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Iluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio Víctor Neumann-Lara de Teoría de Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones, 2013 martes 12 de marzo de 2013

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Iluminando galerías de arte en 3D

Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia

XVIII Coloquio Víctor Neumann-Lara de Teoría de Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones, 2013

martes 12 de marzo de 2013

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Problema de la galería de arte

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

martes 12 de marzo de 2013

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Problema de la galería de arte

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

martes 12 de marzo de 2013

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Problema de la galería de arte

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

martes 12 de marzo de 2013

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Problema de la galería de arte

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

martes 12 de marzo de 2013

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3�

Problema de la galería de arte

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte?

martes 12 de marzo de 2013

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Iluminando poliedros¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para

iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D?

martes 12 de marzo de 2013

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Iluminando poliedros

¡¡No siempre se puede con vértices, y a veces puntos son necesarios!!

ω(n)

¿Cuántos focos son suficientes y a veces necesarios para iluminar el interior de una galería de arte, en 3-D?

martes 12 de marzo de 2013

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Los vértices no son suficientes

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Los vértices no son suficientes

martes 12 de marzo de 2013

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Los vértices no son suficientes

martes 12 de marzo de 2013

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Los vértices no son suficientes

martes 12 de marzo de 2013

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Los vértices no son suficientes

martes 12 de marzo de 2013

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Los vértices no son suficientes

martes 12 de marzo de 2013

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¡¡Mejor lámparas ahorradoras!!

(lámparas-arista)

martes 12 de marzo de 2013

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¡¡Mejor lámparas ahorradoras!!

(lámparas-arista)

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.

m−O(1)m

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.

m−O(1)m

En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando lámparas-arista, concm c < 1

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Es fácil probar una cota superior de lámparas-arista, donde es el número de aristas.

m−O(1)m

En 1998 Jorge se preguntó si era posible iluminar un poliedro usando lámparas-arista, concm c < 1

Por fin, pudimos contestar que sí es posible...

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

E1

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve

al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

E1

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve

al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

E1

Usamos: |E1| +34(m− |E1|) =

3m + |E1|4

lámparas

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vértices

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,

contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .

MM

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,

contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .

MM

(Edmonds-Gallai) Si es un emparajemiento maximal de , entonces existe un subconjunto de vértices con las propiedades siguientes:

MU

G

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesUn cubrimiento mínimo con aristas de los vértices,

contiene un emparejamiento maximal y una arista por cada vértice que no cubre .

MM

(Edmonds-Gallai) Si es un emparajemiento maximal de , entonces existe un subconjunto de vértices con las propiedades siguientes:

- tiene un emparejamiento perfecto de la componenetes pares de .- tiene un emparejamiento casi perfecto de las componentes impares de .- empareja a todos los vértices de U con vértices en componentes impares de .

M

M

M

M

UG

G[V \ U ]

G[V \ U ]

G[V \ U ]martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vértices

El -esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa.

1

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vértices

El -esqueleto de un poliedro será una gráfica en la que toda componente es 3-conexa.

¡Veamos qué podemos hacer para gráficas 3-conexas!

1

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vértices

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto

de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.

U = ∅ MG

�|V |2

�|V |2

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto

de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.

Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de .

U = ∅ MG

�|V |2

�|V |2

G

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesSi entonces es un emparejamiento casi perfecto

de con aristas, y con una más obtenemos un cubrimiento con aristas.

Pero queremos hacer las cuentas en términos del número de aristas de .

es 3-conexa así que tiene grado mínimo 3, por lo que tenemos , así que nuestro cubrimiento tiene a

lo más aristas.

U = ∅ MG

�|V |2

�|V |2

G

Gm ≥ 3|V |/2

(m + 1)/3

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Sean las aristas con al menos un extremo en .

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

Ei G

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Sean las aristas con al menos un extremo en .

Tenemos .

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

Ei G

|Ei| ≥ 3(|Vi| + 1)/2

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Tenemos un emparejamiento perfecto acá

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Tenemos un emparejamiento perfecto acáEntonces cubrimos sus vértices con la tercera parte de aristas

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Acá tenemos uno casi perfecto

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Acá tenemos uno casi perfecto

Para el vértice sin emparejar agregamos una arista más (¡si es adyacente a uno en mejor!).

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

U

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Haciendo cuentas, ¡no usamos más de la tercera parte de las aristas!

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Haciendo cuentas, ¡no usamos más de la tercera parte de las aristas!

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

�m + 13

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Si G no es conexa, podemos llegar a que en el peor caso usaríamos aristas.

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

3m/8

martes 12 de marzo de 2013

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Cubriendo los vérticesU

Componentes pares Componentes impares

Ahora tenemos iluminado a cada punto del poliedro que ve algún vértice. ¡Veamos qué hacer con el resto!

G1 G2 Gj Gj+1 Gk−1 Gk

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

Arista derechamartes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

Arista izquierdamartes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

Arista techo

Interior

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Las cuatro clases

x

y

z

Arista piso

Interior

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

Qa

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

Qa

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

Qa

martes 12 de marzo de 2013

Page 64: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio

Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas izquierdas (igual derechas)

x

y

Qa

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

Cortina

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

Page 77: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio

Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

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Si no ves un vértice, no puedes ver sólo aristas techo (igual Piso)

x

y

z

martes 12 de marzo de 2013

Page 79: Iluminando galerías de arte en 3Dxamanek.izt.uam.mx/coloquio/2013/Platicas/JavierCano.pdfIluminando galerías de arte en 3D Javier Cano, Csaba D. Tóth and Jorge Urrutia XVIII Coloquio

¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

E1

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve

al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

E1

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

La estrategia:

Primero, encontramos un conjunto de aristas que cubra todos los vértices

Después, partimos el resto de aristas en 4 clases, tales que cualquier punto del poliedro que no vea ningún vértice ve

al menos 2 aristas en clases distintas. Tomamos las tres clases más pequeñas.

E1

Usamos: |E1| +34(m− |E1|) =

3m + |E1|4

lámparas

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

martes 12 de marzo de 2013

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.27m/32

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.

Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.

27m/32

5m/61

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.

Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.

No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro...

27m/32

5m/61

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¿Cuántas lámparas-arista son suficientes para iluminar un poliedro?

Podemos iluminar el interior de cualquier poliedro usando más o menos lámparas aristas.

Si el -esqueleto fuera conexo, con lámparas arista sería suficiente.

No hacemos ninguna suposición sobre el género del poliedro...

27m/32

5m/61

Sin embargo, la cota sigue bastante holgada, la mejor cota inferior la da un poliedro que necesita lámparas arista.�m

6�

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