Soluzione di Adriana Lanza

Il petrolio

La figura 1 rappresenta un modello grafico della produzione annua nazionale del petrolio, a

confronto con la curva della produzione cumulativa. I parametri in gioco nel modello sono tre:

il tempo necessario per portare la produzione al livello desiderato

la durata del periodo in cui è possibile mantenere il livello raggiunto (plateau)

il tasso di declino della produzione alla fine del plateau

.

Figura 1: In rosso la fase di salita, in viola la fase di plateau e in giallo il declino. La curva nera è la

produzione cumulativa il cui valore si legge nella scala di destra e che è ovviamente la somma delle

produzioni annuali.

I valori scelti per i tre parametri descritti nel testo sono, nel caso di questa figura, 5 anni per la

salita, 10 anni per la durata del plateau seguito da un declino al tasso di 5% annuo.

a. Spiega come si può costruire la curva di produzione cumulativa , calcola il valore

complessivo, fino al 2100, e confrontalo con il valore che si legge in figura

b. Valuta, secondo il modello considerato, fino a che anno la produzione può essere

economicamente sostenibile tenendo conto che le riserve di petrolio, secondo i dati

ufficiali, ammontano attualmente a 177,90 Mt.ufficiali

c. Approssima la curva di produzione annua con il grafico di una funzione P(t) continua

definita “a tratti”, tenendo conto del fatto che nel primo intervallo si può pensare a

una crescita lineare, nel secondo la funzione è costante, nel terzo il tasso di variazione

percentuale è costante.

In un opportuno riferimento cartesiano scrivi l’espressione analitica e traccia il grafico sia

della funzione P(t) , sia della funzione F(t) che rappresenta la produzione cumulativa

d. Stabilisci, motivando la risposta, se P(t) è derivabile nell’intervallo considerato e traccia il

grafico di P’(t) indicandone il significato fisico

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione

a. Modello discreto

La produzione cumulativa è data dalla somma di tutti i rettangoli in cui è suddiviso il grafico di produzione

annua.

Poichè il tempo è misurato in anni e la produzione annua in Mt/anni, il risultato corrisponde alla

produzione cumulativa in Mt

Primo intervallo

Progressione aritmetica di ragione 6/5 e primo termine uguale a 6

Secondo intervallo

Area di un rettangolo di base 19 e altezza 12 = 120

La produzione cumulativa corrispondente alle prime due fasi è quindi pari a 162 Mt, inferiore al valore

delle riserve disponibili, pari a 177,90 Mt.

Terzo intervallo

Progressione geometrica di ragione 0,95 e primo termine uguale a 12

Produzione totale

il grafico della produzione cumulativa elaborato con Excel

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b. la fase di declino dovrebbe arrestarsi nel momento in cui il valore della produzione cumulativa è

uguale al valore delle riserve disponibili

Imponiamo che

=0,93375 dove t è una variabile continua

Essendo

sarà n=2, cioè la fase di declino durerebbe circa 2 anni e le riserve si

esaurirebbero tra il 2030 e il 2031.

Modello continuo

Consideriamo un riferimento cartesiano in cui sull’asse delle ascisse l’origine corrisponde all’anno 2015 e

l’unità di misura corrisponde a un anno

Soluzione di Adriana Lanza

Funzione integrale

Soluzione di Adriana Lanza

P(t) è continua ma non derivabile nei punti di raccordo , in cui solo una delle due derivate , destra o

sinistra è nulla,

Significato fisico: velocità di crescita della produzione annnua , positiva nella prima fase, nulla nella

seconda, negativa nella terza.

e. Se la produzione annua dura un tempo infinto, la produzione cumulativa tende a

Mt ( asintoto orizzontale del grafico di F(t)