Lezione 2 1

Impedenze ed Ammettenze 1/5

• V=Z I. Rappresentazione alternativa I=Y V• Z ed Y sono numeri complessi

Bipolo di impedenza

Z R j X= +↑

Resistenza Reattanza

1Y G j BZ

= = +

Conduttanza Suscettanza

↓

↑

↓

Lezione 2 2

Impedenze ed Ammettenze 2/5

• La resistenza e la reattanza di una impedenza si misurano in ohm

• La conduttanza e la suscettanza si misurano in siemens

• R, X, G, B dipendono dalla pulsazione dalla frequenza di lavoro

Lezione 2 3

Impedenze ed Ammettenze 3/5

• Relazioni fondamentali

2 2 2 2

1 1 ,Y G jBZ R

Rj

XG BX R X R X

== + = =+

= −+ +

→

2 2 2 2

1 1 ,Z R jXY G

Gj

BR XB G B G B

== + = =+

= −+ +

→

Errore gravissimo porre:

XB

RG 1,1

==

Lezione 2 4

Impedenze ed Ammettenze 4/5

• Casi particolari:

– Resistore R=R, X=0 , G=G , B=0

– Induttore R=0, X= L, G=0 , B=- 1/( L)

– Condensatore R=0, X=-1/( C) G=0 , B= Cω

ω ω

ω

Lezione 2 5

Impedenze ed Ammettenze 5/5

• Alcune definizioni:

– R=0 o G=0 (bipolo puramente reattivo)– X=0 o B=0 (bipolo puramente resistivo)– X>0 o B<0 (bipolo induttivo)– X<0 o B>0 (bipolo capacitivo)

Proprietà delle reti passive: 0 0R G≥ ≥

Lezione 2 6

Esempio 1/2• Rete in regime sinusoidale nel dominio del

tempo

2ω =

Lezione 2 7

Esempio 2/2• Rete in regime sinusoidale nel dominio dei

fasori 2ω =Impedenze:

Resistore di 1ohm

Condensatore di 1 farad

Resistore di 2 ohm

Induttore di 1 henry

Condensatore di 2 farad

1→ Ω1 1

2 1 2j

j→ = − Ω

×2→ Ω

1 12 2 4

jj

→ = − Ω×

2 1 2j j→ × = Ω

Fasore generatore:

cos(2t) 1→

Lezione 2 8

Calcolo simbolico

Lezione 2 9

Descrizione metodo 1/2

• Rete di resistori: Reti nel dominio del tempo formati da generatori e resistori

• Rete di impedenza. Reti nel dominio dei fasori formati da generatori e bipoli di impedenza

Lezione 2 10

Descrizione metodo 2/2

• Tutti i metodi di calcolo sviluppati per le reti di resistori valgono per le reti di impedenza purchèsi sostituisca alla parola resistenza la parola impedenza ed alla parola conduttanza la parola ammettenza

Lezione 2 11

Serie e parallelo di impedenze

• Serie e parallelo di bipoli di impedenze

1 11||1 2 2

jj jj

= = ++

Lezione 2 12

Partitori e Millman 1/3

Partitoretensione

1 11 1 2 2

j jV jj j+

= ⋅ = − +− + +

Lezione 2 13

Partitori e Millman 2/3

Partitorecorrente

2 21jI j

j j= ⋅ =

+ −

Lezione 2 14

Partitori e Millman 3/3

Millman

1 21 2 31 1

1 2

j jj jV j

j j

+ ++ −= =

++ −

Lezione 2 15

( )2 2 1 21 2 1 2

2 1-

j jI jj j

j j

= + − =+ +

↑ ↑

Sovrapposizione effetti

Lezione 2 16

( ) ( )( ) ( )0

2 || 1 1 1 11 2 || 1 1 3 3

j jV j j

j j j−

= ⋅ ⋅ = − ++ − −

( )( ) 1 11|| 2 ||12 6eZ j j j= − = −

RappresentazioneThevenin

⇒

Lezione 2 17

( )( ) 1 11|| 2 ||12 6eZ j j j= − = −

( ) ( )( ) ( )0

2 || 4 21 2 || 5 5

j j jA jj j j

−= ⋅ = − +

+ − −

Rappresentazione Norton

⇒

Lezione 2 18

Fasi del metodo

• Rappresentare la rete nel dominio deifasori

• Calcolare i fasori delle uscite con metodicircuitali

• Passare dai fasori alle grandezzesinusoidali istantanee

Lezione 2 19

Esempio 1/4

• Calcolare v(t) nella rete indicata:

Lezione 2 20

Esempio 2/4• Fase 1: Rappresentare la rete nel dominio

dei fasori

Lezione 2 21

Esempio 3/4• Fase 2: Calcolare V nel dominio dei fasori

– Usare partitore di tensione1 1|| 2 22 4

1 0.27 0.371 11 || 2 22 4

jj j

V jj

j j

+ +

= × = −

+ + +

Lezione 2 22

Esempio 4/4• Passare dai fasori alle grandezze istantanee

( ) ( )( ) ( )

2 2( ) Re Re 0.27 0.37

0.27 cos 2 0.37sin 2 0.458cos(2 53 ,88)

j t j t

o

v t V e j e

t t t

= = − = = + = −

53 ,880.450.27 0.37 8ojeV j −− == 2ω =

Lezione 2 23

Calcolo simbolico

Lezione 2 24

• Il valore efficace non è la somma dei valori efficaci

• Il modulo della somma di due numeri complessi non è lasomma dei moduli

Attenzione

1 2 1 2| | | | | |F F F F F F= + ⇒ ≠ +

Lezione 2 25

Esempio 1/2

• VACe=30 V, VCBe=40 V . Calcolare VABe

Nota: Nel circuito il bipolo indicato con simbolo V indica è un volmetro. La corrente che lo percorre è nulla

2 2ABe CBe ACeV V V= +

Lezione 2 26

Esempio 2/2

• V= VAC+ VCB dove VAC e VCB sono in quadratura:

2 2 2 230 40 50ABe ACe CBeV V V V= + = + =

VVV CBeACe 704030 =+=+

Lezione 2 27

Esempi 1/2

• Serie di impedenze reattive

!2|||| =−+ jj0Z j j⇒ = − = ⇒

Lezione 2 28

Esempi 2/2

• Parallelo di impedenze reattive

1 1 0 1 1 2 !j j

Yj j

= + =−

+ =−( )||Z j j⇒ = − =∞=

Lezione 2 29

Dipendenza dalle frequenze 1/2

• Parallelo di un resistore con un induttore

( )2

2 2

2

2 2

( ) 1|| 11 1 1

,1 1

jZ Z j j jj

R X

ω ω ωω ωω ω ω

ω ωω ω

= = × = = ++ + +

= =+ +

Lezione 2 30

Dipendenza dalle frequenze 2/2

• Alcuni valori:

– Se

– Se

1 / 0.5 , 0.5rad s R Xω= ⇒ = Ω = Ω1 , 1G S B S= = −

2 / 0.8 , 0.4rad s R Xω= ⇒ = Ω = Ω

1 , 0.5G S B S= = −

ωωω

ωω 1,1,

1,

1 22

2

−==+

=+

= BGXR

Lezione 2 31

Applicazione 1/5

• Calcolare v(t) a regime con il metodosimbolico

( ) ( )

( ) ( )

1

2

100cos 10001000

100sin 1000

e t t

e t tω

=

=

= −

Lezione 2 32

Applicazione 2/5

• Fase 1:

– Fasori associati ai generatori

( )( )

1 1

2 2

( ) 100cos 1000 100,

( ) 100sin 1000 100( ) 100

e t t E

e t t E j j

= ⇒ =

= − ⇒ = − − =

1000ω =

Lezione 2 33

Applicazione 3/5

• Fase 1:

– Impedenze associate ai bipoli3

6

10 10, 10 10 1000 10 10150 20

50 1000 10

mH j j

F jj

µ

−

−

Ω⇒ ⇒ × × =

⇒ =−× ×

Lezione 2 34

Applicazione 4/5

• Fase 2: rete nel dominio dei fasori

100 10010 20 10 2001 110 20 10

jj jV j

j j

+−= =

+−

Millman

1

2

100100

EE j==

Lezione 2 35

Applicazione 5/5

• Fase 3: passaggio dai fasori allegrandezze istantanee

( )1000( ) Re[ ] 200sin 1000 [ ]j tv t V e t V= = −

200V j=1000ω =

Lezione 2 36

Calcolo simbolico

Lezione 2 37

Amplificatori operazionali

• Gli amplificatori operazionali hanno neldominio dei fasori le stesse relazioni costitutiveche si hanno nel dominio del tempo. Mantengonoquindi lo stesso simbolo

Dominio del tempo:( ) 0, ( ) 0( ) ( ) 0

i t i tv t v t− +

− +

= =− =

Dominio dei fasori: 0, 00

I IV V− +

− +

= =− =

Lezione 2 38

Trasformatori ideali

• I trasformatori ideali hanno nel dominio deifasori le stesse relazioni costitutive che si hannonel dominio del tempo. Mantengono quindi lo stesso simbolo

Dominio del tempo:1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

v t k v tk i t i t

==−

Dominio dei fasori: 1 2

1 2

V kVkI I==−

21

11 21

Lezione 2 39

Esempio con amplificatore 1/5

• Calcolo di rete con amplificatoreoperazionale

Rete nel dominio del tempo

( ) 100cos(5 )e t t=

5ω =

uv ( ) ?t =d

00

v 0

ii−

+

===

A REGIME

Lezione 2 40

Esempio con amplificatore 2/5

• Fasori associati ai generatori

( )( ) 100cos 5 100e t t E= → =

• Impedenze in gioco5ω =

1 1,1 5 1 5, 2 5 2 10H j j H j jΩ→ → × = → × =

Lezione 2 41

Esempio con amplificatore 3/5

Rete nel dominio dei fasori

?uV =d

00

V 0

II−

+

===

Lezione 2 42

Esempio con amplificatore 4/5

• Calcolo della rete nel dominio dei fasori:– Imporre con Millman l’annullarsi della tensione

differenziale1000 0 196.15 19.24

1 5 1 10u

d uVV V j

j j= ⇒ + = ⇒ = − −

+ +

5ω =

Lezione 2 43

Esempio con amplificatore 5/5

( ) ( )5( ) Re 196.15cos 5 19.24sin 5j tu uv t V e t t = = − +

• Passare dai fasori alle grandezzeistantanee

Lezione 2 44

Esempio con trasformatore 1/4

• Calcolo di rete con trasformatore ideale

Rete nel dominio del tempo. Calcolare i(t) a

regime

Lezione 2 45

Esempio con trasformatore 2/3

( )2ω =

( )cos 2 1t →11 0.52 1

F jj

→ = −⋅

1 1, 1 2 1 2H j jΩ→ → ⋅ =

1 11 2I I I IK

= ⇒ =

Rete nel dominio dei fasori

Circuito equivalente

Lezione 2 46

Esempio con trasformatore 3/4• Calcolo uscita mediante l’impedenza

totale ed un partitore di corrente

( ) ( )( )

1

0.512 2 0.104 0.0551 0.5 || 8 0.5 8

jI I j

j j j j−

= = = − −+ − − +

⇑corrente totale

⇑fattore di partizione

Lezione 2 47

Esempio con trasformatore 4/4

( ) [ ]( ) 0.118cos 2 151 .9oi t t A= −

0.118 151 .9oI I= ⟨ = −

Modulo e fase della uscita

Uscita istantanea

12 0.104 0.055I I j= = − −

Lezione 2 48

Presenza di generatori pilotati1/5

• Nel dominio dei fasori, le relazionicostitutive dei generatori pilotati siottengono a partire da quelle che si hannonel dominio del tempo e mantengono lo stesso simbolo.

• Esempio:

ˆˆ( ) 5 ( ) 5e t v t E V= ⇒ =

Lezione 2 49

Presenza di generatori pilotati2/5

• Calcolo di rete con generatore pilotato– Ingresso ed uscita: ( ) 10sin( ). ( ) ?a a t t v t= = =

dominio del tempo⇐

dominio dei fasori⇐

Lezione 2 50

Presenza di generatori pilotati3/5

• Calcolo dell’uscita V e del pilota V2 con Millman

2 2

2

2 2101 0.5 1 0.5

1 1 1 11 0.5 1 0.5

V VVjj jV V

j j j

− − −− −= =

+ +− − −

Lezione 2 51

Presenza di generatori pilotati4/5

( ) 5.06cos( ) 4.24sin( )v t t t= − +

• Calcolo dell’uscita V con la soluzione del sistema: 5.06 4.24V j= − −

• Uscita v(t) nel dominio del tempo:

Lezione 2 52

Presenza di generatori pilotati 5/5

Metodo alternativo: Metodo dei nodi

2

2 2 2

10 0 11

( 2 ) 0 21 0.5

V VVj nodoj

V V V V nodoj

− + + = − − − − + = −

5.06 4.24V j= − −