Apresentao do PowerPoint

III DIA DE GEOGEBRA 18 de outubro de 2015

TEMA OFICINA: SOFTWARE GEOGEBRA

OFICINA 5: TRANSFORMAES LINEARES PLANAS EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINMICA.

Prof.: Odilthom ES Arrebola (ARREBOLA, O.E.S)Lic. em Mat. , Mestre em Edu. Mat.

arrebolas@uol.com.br http://odilthom.blogspot.com.br/

GEOGEBRA E AS TRANSFORMAES LINEARES PLANASLOCAL: FACULDADE DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CAMPUS MARQUS DE PARANAGUAPOIOOrganizao dos Estados Iberoamericanos OEIInstitutos Ibero-americano de IBERTIC e IBERCIENCIA - EspanhaFederao Ibero-americana de Sociedades de Educao Matemtica - FISEMInstituto GeoGebra de Andaluca (Espanha) Instituto GeoGebra de So Paulo (Brasil)Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior - CAPESEquipe Tcnica de apoio: DTI PUC/SP - suporte@pucsp.br

PROPOSTA DA OFICINARESUMO:PALAVRAS CHAVES: Geogebra - ensino e aprendizagem - Transformaes Lineares Planas.

META: Discutir > utilizao do software no ensino da matemtica.

OBJETIVOSCompreender as prticas relacionadas matemtica Reconhecer os programas computacionais como uma ferramenta natural > motivar a discusso qualitativa e integradora de ensino e aprendizagem dos objetos matemticos. Analisar > possveis implicaes do uso desse programa e suas possibilidades.

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O TEMA DO EVENTOTEMA :GEOGEBRA

MOTIVAO:Favorecer: 1.a construo ou produo do objeto em estudo.2.a descoberta de como desenvolver o conhecimento .

A OFICINACONSTRUOJUSTIFICATIVA: 1.TECNOLOGIA 2.TEORIA3.OBJETO DE ESTUDO

Composta de duas PARTES

PRIMEIRA PARTEAPRESENTAO1. A TECNOLOGIA.2. A TEORIA: REFERENCIAL TERICO.3. O OBJETO DE ESTUDO:TRANSFORMAES LINEARES.4. EXERCCIO MOTIVADOR

Segunda parteAtividade prtica:Listas de exerccios com aplicao do software Geogebra.

1. A TECNOLOGIAA utilizao de ferramentas informticas no processo de ensino e aprendizagem de Matemtica Uso da tecnologia no ambiente de sala de aula para o ensino da Matemtica traz:

1. Ao professor, a possibilidade de desenvolver contnuas construes de seu saber pedaggico e tecnolgico;2. Ao aluno, oportunidades de atitudes e aes, possibilitando-lhe a construo e reconstruo de conhecimentos, despertando-lhe o desejo de aprender e participar do processo de aprendizagem.

Geogebra: criado para ser utilizado em ambiente de sala de aula.Anlise da utilizao: consequncias benefcios (?)

2. A TEORIAA Teoria dos Registros de Representaes Semiticas: O que Semitica?Representar um objeto? E uma representao?Registro?DuVAL (1993, 1995, 2003, 2011) - BARROS(2011) - KARRER (2006) ARREBOLA (2013)

SEMITICA > BARROS (2011): Cincia ligada a signos e smbolos que tem a funo de comunicao.Representar um objeto > Criar uma cpia ou produzir alguma expresso que lembre o objeto. Ato de representar > REPRESENTAO. Registro > Conjunto de signos ou sinais ou sons >utilizados na representao > evocar um objeto presente ou ausente.

2. A TEORIAHISTRIA: Em 1910, a semitica torna disciplina. OBRA: Cours de linguistique gnrale PESQUISADORES: ao filsofo, lgico e lingustico suo Saussure (Henri Louis Ferdinand de ) e ao matemtico, filsofo e lgico americano PIERCE(Charles Sanders).ARTIGOS(2): do matemtico, filsofo e lgico alemo FREGE(Friedrich Ludwig Gottob).

A Teoria dos Registros de Representaes Semiticas: CRIADOR: Psiclogo francs Raymond DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011).Tentativa: Explicar > Processo cognitivo do aprendizado aspectos da Semitica e da Psicologia Cognitiva.

2. TEORIADuVAL (1993, 1995, 2003, 2011)BARROS(2011)

Como surgiu a noo de representao semitica?Problema de modelizao da linguagem.

Como feita a apreenso ou produo de uma representao semitica de um objeto? REPRESENTAES: 1. EXTERNA > indivduo =>SEMISIS e 2. interna > indivduo => NOSIS (conceitualizao).

Figuras ilustrativas da teoria dos REGISTROS DE REPRESENTAES SEMITICAS ( UNIBAN - anhanguera ARREBOLA, 2013.)Como entender a diferena entre tratamento e converso?

Quantos so e quais so os tipos de registro

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3. OBJETO DE ESTUDOTPICO DA LGEBRA LINEAR : T.L.O que so transformaes lineares (T.L.)? Funes: domnios e imagens so espaos vetoriais. Preservam: Operaes - adio de vetores e multiplicao de um vetor por um escalar.

Uso: Representao grfica do Geogebra - apresentar as ilustraes dessas transformaes.

Qual o motivo da escolha desse tpico?Porque as TL modelam vrios tipos de movimentos tanto no plano, quanto no espao.

Matemtica: comunicao representaes. Objetos: conceitos, propriedades, estruturas e relaes escritos, smbolos, desenhos, grficos e notaes.

SINOPSE DO OBJETO MATEMTICO e REGISTROSCONTEDO: Transformaes Lineares no Plano e no Espao.MATERIAL DA ATIVIDADE: questes selecionadas e retiradas das referncias bibliogrficas.REGISTROS: ALGBRICOS GRFICOS (KARRER (2006))

OBJETIVO: Avaliar se os participantes da oficina so capazes de compreender como se reconhece a matriz de Transformao Linear partindo do efeito geomtrico.

SITUAO:1. Envolve a converso de registros.2. Efeito geomtrico e sua Descrio.3. Avaliao no plano e no espao : o que ocorre com a imagem do objeto de estudo.

O SOFTWARE GEOGEBRAApresentao

O SOFTWARE GEOGEBRA: Software livre, porttil, fcil de manipular, idealizado e desenvolvido por Markus Hohenwarter Universidade de Salsburg. Projeto foi iniciado em 2001.

SIGNIFICADO: Geogebra um programa com unio de um sistema de geometria dinmica e de um sistema de computao algbrica, i.e., DGS Dynamic Geometry System e CAS Computer Algebric System.

FINALIDADE: Para ser utilizado em ambiente de sala de aula.

O GEOGEBRA E AS TRANSFORMAES LINEARESNO PLANO - RNO ESPAO - R

O GEOGEBRA E EXERCCIO MOTIVADORAspectos geraisBarra de menusAs funes de seus elementos.Barras de ferramentas12 botes ou cones bloco de ferramentasFIGURA ILUSTRATIVAExerccio motivadorRetirado do livro Introduo lgebra Linear de autoria de Joo Pitombeira de Carvalho, c.2, p.52, n.2.2.40:Se , ache a imagem de C por um prolongamento paralelo ao eixo Oy.

RECORDANDO ALGUNS TPICOS BSICOS DA LGEBRA LINEAR.ESPAO VETORIAL REAL

COMBINAO LINEARLINEARMENTE DEPENDENTE E LINEARMENTE INDEPENDENTEBASES E DIMENSO

RECORDANDO ALGUNS TPICOS BSICOS DA LGEBRA LINEAR.C.L., BASE E DIMENSOL.D. OU L.I.FIGURA ILUSTRATIVAFIGURA ILUSTRATIVA

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2.

TRANSFORMAES: Definio: Uma transformao linear de R2 em R2, ou simplesmente um operador linear em R2, uma funo T: R2 R2 da forma: T(x, y) = (a1. x + b1. y , a2. x + b2. y) ou

Dilatao ou contrao ou inversoCISALHAMENTO: i. Na direo do eixo dos x ii. Na direo do eixo dos yReflexo: i. Na em torno do eixo dos x ii. Na direo do eixo dos y iii. Em torno da origem

ROTAO

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2MATRIZ CANNICA

TRANSFORMAES lineares: T(x, y) = (a1. x + b1. y , a2. x + b2. y)

Determine a lei algbrica T(x, y) que transforma o quadrado azul de vrtice

(0,0), (1, 0), (1,1) e (0,1) no quadrado vermelho. KARRER (2006)

Quadrado unitrioParalelogramo

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2.

ATIVIDADE PRTICA: FAMILIARIZAO COM O APLICATIVO GEOGEBRA Tempo de durao: aproximadamente 30min.

Todos com a folha contendo a atividade 1. Com o aplicativo aberto iniciaremos nossa incurso sobre o uso do Geogebra.

Transformaes especiais usadas em aplicaes prticas e numricas.No plano: R2

GeoGebra (2).lnk

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2

ATIVIDADE PRTICA: FAMILIARIZAO COM O APLICATIVO GEOGEBRATempo de durao: aproximadamente 30minObjetivo geral:A atividade visa dar uma viso geral do uso do software Geogebra aos participantes da oficina, propiciando-lhes em um primeiro contato a manipulao das ferramentas que esse aplicativo oferece.

AF1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02-adaptao) Esboce os seguintes pontos a seguir, depois como vetores com ponto inicial na origem.a. A = (1, 0) b. B = (0, 1)c. C = (1, 2) d. D = (3, 6)e. E = (4, 3)f. F = (5, 3)O que observaram? AF2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexo do vetor (1, 2) em torno:a. Do eixo xb. Do eixo yc. Da reta y = x

AF3. Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeo ortogonal de (2, 5) sobre :a. O eixo xb. O eixo y

AF4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, 4) quando girado por um ngulo de:a. = 30b. = 45c. =60d. = 90

AF5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptao) Seja L uma transformao linear tal definida por :

Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua matriz cannica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?

FIGURAS ILUSTRATIVAS DA ATIVIDADE PRTICA: FAMILIARIZAO COM O APLICATIVO GEOGEBRAAF1

AF2

FIGURAS ILUSTRATIVAS DA ATIVIDADE PRTICA: FAMILIARIZAO COM O APLICATIVO GEOGEBRAAF5

AF5- A mesma TL vista como polgono

ATIVIDADE PRTICA COM APLICATIVO GEOGEBRA

T,. L. E REGISTROS DE REPRESENTAES SEMITICAS A1. A projeo ortogonal do IR2 : T: IR2 ______ IR2

linear? Verifique.Faa sua representao geomtrica.

A2. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.212 c.4 ex.03 item d) A transformao do IR2 definida pela seguinte lei: T: IR2 ______ IR2 T(x, y) = (x+ 1, y) linear? Verifique.

A3. Descreva em palavras o efeito geomtrico sobre o vetor v = (x, y) = (1, 2) ao multiplic-lo pela matriz A.

e. Usando o Geogebra, faas a representao figural (desenho) e a grfica (registro cartesiano) f. Observe a representao da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao grfico:

A4. (Lay, 2007, p.69 c.1 ex.19) Seja T: IR2 __ IR2 uma transformada linear que leva :

Use o fato de que T linear para determinar as imagens por T de 2u, 3v e 2u+3v.

A5. Encontre a matriz cannica da transformao linear T: IR2 ___ IR2 dada por: w1 = 3x1 + 5x2 w2 = 4x1 x2 E em seguida calcule T (- 1, 2).

A6. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex.2 - adaptao) Seja R o retngulo com vrtices (1,1), (1,4), (3,1) e (3,4). Seja f o cisalhamento na direo x com k = 3. Encontre e esboce a imagem de R. O mesmo cisalhamento na direo y.

Re

ATIVIDADE PRTICA COM APLICATIVO GEOGEBRA

A7. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex4 - adaptao) A transformao matricial:f: IR2 ___ IR2 definida por f(v) = Av, onde:

e k um nmero real. Seja R o retngulo da atividade anterior, movas k e observe o que acontece.

A8. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex14 - adaptao) Represente por Q quadrado unitrio. Determine duas maneiras diferentes de usar as transformaes matriciais definidas sobre Q para obter a imagem dada.

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2e registros de representaes semiticasTRANSFORMADAS LINEARES GEOMTRICAS DO IR

Preencham a Tabela a seguir conforme o modelo usando o ambiente lpis&papel:

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 2e registros de representaes semiticasTRANSFORMADAS LINEARES GEOMTRICAS DO IR

Preencham a Tabela a seguir conforme o modelo usando o ambiente lpis&papel:

Observem a Figura 2, vejam que a transformao aplicar a circunferncia produziu a elipse como imagem. De posse aos conhecimentos at aqui adquiridos, usem o ambiente papel&lpis a fim de preencher a tabela respectiva figura em questo, ou seja, traduzir os registros de representaes semiticas. Apliquem animao aos fatores a e b, ou ora a a, ou ora a b, e vejam o que acontece.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

.ANTON, H.; RORRES, C. lgebra Linear com Aplicaes 8. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.ARAJO, L.C.L. & NBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemtica com o geogebra. So Paulo: Editora Exato, 2010.ARREBOLA, O.E.S. Uma sequencia didtica sobre transformaes lineares em um ambiente de geometria dinmica. Apresentao de mestrado. Universidade Bandeirante Anhanguera de So Paulo, So Paulo, 2013.ARREBOLA, O.E.S. GeoGebra Um Software Educativo til como ferramenta auxiliar ao Ensino da Matemtica em diversos nveis. Apresentao em slide no HTPC numa escola pblica. Casqueiro, Cubato, 2010.BARROS, L.G.X. Uma Introduo Ingnua Teoria dos Registros de Representaes Semiticas. Revista Ceciliana, Ano 22, n 32, p.3341. Santos, 2011.BARROS, L. G. X. ; KARRER, M. Inovaes no Processo de Ensino-Aprendizagem de Geometria Analtica e lgebra Linear. Sinergia (CEFETSP). Vol. 12 p. 259-266, 2011. ISSN: 1677-499X.BARROS, L. G. X. ; KARRER, M. A Integrao de Ambientes Computacionais com os Registros de Representaes Semiticas nos Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemtica. Revista Seleo Documental. N 23, 2011. ISSN: 1809-0648.CARVALHO, J. P. Introduo lgebra Linear. Srie do IMPA - Instituto de Matemtica Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1974..

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

.DUVAL, R. Registros de representaes semiticas e funcionamento cognitivo da compreenso em Matemtica. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemtica: Registros de representao semitica. Campinas: Papirus. p. 11-33, 2003.DUVAL, R. Ver e Ensinar a Matemtica de outra forma Entrar no modo matemtico de pensar: os registros de representaes semiticas. So Paulo: Proem Editora, 2011.GEOGEBRA pgina com exemplos interativos, disponvel em