数学 I.5

(参考) オイラー (Euler)の公式

複素数まで考える範囲を広げると三角関数と指数関数には次の関係がある;

exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) (5.1)

これをオイラーの公式と呼ぶ。ここで i は虚数単位で i2 = −1 という性質がある。

オイラーの公式より三角関数の加法定理

cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β) (5.2)

sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) (5.3)

は指数関数の積の性質exp(iα) exp(iβ) = exp

(i(α + β)

)(5.4)

の内容を表すことがわかる。

なぜならオイラーの公式 (5.1)より式 (5.4)の右辺は(

cos(α) + i sin(α)) (

cos(β) + i sin(β))

= cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β) + i(

sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β))

となる。一方式 (5.4)の左辺は

cos(α + β) + i sin(α + β)

となる。式 (5.4)の両辺の実部が等しいという式が cos の加法定理 (5.2) を意味し，虚部が等しいという式が sin の加法定理 (5.3) を意味することがわかる。

複素数

x, y, r, θ は実数, r ≥ 0.

実/虚部表示 極表示

複素数 z =x + iy =reiθ

実部 Re z =x =r cos θ

虚部 Im z =y =r sin θ

絶対値 |z| =√

x2 + y2 =r(≥ 0)

偏角 arg z= θ

(tan θ = yx)

複素共役 z̄ =x− iy =re−iθ

x=Re z

y=Im z

0

z

θr

z-z

izx

y

複素平面横軸に実部 x, 縦軸に虚部 y を描いたもの

数学 I.6

パラメーター (媒介変数)で表された関数 (p.31)馬

馬場敬之，『単位がとれる微積ノート』(講談社) ，p.31 参照

数学 I.7

(参考) 3次元の曲線・ らせん

x = cos(t), y = sin(t), z = t/2

-2-1

01

2

x

-2-1

01

2

y

-4

-2

0

2

4

z

-2-1

01

2

y

・陰関数 (p.32)馬

x と y の関数関係が y = f(x) のように陽に関数 f(x) で表されるのではなく，F (x, y) = 0 の形で陰に表された関数を陰関数と呼ぶ。

(例 1) F (x, y) =x2

a2+

y2

b2− 1

F (x, y) = 0 は楕円を表す。y = f(x) の形に表すと，この曲線は次の 2つの関数

y = b

√1− x2

a2, −a ≤ x ≤ a

y = −b

√1− x2

a2, −a ≤ x ≤ a

で表される。

(例 2) F (x, y) = (x2 + y2)2 − 2xy

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

数学 I.8

関数の極限値 (p.4)寺，(p.38)馬，(p.6)川

実数 x が限りなく a に近づくとき，f(x) がある実数 ` に限りなく近づくならば

x → a のとき f(x) の 極限値 は ` である

あるいは

x → a のとき f(x) は ` に 収束 する

とかいい，limx→a

f(x) = ` (8.1)

と表す。

＜注＞ 上の 限りなく近づく とは

任意の (どんな小さな)正の数 ε に対しても，適当な正の数 δ をとると0 < |x− a| < δ のすべての x に対して |f(x)− `| < ε となる

ということを意味する。

微分係数 (p.12)寺，(p.50)馬，(p.6)川

・定義

limh→0

f(a + h)− f(a)

h(8.2)

この値が定まるとき，関数 y = f(x) は x = a で 微分可能 であるという。またこの極限値

を関数 y = f(x) の x = a における 微分係数 とよび

f ′(a), y′|x=a とかdf(x)

dx

∣∣∣∣x=a

,dy

dx

∣∣∣∣x=a

(8.3)

と表す。

式 (8.2)でいきなり h = 0 を代入すると分子と分母がともに 0 になるため，h → 0の極限をとる。(例) f(x) = x2，a = 1，f ′(1) = 2

h 0.5 0.1 0.01 0.001

f(a + h)− f(a) 1.25 0.21 0.0201 0.002001

(f(a + h)− f(a))/h 2.5 2.1 2.01 2.001

(例) f(x) = sin(x)，a = 0，f ′(0) = 1

h 0.5 0.3 0.1 0.01

f(a + h)− f(a) 0.479 0.296 0.0998 0.001

(f(a + h)− f(a))/h 0.959 0.985 0.998 1.0

数学 I.9

(微分可能でない例) f(x) = x sin

(1

x

)，a = 0

h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

f(a + h)− f(a) 0.455 -0.0544 -0.00506 0.000827 -0.0000306

(f(a + h)− f(a))/h 0.909 -0.544 -0.506 0.827 -0.306

・接線；微分係数の図形的意味

x = a で微分可能な関数 f(x) で表される曲線 y = f(x) は x = a の近くでは直線で近似できる。その直線を曲線 y = f(x)の点 (a, f(a)) での 接線 と呼び，接線の傾きが f ′(a) となる。

・f(x) = x2，a = 1，接線 y = 2x− 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

0.9 0.95 1 1.05 1.10.8

0.9

1

1.1

1.2

・f(x) = sin(x)，a = 0，接線 y = x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

x

y

・(微分可能でない例) f(x) = x sin

(1

x

)

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

y

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

x

y

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

-0.005

0

0.005

0.01

x

y

＜注＞ x = 0 以外では微分可能。例えば x = 0.01 の充分近くでは直線で近似できる。

0.006 0.008 0.01 0.012 0.014

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.009 0.0095 0.01 0.0105 0.011

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.0099 0.00995 0.01 0.01005 0.0101

-0.0125

-0.01

-0.0075

-0.005

-0.0025

0

0.0025

0.005

数学 I.10

x = a，y = f(a) を通る傾き A の直線は次の式

y = f(a) + A (x− a) (10.1)

で表される。曲線 y = f(x) が x = a の近くで接線 (10.1)で近似できるとは h = x− a を小さい量として

f(a + h) = f(a) + A h +O(h2) (10.2)

が成り立つことを意味する。ここで O(h2) は大きさが h2 のオーダーの量を表す。

＜注＞ limh→0

g(h)/hn =有限の値 であるとき，g(h)を hnで抑えられる無限小といい

g(h) = O(hn) と表す。O(hn) = (何らかの係数)× hn と思ってよい。，(p.114)川

上式 (10.2)は x = a + h での曲線 f(x) の値と接線 f(a) + A (x− a) の値の差が h2 のオーダーであることを表す。微分係数の定義の式 (8.2)に式 (10.2)を代入すると

f ′(a) = limh→0

f(a + h)− f(a)

h= lim

h→0

A h +O(h2)

h= lim

h→0(A +O(h)) = A (10.3)

となり， x = a での微分係数 f ′(a) が 点 (x = a, y = f(a)) を通る接線の傾きを与えることがわかる。以上より x = a，y = f(a) を通る，曲線 y = f(x) の接線を表す式は以下のようになる:

y = f(a) + f ′(a) (x− a) (10.4)

＜注＞ h＝ x− a → 0 のとき，点 (x = a, y = f(a)) を通るどんな直線でも曲線 y = f(x) との差は 0 に近づくが，直線の傾きが f ′(a) でなければその差は O(h) となる。この意味で，接線は x = a の近くで曲線を一番良く近似する直線といえる。

まとめると h が小さいとき

f(a + h) = f(a) + f ′(a) h +O(h2) (10.5)

となる。

＜注＞ 式 (10.5) が成り立つことや，さらに近似を進めるとどうなるかについては テイラー (Taylor)展開 のところで説明する。

曲線と接線の差∆(h) = f(a + h)− f(a)− f ′(a) hの計算例(例) f(x) = x2，a = 1，f ′(1) = 2

h 1× 10−1 1× 10−2 1× 10−3 1× 10−4

∆(h) 1× 10−2 1× 10−4 1× 10−6 1× 10−8

∆(h)/∆(10h) 1× 10−2 1× 10−2 1× 10−2

(例) f(x) = sin(x)，a = 0，f ′(0) = 1

h 1× 10−1 1× 10−2 1× 10−3 1× 10−4

∆(h) −1.67× 10−4 −1.67× 10−7 −1.67× 10−10 −1.67× 10−13

∆(h)/∆(10h) 1× 10−3 1× 10−3 1× 10−3

数学 I.11

(例) f(x) = x sin

(1

x

)，a = 0.01，f ′(0.01) = −86.7 · · ·

h 1× 10−3 1× 10−4 1× 10−5 1× 10−6

∆(h) 9.40× 10−2 3.65× 10−3 2.67× 10−5 2.55× 10−7

∆(h)/∆(10h) 3.88× 10−2 7.32× 10−3 9.53× 10−3

導関数 (p.16)寺，(p.53)馬 ，(p.21)川

関数 y = f(x) を考える。各 x の値にこの x における微分係数を対応させる関数を y = f(x)

の 導関数 とよび

f ′(x), y′ とかdf(x)

dx,

dy

dx(11.1)

と表す。すなわち

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h(11.2)

である。

＜注＞ 微分係数を示す記号 (8.3) に現れた |x=a は x に a を代入するという操作を意味する。つまり，微分係数 f ′(a) は導関数 f ′(x) の x = a における値。

基本的な関数の導関数 (p.54)馬，(p.64)川

・xn (p.16)寺，(p.24)川dxn

dx= n xn−1 (11.3)

limh→0

(x + h)n − xn

h= lim

h→0

n h xn−1 +O(h2)

h= lim

h→0

(n xn−1 +O(h)

)= n xn−1 (11.4)

＜注＞ 上の導出では nが自然数の場合を考えているが，実はnが任意の実数の場合も式 (11.3)

は成り立つ。

・三角関数 (p.20)寺，(p.58)馬 ，(p.72)川

d sin(x)

dx= cos(x) ,

d cos(x)

dx= − sin(x) (11.5)

limh→0

sin(x + h)− sin(x)

h= lim

h→0

2 cos(x + h

2

)sin

(h2

)

h

= limh→0

cos(x +

h

2

)limh→0

sin(

h2

)

h2

= cos(x) (11.6)

数学 I.13

・指数関数 (p.28)寺，(p.53)馬dex

dx= ex (13.1)

dex

dx= lim

h→0

ex+h − ex

h= ex lim

h→0

eh − 1

h= ex lim

h→0

eh − e0

h(13.2)

であるが，上式右辺の limh→0

(eh− e0

)/h は関数 y = ex の x = 0 での微分係数，すなわち x = 0

での接線の傾きを表す。ネイピア数 e はこの接線の傾きが 1であるように定義されていた。(プリント数 I.2)

(参考) ネイピア数の表現 e = limt→0

(1 + t)1t より上を導くこともできる。eh − 1 = t とおくと

h = log(1 + t) となるので

limh→0

eh − 1

h= lim

t→0

t

log(1 + t)= lim

t→0

1

log(1 + t)1t

=1

log(

limt→0(1 + t)1t

) =1

log e= 1

(13.3)

となる。

・対数関数 (p.28)寺，(p.54)馬d log(|x|)

dx=

1

x(13.4)

x > 0 の場合を考える。

limh→0

log(x + h)− log(x)

h= lim

h→0

log x+hx

h= lim

h→0

x

hlog

(1 +

h

x

) 1

x=

1

xlimt→0

log(1 + t)

t(13.5)

上で，t = h/x とおいた。上式右辺の

limt→0

log(1 + t)

tは関数 y = log(x) の x = 1 での微分係数，すなわち x = 1 での接線の傾きを表

す。(プリント数 I.3)よりこの傾きは 1である。

(参考) ネイピア数の表現からも

limt→0

log(1 + t)

t= log

(limt→0

(1 + t)1t

)= log e = 1

となることがわかる。

＜注＞ x < 0 の場合は y = −x とおいて，後述の合成関数の微分を用いる；

d log(y)

dx=

d log(y)

dy

dy

dx= −1

y=

1

x(13.6)

数学 I.14

微分の基本的公式 (p.17)寺，(p.60)馬

・関数の和，差と定数との積の微分

(a f(x) + b g(x)

)′= a f ′(x) + b g′(x) , a, bは定数 (14.1)

・関数の積の微分

(f(x) g(x)

)′= f ′(x) g(x) + f(x) g′(x) (14.2)

x = a の近くで

f(a + h) = f(a) + f ′(a) h +O(h2) (14.3)

g(a + h) = g(a) + g′(a) h +O(h2) (14.4)

となる。これより

f(a + h) g(a + h) = f(a) g(a) +(f ′(a) g(a) + f(a) g′(a)

)h +O(h2) (14.5)

となる。一方 F (x) = f(x) g(x) とすると，

F (a + h) = F (a) + F ′(a) h +O(h2) (14.6)

である。ただし，F (a) = f(a) g(a)。式 (14.5)と式 (14.6)の h の 1次の係数を比べて

F ′(a) = f ′(a) g(a) + f(a) g′(a) (14.7)

となることがわかる。

・関数の商の微分

(f(x)

g(x)

)′=

f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)

g(x)2(14.8)

今度は F (x) = f(x)/g(x) とおく。F (x) g(x) = f(x) の両辺を x で微分すると積の微分公式(14.2)より

F ′(x) g(x) + F (x) g′(x) = f ′(x) (14.9)

がとなる。これより

F ′(x) =f ′(x)− F (x)g′(x)

g(x)(14.10)

が得られる。F (x) = f(x)/g(x) を上の式に代入して通分すると式 (14.8) となる。

数学 I.15

・合成関数 y = f(g(x)) の導関数 (p.18)寺，(p.62)馬

df(g(x))

dx=

df(u)

du

∣∣∣∣u=g(x)

dg(x)

dx(15.1)

y = f(u)，u = g(x) とする。x = a の近くでは関数 u = g(x) は次の直線 (1次関数)

u = g(a) +dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) (15.2)

とほぼ等しくなる。また， b = g(a) とすると，u = b の近くでは関数 y = f(u) は直線

y = f(b) +df(u)

du

∣∣∣∣u=b

(u− b) (15.3)

とほぼ等しくなる。1次関数と 1次関数の合成は 1次関数となる。実際，式 (15.2)と式 (15.3)より合成関数は

y = f(b) +df(u)

du

∣∣∣∣u=b

([g(a) +

dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a)

]− b

)(15.4)

b=g(a)= f(b) +

df(u)

du

∣∣∣∣u=g(a)

dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) (15.5)

となる。この直線の傾き，df(u)

du

∣∣∣∣u=g(a)

dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

， が合成関数 y = f(g(x))の x = a での微

分係数を表す。

＜注＞ 曲線と接線の差まで考慮すると以下のような導出となる；

g(a + h) = g(a) +dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

h +O(h2) (15.6)

f(b + ε) = f(b) +df(u)

du

∣∣∣∣u=b

ε +O(ε2) (15.7)

となっている。ε =dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

h +O(h2) と考えて

f(g(a + h)) = f

(g(a) +

dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

h +O(h2)

)(15.8)

= f(g(a)) +df(u)

du

∣∣∣∣u=b

(dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

h +O(h2)

)+O(ε2) (15.9)

= f(g(a)) +df(u)

du

∣∣∣∣u=b

dg(x)

dx

∣∣∣∣x=a

h +O(h2) (15.10)

となる。上の式 (15.10)の h の一次の係数から合成関数 y = f(g(x)) の x = a での微分係数がわかる。

数学 I.16

(例) xα = exp(α log(x)

)の導関数を求めなさい。ただし α は実数。

(答) f(u) = eu，g(x) = α log(x) とすると exp(α log(x)

)= f(g(x))となる。合成関数の微分

の式 (15.1)より

d exp(α log(x)

)

dx=

deu

du

∣∣∣∣u=α log(x)

d(α log(x))

dx= eu|u=α log(x) α

d log(x)

dx= xα α

1

x= α xα−1

となる。これより任意の実数 α について次が成り立つことがわかる；

dxα

dx= αxα−1 (16.1)

(例) 関数 y = f(g(h(x))

)の導関数を求めなさい。

合成関数の微分の式 (15.1)を 2度使う。まず，F (x) = g(h(x)) とすると，y = f(u)，u = F (x)

なのでdy

dx=

df(F (x))

dx=

df(u)

du

∣∣∣∣u=F (x)

dF (x)

dx(16.2)

となる。次にdF (x)

dx=

dg(h(x))

dx=

dg(v)

dv

∣∣∣∣v=h(x)

dh(x)

dxより次が得られる；

df(g(h(x))

)

dx=

df(u)

du

∣∣∣∣u=g(h(x))

dg(v)

dv

∣∣∣∣v=h(x)

dh(x)

dx(16.3)

(例) y =1

1 + A exp(−rx)の導関数を求めなさい。ただし，A と r は定数である。また，この

関数の x = 0 での接線を表す式を求めなさい。

(答) f(u) = 1/u，g(v) = 1 + A ev，h(x) = −r x とすると1

1 + A exp(−rx)= f(g(h(x))) とな

る。df(u)

du= − 1

u2，

dg(v)

dv= A

dev

dv= Aev，

dg(x)

dx= −r なので式 (16.3)より以下が得られる；

d

dx

(1

1 + A exp(−rx)

)= − 1

u2

∣∣∣∣u=1+Ae−rx

Aev|v=−rx (−r) =rA exp(−rx)(

1 + A exp(−rx))2

以上より x = 0 でこの関数の値は 1/(1 + A)であり，微分係数は rA/(1 + A)2となることがわかる。従って x = 0での接線は以下の式で表される；

y =1

1 + A+

rA

(1 + A)2x

右図は r = 2，A = 10 の場合のグラフを示す。細い線は接線を示す。 � � � � � �

� ��� � �

�

��� ���

��� �

��� ��

y

x

数学 I.17

・逆関数の導関数 (p.25)寺

f(x) と g(x) が互いに逆関数である場合は

x = f(g(x)) (17.1)

となっている。上の式の両辺を x で微分すると

1 =df(u)

du

∣∣∣∣u=g(x)

dg(x)

dx(17.2)

が得られる。これより g(x) が f(x) の逆関数である場合

dg(x)

dx= 1

/df(u)

du

∣∣∣∣u=g(x)

(17.3)

となる。

(例) arcsin(x) は −1 ≤ x ≤ 1 で定義された sin(x) の逆関数であり−π

2≤ arcsin(x) ≤ π

2の値を

とる。(sin−1(x) と書くこともある。) y = arcsin(x) の導関数を求めなさい。また，x = 1/√

2

での接線を表す式を書きなさい。

(答) f(u) = sin(u)，g(x) = arcsin(x) とおいて式 (17.3) を用いると

d arcsin(x)

dx= 1

/d sin(u)

du

∣∣∣∣u=arcsin(x)

=1

cos(u)

∣∣∣∣u=arcsin(x)

(17.4)

となる。sin(u) = xなので (cos(u))2+(sin(u))2 = 1より cos(u) = ±√

1− (sin(u))2 = ±√

1− x2

となる。u = arcsin(x) は −π/2 から π/2 の範囲の値をとるので cos(u) ≥ 0。従って cos(u) =√1− x2であることがわかる。これを式 (17.4)に代入して

d arcsin(x)

dx=

1√1− x2

, −1 ≤ x ≤ 1 (17.5)

が得られる。x = 1/√

2での微分係数の値は上より√

2となる。また sin(arcsin(1/√

2)) = 1/√

2

より，arcsin(1/√

2) = π/4 であることがわかる。以上より， x = 1/√

2 での接線は次の式で表される；

y =π

4− 1 +

√2 x

-1 -0.5 0 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

細い線が接線を示す。

数学 I.18・パラメーターで表された関数の微分係数 (p.32)寺

x と y がパラメーター t によって

x = f(t) , y = g(t) (18.1)

と表されている。y を x の関数と考えたときの x = f(c) での微分係数は以下で表される；

dy

dx

∣∣∣∣x=f(c)

=

[dg(t)

dt

/df(t)

dt

]

t=c

(18.2)

t = c の近くで関数 x = f(t)，y = g(t) はそれぞれ次の直線

x = f(c) +df(t)

dt

∣∣∣∣t=c

(t− c) (18.3)

y = g(c) +dg(t)

dt

∣∣∣∣t=c

(t− c) (18.4)

とほぼ等しくなる。式 (18.3)より t− c = (x− f(c))/ df(t)

dt

∣∣∣∣t=c

となるので，これを式 (18.4)に

代入して x と y の 1次の関係式

y = g(c) +

[dg(t)

dt

/df(t)

dt

]

t=c

(x− f(c)

)(18.5)

が得られる。この直線の傾き[

dg(t)

dt

/df(t)

dt

]

t=c

が x = f(c) での微分係数を与える。

＜注＞ 逆関数の微分の式を用いた導出は以下のようになる；x = f(t) の逆関数を t = h(x) と書く。y = g(h(x)) の導関数は合成関数の微分の式 (15.1)より

dy

dx=

dg(h(x))dx

=dg(t)dt

∣∣∣∣t=h(x)

dh(x)dx

(18.6)

となる。さらに逆関数の微分の式 (17.3)よりdh(x)

dx= 1

/ df(t)dt

∣∣∣∣t=h(x)

なので

dy

dx=

dg(h(x))dx

=dg(t)dt

/df(t)dt

∣∣∣∣t=h(x)

(18.7)

となる。(例) パラメーター θ を用いて表された曲線 {x = eθ cos(θ) , y = eθ sin(θ)} の θ = π/2 での接線を表す式を書きなさい。

(答)dx(θ)

dθ= eθ

(cos(θ)− sin(θ)

)，

dy(θ)

dθ= eθ

(sin(θ) + cos(θ)

)となる。

θ = π/2 で x = 0 , y = eπ/2 である。この点での微分係数 dy/dx|x=0は式 (18.2)より

dy

dx

∣∣∣∣x=0

=−eπ/2

eπ/2= −1

となる。従ってこの点での接線は次の式で表される；

y = eπ/2 − x

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

x

y

細い線が接線を示す。

数学 I.19

・テイラー (Taylor)展開 (p.49)寺，(p.84)馬

高次の導関数

関数 y = f(x) の導関数df(x)

dxが微分可能なとき導関数の導関数

d

dx

(df(x)

dx

)を

d2f(x)

dx2,

d2

dx2f(x) ,

d2y

dx2, y′′ , f ′′(x)

などと書き 2次の導関数 とか 2階の導関数 と呼ぶ。同様に関数 y = f(x) を n 回微分して得られる関数を

dnf(x)

dxn,

dn

dxnf(x) ,

dny

dxn, y(n) , f (n)(x) (19.1)

などと書き n次の導関数 とか n階の導関数 と呼ぶ。

＜注＞ 0次の導関数は元の関数のこととする；

d0f(x)

dx0= f(x) (19.2)

x = a の微分係数df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

を用いて関数 y = f(x) を x = a の近くで

f(x) = f(a) +df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) +O((x− a)2

)(19.3)

と近似できた。高次の微分係数を使うと，さらに誤差を小さくすることができる。関数 f(x) の x = a での n次の テイラー展開 fn(x; a) を次で与える；

fn(x; a) =n∑

k=0

dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

(x− a)k

k!(19.4)

ここで k! は k の 階乗 と呼ばれる次で定義される量；

k! =

{k · (k − 1) · · · 3 · 2 · 1 ; k = 1, 2, 3 · · · 自然数

1 ; k = 0(19.5)

また和の記号n∑

k=0

は次式のこと；

n∑

k=0

c(n) = c(0) + c(1) + c(2) + · · ·+ c(n− 1) + c(n) (19.6)

従って fn(x; a) を和の記号を使わずに書くと次式となる；

fn(x; a) =d0f(x)

dx0

∣∣∣∣x=a

(x− a)0

0!+

d1f(x)

dx1

∣∣∣∣x=a

(x− a)1

1!+

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

(x− a)2

2!+ · · ·

= f(a) +df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) +d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

(x− a)2

2+ · · ·+ dnf(x)

dxn

∣∣∣∣x=a

(x− a)n

n!

数学 I.20

＜注＞ fn(x; a) はこの講義でしか使わない記号なので参考書等を読むときは注意してください。

テイラー展開の性質

・1次のテイラー展開 y = f1(x; a) = f(a) +df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) は 関数 y = f(x) の x = a で

の接線を表す。

・n次のテイラー展開 fn(x; a) の x = a での微分係数は n次まで元の関数 f(x) の微分係数と一致する；

dkfn(x; a)

dxk

∣∣∣∣x=a

=dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

, k = 0, 1, · · · , n (20.7)

・f(x) が n次の多項式の場合，f(x) = fn(x; a)

・x = a の近くで f(x) と fn(x; a) の差はO((x− a)n+1

)のオーダーとなる

f(x) =n∑

k=0

1

k!

dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

(x− a)k +O((x− a)n+1

)(20.8)

ことが次の テイラーの定理 からわかる。

テイラーの定理

f(b) =n∑

k=0

(b− a)k

k!

dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

+(b− a)n+1

(n + 1)!

dn+1f(x)

dxn+1

∣∣∣∣x=c

(20.9)

が成り立つ a と b の間の適当な値 c が存在する。

(参考) 式 (20.9)の導出

左辺 f(b) と右辺第一項の差を Rn+1 と書く；

Rn+1 = f(b)−n∑

k=0

(b− a)k

k!dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

(20.10)

A を Rn+1 =(b− a)n+1

(n + 1)!A で定義する。また関数 F (x)を次式で定義する；

F (x) = f(b)−n∑

k=0

(b− x)k

k!dkf(x)

dxk− (b− x)n+1

(n + 1)!A (20.11)

F (x) は次を満たす；

F (b) = 0

F (a) =

{f(b)−

n∑

k=0

(b− a)k

k!dkf(x)

dxk

∣∣∣∣x=a

}− (b− a)n+1

(n + 1)!A

= Rn+1 − (b− a)n+1

(n + 1)!A = 0

数学 I.22

.

・関数の増減と凹凸 (p.57)寺，(p.94)馬

関数 y = f(x) の x = a での 2次のテイラー展開

f2(x; a) = f(a) +df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

(x− a) +1

2

d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

(x− a)2 (22.1)

を考える。x = a での 1次および 2次の微分係数の符号によって決まるこの 2次関数の形からx = a の近くでの関数の増減と凹凸がわかる；

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

> 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

> 0

( a, f(a) )

x = a で f(x) は増加，下に凸 なグラフ

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

< 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

> 0

x = a で f(x) は減少，下に凸 なグラフ

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

< 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

< 0

x = a で f(x) は減少，上に凸 なグラフ

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

> 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

< 0

x = a で f(x) は増加，上に凸 なグラフ

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

= 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

> 0

x = a で f(x) は極小(下に凸なグラフ)

・df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

= 0 ,d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

< 0

x = a で f(x) は極大(上に凸なグラフ)

数学 I.23

・ 極値 ：極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。f(a) が極値 → df(x)

dx

∣∣∣∣x=a

= 0

逆にdf(x)

dx

∣∣∣∣x=a

= 0でも x = a が極値とは限らない。例えば f(x) = x3 の場合， x = 0 で

df(x)

dx

∣∣∣∣x=0

= 0 だが (0 , 0) は極大でも極小でもない．

・ 変曲点 x = a の前後で曲線 y = f(x) の凹凸が変わるとき点(a , f(a)

)を変曲点と呼

ぶ．d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=a

= 0であり，x = a の前後でd2f(x)

dx2の符号が変化する。

1次および 2次の導関数の符号を調べることにより関数の概形を描くことができる。

(例) － 2 ≤ x ≤ 2 での関数 f(x) = −x3

3+ x の増減，凹凸を調べ，y = f(x) のグラフの概形を

描きなさい。

1次および 2次の導関数は以下のようになる；

df(x)

dx= −x2 + 1 ,

d2f(x)

dx2= −2x (23.1)

� � ��� � � �

d f/dx 22

x

� � ��� � � �

d f/dx

x

1次および 2次の導関数の符号と 0となる点を表にまとめると

x −2 · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · · 2

d2f(x)/dx2 + 0 −df(x)/dx − 0 + 0 −

f(x) 23 ±- −2

3(極小) °6 0(変曲点)

²-23(極大)

¯? −2

3

となる。これから f(x) の概形を以下のように描くことができる：

f(x)

x

数学 I.24

.

＜注＞ もし 1次の導関数の符号のみを調べた場合は；x = −1 が極小で x = 1 が極大であることはわかる. また， x = −1 の近くでf(x) が下に凸，x = 1 の近くで上に凸であることはわかるが，どの点で下に凸から上に凸に変わるかはわからない．

(例) パラメーター θ を用いて表された x-y 平面上の曲線 {x = 2θ − sin(θ) , y = 2− cos(θ)} を考える。1次の導関数 dy/dxの符号を調べ，−π/2 ≤ θ ≤ 3π/2 での x-y 平面上の曲線の概形を描きなさい。

dx(θ)

dθ= 2− cos(θ) ,

dy(θ)

dθ= sin(θ) (24.1)

より式 (18.2)を用いてdy

dx=

sin(θ)

2− cos(θ)(24.2)

となる。分母の dx/dθ = 2− cos(θ) は常に正なので，dy/dx の符号は分子の dy/dθ = sin(θ)より決まる。また xは θとともに常に増加する。以上より 1次の導関数の符号と 0となる点を表にまとめると

θ −π2

· · · 0 · · · π · · · 32π

x −π + 1 · · · 0 · · · 2π · · · 3π + 1

dy/dx − 0 + 0 −y 2 ↘ 1(極小) ↗ 3(極大) ↘ 2

となる。これから曲線の概形を以下のように描くことができる：

� � � � � � � �

���

�

��

�

���

�

���

�

π

y

x

＜注＞ 上で 1次の導関数 dy/dx はパラメーター θ によって表されている。もし，2次の導関数 d2y/dx2 を求める場合は，再度，式 (18.2)を用いて

d2y

dx2=

d

dθ

(dy

dx

)/dx

dθ=

2 cos(θ)− 1(2− cos(θ)

)3 (24.3)

となる。これより変曲点は θ = π/3 で与えられる点(2π/3−

√3/2 , 3/2

)となる。

数学 I.25

・定積分 (p.68)寺，(p.117)馬

x 軸上の区間 (a , b) を N 個の小区間{[xk, xk+1] , k = 0, 1, · · · , N − 1} に分割する。ただし x0 = a， xN = b である。各小区間中の 1点 x = ηk，( ηk ∈ [xk, xk+1]) での関数の値f(ηk) にその小区間の幅∆xk = xk+1 − xk をかけてすべての小区間について和をとる；

N−1∑

k=0

f(ηk)∆xk (25.1)

この和 (25.1)がすべての小区間の幅を 0にする極限 (従って区間の数 N は無限大になる) で一定の値に収束するとき，その値を関数 f(x) の x = a から x = b までの 定積分 とよび∫ b

a

f(x)dxと書き表す。すなわち

定積分の定義∫ b

a

f(x)dx = limMax({∆xk})→0

N−1∑

k=0

f(ηk)∆xk (25.2)

また，f(x) を 被積分関数 とよぶ。

(例) f(x) = x2，a = 0 , b = 1 の場合。(a, b)を等間隔に分割する；

xk =k

N, k = 0, · · · , N ∆xk =

1

N(25.3)

f(xk) = k2/N2 ≤ f(ηk) ≤ f(xk+1) = (k + 1)2/N2 なので

1

N3

N−1∑

k=0

k2 ≤N−1∑

k=0

f(ηk)∆xk ≤ 1

N3

N−1∑

k=0

(k + 1)2 (25.4)

となる。n∑

k=0

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6より

1

N3

(N − 1)N(2N − 1)

6≤

N−1∑

k=0

f(ηk)∆xk ≤ 1

N3

N(N + 1)(2N + 1)

6(25.5)

となるが，上式の左辺と右辺はN →∞でともに 1/3 になる；

limN→∞

1

N3

(N − 1)N(2N − 1)

6= lim

N→∞1

3

(1− 1

N

)(1− 1

2N

)=

1

3(25.6)

limN→∞

1

N3

N(N + 1)(2N + 1)

6= lim

N→∞1

3

(1 +

1

N

)(1 +

1

2N

)=

1

3(25.7)

従って，(25.5)の中辺も N →∞ で 1/3 に収束し∫ 1

0

x2dx =1

3(25.8)

となることがわかる。

数学 I.26

予想される疑問とその答；

• 式 (25.2)のような和の極限はどんな場合に考える必要があるのか？

変化率から全体の変化，あるいは密度から全体の量を計算する際に必要になる。

• 定積分はいちいち定義に従って和の極限を計算する必要があるのか？微分と積分が逆の操作であることを使って簡単に計算できる場合がある。

(例 1) 速度のデータから位置の変化を求めるx 軸上を運動する点の時刻 t での速度 v(t) がわかっているとして，時刻 t = a から t = b までの点の位置の変化を計算する場合を考えよう。速度は位置の変化率なので，時刻 t での点の位置を x = f(t) とすると v(t) = df(t)/dtの関係がある。時刻 t = a から t = b までの点の位置の変化，f(b)− f(a)，は区間 [a , b] を N 等分；{tk = a + k h , h = (b− a)/N} して

f(b)− f(a) = f(tN)− f(t0)

=(f(tN)− f(tN−1)

)+

(f(tN−1)− f(tN−2)

)+ · · ·+

(f(t1)− f(t0)

)

=N−1∑

k=0

(f(tk+1)− f(tk)

)(26.1)

と表せる。ここで (10.4) より

f(tk+1) = f(tk + h) = f(tk) +df(t)

dt

∣∣∣∣t=tk

h +O(h2) = f(tk) + v(tk) +O(h2) (26.2)

なので

f(b)− f(a) =N−1∑

k=0

(v(tk)h +O(h2)

) N→∞−→∫ b

a

v(t) dt (26.3)

となり，結局，位置の変化は速度の定積分で表される；

f(b)− f(a) =

∫ b

a

v(t) dt ただし v(t) =df(t)

dt(26.4)

(例 2) (質量)密度のデータから全体の重さを求める長さ L の棒の左端から x の位置の線密度 (単位長さあたりの重さ) が ρ(x) であるとして，棒全体の重さ M を計算する場合を考えよう。密度が定数ならM = ρ L となるが，今の場合 ρ(x)

は位置によって異なる。そこで棒を N 個の小さな領域，

[xk , xk+1] k = 0 · · ·N − 1ただし x0 = 0 , xN = L

に分割して考える。それぞれの小領域 [xk , xk+1] では密度が一定の値 ρ(xk) だと近似すると小領域の重さは ρ(xk)(xk+1 − xk) となる。

数学 I.27

従って全体の重さはN−1∑

k=0

ρ(xk)∆xk , ただし∆xk = xk+1 − xk

と近似できる。小領域の長さを小さくするほど上の値は正確な値 M に近づくので，結局，棒全体の重さは密度の積分で表される；

M =

∫ L

0

ρ(x) dx (27.1)

・定積分の図形的意味； ”面積” (p.68)寺，(p.118)馬

区間 [a , b] で f(x) ≥ 0 である場合，∫ b

a

f(x)dx はこの区間で y = f(x) のグラフと x

軸との間にある部分の”面積”になる。

区間 [a , b] を N 個の小区間，

[xk , xk+1] k = 0 · · ·N − 1ただし x0 = a , xN = b

に分割する。小区間 [xk , xk+1] で y = f(x) のグラフと x 軸との間にある部分の面積を ∆Sk とする。また，小区間 [xk , xk+1] で f(x) のとる最小値を mk，最大値を Mk とすると

mk∆xk ≤ ∆Sk ≤ Mk∆xk , ただし ∆xk = xk+1 − xk は小区間の幅 (27.2)

の関係がある。S =N−1∑

k=0

∆Sk なので

N−1∑

k=0

mk∆xk ≤ S ≤N−1∑

k=0

Mk∆xk (27.3)

となるが，全ての小区間の幅を 0 とする極限で上式の両辺はともに∫ b

a

f(x) dx に収束する。

従って∫ b

a

f(x)dx = Sであることがわかる。

数学 I.28

＜注＞ 右図の場合∫ b

a

f(x)dx = (面積 S1)− (面積 S2)

となる。x

y

a

bS1

S2

・積分と微分は互いに逆の操作 (微積分の基本定理) (p.52)川

d

dx

∫ x

c

f(x′)dx′ = f(x) (28.1)

＜注＞ 上の式の左辺では積分の上端を表す記号 x と区別するため積分の中に現れる積分変数を x から x′ に変えている。

簡単のため f(x) ≥ 0 の場合を考える。区間 [c , x] での y = f(x) のグラフと x 軸との間にある部分の面積を考える。この面積は区間の上端 x を変化させると値が変化し x の関数であるので F (x) と書く。すなわち

F (x) =

∫ x

c

f(x′)dx′ (28.2)

である。この関数 F (x) の x = b での微分係数を計算してみよう。微分係数の定義 (8.6)より

dF (x)

dx

∣∣∣∣x=b

= limh→0

F (b + h)− F (b)

h(28.3)

であるが，この式の右辺に現れる F (b + h)− F (b) は区間 [b , b + h] における y = f(x) のグラフと x 軸との間にある部分の面積になる。区間 [b , b + h] での f(x) の最小値を m(b, h)，最大値をM(b, h) とすると図より

m(b, h)h ≤ F (b + h)−F (b) ≤ M(b, h)h (28.4)

の関係があることがわかる。従って

m(b, h) ≤ F (b + h)− F (b)

h≤ M(b, h) (28.5)

となるが，この式の両辺は h → 0 の極限でともに f(b)

となるので dF (x)/dx|x=b = f(b) が得られる。

x

y

b b+h

m(b,h)

M(b,h)

y = f(x)

さて，定積分∫ b

a

f(x)dxは区間 [a , b] で y = f(x) のグラフと x 軸との間にある部分の面積で

あったが，この面積は上の関数 F (x) を使うと F (b)− F (a) と表せる。すなわち

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) , ただしdF (x)

dx= f(x) (28.6)

の関係がある。従って微分して f(x) になる関数 F (x) が見つかれば f(x) の定積分は求めることができる。F (x) を f(x) の 原始関数 とよぶ。

数学 I.29

.

log A + log B = log(AB) , log A− log B = log(

A

B

)

＜注＞ ・F (x) が f(x) の原始関数なら F (x) +定数 も f(x) の原始関数になる。f(x) の原始関数全体を f(x) の 不定積分 とよび

∫f(x) dx

と書く。

・F (b)− F (a)を[F (x)

]b

aとか

[F (x)

]x=b

x=aと書く場合がある。

基本的な関数の定積分 (p.67)寺，(p.103)馬，(p.78)川

・dxα+1

dx= (α + 1)xα

(← (16.1)

)より

∫ b

a

xα dx =

[xα+1

α + 1

]x=b

x=a

=bα+1 − aα+1

α + 1, ただし α は定数で α 6= −1 (29.1)

・d log |x|

dx=

1

x

(← (13.4)

)より

∫ b

a

1

xdx =

[log |x|

]x=b

x=a= log

|b||a| , a < b < 0 あるいは 0 < a < b (29.2)

・deαx

dx= αeαx

(← (13.1) , (15.1)

)より

∫ b

a

eαx dx =

[eαx

α

]x=b

x=a

=eαb − eαa

α, ただし α は定数 (29.3)

・d sin(ωx)

dx= ω cos(ωx)

(← (11.5) , (15.1)

)より

∫ b

a

cos(ωx) dx =

[sin(ωx)

ω

]x=b

x=a

=sin(ωb)− sin(ωa)

ω, ただし ω は定数 (29.4)

・d cos(ωx)

dx= −ω sin(ωx)

(← (11.5) , (15.1)

)より

∫ b

a

sin(ωx) dx =

[−cos(ωx)

ω

]x=b

x=a

=cos(ωa)− cos(ωb)

ω, ただし ω は定数 (29.5)

数学 I.30

定積分の性質 (p.66)寺，(p.115)馬，(p.56)川

∫ a

a

f(x) dx = 0 (30.1)

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx (30.2)

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx +

∫ b

c

f(x) dx (30.3)

∫ b

a

(Af(x) + Bg(x)

)dx = A

∫ b

a

f(x) dx + B

∫ b

a

g(x) dx , A, B は定数 (30.4)

(例) 2つの関数ではさまれる図形の面積

右図に示される， x = −1/2 と x = 1/2 の間で曲線y = e2x と曲線 y = x2 − 1 にはさまれる部分の面積を求めなさい。

a ≤ x ≤ b で g(x) ≤ f(x) の場合，曲線 y = f(x) とy = g(x) にはさまれる部分の面積 S は

S =

∫ b

a

(f(x)− g(x)

)dx (30.5)

となる。従って，求める面積は次式で与えられる；

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1

1

2

3

x

y

∫ 1/2

−1/2

(e2x − x2 + 1

)dx =

[e2x

2− x3

3+ x

]x=1/2

x=−1/2

=1

2

(e− 1

e

)+

11

12(30.6)

数学 I.31

・ 置換積分 ； 積分変数の変換 (p.71)寺，(p.120)馬，(p.60)川

合成関数の微分公式 (15.1)，dF (g(x))

dx=

dF (u)

du

∣∣∣∣u=g(x)

dg(x)

dxに対応して次の等式が成り立つ；

∫ β

α

f(u) du =

∫ b

a

f(g(x))dg(x)

dxdx , ただし α = g(a)，β = g(b) (31.1)

f(u)の原始関数を F (u) とする。(31.1) の右辺の被積分関数は f(u) =dF (u)

duより

f(g(x))dg(x)

dx=

dF (u)

du

∣∣∣∣u=g(x)

dg(x)

dx

(15.1)=

dF (g(x))

dx(31.2)

となる。従って (31.1)の右辺の積分は

∫ b

a

f(g(x))dg(x)

dxdx =

∫ b

a

dF (g(x))

dxdx = F (g(b))− F (g(a)) = F (β)− F (α) (31.3)

となり，確かに左辺の積分∫ β

α

f(u) du =

∫ β

α

dF (u)

dudu = F (β)− F (α) (31.4)

と一致する。

式 (31.1)は関係式 u = g(x) によって積分変数を u から x に変える際に次の 3つの操作；

(1) 積分区間を変更する：[α , β] → [a , b]

(2) 被積分関数を xで表す：f(u) = f(g(x))

(3) du をdu

dxdxに変える。

が必要であることを示している。

(参考) 上記の操作 (3)は和の極限で表した定積分の定義 (25.2)で考えると，変数 u を用いた定積分の表式

limMax{∆uk}→0

∑

k

f(ηk) ∆uk (31.5)

の中の小区間の幅 ∆uk が uk = g(xk) の関係から

∆uk = uk+1 − uk = g(xk+1)− g(xk) = g(xk + ∆xk)− g(xk)

=dg(x)dx

∣∣∣∣x=xk

∆xk +O((∆xk)2

)(31.6)

によってdg(x)dx

∣∣∣∣x=xk

∆xk と関連がつくことに対応している。

数学 I.32

.

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) , cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ) = 2 cos2(θ)− 1

(例) パラメーター θ を用いて表された x-y 平面上の曲線

x = a(θ − sin(θ)

)(32.1)

y = a(1− cos(θ)

)(32.2)

を考える。(サイクロイド曲線と呼ばれる。プリント数学 I.6 を参照。) x = 0 と x = 2πa の範囲で，この曲線と x軸とにはさまれた部分の面積を求めなさい。

面積は定積分∫ 2πa

0

y dx で表される。(32.1)を用いて，積分変数を x から θ に変える；

(1) 積分区間，x = 0 から x = 2πa， は θ = 0 から θ = 2π に変わる。

(2) 被積分関数 y を θ で表すと (32.2) より a(1− cos(θ)

)となる。

(3) (32.1) よりdx

dθ= a

(1− cos(θ)

)となるので dx → a

(1− cos(θ)

)dθ と変わる。

以上から次が得られる；∫ 2πa

0

y dx = a2

∫ 2π

0

(1− cos(θ)

)2

dθ = a2

∫ 2π

0

(1− 2 cos(θ) + (cos(θ))2

)dθ

= a2

∫ 2π

0

(3

2− 2 cos(θ) +

cos(2θ)

2

)dθ

= a2

[3

2θ − 2 sin(θ) +

sin(2θ)

4

]θ=2π

θ=0

= 3πa2 (32.3)

(例) 公式 ((p.198)馬，(p.151)川)

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π (32.4)

を用いて次の定積分 ∫ ∞

−∞e−x2/4 dx (32.5)

を計算しなさい。(関数のグラフはプリント数 I.3と数 I.4を参照。)

x = 2t の関係式を用いて積分変数を x から t に変える；

(1) xが−∞から +∞へ動くにつれて tも−∞から +∞へ動くので tの積分区間は (−∞ , ∞)

となる。

(2)被積分関数は e−x2/4 = e−t2 となる。

(3) dx/dt = 2 より dx → 2 dt と変わる。

以上より次が得られる；∫ ∞

−∞e−x2/4 dx = 2

∫ ∞

−∞e−t2 dt

(32.4)= 2

√π (32.6)

数学 I.33

・ 部分積分 (p.73)寺，(p.120)馬

関数の積の微分公式 (14.2)，d

dx

(f(x)g(x)

)=

df(x)

dxg(x) + f(x)

dg(x)

dxに対応して次の等式が

成り立つ； ∫ b

a

df(x)

dxg(x) dx =

[f(x)g(x)

]x=b

x=a−

∫ b

a

f(x)dg(x)

dxdx (33.1)

式 (14.2)の両辺を x = a から x = b まで x について積分する；

左辺の積分 =

∫ b

a

d

dx

(f(x)g(x)

)dx

(28.6)=

[f(x)g(x)

]x=b

x=a

右辺の積分 =

∫ b

a

df(x)

dxg(x) dx +

∫ b

a

f(x)dg(x)

dxdx

(左辺の積分) = (右辺の積分) より式 (33.1)を得る。

(例)

∫ b

a

x log(x) dx , 0 < a < bを被積分関数が x と log(x) の積と考えて，部分積分の

式を用いて計算しなさい。

式 (33.1) で df(x)/dx = x , g(x) = log(x) と考える。f(x) = x2/2 と考えて

∫ b

a

log(x) dx =

[x2

2log(x)

]x=b

x=a

−∫ b

a

x2

2

d

dxlog(x) dx (33.2)

を得る。上式の右辺第 2項の積分は

∫ b

a

x2

2

d

dxlog(x) dx =

∫ b

a

x2

2

1

xdx =

∫ b

a

x

2dx =

[x2

4

]x=b

x=a

(33.3)

となるので，結局，次の結果が得られる；

∫ b

a

log(x) dx =

[x2

2log(x)− x2

4

]x=b

x=a

=b2 log b− a2 log a

2+

a2 − b2

4(33.4)

数学 I.34

(例)

積分で定義された z の関数

Γ(z) =

∫ ∞

0

xz−1e−x dx (34.1)

が関係式Γ(z + 1) = z Γ(z) , z > 0 (34.2)

を満たすことを示しなさい。(ヒント；Γ(z + 1) を定義する積分の被積分関数を xz と e−xの積と考えて，部分積分の式を用いる。)

(答) e−x = −de−x/dx なので

Γ(z + 1) =

∫ ∞

0

xz e−x dx = −∫ ∞

0

de−x

dxxz dx = − [

e−xxz]x=∞x=0

+

∫ ∞

0

e−x dxz

dxdx

= z

∫ ∞

0

e−xxz−1 dx = z Γ(z) (34.3)

という関係式がえられる。ここで z > 0 より e−xxz|x=0 = 0 となることと，

limx→∞

xz

ex= 0 すなわち ex は xz より速く無限大に近づく (34.4)

ことを用いた。

(参考)

Γ(1) =∫ ∞

0e−x dx = − [

e−x]x=∞x=0

= e0 − limx→∞ e−x = 1− 0 = 1 (34.5)

なので，自然数 n について

Γ(n + 1) = n Γ(n) = n · (n− 1) Γ(n− 1) = · · · = n · (n− 1) · · · 1 Γ(1) = n! (34.6)

となる。Γ(z) はガンマ関数と呼ばれ，階乗 n! を自然数 n 以外の実数や複素数 z に拡張した関数になっ

ている。(p.86)寺

数学 I.問.1

(問 1) 次の関数の導関数を求めなさい。また， x = 1 での接線を表す式を書きなさい。

(1) y =1(

1 + x2)4 ， (2) y = sin

(√x2 + 1

)

(答 1)

(1) f(u) = u−4，g(x) = 1 + x2 とすると，1(

1 + x2)4 = f(g(x))となる。

df(u)

du= −4u−5，

dg(x)

dx= 2x なので式 (15.1)より導関数は；

d

dx

1(

1 + x2)4

= − 4

u5

∣∣∣∣u=1+x2

2x = − 8x(1 + x2

)5 (p1.1)

となる。また x = 1 でこの関数の値は 1/16，微分係数は −1/4 なので接線をは以下の式で表される；

y =1

16− 1

4(x− 1) =

5− 4x

16

-2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

細い線は接線を示す。

(2) f(u) = sin(u)，g(v) = v1/2，h(x) = x2 + 1 とすると sin(√

x2 + 1)

= f(g(h(x))) となる。df(u)

du= cos(u)，

dg(v)

dv=

1

2v−1/2 =

1

2√

v，

dg(x)

dx= 2x なので式 (16.3)より以下が得られる；

d sin(√

x2 + 1)

dx= cos(u)|u=

√x2+1

1

2√

v

∣∣∣∣v=x2+1

2x =x√

x2 + 1cos

(√x2 + 1

)(p1.2)

以上より x = 1 でこの関数の値は sin(√

2)であり，微分係数は

1√2

cos(√

2)となることがわか

る。従って接線は次の式で表される；

y = sin(√

2) +cos(

√2)√

2(x− 1)

-4 -2 0 2 4 6 8 10

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

x

y

数学 I.問.5

(問 2) 次の定積分を求めなさい。

∫ 5

4

1

x2 − 2x− 3dx (p5.1)

ヒント：被積分関数を以下のように書き表して考えてみよう；

1

x2 − 2x− 3=

1

(x− 3)(x + 1)=

1

4

(x + 1)− (x− 3)

(x− 3)(x + 1)=

1

4

1

x− 3− 1

4

1

x + 1(p5.2)

このような変形を 部分分数展開 と呼ぶ。

(答 2)

式 (p5.2)を用いて

∫ 5

4

1

x2 − 2x− 3dx =

1

4

∫ 5

4

1

x− 3dx− 1

4

∫ 5

4

1

x + 1dx (p5.3)

上式右辺の第 1項に現れる積分は積分変数を x から t = x− 3 に置き換えると∫ 5

4

1

x− 3dx =

∫ 2

1

1

t

dx

dtdt =

∫ 2

1

1

tdt =

[log(t)

]t=2

t=1=

(log(2)− log(1)

)= log(2) (p5.4)

となる。同様に右辺第 2項に現れる積分は積分変数を x から t = x + 1 に置き換えると∫ 5

4

1

x + 1dx =

∫ 6

5

1

t

dx

dtdt =

∫ 6

5

1

tdt =

[log(t)

]t=6

t=5=

(log(6)− log(5)

)= log

(6

5

)(p5.5)

となる。以上から定積分の値は以下となる；

1

4

(log(2)− log

(6

5

))=

1

4log

(2 · 56

)=

1

4log

(5

3

)(p5.6)

(問 3) 次の定積分を求めなさい。

∫ 1

0

cos(π

2(x + 1)

)dx (p5.7)

(答 3)

積分変数を x から t =π

2(x + 1)に置き換える

dx

dt=

d

dt

(2

πt− 1

)=

2

πなので

∫ 1

0

cos(π

2(x + 1)

)dx =

∫ π

π2

cos(t)dx

dtdt =

2

π

∫ π

π2

cos(t) dt

=2

π

[sin(t)

]t=π

t=π2

=2

π

(sin(π)− sin

(π2

) )= − 2

π(p5.8)

となる。

数学 I.問.6

(問 4)正の実数 a を含む定積分

I(a) =∫ ∞

−∞

1√a + x6

dx (p6.1)

に対して I(a)/I(1) を求めなさい。

(答 4)

I(a) =1√a

∫ ∞

−∞

1√1 + x6

a

dx (p6.2)

となる。右辺に現れる積分が I(1) =∫ ∞

−∞

1√1 + y6

dy の形になるように積分変数を x から y = x/a1/6

に変換する。x が −∞ から ∞ まで変化するときに y も−∞ から ∞ まで変化するので

I(a) =1√a

∫ ∞

−∞

1√1 + y6

dx

dydy =

1a1/2

∫ ∞

−∞

1√1 + y6

a1/6 dy

=1

a1/2−1/6

∫ ∞

−∞

1√1 + y6

dy =1

a1/3I(1) (p6.3)

よりI(a)I(1)

=1

a1/3となる。

(問 5)負でない整数 n と正の実数 α を含む定積分

In(α) =∫ ∞

−∞x2ne−αx2

dx (p6.4)

について

(1) In+1(α) =n + 1

2

αIn(α)が成り立つことを示しなさい。

(ヒント：In(α) の被積分関数を x2n と e−αx2の積と考えて，部分積分の式を用いる。)

(2) I2(α)/I0(α) を求めなさい。

(答 5)(1) df(x)/dx = x2n，g(x) = e−αx2

と考えて部分積分の式 (32.2) を用いる。f(x) = x2n+1/(2n + 1) として

In(α) =[

x2n+1

2n + 1e−αx2

]∞

−∞−

∫ ∞

−∞

x2n+1

2n + 1d

dxe−αx2

dx (p6.5)

となる。 limx→±∞x2n+1e−αx2

= 0 であり，d

dxe−αx2

= −2αxe−αx2なので

In(α) =2α

2n + 1

∫ ∞

−∞

x2n+2

e−αx2dx =

α

n + 1/2In+1(α) (p6.6)

となる。これより (1)が得られる；

In+1(α) =n + 1

2

αIn(α) (p6.7)

上の式で，n = 1，n = 0 とおいて I2(α) =32α

I1(α) =32α

12α

I0(α) が得られる。従ってI2(α)I0(α)

=3

4α2

となる。