Il metodo amoeba per il dimensionamento delle sezioni in acciaio
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CORSO DI INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
Il metodo Amoeba per il dimensionamento delle sezioni in acciaio
Edoardo Rossi
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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Table of contents
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
• INTRODUZIONE
•Funzione Obiettivo
•Criteri di Ottimizzazione
•NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
•Storia
•Funzionamento
•Esempio Applicativo
•CONCLUSIONI
E. Rossi
![Page 3: Il metodo amoeba per il dimensionamento delle sezioni in acciaio](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022050922/55862b33d8b42a2b308b4c8e/html5/thumbnails/3.jpg)
INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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INTRODUZIONE
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
Funzione Obiettivo
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INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
Livelli di ottimizzazione:
•Micro livello: ottimizzazione a livello locale, cambiamenti dimensioni sezionali, di spessore..
•Meso Livello: ottimizzazione a livello locale, ma anche sulla forma complessiva degli elementi, sulla posizione dei nodi …
•Macro Livello: ottimizzazione topologica, cambiando il modo in cui gli elementi sono connessi tra loro
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Storia
Il metodo fu pubblicato nel 1965 sulla rivista The Computer Journal.L’idea originale è da attribuirsi a Spendley et al. i quali pubblicarono un articolo nel 1962 in cuiformulavano un metodo di ottimizzazione in uno spazio multi-dimensionale basato su lacostruzione di un simplesso in grado di generarne altri semplicemente riflettendo uno dei suoipunti.Questa procedura risultava tuttavia troppo rigida risultando poco efficace.Il contributo principale di Nelder e Mead risiede principalmente nella definizione di un simplessoin grado di modificare la propria forma ed adattarsi alla funzione da ottimizzare.
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
• Si genera un simplesso di n+1 vertici in uno spazio ad n dimensioni• Si valutano i vertici in base al valore che la funzione obiettivo assume in quei punti. Se si
considera un simplesso a tre vertici essi possono essere denotati come: B = Best G = Good W = Worst
Riflessione
Si calcola il punto M come:
M = (B + G)/2
Si calcola il punto R come:
R = 2M - W
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
Espansione
Si calcola il punto E come:
E = 2R - M
Contrazione
Si calcolano i punti C1 e C2 come:
C1 = (W + M)/2C2 = (M + R)/2
Restringimento
Si calcola il punto S come:
S = (B + W)/2
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
FunzionamentoStart
Generazione Simplesso
Valutazione dei Vertici
Calcolo punti M e R
f(R) < f(G)
f(B) < f(R)
W = R
Calcolo punto E
f(E) < f(B)
W = E W = R
f(C1) < f(C2)
Calcolo punti C1 e C2
f(C1) < f(W) f(C2) < f(W)
W = C1 W = C2
Calcolo punto S
W = SG = M
Y
Y
N
Y NN
Y N
Y YN
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Esempio ApplicativoOBIETTIVO
Dimensionamento Morfologico di una sezione in acciaio a doppio T che minimizzi l’area necessaria a sopportare un dato momento flettente
CONDIZIONI AL CONTORNO• Momento Flettente costante pari a: 1000 kNm
• Spessore delle ali e dell’anima costanti pari a: 15 mm• Coefficiente di sicurezza pari a: 1
VINCOLI• MRd/Med > 1
• Larghezza minima sezione: 50 mm• Altezza minima sezione: 50mm
RISULTATI ATTESICi si aspetta che la sezione ottima abbia una dimensione prevalente (altezza) e che l’altra
dimensione (larghezza) sia prossima al vincolo imposto
CRITERIO DI CONVERGENZASi assume l’avvenuta convergenza quando la differenza tra la funzione obiettivo nei tre vertici sia
inferiore ad 1 mm
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
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NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativoif A(1,1)<A(2,1)
if A(1,1)<A(3,1)B=1;if A(2,1)<A(3,1)
G=2;W=3;
elseG=3;W=2;
endelse
B=3;G=1;W=2;
endelseif A(1,1)<A(3,1)
B=2;G=1;W=3;
elseW=1;if A(2,1)<A(3,1)
B=2;G=3;
elseB=3;G=2;
endend
M=((V(B,:)+V(G,:))/2)R=2*M-V(W,:)if or((((((t*R(1,2)^3)/12)+2*(R(1,1)*t^3/12)+2*R(1,1)*t*(R(1,2)/2+t/2))/(R(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(R(1,1)<50 | R(1,2)<50))
Ar=(2*t*R(1,1)+t*R(1,2))^2else
Ar=2*t*R(1,1)+t*R(1,2)endif Ar<A(G)
if Ar>A(B)V(W,:)=R
elseE=2*R-Mif or((((((t*E(1,2)^3)/12)+2*(E(1,1)*t^3/12)+2*E(1,1)*t*(E(1,2)/2+t/2))/(E(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(E(1,1)<50 | E(1,2)<50))
Ae=(2*t*E(1,1)+t*E(1,2))^2else
Ae=2*t*E(1,1)+t*E(1,2)endif Ae>A(B)
V(W,:)=Relse
V(W,:)=Eend
endelse
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
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NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativo
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 50 100 1502
2.5
3
3.5x 10
4
N° of Iterations
Are
a [
mm
2]
Risulati
B H
50.17469 1306.494
50.27328 1306.238
50.94685 1304.936
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
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CONCLUSIONI
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
• Il Metodo Amoeba risulta efficiente nell’ottimizzazione di funzioni ad n variabili in quanto è in grado di fornire una soluzione con un numero ridotto di iterazioni.
• Tale metodo risulta di facile applicazione anche in caso di problemi vincolati in quanto non necessita della continuità della funzione da ottimizzare.
• La scelta delle condizioni iniziali può influire sulla soluzione perciò è opportuno prevedere un restart dell’algoritmo di ottimizzazione con condizioni iniziali definite in maniera random o probabilistica, così da permettere di individuare, nel caso ce ne fossero, sia condizioni di ottimo locale che globale.