IIR Filter

NGUYỄN VĂN ĐỨC - 40700577

1

1. Giới thiệu bộ lọc IIR- Có đáp ứng xung vô hạn.

- Có thể mô tả bộ lọc tương tự bằng hàm hệ thống của nó:

ở đây và là các hệ số lọc.

- Ưu điểm:+ Chi phí tính toán thấp+ Thực hiện hiệu quả theo kiểu cascade

- Nhược điểm:+ Có sự bất ổn định do quá trình lượng tử hóa các hệ số có thể đẩy các cực

ra ngoài vòng tròn đơn vị.+ Không thể đạt pha tuyến tính trên toàn khoảng Nyquist

2. Thiết kế bộ lọc số IIR :- Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR

+ Thiết kế bộ lọc số từ các bộ lọc tương tự.+ Thiết kế trực tiếp bộ lọc số

Phương pháp 1 ít phức tạp về toán học và được sử dụng rộng rãi hơnphương pháp thứ 2.

Chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp thứ nhất :Theo kỹ thuật này, trước tiên chúng ta thiết kế 1 bộ lọc tương tự có đáp

ứng tần số mong muốn, sau đó dùng các phương pháp gần đúng để chuyểnđổi sang bộ lọc số.

Các phương pháp gần đúng :

Bộ lọc tương tự :


2

Ở bài tập này, chúng ta thiết kế bộ lọc IIR dùng phương pháp gầnđúng “Biến đổi song tuyến tính”

2.1 Biến đổi song tuyến tính (Bilinear transformation)- Đó là biến đổi từ mặt phẳng s vào mặt phẳng z. Biến đổi song tuyến

tính là phép ánh xạ biến đổi trục thành đường tròn đơn vị trongmặt phẳng z . Tất cả các điểm trong nửa trái mặt phẳng s, được ánhxạ vào phía trong đường tròn đơn vị và tất cả các điểm cực ở nửaphải mặt s được ánh xạ vào các điểm tương ứng ngoài đường trònđơn vị thuộc mặt phẳng z. Thông thường bằng việc thay s bằng giá trịsau :

- Nhận xét :

+ Toàn bộ mặt phẳng nửa trái ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị. Đây làphép biến đổi ổn định.

+ Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị là ánh xạ 1-1.Do đó không có aliasingtrong miền tần số.

+ Quan hệ của ω theo Ω là phi tuyến


3

2.2 Các bộ lọc tương tự- Mạch lọc thực tế :

Mặc dù bộ lọc lý tưởng là điều chúng ta mong muốn, nhưng trong ứng dụngthực tế không nhất thiết phải có sự chính xác tuyệt đối như vậy. Ta có thểthực hiện các bộ lọc có đáp ứng tần số xấp xĩ với mạch lọc lý tưởng ta mongmuốn.

Do đó với 1 bài toán thiết kế cho bộ lọc thực tế ta cần đưa ra các thông số:+ Tần số lấy mẫu (khz)

+ Tần số cắt dãi thông (khz)

+ Tần số cắt dãi chặn (khz)

+ Độ gợn dãi thông (dB)

+ Độ gợn dãi chặn (dB)

a. Bộ Lọc Butterworth- Tính chất: Bộ lọc này được đặc trưng bởi tính chất đáp ứng biên độ là bằng

phẳng trong cả dải thông và dải chắn.Nhưng đòi hỏi bậc N cao hơn so với các bộ lọc khác(có nhiều điểm cực hơn) để đạt cùng một chỉ tiêu dải chắn và nó có một đáp ứng pha khôngtuyến tính trong dải thông.

- Đáp ứng biên độ bình phương:

Trong đó,Ωc là tần số cắt tính theo rad/s.


4

Đáp ứng biên độ

• |Ha(0)|2 =1, |Ha(jΩc)|2 = 0.5, với mọi N (hệ số suy giảm 3dB ở Ωc)• |Ha(jΩ)|2 đơn điệu giảm theo Ω• Tiến đến bộ lọc lý tưởng khi N→∞

- Ưu điểm của thiết kế trong trường hơp bộ lọc Butterworth là thu được bậc N và tần số cắtΩc.

Đối với dải chắn,ta có quan hệ:

Đối với dải thông ta có quan hệ:

Kết hợp lại,ta rút ra được biểu thức tính bậc N của bộ lọc Butterworth


5

b. Bộ lọc ChebyshevĐối với bộ lọc tương tự Butterworth,đáp ứng biên độ giảm đơn điệu cả ở dải thông và

dải chắn.Chính vì vậy gần đúng Butterworth không cho ta kết quả tốt,tức là với cùng một chỉtiêu kĩ thuật đã cho thì bậc của bộ lọc tương tự Butterworth sẽ lớn hơn.Để giảm bậc của bộlọc tương tự,chúng ta sử dụng gần đúng Chebyshev (cho kết quả tốt hơn).

b1. Bộ lọc Chebyshev 1

- Tính chất: là các bộ lọc toàn cực có tính chất gợn sóng đều ở dải thông và tínhđơn điệu ở dải chặn.


Trong đó, ε là một tham số xác định biên độ của gợn sóng ở dải thông ; TN (x) là đathức Chebyshev bậc N được định nghĩa như sau:

Đa thức Chebyshev có thể được thành lập bằng phương trình đệ quy:

Trong đó T0 (x) = 0 và T1 (x) = 1

Các tính chất của đa thức Chebyshev:


6

Đặc tuyến tần số của bộ lọc Chebyshev bậc 1, ε = 0.8

b2. Bộ lọc Chebyshev 2

- Tính chất: là các bộ lọc chứa cả cực và zero,có tính đơn điệu ở dải thông và tínhgợn sóng đều ở dải chặn.Các zero của bộ lọc Chebyshev loại 2 nằm trên trục ảo trong mặtphẳng s.Đáp ứng pha tuyến tính hơn trong dải thông so với bộ lọc Chebyshev loại 1.


Trong đó, TN(x) là đa thức Chebyshev bậc N và Ωs là tần số giới hạn dải chặn.


7

Đặc tuyến tần số của bộ lọc Chebyshev loại 2

Nhìn chung ta thấy các bộ lọc Chebyshev được đặc trưng bởi các thông số N, ε và tỉ số Ω.Có thể xác định được bậc của bộ lọc từ biểu thức:

Nếu so sánh bộ lọc Butterworth với bộ lọc Chebyshev có cùng số cực,cùng dải thông và dảichặn thì bộ lọc Chebyshev có dải quá độ hẹp hơn.

c. Bộ lọc Elliptic- Tính chất:

+ Có tính gợn sóng ở cả dải thông cũng như dải chặn ; có các đặc trưng đáp ứngbiên độ tương tự như các bộ lọc FIR cân bằng gợn sóng.

+ Vì vậy các bộ lọc elliptic là các bộ lọc tối ưu trong đó đạt được bậc tối thiểu N đốivới các chỉ tiêu đã cho.

+ Vì rất khó để phân tích và thiết kế nên không thể dùng các công cụ đơn giản màthường phải sử dụng các chương trình hoặc bảng để thiết kế.

Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình phương biên độ nhưng lại cóđáp ứng pha phi tuyến hơn trong dải thông.


8


Trong đó, N là bậc; ε là gợn sóng dải thông; UN(x) là hàm Jacobian elliptic bậc N.

Đặc tuyến tần số của bộ lọc Elliptic

3. Các lệnh cơ bản dùng trong MATLAB:- Lệnh ước lượng bậc tối thiểu cho các bộ lọc áp dụng phương pháp biến đổi

song tuyến tính :1. [N,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)2. [N,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)3. [N,Wn] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)4. [N,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)

- Lệnh tìm các hệ số của hàm truyền các bộ lọc :

1. [b,a] = butter(N,Wn)

2. [b,a] = cheby1(N,Rp,Wn)

3. [b,a] = cheby2(N,Rs,Wn)

4. [b,a] = ellip(N,Rp,Rs,Wn)


9

- Lệnh tìm đáp ứng hàm truyền khi đã biết các hệ số [a,b][h,w]=freqz(b,a,256)

- Lệnh xuất ra các hệ số SOS (Second Order Sections)[z,p,k]=butter(n,Wn)[s,g] = zp2sos(z,p,k)

Và các lệnh cơ bản khác : plot, set(), get(), xlabel(),ylabel(), axes(handles.axes), …

IIR Filter

Documents

Transcript of IIR Filter