II TRIM 5°
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
La conversión de una razón
trigonométrica (r.t) de un ángulo
cualquiera en otra razón
equivalente de un ángulo del
primer cuadrante se llama:
”reducción al primer cuadrante”
También reducir al primer
cuadrante un ángulo significa
encontrar los valores de las RT de
cualquier ángulo en forma directa
mediante reglas prácticas las
cuales mencionaremos a
continuación recordando antes
que:
- Para el Seno: Su Co-Razón es
el Coseno.
- Para la Tangente: Su Co-Razón
es la Cotangente.
- Para la secante: Su Co-Razón
es la Cosecante.
I Regla: “Para ángulos positivos
menores a una vuelta.
¡Importante!
- El signo + ó – del segundo
miembro depende del cuadrante
al cual pertenece el “ángulo a
reducir”.
- se considera un ángulo agudo.
Ejemplos de Aplicación:
1. Reducir al primer cuadrante:
a) Cos 150º b) Tg 200º
c) Sen 320º d) Sec 115º
e) Csc 240º f) Ctg 345º
Resolución:
1a.
Cos 150º = Cos (180º - 30º) =
-Cos 30º
Trigonometría 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año“El signo (-) se debe a que el
ángulo a reducir (150º) pertenece
al II C, en el cual el coseno es
negativo”
1b.
Tg 200º = Tg (180º + 20º) =
+ Tg 20º.
“El signo (+) se debe a que el
ángulo a reducir (200) pertenece
al III C, en el cual la tangente es
positiva”.
1c.
Sen 320º = Sen (270º + 50º) =
-Cos 50º
“El signo (-) se debe a que el
ángulo a reducir (320º) pertenece
al IV C, en donde e seno es
negativo y se cambia a coseno
(Co-razón del seno porque se
trabajo con 270º”.
1d.
Sec 115º = Sec (90º + 25º) =
- Csc (25º)
Ojo: También se pudo haber
resuelto de la siguiente manera:
Sec 115º = Sec(180º - 65º) =
- Sec (25º)
“Ambas respuestas son correctas,
por ser éstas equivalentes”
- Csc 25º = - Sec 65º
Csc 25º = Sec 65º
Ya que:
Donde:
y suman 90º
Nota: A éste par de ángulos se les
denomina “Ángulo Complementarios”.
1e.
Csc 240º = Csc (180º + 60º) =
- Csc (60º) ó
Csc 240º = Csc (270º - 30º) =
- Sec (30º)
Trigonometría 2
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año1f. Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =
- Tg (75º) ó
Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =
- Ctg 15º
II Regla: “Para ángulos positivos
mayores de una vuelta.
Nota: Se eliminan los múltiplos de
360º.
Ejemplos de Aplicación
2. Reducir al primer cuadrante:
a) Sen (548º) b) Cos (987º)
c) Tg (1240º)
Resolución
2a) Sen548° = sen(1 × 360° +
188°) = sen188°
Luego:
Sen548° = sen188 =
sen(180° + 8°) = -sen8°
ó
sen548° = sen188° =
sen(270 - 72°) = -cos72°
2b) Cos987° = cos(2 × 360° +
267º) = cos267°
Luego:
Cos987° = cos267° =
cos(180° + 87°) = -cos87°
ó
cos987° = cos267° =
cos(270° - 3) = -sen3°
2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° +
160°) = Tg160°
Luego:
Tg1240° = Tg160°.Tg(90°
+ 70°) = -ctg70°
ó
Tg1240° = Tg160° =
Tg(180° - 20°) = -Tg20°
III Regla: para ángulos negativos:
Para todo ángulo , se cumple:
Trigonometría 3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Nota:
Observamos que para el coseno y
secante el signo “desaparece” es
decir, solo trabajamos con el valor
positivo. Veamos ejemplos:
Ejemplo de Aplicación
3. Reducir al primer cuadrante:
A) cos(-130°) B) sec(-274°) C)
Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)
Resolución:
3a) cos(-30°) = cos(30°)
3b) Sec(-274°) = sec(274°) =
Sec(270° + 4°) = Csc4°
ó
Sec(274°) = sec(360°-86°) =
sec86°
3c) Ctg(-1120º) = -Ctg(1120°) =
-Ctg(3×360° + 40°)
Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)
3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =
-Csc(5×360° + 340°)
Csc(-2140°) = -Csc(340°) =
-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]
= Sec 70º
ó
- Csc(340º) = - Csc (360º -
20º) = -[-Csc(20º)]
= Csc 20º
Nota Importante: Todo el capítulo
“Reducción al 1er Cuadrante” se
desarrolló trabajando netamente
en el sistema sexagesimal la cual
también se pudo haber trabajando
en el Sistema Radian incluyendo
todos los casos reglas y
aplicaciones propuestas.
Trigonometría 4
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Trigonometría 5
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
01. Calcular el valor de:
Sabiendo que =
Rpta.:
02. Reducir:
Rpta.:
03. Calcular el valor de:
Rpta.:
04. Simplificar:
Rpta.:
05. Calcular “X”.
Si A – B = 180º y SenA = X-3
SenB = 2/X
Rpta.:
06. Si y son complementarios
reducir:
Rpta.:
07. Reducir la expresión
y calcular: NCos
Rpta.:
Trigonometría 6
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. Si: - = /2
Calcular:
Rpta.:
09. Simplificar:
Rpta.:
10. Reducir:
Rpta.:
11. Si Tg25º = a Calcular
Rpta.:
12. Reducir:
Rpta.:
13. Si x + y = (4K-1) ; (K Z)
Además:
Calcular:
Rpta.:
14. Determinar el valor de:
Rpta.:
15. Siendo IIC y además
Calcular: SenCos
Rpta.:
Trigonometría 7
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año16. Calcular el valor de S:
Rpta.:
17. Si Sen40º = m. Calcular:
Rpta.:
18. Si a + b + c =
y: Tgb + Tgc = 2Tga
Calcular el valor de:
R = Seca.Cos( b – c )
Rpta.:
19. Calcular el valor de:
L = Sen(-350º) + Sen(-340º) + Sen(-330º) + … + Sen (-20º) + Sen(-10º)
Rpta.:
20. Si: x + y = 2. Calcular
E = Tg(x +10º) + Sen(y + 40º)
+ Tg(y - 10º) + Sen(x-40º)
Rpta.:
Trigonometría 8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 9
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. La expresión:
Es equivalente a:
a) Sen220º.Cos202º
b) –Sen220º
c) Cos220º
d) –Sen20ºCos220º
e) –Sen220.Cos20º
02. Si Tg(-230)º = a, entonces
Es igual a:
a) -2 b) 2 c) 3
d) e) 0
03. Simplificar:
a) -2 b) 0 c) 1
d) -1 e) 2
04. Si a y b son ángulos complementarios, simplificar la expresión:
a) -2 b) -1
c) 2 d) 0
e) 1
05. Calcular el valor de :
a) -2 b)
c) d)
e)
06. Si = /12, calcular el valor de
la siguiente expresión.
Trigonometría 10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) b)
c) 3 d) -3
e)
07. Reducir la expresión:
a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a
d)-2Tg2a e) Tg2a
08. Calcular el valor de:
a) 2 b) 1 c) 0
d) -2 e) -1
09. Reducir:
a) Ctg20 b) Tg(-70)
c) Tg20 d) Tg(-20)
e) Ctg(-70)
10. Simplificar:
a) b) c)
d) e)
11. ¿Qué relación existe entre a y
b? sabiendo que:
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/6
12. Simplificar :
Trigonometría 11
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) 1 b) -1 c) Tg2x
d) Sen2x e) Senx
13. Calcular el valor de:
a) -2 b) -1 c) 1
d) 2 e) 0
14. Reducir la expresión:
a) -Sen b) -Cos
c) -Tg d) Sen
e) Cos
15. Reducir la expresión:
a) b) a - b c) a + b
d) e) a2 – b2
Trigonometría 12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 13
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Definición:
La circunferencia trigonométrica
es una circunferencia inscrita en
un sistema de coordenadas
rectangulares a la cual hemos
denominado plano cartesiano.
Tiene como características
principales:
- El valor de su radio es la unidad
(R = 1)
- Su centro coincide con el origen
de coordenadas del plano
cartesiano.
Veámosla gráficamente
Nota: Todos y cada uno de los
puntos que pertenecen a la
circunferencia trigonométrica
(C.T.) cumplen la ecuación
siguiente:
x2 + y2 = 1
Donde:
X Abscisa del Punto
Y Ordenada del Punto
Para un mejor entendimiento de
las definiciones posteriores se
enuncian las siguientes
denominaciones a los puntos:
A (1;0) Origen de Arcos
B (0;1) Origen de
Complementos
C (-1;0) Origen de
Suplementos
P1 y P2 Extremos de
Suplementos
Trigonometría 14
Y
P
P
2
1
C(-1;0)
0 ra d
ra d
B (0 ;1 ) M ed ida de l A rco P ositivo
Medida del Arco Positivo
(1;0) A
(0;-1)
0C A
B
0
Y
X
2 = 6,28
3 = 4,71 2
= 1,572
3,14 =
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoArco en Posición Normal:
Es aquel arco cuyo extremo inicial
es el origen de arcos de la C.T. y
su extremo final cualquier punto
sobre la C.T. (es aquel que indica
el cuadrante al cual pertenece
dicho arco.
Observación: El ángulo central
correspondiente a un arco en
Posición normal o estándar, tiene
igual medida en radianes que la
medida del arco.
Veamos Ejms.:
P
0
C A
B
rad
rad
Y
X
T
Se observa que:
Además:
“” y “” son arcos en posición
normal o estándar tales que:
es (+) y al I C
es (-) y al III C
Nota: Importante:
Del gráfico: Éstos extremos
servirán como referencia para
ubicar aproximadamente otros
arcos en la C.T.
Trigonometría 15
AT
AP
Y
P(X ;Y )0 0
1
X
R ad
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplos de Aplicación:
Ubique gráficamente en la
circunferencia trigonométrica los
extremos de los arcos (en posición
standar):
Resolución
- Para que los arcos se
encuentren en posición
estándar en la C.T. éstos
tendrán su posición inicial en el
punto A(1,0).
M: Extremo del arco
N : Extremo del arco 4
Q: Extremo del arco -1
Razones Trigonométricas de
Arco en Posición Normal o
Standar:
Son numéricamente iguales a las
razones trigonométricas de su
respectivo ángulo central en la
C.T. Es decir:
R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)
Luego entonces:
Sea P(xo, yo) (P IC) que
pertenece a la C.T. y también al
Trigonometría 16
C
A
BY
X
-1rad
M
5 /6
0
5 rad 6
N4 -1Q
C.T.
Y
X
Q’(-cos ; -sen
BP(Cos ;Sen )
)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Añolado final del ángulo en posición
normal o standar .
Calculemos las R.T. del ángulo .
Observación
Vemos que:
Yo = Sen Xo = Cos
Por lo tanto
El punto P también se representa
de la siguiente manera:
P (xo, yo) = P (cos; sen)
De la observación
Coordenadas del extremo de arco:
Nota Importante:
- Ya que P y Q a la C.T.
entonces cumplen la ecuación
X2 + y2 = 1
* Para P: Cos2 + Sen2 = 1
Para Q : Cos2 + Sen2 = 1
Se concluye que “para todo arco
la suma de los cuadrados de su
seno y coseno dará la unidad”
Algunos alcances importantes:
Trigonometría 17
Y
X0
P (-Sen ;Cos )P(Cos ;Sen )
C.T.
P’ (-cos ; -sen )
0
Y
X
C.T.
P’ (cos ; sen )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Para hallar coordenadas
opuestas:
Y
Para hallar coordenadas simétricas
Para hallar Coordenadas Ortogonales:
Trigonometría 18
P’ (-Cos; -Sen)
Y
X
C .T.
0
1
Q A
P
ra d
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLíneas Trigonométricas
Son segmentos de recta dirigidos,
los cuales nos representan en la
circunferencia trigonométrica, el
valor numérico de una razón
trigonométrica de un ángulo o
número.
Las principales Líneas
Trigonométricas son:
- Línea SENO
- Línea COSENO
- Línea TANGENTE
- Línea COTANGENTE
- Línea COSECANTE
- Línea SECANTE
Las líneas trigonométricas
auxiliares son:
- Línea COVERSO.
- Línea VERSO.
- Línea EX-SECANTE
Nota Importante:
- Si el segmento de Recta está
dirigido hacia la derecha ó hacia
arriba entonces el valor numérico
de la línea trigonométrica
correspondiente será positivo.
- Si el segmento de recta está
dirigido hacia la izquierda o
hacia abajo entonces el valor
numérico de la línea trigonométrica
correspondiente será negativo.
Veamos y analicemos sus
representaciones:
Línea Seno:
Se representa mediante la
perpendicular trazada desde el
extremo del arco, hacia el diámetro
horizontal (Eje X) (apuntando hacia
el extremo del arco).
Trigonometría 19
Y
X
C .T.
0
PR
ra d
Y
X
C .T.
0
A(1,0 )
P
Q
ra d
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn el gráfico:
Se observa que representa al
seno del Arco Trigonométrico .
Nota:
Como en el Ejm. el segmento está
dirigido hacia la derecha entonces
el seno es positivo.
Línea Coseno:
Se representa por la perpendicular
trazada desde el extremo del arco,
hacia el diámetro vertical (Eje Y)
apuntando hacia el extremo del
arco.
En el gráfico:
Se observa que RP representa al
coseno del Arco Trigonométrico .
Nota:
Como en el Ejm. El segmento RP
está dirigido hacia la derecha
entonces el coseno es positivo.
Línea Tangente
Es una parte de la tangente
geométrica trazada por el origen
de arcos A(1;0). Se mide desde el
origen de arcos y termina en la
intersección de la tangente
geométrica con el radio
prolongado de la C.T. que pasa
por el extremo del arco. Apunta
hacia la intersección.
Trigonometría 20
tan gen te geom étrica
C.T.
P
0rad
A
Y
C.T.
P
0
T
rad
Tangente Geométrica
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn el gráfico:
Se observa que representa a la
tangente del Arco Trigonométrico .
Nota:
Como en el ejemplo el segmento
está dirigido, hacia abajo
entonces la tangente es negativa.
Línea Cotangente
Es una porción de la tangente
geométrica que pasa por el origen
de complementos B(0;1), se
empieza a medir desde el origen
de complemento y termina en la
intersección de la tangente
mencionada con el radio
prolongado de la C.T. que pasa
por el extremo del arco, Apunta
hacia dicha intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa a la
cotangente del arco trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido hacia
la izquierda entonces la
cotangente es negativa.
Línea Secante:
Es una porción del diámetro
prolongado que pasa por el origen
de arcos A(1;0) y que se mide
desde el centro de la C.T. hasta la
intersección del diámetro
prolongado con la tangente
geométrica trazada por el extremo
del arco. Apunta hacia la
intersección.
Trigonometría 21
tan ge n te g eo m é tr ica
C .T.P
M
0rad
B(0;1)Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
En el gráfico:
Se observa que representa a la
secante del arco trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido hacia
la derecha entonces la secante es
positiva.
Línea Cosecante:
Es una parte del diámetro
prolongado que pasa por el origen
del complemento B(0; 1), y que se
mide desde el centro de la C.T.
hasta la intersección del diámetro
prolongado mencionado con la
tangente geométrica trazada por
el extremo del arco apunta hacia
la intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa a
la cosecante del arco
trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido hacia
abajo entonces la cosecante es
negativa.
Línea Auxiliar verso o seno verso:
«Es lo que le falta al coseno de un
arco para valer la unidad» se mide a
partir de origen de arcos A(1; 0),
hasta el pie de la perpendicular
trazada desde el extremo del arco, al
diámetro horizontal del (Eje X) .
apunta hacia el origen de arcos es
decir « el verso jamás es negativo».
Trigonometría 22
C .T.
P
0
ra d
Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjm.:
En el gráfico:
Se observa que , representa al
verso del arco trigonométrico .
Cumple la fórmula
Verso() = 1 - Cos .
Línea Auxiliar Coverso o
Coseno Verso:
«Es lo que le falta al seno para
valer la unidad» el coverso se
mide a partir de origen de
complementos B(0; 1), hasta el pie
de la perpendicular trazada desde
el extremo del arco a diámetro
vertical de la C.T. (Eje Y). Apunta
hacia el origen de complementos
« el coverso jamás es negativo»
En el gráfico:
Se observa que representa al
arco trigonométrico .
Cumple la Fórmula:
Coverso() = 1 - Seno
Línea Auxiliar Ex-Secante
“«Es el exceso de la secante a
partir de la unidad ». Se mide a
partir del origen de arcos A(1; 0),
hasta el punto donde termina la
secante de ese arco. apunta hacia
el punto donde termina la secante.
Trigonometría 23
-1 0 1- +
0- +
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
En el gráfico:
Se observa que representa a
la Ex-Secante del arco trigonométrico
.
Cumple la Fórmula:
ExSec() = Sec - 1
Intervalos de variación de los
Valores de las Líneas
Trigonométricas
Para el Seno y Coseno:
- 1 Senx 1
- 1 Cosx 1
Para Tangente y Cotangente:
Trigonometría 24
-1 0 1- +
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
- < Tgx <
- < Ctgx <
Para la secante y Cosecante
- < Secx -1 v 1 Secx < +
- < Cscx -1 v 1 Csc < +
También
De lo anterior deducimos que:
La variación para los valores de
las líneas trigonométricas
auxiliares son:
0 Versx 2
0 Coversx 2
- < Ex-Secx -2 v 0 Ex-Secx < +
Ahora en una tabla veamos las
variaciones de los valores de las
líneas trigonométricas. Indicando
que:
Crece Decrece
Senx Cosx Tgx Ctgx Secx Cscx
IC IIC IIIC IVC
Trigonometría 25
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 26
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. En la C.T. mostrada, hallar el
área de la región sombreada
en términos de .
Rpta.:
02. Si 0 calcular la
diferencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión.
Rpta.:
03. Si
Indicar V o F:
i) SenX1 > SenX2
ii) CosX1 > CosX2
iii) Sen(-X1) > Sen(-X2)
iv) Cos(-X1) > Cos(-X2)
Rpta.:
04. Hallar todos los valores de X
del intervalo [0 ; 2] para los
que no se cumpla que:
Rpta.:
05. De la C.T. mostrada calcular las
coordenadas del punto “M”.
(siendo M punto medio de AP).
Trigonometría 27
AO
X
AO
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Rpta.:
06. Si X II Cuadrante hallar la
extensión de Y = 3Sen2x -1
Rpta.:
07. ¿Cuál es el máximo valor de
M: Si
Rpta.:
08. Hallar el área mínima de la
región sombreada en la C.T.
Rpta.:
09. Hallar Tg en términos de M si:
Rpta.:
10. Hallar 1-Sen - 2Cos en
términos de b. (Asumir = )
Rpta.:
Trigonometría 28
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año11. Hallar el Area “S” en términos
de sabiendo que BE = 2E0
Rpta.:
12. En la C.T. tenemos:
Escriba V o F
a) SenX1 > SenX2 > SenX3
b) TgX3 > TgX2 > TgX1
c) SecX1 > SecX2 < SecX3
d) CscX1 > CscX2 > CscX3
Rpta.:
13. Determinar la variación del ángulo
“” en el segundo cuadrante, para
el cual se cumple:
Rpta.:
14. Calcular el área del triángulo
OPS en función de .
Rpta.:
15. Dada la igualdad:
Determine el intervalo de:
E = 3Cos +
Rpta.:
16. Si 0 < < < 2 y
Trigonometría 29
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
, calcular el
valor de: Sen3 + Sec2
Rpta.:
17. Del gráfico. Hallar el área
sombreada.
Rpta.:
18. Ordene de mayor a menor
y
Rpta.:
Trigonometría 30
19
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año19. Del gráfico calcular “X1.X2”
Rpta.:
20. Hallar el área de la región
sombreada en términos de .
Rpta.:
Trigonometría 31
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Determina la variación de “”
en ] -2; 0 [ tal que Sen +
Cos < 0.
a) b)
c) d)
e)
02. En la C.T. tenemos:
escriba verdadero (V) o
Falso(F).
a) TgX3 < TgX2< TgX1
b) CtgX3 > CtgX2 > CtgX1
c) SenX3 > SenX2 > SenX1
d) CosX1 > CosX2 > CosX3
a) VVFF b) VFVF
c) FFVV d) FVVF
e) FVFV
03. En la C.T. Hallar el área de la
región sombreada.
a) (Cos + Tg + Sec)/2
b) (Ctg + Sen - Sec)/2
c) (Cos( - Tg( - Sec()/2
d) (Tg( + Csc( - Ctg( )/2
e) (Sec( + Tg( - Csc( )/2
04. De la figura calcular:
Tg( - Tg(
Trigonometría 32
3
SenCos2
3
Cos2
3
Sen2
2
SenCos
3Sen.Cos
2
Csc;
2
Cos
2
Cos;
2
Sen
2
Csc;
2
Cos
2Csc
;2
Cos
2Cos
;2
Csc
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) -1 b) 2 c) -2
d) 1 e) 0
05. Del gráfico, hallar MQ en
términos de y
a) Vers( - ) Csc( - )b) Vers( + ) Csc( - )c) Vers( - ) Cosd) Vers( + ) Csc e) Vers( - ) Ctg
06. Hallar S:
a)
b)
c)
d)
e)
07. Calcular las coordenadas del
punto M.
a)
b)
c)
d)
Trigonometría 33
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
e)
08. Se tiene que:
y además:
Calcular el intervalo de: Ctg
09. Siendo ; tal
que . . Calcular el
intervalo al cual M.
a) R b) R
c) R d) R
e) R
10. Siendo L = Cos (Sen2x + 2Senx).
Calcular el intervalo al cual L.
11. Calcular el área S en términos
de “”.
a) Tg ( 1 - Cos )/2
b) Ctg ( 1 - Sen )/2
c) Tg ( 1 - Sec )/2
d) Ctg ( 1 - Sec )/2
e) Cos ( 1 - Sec )/2
12. Sabemos que
Calcular el intervalo al que la
expresión N:
Si N = Sen2 + 2Vers
Trigonometría 34
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
13. Calcular el perímetro del
cuadrilátero TPQR de la figura.
a) 2 + 4Sen2
b) 2 - 4Sen2
c) 2 + 4Csc2
d) 2 – 4Cos2
e) 2 + 4Csc2
14. En la C.T. Hallar el Área de la
Región Sombreada.
a) 0,5 ( + Tg - 2)
b) 0,5 (- - Tg - 2)
c) 0,5 ( - Tg - 2)
d) 0,5 ( + Tg + 2)
e) 0,5 ( + Tg + )
15. Calcular la suma de las
coordenadas del Punto R. En
la figura si:
a) (1 + Sec + Tg )/(1 – 2Tg)
b) (1 - Sec + Tg )/(1 - 2Tg )
c) (1 - Sec - Tg )/(1 + 2Tg )
d) (1 - Sec - Tg )/(1 - 2Tg )
e) (1 - Sec + Tg )/(1 + 2Tg )
Trigonometría 35
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 36
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 37
Y = Cos x
Regla de Correspondencia
VariableIndependiente
VariableDependiente Y = Cos x
Regla de Correspondencia
VariableIndependiente
VariableDependiente
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
TEMA: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS
REALES
Denominaremos “función trigonométrica” al conjunto de pares ordenados
(x,y), de los cuales, los primeros elementos son números reales (ángulos en
grados sexagesimales), y los segundos elementos vienen a ser los
correspondientes valores de las razones trigonométricas de dichos ángulos.
Consideremos la razón trigonométrica Senx, si a esta le denominamos “Y”,
entonces tendremos.
Esta regla de correspondencia da lugar a un conjunto de pares ordenados,
que en conjunto, se les otorga el nombre de función trigonométrica, que por
supuesto contará con un Dominio, Rango y también con una gráfica.
Dominio de la Función:
Llamado también campo de definición o existencia. Es el conjunto de valores
que toma la primera componente ó conjunto de valores que toma la variable
independiente (valores de “x”).
Trigonometría 38
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplo 1
Sea Y = Cscx; hallar el dominio.
Resolución:
Senx 0
x K (K Z)
DY = R - K (K Z) .
Ejemplo 2
Hallar el dominio de Y:
Senx + Cosx 0
Trigonometría 39
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Ejemplo 3
Hallar el Dominio de Y = Tg2x + Cotx.
Resolución:
Y = Tg2x + Cotx
Para Tg2x: 2x (2K+1) Para Cotx: x K .
Rango de la Función:
Trigonometría 40
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLlamado también campo de variación o codominio de una función. Es el
conjunto de valores que toma la función o valores que toma la variable
dependiente (valores de “Y”).
Trigonometría 41
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplo 4
Calcular el rango de Y: 1 + 4Sen3x
Resolución:
Y = 1 + 4Sen3x
Como “X” no tiene restricciones entonces X R 3X R
Luego:
- 1 Sen(3x) 1
- 4 4Sen(3x) 4
- 3 1 + 4Sen3x 5
- 3 y 5
Y [-3;5]
R [-3;5] .
Ejemplo 5
Calcular el rango de: Y = Sen4x + Cos4x
Resolución:
Y = Sen4x + Cos4x
Como “X” no tiene restricciones entonces X R
Y = Sen4x + Cos4 + 2Sen2x Cos2x - 2Sen2x Cos2x 2x R
Y = (Sen2x + Cos2)2 – 2Sen2xCos2x
Y = 1 - (2Senx2Cos2x) = 1 -
Y = 1 -
Trigonometría 42
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLuego:
-1 Sen2x 1
0 Sen22x 1
0
- 0
1
Y 1
Y
R
Trigonometría 43
1;21
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Determinar el Dominio de la siguiente función trigono-métrica dada por la siguiente regla de correspondencia.
F(x) = Ctg(Cosx)
02. Hallar el rango de la función trigonométrica mostrada.F(x) = Sen2x – 2Cosx, en el recorrido de [ 0 ; ]
03. Determinar el valor mínimo de la función trigonométrica que tiene la siguiente regla de correspondencia.
F(x) = Sen(Cosx)+Cos(Cosx)
04. Hallar el Dominio y Rango de la siguiente función trigonométrica:
F(x) = Senx |Cscx| + Cosx |Secx|
05. Si X pertenece al intervalo
, encontrar el
rango de la siguiente función trigonométrica
06. Determinar el rango de la función trigonométrica sgte.:
Si se sabe que x [ -/3 ; /6 ]
07. Para que valor de “X”, la función, F(x) = 5 – Tg2x + 2Tgx es máxima.
08. Si el rango de la función F(x) = 3Sen2x-1 es [ -4; -1[, entonces el Dominio de la función en [ 0 ; ] es:
09. Determinar el Rango de la siguiente función trígono-métrica dada por la regla de correspondencia.
F(x) = Sen(Tgx)
10. Determinar el rango de la función trigonométrica sgte. F(x) dada por:
F(x) =
11. Calcular la suma del mínimo valor de F(x) con el máximo valor de G(x), siendo F(x) y G(x) funciones trigonométricas:
Trigonometría 44
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
F(x) = Cos2x + Cos|x|G(x) = Sen2x - |Senx|
12. Calcular el dominio de la sgte. función trigonométrica
F(x) = 3 -
13. Determinar el Dominio y Rango de la función Trigonométrica siguiente.
F(x) =
14. Hallar el Dominio de la sgte. Función Trigonométrica F(x) dada por:
F(x) = Secx +
15. Determinar el Rango de la Función Trigonométrica: F(x)F(x) = 2Cos3x – 1; cuyo
dominio es
16. Determinar el Dominio de la siguiente función trigonomé-trica: F(x)
F(x) = Sec2x + Csc2x + Tg
17. Determinar el Dominio de la Sgte. función trigonométrica dada por la Sgte. Regla de correspondencia:
F(x) =
Talque x
18. Calcular el Rango de la Sgte. Función Trigonométrica:
F(x) = 25Sen(x+74º) + Cos(x-45º)
19. Dada las siguiente Funciones Trigonométricas:
F(x) = Cosx + 1
G(x) = 1 – 2Sen
H(x) = 3Sen2 -2
Calcular: RF RG RH
20. Determine el Dominio de la siguiente Función Trígono-métrica:
F(x) = Ctg (Cosx)
Trigonometría 45
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 46
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Si sabemos que el Dominio de la función trigonométrica F(x),
dada por F(X)= es
DF = calcula el rango:
02. Calcular el rango de la función trigonométrica dada por la siguiente regla de correspondencia:
F(x) = Cos(Senx)
a) [ -1 ; 1 ] b) [ 0 ; 1]b) [ 0 ; Cos1 ] d) [ -Cos1; Cos1]e) [ Cos1 ; 1]
03. Determinar el rango de la función trigonométrica dada por la siguiente regla de correspondencia.
F(x) =
4. Para que el valor de “X” la función F(x) = 10 – Ctg2x + 2Ctgx es máxima
a) /4 b) /3 c) 2/3
d) 3/4 e) /2
5. Calcular el rango de la Función Trigonométrica Sgte.:
F(x) =
06. Calcular el rango de la siguiente función trigonomé-trica.
a) [ -1 ; 1] b) ] -1 ; 1 [c) ] 1 ; 1 ] d) [ -1 ; 1[e) [ 0 ; 1 ]
07. Determinar el Dominio y el rango de la función trigonométrica siguiente:
F(x) = Tgx|Ctgx| + Ctgx |Tgx|
a) R; {-2,0,2} b) ; {-2 ; 2} c) R - K; {-2 , 2}
Trigonometría 47
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
d) R- ; {-2 , 2}
e) R – (2K + 1) ; {-2,0.2}
08. Dada la función trigonométrica F(x) dada por:
F(x) =
Tiene como rango [a,b[, luego ab es igual a:
a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16
09. Calcular el Rango de la siguiente Función Trigonométrica:
F(x) =
10. Determinar el valor mínimo de la función
F(x) = Sen(Cosx) . Cos(Cosx)
a) Cos1 – Sen1 b) Sen1 – Cos1c) –Sen(-1)+Cos1 d) -e) -2
11. Los puntos
pertenecen a las funciones
Y1 = Senx e Y2 = Cosx respectivamente. Si a + b =
Calcular “n”
a) 12 b) -12c) -10 d) -2e) +2
12. El par ordenado (x!2) es un punto de la función trigonométrica:
F(x) = |Vers(x)|+|Cov(x)|
Calcular: M = Sen2x+Cos4x
Si x ] 0 ; [a) -2 b) 1c) 2 d) -1e) 0
13. Determinar el rango de la función trigonométrica dada a continuación:
F(x) = Ctgx – Tgx + 5
14. Determinar el rango de la siguiente función trigonomé-trica
Trigonometría 48
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
F(x) = 15. Determinar el Dominio de la
Función Trigonométrica cuya regla de correspondencia es:
F(x) =
Trigonometría 49
)e
41K2)dK2)c
21K2)b
2K
)a
R R
R R
R
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 50
F(X)
Xb 2b 3b 4b 5b 6b
A
Y
Se observa que:
* La gráfica se repite indefinidam ente en el e je “x”.* Pero también podría ser:
* Pero tomarem os al m ás pequeño.Ó Ó .....
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
TEMA: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En el presente capítulo estudiaremos el comportamiento de las curvas (Gráficas de
Funciones), para un mejor entendimiento del uso de las funciones trigonométricas y
sus aplicaciones en la vida cotidiana. Como primer punto estudiaremos la definición
de una función periódica, fundamental en el desarrollo del tema en estudio.
Función Periódica:
Una función F(x) se denomina función periódica si existe un número real r
0 tal que:
F (x + T ) = F (x ) x R
Se prueba inductivamente que si F(x + t) = F(x), entonces F(x+nt) también es
igual a F(x) x R y n Z
El menor número real T > 0 tal que F(x + T) = F(x) para todo X R se
denomina periodo principal de la función F(x).
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.
Veamos un ejemplo de función periódica: (Gráficamente).
Trigonometría 51
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoDe lo observado deducimos que el valor más pequeño de repetición de gráfica es b por lo cual la denominaremos “Periodo de F(x)”.
Nota: {2b, 4b, 6b,…} también son periodos de F(x) pero a “b” se le atribuye la denominación: PERIODO PRINCIPAL.
Ejms de Cálculo de Periodo de Funciones Trigonométricas:
a. Calcular el Periodo Principal de las siguientes funciones:a.1) F(x) = Cos(Senx)
Resolución:De la definición: Cos(Senx) = Cos(Sen(x+T))
Luego: Cos(Senx) = Cos(SenxCosT + Cosx SenT)
Para que cumpla la igualdad:
Hacemos: CosT = ±1 y SenT = 0 y tendremos:
Cos(Senx) = Cos(Senx.(±1) + Cosx.(0))Cos(Senx) = Cos(±Senx) = Cos(Senx)
Luego analizamos:CosT = 1 0 – 1 SenT = 0T = K (K Z) T = K (K Z)
Entonces tendremos:T = {… - 3, -2 , -, 0, , 2, 3 …}
“El menor valor positivo es y es el periodo principal de F(x)”
a.2. F(x) = |Sen | + |Cos |
Resolución:
De la definición:
Trigonometría 52
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Luego:
Se observa que: Z
Recordemos que: Sen = Cosa
Reemplazaremos
y tendremos: T = .
F(x) =
“El periodo principal de F(x) es ”
PROPIEDAD FUNDAMENTAL PARA EL CÁLCULO DEL PERIODO PRINCIPAL DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:
- Esta propiedad será de gran ayuda y utilidad para el rápido cálculo del periodo principal de una función trigonométrica, siempre y cuando la función tenga la siguiente estructura:
Sea F(x) de la forma:
Trigonometría 53
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
F(x) = A.F.T . (BX + C) + D .
Trigonometría 54
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoDonde A, B, C, D y n son constantes.
Se tendrá el siguiente cuadro:
F.T. n: impar n: par Sen Cos Sec Csc
Tan Cot
Donde “T” es el periodo principal de la función trigonométrica.
Ejemplos de Aplicación:
1) Y = Tg T = Periodo Principal
2) Y = Cos4 T = Periodo Principal
3) Y = 3Sen3 T = Periodo Principal
Nota Importante:
Trigonometría 55
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn caso que se tuviera Funciones Trigonométricas de la forma F(x) = MSenAX± NCosBX. EL periodo de la F.T. F(x) será el mínimo periodo común de:
Ejemplo de Aplicación:Determinar el periodo de la siguiente F.T.
a)
Sean T1 y T2 los periodos de Y1 y Y2 respectivamente:
- Se generalizan:
- Finalmente se igualan las periodos
Periodo de F será
b) F(x) =
Generalizamos e igualamos
Trigonometría 56
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Periodo de F será es decir 2
Trigonometría 57
A
B
D
EF
G
H
I
J IC IIC IIIC IVC
K
L
M
C
C.T.
(X )
Y
(Y =Senx)
A0
6 3 2 32
65
67
3 2 3 64 3 5 11 2
-1
1
B
CD
E
F
G
H
IJ
K
L
M
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la F.T. Seno:Si tenemos la Función Trigonométrica Y = Senx, Donde “x” representa a los ángulos trigonométricos que varía de (+) a (-) e “y” representa los valores numéricos que toma la función.
Para graficar se necesita una serie de puntos (Tabulación):
Trasladamos los puntos previamente ubicados en la C.T. al sistema de coordenadas (x Ángulos é Y = Senx):
El último paso fue unir todos los puntos de la curva que se forma y que adquirió dicha forma (Y = Senx)
Se observa:
- En el IC “crece” de 0 hasta 1.- En el IIC “decrece” de 1 hasta 0.- En el IIIC “decrece de 0 hasta -1.- EN el IVC “crece de -1 hasta 0.
Es decir:-1 Senx 1- Periodo: 2 Principal
Analicemos el Gráfico:a)El nombre de la curva es
“SINUSOIDE”b)Extensión: Del gráfico observamos
que el “máximo” valor que toma el seno es “1” y el “mínimo” es “-1”.
c) Periodo: Es claro que la tendencia de la curva es de repetirse en forma completa, a partir de 2.
d)Es una curva “CONTINUA”.
Trigonometría 58
AB
D
E
FG
H
I
J
IC IIC IIIC IVC
K
LM
C
C.T.
(X )Y
(Y = Cosx)
A
06 3 2 3
26
56
73 2 3 6
4 3 5 11 2
-1-1
1B
C
D
E
FG
H
I
J
K
LM
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la F.T. Coseno:Si tenemos la función trigonométrica Y = Cosx, al igual que en el caso anterior, para graficar la se necesita una serie de puntos (tabulación) y procedemos:
Trasladamos los puntos ubicados previamente en la C.T. al sistema de coordenadas (como en el caso anterior).
Luego de unir los puntos se obtuvo esta gráfica (Y = Cosx)
Se observa: - En el IC “decrece” de 1 hasta 0.- En el IIC “decrece” de 0 hasta -1- En el IIIC “crece” de -1 hasta 0- En el IVC “crece” de 0 hasta 1
Es decir:-1 Cosx 1
Periodo Principal: 2
Analicemos el Gráfico:a) El nombre de la curva es
“COSINUSOIDE”.b) EXTENSIÓN: Del gráfico
observamos que el “máximo” valor que toma el coseno es 1 y el “mínimo” es -1.
c) PERIODO: Se observa claramente que la tendencia de la curva es la de repetirse en forma completa, a partir de 2.
d) Es una curva “CONTINUA”.
Trigonometría 59
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 60
C.T. (X )Tgx
Tgx
Línea de TG
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la Función Tangente:
Si tenemos la función trigonométrica Y = Tgx, al igual que en los casos anteriores bosquejamos su gráfica pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente:
De la C.T. recordamos que:
Es decir:
- < Tgx < +Periodo Principal:
La tangente del ángulo “x”, a medida que éste aumenta, también aumenta su valor. Esto se da en todos los cuadrantes. Por lo que podemos afirmar que la función tangente es netamente creciente.
- En el IC crece de 0 hasta +.- En el IIC crece de - hasta 0.
- En el IIIC crece de 0 hasta +.- En el IVC crece de - hasta 0.
Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando
el ángulo “x” es de la forma (2K+1) y como éstos
valores no son valores R decimos que en éstos ángulos la función tangente no esta definida. (no existe).
Trigonometría 61
IC IIC IIIC IVC
Y
(Y = Tgx)
06 3 2 3
26
5
67
3 2 3
64 3 5
11
2X
(A sintota)
...
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Bosquejamos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación:
Analicemos el Gráfico:
EXTENSIÓN: La tangente varia de (+) hasta (-) pasando por los
valores reales.
PERIODO: Observamos en el gráfico, la tendencia a repetirse de la
gráfica a partir de .
Es una curva DISCONTINUA pues vemos que esta formada por ramas. No pudiendo construirse de un solo trazo. Podemos apreciar que cada rama se encuentra entre 2 rectas llamadas “ASINTOTAS” que son tangentes a la curva en el infinito.
Trigonometría 62
C.T. (X )
CtgxY
Ctgx
Línea de Ctg
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Representación Gráfica de la Función Cotangente
Si tenemos la función trigonométrica Y = Ctgx, al igual que en el caso anterior bosquejamos su gráfico con el mismo análisis ejecutado.
De la C.T. recordamos que:
Es decir:- < Tgx < +Periodo Principal:
La cotangente del ángulo “x”, a medida que éste aumenta, esta función disminuye su valor. Esto se da en todos los cuadrantes. Por lo que podemos afirmar que la función cotangente es netamente decreciente.
- En el IC decrece de + hasta 0.- En el IIC decrece de 0 hasta –.- En el IIIC decrece de + hasta 0- En el IVC decrece de 0 hasta -.
Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) y como éstos valores son R decimos que en éstos ángulos la función cotangente no esta definida (no existe).
Trigonometría 63
IC IIC IIIC IVC
Y
26 3 2
32
65
67
3|4
23
35
611
X
Y = Ctgx
(Asintota)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoBosquejemos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación.
Trigonometría 64
0
Secx Secx
C.T.
(X )
+
Y
Es decir:- <Secx -1 v 1 Secx < Periodo Principal : 2
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoAnalicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: El valor máximo de la función cotangente es (+) y el mínimo
(-) pasando por todos los valores reales. PERIODO: Cada rama se repite a partir de . Es una curva “DISCONTINUA” y decreciente en cada rama que se
encuentra limitada por dos ASINTOTAS.
Representación Gráfica de la Función Secante:Si tenemos la función trigonométrica Y = Secx, al igual que en los casos anteriores bosquejaremos su gráfico pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente:
De la C.T.:
Se observa que:- En el IC “crece” de 1 hasta +.- En el IIC “crece” de – hasta -1.- En el IIIC “decrece” de -1 hasta -.- En el IVC “decrece de + hasta 1.
Trigonometría 65
IC IIC IIIC IVC
Y
26 3 2 3
26
56
73
42
33
56
11X
Y = Secx
-1
1
Asintotas
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoNota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “X” es de la
forma (2K+1) (K Z ) y como estos valores no son R decimos que en
éstos ángulos la función secante no esta definida (no existe).
Bosquejemos la Gráfica: Pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación:
Analicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: La secante siempre es mayor o igual que 1 en la parte positiva y
en la negativa siempre es menor o igual -1, es decir, la secante no abarca el Rango 1 y -1, sino lo que esta a partir de ella. Esta extensión es recíproca a la del Coseno.
PERIODO: Las curvas positivas y negativas se repiten cada 2 rad. La curva es una curva “Discontínua”, cada rama está comprendida entre 2
asíntotas.
Representación Gráfica de la Función Cosecante:
Trigonometría 66
(C scx)
Cscx
(x)
X
Y
IC IIC IIIC IVC
Y
26 3 2 3
26
56
73
42
33
56
11X
-1
1Y = C scx
Asintotas
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoSi tenemos la función trigonométrica Y = Cscx, al igual que en el caso anterior, lo bosquejaremos su gráfica con el mismo análisis ejecutado.
De la C.T.: Recodamos:Es decir:- < Cosecx -1 v 1 Cosecx < +Periodo Principal: 2 Se observa que:- En el IC “decrece” de + hasta 1.- En el IIC “crece” de 1 hasta +.- En el IIIC “crece” de – hasta -1.- En el IVC “decrece” de -1 hasta -.
Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) (K Z) y como éstos valores no son reales decimos que en éstos ángulos la función cosecante no está definida (no existe).
Bosquejamos la gráfica pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación
Trigonometría 67
Y
A
D
O X
Y = A S e n(B x + C ) + D
2B
A : Amplitud de la curva y se calcula de la siguiente manera:
|A| = YMAX –YMIN 2
Periodo de la función ( T )T = 2
B
D: Indica la posición en el eje y del eje Y de la función senoidal
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoAnalicemos el Gráfico EXTENSIÓN: El máximo valor que adquiere en los negativos es -1 y
el menor valor positivo es igual a 1. PERIODO: Cada rama se repite cada 2rad. Es una curva discontinua cada rama está comprendida entre 2 asíntotas. FORMA GENERAL DE LA SENOIDEEn muchos casos nos tomaremos con funciones (Seno o Coseno) que llenen la siguiente estructura:
Y = Asen(Bx + C) + D .
Cuya gráfica es:
Cambio de fase: Si BX + C = 0
- Si es negativo La gráfica se mueve hasta x = ( - )
- Si es positivo la gráfica se mueve hasta x = - ( + ) es decir a la derecha.
Es decir:
El cambio de fase “”. Sirve para determinar el punto donde se va a iniciar la construcción de la función senoidal.
Veamos ejemplos para un mejor entendimiento.
Graficar las siguientes funciones:
Trigonometría 68
BC
x
Y
6
4 4 4
(Periodo )
4
12 127
124
12 1210 13
1
4
7
D e s fa c e
D
X
3 = | A |
Y = 3 S en (2 x + ) + 4 3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) y = 3Sen(2x+ ) + 4
b) y = 2Cos - 3
Resolución
a) Y = 3Sen + 4 Amplitud (|A|) = |3| = 3
Periodo ( t ) =
b) Posición en el Eje y: 4
Cambio de Fase ()
Luego como el periodo es igual , lo dividiremos entre 4 para saber donde
crece y decrece la función: .
Luego graficamos:
“La gráfica Y = 3Sen ”
Trigonometría 69
C6
x03
x2
Y
-1
D = -3
-5
X1 23
1 25
1 27
1 29
1 2
23
6 6
Y = 2Cos(3x - )-3 4
2 = |A |
Desfasaje
6 6
(Periodo)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
b) y = 2Cos Amplitud (A) = |2| = 2
Periodo (T) =
Posición en el Eje Y (D) = -3
Cambio de Fase ():
Luego Dividimos al periodo en 4 partes:
Procedemos a Graficar:
Trigonometría 70
C12
x04
x3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
“La gráfica Y = 2Cos -3
Nota: Si A es ( - ) entonces: la gráfica se invierte:
Trigonometría 71
Y = Cos2x
Y = Sen2x
X
Y
72
-3
X
Y
Y = ACosBx
X
Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. ¿Cuántas son verdaderas? a) El coseno es decreciente en el IVC.b) El Seno es decreciente en el IIC.c) El coseno es creciente en el IIIC.d) El seno es creciente en el IIIC.e) El Seno es decreciente en el IC.
Rpta.:
02. Determinar el área de la región sombreada.
Rpta.:
03. El gráfico adjunto corresponde a la función:
04. ¿En cuántos puntos corta la gráfica Y = Senx a la gráfica
Y = Cosx en ] o ; n[ (n Z+)
Rpta.:
05. Graficar:a) Y = 3Cosxb) Y = 4Cosxc) Y = -3Cosxd) Y = -4Cosxe) Y = 5Cosx
Rpta.:
06. Hallar el área de la región triangular sombrea (B > 0).
Rpta.:
07. Señale (V) o Falso (F)
I) En la función coseno crece de -1 a 0
II) En el IIC la función seno decrece,
III) En la función tangente decrece.
Rpta.:
Trigonometría 72
3
2
-4
X
Y
53
Y = Sen(2x)
6
3 S e nX2
Y
Y = - 12
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. Determinar la función
correspondiente al siguiente gráfico:
09. Determinar el área de la región sombreada.
Rpta.:
10. Determinar el periodo de la siguiente función trigonométrica:F(x) = 3Sen(11x)+4Cos(7x)
Rpta.:
11. Indicar el periodo de cada función trigonométrica, y dar como resultado la suma de los mismos.
a) Y = 3Sen -3
b) Y = 4Cos + 1
c) Y = 2Sen + 10
Rpta.:
12. Si T1 es el periodo de F(x) = |Senx| - |Cosx| y T2 es el periodo de G(x) = CosCalcular T1 + T2
Rpta.
13. De la gráfica mostrada, calcular el área de la región sombreada.
Rpta.:
14. Determinar el Área de la región sombreada:
Trigonometría 73
Q = 3; -4Q
236
7
1X
Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Rpta.: 15. Determinar la gráfica de la siguiente función trigonométrica
Rpta.:
16. Sea la función F(x) = aSen(bx) calcular ab si:
Rpta.:
17. Determinar la ecuación del coseno mostrado:
Rpta.:
18. Determinar:El par ordenado (x;2) es un punto de la función:
Trigonometría 74
Y
5
-3
X
Y
2
-2
F(X)
PG(X)23
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
F(x) = |Vers(x)|+|Cov(x)| Calcular el valor de M = Sen2x + Cos4x
si X ] 0 ; [
Rpta.:
19. Si F(x) – aSenKX, G(x) = aCosKx. Hallar las coordenadas del punto P:
Rpta.:
20. Determinar la ecuación de la gráfica mostrada.
Rpta.:
Trigonometría 75
Y
X
Y = ASenCx ( c > 0 )
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. ¿Cuántas son verdaderas?a) El seno es creciente en el
IVC.b) La secante es decreciente
en el IIIC.c) La tangente es
decreciente en el IIC.d) la cosecante es creciente
en el IC.e) La cotangente es
creciente en el IIC.
a) 2 b) 1 c) 4d) 5 e) 3
02. Determinar el Área de la región sombreada.
03. Si T1 es el periodo de F(x) = |Senx| + |Cosx| y T2 es el periodo de:
G(x) = Cos .
Entonces calcular T1 – T2
a) b)
c) 0 d)
e) 2
04. Determinar la gráfica de la
función F(x) =
a) b)
c) d)
e)
a) B b) A c) E
Trigonometría 76
X
Y
3Y = C tg x
-3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
d) D e) C05. Hallar el área de la región
sombreada.
a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 4
06. Señale (V) o (F):
a) FVFV b) VFVF c) VVFFd) FFVV e) VFFV
07. Indicar el periodo de las siguientes funciones y dar como respuesta la suma de ellos:
a) 3Tg2(3x + /6) - 3b) 4Csc4(2x-/3) + 5c) 2Sen5(4x- /3) + 2
a) 2/3 b) c) 5/3 d) 2 e) 4/3
Trigonometría 77
Y
2
-2
X4
-3
3
42
M N
32
Y = S e nx
X
YY = C o sx
Y
2
-2
X
122512
-1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. El gráfico adjunto corresponde
a la función Y = 2ACos(3BX). Hallar: A + B:
a) -7/6 b) 7/6 c) 7/6
d) 6/5 e) 6/7
09. En cuántos puntos la función Y = Senx corta a la gráfica de Y = Cosx en ] 0 ; 11[
a) 9 b) 10 c) 12d) 11 e) 13
10. Indicar la suma de las ordenadas de los puntos M y N en la gráfica adjunta:
a) b)
c) d) -
e)
11. Determinar el área de la región sombreada:
a) b)
c) d)
e)
12. Indicar la función correspondiente a la gráfica mostrada.
Trigonometría 78
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año13. Determinar (V) o (F):
I. La Tangente es una F.T. Continua.
II. La Secante es continua en
III. La Cosecante es continua
en
a) VVF b) VFVc) FFV d) FFFe) VVV
14. Hallar el periodo de la función
F(x) = Cos
a) /3 b)
c) /2 d) /5
e) /4
15. Graficar: Y = Sen2x.Cscx para
X ] 0 ; 2 [
A) B)
C) D)
E)
Trigonometría 79
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Este capitulo es muy extenso y
muy importante a su vez por que
va a servir como base para
capítulos posteriores, está
considerado como clave dentro de
la trigonometría, y definitivamente
tendremos que demostrar las
razones por las cuales se les
considera de gran importancia en
el desarrollo de la asignatura.
Obs:
- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es
cierto si solamente si; cuando x
= 2 ó x = -2
A este tipo de igualdad se le
denomina “Ecuación Condi-
cional”
- En cambio la igualdad (x – 2) (x
+ 2) x² -9, cumple para todo
valor de “x”
A este tipo de igualdad se le
denomina “Identidad”
- Recordar que no existe la
división entre cero
- Para indicar una identidad, se
utiliza el símbolo ““ que se lee:
“Idéntico a”
Definición:
Una Identidad Trigonométrica es
una igualdad que contienen
expresiones trigonométricas que
se cumplen para todo valor
admisible del ángulo:
Por Ejemplo: La Identidad ‘sen²
+ cos² = 1", Comprobemos la
valides de la Identidad:
Para = 37° Sen²37+ cos²37 = 1
Trigonometría 80
Y
X
C .T.
0
1
T
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Identidades Fundamentales:
Las identidades trigonométricas
fundamentales, sirven de base par
la demostración de otras
identidades mas complejas
se clasifican en:
1.- Por cociente
2.- Reciprocas
3.- Pitagóricas
Para obtener dichas identidades,
hacemos uso de la circunferencia
trigonométrica.
1. Identidades por Cociente:
Sabemos que PT = | Sen|
OT = |Cos| , (en el ejemplo
ambos (+) ya que I C. y en el
triángulo Rec. POT: Tg =
Tg =
Tg = Demostrado
De la misma manera se
demuestra: Cot =
En Resumen: Las identidades por
cociente son:
Se observa que:
Tg =
Trigonometría 81
Y
P
X
C .T.
0
1
T Y
PB
X
C .T.
0
1
T A
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoA continuación veremos las
identidades recíprocas
2. Identidades Recíprocas:
Sabemos que PT = | Sen| y
también OT = |Cos|
Luego: En el triangulo POT, se
observa:
Csc =
y
Sec =
(sen y cos (+) ya que Ic)
Por lo tanto:
y
En resumen:
Las identidades recíprocas son:
3. Identidades Pitagóricas:
Recordemos que: P = P (cos;
sen) es decir: PT = |Cos| y
también: OT = |sen| y en el
triángulo rec. POT: por el teorema
de Pitágoras.
(OP)2 = (OT)2 + (PT)2
12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2
1 = Sen2 + Cos2 … (I)
Demostrado
Con la identidad (I), demostramos
también:
Trigonometría 82
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2
= Csc2
De la siguiente manera
Sen2 + Cos2 =1
Dividimos ambos miembros entre
(Sen2):
Finalmente:
De las identidades por división:
Y de la identidad por cociente:
Reemplazamos:
(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2
1 + Ctg2 = Csc2
De similar manera se demuestra:
1 + Tg2 = Sec2
De similar manera se demuestra:
1 + Tg2 = Sec2
En resumen las identidades
pitagóricas son:
- Sen2 + Cos2 = 1
- 1 + Tg2 = Sec2
- 1 + Ctg2 = Csc2
Identidades Recíprocas
Donde n Z
Identidades por Cociente
Identidades Pitagóricas
Trigonometría 83
2
Sen12
SenSen2
SenSen
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Algunas Identidades Auxiliares
Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2 Cos2
Tg + Ctg = Sec.Csc Sen6 + Cos6 = 1
– 3Sen2.Cos2 Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2
Los ejercicios sobre
identidades son de 4 tipos:
a) Demostraciones:
Para demostrar una identidad,
implica que el primer miembro o
viceversa ó que cada miembro por
separado se pueda reducir a una
misma forma.
Ejm:
- Demostrar que : Csc - Ctg .
Cos = Sen
Resolución:
Csc - Ctg . cos = sen
Trigonometría 84
1
co s ² ²
sen
sen
sensen
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Sen = Sen. Demostrado
b)Demostrar que:
Resolución
Utilizamos artificios:
Luego se tendría
. (Demostrado)
c) Simplificaciones:
Lo que se busca es una
expresión reducida de la
planteada con ayuda de las
identidades fundamentales y/o
auxiliares. Utilizar transforma-
ciones algebraicas.
Ejms.
1) Simplificar:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2
Resolución:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2
(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 +
4sen² Cos²
4cos²cos² - 4cos² + 1 +
4sen²cos²
4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1
4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1
4cos² [1 - 1] + 1
4cos²(0) + 1 = 1
2) Simplificar:
(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)
Resolución:
(1-Cosx)
(1-Cosx)
Trigonometría 85
SenxSenx
xxSen
Senx
x2Cos1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Añod) Condicionales:
Si la condición es complicada
debemos simplificarla y así
llegar a una expresión que
pueda ser la pedida o que nos
permita hallar lo que nos piden.
Si la condición es sencilla se
procede a encontrar la
expresión pedida.
Ejms.
a) Si Sen + Csc = a.
Calcular el valor de
E = Sen2 + Csc2
Resolución
Si: sen + Csc = a (Elevemos al
cuadrado)
(Sen + Csc = a²
Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc²
= a²
Sen² + 2 + Csc² = a²
Sen² + Csc² = a² - 2
E = a² - 2
b) Si: senx - cosx = m .
Hallar el valor de:
D = 1 -2senxcosx
Resolución
senx - cosx = m (elevemos al
cuadrado)
(Senx cosx)² = m²
sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²
Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²
1 - 2senxcosx = m²
D = m²
e) Eliminación del Ángulo:
Estos ejercicios consisten en que a
partir de ciertas relaciones
trigonométricas debemos hallar
relaciones algebraicas en la cual no
aparezca el ángulo. Nos ayudaremos
de identidades como por Ejem.
Tgx.Ctgx = 1
Senx.Cscx = 1
Cosx.secx = 1
Sen²x + cos²x = 1
Sec²x - Tg²x = 1
Csc²x - Ctg²x = 1
Trigonometría 86
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjm.:
1. Eliminar “” de:
Csc = m + n …(1)
Ctg = m – n …(2)
Resolución:
Csc = m + n
Ctg = m – n
Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)
Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2
1 = 4mn
2. Eliminar “” de:
Resolución:
De la expresión 1
aSen Cos - bSen2 = 1 …(3)
De la expresión 2
(XCos)
aSenCos - bCos2 = K …(4)
Restamos (4) menos (3)
b = x - 1
K = b + 1
Recomendación:
Cuando en un problema de
identidades trigonométricas estés
frente a esta expresión:
E = (senx ± cosx) y se te pide
“senx.cosx”, se recomienda que
eleves al cuadrado ambos
miembros para obtener:
Trigonometría 87
(Elevamos ambas expresiones al
cuadrado)
)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc
)Cos(Cos
k)bSenaSen(Cos
12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen
xSenSenSen
1bSenaCosSen
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoE² = (senx ± cosx)² = sen² ±
2senxcosx - cos²x
E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx
E² = 1 ± 2 SenxCosx
Lo que se pide
Identidad Importante:
(1 ± sen ± cos)² =
2 (1± sen)(1± cos)
Demostración: Recordemos
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +
2(ab+bc+ac)
(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² +
(±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+
(±sen)(±cos)]
= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) +
1(±cos) + (±sen)(±cos)
Agrupamos nuevamente
2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) +
(±sen)(±cos)]
= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)
(±cos)]
= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 +
(±sen))]
= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]
(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)
(1 ± cos) ………...(Demostrado)
Trigonometría 88
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Trigonometría 89
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Simplificar la sgte. expresión:
Rpta.:
02. Reducir la siguiente expresión:
Rpta.:
03. Si aSenx + bCosx = a.
Calcular el valor de la Sgte.
Expresión:
G = aCosx - bSenx
Rpta.:
04. Eliminar el ángulo de las
Sgtes. expresiones.
aCos2 + bSen2 = C … (I)(b-c) Tg2 + (c-a)Ctg2 = d … (II)
Rpta.:
05. Calcular el valor de “m”
Si:
Rpta.:
06. Si se cumple que:
Hallar: B/A
Rpta.:
07. Siendo:
Hallar M: (A+B) (A-1+B-1)
Rpta.:
08. Si:
Trigonometría 90
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Es una identidad, calcular el valor de:
Rpta.:
09. Elimiar “”
a(1-Sen) = bSen … (I)
a(1-Cos) = bCos … (II)
Rpta.:
10. De las siguientes relaciones eliminar :
Cos6 + Sen6 = m … (I)Tg + Ctg = n … (II)
Rpta.
11. Hallar ; en la identidad sgte.:
Rpta.:
12. En la siguiente Igualdad hallar “m+n+p”.
Sen6 + Cos6 + Sen4 + Cos4 + 5Sen2 - 7 = mCos2(n+pCos2)
Rpta.:
13. Simplificar:
Rpta.:
14. Determinar (V) o (F):I) Tgx+Ctgx=SecxCscx; x RII) (1 + Senx - Cosx)2 =
2(1+Senx)(1-Cosx); x RIII) Sec2x – Csc2x = Sec2xCsc2x;
x RIV) Tg2x – Sen2x = Sen2x Tg2x ;
x R
Rpta.:
15. Eliminar el ángulo ; en:
Vers2 + Cov2 = m … (I)
Tg + Ctg = n … (II)
Trigonometría 91
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
Rpta.: 16. Simplificar la siguiente expresión:
Rpta.:
17. Sabiendo que:
2Sen2x.Cos2y = Cos2x+Cos2y
Hallar “A” en la siguiente expresión:
Tg2X + A = Tg2Y
Rpta.:
18. Simplificar “R” tal que “” al IC.
Rpta.:
19. Eliminar el ángulo “ ” en las
siguientes expresiones:
Tg + Ctg = m … (I)Csc + Sen = n … (II)Sec - Cos = p … (III)
Rpta.:
Trigonometría 92
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año20. Si se tiene que:
Senx = (Sen+Sen)(Cos+Cos)
Cosx = Sen.Tg+SenTg
Determine el equivalente de:
P = Cos Ctg + Cos Ctg
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Reducir la expresión:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
02. Hallar una relación entre a y
b independiente de “”
(eliminar “”) a partir de:
Sen + Cos = a ... (I)
… (II)
a) a + 2 = b2
b) a +
c) b + 3
d) a2 +
e) a +
03. Eliminar “” en las
ecuaciones::
Sen + Ctg = a ... (I)
Tg + Ctg = b … (II)
a) b2 - a2 = 2b
b) b2 – a2 = 2b3
c) a2 + b2 = 2a3
d) a2 + b2 = 2b3
Trigonometría 93
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
e) a2 + b2 = 2ab
04. Simplificar la siguiente
expresión:
Tal que ( IC)
a) Sec2x b) Csc²x c) Tg²x
d) Ctg² e) Cos²x
05. Reducir la expresión:
a) ½ b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
06. Si: Tg - Ctg = 1; Calcular el
valor de la sgte expresión:
N = Tg4 - Ctg4
07. La expresión:
L = 2 + Senx – 4Cosx – Cosx Senx – Cosx
Es idéntico a:mSenx – nCosx+1
Calcular: m + n
a) 0 b) -2 c) -4
d) 4 e) 1
08. Eliminar “” en las ecuaciones
dadas:
Sen - Cos = … (I)Sec + Csc = b … (II)
a) b2 (1+a2) = 4(2a)
b) b2(1+a)2 = 4(2+a)
c) b2(1-2)2 = 4(2+a)
d) b2(1-2)2 = 4(2-a)
e) a2 (1-b)2 = 4(1+b)
09. Reducir la Sgte. expresión:
Trigonometría 94
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) ½ Senx b) ½ Cosx
c) ½ Tgx d) ½ Sen2x
e) ½ Cos2x
10. Eliminar “” en las siguientes
relaciones:
a) m2 + n2 = m2n2
b) m2 + n2 = 4m2n2
c) m2 + n2 = 3m2 + n2
d) m2 + n2 = 2m2 + n2
e) m2 + n2 = mn
11. Reducir la expresión que se presenta:
a) Secx b) Cscx c) 1
d) Senx e) Cosx
12. Reducir la Sgte expresión.
a) 2 b) c) -
d) 1 e) 0
13. Si sabemos que: Sec y Csc
son las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0
Relacionar a, b y c
a) b + c = 2ac
b) a + b + c = 1
c) b2 – c2 = 2ac
d) b – c = 2a
e) b2 + c2 = 2ac
14. Si se cumple que:
Calcular: a + b-1
Trigonometría 95
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
15. Simplificar la siguiente expresión: a) 1,5 b) 3,5
c) 4,5 d) 5,5
e) 2,5
Trigonometría 96
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos”Quinto Año
INDICE
Reducción al I cuadrante …………………. 03
Circunferencia Trigonométrica …………… 13
Funciones Trigonométricas ………………. 32
Gráfica de Funciones Trigonométricas ….. 42
Identidades Trigonométricas ……………… 65
Trigonometría 97