تﺎﻨﻳﺮﻤﺗ - نمره...

: مشخص کنيدها را ، حاصل عبارتمحور اعدادبا استفاده از -۱],(),() الف 5342 ∪− ),(],[) ب 514 −−∞ ∩ ],[),(),[) ج ∪ −∞−− 5332

|{ اگر -۲ 1≥x∈= xA |{ و } 23 ≤

: هاي زير را بنويسيدنبالهي اول د چهار جمله-۱۰

• 132 2

−= nnan

• 212

+−= nt

nn

• nb nn )( 2−=

• 231 12

++−=

+

nnc

nn

)(

nي کدام جمله از دنباله-۱۱n 42 است؟ 1 برابر +

132ي در بين جمالت دنباله۲۵ آيا عدد -۱۲ +−= nntn وجود دارد؟ ntي ي دنبالهسومين جمله -۱۳ nn 33 +−= 145ي ي دنباله با چندمين جمله)( +−= nanبرابر خواهد بود؟ :ي زير را بنويسيدي چهارم دنباله جمله-۱۴

nn aaa 342 11 −== +, 24117ي ي حسابي رابطه در يک دنباله-۱۵ =− ttقدر نسبت را بيابيد. برقرار است. .ي صدم را بيابيد، قدرنسبت و جملهaي حسابي زير مقدار دنباله در -۱۶

…,,, 9453 ++ aaa .قدر نسبت تصاعد را تعيين نماييد. تر است واحد كوچك٤٢ي سوم آن ي دهم يك تصاعد عددي از جملهجمله -۱۷قـدر نـسبت جمـالت را . برابر مجموع جمالت دوم و چهـارم اسـت ٥/١ در يك دنباله هندسي مجموع جمالت اول و سوم -١٨

. بدست آوريد .قدر نسبت را حساب کنيد. دهندي هندسي مي اعداد زير تشکيل دنباله-١٩

31214 ++− xxx ,, yx را چنان بيابيد که x عدد -٢٠ yxي حسابي بين دو عدد واسطه+2 123 و −6 ++− yxباشد . .ي ديگر را تعيين کنيد باشد، دو زاويه100ها ترين آناگر بزرگ. اند زواياي يک مثلث تشکيل تصاعد عددي داده-٢١محـيط ايـن مثلـث را . دهنـد متر مربع است و اضالع آن تشکيل تصاعد عددي مي سانتي٢٤ويه الزا مساحت يک مثلث قائم -٢٢

.تعيين نماييدي هجدهم ي اول، قدرنسبت و جمله جمله . است ٤ي هفتم برابر اند و جمله در يك تصاعد حسابي جمالت دوم و هشتم قرينه -٢٣

. را تعيين کنيدقـدر نـسبت . انـد ي متوالي از تصاعد هندسي صعوديم و يازدهم به ترتيب سه جمله در يک تصاعد عددي جمالت اول، پنج -٢٤

. تصاعد هندسي را بيابيدترين و اگر تفاضل کوچک. ي حسابي دهنددهيم که کل اعداد تشکيل دنباله تعدادي عدد طوري قرار مي٦٣ و ٨بين دو عدد -٢٥

. باشد، آن اعداد را مشخص کنيد٣٣ها ترين آنبزرگ . را بيابيدb و aي عددي بين واسطه. اندي متوالي از يک تصاعد هندسي سه جملهb2 و a2 ،24 اعداد -٢٦ . ي پنجم را بدست آوريدجمله. است٤٠ ي هفتم و جمله١٠ي سوم در يك تصاعد هندسي صعودي، جمله-٢٧432ي هندسي روابط در يک دنباله-٢٨ =aa 3224 و =)(aي سيزدهم اين دنباله را بيابيدجمله. برقرار است.

درسنامه برتر رياضي سال دهم (24) موضوع: مجموعه، الگو و دنباله

!)ها باعث تکميل و عميق شدن يادگيري خواهد شدحل تمرينات بخش مهمي از فرآيند يادگيري است؛ انجام دقيق آن( . نمايش دهيدي مثلثاتيدايره را در 54 و −27 زواياي -۱همـين سـؤال را در . د در کدام نواحي مختصات، سينوس در حال افزايش و در کدام نواحي در حال کاهش اسـت مشخص کني -۲

.مورد کسينوس پاسخ دهيد39اگر : با استفاده از تمرين قبل -۳ . شـود ي درجه بلند مـ 3ي متر حرکت کرده و سپس با زاويه 95ابتدا . خواهد از روي باند فرودگاه بلند شود هواپيمايي مي -٥

طول باند چقدر است؟. متر ارتفاع گرفته است2رسد، وقتي هواپيما به انتهاي باند مي در کدام ربع قرار دارد؟ θي باشد، زاويهθcos> و θsin> اگر -۶7 اگر -۷

31 =+ θsinو >θcosي باشد، زاويهθ در کدام ربع قرار دارد؟

θθ باشد، حاصل عبارت θtan=5 اگر -۸θθ

cossincossin

+−

3 . را بيابيد32

: حاصل عبارت زير را مشخص کنيد-۹

357552

tancoscotsin

5اي در ربع چهارم و زاويهθ اگر -۱۰2=θcos باشد، مقدار θsinرا بيابيد .

θ21اي در ربع دوم باشد، حاصل عبارت زاويهθ اگر -۱۱ sin−را تا حد ممکن ساده کنيد .

5 اگر -۱۲2=θsinصل باشد، حاθθ 22 cotcos . را بيابيد+

: اي با استفاده از اتحاد مربع دو جمله-۱۳θθθθاتحادهاي مثلثاتي ) الف cossin)cos(sin 212 θθθθ و +=+ cossin)cos(sin 212 . را نشان دهيد−=−4اگر ) ب

1=− θθ sincos باشد، حاصل θθ cossinرا بيابيد . : ي مثلثاتي و توجه به تقارن نقاط نسبت به محورهادايره با رسم -۱۴

. بيابيد−6ي ها را براي زاويه، اين نسبت6ي هاي مثلثاتي زاويهبا استفاده از نسبت) الف . بيابيد12ي ها را براي زاويهسبت، اين ن6ي هاي مثلثاتي زاويهبا استفاده از نسبت) ب

تمرينات

درسنامه برتر رياضي سال دهم (45) موضوع: مثلثات

!)ها باعث تکميل و عميق شدن يادگيري خواهد شدحل تمرينات بخش مهمي از فرآيند يادگيري است؛ انجام دقيق آن(

ني است؟ کدام مورد با مع-۱3 و −64 و −64 5 و −64 32−−

چه تفاوتي دارد؟۱۶ي دوم با ريشه۴ عدد -۲3 مقدار تقريبي -۳ . را با دقت يک رقم اعشار تعيين کنيد9 :سه کنيد هر جفت عددهاي زير را مقاي-۴

3 و ۲) الف 2. 3 و /2) ب 2/.

. هر عدد را در قالب يک راديکال بنويسيد-۵7) الف 3 53

5) ب 4 2781

: عبارات زير را ساده کنيد-۶

) الف222215

−+ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ )(

3) ب 4 5 3333 ×

1212) ج1

2323 +− −×+ )()(

432) د2324

1 +− ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4) ه 8321 −×+ : بندي مناسب يا به هر روش ديگر، هر مورد را تجزيه کنيد با دسته-۷

323) الف −++ xxx 43) ب 24 ++ xx 16) ج −x 3366) د 22 yxyx +−

: با استفاده از اتحاد حاصل مقادير زير را محاسبه کنيد-۸ 331) الف119) ب 3 −

: مخرج کسرها را گويا کنيد-۹

تمرينات

درسنامه برتر رياضي سال دهم (63) موضوع: توانها گويا

35) الف2

x

5) ب 252x

) ج25

23 −x

درسنامه برتر رياضي سال دهم (64) موضوع: توانها گويا


xyي شود از معادله از توليد يک کاال توسط يک شرکت توليدي حاصل مي سودي که -۱ 742 در ايـن . آيـد بدست مـي =−+

. سود حاصل بر حسب تومان استy تعداد کاالي توليدي و xمعادله

.يد رسم کنx≤نمودار اين خط را براي •

. است بدست آوريد1سود اين شرکت را وقتي تعداد کاالهاي توليد شده برابر •

xyمحل برخورد خط • 742 .دهدها چه چيزي را نشان ميx با محور =−+

.شوداين شرکت بايد حداقل چه تعداد از اين کاال توليد کند تا سود دهي آغاز •

: ي درجه دوم زير را به سه روش مربع کامل، تجزيه و دلتا حل کنيد معادله-٢43 2 =+ xx

: نمودارهاي زير را رسم کنيد-٣22) الف ++−= xxy 22) ب ++−= xxy

axxya سهمي نمودار-٤ ++−=> كند؟ميها را قطع در چند نقطه محور طول)(,122tx با تغيير متغير -٥ =− || −−−+=ي هاي معادله تمام ريشه1 4151 2 ||)( xxرا مشخص کنيد . 12 اگر نمودارهاي دو تابع -٦

1 −= xy 32 و −−= xaxy روي محور xمتقاطع باشند، -١اي به طول ها در نقطه a را . نيدرده و سهمي را رسم کمشخص ک

31 را طوري بيابيد که نمودار منحني تابع درجه دوم a ابتدا مقدار -٧ 2 ++−= xxay . متقارن باشدx=2 نسبت به خط )( كند؟ ها را با كدام طول مثبت قطع ميxسپس مشخص کنيد منحني حاصل محور

+−++=ي هاي حقيقي معادله مجموع ريشه-٨ 7218 222 )()( xxxxرا بدست آوريد . x نمودار xازاي چه مقاديري از به -٩

xxf −+= 2 گيرد؟ قرار ميy=3 زير خط )(2

3412عبارت را چنان بيابيد که mي مقادير محدوده -١٠ 2 −−− xxm . باشد همواره منفي )(122ي با ضابطهسهمي نمودار -١١ ++= axxyباالي محور oxحدود . است a را مشخص کنيد . 41ي جواب نامعادله-١٢ 2 ≥− xxرا تعيين کنيد .

axxxfي با ضابطهسهمي بر نمودار y=−1 خط -١٣ +−= . را بيابيد a. مماس است)(223412 عبارت m ي ازمقاديرچه ازاي به-١٤ 2 −−− xxm همواره منفي است؟)(122ي با ضابطهي نمودار سهم-١٥ ++= axxyباالي محور oxحدود . است aرا مشخص کنيد .

تمرينات

درسنامه برتر رياضي سال دهم (88) موضوع: معادالت و نامعادالت

41ي جواب نامعادله-١٦ 2 ≥− xxرا مشخص کنيد .

1231ي جواب نامعادله-١٧ ≤−≤− x را به صورت بازه مشخص کنيد .

درسنامه برتر رياضي سال دهم (89) موضوع: معادالت و نامعادالت


:دو زوج مرتب داده شده برابر باشند را چنان بيابيد که b و a در هر يک از موارد زير مقادير -۱• ),( ba ),( و 4+ 12 −b • ),( 2364 +−b و ),( 81

12a

• ),( ba +− ),( و 21 122 −− aa baي زير تابع باشد، مقدار اگر رابطه-۲ . را بيابيد2−

}),(,),(,),(,),(,),(,),({ baaaf +−−−= 531351112 2 2f ،51)(=دانيم که ميf در مورد تابع -۳ =)(f ،5=)(f 44 و =)(f .اين تابع را:

.هاي مرتب نمايش دهيدبه صورت مجموعه زوج • .با نمودار در دستگاه مختصات نمايش دهيد • .راي آن نمودار ون رسم کنيدب • .دامنه و برد آن را معلوم کنيد •))((مقادير • 2ff و ))(( 4ffرا بيابيد .

در تابع -۴⎩⎨⎧

≤+>−

=xxx

xf 12))((، مقدار )(2 22−ffرا بيابيد .

در تابع -۵⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+>−=1212

xxxxxf )(، مقادير )( 22 +f و ))(( ffرا بيابيد .

xxf اگر -٦ −=− 112 )( باشد، مقدار )( 5−fرا بيابيد .

در تابع -٧⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥+−

)d(طول قطر •

:مربوط به تابع خطي جدول داده شده را بنويسيدي معادله-۱۱

ها مشترک دو مثال از دو تابع متفاوت ارائه کنيد که هر دو داراي دامنه و برد مساوي باشند ولي هيچ زوج مرتبي در بين آن -۱۲

.نباشد

baxxxxfي در تابعي با ضابطه-۱۳ +++= 23 51دانيم ، مي)(2 =)(f 12 و −=− )(f . مقدارba 23 . را بدست آوريد−

x y …3210

…10741

درسنامه برتر رياضي سال دهم (111) موضوع: تابع

!)رساندحل تمرين، بخش تکميلي فرآيند يادگيري است؛ فقط انجام دقيق اين مرحله شما را به اوج يادگيري مي( توان نوشت؟ چند عدد شش رقمي زوج تحت هر يک از شرايط زير مي٨ و ٦، ٤، ٣، ١، توسط ارقام -۱

.تکرار ارقام مجاز باشد • .تکرار ارقام مجاز نباشد •

توان نوشت؟ر يک از شرايط زير مي تحت ه48تر از ند عدد چهار رقمي بزرگ چ٨ و ٦، ٤، ٣، ١، توسط ارقام -٢ .تکرار ارقام مجاز باشد • .تکرار ارقام مجاز نباشد •

باشد؟٥ چند عدد چهار رقمي وجود دارد که فاقد رقم -٣ . را تعيين کنيدx شيء باشد، ٥ شيء از x−1هاي برابر تعداد تبديلx شيء، ٥ شيء از xهاي اگر تعداد تبديل-٤ توان نوشت؟ چند عدد هشت رقمي مي٨ و ٦، ٤، ١، ١، ، ، توسط ارقام -٥ . باشندr و pداراي حروف شود که ي شش حرفي نوشته مي چند کلمهcomputerي با حروف کلمه-٦ ي غير همرنگ را در کنار هم مرتب کرد؟توان دو مهره مهره سياه به چند روش مي۴ مهره سفيد و ۵ از بين -۷ شود؟ در شکل مقابل چند مستطيل ديده مي-۸ : را از تساوي زير تعيين کنيدn مقدار -۹

);( 3212 nPn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

توان توسط اين نقاط چند مثلث مي . نقطه قرار دهيد ۴ نقطه و روي خط ديگر ۵خط موازي در نظر گرفته، روي يک خط دو -۱۰ تشکيل داد؟

هـاي رياضـي توان در يك قفسه قرار داد كـه كتـاب سه كتاب متمايز رياضي و چهار كتاب متمايز ادبي را به چند طريق مي -۱۱ همواره كنار هم باشند؟

-طوري كه كتاب اي چيد به توان كنار هم در قفسه ب رياضي، دو كتاب فيزيك و دو كتاب شيمي را به چند طريق مي سه كتا -١٢ هاي هر درسي پهلوي هم باشند؟

بوده و رقم تكراري نداشته باشد؟٧ها و رقم سمت چپ آن٣ها شود كه رقم يكان آن چند عدد پنج رقمي يافت مي-١٣هـا همرنـگ در چند حالت مهـره . كنيم مهره به تصادف خارج مي٢ مهره سياه است، ٦ مهره سفيد و ٥اي كه شامل از جعبه -١٤

هستند؟هـا توان سه نفر انتخاب كرد كه همواره يك فرد مورد نظر بـين آن عضو انجمن خانه و مدرسه، به چند طريق مي ١٢ از بين -١٥

باشد؟

تمرين

درسنامه برتر رياضي سال دهم (131) موضوع: ترکيبيات

!)ها باعث تکميل و عميق شدن يادگيري خواهد شدند يادگيري است؛ انجام دقيق آنحل تمرينات بخش مهمي از فرآي(

: هاي شمارش مشخص کنيد در پرتاب دو تاس با هم، تعداد عضوهاي پيشامدهاي زير را در صورت امکان توسط اصل-١ . هر دو تاس عدد زوج بيايند) الف . تاس اول عددي فرد و تاس ديگر عدد اول باشد) ب . شود1تر از مجموع دو تاس بزرگ)ج

چند عضو دارد؟» بار پشت بيايدحداقل يک« تاس با هم، پيشامد ٤ در پرتاب -٢ . را به همراه تعداد عضوها مشخص کنيد» باشد٥حداقل يک تاس « در پرتاب دو تاس با هم، پيشامد -٣ چند عضو دارد؟ » ي ظاهر شده متفاوت باشندعددها«در پرتاب دو تاس با هم، پيشامد -٤ کنيم، احتمال سياه بودن آن چقدر است؟اي به تصادف خارج ميمهره. ي سياه وجود دارد مهره٤ي سفيد و مهره٥ در ظرفي -٥ . دهيم را به تصادف کنار هم قرار ميD و A ،B ،C حروف -٦

ديده شود؟ADي ساخته شده چقدر احتمال دارد در کلمه) الف کنار هم باشند؟ D و Aي ساخته شده چقدر احتمال دارد در کلمه) ب

3 عضو بوده و ۴ داراي A در يک آزمايش، پيشامد -۷2=)(APپيشامد متمم آن . استA′چند عضو دارد؟

ده زوج باشد، كه هر دو عدد رو ش باشد، احتمال آن٦كه مجموع دو عدد رو شده برابر با هم مشروط بر آن تاس در پرتاب دو -٨ . را بيابيد

)()( باشند، حاصل Sاي دو پيشامد از فضاي نمونهB و A اگر -٩ BAPAP كدام است؟ 1−′−∩١ ()(BP ٢ ()( BAP ′∩ ٣ ()( BAP ∪ با کدام احتمال دو نفـر . شوند داوطلب انتخاب مي ٤طور تصادفي داوطلب گروه تجربي به ٤ داوطلب گروه رياضي و ٦ از بين -١٠

نان از گروه رياضي است؟ آ . فرد باشد را بيابيدكه مجموع احتمال آن. كنيم دو تاس را با هم پرتاب مي-١١باشـند را هر دو عدد رو شـده فـرد که آن احتمال. است 1يم جمع دو عدد روشده كمتر از دان در پرتاب دو تاس با هم مي -١٢

. بدست آوريد

تمرينات

درسنامه برتر رياضي سال دهم (142) موضوع: احتمال و آمار

},,,,{ بر روي هر يك از چند كارت يكسان اعداد سه رقمي حاصل از جايگشت تركيبات مجموعه اعداد -١٣ را نوشته، 76542 باشند؟با كدام احتمال دو رقم از اعداد اين كارت ها فرد مي. كشيمآنها بيرون ميبه تصادف يك كارت از بين

كه دو مهره همرنگ احتمال اين. كنيم مهره از كيسه خارج مي٢. ي سياه موجود است مهره٧ي سفيد و مهره ٥ در يك كيسه -١٤ . را بيابيد، نباشند

تمـال زوج بـودن ايـن عـدد را به وجود آيـد، اح ٤ و ٣، ٢، ١، ارقام متمايز اگر يك عدد سه رقمي با كنار هم قرار گرفتن -١٥ . بدست آوريد

هـا نفـر از بـين آن ٤طور تصادف اگر به. اند نفر از گروه تجربي انتخاب شده ٦ نفر از گروه رياضي و ٤اي براي انجام مسابقه -١٦ . باشند را بيابيداد انتخابي در اين دو گروه متفاوتتعداد افرکه آنانتخاب شوند، احتمال

نمونه است؟ کدام جمله تعريف درست -۱۷ .بخشي از جامعه كه در دسترس نيست) ٢. بخشي از جامعه كه در دسترس است) ١ . مزيت نسبي بر بقيه داردبخش اعظم جامعه كه ) ٤. هاي جامعه استبخشي از جامعه كه نمايانگر ويژگي) ٣

: نوع هر متغير را به صورت دقيق مشخص نماييد-١٨ هاي يک نمايشگاهرنگ اتومبيل) الف ي بيمه خودروهزينه) ب شدت زلزله ) ج . . . )ضعيف، متوسط، (آموز وضعيت درسي يک دانش) د آموز در ماه گذشته براي رسيدن به مدرسهتعداد تاخيرهاي يک دانش) ه

درسنامه برتر رياضي سال دهم (143) موضوع: احتمال و آمار

گراميدانش : آموز ! صحيح را داريدهايي پاسخ خود با پاسخاين قسمت را فقط در صورتي ببينيد كه قصد مقايسه

: ها را روي محور نشان داده و اجتماع يا اشتراک مورد نظر را مشخص کنيمکافي است بازه -۱

],(جتماع ا) الف 42−=A و ),( 53=B :

: نتيجهدر

),[),(),[ 525342 −=− ∪ ),(اشتراک ) ب 4−∞=A و ],[ 51−=Bآيد با تعيين نقاط مشترک بين دو بازه بدست مي :

: در نتيجه

),[],[),( 41514 −=−−∞ ∩

],[),(],(به صورت کامالً مشابه، ابتدا ) ج 525332 −=− : آيد و سپس بدست مي∪

),(],(),[],(),(],[ 5525332 ∪ =−∞−−=−∞−− !آموزاني دانشرسم نمودار به عهده

: نويسيمها را به صورت بازه ميهر يک از مجموعه -۲

),[ ∞+= 1A و ],( 23−=B و ),[ 31=C : ز، از رسم محور استفاده کنيددر صورت نيا. دهيماکنون مشابه سؤال قبل، محاسبات مربوطه را انجام مي

) الف( ) ),[),[],[),[],(),[)( 31312131231 ==−∞+= ∪∪∩∪∩ CBA

) ب( ) ∅=∞+−−=−∞+−=− ),[),[],(),[),[)( 33123131 ∪∪ BAC

: شودبا انتقال مجهوالت به چپ و عددهاي معلوم به راست، نامعادله حل مي) الف -۳

23

466451621652 4 =−

−≥⎯⎯ →⎯−≤−→−−≤−→−≤+ −÷ xxxxxx )(

],(ي مجموعه جواب بازه ∞+2 . است3

: جزوههاي مشابه نمونه ) ب

۱ ۲ ۳ ۴ B•

۱- ° ° A

° • BA∪

۲- ۵ °

۱ ۲ ۳ ۴ B•

۱- °

A °•

BA∩

۲- ۵ •

پاسخنامه تمرينات پاياني رياضي دهم (3) موضوع: پاسخ تمرينات فصل (1)

43

816815182 81 ≤

: پاسخ هر مورد -۷ . صحيح است: الف •},{به عنوان نمونه ؛ نادرست است: ب • 21=A متناهي است، ولي },,,,{ …4321=Bي نامتاهي بوده و رابطه

BA . نيز برقرار است⊇ . صحيح است: ج • . را در نظر بگيريد) ب(هاي قسمت کافي است همان نمونه؛ نادرست است: د •

چون تمام افراد ورزشکار هستند، . دهيم نشان ميV و مجموعه افراد واليبالي را با F فوتبالي را با مجموعه افراد -۸

37=)( VFn : هاي سؤال است و بعالوه طبق داده∪21=)(Vn 25 و=)(Fn

: شودبتدا تعداد اعضاي مشترک مشخص ميدر ا

93746212537

=−=⇒−+=→−+=

)()()()()()(

VFnVFnVFnVnFnVFn

∩∩∩∪

VFفقط فوتبال يعني ) الف : و بنابراين−16925 =−=−=− )()()( VFnFnVFn ∩

)( هر دو ورزش يعني) ب VFn . بدست آمد۹برابر که در باال ∩ : ، افراد مشترک کم شوندعتعداد افراد اجتمافقط يک ورزش يعني از ) ج

28937 =−=− )()( VFnVFn ∩∪ اند و قرار داشتهB عضو قبالً در ۵شود، يعني اين عضو اضافه مي۵، به اشتراکشان A عضو جديد به ۷چون با اضافه کردن -۹

27225ها اضافه شده و حاصل عضو به اجتماع فعلي آن ۲بنابراين فقط . اند عضو اجتماع، شمرده شده۲۵در . خواهد بود+=

: را قرار دهيم۵و . . . ، ۲، ۱ عددهاي nدر هر مورد کافي است جاي -۱۰

13ي دنباله •2 2

−= nnan :

122

1312

11312 2

1 ==−×=−= )(

)(a

5: به صورت مشابه8

2 =a ،49

3 =a ،1132

4 =a 7 و25

5 =aاست .

2ي دنباله •12

+−= nt

nn :

43

414

2212

31

312

2112 2

21

1 =−=+

−==−=+−= tt ,

5: به صورت مشابه7

3 =t ،615

4 =t 7 و31

5 =tاست .


nbي لهدنبا • nn )( 2−= : 8242221212 2211 =×=×−=−=×−=×−= )(,)( bb

243: به صورت مشابه −=b ،644 =b 165 و −=bاست .

2ي دنباله •31 12

++−=

+

nnc

nn

)( :

41

432

4321

4321

22321

32

331

3311

3311

21311

51222

31121

=+−=+×−=+×−=++×−=

=+−=+×−=+×−=++×−=

+

+

)()(

)()(

)(

)(

c

c

==: به صورت مشابه 53c ،61

4 −=c 7 و2

5 −=cاست .

: ي زير حل شوديد معادلهبا -۱۱58

484142142 ==⇒=→=+→=+ nnnnnn

. ي پنجم جواب مورد نظر استپس جمله ي زير جواب طبيعي دارد يا خير؟ بايد ببينيم آيا معادله-۱۲

334434122513 22−=→=+

=→=−→=+−→=−−→=+−

nnnn

nnnnnn ))((

. است و پاسخ سؤال مثبت خواهد بود۲۵رابر ي چهارم دنباله ببنابراين جمله

ntي ي دنبالهسومين جمله -۱۳ nn 23 +−= : برابر است با)(21627323 3 −=+−=+− )()(

: ي زير حل شودپس بايد معادله75

353551421521145 =−−=⇒−=−→−−=−→−=+− nnnn

: ي چهارم بدست آيد تعيين شوند تا جملهبايد جمالت دوم و سومچون دنباله بازگشتي است، هاي جزوه، مانند نمونه -۱۴

2613434312343422234341

342431332122111

11−=−=→−==

=−−=→−==−=−=→−==

→−==

+

+

+

+)(:)(:

)(:,

aaanaaan

aaanaaa nn

. است- ۲۶ي چهارم پس جمله

: ي حسابيي عمومي در دنباله طبق فرمول جمله-۱۵62442416 11117 −=⇒=−→=+−+=− dddtdttt )(


: ي حسابيي مربوطه در دنبالهطبق نکته -۱۶1951694532 −=→+=+→++=+ aaaaaa )(

: استصورت زيربنابراين دنباله به…,,, 521−

: و لذا قدرنسبت برابر است با312 =−−= )(d

: بنابراين داريم2963991991 =+−=+= )(daa

: توان نوشتهاي مسأله ميطبق داده -۱۷

642742294231 −=⇒−=→−+=+→−= dddadaaa

: طبق فرض مسأله داريم -۱۸)(/)()(/ 2232 151151 rarraararara +=+→+=+

)(با حذف 21 ra : از طرفين تساوي اخير+

32

231

511511 ===⇒= // rr

: ي ذکر شده در درسنامه داريمطبق نکته -۱۹

744731114

312414431412 222

=⇒−=−→−=+→

−−+=++→+−=+

xxxx

xxxxxxxx ))(()(

7گذاري عدد بنابراين با جاي : شودصورت زير نوشته مي دنباله به،x جاي 4

…,,, 725

715

79

: و در نتيجه قدرنسبت برابر است با

35

79715

==r

:باشيم داشته بايد حسابي واسطه تعريف طبق -۲۰

41

1414242123622

=→

=→++−=+→+−−+=+

x

xyxyxyxyxyx )(

daadaصورت زواياي مثلث را به -۲۱ +− : است18چون مجموع زوايا در هر مثلث . گيريم در نظر مي,,


618 =→=+++− adaada : است، لذا1ترين زاويه که بزرگحال با توجه به اين

4611 =−=→=+ dda 246 صورتبه هم سوم يزاويه بنابراين =−=− daخواهد بود .

daصورت اضالع را به-٢٢ − ،a و da تر گيريم که چون وتر بزرگ در نظر مي+

daي آن از دو ضلع ديگر است، اندازه فيثاغورس يرابطه طبق .بود خواهد + :نوشت توانمي

2

22222222

422

aad

dadaadadadaada

=→

+−+=++→−+=+ )()(

daداشت از دو طرف خواهيم aبا حذف : دهيم قرار مي٢٤اکنون مساحت را برابر . =4

244834482421 24 =→=→=×⎯⎯ →⎯=−→=− = dddddaadaa da)()(

824بنابراين == )(aاست و محيط برابر است با : 24186 =++

: اندچون جمالت دوم و هشتم قرينه -٢٣

=+→=+++→=+ dadadaaa 4728 46: است٤ي هفتم برابر از طرف ديگر جمله =+ da .دهيمي اخير دستگاه تشکيل ميتوسط دو معادله :

⎩⎨⎧

−==→=+=+ 8246

4ad

dada

,

: کهباالخره اين263481718 =+−=+= daa

:اعداد سؤال، اطالعات طبق -٢٤

dadaa 14 ++ ,, : بنابراين.است هندسي تصاعد يک

adadd

adadadadaadad =⎯⎯ →⎯=→

+=++→+=+÷ 8216

11681422

2222 )()(

: شودي متوالي تعيين مياکنون قدرنسبت تصاعد هندسي از تقسيم دو جمله

23

812

8484 8 ==+=⎯⎯ →⎯+= = d

dd

ddradar da

:گيريممي نظر در زير صورتبه را اعداد -٢٥

638 ,,,, ba …

a

da − da +


بنابراين با توجه به عبارت . يعني قدرنسبت استd برابر b تا ٦٣ي و همچنين فاصله٨ تا aي توجه داشته باشيد که فاصله : زير

63863833

,,,,,,, …… babadd

: توان نوشتمي11223355233863 =→=−=→++=− dddd

: اند ازدر نتيجه جمالت دنباله عبارت6352413198 ,,,,,

: طبق فرض-٢٦

25

25

2222162224 52

=+→=+

=→=×→×= ++

baba

bababa)(

:مسأله هايداده طبق -٢٧

241441 242

662 =→=→=→== rrarararar ,

22مقدار =r12ي را در رابطه =ar5: آوريم جايگزين کرده و بدست مي=a .لذا : 225 22245 =×=== )(raara

:فرض طبق -٢٨

323244 6223322 =→==→=× raarraarar )(, :کنيممي تقسيم هم بر را هاتساوي طرفين

21

2148284

32 22433262 32

±=→=→=×⎯⎯⎯ →⎯=→=→= = aaarrrara ra

:گرفت بايد نظر در حالت دو بنابراين

١ (21=a 2 و=r :

121213 22

1 ×== ara

٢ (21−=a 2 و=r :

121213 22

1 ×−== ara



: حرکت کنيم27ي به اندازه) جهت منفي(هاي ساعت در جهت عقربهافي است ک−27ي براي نمايش زاويه -۱

183654چون 18، ابتدا يک دور کامل در جهت مثبت حرکت کرده و سپس 54ي ، براي نمايش زاويه=+ : دهيمي ديگر ادامه ميدرجه

: ي اول توجه کنيد به بررسي افزايش يا کاهش در ناحيه-۲21فرض کنيد θθ مربوط به با توجه به مختصات طول و عرض نقاط . باشد>

: داريمي مثلثاتيروي دايرهاين دو زاويه 2121 θθ coscos >⇒> xx

2121 θθ sinsin

411

212212

121121211

2

1

≥≥⎯⎯ →⎯

−≤−≤−→−≤−≤−−⎯⎯ →⎯≤−≤−

−÷

−+

m

mmm

)(

)(

θθابتدا با توجه به شکل تساوي -۴ sincos : کنيم را بررسي مي=

!نوس با هم برابرند سينوس و کسي225 و 45کنيد که در زواياي مشاهده مي : بعالوه

: عرض نقاط از طول نقاط بيشتر است؛ يعني225 تا 45از •θθ sincos <

: نامساوي برعکس استدر مورد ساير زوايا •θθ sincos >

θθ نامساوي 36 تا 225 و همچنين از 45 تا از : بنابراين sincos . برقرار است< . کنيم را تعيين ميBCبا توجه به شکل، ابتدا طول -۵

322333 =⇒=→= BC

BCBCDCtan

:ادر نتيجه طول باند برابر است ب3295 +=+= BCABAC

هاي سوم و چهارم منفي است و کسينوس در ربع دوم و سوم منفي است، براي منفي بودن هر دو، بايد چون سينوس در ربع -۶

θدر ربع سوم قرار داشته باشد . 7با توجه به تساوي -۷

31 =+ θsin 7 و اين که در ربع سوم يا چهارم قرار θ منفي بوده است و در نتيجه θsin، مقدار

: نيز متمم يکديگر هستند و در نتيجه35 و 55 متمم هم هستند و همچنين زواياي 7 و 2زواياي : توجه کنيد -۹3555 tancot 72 و = cossin =

: بنابراين

11111

552552

357552 =×

×==cotsincotsin

tancoscotsin

: نفي است و بنابراين عددي مθsinربع چهارم در -۱۰

53

53

521

15215

21

2

22

222

−=⇒=−=→

=+→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+→=+

θθ

θθθθ

sinsin

sinsincossin

: عددي منفي است و بنابراينθcos در ربع دوم باشد، θتوجه کنيد اگر -۱۱

θθθθ cos|cos|cossin −===− 221 122ي ابتدا رابطه -۱۲ =+ θθ cossinبريم را بکار مي :

53

52115

2 222

=−=→=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θθ coscos

همچنين، طبق اتحاد مثلثاتي θ

θ 22 11

sincot : نويسيم مي+=

2312

525

521

5211 22

2 =−=→==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ θθ cotcot

:بنابراين

121

1156

23

5322 =+=+=+ θθ cotcos

: طبق اتحاد) الف -۱۳

θθθθθθθθ cossincossincossin)cos(sin 2121

222 +=++=+=

: به صورت مشابهθθθθθθθθ cossincossincossin)cos(sin 212

1

222 −=−+=−=

: ريمباتحاد قسمت قبل را به صورت زير بکار مي) بθθθθ cossin)sin(cos 212 −=−

: با جايگذاري در اين اتحاد داريم

3215

1615

16112214

1 22 =⎯→⎯=−=→−= ÷ θθθθθθ cossincossincossin)(


: پاسخ هر مورد -۱۴

2با توجه به اين که ) الف36 =sin 2 و

16 =cosي متناظر با اين زاويه به صورت است، مختصات نقطه),( 23

21

مشخص −6ي ي متناظر با زاويهنقطهفقط عرض نقطه قرينه شده و ي اين نقطه نسبت به محور طول، قرينهدر .است : شدخواهد

2در نتيجه 36 −=− )sin( 2 و

16 =− )cos(است .

ها داراي قرار دارند، مختصات نقاط مربوط به آن9ي ي يکسان در دو طرف زاويه به اندازه12 و 6چون زواياي ) ب : مشخص خواهد شد12ي ي متناظر با زاويههاي قرينه است و در نتيجه مختصات نقطهعرض يکسان و طول

2در نتيجه 312 =)sin( 2 و

112 −=)cos(است .

•

66−

),( 23

21

),( 23

21 −•

•

612

),( 23

21),( 2

321− •



. ي زوج ندارندي مرتبهمعني است، چون عددهاي منفي ريشه بي−64تنها عبارت -۱ :توجه کنيد. است- ۴ و ۴ي دوم داراي دو ريشه۱۶که در جزوه گفتيم، چنان-۲

. است۴ فقط برابر 16حاصل •162ي ولي، جواب معادله • =x هستند±4 برابر .

:کنيمهاي زير عمل ميطبق گام، هاي جزوهمشابه نمونه -۳

۲۷ و ۸تر و ديگري بيشتر از آن، عددهاي ي کوچک نزديک هستند، يک۹ي سوم دقيق که به عدد دو عدد داراي ريشه • :باشندمي

39227982798 3333

: پاسخ هر مورد-۴ : شودتر ميتر است، هر قدر از آن ريشه گرفته شود، عدد کوچک بزرگ۱ از ۲چون عدد ) الف

223 < 3برعکس؛ چون عدد ) ب : شدتر خواهد تر است، هر قدر از آن ريشه گرفته شود، عدد بزرگ کوچک۱ از /2

223 // > : پاسخ هر مورد-۵

333نويسيم ابتدا مي) الف 33 1355275353 : و سپس=×=×=217 37 3 13513553 ==

: مشابه مورد قبل) ب

2 45 4 4544 4

5 4 2781

2781

2781

2781 ===

: تر کردتوان جواب را قدري سادهالبته مي2 132

316

2344

2 4 333

33

2781 === )(

: پاسخ هر مورد -۶

: طبق قوانين راديکال) الف

1515151515 22422222222 ====⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

−+ )()()()( ))((

: توان نوشتيم) ب24 213 4 213 4 23 4 13 4 543 4 5 33333333333333 ==×==××=×

: کنيمها را يکسان ميها هر دو متفاوت هستند، پايهها و توانچون پايه) ج

231

2323

232323

23232323

+=

+−=

++−=

++×−=− ))(()(

12به صورت مشابه 12

1 +=−

: کنيمهاي بدست آمده را در سؤال جايگزين مياکنون عبارت. است

123123

23123

12121212 =

+×+=

+×+

++++

)()()()(

: کنيمها را يکسان مي، ابتدا پايهمشابه مورد قبل) د8432432432432432232 222222 ==×=× +++−++−+−− )(

: توجه کنيد) ه12128312122283 4 242 −=−=−⇒−=+−=− )()(

: نويسيمبنابراين مي


11121212121221 22 ==−=−=−+=−×+ )()())(( : پاسخ هر مورد-۷

: نويسيم مي- ۱-۱- ۱ را به صورت -۳عدد ) الف111111113 22323 −++−+++−=−+−+−=−++ xxxxxxxxxxxx ))(())((

: فاکتور بگيريمx−1توانيم از مي))((])[( 3211111 22 ++−=+++++− xxxxxxx

: کنيم را اضافه و کم مي2xي شود، جمله نميچون به صورت مستقيم توسط اتحاد تجزيه) ب

))((

)(

xxxx

xxxxxxxxx

−+++=

−+=−++=−+++

2224443

22

2222242224

: ابتدا اتحاد مزدوج و سپس دو بار اتحاد چاق و الغر) ج))()()(())(( 1111111 22336 +−+++−=+−=− xxxxxxxxx

3366 صورت سؤال به صورت )د 23 yxyx : شود است که با دسته بندي مناسب تجزيه مي−+

))(())((

)()(

3333333333

2333633663366

322

24223

yxyxyyxyyx

yyxyyxyxyxyx

−+=−+++=

−+=−++=+−

: پاسخ هر مورد -۸

: ايبا استفاده از اتحاد مکعب دو جمله) الف

927271272791331331313131 322333

=+++=+++=+= )())(()()()()(

: طبق اتحاد مزدوج) ب8118299119119119 22 =×=+−=− ))((

: پاسخ هر مورد -۹

3کافي است صورت و مخرج در ) الف 2xضرب شوند :

xx

xx

xxx

xx

x 52

52

52

52 3 2

3 3

3 23 2

3 23 2

3 23 ===×

5مشابه مورد قبل، کافي است صورت و مخرج در ) ب 3xضرب شوند :

xx

xx

xx

x 52

52

52 5 3

5 5

5 35 3

5 35 2

==×

: طبق اتحاد و چاق و الغر) ج


812525252

2525252

25252525

252

2323

333

23232323

23233

−+×+=

−+×+=

+×++×+×

−

xxx

xxx

xxxx

x

])[(

)(])[(

)()(



: ه پاسخ هر قسمت توجه کنيدب -۱

رده و نقاط را را نسبت داده، عرض نقاط را محاسبه ک1 و دو مقدار xه ب • : دهيمدر دستگاه قرار مي

⎩⎨⎧

+=→=−=→=381

42yx

yx

: دهيم قرار مي1 را برابر xقدار م •695817421 =⇒+−=→= yyx )(

: ها، عرض نقطه، يعني سود شرکت برابر صفر استدر محل برخورد با محور طول •6427742 =⇒=→+−=→= xxxy

. عدد کاال توليد کند، هيچ سودي نخواهد داشت6اگر شرکت : يعني . است و بنابراين سود دهي شرکت آغاز خواهد شدy< باشد، مقدار x

22رسم ) هاي جزوه، الفمشابه نمونه -۳ ++−= xxy: 2طول رأس اين سهمي 1

121

2 =−−=−= )(abxي ديگر در چپ و راست آن را مشخص ن نقطه و دو نقطهمختصات اي. است

: کنيممي :شودبا استفاده از اين سه نقطه، نمودار سهمي رسم مي

342رسم : شودصورت سؤال تصحيح مي) ب 2 −+= xxy : 122طول رأس مشابه مورد قبل،

42 −=−=−= )(abxشودسم مينمودار سهمي ر ، بوده و با تشکيل جدول:

: بستگي داردy=ي هاي معادله نقاط تقاطع نمودار با محور طول به تعداد جواب-۴

=++− axx 122 : شودها مشخص ميبا تعيين عالمت دلتا، تعداد جوابaaaacb 444411424 22 −=−−=+−−=−=∆ ))(()(

بنابراين معادله جواب نداشته و در نتيجه نمودار ، منفي استعددي ∆=−a4بت است، مقدار عددي مثaچون طبق فرض . کندسهمي محور طول را قطع نمي

txدهيم قرار مي -۵ =− || 222 و با توجه به خاصيت 1 11 txx =−=− : شود، معادله چنين نوشته مي)(||

=+− 452 tt : کنيممعادله را به روش تجزيه حل مياين

1414452

+=+=

⇒=−−→=+−tt

tttt ))((

txي اکنون با جايگزيني در رابطه =− || : بدست خواهند آمدxهاي جواب1

• 341

541414−=⇒−=−

=⇒=−→=−=

xxxx

xt ||:

• =⇒−=−

=⇒=−→=−=

xxxx

xt 11211112 ||:

رأس سهمي

x

y

۱ ۲ ۲

21

49 ۲

۱

49

x

y

٢- ۱- ٣- ۵- ٣-

۱-۲-

۳-

۵-


. ست جواب ا۴معادله داراي بنابراين : گرددصورت سؤال اصالح مي -۶

12اگر نمودارهاي دو تابع «1 −= xy 32 و −−= xaxyمتقاطع باشند، - ١اي به طول در نقطه a را مشخص کرده و

».سهمي را رسم کنيد : در تابع خطي داريم :پاسخ

23112

11 −=−−=−= )(: yx

),(ي خطي از نقطهپس تابع 231 : گذشته و سهمي نيز بايد از آن عبور کند−−

2122

331123 2 =⇒+−=→−−−−=− aaa )()(

32ي سهمي به صورت پس معادله1 2 −−= xxyي دانشبه عهده. (شود خواهد شد و نمودار آن مشابه موارد باال رسم مي -

)آموزان a سهمي به صورت با استفاده از فرمول محور تقارن-۷

bx )(، داريم =−2 1212 −−= a .کنيممعادله را حل مي:

4334114 =⇒=→−=− aaa )(

34ي سهمي به صورت پس معادله1314

3 22 ++−=⇒++−= xxyxxy بوده و تقاطع نمودار با محور طول از حل )( :آيد بدست ميy=ي معادله

6412144124341 2242 =−−=∆→=++−⎯→⎯=++− × ))(()(xxxx

: شود جواب متمايز حاصل مي۲چون دلتا مثبت است، براي معادله

6212

12644

2 =−−=−

−−=∆−−=′′ )()(

abx 22 و

412644

2 −=−=−+−=∆+−=′ )(

)(a

bx . ها را قطع خواهد کردx محور ۶در نتيجه منحني با طول

: با تکنيک تغيير متغير -۸

txx: دهيمقرار مي −+=ي با جايگزيني معادله. 2+= 72182 ttطبق روش تجزيه. شود حاصل مي : =−− ))(( 126 tt

:اکنون. استt=12 و ديگري t=6ها پس يکي از جواب• 2323666 22 =−=⇒=−+→=−+→=+= xxxxxxxxt ,))((: • 3434121212 22 =−=⇒=−+→=−+→=+= xxxxxxxxt ,))((:

23423هاي حقيقي برابر بنابراين مجموع ريشه . است−+−+=−


: تر باشدبايد عرض نقاط تابع از عرض نقاط خط کوچک -۹32

2

: از روش تعيين عالمت -۱۲

≥−−→≥

−+−→≥−

−→≥

− 22

22

22124414141xx

xxx

xxxxxx

)(

2112 2 =→=− xx )(

112 ==→=−→=− xxxxxx ,)(

),(ي بنابراين پاسخ مجموعه . است1

: تواند بر سهمي مماس شود خطي افقي است و فقط در يک حالت ميy=−1ي جزوه، خط نمونهمشابه -۱۳ : طول رأس. باشد-۱ سهمي برابر رأسبايد عرض

41

221

2 =−−=−= )(a

bx

: بدست آيد سهميدهيم تا مقدار عرض قرار ميxمقدار بدست آمده را در معادله جاي aaay +−=+−=+−= 8

141

162

41

412 2)(

: دهيم قرار مي-۱برابر سهمي را رأسعرضاکنون

87

81118

1 −=+−=→−=+− aa

!نداتکرار شدهاين سه تمرين با پوزش، -۱۶ و ۱۵ و ۱۴

: کنيم را حذف ميx و سپس ضريب - ۲به آساني ابتدا عدد -۱۷13

13311231 32 ≤≤⎯→⎯≤≤⎯→⎯≤−≤− ÷+ xxx

],[ي بنابراين مجموعه جواب بازه 13 . است1

۱ 212 )( −x

2xx −

P

x

ن.ت

+

+ +

-

-

+

+

-

21

+ +

-

+ ن.ت

ريشههاي صورت و مخرج را مشخص کرده و جدول تشکيل ميدهيم:

پاسخنامه تمرينات پاياني رياضي دهم (25)موضوع: پاسخ تمرينات فصل (4)



: ها را به ترتيب با هم برابر قرار دهيمبايد مؤلفه: مورد اول •

3121242

−=⇒−=+→⎩⎨⎧

−=+=→=

aaba

bb

: مشابه مورد قبل: مورد دوم •

64242

6

3322

313

22

8113

64242

6

42

6

2

=⇒−=+−→⎩⎨⎧

−=+−=

→

⎪⎩

⎪⎨⎧

==→

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

→⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−+−+−+−

bbb

a

b

ab

a

b

a

: مشابه مورد قبل: مورد سوم •

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−=−112122

baaa

: ي اول داريماز معادله1112 22 =⇒=−→=+− aaaa )(

: بدست آيدbي دوم قرار داده تا اين مقدار را در معادله3112 −=⇒−=+ bb)(

: هاي دوم برابر قرار گيرندشيم، بايد مؤلفههاي اول يکسان داشته با هرجا مؤلفه-۲

313111 22 =−−−− aa ++= و ),(,),(: baba :),(,),( 55 : ي سمت راست داريماز معادله

2431 22 ±=⇒=→=− aaa ),( قابل قبول نيست، زيرا با جايگذاري دو زوج a=2توجه کنيد که جواب ),( و 12 . موجود شده که در تابع امکان ندارد32

: ي سمت چپ باال از معادله قبول شده و در نتيجهa=−2بنابراين فقط 222 =⇒=+−−= bba :

: باالخره اين که62222 −=−−=− )()(ba


: هاي مرتب چنين استوج به صورت زf تابع -۳}),(,),(,),(,),({ 445512=f

: کنيمنقاط را در دستگاه مشخص مي

: شودنمودار ون هم به روش جزوه رسم مي

},,,{هاي اول به صورت دامنه مجموعه مؤلفه 421=fDهاي دوم به صورت و برد مجموعه مؤلفه},,{ 45=fRاست . : است، بنابراين2f)(=چون مقدار : ياندر پا

52 == )())(( fff 444به صورت مشابه == )())(( fffاست .

422چون عدد -۴ )( عددي منفي است، مقدار −=− 22−fآيدي پايين بدست مي از ضابطه :

171442 22 =+−=−=− )()()( ff : در نتيجه

217422 −==−=− )())(())(( fffff : مشابه تمرين قبل-۵

222222 =−+=+ )()(f 412همچنين، چون : تر است بزرگ۱ از ≅/

=−==⇒=+= 22222 )())(()( ffff )(ي با مقايسه-۶ 12 −xf و )( 5−fدهيم قرار مي :

242512 −=⇒−=→−=− xxx xxfي بنابراين در ضابطه −=− 112 : قرار گيرد-۲ مقدار x کافي است جاي )(

3215112 2 =−−=−⎯⎯ →⎯−=− −= )()()( fxxf x

٥ ٤

۴ ١ ٢

••

•

•


72 بايد -۷ =− )(f 31 و =)(fبرقرار باشند : 188712272 2 =⇒=→=−−→=− mmmf )()(

2133131 3 =−=⇒=+→= nnf )()( : عمود است، طبق فرمول مساحت مثلثAB بر AC چون -۸

xACACx

ACxACABSABC

5656

21282

1

=⇒=×→

××=→××=∆

: بريمي فيثاغورس را بکار مياکنون رابطه

22

222222

56

56

xxBC

xxBCACABBC

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⇒

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=→+=

},{چون دامنه -۹ : تواند رخ دهددو حالت مي است، −31

112ه باشيم اگر داشت) ۱ −=−a 32 و=+b . در اين صورت=a 1 و=b بوده و fبه صورت زير خواهد شد : }),(,),(,),({ 531151 −−−=f

. چون اين رابطه تابع نيست، پس اين حالت قابل قبول نيست312اگر داشته باشيم ) ۲ =−a 12 و −=+b . 2در اين صورت=a 3 و−=b بوده و fبه صورت زير خواهد شد :

}),(,),({}),(,),(,),({ 5153515153 −=−−=f . استfR=5}{اين حالت مورد قبول بوده و برد

312اگر داشته باشيم ) ۳ =−a 32 و =+b . 2در اين صورت=a 1 و=b بوده و fبه صورت زير خواهد شد : }),(,),(,),({ 531153 −=f

},{اين حالت نيز مورد قبول بوده و برد 51=fRحالت جواب است۲تمرين داده شده داراي : بنابراين. است .

: به مربع مقابل توجه کنيد -۱۰2aaaSدانيم مساحت به صورت مي : ي فيثاغورس و طول قطر با استفاده از رابطه=×=

22222 2adaad =⇒+= : اکنون پاسخ موارد خواسته شده

2aaS به صورت aحت به عنوان تابعي از مسا • . است)(= : مساحت به عنوان تابعي از قطر •

22چون 2ad 2 است، در نتيجه =22 da : دهيم و آن را در فرمول مساحت مربع قرار مي=

222 ddSaS =⇒= )(

x A B

C

a

d


: گيريمخطي را به صورت مجهول در نظر مي تابع -۱۱

baxy += : اکنون کافي است دو نقطه از جدول را در فرمول تابع قرار دهيم

=+⇒+=→==

babayx

)(:),( 111

14411414 =+⇒+=→

==

babayx

)(:),(

از حل دستگاه ⎩⎨⎧

=+=+14 ba

ba 3 خواهيم داشت1=a 3 و

1−=bي تابع خطي چنين است و بنابراين معادله :

31

31 −= xy

: توان چنين توابعي نوشت به آساني مي-۱۲}),(,),({ 5132 −=g و }),(,),({ 5231−=f

},{ي هر دو تابع کنيد که دامنهمشاهده مي 12 },{ و برد هر دو − . است53

: کنيم را در ضابطه قرار داده و دستگاه حاصل را حل مي-۲ و ۱ مقادير ۱۱مشابه تمرين -۱۳

2112155151 23 =+⇒+++=→

==

→= babayx

f )()()()(

12222211212 23 −=+−⇒+−+−+−=−→

−=−=

→−=− babayx

f )()()()(

از حل دستگاه ⎩⎨⎧

−=+−=+122

baba 1 خواهيم داشت=a 1 و=bابراين و بن:

5121323 =−−=− )()(ba




ود، اين رچون در رقم اول سمت چپ صفر بکار نمي و ٨ و ٦، ٤، براي يکان چهار انتخاب وقتي تکرار ارقام مجاز است، • : انتخاب دارند۶ها هر کدام ي رقمجايگاه پنج انتخاب داشته و بقيه

462466665 ×=××××× : تواند در يکان قرار گيرد، الزم است دو حالت در نظر بگيريماگر تکرار ارقام مجاز نباشد، چون رقم صفر هم مي •

»صفر در يکان نباشد«يا » صفر در يکان باشد« : شودها تعيين مي انتخاب داشته و ساير تعداد حاالت ساير رقم۱گر صفر در يکان قرار گيرد، يکان ا) الف

!5112345 =××××× : تواند در سمت چپ بکار رود داشته و رقم صفر نمي۸ و ۶، ۴اگر صفر در يکان قرار نگيرد، يکان سه انتخاب ) ب

!412312344 ×=×××××

: اصل شمارش جمعبنابراين طبق !!)(!!!! 4174125412454125 ×=×+=×+×=×+

. توانند قرار گيرند مي۸ و ۶، ۴عددهاي ) هزارگان(در رقم سمت چپ -۲

: اگر تكرار ارقام مجاز باشد • :دهيمهاي يکان را دلخواه قرار مي باشد و رقم۸تواند باشد، رقم صدگان فقط مي۴در صورتي که رقم هزارگان ) ۱

366611 =××× 35136ها پس تعداد حالت. نيز شمرده شده که بايد کم شود48البته در اين حالت خود عدد . است−=

: توانند انتخاب شوند باشد، ساير ارقام هر عددي مي۸ يا ۶اگر رقم هزارگان ) ۲4326662 =×××

46735432ها جمع، تعداد جواببنابراين طبق اصل شمارش . است+=

: اگر تكرار ارقام مجاز نباشد • : باشد و دو رقم ديگر به دلخواه انتخاب خواهند شد۸تواند قرار گيرد، رقم صدگان فقط مي۴اگر رقم هزارگان ) ۱

123411 =××× : به دلخواه انتخاب خواهند شدر هاي ديگقرار گيرد، رقم ۸ يا ۶اگر رقم هزارگان ) ۲

123452 =××× 1321212ها در اين حالت بنابراين طبق اصل شمارش جمع، تعداد جواب . است+=

فقط بايد توجه . توانند به عنوان رقم بکار روند و تکرار هم مجاز است مي۵ به جز ۹ توجه کنيد که تمام عددهاي از صفر تا -۳

: رودداشت که رقم صفر در سمت چپ بکار نمي


3989998 ×=××× : کنيماي نوشته و آن را حل ميطبق اطالعات داده شده، معادله -۴

( ) !)(!

!)(!

!)(!

!)(!);();( xxxxxxxxPxP −=−→−−=−→−= 6

555

155

55155

)(!)()(! بيشتر است و بنابراين x−5 يک واحد از عدد x−6عدد : توجه کنيد xxx −×−=− : است566366156

555 =⇒−=→−=→−×−=− xxxx

xxxxx !)()(

!!)(

! ها را نوشته و سپس با تقسيم، تکرارها هاي تکراري وجود دارد، هميشه ابتدا بدون توجه به تکرارها، تعداد حالت وقتي انتخاب-۵

: هارود، تعداد هشت رقميشوند؛ چون صفر در سمت چپ بکار نميحذف مي!7512345675 ×=×××××××

: داريم۱ و دو تا هاي با تکرار، چون سه تا اکنون با توجه به تکنيک جايگشت21256752

4567523

3456752375 =××××=××××=×

×××××=××

!!

!!!

حرف به ۴مانده حرف باقي۶از بين . اند انتخاب شدهr و p حرف ۲ حرف است و ۸ي داده شده داراي کلمه: بهترين روش -۶

: هايتعداد روش

1546

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

6!برابر در هر حالت حرف تشکيل داده و تعداد کلمات ۶ تعداد r و p حرف با دو حرف قبلي ۴انتخاب کرده و اکنون اين : در نتيجه طبق اصل ضرب، تعداد کل حاالت برابر است با. است

!615× : کنيمتخاب ميابتدا از هر رنگ يک مهره ان -۷

214

15

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

22هاي متفاوت داشته و به ي انتخاب شده رنگدو مهره بنابراين طبق اصل ضرب در کل . گيرند حالت کنار هم قرار مي!= : ها برابر است باتعداد حالت

422 =× : به شکل مقابل نگاه کنيد -۸

6321ع عمودي تعداد براي ضل ! انتخاب وجود دارد++= بندي افقي، براي ضلع افقي نيز به صورت مشابه، با توجه به قسمت21123456 =+++++


: در نتيجه طبق اصل شمارش ضرب. انتخاب وجود دارد126216 =×

: نويسيمهاي مربوطه ميطبق فرمول -۹

!)(!)(32

112 −=−× n

nnn : کنيمبا جايگذاري مناسب، کسرها ساده شده و معادله را حل مي

826

2116332116

=⇒−=→

−−=−×→−−−−=−×

nn

nnnnnnnnnnnn ))(()(!)(

!))()(()(

: به شکل مقابل نگاه کنيد -۱۰

: توان ساختهاي خواسته شده را به دو روش ميمثلث : دو رأس از نقاط باال و يک رأس از نقاط پايين انتخاب شود) ۱

44114

25

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

:يا : يک رأس از نقاط باال و دو رأس از نقاط پايين انتخاب شود) ۲

36524

15

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

734ها برابر طبق اصل شمارش جمع، تعداد کل مثلث . است+=

: تاب داده و داراي ک۵ کتاب ادبي، تشکيل ۴سه کتاب رياضي به يک کتاب تبديل شده و به همراه : پيچطبق قاعده طناب -۱۱!5

: جايگشت هستند و در نتيجه در کل تعداد3!اما سه کتاب رياضي در کنار هم داراي . جايگشت است7261235 =×=× !!

! حالت مختلف وجود دارد

: پيچي طنابباز هم قاعده -۱۲1442233 =××× !!!!

: هاي يکان و سمت چپ هر کدام يک انتخاب داشته و ساير ارقام دلخواه و غير تکراري هستندرقم -۱۳

33616781 =××××

: بايد هر دو مهره سفيد يا هر دو مهره سياه باشند که طبق اصل شمارش جمع-۱۴


2515126

25

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

: نفر باقي مانده انتخاب کرد۱۱ نفر را از بين ۲ يک نفر از قبل انتخاب شده و بنابراين بايد -۱۵

552111

211

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛




: وجود دارد، طبق اصل ضرب۶ و ۴، ۲چون براي هر تاس سه حالت ) الف933 =×=)(An

: وجود دارد۵ و ۳، ۲ و براي تاس دوم نيز سه حالت ۵ و ۳، ۱ حالت مشابه مورد قبل، براي تاس اول سه) ب933 =×=)(Bn

: کنيمرا مشخص ميها آنعضوهاي اين پيشامد را نوشته و تعداد ) ج3665665 =⇒= )(}),(,),(,),({ CnC

. کنيما را مشخص ميهگير است، توسط تکنيک متمم تعداد حالتها وقتها متعدد و نوشتن آن چون تعداد حالت-۲

: يعني( سکه ۴هاي پرتاب را از کل حالت) است۱هيچ بار پشت نيايد که برابر : يعني(هاي مخالف تعداد حالت: بنابراين162222 : کنيمکم مي) ×××=

15116 =− : پيشامد مربوطه عبارت است از -۳

}),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),({ 6545352515565554535251=A . استAn)(=11 بنابراين

: يعني. در اين تمرين هم بهتر است متمم بکار رود-۴

کل حاالت-تعداد حاالت دو عدد ظاهر شده يکسان باشند 3666ها تعداد کل حالت ),(,),(,),(,),(,),(,),( مورد ۶هاي يکسان و حالت×= هستند و در نتيجه 665544332211

: دارايپيشامد مورد نظر 3636 =−

. عضو است بنابراين، احتمال سياه . An)(=4: مهره سياه است، يعني۴ و از اين تعداد Sn)(=9: مهره داخل ظرف وجود دارد۹در کل -۵

: ي خارج شده برابر است بابودن يک مهره

94== )(

)()( SnAnAP

: شيء است۴هاي ها همان تعداد جايگشتتعداد کل حالت -۶

241234 =×××=)(Sn


6123 به همراه دو حرف ديگر تشکيل سه شيء داده و داراي ADطناب پيچ، قسمت طبق تکنيک ) الف =××=)(An : پس احتمال مورد نظر برابر است با. جايگشت هستند

41

246 === )(

)()( SnAnAP

6123( به همراه دو حرف ديگر تشکيل سه شيء داده ADمجدداً طبق تکنيک طناب پيچ، با اين تفاوت که ) ب لي و) ××=22 خود داراي D و Aحروف 1226د و بنابراين جابجايي هستن!= =×=)(Bn پس احتمال مورد نظر برابر است . است

: با

21

2412 === )(

)()( SnBnBP

: طبق فرمول احتمال -۷61223

2432 =⇒=→=→= )()()()(

)( SnSnSnSnAn

: بنابراين246 =−=−=′ )()()( AnSnAn

: کنددي تغيير مياي نسبت به حالت عا، فضاي نمونه شده است۶بدانيم مجموع دو عدد برابر وقتي -۸

51524334251 =⇒= )(}),(,),(,),(,),(,),({ SnS )},(,),({ به صورت Sپيشامد هر دو عدد زوج نيز با توجه به اعضاي 2442=Aبوده و بنابراين :

52== )(

)()( SnAnAP

)()( توجه کنيد که -۹ APAP : است و بنابراين1−′=

)()()()()( BAPBAPAPBAPAP −=−=−′− ∩∩1 BABAچون ′=− )( است، پس جواب مورد نظر ∩ BAP . باشد مي∩′

⎟⎟: نفر است1 نفر از بين ۴انتخاب ها، تعداد کل انتخاب -۱۰⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 41

)(Sn.

: بين گروه تجربي انتخاب شوند نفر ديگر هم از ۲ نفر از گروه رياضي انتخاب شود، بايد ۲که براي آن

961524

26

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)(An

73

219

21615

4124

26

==×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⇒ )(AP

3666ها برابر تعداد حالت-۱۱ =×=)(Snاست و پيشامد مجموع دو عدد فرد باشد عبارت است از :


18563616654525543414634323523212614121

=⇒=

)(}),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),({

AnA

: در نتيجه

21

3618 ==)(AP

اي و ، فضاي نمونه» است1جمع دو عدد رو شده کمتر از «تفاوت اين تمرين با مورد قبل در اين است که تحت شرط يک -۱۲

: کندپيشامد مورد نظر تغيير مي :شود باشد نوشته مي1هايي که جمع دو عدد تاس کمتر از اي فقط حالتدر فضاي نمونه

3362616453525155444342414635343332313625242322212615141312111

=⇒

=

)(}),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(

,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),({

Sn

S

:نويسيمهايي که هر دو عدد فرد هستند را مياي، حالتاکنون از بين اعضاي فضاي نمونه83515533313513111 =⇒= )(}),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),({ AnA

: در نتيجه

154

38 ==)(AP

: تعداد کل ترکيبات سه رقمي عددهاي داده شده -۱۳6345 =××=)(Sn

اين . کنيم را هم انتخاب مي۶ و ۴، ۲هاي را انتخاب کرده و يکي از رقم۷ و ۵هاي فرد د، ابتدا رقمکه دو رقم فرد باشبراي آن63کار داراي سه روش است و بعالوه هر حالت داراي : بنابراين تعداد حاالت برابر است با. جايگشت است!=1863 =×=)(An

: در نتيجه

13

618 ==)(AP

662: استمهره ۱۲ از بين مهره ۲ها، انتخاب تعداد کل انتخاب -۱۴12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)(Sn.

: مهره همرنگ نباشند، بايد يک مهره سياه و يک مهره سفيد باشد۲که براي آن

357517

15

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)(An

6635=⇒ )(AP

: تعداد کل حاالت: مشابه موارد قبل -۱۵

48344 =××=)(Sn : و تعداد عددهاي سه رقمي فرد برابر

18233 =××


31848در نتيجه تعداد عددهاي سه رقمي زوج برابر . است =−=)(Anاست و :

85

483 ==)(AP

: تعداد کل حاالت -۱۶

2141

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)(Sn

نفر رياضي و دو نفر ۲حالتي را در نظر بگيريد که تعداد اعضاي دو گروه يکسان است؛ يعني : بهتر است روش متمم بکار رود : تجربي باشند

961524

26

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′)(An

12921: در نتيجه =−=′−= )()()( AnSnAnبوده و بنابراين :

74

2112 ==)(AP

. صحيح است۳ي شماره جمله-۱۷

: پاسخ هر مورد -۱۸

. شود، متغير کيفي است و چون ترتيب ندارد، کيفي ترتيبي استون رنگ اتومبيل با عدد بيان نميچ) الفتواند مبلغ بيمه يک خودرو شود، کمي عدد اعشاري هم ميهر در محاسبات ي بيمه خودرو يک عدد است و چون هزينه) ب

. پيوسته است . د مقدار آن باشد، کمي پيوسته استتوانشدت زلزله عدد است و چون هر عدد اعشاري هم مي) ج . چون عدد نيست و ترتيب هم دارد، کيفي ترتيبي است) د . پذيرد، کمي گسسته است و چون عدد اعشاري نميبوده. . . و ۲، ۱، تعداد تاخيرها يک عدد مانند ) ه


نمره برترN O M R E B A R T A R . C O M

بزرگترین مرجع آموزشی و نمونه سواالت درسی تمامی مقاطع

جزوه های بیشتر (کلیک کنید) :

| | نمونه سوال دهم | | جزوه آموزشی دهم | | گام به گام رایگان دهم

جهت دانلود جدید ترین مطالب بر روی پایه خود روی لینک های زیر کلیک کنید.

ابتدایی

اول دوم سوم چهارم پنجم ششم

متوسطه اول

هفتم هشتم نهم

متوسطه دوم

دهم یازدهم دوازدهم
https://nomrebartar.com/https://nomrebartar.com/%DA%AF%D8%A7%D9%85-%D8%A8%D9%87-%DA%AF%D8%A7%D9%85-%D8%AF%D9%87%D9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d8%af%d9%87%d9%85/%d9%86%d9%85%d9%88%d9%86%d9%87-%d8%b3%d9%88%d8%a7%d9%84%d8%a7%d8%aa-%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d8%af%d9%87%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d8%af%d9%87%d9%85/%d8%ac%d8%b2%d9%88%d9%87-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d8%a2%d9%85%d9%88%d8%b2%d8%b4%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d8%a7%d9%88%d9%84-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d8%af%d9%88%d9%85-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d8%b3%d9%88%d9%85-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%da%86%d9%87%d8%a7%d8%b1%d9%85-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d9%86%d8%ac%d9%85-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d8%b4%d8%b4%d9%85-%d8%a7%d8%a8%d8%aa%d8%af%d8%a7%db%8c%db%8c/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d9%87%d9%81%d8%aa%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d9%87%d8%b4%d8%aa%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d9%86%d9%87%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d8%af%d9%87%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%db%8c%d8%a7%d8%b2%d8%af%d9%87%d9%85/https://nomrebartar.com/category/%d9%be%d8%a7%db%8c%d9%87-%d8%af%d9%88%d8%a7%d8%b2%d8%af%d9%87%d9%85/

تﺎﻨﻳﺮﻤﺗ - نمره...

Documents

Transcript of تﺎﻨﻳﺮﻤﺗ - نمره...