ﻡﻛﻟﺍ ﺎﻛﻳﻧﺎﻛﻳﻣ ﺕﺍﺭﺿﺎﺣﻣ ﺔﻳﺭﺍﺩﻣﻟﺍ … ·...

قسم الفيزياء -كلية المعلمين - جامعة الطائف– (المحاضرة الثانية) الدكتور محمد أحمد آلجاللي 2محاضرات ميكانيكا الكم

تكميم كمية الحركة الزاوية المدارية

Quantization of The orbital angular momentum

المحتوى:

مؤثرات كمية الحركة الزاوية في اإلحداثيات الكروية • تبادل مؤثرات كمية الحركة الزاوية • القيم المميزة(المسموحة)والدوال المميزة • معايرة الدالة الموجية • مناقشة • أثر المجال المغناطيسي الخارجي • أشكال الدالة الموجية •

Relationship between force (F), torque (τ), and momentum vectors (p and L) in a rotating system

تسمى في بعض الكتب العزم الحركي المداري نظرا لتشابهها مع قانون *كمية الحركة الزاوية المداريةعزم القوة

:مؤثرات كمية الحركة الزاوية في اإلحداثيات الكروية .1

كمية الحركة الزاوية المدارية كمية متجهة نطبق عليها نظام المتجهات ،توضح العالقات أدناه كيفية التعامل الرياضي مع جداء(ضرب) متجهتين إتجاهيا(راجع كتاب الفيزياء العامة)

)1 (

http://en.wikipedia.org/wiki/Torque

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Torque_animation.gif


)2 (

)3 (

تعطى كمية الحركة الزاوية المدارية لجسم يتحرك على مسار ما بالنسبة إلى نقطة مرجعية(الشكل تحت العنوان) بالعالقة التالية:

)4()( vrmprL

×=×=

السرعة. في حال كون v نصف قطر الدوران، r كتلة الجسيم،m كمية الحركة الزاوية المدارية،Lحيث كمية الحركة الزاوية محفوظة(خاضعة لقوانين حفظ الطاقة وكمية الحركة) فإنها تكون ثابتة في كل نقطة

من مسارها ففي حال حركة األرض حول الشمس فإنها عندما تقترب تزداد سرعتها الخطية وينقص نصف قطر الدوران والعكس عند االبتعاد بحيث تكون المساحات المقطوعة متساوية خالل أزمنة متساوية

(الخط الواصل من الكوكب إلى الشمس يمسح مساحات متساوية خالل أزمنة متساوية) (قانون كبلر ). 1للمساحات) انظر الشكل(


) نجد: 4) على العالقة (2وبتطبيق العالقة (

)5(

zyx pppzyxkji

L

=

) مسقط كمية الحركة الزاوية على المحاور الديكارتية: 5ومنه نجد من (

)6(xyz

zxy

yzx

ypxpLxpzpLzpypL

−=

−=

−=


) إلى مؤثرات في اإلحداثيات الديكارتية نجد: 6وبتحويل العالقات (

ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ (7)

x z y

y x z

z y x

L yp zp i y zz y

L zp xp i z xx z

L xp yp i x yy x

∂ ∂= − = − − ∂ ∂

∂ ∂ = − = − − ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − − ∂ ∂

) في اإلحداثيات الكروية نقدم بداية المعلومات التالية : 7ولكي نكتب العالقات (

في اإلحداثيات الكروية ومن خالل dv)حجما عنصريا 4) وضع نقطة مادية والشكل (3يبن الشكل (الشكل نحصل على العالقات التالية:


2 2 2

sin cossin sinsin (8)

r x y zx ry r

r

θ φθ φ

ρ θ

= + +

===

)إيجاد: 7يلزمنا من العالقات (

. . .

. . .

. . . (9)

x

y

x r

y r

z

x

r

rxryr

z

y

zz

φ

φθ φ

φθ

θ

θφ

φ

θ

θ

∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + +

∂∂∂∂∂∂∂ ∂

∂∂∂∂

∂ ∂ ∂∂

∂∂∂

) يلزمنا تفاضل ثالثة مجموعات نبدأ بالمجموعة األولى: 9من العالقات (


2 2 2 2

sin cos

si

(1

n sin

co 0s )

r x y zrdr xdx ydy zdz

r r rr dx dy

r xx rr yy rr

zy y

z

d

r

x

z

θ φ

θ φ

φ

= + += + +∂ ∂ ∂

∂ = + + ⇒

∂= =

∂∂

= =∂∂

= =∂

∂ ∂ ∂

والمجموعة الثانية: 2 2

22

22

2 2 2 2

2 2

2 2

tan 1 tan

1 tan

sinsin

cossin

0 (11)

y x yx x

dy yd dxx x

x yd dy dxx y x y

d dx dy dzx y z

yx x y r

xy x y r

z

φ φ

φ φ

φ

φ φ φφ

φ φθ

φ φθ

φ

+= ⇒ + =

+ = −

= −+ +

∂ ∂ ∂= + + ⇒∂ ∂ ∂

∂ −= − =

∂ +∂

= =∂ +∂

=∂

) نحصل على المجموعة الثالثة: 11وباستخدام نفس المعالجة في العالقات (


2 2

32 2 2

32 2 2

2 2 2 2

2 3

tan

cos cossin

cos sinsin

( ) sin (12)sin

x yz

xz xzx r rr x y

yz yzy r rr x y

x y x yz r r r

θ

θ θ φθ

θ θ φθ

θ θθ

+=

∂= = =

∂ +

∂= = =

∂ +

+∂ += − = − = −

∂

) نجد : 9وبالعودة إلى العالقات (

cos cos sinsin cossin

cos sin cossin sinsin

sincos 0. (13)

x r

x r r rand

rx

ry

rz

y

x

y

z

r

y r r rand

r

z r r

x

y

zz

θ φθ φ φθ φ

θ θ φ

θ φθ φ φθ φ

θ θ φ

θ φθθ

θ φ

φ

φ

φ

θ

θ

θ

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + −∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂∂

∂

∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

): 7 من العالقات (zولنحاول أن نستنتج مؤثر كمية الحركة الزاوية على المحور


ˆ ˆ ˆˆ ˆ

cos sin cossin sinsinˆ

cos cos sinsin cossin

ˆ (14)

z y x

z

z

L xp yp i x yy x

xr r r

L iy

r r r

L i

θ φ φθ φθ θ φ

θ φ φθ φθ θ φ

φ

∂ ∂= − = − − ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ = −

∂ ∂ ∂ − + − ∂ ∂ ∂ ∂

= −∂

وبطريقة مماثلة نوجد بقية المؤثرات:

ˆ

ˆ sin cot cos

ˆ

ˆ cos cot sin (15)

x

x

y

y

L i y zz y

L i

L i z xx z

L i

φ θ φθ φ

φ θ φθ φ

∂ ∂= − − ⇒ ∂ ∂

∂ ∂= + ∂ ∂

∂ ∂ = − − ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + ∂ ∂

أما مؤثر كمية الحركة الزاوية الكلية فيحسب كما يلي:


2 2 2 2

2

2

2

2

22 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.

sin cot cos

ˆ cos cot sin

1 1ˆ sin (16)sin sin

x y zL L L L L L

i

L i

i

L

φ θ φθ φ

φ θ φθ φ

φ

θ θ θ θ φ

= = + +

∂ ∂ + ∂ ∂

∂ ∂= + − + ∂ ∂

∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂

: تبادل مؤثرات كمية الحركة الزاوية .2

مؤثرات كمية الحركة على المحاور اإلحداثية المختلفة ال تتبادل فيما بينها

[ ] [ ]

[ ] [ ]

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ,

x y z y x z

x y z x z z y x y z

x y x z y z x y

x y y x

x y

L L yp zp zp xp

L L yp zp yp xp zp zp zp xp

L L yp p z xp z p i yp i xp

L L i xp yp

L L i

= − − = − − − + = + = − + = − =

ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ, (17)

z

y z x

z x y

L

L L i L

L L i L

⇒

= =


أما مؤثر كمية الحركة الزاوية الكلية فانه يتبادل مع جميع مركبات كمية الحركة الزاوية على المحاور اإلحداثية والعالقات الناتجة :

2

2

2

ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ, 0 (18)

x

y

z

L L

L L

L L

= = =

أثبت ما يلي:

2

ˆ ˆ,

ˆsin , cos

ˆ, 0

z

z

z

L i

L i

L

φ

φ φ

= = ∇ =

لقيم الخاصة (المسموحة)والدوال الخاصة لكمية الحركة الزاوية المدارية:ا .3

) أنه من الممكن معرفة قيمتي كمية لحركة الزاوية الكلية(العزم الحركي) 18يتبين من العالقات ()ومسقطها على المحاور المختلفة في آن واحد،وانه توجد لهذه المؤثرات دالة مميزة واحدة مثل , )mYβ θ φ

ولنعالج أوال العزم zتحقق معادالت القيم المميزة ويهمنا هنا العزم الحركي الكلي ومسقطه على المحور ومنه نكتب: (∅)u باعتبار أن الدالة الموجية المسموحة التي تصف الحالة هيzالحركي على المحور


( 2 ) (2 )

(2 ) 2

ˆ ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( 2 )

( ) .

1 0, 1, 2,..

( )1( )2

z

z z z

z

z z

z

z z

iL

iL iL iL

iLi m z

z

imm

L u L u

i u L u

L iLuu i

u Aeu u

u Ae Ae e

Le e m where m

L mnormalization of u gives

u e

φ

φ π φ π

π π

φ

φ φ

φ φφ

φ φ φφ

φφ φ π

φ

φ

φπ

+

=∂

− =∂

∂= ∂ = ∂−

= ⇒= + ⇒

= = ⇒

= = ⇒ = = ± ±

=⇒

=

(19)

نعالج اآلن معادلة القيم المسموحة للعزم الحركي الكلي كما يلي:

حيث يمكن كتاباتها وفقا لقواعد YRβmR(θ,∅)بفرض أن الدالة المميزة لمؤثر العزم الحركي الكلي هي فصل المتغيرات كما يلي:

( , ) ( ) ( ) (20)m mY P uβ βθ φ θ φ=

وهذه الدالة مميزة لكال المؤثرين أي:

2 2 2

ˆ ( , ) ( , )

ˆ ( , ) ( , ) ( , ) (22)

z m m

m m m

L Y m Y

LY LY Y

β β

β β β

θ φ θ φ

θ φ θ φ β θ φ

=

= =

وبشكل أكثر تفصيال نجد:


2 2 2 2

22 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1ˆ sin (23)sin sin

x y zL L L L

L θθ θ θ θ ϕ

= + +

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂

) نجد : 20) على الدالة الموجية (23وبتأثير العالقة (

22 2

2 2

2 2

1 1ˆ ( , ) sin ( , )sin sin

ˆ ( , ) ( , )

(24)

m m

m m

LY Y

LY Y

β β

β β

θ ϕ θ θ ϕθ θ θ θ ϕ

θ ϕ β θ ϕ

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ =

) كما يلي: 24) ومنة نعالج (19الدالة المميزة للحد الثاني عولجت في المعادالت(2

22

22 2

2 2

22 2

2 2

2

( ) ( )

1 1ˆ ( ) ( ) sin ( ) ( )sin sin

( ) ( )1 1ˆ ( ) ( ) sin ( ) ( )sin sin

1 1sin ( ) ( )sin sin

m m

mm m

m

u m u

L P u P u

P uL P u P u

P u

β β

ββ β

β

φ φϕ

θ φ θ θ φθ θ θ θ ϕ

θ φθ φ θ θ φ

θ θ θ θ ϕ

θ θ φθ θ θ

∂= −

∂

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ − + ∂ ∂

2

2 2

22 2

2

2

2

( )( )

1 sin ( ) ( ) ( ) ( )sin sin

1 sin ( ) ( )sin sin

(25)

m

m m

uP

m P u P u

m P P

β

β β

β β

φθθ ϕ

θ θ φ β θ φθ θ θ θ

θ θ β θθ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ − − + = ∂ ∂

∂ ∂ − = − ∂ ∂

) بحاجة إلى حل عن طريق تحويلها إلى θ) معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية بمتغير واحد (25المعادلة (معادلة لوجندر وحلها بدوال كثيرات حدود لوجندر، والمهم في حلها أن تكون خاضعة للشروط الحدية

0 θ π≤ cosw ،ومن ثم تبسيطها بأخذ متحول من الشكل ≥ θ=) كما يلي: 25تصبح المعادلة (


( )

( )

( )

2

2

22

2

2 2

22 2 2 2

2 2

20 1 2

1 sin ( ) ( )sin sin

cos

1 01

2 01 1 1

( ) 1 . ( )

( ) ...(26)

m m

m

m

nn

m P P

w

d dP mw Pdw dw w

d P w dP m Pdw w dw w w

P w w G w

G w b b z b z b z

β βθ θ β θθ θ θ θ

θ

β

β

′

∂ ∂ − = − ∂ ∂ =

− + − = ⇒ −

− + − = − − −

= −

= + + + +

) بكثيرات حدود لوجندر يشترط أن: 26حل المعادلة (

( 1)

0,1,2,3,..., 1 (27)n

β = += −

ومنه نجد معادلة القيم الذاتية:

( ) ( )2 2ˆ , ( 1) , (28)m mLψ θ ϕ ψ θ ϕ= +

لكمية الحركة الزاوية Eigen value)) نجد أن القيمة الذاتية (المميزة،الخاصة 28من العالقة (المدارية لها الشكل التالي:

2 2( 1)

( 1) .

0,1,2,3,........ 1 (29)

L

L

where n

= +

= +

= −

بالعدد الكمي المداري لكمية الحركة الزاوية المدارية ويأخذ القيم الموضحة في يسمى العدد ) حصريا. 29العالقة (


معايرة الدالة الموجية: .4

) الدالة المميزة لمؤثر العزم الحركي والتي يعاير كما يلي: 24يعطي حل المعادلة (

[ ]

( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 22

0 012

12

( , ) ( cos )2

( , ) ( , ) sin . . 1

sin . . 12

!2 12 !

!2 1( , ) 1 ( ) (30)4 !

immm m

m m

mm

m

m m imm

NY P w e

Y d Y d d

N P d d

mN

n

mY P e

n

φβ

β β

π π

φβ

θ φ θ θπ

θ φ θ φ θ θ φ

θ θ φπ

θ φ θπ

= ↔ =

Ω = =

= ⇒

++ = ⇒ −

++ = − −

∫ ∫

∫ ∫

شرط التنظيم برموز ديراك: •

10

m mmm

mm

mm

Y Y

when and m mwhen or m m

δ δ

δ δδ δ

′′ ′ ′

′ ′

′ ′

=

′ ′= = ⇒ =′ ′≠ ≠ ⇒ =

مثال: أثبت أن الدالة التالية تحقق الشرط المعياري


( )1 3 1

1 6 6

1 3 1 1 3 11 6 6 1 6 6

3 3 1 11 16 6 6 61 1

3 4,26

3 4 3 426 26

4 43 3 0 0 0 0 0 026 26 26 26 26 26

9 16 1 26 126 26 26 26

Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y YY Y

ψ θ φ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

+ +=

+ + + +=

= + + + + + + + +

= + + = =

مناقشة: حصلنا على نتيجتين مهمتين: .5

2 2 2 2

ˆ ( , ) ( , ) ( , )ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , )

m m mz z

m m m m

L Y m Y L Y

L Y L Y Y Y

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ β θ φ θ φ

= =

= = = +

وكذلك نجد:

2 2( 1)

( 1) .

0,1,2,3,........ 1

L

L

where n

= +

= +

= −

وهي: zوالقيم الذاتية لمركبة كمية الحركة الزاوية على المحور

)20(.......2,1,0......1.0,...1, ±±=+++−−==

mwheremLz

يسمى العدد

m بالعدد الكمي المغناطيسي المداري لكمية الحركة الزاوية المدارية ويساعدنا بشكل جلي . zفي فهم توجهات كمية الحركة الزاوية المدارية بوجود مجال مغناطيسي موجه نحو المحور

:هناك العديد من الطرق للحصول على ما سبق (من الضروري جدا مراجعة كتب ميكانيكا الكم)مالحظة ومنها النتائج التالية من حل معادلة شرودينجر في اإلحداثيات القطبية:


العدد الكمي الرئيس←نتائج حل القسم القطري

العدد الكمي المداري←نتائج حل القسم الزاوي(القطبي)

العدد الكمي المغناطيسي←نتائج حل القسم ألسمتي

أثر المجال المغناطيسي الخارجي على كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة: .6

وجدنا في الفقرة السابقة أن القيمة العددية لكمية الحركة الزاوية المدارية المكممة قد أعطيت العالقة التالية:

)21(1,........3,2,1,0.)1(

)1( 22

−=

+=

+=

nwhereL

L

بالعالقة: n العدد الكمي المداري(الثانوي) ويرتبط مع العدد الكمي الرئيسي حيث

)22(1,........3,2,1,0 nn <⇒−=

، والعدد S يرمز له 0والعتبارات طيفية(الذرية واألطياف) أخذت األرقام السابقة شكل رموز أي العدد وهكذا كما في التمثيل التالي: fرمز له 3، وd رمز له 2، و p يرمز له 1

)23(..............,,,1,........3,2,1,0

fdpsnn <⇒−=


وبعص الكتب أعطت تلك الرموز التسميات أدناه نسبة إلى السالسل الطيفية :

للحالة P وتتم فيها االنتقاالت من الحاالت المثارة principalالمتسلسلة الرئيسية -1 . Sاألساسية

للحالة S وتتم فيها االنتقاالت من الحاالت المثارة sharpالمتسلسلة الحادة -2 .pاألرضية(األساسية)

للحالة D وتتم فيها االنتقاالت من الحاالت المثارة diffuseالمتسلسلة المنتشرة -3 .Pاألرضية(األساسية)

للحالة F وتتم فيها االنتقاالت من الحاالت المثارة fundamentalالمتسلسلة األولية -4 األرضية(األساسية)

األحرف الكبيرة تشير إلى الحدود الطيفية (راجع ذرية وأطياف).

ولكي تتم االنتقاالت من الحاالت المثارة إلى الحاالت األساسية فإنها تخضع لشروط صارمة تسمى قواعد ) تعطى بالعالقة التالية: selection rulesاالصطفاء (االنتقاء)(

)24(1,01±=∆

±=∆

m

فال يوجد عليه قيود في االنتقاالت. nأما العدد الكي الرئيس


الناجمة عن وجود مجال مغناطيسي خارجي يؤثر على الذرة نعود اآلن إلى وصف الظاهرة الفيزيائية،فكيف تتصرف الذرة تجاه ذلك المجال؟؟؟؟ وهل المغناطيسية متأصلة في الذرة ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ إذا

لم تكن كذلك لن يحصل تفاعل ولماذا ركزنا على كمية الحركة الزاوية؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ .

إن المغناطيسية متأصلة في الذرة من خالل الوصف البسيط التالي:

اإللكترون في مداره حول النواة يشكل دائرة كهربائية صغيرة ،وكما نعلم فكل دائرة كهربائية تنشر حولها مجال مغناطيسي(تجربة أورستد)يشبه مجال ثنائي قطب مغناطيسي (مغناطيس ذو قطبين شمالي

وجنوبي) يتحدد قطبه الشمالي بوضع أصابع اليد اليمنى مع التيار فتكون جهة اإلبهام القطب الشمالي،وفي فمن المؤكد أن دائرة اإللكترون الذري سوف تتفاعل مع ذلك Bحال وجود مجال مغناطيسي خارجي

،ومن الملفت للنظر أن Lالمجال الخارجي مما يؤثر على توجهات كمية الحركة الزاوية المدارية على اتجاه المجال المغناطيسي الخارجي ليست اعتباطية بل مكممة ،وإذا اعتبرنا أن اتجاه Lمركبات

فان ذلك سوف يتوافق مع الدراسة السمتية في الفقرة السابقة أي : zالمجال المغناطيسي باتجاه المحور

)25(.......2,1,0......1.0,...1, ±±=+++−−==

mwheremLz

z على اتجاه المجال المغناطيسي L) شكل تخطيطي يبين مسقط 4والشكل (

z على المحور L وبالتالي هناك ثالثة قيم محتملة لمسقط m=-1,0 1نجد أن قيم 1Ɩ=مثال:بفرض أن ) نجدان: 25) و(21ووفقا للعالقة (

)26(,0,2)11(1

.)1(

−==

=+=

+=

mLL

L

z


) حيث 5 يمكن أن يأخذ ثالثة قيم ، أنظر الشكل(z قيمة واحدة ولكن مسقطها على المحو Lإن لقيمة Ɩ=2الحظ أنه وف شروط التكميم ال يمكن لـ، L أن تنطبق على LRzR وان عدد التوجهات الممكنة في

. 2Ɩ+1=3 ففي مثالنا نجد 2Ɩ+1حال وجود المجال المغناطيسي الخارجي هو

) يوضح التوجه الفضائي لكمية الحركة الزاوية ومسقطها على اتجاه المجال المغناطيسي. 6الشكل (


إلى عدة مستويات تحدد من n ) تعبيرا واضحا عن انشطار مستوي بور األساسي 5إن المثال والشكل (العالقات أعاله وهو ما عجزت عنه نظرية بور.

أشكال الدالة الموجية حسب األعداد الكمية: .7

ﻡﻛﻟﺍ ﺎﻛﻳﻧﺎﻛﻳﻣ ﺕﺍﺭﺿﺎﺣﻣ ﺔﻳﺭﺍﺩﻣﻟﺍ … ·...

Documents

Transcript of ﻡﻛﻟﺍ ﺎﻛﻳﻧﺎﻛﻳﻣ ﺕﺍﺭﺿﺎﺣﻣ ﺔﻳﺭﺍﺩﻣﻟﺍ … ·...