II UNIDAD

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD : Verosimilitud o fundada apariencia de verdad. Mayor o menor posibilidad de que algo suceda.

ALEATORIA: Del latín aleatorius propio del alea o suerte de los dados perteneciente o relativo al juego de azar. Dependiente de algún suceso fortuito

El por que de la probabilidad: Quizá fue la sed insaciable del hombre por el juego la que condujo al desarrollo temprano de la teoría de la probabilidad. En un esfuerzopor aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar. Algunos de los matemáticos que pro- porcionaron estas estrategias fueron Pasca, Laeibnitz, Fermat y James Bernoulli.

Como resultado de de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad, la inferen-cia estadística, con todas sus predicciones y generalizaciones, se extiende más álla dede los juegos de azar para abarcar muchos otros campos asociados con los eventos aleatorios, como la politica, los negocios, la predicción del clima y la investigación cientifica

Para que estas predicciones y generalizaciones sean razonablemente precisas, es esen-cial una comprensión de la teoría básica de la probabilidad.

PROBABILIDAD:

Es el método de asignar pesos o probabilidades a los eventos posibles de un experimento.

PROBABILIDAD CLÁSICA:

Define la probabilidad de que un evento ocurra como el número de resultados donde ocurre el evento entre el numero total de posibles resultados.

El enfoque clásico supone un mundo que no existe en la realidad.

Descarta situaciones que son muy poco probables pero que podrian presentarse, como el hecho de que una moneda caiga sobre su canto.

Existe la probabilidad Clasica, Relativa y Subjetiva.

PROBABILIDAD RELATIVA:

Define la probabilidad en dos formas:

2. La proporción de las veces que un evento sucede a la larga cuando las condiciones son estables.

1. La frecuencia relativa observa un evento en un gran número de ensayos.

PROBABILIDAD SUBJETIVA :

Las probabilidades subjetivas se basan en la creencia e ideas

Del que realiza la observación de las probabilidades.

En efecto, podemos definirla como aquella que a un evento

asigna el individuo basándose en la evidencia disponible.

ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO:

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se

llama ESPACIO MUESTRAL y se representa por la letra S.

Cada resultado del espacio muestral se llama PUNTO MUESTRAL.

Los estadísticos utilizan la palabra experimento para describir cualquier

proceso que genere un conjunto de datos (resultados).

EXPERIMENTO:

S

PROBABILIDAD

La probabilidad es un número que nunca puede tener valor negativo, ni ser mayor que 1

Ejemplo :

Encontrar el espacio muestral S, del lanzamiento de una moneda al aire.

S = { A, S }

Ejemplo :

Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesamos en el número que muestra en la cara superior, el espacio muestral sería.

S = { 1,2,3,4,5,6 }

Si nos interesamos sólo en si el número es par o impar, el espacio muestrales.

S = { par, impar }

Se puede usar más de un espacio muestral para describir los resultados de un experimento.

A = aguilaS = sol

CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA

Uno de los problemas que el estadístico debe considerar e intentar

evaluar es el elemento de posibilidad asociado con la ocurrencia de cier-

tos eventos cuando se lleva a cabo un experimento. Es decir, en muchos

casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad me –

diante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin listar

realmente cada elemento.

PERMUTACIONES:

Con frecuencia nos interesamos en un espacio muestral que contiene como elementos a todas las posibles ordenaciones o arreglos de un grupo de objetos. Por ejemplo, podemos querer saber cuántos arreglos diferentesson posibles para sentar a seis personas alrededor de una mesa, o podemospreguntar cuántas ordenaciones diferentes son posibles para sacar dos billetes de loteria de un total de 20. Los diferentes arreglos se llaman permuta –ciones.

Permutación : Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.

Ejemplo: Considere las tres letras a,b y c. Las permutaciones posibles son: abc, acb, bac, bca, cab y cba.

El número de permutaciones de n objetos distintos es n!

En general, el número de permutaciones u ordenaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es :

!!rnn

Prn

EJEMPLOS:

De cuantas formas se pueden ordenar o colocar 5 esferas de diferente color ?

nespermutaciornn

nPr 120!0!5

!55!5

!!

De cuantas formas pueden 10 personas sentarse en un banco con capacidad para 5 personas ?

esordenacionrnn

nPr 240,30!5!10

!510!10

!!

Ejemplo : Se sacan dos billetes de lotería de 20 para un primer premio y un segundo premios. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio S.

Ejemplo: De cuantas formas se pueden llenar las cinco posiciones iniciales en un equipo de balóncesto con ocho jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones ?

TAREA:

Ejemplo : Cuatro matrimonios compran ocho lugares en la misma fila para

un concierto. ¿de cuántas maneras diferentes se pueden sentar?

a) Sin restricciones.b) Si cada pareja se sienta junta.c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres.

Ejemplo: Cuantos números de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5 y 6, si: a) cada dígito se puede usar solo una vez. b) cuantos de estos números son impares. c) cuantos son mayores de 330.

TAREA:

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es (n - 1)!

Ejemplo : De cuantas maneras se pueden plantar cinco árboles diferentes en un círculo ?

NOTA: Hasta aquí consideramos permutaciones de objetos distintos. Es decir, todos los objetos fueron por completo diferentes o distinguibles.

El número de permutaciones distintas de n cosas de las que n1 son deuna clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k-ésima clase es

!!!!

321 nnnn

Ejemplo : De cuantas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos 4 amarillos y 2 azules en una serie de luces navideña con 9 por talámparas ?

TAREA : Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra infinito.

En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionarr objetos de n sin importar el orden.

Estas selecciones se llaman combinaciones.

COMBINACIONES :

El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es

!!

!

rnr

nnCr

NOTA : En una combinación si importa el orden y en una permutación u ordenamiento no existe el orden.

Ejemplo : cuantas combinaciones se pueden hacer con las letras a,b,c, tomadas de dos en dos.

Ejemplo : cuantos equipos de 8 personas se pueden formar en este momento en el aula.

CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA

Ejemplo : De cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités

que se pueden formar que consistan en dos químicos y un físico.

El número de formas de seleccionar a dos químicos de cuatro es :

6!24!2

!42

4

El número de formas de seleccionar un físico de tres es :

3!13!1

!31

3

Al usar la regla de la multiplicación con n1= 6 y n2= 3, podemos formar

n1n2= (6)(3)=18 Comités con 2 químicos y 2 físico.

CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA

1.- De cuantas formas se pueden ordenar o colocar 5 esferas de diferente color ?

2.- De cuantas formas pueden 10 personas sentarce en un banco con capacidad para 5 personas ?

Ejercicios variados, TAREA :

3.- Se tienen 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas, de cuantas formas puede integrarse un comité de 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas ?

4.- De cuantas formas pueden ordenarse 7 libros ? si :

a) Es posible cualquier ordenación

b) 3 libros determinados deben estar juntos.

c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos.

TAREA:

En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral

de forma sistemática mediante un diagrama de árbol.

Ejemplo :

Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una –segunda vez si sale Aguila. Si sale Sol en el primer lazamiento, entonces se lanza un dado una vez.

DIAGRAMAS DE ARBOL :

Ejemplo:

Suponga que se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un procesode fabricación. Cada articulo se inspecciona y clasifica como defectuoso, D,o sin defecto, N. Listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor información.

S = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD, NDN,NND,NNN}

El principio fundamental del conteo a menudo denominado regla demultiplicación, se establece como sigue:

Teorema: Si una operación puede resultar en n1 formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en n2 formas,

y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación

en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se pue

de realizar en (n1)(n2),...,(nk) formas.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO :

Ejemplo: Cuantos almuerzos que consisten en una sopa , emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas ?

Ejemplo: Cuantos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza un par de dados ?

Ejemplo : Sea M = {a,e,i,o,u} y N = {r,s,t}. Encuentre NM

NM

Donde es el conjunto vacio, es decir, M y N no tienen elementos en común y, por tanto no pueden ocurrir ambos de forma simultanea.

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si es decir, si A y B no tienen elementos en común.

BA

EVENTOS MUTAMENTE EXCLUYENTES :

ANÁLISIS DE LA PROBABILIDAD

LA PROBABILIDAD MARGINAL ES LA FORMA MÁS SIMPLE EN LO QUE A CALCULAR PROBABILIDADES SE REFIERE, YA QUE SÓLO SENECESITA CONTAR LOS ELEMENTOS FAVORABLES Y LOS TOTALESEN EL EXPERIMENTO Y DIVIDIR FAVORABLES ENTRE TOTALES PARA OBTENER LA PROBABILIDAD MARGINAL DE UN EVENTO DADO.

POR EJEMPLO:

Se lanza un dado sea el evento A = # par, calcular : P(A) =

PROBABILIDAD

Existen varias leyes importantes que con frecuencia simplifican el cálculo deProbabilidades. La primera que se denomina regla aditiva.

REGLAS ADITIVAS

A B

BPAPBAP

Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes.

A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes:

Ejemplo: Se lanza un dado. Cuál es la probabilidad de que salga número < 3 o número > 5 ?

Ejemplo : Se lanza un dado. Cuál es la probabilidad de que salga el 5 o número par?

Ejemplo : sea A el evento de que salga un número par y sea B el evento de que salga un número impar. Encuentre BAP

BAPBPAPBAP

Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes:

A B

Ejemplo: Se tiene una baraja americana (52 cartas). Sea A el evento que consiste en sacar un as

y sea B el evento que consiste en sacar un corazón. Encuentre la probabilidad de que ocurra A o B.

A2 as

B26 corazones

A,B2 as corazón

BAPBPAPBAP

137

5228

522

5226

524 BAP

Ejemplo: Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o número primo?

Ejemplo: Se tiene una baraja de 52 cartas. Sea A el evento que consiste en sacar cartanegra, y sea el B el evento que consiste en sacar un 5. Encuentre la probabilidadde que ocurra A o B.

Independencia estadística: Diremos que dos sucesos son independientes si uno

de ellos no tiene relación con el otro, es decir, la ocurrencia de uno no tiene influen-

cia sobre la ocurrencia del otro.

SIMBÓLICAMENTE :

dos eventos A y B son independientes si y sólo si

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidades condicionales bajo independencia estadística.

Simbólicamente, la probabilidad condicional se escribe:

P(B/A)

Y se lee "la probabilidad de que se presente el evento B, dado que el evento A se ha presentado".

La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente, si un primer evento (A) ya ha sucedido.

Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado, es simplemente la probabilidad del evento B:

P(B/A) = P(B)

Ejemplo :

Se saca una carta de una baraja americana, sea A el evento carta roja y sea B el evento # 5.

Calcular la probabilidad de que la carta sea # 5, dado que es roja.

Probabilidades condicionales bajo independencia estadística.

)/( ABP

0769.013

1

52

4)/( ABP

Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística.

La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún suceso depende o se ve afectada por la presentación de algún otro evento. Los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son:

Probabilidad condicional bajo dependencia estadística.

Ejemplo :

Se tiene una caja que contiene 10 esferas de las cuales 3 son de colores y punteadas1 es de colores y tiene rayas, 2 son grises y punteadas, 4 son grises y tienen rayas.

Calcular las siguientes probabilidades:

A) Se extrae una esfera y es punteada, cual es la probabilidad de que también sea de colores.

B) Se extrae una esfera y es gris, cual es la probabilidad de que también sea punteada.

C) Se extrae una esfera y es de colores, cual es la probabilidad de que también sea gris.

C = Colores [3 Punteadas, 1 Rayas]

P = Punteadas [3 colores, 2 grises]

G = Grises [2 punteadas , 4 Rayas]

R = Rayas [1 Colores, 4 Grises]

A )

)()(

)/(PPPCP

PCP