Il residuo nella predizione 1. D EFINIZIONE DI RESIDUO Il residuo è la differenza fra il punteggio...
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Il residuo nella predizione1
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DEFINIZIONE DI RESIDUO
Il residuo è la differenza fra il punteggio predetto e il punteggio osservato
Residuo= Osservato – Predetto
Graficamente, è la distanza tra il punto indicante la misurazione realmente effettuata e il suo corrispondente appartenente alla retta di regressione.
2
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iii amXY Variabile dipendente, spiegata, valoreosservato
inclinazione
variabile indipendente
intercetta
errore
amXY ii ˆStima di y, valore predetto
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abilità votovoto_pre
detto residuopredizi
one
8 5 5,15 -0,15 -1,30
9 5 5,78 -0,78 -0,82
9 6 5,78 0,22 -0,82
10 7 6,4 0,6 -0,35
11 7 7,03 -0,03 0,12
12 8 7,66 0,34 0,59
13 9 8,29 0,71 1,06
14 8 8,91 -0,91 1,53
somma 86 55 55 0 0
media 10,75 6,875 6,875 0 0
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PREDIZIONE CON PUNTI ZETA
xyxiyi rzz ˆẑyi = zeta predettozxi = zeta predittorerxy = coefficiente di correlazione 5
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Predizione usando i punti standardizzati
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soggetti
Test R Test T Test R
zeta
test T zeta
p1 37 50 1,33 0,45
p2 39 75 1,49 1,58
p3 9 24 -0,86 -0,72
p4 8 11 -0,94 -1,31
p5 6 25 -1,09 -0,68
p6 39 78 1,49 1,71
p7 18 24 -0,16 -0,72
p8 16 20 -0,31 -0,90
p9 8 40 -0,94 0,00
p10 20 53 0,00 0,59
somma 200 400 0,00 0,00
dev stan 12,79 22,17 1,00 1,00
varianza 163,60 491,60 1,00 1,00
media 20 40 0,00 0,00
PREDIZIONE DEL PUNTEGGIO OTTENUTO AL TEST T TRAMITE IL PUNTEGGIO AL TEST R CON I PUNTI Z.
PRIMO PASSAGGIO:TRASFORMAZIONE DEI PUNTEGGI IN PUNTI Z.
7
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Sogg. Test R zeta Test T zetaprediz di
T
p1 1,33 0,45 1,13
p2 1,49 1,58 1,26
p3 -0,86 -0,72 -0,73
p4 -0,94 -1,31 -0,79
p5 -1,09 -0,68 -0,93
p6 1,49 1,71 1,26
p7 -0,16 -0,72 -0,13
p8 -0,31 -0,90 -0,26
p9 -0,94 0,00 -0,79
p10 0,00 0,59 0,00
somma 0,00 0,00 0,000
dev stan 1,00 1,00 0,847
varianza 1,00 1,00 0,718
media 0,00 0,00 0,000 8
PREDIZIONE DEL PUNTEGGIO OTTENUTO AL TEST T TRAMITE IL PUNTEGGIO AL TEST R CON I PUNTI Z.
SECONDO PASSAGGIO:CALCOLO DELLA PREDIZIONE DI T CON LA FORMULA:
xyxiyi rzz ˆ
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9
VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTOTEST R ZETA
TEST T ZETA
PRODOTTI ZETA
PREDIZIONE DI T
RESIDUO
P1 1,33 0,45 0,6 1,13 -0,68P2 1,49 1,58 2,34 1,26 0,32
P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 0,01
P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 -0,51
P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 0,25
P6 1,49 1,71 2,55 1,26 0,46
P7 -0,16 -0,72 0,11 -0,13 -0,59
P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 -0,64
P9 -0,94 0 0 -0,79 0,79
P10 0 0,59 0 0 0,59
SOMMA 0 0 8,473 0 0
DEVIAZIONE STD 1 1 0,877 0,847 0,531
VARIANZA 1 1 0,769 0,718 0,282
MEDIA 0 0 0,847 0 0
Correlazione
Varianza spiegata
Varianza residua
Somma = 1
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10
VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTOTEST R ZETA
TEST T ZETA
PRODOTTI ZETA
PREDIZIONE DI T
RESIDUO
P1 1,33 0,45 0,6 1,13 -0,68P2 1,49 1,58 2,34 1,26 0,32
P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 0,01
P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 -0,51
P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 0,25
P6 1,49 1,71 2,55 1,26 0,46
P7 -0,16 -0,72 0,11 -0,13 -0,59
P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 -0,64
P9 -0,94 0 0 -0,79 0,79
P10 0 0,59 0 0 0,59
SOMMA 0 0 8,473 0 0
DEVIAZIONE STD 1 1 0,877 0,847 0,531
VARIANZA 1 1 0,769 0,718 0,282
MEDIA 0 0 0,847 0 0
La varianza spiegata è la varianza dei predetti, cioè la varianza spiegata
dalla regressione.
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VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTOTEST R ZETA
TEST T ZETA
PRODOTTI ZETA
PREDIZIONE DI T
RESIDUO
P1 1,33 0,45 0,6 1,13 -0,68P2 1,49 1,58 2,34 1,26 0,32
P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 0,01
P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 -0,51
P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 0,25
P6 1,49 1,71 2,55 1,26 0,46
P7 -0,16 -0,72 0,11 -0,13 -0,59
P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 -0,64
P9 -0,94 0 0 -0,79 0,79
P10 0 0,59 0 0 0,59
SOMMA 0 0 8,473 0 0
DEVIAZIONE STD 1 1 0,877 0,847 0,531
VARIANZA 1 1 0,769 0,718 0,282MEDIA 0 0 0,847 0 0
La varianza residua (o
varianza dei residui) indica quella parte di varianza non spiegata dalla regressione, (attribuibile all’errore).
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12
VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTOTEST R ZETA
TEST T ZETA
PRODOTTI ZETA
PREDIZIONE DI T
RESIDUO
P1 1,33 0,45 0,6 1,13 -0,68P2 1,49 1,58 2,34 1,26 0,32
P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 0,01
P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 -0,51
P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 0,25
P6 1,49 1,71 2,55 1,26 0,46
P7 -0,16 -0,72 0,11 -0,13 -0,59
P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 -0,64
P9 -0,94 0 0 -0,79 0,79
P10 0 0,59 0 0 0,59
SOMMA 0 0 8,473 0 0
DEVIAZIONE STD 1 1 0,877 0,847 0,531
VARIANZA 1 1 0,769 0,718 0,282MEDIA 0 0 0,847 0 0
La somma della varianza spiegata e della varianza residua è pari alla varianza totale del punteggio predetto.
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13
VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTOTEST R ZETA
TEST T ZETA
PRODOTTI ZETA
PREDIZIONE DI T
RESIDUO
P1 1,33 0,45 0,6 1,13 -0,68P2 1,49 1,58 2,34 1,26 0,32
P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 0,01
P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 -0,51
P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 0,25
P6 1,49 1,71 2,55 1,26 0,46
P7 -0,16 -0,72 0,11 -0,13 -0,59
P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 -0,64
P9 -0,94 0 0 -0,79 0,79
P10 0 0,59 0 0 0,59
SOMMA 0 0 8,473 0 0
DEVIAZIONE STD 1 1 0,877 0,847 0,531
VARIANZA 1 1 0,769 0,718 0,282MEDIA 0 0 0,847 0 0
Correlazione
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Notiamo che…
La varianza spiegata è la varianza dei predetti, cioè la varianza spiegata dalla regressione.
La varianza residua (o varianza dei residui) indica quella parte di varianza non spiegata dalla regressione, (attribuibile all’errore).
La somma della varianza spiegata e della varianza residua è pari alla varianza totale del punteggio predetto.
14
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PROPRIETÀ DELLA REGRESSIONE
I residui hanno media M = 0 La varianza dei predetti è uguale al
coefficiente di determinazione: r2
La deviazione standard dei predetti è uguale al coefficiente di correlazione (in quanto radice quadrata della varianza)
La varianza dei residui è pari al quadrato del coefficiente di alienazione: (1-r2)
Il coefficiente di alienazione può essere definito anche come la radice di questo valore: √(1-r2). In questo caso rappresenterà la deviazione standard dei residui (e non la loro varianza)
La correlazione fra i residui e i predetti è nulla15
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Si può costruire o calcolare l’equazione di regressione usando i punti grezzi, senza passare per i punti standardizzati:
yMˆˆ yyii szyOttengo questa formula applicando la formula per passare dai punti zeta al punteggio grezzo:x = z · s + m dove: s = dev. std.
m = media 16
Per passare dai punti zeta ai punti grezzi
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17
x-y MrMˆ
x
yxyi
x
yi s
sx
s
sy
PREDIZIONE CON MISURE SINTETICHE DI X E Y
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ESEMPIO DI PREDIZIONE CON PUNTI GREZZI
18
SOGGETTI TEST R TEST TPRODOTTI
R · TR2 T2 STIME RESIDUI
P1 37 50 1850 1369 2500 64,97 -14,97P2 39 75 2925 1521 5625 67,91 7,09P3 9 24 216 81 576 23,84 0,16P4 8 11 88 64 121 22,37 -11,37P5 6 25 150 36 625 19,44 5,56P6 39 78 3042 1521 6084 67,91 10,09P7 18 24 432 324 576 37,06 -13,06P8 16 20 320 256 400 34,12 -14,12P9 8 40 320 64 1600 22,37 17,63P10 20 53 1060 400 2809 40,00 13,00
SOMMA 200 400 10403 5636 20916 400 0DEVIAZIONE STD 12,79 22,17 18,79 11,77VARIANZA 163,60 491,60 352,96 138,64MEDIA 20,00 40,00 40,00 0,00COEFF ANGOLARE (m) 1,469
INTERCETTA (a) 10,632CORRELAZIONE 0,847
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RIASSUMENDO DALLA TABELLA
Il soggetto p1 ha avuto punteggio 37 nel test R e 50 nel test T.
Il test R è usato per predire il test T. Per predire il punteggio di p1 si utilizza l’equazione
di regressione:T = R · m + a
se m = 1.469 e a = 10.623 T= 37 ·1.469 +10.623= 64.97
La differenza fra il punteggio osservato e quello predetto è il residuo: 50-64,97 = -14,97
La varianza dei predetti (varianza spiegata) più la varianza dell’errore (varianza residua) è uguale alla varianza della variabile da predire.
19
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Regressione con SPSS...
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Parte seconda Esame dei residui
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I RESIDUI Sono indipendenti dal predittore Costituiscono l’errore di predizione (o di stima)
dell’equazione di regressioneHanno
media uguale a 0 d.s. = sy · √(1-r2
xy) (detta anche errore standard della stima)
Si ipotizza che abbiano una distribuzione normale.
Se sono distribuiti normalmente, possiamo applicare le tavole della curva normale, e stabilire che, per esempio:
tra +- 1,64 errori standardizzati si trova il 90% degli errori di predizione
22
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Perché si esaminano i residui?
L’esame dei residui permette di: testare le capacità del test di predizione, per
poterlo poi usare in situazioni reali, dove non si conosce il punteggio da predire.
Valutare distribuzioni anomale, sbilanciate in una direzione o nell’altra, in alcune zone della distribuzione dei punteggi osservati piuttosto che in altre.
L’esame dei residui è veramente proficuo nella regressione multipla
23
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Va lo ri no tevo li de lla Norma le S tandardNorm(0 ;1 )
-3 -2 -1 0 1 2 30 ,0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
90% ± 1,64 ds
95,45% ± 2 ds
68.26% ± 1 ds
95% ± 1,96 ds
24
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DISTRIBUZIONE IPOTETICA DEI RESIDUI
Il 90 % degli errori di predizione è compreso fra -19,3 e +19,3
Il 68 % degli errori di predizione è compreso fra -11,77 e + 11,77(Il resto è più grande in valori assoluti)
25
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30 90
Rappresentazione grafica della predizione di due punteggi qualsiasi, p. es., 30 e 90, con le frequenze di possibili errori
Asse dei punteggi
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Le curve rappresentano la probabilità di trovare un punteggio predetto corrispondente ad un certo valore diverso dal punteggio osservato, oppure la probabilità che il punteggio reale sia un certo valore (diverso dal punteggio predetto). Per esempio, per quanto riguarda 30, è più probabile trovare punteggi predetti intorno a 30 che valori che si distanziano notevolmente dal valore osservato, ed è più probabile che, se il punteggio predetto è 30, il valore reale sia circa 30.
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Stima e precisione della stima
Il punteggio predetto 30 è vicino a quello osservato, o reale, che non è conosciuto, ma è stimabile: c’è il 90% di probabilità che il valore esatto o osservato si situi entro l’intervallo 30-19.03 e 30+19.03, ossia fra 10.97 e 49.03
Il punteggio predetto 90 è vicino a quello osservato, o reale, che non è conosciuto, ma è stimabile: c’è il 90% di probabilità che il valore esatto o osservato si situi entro l’intervallo 90-19.03 e 90+19.03, ossia fra 70.97 e 119.03
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![Page 28: Il residuo nella predizione 1. D EFINIZIONE DI RESIDUO Il residuo è la differenza fra il punteggio predetto e il punteggio osservato Residuo= Osservato.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062312/5542eb77497959361e8e0e2f/html5/thumbnails/28.jpg)
RIASSUMENDO
La regressione statistica permette di stimare (o predire) il punteggio di un test (o di un’altra misurazione).
Nella predizione del singolo caso non è mai possibile sapere se la predizione è esatta o molto sballata.
Si può quantificare la predizione totale, fatta su tutti i casi (presenti e futuri): la quota di varianza spiegata (r2) è un utile indice per definire la precisione della predizione.
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MECCANISMO DELLA PREDIZIONE O DELLA STIMA
Per ogni individuo, l’equazione della regressione predice un valore di Y, indicato con Ŷ, simile ma non uguale al valore osservato Y
La differenza fra Y e Ŷ è chiamata residuo, o errore
Y sta vicino a Ŷ, con alta probabilità è molto vicino, con bassa probabilità è molto lontano dal valore vero
Questa relazione è definibile con la curva gaussiana, con m = 0 e σ = err. stand. della stima
Perciò, se non si può calcolare il punteggio reale, si può affermare che esso deve trovarsi con il 90 % (o altri livelli) di probabilità entro un certo intervallo calcolabile.
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