Il comportamento in frequenza degli amplificatori …pessina.mib.infn.it/Corsi_del_IV_anno/Il...

Amplificatori e frequenza 1

Modello di un amplificatore in frequenza

Matematicamente gli amplificatori operazionali sono modellizzati con:

A

os1

A)s(A

Amplificatore a polo dominante.

Amplificatore a 2 poli dominanti, con A >> B BA

os1s1

A)s(A

Il significato da dare alle espressioni sopra è: i poli presenti nel circuito sono certamente in numero maggiore di quelli rappresentati. tuttavia sono messi a frequenze molto maggiori di quelle indicate, per cui si può trascurare il loro effetto nei casi pratici.

La modellizzazione circuitale può essere molto varia:

+

-

VV

s1

AV

A

oo

Vo

+

-1

Ao R

CA=RC

+

-

VVs1s1

AV

BA

oo

Vo +

-

Ao

1RA

CAA=RACA

1RB

CBB=RBCB

domenica 3 maggio 2015

CBA

os1s1s1

A)s(A

Amplificatore a 3 poli dominanti, con

A >> B e B >> C

Facoltà di Fisica di Milano Bicocca Pessina Gianluigi

Corso di Elettronica Applicata, IV Anno LS


Criterio di stabilità di un amplificatore reazionato

Supponiamo per semplicità di considerare un amplificatore reazionato da un blocco ideale ed indipendente dalla frequenza. La funzione di trasferimento diviene:

)s(A1

)s(A)s(A

R

Rf

Possiamo stabilire un criterio di stabilità ovvio.

Sebbene l’amplificatore abbia reazione negativa dobbiamo ora considerare che A(s) è un numero complesso. Come tale potrebbe verificarsi che A(s)= -1. Infatti potrebbe accadere che |A(s)|=1 quando (A(s))=:

Quando questo accade il denominatore di Af si annulla, provocando divergenza.

La regola d’oro per garantire la stabilità è pertanto: “Progettare la reazione in modo che alla frequenza s per cui (A(s))= sia soddisfatto che |A(s)| < 1. Infatti, siccome |A(s)| è monotona decrescente, siamo sicuri che in questo modo il denominatore non potrà mai essere reale e nullo.”

Di fatto i criteri che si adottano sono proprio di imporre che |A(s)|=1 quando (A(s))=3/2 (135°) o addirittura (A(s))=2/3 (120°) .

Nel primo caso si dice che si ha un angolo margine (di sicurezza per evitare l’oscillazione) di 45° (135°=180°-45°), nel secondo caso si dice di avere un angolo margine di 60° (120°=180°-60°).

IMPORTANTE: nel verificare la stabilità del sistema reazionato quello che conta è il guadagno di anello (s)AR(s), che potrebbe differire considerevolmente dal guadagno e comportamento in frequenza dell’amplificatore operazionale di origine.

)j(jR

R

R

R

e)j(A)j(1

)s(A

)j(A)j(1

)s(A




Guadagno di anello con singolo polo dominante (1)

Supponiamo che il guadagno di anello, valutato con i criteri visti quando si sono studiati gli effetti della reazione, sia del tipo:

1A ,s1

AT 0R

1

0R

dove indichiamo con ARO e 1 il guadagno ad anello aperto risultante dall’avere considerato tutti gli elementi di non idealità.

)0(Ts1

11

As1

11

A1s1

1

A1

A1

As1

A1

s1

A1

1

s1

A1

T1

T1)s(A

1

0R

1

0R

10R

0R

0R1

0R

1

0R1

0Rf

Con la presenza di un solo polo la risposta presenta un andamento regolare. Al di sopra della frequenza del polo risultante la pendenza è di 20 dB/dec.

Per effetto della reazione il polo viene “traslato” a più alta frequenza di un ammontare che dipende dal livello di reazione.

Per il guadagno ad anello chiuso possiamo scrivere:




Guadagno di anello con singolo polo dominante (2)

1

0RdB3

1

0R

1

0R

1

0R

A1log

Alog

0log20s1

Alog20

s1

Alog20dB

dB

1/1 AR0/1 AR0/1

1

0Rs1

A

0R1 As1

11

Detto in altri termini:

1

0RdB3 A

il prodotto guadagno-banda rimane costante ed uguale a quello che si avrebbe con =1.

Con un solo polo lo sfasamento massimo è di 90°. Di conseguenza la parte reale del polo non cambia mai di segno, rimanendo sempre negativa se la reazione era negativa in origine.

I diagrammi di Bode sono utili perché consentono di verificare graficamente la posizione del polo.

Sappiamo che il punto di interesse si ha quando |T|=1. In scala logaritmica questo punto si trova abbastanza agevolmente:

dB

1/1 AR0/1 AR0/1

1

0Rs1

A

1

Guadagno ReazionatoRisultante dalla pag precedente




Guadagno di anello con doppio polo (1)

Supponiamo che il guadagno di anello abbia 2 poli dominanti:

1A ,s1s1

AT 0R

21

0R

Ora risulta:

21

0R

21

212210R

0R21

0R

21

0R21

0Rf

A1ss

/A1

As1s1

A1

s1s1

A1

1

s1s1

A1

T1

T1)s(A

Abbiamo 2 poli a frequenze:

0R221

21

21

212,1 A1411

2

1p

Si può osservare come per valori di crescenti i 2 poli partono da valori negativi fino a diventare CC (quando il discriminante diviene negativo). La parte reale dei 2 poli non si può annullare, conseguenza di uno sfasamento di che si ottiene solo all’ per la frequenza .

Anche in questo caso si può pensare ad una rappresentazione grafica mediante il diagramma di Bode.

Ovviamente la ricerca delle condizioni di stabilità si può perseguire in modo preciso visto che si hanno 2 poli. Tuttavia nella gran parte dei casi si verifica che uno dei 2 poli risulta dominante rispetto all’altro. Supponiamo pertanto che 1>>2.





1log

s1s1

Alog

s1s1

Alog20)Tlog(200

21

0R

21

0R

Quindi:

Da quando si ha |T|=1 in poi, il comportamento asintotico del guadagno ad anello chiuso coincide con quello di |T/|=|AR|. Questa proprietà scende dal fatto che:

R

1|T|

f AT

T1

T1

T1A

0R1

2

22,1 A411

1

2

1p

Se 1 >> 2 i 2 poli della struttura reazionata danno:

Supponiamo che il termine entro radice sia poco diverso da 1, ovvero che sia stato scelto sufficientemente piccolo::

2

x1x1

è:

0R1

2

20R

1

2

22,1 A211

2

1A411

1

2

1p

-

+

1

0RA

2

1

dB

1/1 1/2

AR0/1

21

0Rs1s1

A

20R1 s1As1

11

|T|=1

Caso in cui la reazione presenta poli reali distanti.

dB

1/1 1/2

AR0/1

21

0Rs1s1

A

1

|T|=1





Agiamo analiticamente per trovare le condizioni per avere l’angolo margine desiderato. Dobbiamo imporre che valga il sistema:

1)T(

45 ,60 ,)(

s

s

0 ,)(atg2

)(atg)(atg)(teo

2s21

2s1ss

Quindi:

22

2s

teo

2s)(tg

2)(atg

45quando 1

60quando 577.0

2

0R2

1

21

20R

1

20R

2s1s

0Rs

1A

1

11

1A

j1

1A

1j1

1A1T

Se facciamo valere il segno di = otteniamo il massimo valore ammesso per per conseguire buona stabilità. I 2 poli divengono per questa circostanza:

2

22,1 1411

1

2

1p

45 ,16.2j11

2

12411

1

2

1

22

60 ,29.1j11

2

1667.0411

1

2

1

22

Nella risposta al gradino nel primo caso ci aspettiamo un overshoot del 23 %, nel secondo solo del 9 %.




Guadagno di anello con triplo polo

L’impiego di un amplificatore a triplo polo è certamente da evitare a meno che il terzo polo si trovi distante dai primi 2.

Di fatto questo è quello che si fa in modo che succeda nella pratica.

Siccome i conti sono molto complessi e la soluzione la si trova solo per via numerica nella grande maggioranza dei casi, conviene considerare l’effetto del terzo polo come un disturbo ai primi 2.

Vale a dire che se si è nella consapevolezza che il terzo polo contribuisce, si considera la fase peggiorata di una ammontare opportuno di gradi, per poi cercare la condizione |T|<1 con solo due poli:.

III2s1ss )(atg)(atg)(

La condizione imposta semplicemente ci prescriverà una frequenza margine più bassa di quella che troveremmo se III non fosse presente.




La compensazione a polo dominante (1)

Supponiamo di realizzare un amplificatore a guadagno unitario, per semplicità, e supponiamo, per semplicità che Ro, RL, Ri=, ma che la funzione di trasferimento dell’OA sia a 2 poli.

+

-Vi

Vo

VV

s1s1

A

BA

o

Avremo che, banalmente, il guadagno di anello è:

BA

os1s1

AT

1/A 1/B

BA

0s1s1

A

)1(1

|T|=1

Avremo sicuramente un angolo margine minore di 45° a meno che la frequenza del secondo polo non capiti a |T|=1, o che si alzi il valore 1/, cambiando i parametri di progetto.

Nei casi in cui il guadagno sia imposto, per risolvere il problema si può fare ricorso alla compensazione, consentita in dispositivi predisposti.

In questi casi è possibile connettere all’amplificatore un condensatore di valore opportuno che ci consente di “spostare” uno dei 2 poli.

dB




La compensazione a polo dominante (2)

Possiamo modellare, per semplicità, l’OA come composto di 2 stadi con un polo, quello a più bassa frequenza, messo in risalto con una rete RC.

Alcuni OA commerciali consentono di aggiungere una capacità CC

esternamente che aumenta la costante di tempo del polo di bassa frequenza.

1+

-

B

os1

A

RA

CC

BAAAAAB

o 11 ,CR ,s1s1

A

Vi Vo

CA

Ponendo CC A si sposta al valore: CAA'A CCR

Scegliendo opportunamente CC si può “plasmare” la funzione di trasferimento in modo che, per esempio, l’angolo margine divenga proprio 45°:

dB

1/A 1/B

B'A

0

s1s1

A

)1(1

|T|=1

'A1

Compensazione

Nessuno vieta di impostare angoli margine migliori di quello indicato, basta aumentare CC.

Ovviamente si paga un prezzo: aumentando CC si diminuisce la banda di frequenza disponibile. Maggiore è l’angolo margine, minore è la risposta in frequenza ottenuta. Occorre fare attenzione a questo effetto nel compiere questo tipo di compensazione.

Capacità aggiunta.




+

-

vo

+

-

vo

Risposta in frequenza dipendente da Zi (1)

Supponiamo che l’OA abbia una impedenza di ingresso con componente capacitiva, ovvero vi sia una capacità parassita o altro, connessa tra i 2 terminali di ingresso. Essendo interessati alle alte frequenze per lo studio del guadagno di anello ammettiamo che:

isC1

isC1

iR

Per semplicità supponiamo Ro trascurabile. Analizziamo:

+

-Vs Ci

R1

R2

Vo

VV

s1

A

A

o

Ci

R1

R2

VV

s1

A

A

o

Siamo interessati alla valutazione del guadagno di anello. Potendo trascurare la presenza di Ro per ipotesi possiamo applicare in modo semplice il segnale di prova:

T

1i

121i

1 V

RsC1R

R

1

RsC1

RV

1i

1RsC1

R

A

o

Ei21

1TV

VV)(A

s1

A

RsC1

1

RR

RT

Abbiamo ottenuto che sebbene la funzione di trasferimento dell’OA sia a singolo polo, il guadagno di anello possiede 2 poli, potendo manifestare criticità.

La presenza di elementi capacitivi può perciò divenire determinante.

21E RRR

VT per valutare T





oERisC1

A

o logs1

Alog

Risulta conveniente compiere lo studio con i diagrammi di Bode per verificare la condizione |T|=1:

21

1o RR

R

Siccome abbiamo una certa arbitrarietà, niente ci vieta di potere confrontare:

0s1

A

RsC1log

A

o

Ei

o

Osservazione importante:

La fase di nostro interesse resta quella di T, ovvero:

)(atg)RC(atg)( AfEiff

e non la fase:

)(atg)RC(atg)( AfEiff

dB

1/(CiRE)f

|T|=1A

os1

A

oERisC1

T

Es.: 1/o=2, Ci=10 pF e T=Ao/A=6.28 108 rad/s. Consideriamo i 2 casi: RE= 1 k e RE=10 k

Valutiamo frequenza e sfasamento per |T|=1:

1

1

RC1

A1

s1

A

RsC1 2A

2f

2E

2i

2f

2oo

2

A

o

Ei

o

Si ottiene una eq. di grado IV risolvibile:

2A

2o

22E

2i

2E

2i

22,1

ARC411

RC2

1

Per le soluzioni aventi >0 vale il segno -:

7.148)( e Mrad/s 7.163k 1R

170)( e Mrad/s 6.55k 10R

ffE

ffE




+

-

vo

+

-

vo


Di principio un buon angolo margine potrebbe essere ottenuto abbassando il valore di RE, mantenendo inalterato il guadagno. Supponiamo però che questo non possa essere praticato e neppure si possa alzare il valore del guadagno ad anello chiuso. Se non si può compensare l’amplificatore possiamo agire con un piccolo condensatore in || ad R2:

+

-Vs Ci

R1

R2

Vo

VV

s1

A

A

o

CC

Ci

R1

R2

VV

s1

A

A

o

1i

1RsC1

R

CC 2C

2RsC1

R

T

1i

1

2C

21i

1 V

RsC1R

RsC1R

1

RsC1

RV

A

o

ECi

2C

21

1TV

VV)(A

s1

A

RCCs1

RsC1

RR

RT

21E RRR

Valutiamo il guadagno di anello:

dB

1/[(Ci+CC) RE]

f

|T|=1A

os1

A

2RCsC1o

ERCCiCs1

T

)(atg)RCC(atg)RC(atg)( AfECif2Cff

L’aspetto fondamentale è che ora alla frequenza dove |T|=1 lo sfasamento si è “alzato”:

Vale a dire che si è operato una sorta di cancellazione polo/zero.

VT per valutare T





dB

f

|T|=1A

os1

A

2RCsC1o

ERCCiCs1

T

Ora si deve riconsiderare il conto per f:

1

1

RCC1

RC1A2f

2E

2Ci

2f

22

2C

2f

2

A

o

Anche qui abbiamo un’equazione di IV grado risolvibile:

0A

RCA

1RCC2

A

o2f

22

2C

2

A

o4f

2E

2iC

ab c

22

2,1fb

ac411

a2

b

pF 1C se 118)(s/Mrad70 Cff

pF 2C se 7.98)(s/Mrad107 Cff

Perciò si ottiene un grosso beneficio dalla presenza della capacità che realizza la compensazione polo zero. Addirittura si potrebbe fare in modo che: CCR2=(CC+Ci)RE (nel nostro caso questo si ha per Ci=CC). In questo caso abbiamo una cancellazione completa del polo con lo zero:

A

o

21

1TV

RETV

s1

A

RR

RT

In questo caso lo sfasamento massimo risulta di 90° ed f risulta:

s/Mrad314A

A

of

CC1

CC2 > CC1

CC = Ci

1/[(Ci+CC) RE]

Mettiamoci nella condizione peggiore in cui RE=10 K (ovvero R2=20 K, per =0.5):




BA

o

o'L

'L

21

1TV

VV)(A

s1s1

A

RR

R

RR

RT

Risposta in frequenza dipendente da RL (1)

Un altro parametro che genera effetti sul comportamento in frequenza èrelativo all’impedenza di carico all’uscita. Cominciamo dal caso piùsemplice in cui l’impedenza di carico sia resistiva.

+

-Vs

R1

R2

Vo

VV

s1s1

A

BA

o

R1

R2

In questo caso, ovviamente, l’effetto di RL è presente se l’impedenza di uscita Ro dell’OA è ≠ 0 .

To

'L

'L

o VRR

RV

To

'L

'L

21

1o

21

1 VRR

R

RR

RV

RR

RV

Quindi, se facciamo in modo che la frequenza a |T|=1 sia 1/B, deve valere che:

RL

+

-

RoVT

VV

s1s1

A

BA

o

RL

21L'L RRRR

Vo

2

A

RR

R

R

RR

12

A

RR

R

RR

R|T|

A

Bo

o'L

'L

1

21

A

Bo

o'L

'L

21

1




Risposta in frequenza dipendente da RL (2)

Interpretazione grafica:

Per cui si ha un beneficio nella stabilità se l’impedenza di carico ha un valore finito: infatti l’angolo margine si ottiene con un valore di 1/ più piccolo, ovvero a parità di valore di 1/ l’angolo margine è più grande se RL ha un valore finito.

La presenza di un valore finito di RL comporta ovviamente un aumento della potenza dissipata, se consideriamo che, per avere un effetto tangibile, deve avere un valore prossimo a quello di Ro, che è generalmente intorno a 100 .

Però attenzione: se l’impedenza di carico fosse puramente capacitiva sarebbe un guaio, a meno di …:

2

A

RR

R

R

RR

A

Bo

o'L

'L

1

21

dB

1/A 1/B

B'A

0

s1s1

A

B'A

0

o'L

'L

s1s1

A

RR

R

RL=

RL<1

21R

RRperLimiti




BA

o

oLL

LL

21

1TV

V)(A

s1s1

A

RRsC1

RsC1

RR

RT

Risposta in frequenza dipendente da RL (3)Dovendo pilotare un cavo necessariamente dobbiamo tenere in conto del suo effetto capacitivo e del ritardo di trasmissione, che induce riflessioni. Partiamo dallo studiare l’effetto della presenza della capacità e della sua cura:

+

-Vs

R1

R2

Vo

VV

s1s1

A

BA

o

R1

R2

Alla capacità del cavo aggiungiamo una resistenza RL in serie e vediamo cosa succede.

ToLL

LLo V

RRsC1

RsC1V

E’ evidente l’importanza della presenza di RL: determina una compensazione polo-zero. La costante di tempo CLRL deve essere sufficientemente minore di B. Se così fosse ci ridurremmo al caso precedente:

RL

+

-

RoVT

VV

s1s1

A

BA

o

RL

L

LL21

L

LL'L sC

RsC1RR

sC

RsC1R

Vo

CL

CL

2

A

RR

R

R

RR

A

Bo

o'L

'L

1

21

La situazione con RL=0 non è proprio auspicabile perché avremmo sicuramente la presenza di un polo addizionale. La morale è che bisogna prevedere sempre la presenza di RL quando si pilota un cavo. Valori tipici sono 50 – 100 .




Vo

Quando la linea è una capacità e quando una linea?

Digressione sulle linee di trasmissione (1)

+

-Vs

R1

R2

RL

Zo Zo

Questa è una questione abbastanza classica: qualsiasi circuito in cui l’inverso della frequenza massima trattata è << del tempo di percorrenza della linea si può considerare a costanti concentrate e l’unica variabile che si considera è il tempo.

Quando però la frequenza di operazione diventa elevata questo non vale piùe lo spazio deve essere preso in considerazione.

Fortunatamente questo accade solo nelle connessioni elettriche lunghe (a meno che si consideri il regno delle micro-onde). Quindi in quel caso si deve considerare solo il ritardo di trasmissione, se a linea è propriamente terminata. Questo vale se la linea stessa non fa parte della reazione del sistema, come frequentemente accade. Altrimenti il suo sfasamento indotto non andrebbe trascurato.

RLF





Nel caso si avesse a che fare con segnali veloci la lunghezza delle linee che connettono la sorgente del segnale ed il o i ricevitori non possono essere trascurate.

La limitazione nella velocità di trasmissione delle onde elettromagnetiche èla velocità della luce nel mezzo trasmissivo.

Nel nostro caso il mezzo trasmissivo sono le piste dei circuiti stampati, le linee di connessione interne ai circuiti integrati stessi ed i cavi di collegamento utilizzati.

I concetti da tenere in considerazione quando si ha a che fare con tempi di propagazione non trascurabili sono 2:

Le onde elettromagnetiche possono venire riflesse. Possiamo avere l’onda composta dalla sovrapposizione dell’onda che si muove in una direzione e dell’onda riflessa che ritorna indietro:

)vtx(f)vtx(f)t,x(f 21

La velocità nel mezzo è finita:

1L

quindi il tempo di propagazione lungo una linea lunga L è:

Un esempio di linea semplice il classico doppino composto da 2 fili:

Vs

Rs

L*T





La più generica modellizzazione di una linea di trasmissione comprendeuna successione di elementi circuitali composti da induttanze, resistenze, conduttanze e capacità. Questi parametri sono tutti definiti per unità di lunghezza, x, della linea.

Se la linea non presenta trascurabili le resistenze e conduttanze per unitàdi lunghezza, ovvero se la corrente circolante è molto grossa rispetto a tali valori, si dice che la linea è dissipativa.

Vs

Rs L R

C G

L R

C G

L R

C GRL

x

L

C

L

C

L

C

L

CVs

Rs

x

Nel caso di trasmissione di segnali di bassa potenza quasi sempre la linea può essere considerata non-dissipativa, omettendo la presenza delle resistenze per unità di lunghezza.

Nel caso in cui la linea sia non-dissipativa si può fare una valutazione del comportamento senza dovere coinvolgere aspetti matematici complessi.

Prima osservazione:

Mano a mano che il segnale percorre la linea porta con se l’energia data dal generatore. Questa energia viene successivamente trasferita dalla prima induttanza alla prima capacità, quindi dalla seconda induttanza e alla seconda capacità, e via di seguito.





Siccome nel processo l’energia trasmessa deve rimanere intonsa, deve essere soddisfatta la condizione che in ogni punto x l’energia assorbita dall’induttanza i-esima deve essere uguale all’energia consegnata alla capacità i-esima:

)x(U)x(U CL

ovvero: 2T

2T )x(vCdx

2

1)x(iLdx

2

1

Abbiamo il primo fatto fondamentale:

C

L

)x(i

)x(vZ

T

To

In ogni punto x della linea il rapporto tra la tensione e la corrente è costante e dipendente dalle caratteristiche della linea stessa. Tale rapporto è detto impedenza caratteristica della linea.

Il segnale elettrico propaga lungo la linea alla velocità della luce nel mezzo trasmissivo. Il tempo di propagazione del segnale di un tratto x è dato da:

CZxxx

T oL

Guarda caso in una linea di trasmissione la capacità e l’induttanza per unità di lunghezza hanno simili dipendenze geometriche e vale che:

LC

11L

Esempi:





Supponiamo di applicare un segnale ad una linea che abbia una lunghezza . Il segnale propagherà solo in avanti non essendo riflesso in nessun punto. Non avremo quindi l’onda riflessa che torna verso la sorgente.

La linea si comporta come se avesse impedenza Zo anche al suo ingresso. Perciò il segnale della sorgente, avente impedenza serie RSEC, subisce la partizione con Zo. In sostanza la linea non si accorge all’ingresso di essere l’inizio.

Se la linea ha invece ha lunghezza finita ed all’estremo opposto alla sorgente è chiusa su un’impedenza uguale a quella caratteristica si ha la condizione di terminazione.

L’energia presente nella linea viene “ripartita” tra la linea stessa e il carico in parti uguali. L’energia viene dissipata dal carico, ma la linea non si accorge di essere finita. Il segnale non è riflesso.

Il segnale giunge all’estremità opposto della linea solo dopo il ritardo di propagazione dovuto alla lunghezza della linea stessa.

La questione è capire cosa succede quando l’impedenza di terminazione di sorgente e/o di carico differiscono da Zo.





Possiamo pensare al nostro segnale come ad una serie di pacchetti d’onda che percorrono la linea nelle 2 direzioni possibili.

RL

L

C

L

C

L

C

L

CVs

Rs

x

VT, IT

VR, IR

L’onda che arriva porta una certa quantità di energia ET. Se questa energia non venisse completamente assorbita dal carico ZL parte d’essa, ER, verrebbe riflessa all’indietro:

CARICOTR EEE

Ovvero la derivata:

CARICOTR PPP

o

2R

RRR

R

2R2

1R

R Z

VVI

dt

dVCV

dt

CVd

dt

dEP E:

Quindi: L

2

TR

o

2T

o

2R

R

VV

Z

V

Z

V

Da cui:

ToL

oLR V

ZR

ZRV

(lo stesso vale anche per la corrente a parte il segno)

La misura del segnale riflesso dipende da quanto l’impedenza di carico si discosta dall’impedenza tipica Zo.

Ovviamente questo stesso ragionamento si applica anche al terminale di ingresso della linea.





Vediamo i 2 casi estremi. La linea ha come carico un cortocircuito, mentre èadattata all’ingresso. Il segnale riflesso è uguale ed opposto al segnale trasmesso.

Se T è il tempo di propagazione lungo la linea, dopo un tempo pari a 2T il segnale si annulla al terminale di ingresso. Questa tecnica è usata per creare impulsi di durata definita.

Il secondo caso si ha quando la linea è adattata all’ingresso ed ha un aperto circuito come carico.

Il segnale riflesso è identicamente uguale al segnale trasmesso. Dopo 2T il segnale all’ingresso raddoppia in ampiezza.




Risposta del differenziatore (1)

-

+

C

R

Vi Ci io sCRVV

Supponiamo che Ro sia trascurabile. Il guadagno di anello si valuta agevolmente.

C

R

Ci

A

os1

A

A

os1

A

Ti

VRCCs1

1V

RCCs1

1

s1

A

V

V)(AT

iA

o

T

Anche qui siamo nella situazione di avere 2 poli nel guadagno di anello, pur essendo partiti con un amplificatore avente solo un polo. Il differenziatore può incorrere in problemi di stabilità, se non compensato.

Per la compensazione possiamo ricorrere a 2 tecniche, che portano entrambe ad una perdita delle proprietà della rete.

-

+

C R

Vi Ci

CC

In questo caso T viene modificato in:

RCCCs1

RsC1

s1

AT

Ci

C

A

o

Affinché la rete non venga troppo depauperata delle sue proprietà occorre che CC non risulti troppo grande.

Supponiamo che: Ao/A=6.28 Mrad/S, C=500 pF, Ci=10 pF ed R=10 k.

-

+

VT per valutare T

RCCs1

1

s1

A

V

V)(AT

iA

o

T




Risposta del differenziatore (2)

Se non avessimo CC, considerato che CR deve essere una costante di tempo sufficientemente grossa, otterremo uno sfasamento molto prossimo a quando |T|=1, risolvendo la solita equazione di IV grado::

sMrad

RCC

Af

i

Ao

Af /.52

411

2

122

22

22

175)(atg)RCC(atg)( Afiff

Mentre per lo sfasamento otterremmo:

Possiamo cercare CC tale che ci consegni un innalzamento del margine di fase di 45° alla frequenza RCC.

dB

1/(CCR)

|T|=1A

os1

A

RCsC1

RCCiCCs1

135)(atg

)RCCC(atg)RC(atg)(

Af

CifCf'f

Uguagliando ad 1 |T| in modo qualitativo per semplicità, ponendo f=1/CCR e supponendo (CC+Ci+C)R>>1/f, otteniamo:

1RCCCC

C2AC

iC

C

A

o

0CCR2A

C CA

o2C

Da cui (con Ci trascurata):

Dalla eq. di II grado si può estrarre:pF81CC

dB

1/(CCR)

135°

A

os1

A




Il preamplificatore di carica o integratore (1)

-

+

CD

Rf

IiCi

A

os1

A

Cf

Rivelatore

La costante di tempo RfCf per rivelatori ordinari è posta la piùgrande possibile per minimizzare il contributo del rumore parallelo dovuto ad Rf (vedi più avanti nel corso).

La rete si comporta come un quasi integratore.

Frequentemente il segnale del rivelatore è un impulso di breve durata assimilabile ad una (t): )t(Q)t(ID

dove Q è la carica rilasciata nel rivelatore dalla particella incidente.

Assumendo il guadagno dell’AO l’analisi della rete fornisce:

ffff

ft

fo

fff

fo RC ),t(1

C

Qe

C

Q)t(V

sC

QQ

RsC1

RV

Ecco l’importanza di avere una impedenza di reazione capacitiva: il guadagno di carica risulta inversamente proporzionale al valore della sola capacità di reazione e può essere molto elevato per piccoli valori di Cf.

Ad esempio per un rivelatore al Si una particella di 100 keV di energia produce una Q di Q=27.8 kel. Con Cf= 1 pF si sviluppa un segnale di uscita di Vo=4.45 mV

Considerazioni sul valore di Rf. Il limite nel valore di Rf è legato all’entitàdella corrente statica di polarizzazione sia dell’amplificatore che del rivelatore, se connesso direttamente come sopra. Ad es. se Rf=1 G e la corrente di ingresso dell’OA fosse 1 nA si avrebbe una ddp di 1 V, non sempre trascurabile.

Per cui: F FF

F

1 sC RsC

R





Supponiamo per iniziare che Cf sia piccola, quindi si possa trascurare l’effetto di Ro nel guadagno di anello.

CD

Rf

Ci

A

os1

A

Cf

T

ff

f

iD

iDV

RsC1R

CCs1

1

CCs

1V

ffiD

ff

A

o

T RCCCs1

RsC1

s1

A

V

V)(AT

dB

1/((Ci+CD+ Cf)Rf) f

|T|=1

A

os1

A

fRfsC1

fRfCDCiCs1

T

Studiamo T con Bode:

ff

ffiD

A

oRsC1

RCCCs1log20

s1

Alog200)Tlog(20

Siccome abbiamo una compensazione polo/zero nel caso l’AO abbia un polo dominante non esistono problemi di stabilità, qualora Cf sia di piccolo valore, qualche pF o decina di pF.

Sotto l’ipotesi che Rf sia molto grande possiamo approssimare:

o oRET f

T D i f A A

A AV CT

V C C C 1 s 1 s

Quindi il sistema ha un solo pollo, se l’amplificatore ha in partenza un solo polo.

-

+

VT per valutare T





Per cui, nell’ipotesi che sia RfCf adeguatamente grande si ha:

dB

f

|T|=1

A

os1

A

fCfCDCiC

T

o oRET f

T D i f A A

A AV CT

V C C C 1 s 1 s

Qs1

1

sC

1

Qs1

1

A1

A

sC

1

Qs1

1

A1

A

sC

1Q

As1

A

sC

1

Q

s1

A1

1

s1

A

sC

1

T1

T

sC

1V

fCfCiCDC

oAAf

fCfCiCDC

oAAo

o

f

oA1Ao

o

foA

o

f

A

oA

o

ffo

Quindi da:

Abbiamo:

Questa è una proprietà generica: se -T(0) ha un valore elevato, il comportamento dell’amplificatore sarà descrivibile da una funzione del tipo:

1...aa

11A

1n1n

nn

f

Quindi tale che Af(0)=1/, e |Af()|=0.





Nel dominio del tempo risulta pertanto che:

f

fiD

o

Afe

fef

f

fiD

o

Afo C

CCC

A,

s1

1

s

1

C

Q

C

CCC

As1

1

sC

QV

)t(1fee1C

Q)t(V t

fo

E’ importante conoscere l’impedenza di ingresso:

-

+

CD

Rf

ITCi

0Ao Cf

Vo=0

Annulliamo l’anello:

VT

fiDf

fiT

f

fiDf

f

ffTiTDTT

RCCCs1

RZV

R

RCCCs1

R

RsC1VsCVsCVI

1

A1RA1CCC

sA1

RCCCs

s1

A1

R

RsC1ARCCCs1s1

s1R

RCCCs1RsC1

s1A

1

1

RCCCs1

R

T1

1

RCCCs1

RZ

o

fofiDA

o

ffiDA2A

o

f

ffoffiDA

Af

ffiD

ff

A

ofiDf

f

fiDf

fif

L’impedenza di ingresso ha una dipendenza dalla frequenza che le associa la combinazione di un comportamento induttivo e capacitivo.

(assumiamo che Ro0)





f A

ifD i f D i fo o f

f Ao o f

D i fT f

T f

R 1 1 1Z

C C C C C CA A C1 s R 1 s

A A C

1 1C C CC 1 s

C

La situazione interessante si ha, pertanto, quando CfRf=A:

In questa circostanza l’impedenza di ingresso è resistiva fino a frequenze elevate (vedi anche tra qualche pagina dopo per un approfondimento).

Aif

A D i f o f

f f A D i f

f A

o A D i ff f

o f

R C , grandif f AA

f o A D i f

o f

T f A D i f

o f

T f D i f

1 1 sZ

C C C 1 A C1s s

C R C C C

R 1 s

1 A C C C1 sC R 1 s

1 A C

1 1

C 1 A C C C1 s

1 A C

1 1

C C C C1 s

1 A C

1 1

C C C C1 s

T fC

Quindi l’impedenza si mantiene costante fino alla presenza del polo ad anello chiuso. L’impedenza di ingresso è tanto più piccola tanto più grande è la larghezza di banda dell’amplificatore.





Verifichiamo ora sotto quali condizioni occorre stare attenti al problema della stabilità.

Il primo caso lo abbiamo quando l’OA presenta 2 poli. Nell’ipotesi di Rf

molto grande abbiamo:

BA

o

fiD

fs1s1

A

CCC

CT

dB

|T|=1

BA

os1s1

A

fCfCDCiC

Sotto la condizione che A>>B lo sfasamento di 135° per T si verifica approssimativamente alla frequenza s=1/B, dove dobbiamo imporre che |T|1:

12

A

CCC

C

A

Bo

fiD

f

12

ACC

C

A

Bo

iDf

Quindi nel caso l’OA abbia 2 poli occorre imporre un limite al valore del condensatore di reazione Cf. A meno che l’amplificatore adottato non abbia più che adeguate proprietà nel comportamento in frequenza.

Si deve notare che non è in genere possibile agire su CD giacché è un parametro che dipende dal rivelatore adottato.

A1 B

1





Gli esperimenti con gli acceleratori prevedono lo studio di particelle aventi energia cinetica molto elevata, dell’ordine della decina di GeV.

Es.: una particella di 10 GeV in un rivelatore al Si genera circa 2.8 Gel. Supponendo di usare un preamplificatore di carica con 100 pF, il segnale sviluppato ai capi del condensatore risulta: 4.44 V!

Quando si usano capacità di reazione così elevate non è più corretto considerare trascurabile l’effetto della resistenza di uscita del preamplificatore.

CD

Ci

Cf

-

+

RoVT

A

os1

A

T

iDf

ofiDV

CCs1

sCRsC1

1

CCs

1V

o

fiD

fiDA

o

fiD

f

RCCCCCC

s1

1

s1

A

CCC

CT

Perciò anche se si parte da un OA a polo dominante, per grandi capacità di reazione il guadagno di anello si presenta con 2 poli, per via della presenza dell’impedenza di uscita dell’OA.




Supponiamo di avere: Ao/a=5.28 108 rad/s, Ro=500 e Ci=CD=50 pF, Cf=100 pF ed infine =1/2.

Posto:


dB

|T|=1A

os1

A

o

fiD

fiD

f

fiD RCCC

CCCs1

C

CCC

ofiD

fiDRCCC

CCC

o

fiD

fiDe R

CCC

CCC

e: f

D i f

C

C C C

|T|=1 implica che: 2o

2 2 2A s s e

A 1 11

1

Dopo la soluzione dell’equazione IV che ne consegue si ottiene:

160108 )( e Mrad/s ss

L’angolo margine risulta essere risicato. Come cura occorrerebbe diminuire la Ro. Per esempio passando da 500 a 100 per Ro si otterrebbe:

137214 )( e Mrad/s ss

In genere si osserva una certa titubanza nei sistemi a grande numero di canali all’aumento della dissipazione, che consegue dall’avere RO piccola (infatti RO=1/gm 1/IBIAS del transistore di uscita).

Se si è limitati in dinamica l’alternativa alla diminuzione della impedenza Ro

è l’impiego di un OA con la possibilità di essere compensato.

s





Effetti della resistenza di reazione RF.

La presenza della resistenza RF determina che l’uscita del preamplificatore non è un integratore puro.

Supposto di avere una formatura CR-RC, all’uscita del filtro formatore avremo:

FFF2F

FO CRconQ

s1

s

s1

R)s(V

Differentemente che nel caso ideale, la risposta presenta uno zero nell’origine che inevitabilmente introduce una sottoelongazione, la cui accentuazione è tanto più pronunciata quanto più F si avvicina a . Lo zero infatti cerca di evitare la trasmissione in continua del segnale.

0 0.5 1 1.5 2

x 10-5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

AU

tauF/tau= 100

tauF/tau= 50

tauF/tau= 10

tauF/tau= 5

tauF/tau= 1.1





Effetti della resistenza di reazione RF.

RF deve essere presente per 2 ragioni. La prima è pratica

La seconda ragione riguarda il recupero della tensione di uscitaconseguente all’incidenza di particelle. Ammesso che IDC- si identicamente nulla, illuminando il rivelatore con una sorgente di particelle su CF si accumulerebbe carica fino a fare saturare l’uscita del pre.

+

-RF

IDC-

IDC+

CFAbbiamo che IDC+IDC- sono le 2 correnti statiche di polarizzazione presenti all’ingresso.

IDC+ non può sviluppare ddp.

La corrente statica di IDC- scorre tutta in RF, determinando all’uscita una tensione di offset di:

DCFO IRV

Se fosse RF= all’uscita del preamplificatore avremmo:

tC

IV

F

DCO

Che farebbe saturare il preamplificatore verso una delle 2 alimentazioni dopo un tempo che dipende dall’intensità di IDC-.

Nei sistemi in cui si vuole evitare la presenza di RF si usa un interruttore in || a CF che viene cortocircuitato con regolarità.

AVVERTENZA: RF deve avere il valore più alto possibile per questioni inerenti il suo rumore (si veda poi).





Effetto della larghezza di banda del preamplificatore.

s

Q

s1

s

s1

1)s(V

2rO

Nell’ipotesi che si possa considerare RF= per semplicità, il tempo di salita finito del preamplificatore: tr=2.2r ci d all’uscita del filtro CR-RC:

0 1 2 3 4 5 6

x 10-6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

AU

taur/tau= 0.01

taur/tau= 0.05

taur/tau= 0.1

taur/tau= 0.5

taur/tau= 0.9

Aggiungiamo quindi un polo che ci sposta inevitabilmente il picco a destra in funzione del suo rapporto su .

Questo effetto potrebbe danneggiare la risposta.

Cambiare l’ampiezza che nell’esempio ènormalizzata per comodità.

Inoltre in temperatura la scarsa stabilità della risposta in frequenza potrebbe modificare la linearità.

0 1 2 3 4 5 6

x 10-6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo

AU

taur/tau= 0.01

taur/tau= 0.05

taur/tau= 0.1

taur/tau= 0.5

taur/tau= 0.9

Qui invece non viene fatta alcuna normalizzazione. Si vede come il rise time del segnale ha effetti sull’ampiezza, se non èalmeno 10 volte più piccolo del temo di formatura.




L’impedenza: è detta resistenza fredda perché può essere significativamente più grossa di 1/gm , pur generando un rumore proporzionale a 1/gm (si veda più avanti).


Nota sull’impedenza di ingresso

L’impedenza di ingresso:

Nel caso RF possa essere assunta di valore e A di grosso valore:

fo

fiDAff

A

o

fif

CA1

CCCs1RsC1

s1

A1

RZ

fT

fiDfT

fo

fiDAo

A

fif

CCCC

s1

1

C

1

CA1CCC

s1

1

A

s

sC

1Z

Generalmente, in un preamplificatore di carica la frequenza a guadagno unitario T si esprime come:

o

mT C

g

dove gm è la trasconduttanza del transistore di ingresso e Co la capacitàdi compensazione. Con che:

f

o

m C

C

g

1




Appendice A: Esempio pratico di amplificatore (1)

+

-

CC

VCC

CF2

RA

RB

VS

VCC

CF1RF1

RF2

Consideriamo un amplificatore polarizzato con una singola alimentazione. Se il segnale di ingresso avesse valore medio nullo il processo di amplificazione sarebbe poco efficiente.

Se però il segnale ha contenuti statici trascurabili, è possibile realizzare una struttura così detta accoppiata in AC, ovvero non capace di amplificare segnali a frequenza molto piccola, o DC.

Allo scopo si introducono dei condensatori così detti di disaccoppiamento. Si realizza in sostanza la sovrapposizione di due segnali: uno statico, auto-generato, che serve ala polarizzazione, ed uno dinamico, avente componenti in frequenza sotto un certo valore trascurabili.

Nel circuito sopra le capacità di blocco del segnale statico sono 2: CF1 e CF2.





Assumendo che l’AO abbia guadagno abbiamo al solito che per il segnale V+V- e I+I-0, mentre una piccola corrente statica di ingresso, che per semplicità trascuriamo, potrebbe essere presente di uguale intensità ai 2 ingressi.

Per cui abbiamo che:

La valutazione statica del segnale è svolta assumendo le capacità di blocco come se avessero una valore nullo.

Nel circuito in esame l’auto-polarizzazione è implementata dalle 2 resistenze RF1 ed RF2.

CCF2CC

F1 F

RF 2

2

R1 F VRV V

R R 2

+

-

CC

VCC

RA

RB

VCC

RF1

RF2

I=0

VO

D’altra parte, essendo nulla la corrente statica che scorre in RA, sarà nulla anche la corrente che scorre in RB. Di conseguenza VO sarà circa prossima a V-

, quindi anche per VO varrà che:

CCF2O CC

F1 F2

R RF1 F2 VRV V V V

R R 2





Il segnale verrà completamente amplificato quando il suo contenuto in frequenza sarà adeguatamente elevato.

+

-

CC

VCC

CF2

RA

RB

VS

VCC

CF1RF1

RF2

Le 2 costanti di tempo di accoppiamento risultano essere:

1 F1 F1 F2

2 F2 A

C R R

C R

Per arrivare a questo basta applicare il principio di sovrapposizione e considerare VCC=0 V quando si applica VS.

Di solito si fa in modo che una delle 2 costanti di tempo sia dominante rispetto all’altra.

Nella fattispecie la più piccola è quella che imposta la frequenza di accoppiamento.





Quindi l’amplificatore si riduce alla configurazione che abbiamo giàanalizzato.

In funzione del guadagno impostato sarà necessaria la presenza della capacitàdi compensazione CC, se l’AO scelto ha questa opzione.

Nel nostro esempio l’AO in considerazione è l’AD829 che consente di implementare la compensazione:

Alle frequenze di lavoro i condensatori di blocco possono essere considerati dei cortocircuiti e la rete si può approssimare a:

+

-

CC

VCC

RA

RB

VS

VCC

RF1

RF2





Circuito di prova implementato:

Shee

tof

INF

N -

Uni -

Fis

- M

IBP

.zza

della

Scie

nza

, 3.

2012

6 (

MI)

Ita

ly

11

sch

em

atic

nam

e = S

CH

EM

ATIC

1

Tues

day

, D

ecem

ber

14,

2010

sche

matic

pat

h =

/

AD

829

-+

U1

AD

82

93 2

6

7 41 58

R1

51

R2

47

R3

1k

R4

51

C4

68p

C3

27p

C2

6.8p

C1

3.3

p

J1

BN

C_IN

1 2

J3P

OW

ER

1 2 3

J2

BN

C_O

UT

1 2

R9

0

VC

C

R12

1k

VC

C

R13

1k

SW

2S

W D

IP-4

/SM

C5

100n

VC

C

R5

ELI

PO

T-1

k

1 2

C7

1u

C8

100

n

R6

2k

R7

2k

VC

C

C6

1u

SW

3S

W D

IP-4

/SM

R11

150

R10

47

Gua

dagn

o V

aria

bile

Com

pens

azio

ne V

aria

bile

Accoppiamento AC




Testi di riferimento

Franco Sergio,

Amplificatori operazionali e circuiti integrati analogici : tecniche di progetto, applicazioni,

U. Hoepli, c1992.

P.R.Gray, R.G.Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, John Wiley & Sons;

Jacob Millman, Arvin Grabel

Microelectronics 2. ed

Mcgraw-Hill , 621.3815MILJ.MIC /1987

E.Gatti e P.F.Manfredi,

Processing the signals from solid-state detectors in elementary-particle physics,

La Rivista del Nuovo Cimento, Volume 9, Serie 3, 1986.

S.Franco

Electric Circuits Fundamentals

Oxford University Press, USA,1994, C. Biblio 621.3815 FRAS.ELE/1995

S.Franco

Design with Operational Aplifiers and Analog Integrated Circuits

McGraw-Hill, 2002, C. Biblio 621.3815 FRAS.DES/2002.



Il comportamento in frequenza degli amplificatori …pessina.mib.infn.it/Corsi_del_IV_anno/Il...

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