EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI “PER QUADRATURA” .
Il problema della quadratura Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole...
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Il problema della quadraturaData una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b],
si vuole valutare l’integrale:
a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nell’intervallo di integrazione
In tutti i metodi di quadratura si effettua una somma di valori della funzione integranda
Un buon metodo di quadratura deve:valutare l’integrale con la maggior precisione possibile sfruttare il minor numero possibile di valori della
funzione integranda
b
a
dxxfI )(
Notazioni Supponiamo di avere una serie di N ascisse equispaziate x1, x2, ... , xN
: x1=a; xN=b h = distanza tra ciascuna coppia di ascisse (b-a) = (N-1)h xk=xk+(k-1)h con k=1,...,N poniamo f(xi)=fi
Formule chiuse: utilizzano nel calcolo i valori di f1 e fN
Formule aperte: non utilizzano nel calcolo uno o entrambi i valori di f1 e fN possono essere utili se il valore di f in uno degli estremi di
integrazione è infinito (purché la singolarità sia integrabile)
x1=a x2 xN=bx
y
xi
fi=f(xi)
h
Regola del trapezioConsiste nell’approssimare l’integrale nell’intervallo
tra xj e xj+1 nel modo seguente:
Se f(x)≥0, tale valore rappresenta l’area del trapezio di basi fj e fj+1 e altezza h
in sostanza, nell’intervallo tra xj e xj+1 la f(x) viene approssimata da un polinomio di primo grado
Il valore dell’integrale calcolato con la regola del trapezio differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h3 per la derivata seconda della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]
La formula del trapezio è esatta per polinomi fino al primo grado
fhOffhdxxfj
j
x
x
jj
3
1
1
2
1
2
1)(
Regola del trapezio estesaUtilizziamo la regola del trapezio N-1 volte negli
intervalli [x1,x2], [x2,x3], ..., [xN-1,xN]:
nel calcolo precedente si è assunto N-1≈N, il che è vero per N grande
La precisione migliora con il quadrato del numero di punti utilizzati per il calcoloraddoppiando i punti l’errore diminuisce di un
fattore 4
fN
abOfffffh
fN
abONfffffh
fhONffhffhffhdxxf
NN
NN
NN
x
x
N
2
3
1321
3
3
1321
313221
2
1
2
1
11
2
1
2
1
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
1
Applicazione della regola del trapezio
Si procede per approssimazioni successive:nella prima iterazione si utilizzano i valori di f(x) negli estremi
di integrazionenella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in
corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente
alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari
1
2
3
4
...
itera
zion
i
Implementazione dell’algoritmo (1)Poniamo b-a=Δ e indichiamo con In l’integrale
calcolato nella n-esima iterazione. Alla prima iterazione si ha:
Alla seconda iterazione avremo:
Alla terza iterazione si avrà:
bfafI
2
1
2
11
222
1
2
1
22
1
2 12 afIbfafafI
4
3
442
1
2
1
4
3
242
1
4
2
3
afafI
bfafafafafI
Implementazione dell’algoritmo (2)Generalizzando il risultato trovato in
precedenza possiamo concludere che:
Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 4.
In generale, la procedura iterativa viene fermata quando:
dove ε è la precisione richiesta per il calcolo
22
12111 2
1222
1n
innnnn iafII
11 nnn III
Esempi (1)Supponiamo di voler calcolare l’integrale
con una precisione ε=10-6. Si ha:
785398.041
11
02
dxx
I
Iterazione (n) In
1 0.75
2 0.775
3 0.782794
4 0.784747
5 0.785235
6 0.785357
7 0.785388
8 0.785396
9 0.785398
10 0.785398
Esempi (2)Supponiamo di voler calcolare l’integrale
con una precisione ε=10-6. Si ha:
693147.02ln12
1
dxx
I
Iterazione (n) In
1 0.75
2 0.708333
3 0.697024
4 0.694122
5 0.693391
6 0.693208
7 0.693162
8 0.693151
9 0.693148
10 0.693147
11 0.693147
Regola di Simpson (1)Consideriamo l’intervallo tra xj-1 e xj+1
Usiamo la seguente notazione:xj-1=xj-h; f(xj-1)=fj-1
f(xj)=fj
xj+1=xj+h; f(xj+1)=fj+1
Nell’intervallo in esame approssimiamo la f(x) con una parabola passante per i tre punti (xj-1,fj-1), (xj,fj), (xj+1,fj+1):
scrivendo l’equazione della parabola in questa forma è automaticamente rispettata la condizione f(xj)=fj
I coefficienti a e b si determinano imponendo le condizioni;f(xj-h)=fj-1
f(xj+h)=fj+1
2)( jjj xxbxxafxf
Regola di Simpson (2)
L’integrale tra xj-1 e xj+1 della f(x) è dato da:xj xj+1xj-1
fj
fj+1
fj-1
h h
x
y
332
2
3
22
32
)(1
1
1
1
bhhfxxb
xxa
xf
dxxxbxxafdxxf
j
hx
hxjjj
x
x
jjj
x
x
j
j
j
j
j
j
Regola di Simpson (3)Calcoliamo quindi il coefficiente b:
Sommando membro a membro le due equazioni si ha:
Sostituendo il valore di b nella formula dell’integrale:
Il valore dell’integrale calcolato con la formula di Simpson differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h5 per la derivata quarta della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]
La formula di Simpson è esatta per polinomi fino al terzo grado
jj
jj
jj
jj
jj
jj
ffbhah
ffbhah
fbhahf
fbhahf
fhxf
fhxf
12
12
12
12
1
1
)(
)(
2
1111
2
2
222
h
fffbfffbh jjj
jjj
)4(511
3
3
1
3
4
3
1
3
22)(
1
1
fhOfffhbhhfdxxf jjjj
x
x
j
j
Formula di Simpson estesa
Dividiamo l’intervallo [a,b] negli (N-1)/2 intervalli:[x1,x3], [x3,x5], ..., [xN-2,xN]
a=x1; b=xN
h=(b-a)/(N-1)Si ha:
4124321)4(
5
12543321
1
3
1
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3
1
12
1
3
1
3
4
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
3
4
3
1)(
NOfffffffhf
N
abO
N
fffhfffhfffhdxxf
NNN
NNN
b
a
xa=x1 x2 x3 x4 x5 xN-2 xN-1 xN=b...
2h 2h 2h
Applicazione della regola di SimpsonL’algoritmo è molto simile a quello usato per la regola del
trapezioAnche in questo caso si procede per approssimazioni successive:
nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente
alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari
nella n-esima iterazione si sfrutta il risultato ottenuto con la regola del trapezio nell’iterazione precedente
1
2
3
4
...
itera
zion
i
Implementazione dell’algoritmo (1)Poniamo ancora b-a=Δ Per la n-esima iterazione poniamo:
Sn = integrale calcolato con la regola di Simpson
Tn = integrale calcolato con la regola del trapezio
Alla prima iterazione si ha:
notare che S1=0 perché nella prima iterazione si considerano solo due punti, mentre per applicare la regola di Simpson ne occorrono tre
bfafT
S
2
1
2
1
0
1
1
Implementazione dell’algoritmo (2)Alla seconda iterazione si ha:
Alla terza iterazione si ha:
222
1
2
1
22
1
2
23
4
23
1
3
1
23
4
3
1
2
12
12
afTbfafafT
afTbfafafS
4
3
442
1
2
1
4
3
242
1
4
4
3
3
4
43
4
43
1
3
1
4
3
3
4
23
2
43
4
3
1
4
2
3
2
3
afafT
bfafafafafT
afafT
bfafafafafS
Implementazione dell’algoritmo (3)Alla n-esima iterazione si avrà:
Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 16.
Come nel caso precedente, la procedura iterativa viene fermata quando:
dove ε è la precisione richiesta per il calcolo
2
2
2
12111
2
12111
21
222
1
21
23
4
23
1
n
n
innnnn
innnnn
iafTT
iafTS
11 nnn SSS
Esempi (1)Supponiamo di voler calcolare l’integrale
con una precisione ε=10-6. Si ha:
785398.041
11
02
dxx
I
Iterazione (n)
Tn Sn
1 0.75 0
2 0.775 0.783333
3 0.782794 0.785392
4 0.784747 0.785398
5 0.785235 0.785398
Esempi (2)Supponiamo di voler calcolare l’integrale
con una precisione ε=10-6. Si ha:
693147.02ln12
1
dxx
I
Iterazione (n)
Tn Sn
1 0.75 0
2 0.708333 0.694444
3 0.697024 0.693254
4 0.694122 0.693155
5 0.693391 0.693148
6 0.693208 0.693147
Calcolo di integrali impropriCasi di integrali impropri estesi ad intervalli finiti:
la funzione integranda ha limite finito in uno degli estremi di integrazione, ma non può essere calcolata (esempio sinx/x per x0)
la funzione ha limite superiore + e/o limite inferiore - la funzione ha una singolarità integrabile in uno dei due estremi
di integrazione (esempio x-1/2 per x 0) la funzione ha una singolarità integrabile in un punto noto
dell’intervallo di integrazione (ci si può ricondurre al caso precedente)
la funzione ha una singolarità integrabile in un punto non noto dell’intervallo di integrazione (questo caso non verrà studiato)
In tutti i casi in esame, per poter effettuare il calcolo, è necessario che l’integrale esista e sia finitose l’integrale non esiste oppure è infinito, qualunque procedura di
calcolo sarà priva di senso e darà risultati errati!Studieremo il calcolo di integrali impropri con una singolarità
in corrispondenza di uno degli estremi di integrazione (o di entrambi) in tal caso non è possibile usare una formula chiusa, perché
implicherebbe il calcolo del valore della funzione integranda in corrispondenza della singolarità
Regola del punto medioLa regola del punto medio consiste nell’approssimare
l’integrale tra xj e xj+1 nel modo seguente:
ove fj+1/2 è il valore della funzione nel punto medio dell’intervallo [xj,xj+1]
se f(x)>0, l’integrale viene approssimato con l’area del rettangolo di base h=xj+1-xj e altezza fj+1/2
21
1
)(
j
x
x
hfdxxfj
j
x
y
xj xj+1xj+1/2
fj
fj+1/2
fj+1
Regola estesa del punto medio
Dividiamo l’intervallo [a,b] negli N-1 intervalli:[x1,x2], [x2,x3], ... , [xN-1,xN]
a=x1; b=xN
h=(b-a)/(N-1)Si ha:
xa=x1 x3/2 x2 x5/2 x3 xN-1 xN-1/2 xN=b...
h h h
b
a
Nfffhdxxf 2/)1(2/52/3)(
Applicazione della regola del punto medio (1)
L’algoritmo è simile a quelli visti per la regola del trapezio e per la regola di Simpson
In questo caso, però, per poter usare il risultato ottenuto dopo ogni iterazione come punto di partenza per l’iterazione successiva, in ciascuna iterazione occorrerà suddividere gli intervalli di partenza in 3 parti invece che in 2questa complicazione nasce dal fatto che si
utilizzano i valori della funzione nei punti medi di ciascun intervallo invece che negli estremi
Applicazione della regola del punto medio (2)
nella n-esima iterazione vengono aggiunti 23n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi dei nuovi intervalli
alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 3n-1 intervalli elementari
in ciascuna iterazione si sfrutta il risultato ottenuto nell’iterazione precedente
1
2
3
...
itera
zion
i
Implementazione dell’algoritmo (1)L’integrale calcolato nella n-esima iterazione
è:
dove Δ=b-aOccorre cercare una formula ricorsiva che
permetta di legare In+1 a In
Applicando la definizione precedente si ha:
13
111 2
1
33
n
knnn kafI
n
knnn kafI
3
11 2
1
33
Implementazione dell’algoritmo (2)La sommatoria con l’indice k che varia da 1 a 3n può
essere spezzata in 3 sommatorie distinte:nella prima raggruppiamo i termini con k=1,4,7,...,3n-2
in tali termini k=3k1-2 con k1=1,2,...,3n-1 nella seconda raggruppiamo i termini con k=2,5,8,...,3n-
1 in tali termini k=3k2-1 con k2=1,2,...,3n-1
nella terza raggruppiamo i termini con k=3,6,9,...,3n
in tali termini k=3k3 con k3=1,2,...,3n-1
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
3
111
3
131
3
121
3
111
3
13
3
12
3
111
6
1
36
5
333
1
6
1
32
1
36
5
33
2
13
32
33
32
53
33
n
nnn
nnn
knnnn
kn
kn
knn
kn
kn
knnn
kafkafI
kafkafkaf
kafkafkafI
Implementazione dell’algoritmo (3)Nel passare da un’iterazione alla successiva il
numero di punti utilizzati per il calcolo viene triplicato, e dunque la precisione del calcolo migliora di un fattore 9.
Come negli altri casi, la procedura iterativa viene fermata quando:
dove ε è la precisione richiesta per il calcoloL’algoritmo sviluppato per il calcolo di integrali
impropri può essere usato anche per il calcolo di integrali “normali”
Il tempo di calcolo richiesto per un integrale improprio è in genere maggiore rispetto a quello richiesto per un integrale “normale” per via della singolarità
11 nnn III
EsempioSupponiamo di voler calcolare l’integrale improprio
con una precisione ε=10-6. Si ha:
1ln1
0
dxxI
Iterazione (n) In
1 -0.693147
2 -0.896696
3 -0.965451
4 -0.988471
5 -0.996156
6 -0.998718
7 -0.999573
8 -0.999858
9 -0.999953
10 -0.999984
11 -0.999995
12 -0.999998
13 -0.999999
14 -1.000000