Cos' è il sillogismo ?

da syn, "insieme", e logismòs, "calcolo" : ragionamento concatenato.

Tutti gli uomini (M) sono mortali (A) Socrate (B) è un uomo (M) Socrate (B) è mortale (A)

Diagramma di Eulero-Venn

Termine medio

Il termine medio è la chiave del sillogismo:(PM) Tutti gli uomini sono mortali

(pm) Socrate è un uomo termine medio: uomo

(C) Dunque Socrate è mortale

Come si riconosce? è quello ripetuto in PM e pm

M è la chiave perchè

è contenuto in A

e contiene B

Diagramma di Eulero-Venn

3 Tipi di sillogismo

Tre tipi di Sillogismo: categorico (il più noto), ipotetico e disgiuntivo.

1. Categorico: le affermazioni sono categoriche, assolute, non condizionate, si esclude il dubbio.

2. Ipotetico: la Premessa maggiore è un'ipotesi

3. Disgiuntivo: la premessa maggiore è una disgiunzione

1. Sillogismo Categorico

Le affermazioni sono categoriche, assolute, non condizionate, si esclude il dubbio

(PM) Tutti gli uomini sono mortali (pm) Tutti i greci sono uomini

→ (C) Dunque tutti i greci sono mortali

(PM) Ogni animale è mortale (pm) Ogni uomo è animale

→ (C) Dunque ogni uomo è mortale

(PM)Tutte le trote sono pesci (pm) Qualche animale non è un pesce

→ ( C) Qualche animale non è una trota

2. Sillogismo Ipotetico

Il sillogismo ipotetico si fonda su un'ipotesi:

Se piove (p) prendo l'ombrello (q) Non prendo l'ombrello (¬ q)

→ Quindi non piove (¬ p)

[(p → q) (¬ q)] → (¬ p) ∧ in linguaggio formale, dove '→' significa derivazione, conseguenza logica (implicazione materiale) e '¬' è il segno della negazione.

L'ipotesi è p

3. Sillogismo disgiuntivo

ll sillogismo disgiuntivo è una regola d'inferenza che ha come PM una disgiunzione (inclusiva od esclusiva)dunque, se un termine è falso, l'altro è sicuramente vero.

Esempio

Oggi vado a spasso o studio.(p V q)

Ma non studio.(¬q)

Dunque, oggi vado a spasso.(p )

Le forme delle proposizioni

Le proposizioni che compongono un sillogismo categorico possono essere di forma diversa:

universali affermative ("Tutti gli S sono P") A particolari affermative ("Qualche S è P"), I universali negative ("Nessun S è P"), E particolari negative ("Qualche S non è P"). O

Come si vede, ad ogni forma corrisponde una lettere, la prima e la seconda vocale dei verbi latini affirmo e nego

Universali affermative (A)

1. Universale affermativa: “tutti gli S sono P”

L’enunciato afferma che ogni elemento che ha la proprietà S ha anche la proprietà P. Es. Tutti i greci sono europei.

Dandone una rappresentazione grafica, col diagramma di Eulero-Venn:

S

P

In logica dei predicati:

∀x∈ S | x∈ P

In teoria degli insiemi: S P

Particolari affermative (I)

2. Particolare affermativa: “qualche S è P”

L’enunciato afferma che solo qualche elemento che ha la proprietà S ha anche la proprietà P. Es: Qualche greco è calvo

Dandone una rappresentazione grafica, col diagramma di Eulero-Venn:

In logica dei predicati:∃x A| x B∈ ∈

A B

In teoria degli insiemi:

Universali negative (E)

3. Universale negativa: “nessun S è P”

L’enunciato afferma che nessun elemento che ha la proprietà S ha la proprietà P. Es. Nessun greco è polacco

Dandone una rappresentazione grafica, col diagramma di Eulero-Venn:

S P In logica dei predicati:

∀x S | x P∈

In teoria degli insiemi: P Q =

Particolari Negative (O)

4. Particolare negativa: “qualche S non è P”

L’enunciato afferma che qualche elemento che ha la proprietà S non ha la proprietà P. Es.Qualche greco non è giovane.

In logica dei predicati:

In teoria degli insiemi: P – Q

∃ x S∈ | x P

Le proposizioni del sillogismo

Forma Esempio Teoria degli insiemi Logica dei predicati

Universale

affermativa ATutti gli S sono P S P

∀x∈ S | x∈ P

I Particolare

Affermativa IAlcuni S sono P S P ∃x S| x P∈ ∈

E Universale

Negativa ENessun S è P P S = ∀x S | x P∈

O Particolare

Negativa OAlcuni S non sono P S - P

∃ x S | x ∈ P

Tav. 1

I termini del sillogismo: S, M e P

(PM) Tutti gli uomini sono mortali predicato (P) : mortale

(pm) Socrate è un uomo termine medio (M): uomo

(C) Dunque Socrate è mortale Soggetto (S): Socrate

Le due premesse hanno sempre un termine in comune e la conclusione lega sempre il soggetto della premessa minore (la seconda) al predicato della premessa maggiore (la prima)

Definizione

Unn sillogismo è una inferenza costituita da due premesse e una conclusione le quali sono tutte e tre proposizioni di uno dei quattro tipi

evidenziati in precedenza ( A I E O) . Le due premesse devono avere una proprietà comune,

il termine medio (M) e nella conclusione figurano, nell’ordine, le altre due

proprietà presenti nella premessa minore, il Soggetto (S) e nella

premessa maggiore, il predicato (P).

Figure e modi del sillogismo

I sillogismi categorici si caratterizzano in base a due aspetti : le figure e i modi.

Le differenti disposizioni dei termini di un sillogismo danno luogo alle diverse figure di sillogismo

Le differenti combinazioni delle forme delle proposizioni di un sillogismo danno luogo ai modi del sillogismo

Figure

FIGURAI

FIGURAII

FIGURAIII

FIGURAIV

PremessaMaggiore

MP PM MP PM

Premessa Minore

SM SM MS MS

I termini che abbiamo definito possono essere disposti in modo diverso nelle premesse e in base a ciò si distinguono le figure di un sillogismo.

Aristotele ne individuò tre, i medievali ne aggiunsero una quarta

Tav. 2

I Modi

Si dice modo di un sillogismo la successione (nell’ordine) dei tre tipi di enunciati che lo compongono (premessa maggiore, premessa minore e conclusione). Ad esempio il seguente sillogismo ha modo EIO:

Nessun gorilla è un gatto (Universale Negativa) E

Qualche scimmia è un gorilla ( Particolare Affermativa) I

Qualche scimmia non è un gatto ( Particolare Negativa) O

Ed è una prima figura vista la posizione del termine medio “gorilla “ del soggetto scimmia e del predicato gatto : MP-SM

Esempio di classificazione

Ad esempio per classificare il sillogismo

Tutti i gufi sono rapaci (premessa maggiore)

Nessun rapace è una erbivoro (premessa minore)

Nessuna erbivoro è un gufo (conclusione)

Il modo è AEE mentre la figura è la IV poiché nella premessa maggiore troviamo prima il predicato e poi il termine medio (PM) , mentre nella premessa minore si ha prima il termine medio e poi il soggetto (MS) .

Regole

In epoca medioevale la logica aristotelica fu perfezionata. Si introdusse la IV figura e 8 regole fondamentali per riconoscere i sillogismi validi da quelli errati; se anche una sola di queste regole non è rispettata, il sillogismo, inevitabilmente, sarà scorretto.

Infine, i medievali introdussero una curiosa filastrocca che permette di individuare i sillogismo corretti, validi.

8 regole

1. Ci devono essere solo tre termini (soggetto, predicato e termine medio).

2. Il soggetto e il predicato devono essere distribuiti in modo uguale nelle premesse e nella conclusione.

3. Il termine medio non deve mai comparire nella conclusione.

4. Il termine medio deve essere distribuito in almeno una delle due premesse.

5. Da due premesse negative non segue alcuna conclusione.

6. Da due premesse affermative segue una conclusione affermativa.

7. Da due premesse particolari non segue alcuna conclusione.

8. Se una delle due premesse è negativa, la conclusione dovrà essere negativa; se una delle due premesse è particolare, la conclusione dovrà essere particolare.

La filastrocca

Grazie a queste regole solo 19 sono i sillogismi risolubili, ovvero validi! In particolare i logici medioevali inventarono un espediente per ricordare i 19 modi dei sillogismi corretti. L’espediente trovato fu quello di dare un nome, ovviamente in latino, ad ogni modo valido del sillogismo, affinché, attraverso di esso, si potesse identificare quali fossero i tre enunciati componenti. I nomi dovevano quindi contenere le vocali dei modi validi per ognuna delle 4 figure.

Costruirono così la seguente “filastrocca latina”.

Filastrocca latina

I figura MP-SM BARBARA CELARENT DARII FERIO

II figura PM-SM CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO

III figura MP MS

DARAPTI DISAMIS DATISI FELAPTON BOCARDO FERISON

IV figura PM MS

BRAMANTIP CAMENES DIMARIS FESAPO FRESISON

Come si usa la filastrocca per risolvere un sillogismo ?

PM: Nessun uomo è un vivente con quattro zampe E

Pm: Alcuni viventi con quattro zampe sono animali I

C : ?

Forma: PM – MS --> IV figura. Modo: EI

In tabella, alla IV fig, la parola che contiene E ed I come prime due vocali è fresison. Quindi la conclusione deve essere un enunciato di tipo O, ovvero particolare negativo, il cui soggetto è “animali” e il cui predicato è “uomini”. La conclusione pertanto è:

C: Alcuni animali non sono uomini.

Quanti sono i possibili sillogismi

Ogni sillogismo e' composto di 3 giudizi (M-S-P) ed i giudizi sono di 4 tipi (forme) diversi (A, E, I, O), per 4 figure possibili (I, II, III, IV)

Quindi posso fare tanti sillogismi quante sono le disposizioni con ripetizione di 4 oggetti presi 3 a 3,

D'4;3 = 4ⁿ = 64, il tutto moltiplicato per 4 figure possibili

→ 64. 4 = 256

Dunque ci sono 256 possibili tipi diversi di sillogismo di cui soltanto i 19 che abbiamo visto sono corretti.

Verità e validità di un sillogismo

Un sillogismo è considerato valido se rispetta le regole di derivazione, cioè se è formalmente corretto. La validità di un sillogismo non dipende dalla verità delle affermazioni che lo compongono. Sicché il sillogismo:

Ogni animale vola

L 'asino è un animale

Dunque l'asino vola

è valido, anche se le proposizioni che lo compongono non sono vere, e la conclusione scaturisce correttamente da una Premessa Maggiore palesemente falsa.

Ragion sufficiente

Attenzione: Condizione necessaria e sufficiente della validità di un sillogismo è il rispetto delle regole formali, non la verità delle singole proposizioni, la quale, da sola, non è condizione sufficiente. Ad es.

Gli dei sono immortali

Gli uomini non sono dei

Dunque gli uomini non sono immortali.

Ogni affermazione, in sé considerata, è vera, ma viene derivata in modo sbagliato: la PM infatti dice che tutti gli dei sono immortali, ma non che tutti gli immortali sono dei. Data la premessa, io non posso escludere che ci sia qualche immortale che non sia un dio, tra cui l'uomo.

Questo sillogismo è vero, ma non è valido. Si provi a verificarlo con Eulero-Venn

Trasformazioni nella logica dei predicati

Un sillogismo è dunque fatto da tre proposizioni: S, M e P

Tutti gli uomini sono mortali è fatta da “x è un uomo” (M) ed “x è mortale” (P)

Socrate è un uomo è fatta da “x è Socrate” (S) e da M ( “x è un uomo”),

Socrate è mortale è fatta da “x è Socrate” (S) ed “x è mortale” (P)

Quindi: MP -SM – SP

Sillogismo di I figura (vedi Tav. 2)

Trasformazioni nella logica dei predicati (Modus Barbara, Figura I)

Tutti gli uomini (M) sono mortali (P)

I greci (S) sono uomini (M)

I greci (S) sono mortali (P) (Modus Barbara, Figura I)

∀x [(Mx → Px) Ʌ (Sx → Mx)] → (Sx → Px) (forma 1)

Si legge:

per ogni x, [(se x è M allora x è P) and (se x è S allora x è M)]

allora (se x è S allora x è P)

Trasformazioni nella logica dei predicati

Ricordando che M → P = ¬ (M Ʌ ¬P) si ha che

(forma 2)

Trasformazioni nella logica dei predicati

Sia la forma 1 che la 2 sono equivalenti, e verificabili mediante il calcolo verofunzionale col consueto metodo delle tavole di verità, per cui il valore di verità dell'intera forma proposizionale deve essere, se il sillogismo è valido, sempre VERO.

→ Esercizi. Pagina di wikipedia sul sillogismo.

Come verificare la validità di un sillogismo categorico?

Riassumendo, ci sono 3 metodi

1) Ragionare sul diagramma di Eulero-Venn

2) Applicare il metodo della filastrocca latina

3) Trasformare, con la logica dei predicati, il sillogismo nelle proposizioni atomiche che lo compongono, e poi verificarlo con il calcolo verofunzionale.

Il sillogismo ipotetico

1. Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)Pippi è un gatto (pm) → Quindi Pippi ha la coda ( C )

2. Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)Pippi non è un gatto (pm) → Quindi Pippi non ha la coda ( C )

3. Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)Pippi ha la coda (pm) → Quindi Pippi è un gatto ( C )

4. Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)Pippi non ha la coda (pm) → Quindi Pippi non è un gatto ( C )

Il sillogismo ipotetico

Quali sono validi? Il 1° ed il 4°

Si basano sul modus ponens e modus tollens, due forme di ragionamento deduttivo definite da Crisippo, logico stoico del III sec. a.C.

Modus ponendo ponens e

Modus tollendo tollens

Il 2° ed il 3° sono due fallacie dette negazione dell’antecedente (il 2°) e affermazione del conseguente (3°)

Modus ponens e modus tollens

Modus ponens. Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)

Pippi è un gatto (pm) → Quindi Pippi ha la coda ( C )

[(p → q) Ʌ p] → q

Modus tollens Se Pippi è un gatto allora ha la coda (PM)Pippi non ha la coda (pm) → Quindi Pippi non è un gatto ( C )

[(p → q) Ʌ ¬q] → ¬p

Fallacie

Negazione dell'antecedente

2. Se Pippi è un gatto (p) allora ha la coda (q)Pippi non è un gatto (¬p) → Quindi Pippi non ha la coda ( ¬q )

Affermazione del conseguente

3. Se Pippi è un gatto (p) allora ha la coda (q)Pippi ha la coda (q) → Quindi Pippi è un gatto ( p )

[(p → q) Ʌ q] → p

Schema risolutivo per il sillogismo ipotetico

Modus ponendoponens

Modus tollendotollens

Negazionedell’antecedente

AffermazioneDelconseguente

(p → q) Ʌ

p_____________ → q

(p → q) Ʌ

¬ q ______________ → ¬ p

(p → q) Ʌ

¬ p _______________→ ¬ q

(p → q) Ʌ

q ____________→ p

Sillogismo disgiuntivo

ll sillogismo disgiuntivo (detto anche modus tollendo ponens) è una regola d'inferenza che ha come PM una disgiunzione (inclusiva od esclusiva)dunque, se un termine è falso, l'altro è sicuramente vero.

[(p V q) Ʌ ¬q] → p

Oggi vado al cinema o vado in piscina.(p V q)

Ma non vado in piscina.(¬q)

Dunque, oggi vado al cinema.(p )

Se si danno due ipotesi disgiunte P o Q, e si nega una delle due ipotesi, per la regola della disgiunzione si potrà inferire Q. La disgiunzione è falsa solo se entrambi gli enunciati sono falsi. Essendo la disgiunzione data per vera come premessa almeno uno dei due termini dev'essere

vero.

Simboli

∃ ∀ Ʌ ¬ ∈