Cjelobrojno linearno programiranje (integer linear programming ILP)

Mješovito cjelobrojno linearno programiranje (mixed integer linear programming MILP)

Mašinski fakultet SarajevoTehnike inžinjerske optimizacije2010/2011

Mr.sc. Bajrić Hadis

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Linearno programiranjeMax 3x + 2y

subject to4x + 2y ≤ 16x + 2y ≤ 8x + y ≤ 5

x ≥ 0y ≥ 0

• Umjetnik pravi dvije vrste slika

• Slika 1 se prodaje po cijeni od $3, a slika 2 po cijeni od $2

• Slika 1 zahtijeva 4 količinske jedinice plave, 1jedinicu zelene i 1 jedinicu crvene boje

• Slika 2 zahtijeva 2 jedinice plave, 2 zelene i 1 crvene• Umjetnik ima na raspolaganju 16 količinskih jedinica

plave, 8 zelene i 5 crvene.• Koliko napraviti čega da se maksimizira profit?

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Grafičko rješenje Max 3x + 2y

subject to4x + 2y ≤ 16x + 2y ≤ 8x + y ≤ 5

x ≥ 0y ≥ 0 2

0

4

6

8

2 4 6 8

Optimalno rješenje: x=3, y=2

Profit = 9 + 4 = 13

Profit = 6

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Modifikacija ograničenja

Max 3x + 2ysubject to

4x + 2y ≤ 15x + 2y ≤ 8x + y ≤ 5

x ≥ 0y ≥ 0

• Šta ako umjetnik ima na raspolaganju 15 količinskih jedinica plave boje a ne 16?

2

0

4

6

8

2 4 6 8

Optimalno rješenje: x=2,5, y=2,5

Profit = 7.5 + 5 = 12.5

Problem!Pola slike?

Profit = 6

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Cjelobrojno (linearno) programiranje (ILP)

Max 3x + 2ysubject to

4x + 2y ≤ 15x + 2y ≤ 8x + y ≤ 5

x ≥ 0, integery ≥ 0, integer

2

0

4

6

8

2 4 6 8

Optimalno LP rješenje: x=2.5,

y=2.5 (profit = 12.5)

Optimalno ILP rješenje: x=2,

y=3 (profit = 12)

3

1

1 3

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Mješovito cjelobrojno (linearno) programiranje (MILP)

Max 3x + 2ysubject to

4x + 2y ≤ 15x + 2y ≤ 8x + y ≤ 5

x ≥ 0y ≥ 0, integer

2

0

4

6

8

2 4 6 8

Optimalno LP rješenje: x=2.5,

y=2.5 (profit = 12.5)

Optimalno ILP rješenje: x=2,

y=3 (profit = 12)

Optimalno MILP rješenje: x=2.75,

y=2 (profit = 12.25)

• Šta ako su neke promjenjive cjelobrojne a druge nisu?

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Primjer: LP vs ILPLanac restorana želi proširiti svoju djelatnost otvarajući nove kapacitete.Preduzeće ima dva tipa restorana, fast food i klasičan tip. Da bi se otvoriojedan novi restoran tipa fast food, potrebno je $100000 i 5 novih radnika,a očekivani je godišnji prihod $200000. Da bi se otvorio jedan novirestoran klasičnog tipa, potrebno je $150000 i 15 novih radnika, aočekivani je godišnji prihod $500000. Preduzeće ima na raspolaganju $2400 000 kapitala. Strategija poslovanja zahtijeva da se ne uzima više od210 novih radnika godišnje i da omjer fast food restorana i klasičnihrestorana bude 2:1. Također, određeni zakoni zahtijevaju da broj novihrestorana ne bude veći od 20.Koliko fast food restorana a koliko restorana klasičnog tipa da preduzećeotvori kako bi osiguralo maksimalni očekivani godišnji prihod.

Formirat LP model i riješiti zadatak softveromFormirati ILP model i riješiti zadatak softveromKoliki je očekivani profit kod LP modela a koliki je ILP?

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Primjer: LP model

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Primjer: ILP model

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

Rješenje: LP vs ILP

LP ILPvs

Tehnike inžinjerske optimizacije 2007/2008 Bajrić Hadis

LP vs ILP

• Slučaj gdje LP ima rješenja a ILP nema

x1

x2

Prostor dozvoljenih rješenja