Il Triangolo di Il Triangolo di TartagliaTartaglia

Federico PeirettiFederico Peiretti Idro, 12/09/08Idro, 12/09/08

http://polito.it/polymath

“La Matematica è sempre la stessa, non cambia, e non c’è bisogno di cambiare i libri di testo”

Umberto Bossi

L'istruzione dei licei è del 1923 (Legge Gentile) e da allora la struttura didattica è rimasta pressoché immutata, salvo le modifiche che riguardano l'insegnamento delle lingue classiche e l'inserimento dell'educazione civica e dell'educazione stradale.

Trigonometria: Le funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente. Formule per l'addizione, la sottrazione, la duplicazione e la bisezione degli argomenti. Uso delle tavole goniometriche ed applicazione alla risoluzione dei triangoli rettilinei. Geometria: Cenni sui poliedri equivalenti, sulla base, eventualmente, del principio di Cavalieri. Regole pratiche per la determinazione di aree e volumi dei solidi studiati.

Nelle tre classi: esercizi semplici di applicazione dell'algebra alla geometria.

Programma della terza liceo classico

Per molti la Matematica è soltanto una serie di sgradevoli artifici meccanici: non è assolutamente vero! per me è un argomento eccitante e sensuale. Mi piace, e personalmente ne ricavo più piacere di quanto molta gente non ne tragga dall'arte. Mi sento come un artista. Mi piacciono le cose belle e queste sono già lì, l'uomo non le deve creare, ma scoprire. Io sono veramente stupefatto dalla bellezza della Natura. E la Matematica è Natura. Nessuno può aver inventato l'Universo matematico che era là e aspettava soltanto di essere scoperto. E' una cosa pazzesca e straordinaria.

John Conway

Chilakamarri VijayalakshmiDocente prima al King's College London e successivamente alla Sri Padmavati MahilaVisvavidyalayam (Women’s University) (SPMVV) in Tirupati, Andhra Pradesh, India

“In tutto il mondo tanti studenti rifiutano la matematica, la temono e la trovano sgradevole. Nelle scuole, non solo indiane, i programmi prevedono algoritmi, regole, capacità e metodi che insistono sul “fare” piuttosto che sul “pensare” la matematica. I contenuti hanno tempi rigidi di svolgimento e le verifiche non danno importanza alle abilità, agli interessi e al livello cognitivo dello studente. Il presupposto è che la matematica deve “scorrere” dal livello più alto, quello dell’insegnante, a quello più basso, quello dell’allievo, ignorando qualsiasi relazione interpersonale. Gli insegnanti si regolano per le loro lezioni sulla capacità di uno studente medio, che in realtà non esiste, con il risultato di annoiare tutta la classe. L’insegnamento della matematica è dominato dalla disumanità, dalla spersonalizzazione e dalla decontestualizzazione. Come risultato, lo studente si chiede che cosa stia studiando e perché, ma non trova una risposta”.

“Che senso ha studiare la Matematica? Non ho mai utilizzato seni e coseni nella mia vita di tutti i giorni. Che senso ha imparare a risolvere equazioni di 2° grado? Anche se un giocatore di calcio ne risolve una in modo inconscio ogni volta che pensa dove sia meglio piazzare un calcio di punizione, non credo che Wayne Rooney utilizzi la formula che gli è stata insegnata a scuola per prendere decisioni di questo tipo. E allora perché dovremmo preoccuparci di una nuova indagine resa nota oggi secondo la quale il fallimento dell’insegnamento della Matematica nel Regno Unito ha avuto come risultato la scomparsa di mezzo milione di matematici?” “Il nostro sistema scolastico non raggiunge

il suo obiettivo più importante, quello di far vedere che la matematica è molto più degli esercizi tecnici proposti in classe. Se insegniamo ai ragazzi a suonare uno strumento musicale soltanto attraverso scale e solfeggi, senza fargli mai sentire qualcosa della musica meravigliosa che essi vorrebbero imparare a suonare o un giorno persino a comporre, la maggior parte di loro resterà soltanto con l’idea che lo studio della musica sia una tortura. E così è per la matematica”.

Talete: ogni volta, il Talete: ogni volta, il professore aveva parlato professore aveva parlato loro del teorema, non loro del teorema, non dell’uomo; d’altra parte dell’uomo; d’altra parte durante le lezioni di durante le lezioni di matematica non si parlava matematica non si parlava mai di esseri umani. Di mai di esseri umani. Di tanto in tanto si sentiva tanto in tanto si sentiva eccheggiare un nome: eccheggiare un nome: Talete, Pitagora, Pascal, Talete, Pitagora, Pascal, Cartesio, ma era soltanto un Cartesio, ma era soltanto un nome, per l’appunto, come nome, per l’appunto, come quello di un formaggio o di quello di un formaggio o di una stazione di metrò.una stazione di metrò.

Denis GuedjDenis Guedj

E’ necessario che la matematica scolastica torni ad essere - o divenga maggiormente – un compito educativo adatto alla promozione culturale e umana dei giovani. E’ necessario che la matematica si apra alla vita reale, alle altre discipline, alle possibili applicazioni, che riduca la sua funzione selettiva dei più studiosi e volonterosi.

Raimondo Bolletta

Archimede, 287 - 212 a. C.

Le tre Grazie portano dei canestri pieni di mele e incontrano sul loro cammino le nove Muse, alle quali ne danno un certo numero, uguale per ciascuna. Alla fine le Grazie si accorgono di avere ancora ognuna tante mele quante ne hanno date a ciascuna Musa. Quante mele avevano le Grazie e quante ne hanno date?

Umberto Bottazzini, dall’Antologia Greca

Niccolò Fontana Tartaglia, circa 1500 - 1557

Tartaglia perse il padre, un corriere a cavallo, al servizio del governo della città, quando aveva appena sei anni. La sua famiglia finì in miseria e non poté permettersi alcuna scuola. Frequentò soltanto per 15 giorni, all’età di 14 anni, una “scuola di scrivere”, per imparare l’alfabeto, ma arrivato alla lettera “k”, la dovette abbandonare, non potendo continuare a pagare il maestro.

Il castello della città di Brescia

Lunedì 19 febbraio 1512. E’ mattina. I francesi, grazie all’arrivo di nuove truppe, hanno appena ripreso il controllo di Brescia che si era ribellata al loro dominio, costringendoli a rifugiarsi nel Castello. La città era rimasta soltanto per due settimane nelle mani degli insorti e ora inizia la rappresaglia, con i francesi, guidati da Gaston de Foix, decisi a infliggere una punizione esemplare alla città.

Duomo vecchio di Brescia (Rotonda)

Quando che li francesi saccheggiorno Bressa, oltre che ne fu svalisata la casa, ma più che essendo io fugito nel domo de Bressa insieme con mia madre et mia sorella et molti altri huomini, credendone in tal luogo esser salvi, ma tal pensiero ne andò fallito perchè alla presentia de mia madre mi fu date cinque ferrite mortale, cioè tre sulla testa et due sulla fazza fra le quale una me ne haveva à traverso la bocca et denti, la quale della masella et la medesima della inferiore, per la qual ferrita, non solamente io non poteva parlar, ma neanche poteva manzare.

Niccolò Fontana, il Tartaglia, 1500 circa - 1557

A guidare i soldati nel saccheggio di Brescia del 1512, c’era Gaston de Foix (1489 – 1512), il celebre uomo d’armi francese, morto a 23 anni durante la battaglia di Ravenna.

Girolamo Cardano, 1501 – 1576

Scipio Ferreus Bononiensis ab hinc triginta fermé capitulum hoc invenit, tradidit verò Anthonio Mariae Florido Veneto, qui cùm in certamen cum Nicolao Tartalea Brixellense aliquando venisset, occasionem dedit, ut Nicolaus invenerit & ipse, qui cum nobis rogantibus tradidisset, suppressa demonstratione, freti hoc auxilio, demonstrationem quaesivimus, eamque in modos, quod difficillimum fuit, redacta sic subiiciemus.

Girolamo Cardano, Ars Magna, capitolo XI

Ben mi meraviglio di voi & di lui (perche so che voi parlati per bocca sua) che abbiati ardire di humiliare tanto la detta mia inventione, con la quale vi haveti pensato di farve immortali. Non vedeti voi che eglie cosa nota a cadauno intelligente, & lui medesimo Cardano lo confessa in detta opera che tale mia inventione è l'anima di tutto il detto suo volume. Non vedeti voi che cavando la detta mia pianta del detto vostro giardino, tal vostro giardino restaria una oscura selva, perche tutte le altre cose sostantiale derivano da detta mia pianta, Et tamen el non se vergogna de dire nella detta sua opera, che tutti li altri capitoli che in quella si trovano oltra il mio essere tutte sue & vostre inventioni le quali erano state da me invente, & ritrovate gia 5 anni avanti che gli insegnasse a lui tal mia particolarita.

Niccolò TartagliaFrontespizio dell’Ars Magna di Girolamo Cardano

Due piroscafi A e B sono partiti insieme per un viaggio di 6000 miglia all’andata e altrettanti al ritorno.Il piroscafo A mantiene una velocità di 8 miglia all’ora nell’andata e 12 miglia all’ora nel ritorno; il piroscafo B mantiene una velocità costante di 10 miglia all’ora. Arrivano essi insieme al luogo di partenza?

B precede A di 50 ore

Tartaglia è il padre della moderna balistica, presentata per la prima volta come disciplina matematica nella sua opera Nova Scientia (1537) in cui descrive metodi e strumenti dell'artiglieria, in particolare un quadrante a pendolo, detto "archipenzolo, per misurare l'inclinazione del cannone.

"Habitando in Verona l’anno MDXXI Illustrissimo S. Duca mi fu adimandato da un mio intimo et cordial amico Peritissimo bombardiere del Castel Vecchio…dil modo di mettere a segno un pezzo de artiglieria al più che può tirare. E a benche in tal arte io non avesse pratica alcuna niente di meno desideroso di servir l’amico mi promisi di farli in breve rissoluta risposta. Et poi che hebbi ben masticata et ruminata tal materia, gli conclusi et dimostrai con ragioni naturale et geometrice qual mente bisognava che la bocca dil pezzo stesse ellevata talmente che guardasse rettamente a 45 gradi sopra a l’orizonte, et per far tal cosa ispedientemente bisognava havere una squadra de alcun metallo over legno sodo che habbia interchiuso un quadrante con lo suo perpendicolo come di sotto appare in disegno…."   

Nova Scientia

La NOVA SCIENTIA in rete http://www.mhs.ox.ac.uk/geometry/cat1.htm

Chi Brama di ueder noue inuentioni,        Non tolte da Platon, ne da Plotino,        Ne d'alcun altro Greco, ouer Latino,        Ma sol da Larte, misura, e Ragioni.Lega di questo le interrogationi,        Fatte da Pietro, Pol, Zuann', e Martino        (Si come, l'occorea sera, e Matino)        Et simelmente, le responsioni.Qui dentr'intendara, sè non m'inganno,        De molti effetti assai speculatiui,        La causa propinqua del suo danno,Anchor de molti atti operatiui,        Se uedera essequir con puoc'affannoNell'arte della guerra Profittiui.        Et molto defensui.Con altre cose di magno ualore,Et inuentioni nell'arte maggiore.

http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse

Quando che 'l cubo con le cose appressose agguaglia a qualche numero discretotrovan dui altri differenti in esso.Da poi terrai questo per consuetoche il loro produtto sempre sia egualeal terzo cubo delle cose netto,El residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sotrattivarrà la tua cosa principale.In el secondo de codesti attiquando che 'l cubo restasse lui solotu osserverai quant'altri contratti,

Del numero farai due tal partà voloche l'una in l'altra si produca schiettoel terzo cubo delle cose in stoloDalla qual poi, per commun precettotorrai li lati cubi insieme giontiet cotal somma sarà il tuo concetto.El terzo poi de questi nostri contise solve col secondo se ben guardiche per natura son quasi congionti.Questi trovai, et non con passi tardinel mille cinquecente, quatro e trentacon fondamenti ben saldi e gagliardiNella città dal mare intorno centa.

Veduta di Venezia dall'Isolario di Benedetto Bordone, 1528

Questi trovai, et non con passi tardinel mille cinquecente, quatro e trentacon fondamenti ben saldi e gagliardiNella città dal mare intorno centa.

Nei primi due versi viene indicata l'equazione ('l cubo con le cose appresso) x3 + pxè uguale ("se agguaglia") a q ("a qualche numero discreto) x3 + px = q

Questa equazione è infatti, come sapevano bene i matematici del Cinquecento, l'equazione alla quale si riduce una qualsiasi equazione di terzo grado ax3 + bx2 + cx + d = 0 con alcuni semplici passaggi.

Si deve porre per questo x = y – b/3aE si ottiene a (y – b/3a)3 + b (y – b/3a)2 + c (y – b/3a) + d = 0

Se svolgiamo i calcoli, vediamo che si elimina il termine di secondo grado e con le opportune sostituzioni si arriva a un'equazione corrispondente a quella descritta da Tartaglia.

3

32

3

32

27422742

pqqpqqx

Nei primi anni del 1500, Scipione del Ferro scoprì, ma non pubblicò, la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado. La confidò in punto di morte ad Antonio maria del Fiore, un suo studente, che, anni dopo, sfidò Tartaglia ad una gara. Ognuno di essi doveva rispondere a trenta quesiti posti dall’altro. Mentre Fiore, sicuro della sua soluzione, pose a Tartaglia solo domande relative alle equazioni di terzo grado, non sapendo che il matematico bresciano aveva trovato anche lui una soluzione, quest’ultimo diversificò molto le domande facendo fare brutta figura allo studente.

Il quadriportico della Basilica di Santa Maria dei Servi a Bologna luogo delle sfide matematiche

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Le prime 10 righe del triangolo di Tartaglia. Ogni numero, tranne il numero generatore, è la somma dei due numeri sovrastanti. Ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, 1 e nessun numero, cioè zero.

Il triangolo numerico, presentato da Tartaglia in un suo libro del 1556, il General Trattato, e battezzato “Triangolo di Tartaglia”

Omar Khayyam, 1050 – 1122 circa

A cruccio verun del mondo non dar peso, e insisti in tal dovere.Coi pianti di ieri e domani, non avvilire la speme nel cuore.Vivi lieto da viandante d’una dimora precaria e breve:Non salverai alcun tesoro, manco un chicco di grano nero.

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Se aver puoi sol per te un pane di bianco frumento,Due fiaschi colmi di vino, un coscio d’agnello sugoso,E qualcuna, dolce al cuore, in un paesaggio deserto:Ecco la felicità che nessun sultano ti può rubare.

A cruccio verun del mondo non dar peso, e insisti in tal dovere.Coi pianti di ieri e domani, non avvilire la speme nel cuore.Vivi lieto da viandante d’una dimora precaria e breve:Non salverai alcun tesoro, manco un chicco di grano nero.

Quelli che oceani furono di scienza e perfezione,E, con sferza di virtù, divennero luminari d’umanità,Un passo non fecero fuor dalle tenebre del mondo:Narrarono molte fiabe e, torpidi, ricaddero nel sonno.

Le avventure e gli amori di Omar Khayyam, di William Mieterle del 1957, con Cornel Wilde e Debra Paget.

La tomba di Omar Khayyàm, a Neishapur, Iran

Il "Triangolo di Tartaglia" come venne proposto dal matematico cinese Chu Shih-Chieh, nel suo libro del 1303, il Prezioso Specchio dei Quattro Elementi. Chu Shih-Chieh lo chiama “Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori”.

Blaise Pascal, 1623 - 1662

Blaise Pascal, nel 1654, scrisse un intero libro, Le Triangle Aritmétique, dedicato al triangolo e alle sue proprietà, in particolare nel campo del calcolo combinatorio.

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1...

Il triangolo nella configurazione di Pascal, a “triangolo rettangolo”. Il termine n appartenente alla riga r e alla colonna s sarà: r (r - 1) (r - 2) ... (r - s + 1) n = 1 x 2 x 3 x .... s

5 oggetti a, b, c, d ed e, si possono combinare a due a due in 10 modi diversi: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de, e 10 è proprio il numero all’incrocio della quinta riga con la seconda colonna (si conta come zero, lo ricordiamo, la riga dell’1 iniziale e la colonna di 1).

1 = 20

1 + 1 = 21

1 + 2 + 1 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 23

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24

1 + 5 +10+10 + 5 + 1 = 25

1 + 6 +15+20+ 15 +6 + 1 = 26

1 + 7 +21+35+ 35+ 21 + 7 + 1 = 27

1 + 8 +28+56+ 70+ 56+ 28 + 8 + 1 = 28

1 + 9 +36+84+126+126+84+ 36 + 9 + 1 = 29

1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1= 210

...

Se si sommano i numeri di ogni riga si ottiene la successione delle potenze del 2. Possiamo anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente.

110  =   1111  =   11112  =   121113  =   1331114  =   14641115  =   161051116  =   1771561117  =   19487171

1  6 15 20   15    6 1  1   (6+1)   (5+2)   (0+1) 5    6 1    

 1  7    7    1   5    6 1   

Successione di Fibonacci

Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1...

La prima colonna del Triangolo di Tartaglia è composta dalla successione dei numeri naturali, la seconda dai numeri triangolari, la terza dai numeri tetraedrici, la quarta i numeri ipertetraedrici, cioè del tetraedro in quattro dimensioni, la quinta del tetraedro in cinque dimensioni e così via.

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1...

numeri naturali n

numeri triangolarin(n+1)/2

numeri tetraedricin(n+1)(n+2)/6

numeri tetraedrici in quattro dimensionin(n+1)(n+2)(n+3)/24

10011 = 100110012 = 100200110013 = 100300300110014 = 100400600400110015 = 100501001000500110016 = 100601502001500600110017 = 1007021035035021007001...

Nelle potenze di 1001n, come nelle potenze di 10001n, 100001n, … ritornano i numeri del triangolo, separati dagli zeri.

Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.

Il Triangolo di Tartaglia al computer, come frattale: i numeri pari sono stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi.

Luca De Alfaro

(a + b + c)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4a b3 + b4 + 4b3c + 6b2c2 + 4bc3 + + c4 + 4ac3 + 6a2c2+ 4a3c + 12a2bc + 12ab2c+ 12a bc2

2 2 2 1 2 1

1 3 3 3 6 3 1 3 3 1

1 4 4 6 12 6 4 12 12 41 4 6 4 1

1 5 5

10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 51 5 10 10 5 1

1

1 1 1

La Piramide di Tartaglia, un tetraedro che ha come numero generatore 1. Gli altri numeri sono la somma dei tre numeri sovrastanti. Il numero di punti, al livello n, è la somma dei quadrati da 1 a n2 : 1 + 22 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 ...

Il Triangolo dei numeri pari. Se si sommano i numeri di ogni riga si ottiene, a parte lo zero iniziale, 2 + 4 = 1 x 2 x 3 per la prima riga, 6 + 8 + 10 = 2 x 3 x 4 per la seconda, 3 x 4 x 5 per la terza e successivamente 4 x 5 x 6, 5 x 6 x 7, 6 x 7 x 8 e così via. In generale la somma della riga n è uguale a n (n + 1) (n + 2).

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 ...

Il Triangolo dei numeri dispari. La somma dei numeri della riga n è uguale a n3. In questo caso si considera 1 iniziale come prima riga e si ha: 13 per la prima riga, 3 + 5 = 23 per la seconda riga, 7 + 9 + 11 = 33 per la terza riga, 43 per la quarta, 53 per quinta e così via.

1 1 2 1 3 2 3 1 4 2 5 3 4 1 5 2 6 3 7 4 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 ...

Nel Triangolo naturali - dispari si alternano colonne di numeri naturali che partono dai successivi numeri dispari e colonne di valori costanti dei successivi numeri naturali. La somma dei numeri di una riga n è uguale a 2 x n2. Ad esempio, sulla quinta riga abbiamo: 5 + 1 + 6 + 2 + 7 + 3 + 8 + 4 + 9 + 5 = 50 = 2 x 52.

12 4

3 6 94 8 12 16

5 10 15 20 256 12 18 24 30 36

7 14 21 28 35 42 49 ...

Il Triangolo dei multipli, costruito partendo, in diagonale, dai numeri naturali in successione, seguiti dai rispettivi multipli sulle altre diagonali.

2 1 1 3 2 3 4 3 3 4 7 5 6 5 7 11 8 9 9 8 11 18 13 15 14 15 13 18 29 21 24 23 23 24 21 29 47 34 39 37 38 37 39 34 47 ...

Il Triangolo di Lucas, proposto da Edouard Lucas, il grande esperto in giochi matematici dell'Ottocento. Tranne i primi tre numeri al vertice in alto, ogni altro termine è uguale alla somma dei due termini superiori in diagonale. Quali sono le sue proprietà?

Qual è il nuovo triangolo aritmetico, tutto da scoprire, con le proprietà più interessanti?

Buona ricerca e buon divertimento.

Wassily Kandinsky

Contrasting Sounds, 1924

n (n + 1)/2

1 + 3 => 4 + 3 => 7 + 3 => 10 + 3 => 13 + 3 => 16

1 + 4 + 7 => 12 + 10 => 22

Triangoli magici - Charles W. Trigg

L'Italia è un Paese orientato verso la cultura umanistica. Quasi ci si vanta di non capire nulla di numeri.

Roberto Lucchetti

  

Io dico se lo vuoi sapere impisse prima quella dalle oncie 3 piena che la sia vodala in quella dalle oncie 5 poi impisse un’altra fiata quella dalle 3 del resto del balsamo, ch’è rimasto nella grande trovarai che non gli ne restara anchora 2 poi voda anchora quella dalle 3 in quella dalle 5 trovarai che non gli ne intrara se non 2 e 1 ne restara in quella dalle 3 e 2 n’erano rimaste nella grande. Fatto che hai così ritorna a vodar quella dalle 5 nella grande e così gli ne faranno 7 poi quella che era in quella dalle 3 vodala in quella dalle 5 poi riempie un’altra fiata quella dalle 3 e poi la revoda in quella dalle 5 dove era rimasta quella sola faranno a ponto 4 e 4 ne sono rimaste ne l’ampoletta grande, e così si trovorno haver oncia 4 di balsamo a ponto ciascun di loro, onde si partirno contenti e andettero chi di qua chi di la.

Sono duoi, che hanno robbato una ampoletta di balsamo a uno signor, nella qual era dentro oncie 8 di balsamo a ponto accadette che costoro nel suo partire trovorno uno vedriaro, che haveva solamente due ampolette l’una delle quali teneva oncie 5, l’altra oncie 3 e così per la pressa , che loro havevano gli comprorno queste due e caminorno di longo fin che furono al luogo sicuro, poi si missero a voler partir questo balsamo, dimando come fecero non havendo ne peso, ne altra misura certa.

Sono tre belli gioveni freschi e gagliardi, i quali hanno tre belle damigelle per mogliere, e sono gelosi tutti, così le moglier delli mariti, come li mariti delle moglier.  Accadde che costoro si parteno da casa di brigata per esser vicini per voler andar a una certa perdonanza, onde accadette che nella via gli trovorno un fiume molto largo da passar, e non vi era ne ponte, ne porto, ma per sua ventura gli trovorno un navetto piccolo, che non gli poteva star dentro più che due persone, dimando, come faranno a passare senza alcun sospetto di gelosia.

Farai così prima manda fuora due donne, poi che una di quelle torni di qua con il navetto, e venga a torre l’altra, e la conduchi de la , condotte che sieno fuora tutte tre le donne, se ne parte una, e vien di qua con il navetto, e vassene appresso a suo marito, e lui la piglia per la mano, poi quelli due altri huomini, che hanno de la le sue donne si parteno con il navetto, e ne vanno de la appresso a loro,poi un di loro piglia sua muglier in braccio, e la conduce di qua, poi quelli due huomini, che son di qua intrano nello navetto, e vanno de la, e quella femina che è de la vien di qua con il navetto a torre un’altra giovane , e la mena de la, poi vien oltra uno degli huomini, e intra nello navetto, e vien di qua, e piglia sua mogliere, e se la mena de la, e attacca il navetto alla ripa, e se ne vanno tutti a braccio a braccio con le sue donne al suo viaggio tutti allegri, e gelosi.

Misser BERNARDINO: "Io son stato a Bressa e me stato fatto uno quesito da un certo Maestro Zoan da Coi el quale sapendo haria da caro che mel resolvesti el qual quesito dice in questa forma. Voria che nel sottoscritto triangolo ABC equilatero me gli fusse inscritto geometricamente un quadrato."

•Disegnare l’altezza AD perpendicolare a BC. Dal punto A tracciare una retta parallela a BC lunga metà dell’altezza AD. •Tracciare il segmento ED che interseca il lato AC nel punto F. •Tracciare la retta perpendicolare a BC passante per F. •Tracciare la retta parallela a BC passante per H. •Tracciare la retta perpendicolare a BC passante per H.

Il quadrato FGHI è inscritto nel triangolo ABC.DIMOSTRAZIONE CHE FGHI E’ UN QUADRATOIl triangolo ADE È simile al triangolo FDG, e il lato AD è il doppio di AE e allo stesso modo il lato FG è doppio del lato DG e FH è il doppio di FK. Quindi il lato FH è uguale a FG e così avviene per gli altri due lati; i quattro angoli sono retti perché FG e HI sono perpendicolari a BC.

Due fratelli avevano insieme 40 soldi; se li divisero; il primo con venti soldi compera delle uova ad 1 soldo l’uno e le vende a 2 soldi; il secondo compra delle uova a due soldi l’uno e li rivende a 1 soldo; poi rimettono insieme i loro soldi. Hanno guadagnato?

Guadagnarono 10 soldi

Questo problema, con altri seguenti, trovasi nel General Trattato di numeri et misure, di Tartaglia, illustre matematico, nato a Brescia nel 1506, morto a Venezia nel 1557.

Giuseppe Peano, Giochi di Aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1924

Ci sono sette case e ogni casa ha sette gattiOgni gatto mangia sette topiE ogni topo avrebbe mangiato sette spighe di granoE ogni spiga avrebbe prodotto sette hekat di granoQuale numero si ottiene aggiungendo case, gatti topi, spighe e Hekat?

Un contadino viaggiava con un lupo, una capra e un cesto di cavoli. Arrivato ad un fiume, gli si presentò il problema di portare il suo carico sull'altra sponda, avendo a disposizione una barca che ad ogni viaggio poteva trasportare soltanto lui stesso e una delle sue cose. Il contadino non poteva lasciare soli il lupo e la capra, né la capra e i cavoli, per non rischiare di perdere "capra e cavoli". Come riuscì a trasportare tutto oltre il fiume?

Alcuino di York, circa 735 - 804

Il buon professore Il buon professore è un alchimista è un alchimista che trasforma un che trasforma un cervello cervello fondamentalmentfondamentalmente modulare in una e modulare in una configurazione di configurazione di rete interattivarete interattiva

Stanislas DehaeneStanislas Dehaene

E’ inutile bombardare un E’ inutile bombardare un giovane cervello di assiomi giovane cervello di assiomi astratti. Mi sembra che la astratti. Mi sembra che la sola strategia ragionevole sola strategia ragionevole per insegnare la per insegnare la matematica sia quella che matematica sia quella che arricchisce arricchisce progressivamente progressivamente l’intuizione dei bambini. Si l’intuizione dei bambini. Si tratta quasi di tracciare, nel tratta quasi di tracciare, nel cervello di ciascun allievo, cervello di ciascun allievo, la storia della matematica e la storia della matematica e delle sue motivazioni.delle sue motivazioni.

Stanislas DehaeneStanislas Dehaene

Ben più importante di uno Ben più importante di uno specifico risultato specifico risultato matematico è matematico è l’abitol’abito mentalementale adottato dalle persone che adottato dalle persone che hanno ottenuto questo hanno ottenuto questo risultato e noi auspichiamo risultato e noi auspichiamo un curriculum che metta un curriculum che metta sullo stesso piano i metodi sullo stesso piano i metodi con cui la matematica viene con cui la matematica viene creata e i risultati della creata e i risultati della ricerca. […] Un curriculum ricerca. […] Un curriculum che incoraggi errori e false che incoraggi errori e false partenze, calcoli, esperimenti partenze, calcoli, esperimenti e casi particolari.e casi particolari.

L’obiettivo principale della L’obiettivo principale della scuola dovrebbe essere scuola dovrebbe essere quello di creare una quello di creare una consapevolezza consapevolezza sull’importanza della sull’importanza della matematica e sul ruolo che matematica e sul ruolo che gioca nella società gioca nella società contemporanea […] contemporanea […] Dobbiamo fare in modo di Dobbiamo fare in modo di interessare gli studenti alla interessare gli studenti alla matematica come matematica come creazione del pensiero creazione del pensiero umano, sviluppato umano, sviluppato attraverso i secoli allo attraverso i secoli allo scopo di migliorare la scopo di migliorare la qualità della nostra vita.qualità della nostra vita.

Keith DevlinKeith Devlin

Fra il secondo e il terzo anno Fra il secondo e il terzo anno avvennero graduali scelte ed avvennero graduali scelte ed esclusioni. Anzitutto il rifiuto esclusioni. Anzitutto il rifiuto viscerale della matematica e di viscerale della matematica e di ogni scienza. ogni scienza.

Da un certo punto, la Da un certo punto, la trigonometria, la geometria, la trigonometria, la geometria, la fisica divennero per me dei fisica divennero per me dei muri opachi. Non capivo più muri opachi. Non capivo più letteralmente niente. Peggio: letteralmente niente. Peggio: l’incapacità a controllare l’incapacità a controllare razionalmente il numero, mi razionalmente il numero, mi portò piano piano ad portò piano piano ad antropomorfizzarlo, a trattarlo antropomorfizzarlo, a trattarlo in termini di psicologia e di in termini di psicologia e di fantasia. Sviluppai una simpatia fantasia. Sviluppai una simpatia per i numeri dispari (il 5 per i numeri dispari (il 5 innanzi a tutti), un sospetto nei innanzi a tutti), un sospetto nei riguardi del 6, affetto per la riguardi del 6, affetto per la senilità del 9, e così via.senilità del 9, e così via.

Vittorio Gassman, Un grande Vittorio Gassman, Un grande

avvenire dietro le spalleavvenire dietro le spalle

BIBLIOGRAFIA

Nicolò Tartaglia, La nova scientia (rist. anast. Venezia, 1550), 1984, Editore Forni 

Bernardino Baldi, Le vite de' matematici - Ediz. annotata e commentata della parte medievale e rinascimentale , 1998 Editore Franco Angeli 

Massimo Tamburini, De cubo et rebus aequalibus numero. La genesi del metodo analitico nella teoria delle equazioni cubiche di Girolamo Cardano, 1999, Franco Angeli 

A. W. F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle: The Story of a Mathematical Idea, 2002, The Johns Hopkins University Press

SITOGRAFIA

L’Archivio Tartaglia a Brescia:http://www.bibliotecavigano.it/archtartaglia.htm

Un articolo di Umberto Bottazzini:http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/010916g.htm

La traduzione degli Elementi di Euclide di Tartaglia, on line: http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/index.htm

Quesiti et inventioni diverse di Niccolò Tartaglia, 1534:http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse

SITOGRAFIA

L’Archivio Tartaglia a Brescia:http://www.bibliotecavigano.it/archtartaglia.htm

Un articolo di Umberto Bottazzini:http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/010916g.htm

La traduzione degli Elementi di Euclide di Tartaglia, on line: http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/index.htm

Quesiti et inventioni diverse di Niccolò Tartaglia, 1534:http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse