
g
1
U
3
= U
1
g
2
W i t h
y =
y
1
y
2
=
s
3 2
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
33/38
w e o b t a i n
U ( y ) =
2
6
6
6
4
y
1
y
1
g
1
y
1
g
2
y
1
y
2
+
g
2
1
+ g
2
2
2
3
7
7
7
5
J =
@ U
@ y
T
=
2
6
6
4
1 0
g
1
0
g
2
0
y
2
+
g
2
1
+ g
2
2
2
y
1
3
7
7
5
M o v i n g w a l l w i t h g i v e n t e m p e r a t u r e
B o u n d a r y c o n d i t i o n s :
u
1
= g
1
u
2
= g
2
= g
3
o r
U
2
= U
1
g
1
U
3
= U
1
g
2
U
4
= U
1
c
v
g
3
+
g
2
1
+ g
2
2
2
W i t h
y =
y
1
=
w e o b t a i n
U ( y ) =
2
6
6
6
4
y
1
y
1
g
1
y
1
g
2
y
1
c
v
g
3
+
g
2
1
+ g
2
2
2
3
7
7
7
5
J =
@ U
@ y
T
=
2
6
6
4
1
g
1
g
2
g
3
+
g
2
1
+ g
2
2
2
3
7
7
5
S y m m e t r y b o u n d a r y
A s s u m e n o r m a l i n x
1
- d i r e c t i o n . B o u n d a r y c o n d i t i o n s :
q
2
= 0 n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n
1 2
=
2 1
= 0 n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n
u
2
= 0
3 3
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
34/38
o r
U
3
= 0
W i t h
y =
2
4
y
1
y
2
y
3
3
5
=
2
4
u
1
c
v
3
5
w e o b t a i n
U ( y ) =
2
6
6
4
y
1
y
2
0
y
3
+
y
2
2
2 y
1
3
7
7
5
J =
@ U
@ y
T
=
2
6
6
6
4
1 0 0
0 1 0
0 0 0
y
2
2
2 y
2
1
y
2
y
1
1
3
7
7
7
5
F l u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e w i t h z e r o h e a t u x
B o u n d a r y c o n d i t i o n s :
q
n
= 0 n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n
u
1
= w
1
u
2
= w
2
o r
U
2
= U
1
w
1
U
3
= U
1
w
2
W i t h
y =
2
6
6
6
6
6
6
4
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
3
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
4
w
1
w
2
w
1
w
2
s
3
7
7
7
7
7
7
5
w e o b t a i n
U ( y ) =
2
6
6
6
4
y
5
y
3
y
5
y
4
y
5
y
5
y
6
+
y
2
3
+ y
2
4
2
3
7
7
7
5
3 4
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
35/38
J
u
=
@ U
@ y
T
=
2
6
6
4
0 0 0 0 1 0
0 0 y
5
0 1 0
0 0 0 y
5
1 0
0 0 y
3
y
5
y
4
y
5
y
6
+
y
2
3
+ y
2
4
2
y
5
3
7
7
5
w =
w
1
w
2
=
y
1
y
2
J
w
=
@ w
@ y
T
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
w =
w
1
w
2
=
y
3
y
4
H
w
=
@ w
@ y
T
=
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
3 5
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
36/38
R e f e r e n c e s
1 ] S . K . A l i a b a d i , S . E . R a y , a n d T . E . T e z d u y a r . S U P G n i t e e l e m e n t c o m p u -
t a t i o n o f v i s c o u s c o m p r e s s i b l e o w s b a s e d o n t h e c o n s e r v a t i o n a n d e n t r o p y
v a r i a b l e s f o r m u l a t i o n s . C o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s , 1 1 : 3 0 0 { 3 1 2 , 1 9 9 3 .
2 ] T . B e l y t s c h k o , Y . K r o n g a u z , D . O r g a n , M . F l e m i n g , a n d P . K r y s l . M e s h l e s s
m e t h o d s : A n o v e r v i e w a n d r e c e n t d e v e l o p m e n t s . C o m p u t e r M e t h o d s i n
A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 3 { 4 7 , 1 9 9 6 .
3 ] T . B e l y t s c h k o , Y . Y . L u , a n d L . G u . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n m e t h o d s . I n t e r -
n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , 3 7 : 2 2 9 { 2 5 6 , 1 9 9 4 .
4 ] T . B e l y t s c h k o , Y . Y . L u , L . G u , a n d M . T a b b a r a . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n
m e t h o d s f o r s t a t i c a n d d y n a m i c f r a c t u r e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S o l i d s
a n d S t r u c t u r e s , 3 2 : 2 5 4 7 { 2 5 7 0 , 1 9 9 5 .
5 ] J . S . C h e n , C . P a n , C . T . W u , a n d W . K . L i u . R e p r o d u c i n g k e r n e l p a r t i c l e
m e t h o d s f o r l a r g e d e f o r m a t i o n a n a l y s i s o f n o n l i n e a r s t r u c t u r e s . C o m p u t e r
M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 1 9 5 { 2 2 7 , 1 9 9 6 .
6 ] C . A . D u a r t e a n d J . T . O d e n . A n h - p a d a p t i v e m e t h o d u s i n g c l o u d s .
C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 2 3 7 { 2 6 2 ,
1 9 9 6 .
7 ] J . G o s z a n d W . K . L i u . A d m i s s i b l e a p p r o x i m a t i o n s f o r e s s e n t i a l b o u n d a r y
c o n d i t i o n s i n t h e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d . C o m p u t a t i o n a l
M e c h a n i c s , 1 9 ( 2 ) : 1 2 0 { 1 3 5 , 1 9 9 6 .
8 ] T . J . R . H u g h e s . T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d
C l i s , N e w J e r s e y , 1 9 8 7 .
9 ] T . J . R . H u g h e s , L . P . F r a n c a , a n d M . M a l l e t . A n e w n i t e e l e m e n t f o r m u -
l a t i o n f o r c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s : V I . C o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e
g e n e r a l i z e d S U P G f o r m u l a t i o n f o r l i n e a r t i m e - d e p e n d e n t m u l t i d i m e n s i o n a l
a d v e c t i v e - d i u s i v e s y s t e m s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d
E n g i n e e r i n g , 6 3 ( 1 ) : 9 7 { 1 1 2 , J u l y 1 9 8 7 .
1 0 ] T . J . R . H u g h e s a n d M . M a l l e t . A n e w n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n f o r
c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s : I I I . T h e g e n e r a l i z e d s t r e a m l i n e o p e r a t o r
f o r m u l t i d i m e n s i o n a l a d v e c t i v e - d i u s i v e s y s t e m s . C o m p u t e r M e t h o d s i n
A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 5 8 ( 3 ) : 3 0 5 { 3 2 8 , J a n u a r y 1 9 8 6 .
1 1 ] T . J . R . H u g h e s a n d T . E . T e z d u y a r . F i n i t e e l e m e n t m e t h o d s f o r r s t -
o r d e r h y p e r b o l i c s y s t e m s w i t h p a r t i c u l a r e m p h a s i s o n t h e c o m p r e s s i b l e E u -
l e r e q u a t i o n s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g
4 5 : 2 1 7 { 2 8 4 , 1 9 8 4 .
1 2 ] Z . J o h a n . D a t a P a r a l l e l F i n i t e E l e m e n t T e c h n i q u e s f o r L a r g e - S c a l e C o m -
p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s . P h D t h e s i s , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 9 2 .
3 6
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
37/38
1 3 ] Y . K r o n g a u z a n d T . B e l y t s c h k o . E n f o r c e m e n t o f e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i -
t i o n s i n m e s h l e s s a p p r o x i m a t i o n s u s i n g n i t e e l e m e n t s . C o m p u t e r M e t h o d s
i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 6 . T o a p p e a r .
1 4 ] P . K r y s l a n d T . B e l y t s c h k o . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n : C o n v e r g e n c e o f t h e
c o n t i n u o u s a n d d i s c o n t i n u o u s s h a p e f u n c t i o n s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p -
p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 6 . S u b m i t t e d .
1 5 ] J . l e R o n d d ' A l e m b e r t . A b h a n d l u n g u b e r D y n a m i k , i n w e l c h e r d i e G e s e t z e
d e s G l e i c h g e w i c h t e s u n d d e r B e w e g u n g d e r K o r p e r a u f d i e k l e i n s t m o g l i c h e
Z a h l z u r u c k g e f u h r t u n d i n n e u e r W e i s e a b g e l e i t e t w e r d e n , u n d i n d e r e i n
a l l g e m e i n e s P r i n c i p z u r A u f n d u n g d e r B e w e g u n g m e h r e r e r K o r p e r , d i e i n
b e l i e b i g e r W e i s e a u f e i n a n d e r W i r k e n g e g e b e n w i r d . ( F i r s t p u b l i s h e d u n d e r
t i t l e \ T r a i t e d e d y n a m i q u e " , P a r i s , 1 7 4 3 ) . W . E n g e l m a n n , L e i p z i g , 1 8 9 9 .
1 6 ] S . L i a n d W . K . L i u . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g K e r n e l M e t h o d
( I I ) F o u r i e r A n a l y s i s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i -
n e e r i n g , 1 3 9 : 1 5 9 { 1 9 4 , 1 9 9 6 .
1 7 ] S . L i a n d W . K . L i u . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g K e r n e l M e t h o d
p a r t i i i : W a v e l e t p a c k e t a n d i t s a p p l i c a t i o n s . S u b m i t t e d f o r p u b l i c a t i o n i n
C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 7 .
1 8 ] S . L i a n d W . K . L i u . S y n c h r o n i z e d r e p r o d u c i n g k e r n e l i n t e r p o l a n t v i a m u l -
t i p l e w a v e l e t e x p a n s i o n . A c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n i n C o m p u t a t i o n a l M e -
c h a n i c s , 1 9 9 7 .
1 9 ] W . K . L i u , J . A d e e , a n d S . J u n . R e p r o d u c i n g K e r n e l a n d W a v e l e t P a r t i c l e
M e t h o d s f o r E l a s t i c a n d P l a s t i c P r o b l e m s . A d v a n c e d C o m p u t a t i o n a l M e t h -
o d s f o r M a t e r i a l M o d e l i n g , ( E d s . D . J . B e n s o n a n d R . A . A s a r o A M D 1 8 0
a n d P V P 2 6 8 A S M E ) , p a g e s 1 7 5 { 1 9 0 , 1 9 9 3 .
2 0 ] W . K . L i u , C . T . C h a n g , Y . C h e n , a n d R . A . U r a s . M u l t i r e s o l u t i o n R e p r o -
d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s i n A c o u s t i c P r o b l e m s . A c o u s t i c s , V i b r a -
t i o n s , a n d R o t a t i n g M a c h i n e s ( A S M E D E - V o l . 8 4 - 2 , P a r t B ) , p a g e s 8 8 1 {
9 0 0 , 1 9 9 5 .
2 1 ] W . K . L i u a n d Y . C h e n . W a v e l e t a n d M u l t i p l e S c a l e R e p r o d u c i n g K e r n e l
M e t h o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d s , 2 1 : 9 0 1 {
9 3 1 , 1 9 9 5 .
2 2 ] W . K . L i u , Y . C h e n , C . T . C h a n g , a n d T . B e l y t s c h k o . A d v a n c e s i n M u l t i p l e
S c a l e K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s . C o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s , 1 8 ( 2 ) : 7 3 { 1 1 1 ,
1 9 9 6 .
2 3 ] W . K . L i u , Y . C h e n , S . J u n , J . S . C h e n , T . B e l y t s c h k o , C . P a n , R . A . U r a s ,
a n d C . T . C h a n g . O v e r v i e w a n d A p p l i c a t i o n s o f t h e R e p r o d u c i n g K e r -
n e l P a r t i c l e M e t h o d s . A r c h i v e s o f C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g ;
S t a t e o f t h e a r t r e v i e w s , 3 : 3 { 8 0 , 1 9 9 6 .
3 7
-
8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu
38/38
2 4 ] W . K . L i u , Y . C h e n , R . A . U r a s , a n d C . T . C h a n g . G e n e r a l i z e d M u l t i p l e
S c a l e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d
M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 9 1 { 1 5 8 , 1 9 9 6 .
2 5 ] W . K . L i u , S . J u n , S . L i , J . A d e e , a n d T . B e l y t s c h k o . R e p r o d u c i n g K e r -
n e l P a r t i c l e M e t h o d s f o r S t r u c t u r a l D y n a m i c s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r
N u m e r i c a l M e t h o d s f o r E n g i n e e r i n g , 3 8 : 1 6 5 5 { 1 6 7 9 , 1 9 9 5 .
2 6 ] W . K . L i u , S . J u n , D . T . S i h l i n g , Y . C h e n , a n d W . H a o . M u l t i r e s o l u t i o n
R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d f o r C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s .
I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f N u m e r i c a l M e t h o d i n F l u i d s , 2 4 : 1 3 9 1 { 1 4 1 5 , 1 9 9 7 .
2 7 ] W . K . L i u , S . J u n , a n d Y . F . Z h a n g . R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h -
o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d s , 2 0 : 1 0 8 1 { 1 1 0 6 ,
1 9 9 5 .
2 8 ] W . K . L i u , S . L i , a n d T . B e l y t s c h k o . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g
K e r n e l M e t h o d ( I ) M e t h o d o l o g y a n d C o n v e r g e n c e . C o m p u t e r M e t h o d s i n
A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 4 3 : 1 1 3 { 1 5 4 , 1 9 9 7 .
2 9 ] W . K . L i u a n d C .