Êàôåäðàäèôåðåíöiàëüíèõðiâíÿíü - kpi.ua · 2020. 8. 12. · 3) ßêùî...

Ìiíiñòåðñòâî îñâiòè i íàóêè Óêðà¨íèÍàöiîíàëüíèé òåõíi÷íèé óíiâåðñèòåò Óêðà¨íè

�Êè¨âñüêèé ïîëiòåõíi÷íèé iíñòèòóò�

Êàôåäðà äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü

Ðÿäè. ×àñòèíà I.

Íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íèé ïîñiáíèê

Êè¨â � 2010

Ðÿäè. ×àñòèíà I. À.À. Ìõiòàðÿí, Ð.I.Ìèëåøèíà, Ì.�.Äóäêií.� Ê., 2010. � 50 ñ.

Ðîçãëÿíóòî îñíîâíi ïèòàííÿ òåîði¨ ÷èñëîâèõ òà ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ.Íàâåäåíî êîðîòêi òåîðåòè÷íi âiäîìîñòi i ðîçâ'ÿçàííÿ òèïîâèõ çà-

äà÷ à òàêîæ çàäà÷i äëÿ ñàìîñòiéíî¨ ðîáîòè ç âiäïîâiäÿìè.Äëÿ ñòóäåíòiâ òåïëîåíåðãåòè÷íèõ ñïåöiàëüíîñòåé òåõíi÷íèõ óíiâåð-

ñèòåòiâ òà iíñòèòóòiâ.

Ðåöåíçåíò: êàíä. ôiç.-ìàò. íàóê, äîö. Î.Þ.Äþæåíêîâà

ÇàòâåðäæåíîÊàôåäðîþ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü

Ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íîãî ôàêóëüòåòó ÍÒÓÓ "ÊÏI"ïðîòîêîë No 4 âiä 10.11.2010

Ïîñiáíèê íàïèñàíî íà îñíîâi ÷èòàííÿ ëåêöié i ïðîâåäåííÿ ïðàê-òè÷íèõ çàíÿòü íà òåïëî-åíåðãåòè÷íîìó ôàêóëüòåòi ÍÒÓÓ "ÊÏI".

c© ÍÒÓÓ "ÊÏI"

ÂñòóïÑòóäåíòè ìîëîäøèõ êóðñiâ ñòèêàþòüñÿ iç òðóäíîùàìè ïðè çà-

ñâî¹ííi âåëèêî¨ êiëüêîñòi íîâèõ ïîíÿòü ìàòåìàòè÷íîãî àíàëiçó, ÿêiøèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â iíøèõ ðîçäiëàõ âèùî¨ ìàòåìàòèêè, àòàêîæ ñïåöiàëüíèõ äèñöèïëiíàõ.

Ãîëîâíà ìåòà öüîãî ïîñiáíèêà � äîïîìîãòè ñòóäåíòàì çàñâî¨òèîñíîâíi ïîíÿòòÿ òåîði¨ ÷èñëîâèõ òà ôóíêöiîíàëüíèõ ðÿäiâ i âèðîáèòèóìiííÿ òà íàâè÷êè ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷.

Â ïîñiáíèêó ïîäàþòüñÿ îñíîâíi ìåòîäè äîñëiäæåííÿ íà çáiæíiñòü÷èñëîâèõ ðÿäiâ òà îêðåìîãî êëàñó ôóíêöiîíàëüíèõ ðÿäiâ, à ñàìå ñòå-ïåíåâèõèõ ðÿäiâ.

Ïðè êîðèñòóâàííi ïîñiáíèêîì ïîòðiáíî îçíàéîìèòèñü ç âiäïîâiä-íèì òåîðåòè÷íèì ìàòåðiàëîì, ðîçâ'ÿçàííÿì íàâåäåíèõ òèïîâèõ çà-äà÷, à ïîòiì ðîçïî÷àòè ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷ äëÿ ñàìîñòiéíî¨ ðîáîòè.

Ïîñiáíèê ìîæå áóòè óñïiøíî âèêîðèñòàíèé ñòóäåíòàìè òåõíi÷íèõñïåöiàëüíîñòåé, äëÿ ÿêèõ íå ïåðåäáà÷åíî âèâ÷åííÿ çàçíà÷åíèõ ó ïî-ñiáíèêó òåì ó ïîâíîìó îáñÿçi.

3

1. ×èñëîâi ðÿäè� 1.1. Îñíîâíi ïîíÿòòÿ

Ðîçãëÿíåìî íåñêií÷åíó ÷èñëîâó ïîñëiäîâíiñòü u1, u2, · · · , un, · · · =:{un}, äå un � äiéñíi ÷èñëà, n ∈ N := {1, 2, . . . }.

Îçíà÷åííÿ 1. Âèðàç âèãëÿäó

u1 + u2 + · · ·+ un + · · · , (1)

àáî∞∑

n=1un íàçèâà¹òüñÿ ÷èñëîâèì ðÿäîì. Ïðè öüîìó ÷èñëà u1, u2,

· · · , un, · · · ¹ ÷ëåíàìè ðÿäó à ÷åðåç un ïîçíà÷à¹òüñÿ çàãàëüíèé ÷ëåíðÿäó.

Îçíà÷åííÿ 2. Ñóìà n ïåðøèõ ÷ëåíiâ ðÿäó

Sn = u1 + u2 + · · ·+ un (2)

íàçèâà¹òüñÿ n-þ ÷àñòêîâîþ ñóìîþ ðÿäó (1).Âèðàç âèãëÿäó

un+1 + un+2 + · · · = rn (3)

íàçèâà¹òüñÿ n-ì çàëèøêîì ðÿäó (1).Îçíà÷åííÿ 3. ßêùî iñíó¹ ñêií÷åíà ãðàíèöÿ S ïîñëiäîâíîñòi ÷àñò-

êîâèõ ñóì (2) ðÿäó (1) ïðè n → ∞, òîáòî limn→∞

Sn = S, òî ðÿä íà-çèâà¹òüñÿ çáiæíèì, ïðè öüîìó ÷èñëî S íàçèâà¹òüñÿ ñóìîþ ðÿäó iïîçíà÷à¹òüñÿ

S =∞∑

n=1

un.

ßêùî limn→∞

Sn = ∞ àáî íå iñíó¹, òî ðÿä (1) íàçèâà¹òüñÿ ðîçáiæ-íèì.

Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ðÿä (1) çáiãà¹òüñÿ, òî éîãî ñóìà çîáðàæó¹òüñÿó âèãëÿäi S = Sn + rn.

Teoðåìà 1. ßêùî ðÿä (1) çáiãà¹òüñÿ, òî n-é çàëèøîê öüîãî ðÿ-äó òàêîæ ¹ çáiæíèì ðÿäîì äëÿ äîâiëüíîãî n ∈ N.

4

Teoðåìà 2. ßêùî ðÿä (1) çáiãà¹òüñÿ, òî limn→∞

un = 0.

Îñòàííÿ òåîðåìà äà¹ íåîáõiäíó óìîâó çáiæíîñòi ðÿäó.Íàñëiäîê 1. ßêùî lim

n→∞un 6= 0, òî ðÿä (1) ðîçáiãà¹òüñÿ.

ßêùî limn→∞

un = 0, òî ðÿä (1) ìîæå çáiãàòèñÿ àáî ðîçáiãàòèñÿ.Ïðèêëàä 1. Äîñëiäèòè ðÿä íà çáiæíiñòü:

∞∑n=1

a1qn−1 = a1 + a1q + a1q

2 + · · ·+ a1qn−1 + · · · ,

äå a1, q ∈ R \ {0}.Ðîçâ'ÿçàííÿ. ×àñòêîâà ñóìà çàäàíîãî ðÿäó îá÷èñëþ¹òüñÿ çà ôîð-

ìóëîþ ñóìè n ÷ëåíiâ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðîãðåñi¨:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + · · ·+ a1q

n−1 =a1(1− qn)

1− q.

1) ßêùî |q| < 1, òî limn→∞

qn = 0. Îòæå

limn→∞

Sn = limn→∞

a1

1− q(1− qn) =

a1

1− q=: S.

Òàêèì ÷èíîì ðÿä çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà S = a11−q , òîáòî

∞∑n=1

a1qn−1 =

a1

1− q, ÿêùî |q| < 1.

2) ßêùî |q| > 1, òî limn→∞

qn = ∞ i limn→∞

Sn = ∞, òîáòî ðÿä ðîçáiæ-íèé.

3) ßêùî |q| = 1, òî ìà¹ìî âèïàäêè: q = ±1. Ïðè q = 1 ìà¹ìîSn = a1 + a1 + a1 + · · · + a1 = na1, ÿê ñóìà n îäíàêîâèõ äîäàíêiâ,òîìó lim

n→∞Sn = lim

n→∞na1 = ∞, òîáòî ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ. Ïðè q = −1

ìà¹ìî

Sn = a1 − a1 + a1 − · · ·+ (−1)n−1a1 =[

0, ÿêùî n− ïàðíå,a1, ÿêùî n− íåïàðíå.

Îòæå limn→∞

Sn íå iñíó¹, à îòæå, ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

5

Âiäïîâiäü: ßêùî |q| < 1, (q 6= 0), òî ðÿä∞∑

n=1a1q

n−1 çáiãà¹òüñÿ iéîãî ñóìà S = a1

1−q ; ÿêùî |q| ≥ 1, òî ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Ïðèêëàä 2. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=1

1n(n + 1)

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàãàëüíèé ÷ëåí çàäàíîãî ðÿäó çîáðàæó¹òüñÿ ó âèãëÿäiñóìè äâîõ ïðîñòèõ äðîáiâ un = 1

n(n+1) = 1n − 1

n+1 . Òîáòî: u1 = 11 − 1

2 ,u2 = 1

2 − 13 , u3 = 1

3 − 14 , ... , un−2 = 1

n−2 − 1n−1 , un−1 = 1

n−1 − 1n ,

un = 1n − 1

n+1 .Îá÷èñëèìî ÷àñòêîâó ñóìó ðÿäó:

Sn =u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−2 + un−1 + un =

=1− 12

+12− 1

3+

13− 1

4+ · · ·+

+1

n− 2− 1

n− 1+

1n− 1

− 1n

+1n− 1

n + 1= 1− 1

n + 1,

òîáòî Sn = 1− 1n+1 . Òîäi lim

n→∞Sn = lim

n→∞(1− 1

n+1 ) = 1.

Âiäïîâiäü: Ðÿä çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà S =∞∑

n=1

1n(n+1) = 1.


∞∑n=1

n + 22n + 1

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Îá÷èñëþ¹ìî ãðàíèöþ äëÿ n-ãî ÷ëåíà ðÿäó

limn→∞

un = limn→∞

n + 22n + 1

=∣∣∣∞∞

∣∣∣ = limn→∞

(1 + 2n )

2 + 1n

=126= 0.

Îòæå ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè íå âèêîíó¹òüñÿ íåîáõiäíà óìîâàçáiæíîñòi ðÿäó.

Âiäïîâiäü: Ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

6

� 1.2. Âëàñòèâîñòi ÷èñëîâèõ ðÿäiâ.

Teoðåìà 1. Äëÿ äîâiëüíî¨ êîíñòàíòè c = const 6= 0, ðÿäè∞∑

n=1un

i∞∑

n=1cun îäíî÷àñíî çáiãàþòüñÿ àáî ðîçáiãàþòüñÿ.

Teoðåìà 2. ßêùî ðÿäè∞∑

n=1un i

∞∑n=1

vn çáiãàþòüñÿ i ¨õ ñóìè âiä-

ïîâiäíî äîðiâíþþòü S1 i S2, òî ðÿä∞∑

n=1un + vn òàêîæ çáiãà¹òüñÿ

i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ S1 + S2.

� 1.3. Îçíàêè çáiæíîñòi äîäàòíèõ ÷èñëîâèõ ðÿäiâ.

Îçíà÷åííÿ 4. ×èñëîâèé ðÿä∞∑

n=1un íàçèâà¹òüñÿ äîäàòíiì, ÿê-

ùî un ≥ 0, ∀n ∈ N.Teoðåìà 1.[Îçíàêà ïîðiâíÿííÿ I.] Íåõàé çàäàíi äâà äîäàòíi ÷èñ-

ëîâi ðÿäè∞∑

n=1

un, (4)

i∞∑

n=1

vn, (5)

äëÿ ÿêèõ âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü: 0 ≤ un ≤ vn, ïî÷èíàþ÷è iç äåÿêî-ãî íîìåðà k ≤ n, k ∈ N.

Òîäi: 1) ÿêùî ðÿä (5) çáiãà¹òüñÿ, òî i ðÿä (4) çáiãà¹òüñÿ; 2) ÿêùîðÿä (4) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî i ðÿä (5) ðîçáiãà¹òüñÿ.

Teoðåìà 2.[Îçíàêà ïîðiâíÿííÿ II.] Íåõàé çàäàíi äâà äîäàòíi÷èñëîâi ðÿäè

∞∑n=1

un, (6)

7

i∞∑

n=1

vn. (7)

ßêùî iñíó¹ ãðàíèöÿ limn→∞

un

vn= l, äå 0 < l < ∞, òî ðÿäè (6) i (7)

îäíî÷àñíî çáiãàþòüñÿ àáî ðîçáiãàþòüñÿ.Çàóâàæåííÿ. Äëÿ ïîðiâíÿííÿ çðó÷íî âèêîðèñòîâóâàòè "åòàëîí-

íi ðÿäè". Íàïðèêëàä, ìîæíà âèêîðèñòàòè ðÿä∞∑

n=1anqn−1, ÿêèé çái-

ãà¹òüñÿ, ïðè |q| < 1 i ðîçáiãà¹òüñÿ, ïðè |q| ≥ 1.Ðÿä âèãëÿäó

∞∑n=1

1np íàçèâà¹òüñÿ ðÿäîì Äiðiõëå (àáî óçàãàëüíåíèì

ãàðìîíi÷íèì ðÿäîì). Öåé ðÿä çáiãà¹òüñÿ, ÿêùî p > 1, i ðîçáiãà¹òüñÿ,ÿêùî p ≤ 1 (öåé ôàêò áóäå äîâåäåíî äàëi).

Ïðè p = 1 îòðèìó¹ìî âiäîìèé ðîçáiæíèé ãàðìîíi÷íèé ðÿä∞∑

n=1

1n

= 1 +12

+13

+ · · ·+ 1n

+ · · · .

Ïðèêëàä 4. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä∞∑

n=1

1n2 + 5

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàãàëüíèé ÷ëåí çàäàíîãî ðÿäó ìà¹ âèãëÿä: un =1

n2+5 > 0, n ∈ N. Îñêiëüêè n2 + 5 > n2, òî

un =1

n2 + 5<

1n2

, n ∈ N.

Ïîêëàäåìî vn = 1n2 , n ∈ N. Îñêiëüêè ðÿä

∞∑n=1

vn =∞∑

n=1

1n2 çáiãà¹òüñÿ

ÿê ðÿä Äiðiõëå iç p = 2 > 1, òî çà Îçíàêîþ ïîðiâíÿííÿ I çàäàíèé ðÿäòàêîæ çáiãà¹òüñÿ.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Ïðèêëàä 5. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=1

n + 1√n4 + 1

. (8)

8

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàãàëüíèé ÷ëåí çàäàíîãî ðÿäó ìà¹ âèãëÿä: un =n+1√n4+1

> 0, n ∈ N.Ïîðiâíÿ¹ìî çàäàíèé ðÿä iç ðÿäîì

∞∑n=1

1n

, vn =1n

> 0, n ∈ N. (9)

Öåé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ ÿê ãàðìîíi÷íèé ðÿä. Çàñòîñó¹ìî Òåîðåìó ïîðiâ-íÿííÿ II (ó ãðàíè÷íié ôîðìi).

limn→∞

un

vn= lim

n→∞

n+1√n4+11n

= limn→∞

n2 + n√n4 + 1

=∣∣∣∞∞

∣∣∣ =

= limn→∞

n2(1 + 1n )√

n4(1 + 1n4 )

= limn→∞

n2(1 + 1n )

n2√

(1 + 1n4 )

=

= limn→∞

(1 + 1n )√

(1 + 1n4 )

=1 + 0√1 + 0

= 1 6= 0.

Îñêiëüêè ðÿä (9) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî ðÿä (8) òàêîæ ðîçáiãà¹òüñÿ.Çàóâàæåííÿ. Ïðè äîñëiäæåííi ðÿäiâ íà çáiæíiñòü iíêîëè âèêîðè-

ñòîâó¹òüñÿ íåðiâíiñòü ln(1 + n) < n, ∀n ∈ N, à òàêîæ ïåðåõiä äîåêâiâàëåíòíèõ íåñêií÷åííî ìàëèõ sin α ∼ α, tg α ∼ α, arcsinα ∼ α,arctg α ∼ α, ïðè α → 0, à òàêîæ åêâiâàëåíòíi íåñêií÷åííî âåëèêi.

Teoðåìà 3.[Îçíàêà Äàëàìáåðà.] Íåõàé çàäàíî äîäàòíié ÷èñëî-âèé ðÿä

∞∑n=1

un, un > 0. ßêùî iñíó¹ limn→∞

un+1un

= l, òî ïðè l < 1 ðÿäçáiãà¹òüñÿ, ïðè l > 1 ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Çàóâàæåííÿ. ßêùî l = 1, òî íåîáõiäíî ïðîâîäèòè äîäàòêîâi äî-ñëiäæåííÿ. Íàïðèêëàä, ìîæíà ñïðîáóâàòè çàñòîñóâàòè îçíàêó ïîðiâ-íÿííÿ.


∞∑n=1

n + 1n!

.

9

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàãàëüíèé ÷ëåí çàäàíîãî ÷èñëîâîãî ðÿäó ìà¹ âèãëÿäun = n+1

n! > 0, îòæå un+1 = n+2(n+1)! . Çàñòîñó¹ìî îçíàêó Äàëàìáåðà:

limn→∞

un+1

un= lim

n→∞(n + 2)n!

(n + 1)(n + 1)!=

∣∣∣(n + 1)! = n!(n + 1)∣∣∣ =

= limn→∞

(n + 2)n!(n + 1)n!(n + 1)

= limn→∞

n + 2(n + 1)2

=

= limn→∞

n + 2n2 + 2n + 1

=∣∣∣∣∣∣∞∞

∣∣∣ ÷èñåëüíèê i çíàìåííèêäðîáó äiëèìî íà n2

∣∣∣ =

= limn→∞

1n + 2

n2

1 + 1n + 1

n2

=0 + 0

1 + 0 + 0=

01

= 0 = l < 1,

òîáòî ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Teoðåìà 4.[Ðàäèêàëüíà îçíàêà Êîøi.] Íåõàé çàäàíî äîäàòíié

÷èñëîâèé ðÿä∞∑

n=1un, un ≥ 0. ßêùî iñíó¹ lim

n→∞n√

un = l, òî ïðè l < 1

ðÿä çáiãà¹òüñÿ, ïðè l > 1 ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.Çàóâàæåííÿ. 1) Ïðè l = 1 ïîòðiáíi äîäàòêîâi äîñëiäæåííÿ. 2) Ïðè

äîñëiäæåííi íà çáiæíiñòü çà äîïîìîãîþ ðàäèêàëüíî¨ îçíàêè Êîøi ií-êîëè âèíèêà¹ ïîòðåáà ó âèêîðèñòàííi âiäîìî¨ ãðàíèöi lim

n→∞n√

n = 1.


n=1

3n

n.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Éîãî çà-ãàëüíèé ÷ëåí un = 3n

n > 0, n ∈ N.Çàñòîñó¹ìî ðàäèêàëüíó îçíàêó Êîøi:

limn→∞

n√

un = limn→∞

n

√3n

n= lim

n→∞3

n√

n=

=∣∣∣ limn→∞

n√

n = 1∣∣∣ =

31

= 3 = l > 1,

òîáòî ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

10


n=1

2n

(n+1n )n2 .

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Éîãî çà-ãàëüíèé ÷ëåí ìà¹ âèãëÿä un = 2n

( n+1n )n2 > 0, n ∈ N.

Âèêîðèñòà¹ìî ðàäèêàëüíó îçíàêó Êîøi:

limn→∞

n√

un = limn→∞

n

√2n

(n+1n )n2 = lim

n→∞2

(n+1n )n

=

=∣∣∣∣ limn→∞

(1 +

1n

)n

= e

∣∣∣∣ =2e

= l < 1.

òîáòî ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Teoðåìà 5.[Iíòåãðàëüíà îçíàêà Êîøi-Ìàêëîðåíà.] Íåõàé çàäà-

íî äîäàòíié ÷èñëîâèé ðÿä:∞∑

n=k

un, un > 0, n ∈ N òà äëÿ äåÿêîãîôiêñîâàíîãî k ∈ N iñíó¹ ôóíêöiÿ f(x), âèçíà÷åíà ïðè x ∈ [k;∞), ÿêàçàäîâîëüíÿ¹ óìîâè:

1) f(x) > 0 ïðè x ∈ [k;∞);2) f(x) íåïåðåðâíà ïðè x ∈ [k;∞);3) f(x) ìîíîòîííî ñïàäíà ïðè x ∈ [k;∞);4) f(n) = un äëÿ k ≤ n ∈ N.ßêùî íåâëàñíèé iíòåãðàë

∞∫k

f(x)dx çáiãà¹òüñÿ, òî çàäàíèé ðÿäçáiãà¹òüñÿ. ßêùî æ öåé íåâëàñíèé iíòåãðàë ðîçáiãà¹òüñÿ, òî i çà-äàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.


n=1

1np (íàãàäà¹ìî, ùî

öå ðÿä Äiðiõëå).Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Éîãî çà-

ãàëüíèé ÷ëåí un = 1np > 0, äå p ≥ 0, n ∈ N,

Íåõàé p > 0. Âèêîðèñòà¹ìî iíòåãðàëüíó îçíàêó Êîøi-Ìàêëîðåíà.Ôóíêöiÿ f(x) = 1

xp , x ∈ [1; +∞) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè1) 1

xp > 0, äëÿ x ∈ [1;+∞);

11

2) 1xp íåïåðåðâíà äëÿ x ∈ [1;+∞);

3) 1xp ìîíîòîííî ñïàäà¹ äëÿ x ∈ [1; +∞), îñêiëüêè ôóíêöiÿ f−1(x) =

xp ìîíîòîííî çðîñòà¹ äëÿ x ∈ [1;+∞), f−1(x)′ = pxp−1 > 0 äëÿx ∈ [1;+∞);

4) f(n) = 1np = un.

Çà îçíà÷åííÿì íåâëàñíîãî iíòåãðàëó ìà¹ìî:+∞∫1

dxxp = lim

b→∞

b∫1

dxxp .

ßêùî p 6= 1, òî

+∞∫

1

dx

xp= lim

b→∞

b∫

1

x−pdx = limb→∞

x−p+1

−p + 1

∣∣∣b

1=

=1

−p + 1lim

b→∞(b−p+1 − 1−p+1) =

1−p + 1

limb→∞

(1

bp−1− 1) =

=∣∣∣ lim

b→∞bp−1 =

{ ∞, ÿêùî p > 1,0, ÿêùî 0 < p < 1

∣∣∣ =

=∣∣∣{ 1

p−1 , ÿêùî p > 1, � iíòåãðàë çáiãà¹òüñÿ∞ ÿêùî 0 < p < 1, � iíòåãðàë ðîçáiãà¹òüñÿ .

∣∣∣

ßêùî p = 1, òî f(x) = 1x ;

+∞∫

1

f(x)dx = limb→∞

b∫

1

dx

x= lim

b→∞(ln |x|)

∣∣∣b

1= lim

b→∞(ln b− ln 1) = +∞,

òîáòî iíòåãðàë ðîçáiãà¹òüñÿ.2) ßêùî p = 0, òî un = 1

n0 = 1, limn→∞

un = 1 6= 0 çàäàíèé ðÿäðîçáiãà¹òüñÿ ïðè p = 0.

3) ßêùî p < 0, òî un = 1np = n−p, lim

n→∞un = lim

n→∞n−p = ∞ 6= 0. �

ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.Âiäïîâiäü: Ðÿä

∞∑n=1

1np çáiãà¹òüñÿ, ÿêùî p > 1; ðîçáiãà¹òüñÿ, ÿêùî

p ≤ 1.Ïðèêëàä 10. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=2

n

(n2 + 5) ln n. (10)

12

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Éîãî çà-ãàëüíèé ÷ëåí ìîæíà îöiíèòè un = n

(n2+5) ln n < nn2 ln n . Îòæå äëÿ un

ìà¹ìî îöiíêó

n

(n2 + 5) ln n<

n

n2 ln n=

1n ln n

=: vn, n = 2, 3, · · · .

Ïîêëàäåìî

∞∑n=2

vn :=∞∑

n=2

1n ln n

(11)

i ïîðiâíÿ¹ìî öåé ðÿä iç çàäàíèì.Âèêîðèñòà¹ìî îçíàêó ïîðiâíÿííÿ II ó ãðàíè÷íié ôîðìi:

limn→∞

un

vn= lim

n→∞

n(n2+5) ln n

1n ln n

= limn→∞

n2 ln n

(n2 + 5) ln n=

= limn→∞

n2

n2 + 5=

∣∣∣∞∞∣∣∣ = lim

n→∞n2

n2(1 + 5n2 )

=

= limn→∞

11 + 5

n2

= 1 = const 6= 0.

Îòæå ðÿäè (10) i (11) îäíî÷àñíî çáiãàþòüñÿ àáî ðîçáiãàþòüñÿ.Äëÿ äîñëiäæåííÿ íà çáiæíiñòü äîïîìiæíîãî ðÿäó (11) âèêîðèñòà¹-

ìî iíòåãðàëüíó îçíàêó Êîøi-Ìàêëîðåíà.Ôóíêöiÿ, f(x) = 1

x ln x , x ∈ [2;+∞) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè:1) f(x) > 0, ïðè x ∈ [2, +∞);2) f(x) íåïåðåðâíà ïðè x ∈ [2,+∞);3) f(x) > 0 ìîíîòîííî ñïàäà¹ ïðè x ∈ [2, +∞), îñêiëüêè f−1(x) =

x ln x ìîíîòîííî çðîñòà¹ ïðè x ∈ [2, +∞);4) f(n) = 1

n ln n .

13

Íåâëàñíèé iíòåãðàë+∞∫

2

f(x) dx =

+∞∫

2

dx

x ln x= lim

b→∞

b∫

2

dx

x ln x=

= limb→∞

b∫

2

d(lnx)ln x

= limb→∞

ln(ln |x|)∣∣b2

=

= limb→∞

(ln ln b− ln ln 2) =

∣∣∣∣∣lim

b→∞ln ln b = +∞,

limb→∞

ln ln 2 < ∞,

∣∣∣∣∣ = +∞.

Îñêiëüêè ðÿä (11) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî çà òåîðåìîþ ïîðiâíÿííÿ i ðÿä(10) ðîçáiãà¹òüñÿ.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

� 1.4. Äîâiëüíi ÷èñëîâi ðÿäè×èñëîâèé ðÿä

∞∑n=1

un (12)

äîìîâèìîñÿ íàçèâàòè äîâiëüíèì ÷èñëîâèì (àáî ïðîñòî ÷èñëîâèì) ðÿ-äîì, ÿêùî âií ìîæå ìiñòèòè ÷ëåíè ÿê çi çíàêîì ïëþñ "+", òàê i çiçíàêîì ìiíóñ "−".

Teoðåìà 1.[ïðî àáñîëþòíó çáiæíiñòü ÷èñëîâîãî ðÿäó] ßêùîçáiãà¹òüñÿ ðÿä

∞∑n=1

|un|, (13)

ñêëàäåíèé iç ìîäóëiâ ðÿäó (12), òî ðÿä (12) òàêîæ çáiãà¹òüñÿ.Îçíà÷åííÿ 5. ×èñëîâèé ðÿä (12) íàçèâà¹òüñÿ àáñîëþòíî çáiæ-

íèì, ÿêùî çáiãà¹òüñÿ ðÿä (13).Îçíà÷åííÿ 6. ×èñëîâèé ðÿä (12) íàçèâà¹òüñÿ óìîâíî (àáî íå

àáñîëþòíî) çáiæíèì, ÿêùî ðÿä (12) çáiãà¹òüñÿ à ðÿä (13) ðîçái-ãà¹òüñÿ.

14

Âëàñòèâîñòi àáñîëþòíî çáiæíèõ ðÿäiâ.1. Ïðè äîâiëüíié ïåðåñòàíîâöi ÷ëåíiâ àáñîëþòíî çáiæíîãî ðÿäó

(12) îòðèìó¹òüñÿ òàêîæ àáñîëþòíî çáiæíèé ðÿä.2. ßêùî ðÿä (12) àáñîëþòíî çáiãà¹òüñÿ, òî äëÿ äîâiëüíî¨ êîíñòàí-

òè c ∈ R, ðÿä∞∑

n=1cun òàêîæ çáiãà¹òüñÿ àáñîëþòíî.

3. ßêùî ðÿäè∞∑

n=1un i

∞∑n=1

vn àáñîëþòíî çáiãàþòüñÿ, i ¨õ ñóìè âiä-

ïîâiäíî äîðiâíþþòü S1 i S2, òî ðÿäè∞∑

n=1(un ± vn) òàêîæ àáñîëþòíî

çáiãàþòüñÿ i ¨õ ñóìà äîðiâíþ¹ S1±+S2, òîáòî àáñîëþòíî çáiæíi ðÿäèìîæíà ïî÷ëåííî äîäàâàòè i âiäíiìàòè.

Çàóâàæåííÿ. Äëÿ óìîâíî çáiæíèõ ðÿäiâ âêàçàíi âëàñòèâîñòi ìî-æóòü íå âèêîíóâàòèñÿ. Íàïðèêëàä, âiäîìå òâåðäæåííÿ: ÿêùî ÷èñëî-âèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ óìîâíî (ùî ìîæëèâî ëèøå òîäi, êîëè âií ìiñòèòüíåñêií÷åííî áàãàòî ÷ëåíiâ îáîõ çíàêiâ), òî ìîæíà òàê ïåðåñòàâèòèéîãî ÷ëåíè, ùî ñóìà ðÿäó çìiíèòüñÿ. Çîêðåìà, ìîæíà îòðèìàòè ðÿäiç íàïåðåä çàäàíîþ ñóìîþ àáî íàâiòü ðîçáiæíèé ðÿä.


n=1

sinnα

n3.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ÷èñëîâèé ðÿä ¹ äîâiëüíèì, îñêiëüêè un =sin nα

n3 , n ∈ N ìà¹ ÷ëåíè ðiçíèõ çíàêiâ. Ñêëàäåìî ðÿä∞∑

n=1

|un| =∞∑

n=1

| sin nα|n3

, (14)

äå

0 ≤ |un| = | sinnα|n3

≤ 1n3

, n ∈ N,

îñêiëüêè0 ≤ | sin nα| ≤ 1.

Ðîçãëÿíåìî äîäàòíié ÷èñëîâèé ðÿä∞∑

n=1

1n3

.

15

Öåé ðÿä Äiðèõëå ç p = 3 > 1 çáiãà¹òüñÿ. Òîäi çáiãà¹òüñÿ i ðÿä (14) çàïåðøîþ îçíàêîþ ïîðiâíÿííÿ.

Îñêiëüêè ðÿä (14) çáiãà¹òüñÿ, òî i çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ çà òåî-ðåìîþ ïðî àáñîëþòíó çáiæíiñòü ÷èñëîâîãî ðÿäó.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä àáñîëþòíî çáiãà¹òüñÿ.Îçíà÷åííÿ 7. ×èñëîâèé ðÿä âèãëÿäó

u1 − u2 + u3 − u4 + · · ·+ (−1)n+1un + · · · (15)

àáî∞∑

n=1(−1)n+1un, äå un > 0, íàçèâà¹òüñÿ çíàêîçìiííèì ðÿäîì.

Teoðåìà 2.[Ëåéáíiöà.] ßêùî äëÿ çíàêîçìiííîãî ÷èñëîâîãî ðÿäó∞∑

n=1(−1)n+1un âèêîíóþòüñÿ óìîâè:

1) un > un+1 ïðè n > k ∈ N (òîáòî àáñîëþòíi âåëè÷èíè ÷ëåíiâðÿäó ñïàäàþòü ïî÷èíàþ÷è iç äåÿêîãî íîìåðà);

2) limn→∞

un = 0,òî ðÿä çáiãà¹òüñÿ, òà éîãî ñóìà S < u1.

Â òàêîìó âèïàäêó ðÿä íàçèâà¹òüñÿ ðÿäîì ëåéáíiöåâîãî òèïó.

Íàñëiäîê 2. ßêùî ðÿä∞∑

n=1(−1)n+1un çáiãà¹òüñÿ, òî éîãî ñóìà

S ìà¹ çîáðàæåííÿ:

S =Sn + rn = (u1 − u2 + u3 − u4 + · · ·++ (−1)n+1un) + (−1)n+2un+1 + (−1)n+3un+2 + · · · .

ßêùî äëÿ äåÿêîãî íîìåðà n ∈ N ìà¹ìî S ≈ Sn, òî ïîõèáêà δ =S − Sn = rn, äå

rn = (−1)n+2un+1 + (−1)n+3un+2 + · · · < un+1.

¼Ïðèêëàä 12. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=1

(−1)n+1 1n2 + 3

.

16

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ çíàêîçìiííèì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Ñêëà-äåìî ðÿä iç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí ÷ëåíiâ çàäàíîãî ðÿäó

∞∑n=1

1n2 + 3

, (16)

ÿêèé ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Éîãî çàãàëüíèé ÷ëåí ìà¹ âèãëÿäun = 1

n3+3 > 0. Äëÿ íüîãî ìà¹ ìiñöå îöiíêà 1n3+3 < 1

n3 . Ïîêëàäåìîvn := 1

n3 i ðîçãëÿíåìî ðÿä

∞∑n=1

1n3

, (17)

ÿêèé ¹ ðÿäîì Äiðiõëå ç p = 3 > 1, vn = 1n3 > 0. Îñêiëüêè ðÿä (17)

çáiãà¹òüñÿ, òî çà ïåðøîþ òåîðåìîþ ïîðiâíÿííÿ ðÿä (16) ç ìåíøèìè÷ëåíàìè òàêîæ çáiãà¹òüñÿ.

Îñêiëüêè ðÿä (16) çáiãà¹òüñÿ, òî çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ àáñîëþò-íî.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä àáñîëþòíî çáiãà¹òüñÿ.Ïðèêëàä 13. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=1

(−1)n+1 1√2n + 1

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ çíàêîçìiííèì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Ïî-áóäó¹ìî ðÿä iç ìîäóëiâ ÷ëåíiâ çàäàíîãî ðÿäó:

∞∑n=1

1√2n + 1

, (18)

ÿêèé ¹ äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì un = 1√2n+1

>

0, n ∈ N.Ïîðiâíÿ¹ìî îñòàííié ðÿä iç ðÿäîì

∞∑n=1

1√n

, (19)

17

ÿêèé òàêîæ ¹ äîäàòíiì ðÿäîì iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì vn = 1√n

= 1n1/2 >

0.Çàñòîñó¹ìî äðóãó îçíàêó ïîðiâíÿííÿ (ó ãðàíè÷íié ôîðìi)

limn→∞

un

vn= lim

n→∞

√n

2n + 1= |∞∞| = lim

n→∞

√1

n + 1n

=1√2.

Ìà¹ìî 0 < 1√2

< ∞. Îñêiëüêè ðÿä (19) � öå ðÿä Äiðiõëå, äå p = 12 <

1, òî ðÿä (19) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî òîäi ðÿä (18) òàêîæ ðîçáiãà¹òüñÿ, òîìóùî çàäàíèé ðÿä íå ìîæå áóòè àáñîëþòíî çáiæíèì.

Äî çàäàíîãî ðÿäó çàñòîñó¹ìî òåîðåìó Ëåéáíiöà:1) äëÿ çàäàíîãî ðÿäó ìà¹ìî: un > un+1 îñêiëüêè 1√

2n+1> 1√

2n+3,

ïðè n ∈ N, òîáòî ÷ëåíè çàäàíîãî ðÿäó ñïàäàþòü çà àáñîëþòíîþ âå-ëè÷èíîþ;

2) ìà¹ ìiñöå ðiâíiñòü limn→∞

un = limn→∞

1√2n+3

= 0.Îáèäâi óìîâè òåîðåìè Ëåéáíèöÿ âèêîíóþòüñÿ, òîìó çàäàíèé ðÿä

çáiãà¹òüñÿ, à îñêiëüêè ðÿä (18), ïîáóäîâàíèé iç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí÷ëåíiâ çàäàíîãî ðÿäó, ðîçáiãà¹òüñÿ, òî çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ óìîâíî.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ óìîâíî.Ïðèêëàä 14. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä

∞∑n=1

(−1)n+1 n + 3√2n + 1

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ çíàêîçìiííèì ðÿäîì iç çàãàëüíèì ÷ëå-íîì: un = n+3√

2n+1. Îá÷èñëèìî ãðàíèöþ

limn→∞

un = limn→∞

n + 3√2n + 1

= |∞∞| = limn→∞

1 + 3n

2 + 1n

=12.

Îñêiëüêè ãðàíèöÿ limn→∞

un 6= 0, òî i âiäïîâiäíî limn→∞

(−1)n+1 n+3√2n+1

6=0, òîáòî äëÿ çàäàíîãî ðÿäó íå âèêîíó¹òüñÿ íåîáõiäíà óìîâà çáiæíîñòi÷èñëîâîãî ðÿäó, òîìó çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.Ïðèêëàä 15. Îá÷èñëèòè ñóìó ðÿäó

∞∑n=1

(−1)n+1

(n + 1)n

18

iç òî÷íiñòþ α = 0, 001.Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ çíàêîçìiííèì ÷èñëîâèì ðÿäîì, äëÿ

ÿêîãî un = 1(n+1)n > 0.

Ïåðåâiðèìî âèêîíàííÿ óìîâ òåîðåìè Ëåéáíèöÿ:1) äiéñíî un > un+1, îñêiëüêè 1

(n+1)n > 1(n+2)n+1 , ïðè n ∈ N;

2) limn→∞

un = limn→∞

1(n+1)n = | 1

∞ | = 0.Îáèäâi óìîâè òåîðåìè Ëåéáíèöÿ âèêîíóþòüñÿ, îòæå çàäàíèé ðÿä

çáiãà¹òüñÿ. Çà íàñëiäêîì iç òåîðåìè Ëåéáíèöÿ: ïðè S ≈ Sn, ïîõèáêàδ < un+1 = 1

(n+2)n+1 .Çíàéäåìî òàêå n, ùîá δ < 0, 001. Îñêiëüêè u1 = 1

2 > 0, 001; u2 =132 = 1

9 > 0, 001; u3 = 143 = 1

64 > 0, 001; u4 = 154 = 1

625 > 0, 001;u5 = 1

65 = 17776 < 0, 001, òî

S ≈ Sn = u1− u2 + u3− u4 = 12 − 1

9 + 164 − 1

625 ≈ 0, 5000− 0, 1111 +0, 0156− 0, 0016 = 0, 4029 ≈ 0, 403.

Âiäïîâiäü: S =∞∑

n=1

(−1)n+1

(n+1)n ≈ 0, 403 iç òî÷íiñòþ α = 0, 001.

� 1.5. Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿÎá÷èñëèòè ñóìó ðÿäó:1)

∞∑n=1

1(2n−1)(2n+1) ; 2)

∞∑n=1

1n(n+3) ; 3)

∞∑n=1

1n(n+1)(n+3) ;

Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿäè:4)

∞∑n=1

1n3+4n ; 5)

∞∑n=1

15n−1 ; 6)

∞∑n=1

1√n+3

; 7)∞∑

n=1

3n−1n+20 ;

8)∞∑

n=1n sin π

3n ; 9)∞∑

n=1

n√

n(n+1)! ; 10)

∞∑n=1

arctgn 1n2 ; 11)

∞∑n=1

3n

n ;

12)∞∑

n=1

1(n+1) ln n ; 13)

∞∑n=1

1(2n+3) ln3(n+1)

; 14)∞∑

n=1(−1)n+1 1

n2√

n;

15)∞∑

n=1(−1)n+1 n+1

2n+3 ; 16)∞∑

n=1(−1)n+1 1

ln(n+1) ; 17)∞∑

n=1(−1)n+1 n2

3n ;

18)∞∑

n=1(−1)n+1 1

(n+1)2n ; 19)∞∑

n=1(−1)n+1 1

n−ln n ;

20) Çíàéòè íàáëèæåíî ñóìó ðÿäó∞∑

n=1(−1)n+1 1

(2n)3 iç òî÷íiñòþ äî0,01.

19

Âiäïîâiäi: 1. s = 12 ; 2. s = 11

18 ; 3. s = 14 ; 4. çáiãà¹òüñÿ; 5. ðîçái-

ãà¹òüñÿ; 6. ðîçáiãà¹òüñÿ; 7. ðîçáiãà¹òüñÿ; 8. çáiãà¹òüñÿ; 9. çáiãà¹òüñÿ;10. çáiãà¹òüñÿ; 11. ðîçáiãà¹òüñÿ; 12. ðîçáiãà¹òüñÿ; 13. çáiãà¹òüñÿ; 14.àáñ. çáiãà¹òüñÿ; 15. ðîçáiãà¹òüñÿ; 16. çáiãà¹òüñÿ óìîâíî; 17. çáiãà¹òüñÿàáñ.; 18. çáiãà¹òüñÿ àáñ.; 19 çáiãà¹òüñÿ óìîâíî; 20. s ≈ 0, 89.

2. Ôóíêöiîíàëüíi ðÿäè� 2.1. Îçíà÷åííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó. Îáëàñòü

çáiæíîñòiÍåõàé çàäàíà ïîñëiäîâíiñòü ôóíêöié: u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ,

ÿêi âèçíà÷åíi íà ìíîæèíi D(un) = X := [a, b] ⊆ R, (−∞ ≤ a < b ≤+∞).

Îçíà÷åííÿ 8. Ôóíêöiîíàëüíèì ðÿäîì íàçèâà¹òüñÿ âèðàç âèäóu1(x) + u2(x) + · · ·+ un(x) + · · · , àáî

∞∑n=1

un(x). (1)

Äëÿ áóäü-ÿêîãî x0 ∈ D(un) îòðèìó¹ìî ÷èñëîâèé ðÿä:

∞∑n=1

un(x0). (2)

Îçíà÷åííÿ 9. ßêùî ðÿä (2) çáiãà¹òüñÿ, òî òî÷êà x0 íàçèâà¹òü-ñÿ òî÷êîþ çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó (1).

Îçíà÷åííÿ 10. Ìíîæèíà âñiõ òî÷îê çáiæíîñòi ðÿäó (1) íàçè-âà¹òüñÿ éîãî îáëàñòþ çáiæíîñòi.

Îçíà÷åííÿ 11. ßêùî â òî÷öi x1 ∈ D(un) âiäïîâiäíèé ÷èñëî-âèé ðÿä

∞∑n=1

un(x1) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî òî÷êà x1 íàçèâà¹òüñÿ òî÷êîþðîçáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó (1).

Îáëàñòü çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó çíàõîäèìî, âèêîðèñòî-âóþ÷è âiäïîâiäíi îçíàêè çáiæíîñòi ÷èñëîâèõ ðÿäiâ.

20

Ïðèêëàä 1. Çíàéòè îáëàñòü çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó∞∑

n=1

1n!(x + 2)n

.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. ×ëåíè çàäàíîãî ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó un(x) = 1n!(x+2)n

âèçíà÷åíi ïðè x 6= −2, òîáòî D(un) = (−∞;−2) ∪ (−2;+∞).Ñêëàäåìî ðÿä iç ìîäóëiâ ÷ëåíiâ çàäàíîãî ðÿäó:

∞∑n=1

1n!|x + 2|n , (3)

òîáòî

|un(x)| = 1n!|x + 2|n > 0 ïðè x 6= −2 :

Ïðè ôiêñîâàíèõ x 6= −2 ðÿä (3) ¹ ÷èñëîâèì äîäàòíiì ðÿäîì. Çà-ñòîñó¹ìî îçíàêó Äàëàìáåðà:

limn→∞

|un+1(x)||un(x)| = lim

n→∞

1(n+1)!|x+2|n+1

1n!|x+2|n

=

= limn→∞

n!|x + 2|nn!(n + 1)|x + 2|n+1

= limn→∞

1(n + 1)|x + 2| =

=1

|x + 2| limn→∞

1n + 1

=1

|x + 2| · 0 = 0 = l < 1.

Ðÿä (3) çáiãà¹òüñÿ ïðè áóäü-ÿêèõ x ∈ D(un) = (−∞;−2) ∪ (−2;+∞).Âiäïîâiäü: Îáëàñòü çáiæíîñòi: (−∞;−2) ∪ (−2; +∞).Ïðèêëàä 2. Çíàéòè îáëàñòü çáiæíîñòi ðÿäó

∞∑n=1

lnn x.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. ×ëåíè çàäàíîãî ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó un = lnn xâèçíà÷åíi ïðè x > 0, òîáòî D(un) = (0; +∞).

1) Íåõàé x > 1, òîáòî lnn x > 0 i ïðè ôiêñîâàíèõ x > 1 çàäà-íèé ðÿä áóäå äîäàòíiì ÷èñëîâèì ðÿäîì. Âèêîðèñòà¹ìî ðàäèêàëüíóîçíàêó Êîøi:

limn→∞

n√

un(x) = limn→∞

n√

lnn x = limn→∞

ln x = ln x = l.

21

ßêùî l < 1, òîáòî 0 < ln x < 1, 1 < x < e, òî ïðè x ∈ (1; e)çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ.

ßêùî l > 1, òîáòî ln x > 1, x > e, òî ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.ßêùî l = 1, ln x = 1, x = e, òî îçíàêà Êîøi âiäïîâiäi íå äà¹, àëå

un(e) = (ln e)n = 1n = 1, limn→∞

un(e) = limn→∞

1 = 1 6= 0, òîìó ðÿäðîçáiãà¹òüñÿ.

2) Íåõàé x = 1, òîäi un(1) = lnn 1 = (ln 1)n = 0n = 0− âñi ÷ëåíèðÿäó äîðiâíþþòü íóëþ. ×àñòêîâà ñóìà ðÿäó sn = 0 + 0 + · · · + 0 =0, lim

n→∞sn = lim

n→∞0 = 0 = s, òîáòî ïðè x = 1 çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ,

i éîãî ñóìà s = 0.3) Íåõàé 0 < x < 1, òîáòî ln x < ln 1 = 0, òîáòî ln x < 0, òîìó

ïðè ôiêñîâàíîìó x ∈ (0, 1) çàäàíèé ðÿä áóäå ÷èñëîâèì çíàêîçìiííèìðÿäîì. Ñêëàäåìî ðÿä iç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí òàêîãî ðÿäó:

∞∑n=1

| lnn x|. (4)

Âèêîðèñòîâóþ÷è ðàäèêàëüíó îçíàêó Êîøi, âðàõîâóþ÷è, ùî x ∈(0, 1). Òîäi ìà¹ìî: lim

n→∞n√|un(x)| =, lim

n→∞n√| ln x|n = lim

n→∞| ln x| =

| ln x| = l.ßêùî l < 1, òîáòî | ln x| < 1, òîäi −1 < ln x < 1, 1

e < x < e.Òîáòî ïðè x ∈ (1

e ; 1) ðÿä (4) çáiãà¹òüñÿ, i òîìó çàäàíèé ðÿä àáñîëþòíîçáiãà¹òüñÿ.

ßêùî l > 1, òîáòî | ln x| > 1, òî çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ. Îñêiëü-êè x ∈ (0; 1), òî ln x < −1, îòæå ïðè 0 < x < 1

e çàäàíèé ðÿä ðîçái-ãà¹òüñÿ;

ßêùî x = 1e , òî l = | ln 1

e | = | − 1| = 1, i îçíàêà Êîøi âiäïîâiäi íåäà¹. Òîäi un(1

e ) = lnn( 1e ) = (−1)n, lim

n→∞un( 1

e ) = limn→∞

(−1)n íå iñíó¹.Îòæå ïðè lim

n→∞un( 1

e ) 6= 0, òîìó, çàäàíèé ðÿä ïðè x = 1e ðîçáiãà¹òüñÿ.

Ïiäñóìîâóþ÷è äîñëiäæåííÿ, ìîæíà ñêàçàòè, ùî çàäàíèé ðÿä çái-ãà¹òüñÿ ïðè x ∈ ( 1

e ; e).Âiäïîâiäü: Îáëàñòþ çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó ¹ iíòåðâàë ( 1

e ; e).

22

� 2.2. Ðiâíîìiðíà çáiæíiñòü ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿ-äó

Ç Îçíà÷åííÿ çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó â îáëàñòi ìà¹ìî:ÿêùî x0 � òî÷êà çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó

∞∑n=1

un(x), òî âiäïî-

âiäíèé ÷èñëîâèé ðÿä∞∑

n=1un(x0) çáiãà¹òüñÿ, òîáòî iñíó¹ lim

n→∞sn(x0) =

s(x0), äå sn(x0) � n-òà ÷àñòêîâà ñóìà ÷èñëîâîãî ðÿäó â òî÷öi x0.Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ ãðàíèöi ïîñëiäîâíîñòi {sn(x0)}, ìà¹-

ìî: äëÿ áóäü-ÿêîãî ε > 0 çíàéäåòüñÿ íîìåð N = (ε, x0) òàêèé, ùîâèêîíó¹òüñÿ |sn(x0)− s(x0)| < ε ïðè âñiõ n > N(ε, x0).

ßêùî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä∞∑

n=1un(x0) çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X ⊆

D(un(x)), òî iñíó¹ limn→∞

sn(x) = s(x) äëÿ áóäü-ÿêîãî x ∈ X, òîáòî äëÿáóäü-ÿêîãî ε > 0 çíàéäåòüñÿ N = (ε, x), òàêèé ùî ïðè âñiõ n > N(ε, x)âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü |sn(x)− s(x)| < ε.

Îçíà÷åííÿ 12. Ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä∞∑

n=1un(x) íàçèâà¹òüñÿ ðiâ-

íîìiðíî çáiæíèì íà ìíîæèíi X ⊆ D(un(x)), i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹s(x), ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ε > 0 çíàéäåòüñÿ íîìåð N = (ε) òàêèé,ùî |sn(x)− s(x)| < ε ïðè âñiõ n > N(ε) (òîáòî ïàðà (N, ε) íå çàëå-æèòü âiä âèáîðó x ∈ X).

Íàñëiäîê 3. ßêùî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä∞∑

n=1un(x) ðiâíîìiðíî çái-

ãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X, òîäi êîæíèé n-é çàëèøîê ðÿäó rn(x) =un+1(x) + un+2(x) + · · · òàêîæ ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà öié ìíî-æèíi.

Çàóâàæåííÿ. ßêùî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíiX, òîäi íà öié ìíîæèíi âií ìîæå i íå çáiãàòèñÿ ðiâíîìiðíî.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè îáëàñòü ðiâíîìiðíî¨ çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëü-íîãî ðÿäó u1(x) = x, u2(x) = x2−x, u3(x) = x3−x2, . . . , un−1(x) =xn−1 − xn−2, un(x) = xn − xn−1, . . .

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàïèøåìî n-òó ÷àñòêîâó ñóìó çàäàíîãî ðÿäó

sn(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) + · · ·+ un−1(x) + un(x) == x + (x2 − x) + (x3 − x2) + . . . + (xn−1 − xn−2) + (xn − xn−1) == xn.

23

Òîäi limn→∞

sn(x) = limn→∞

xn. Öÿ ãðàíèöÿ äîðiâíþ¹: 0, ÿêùî x ∈(−1, 1); 1, ÿêùî x = 1; ∞, ÿêùî |x| > 1; íå iñíó¹ ÿêùî x = −1.

Òàêèì ÷èíîì, çàäàíèé ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x ∈(−1; 1], i éîãî ñóìà

s(x) =[

0 ïðè x ∈ (−1; 1)1 ïðè x = 1.

Ðîçãëÿíåìî |s(x)− sn(x)|.Ïðè x = 1 ìà¹ìî: |s(x)−sn(x)| = |s(1)−sn(1)| = |1−1n| = |1−1| =

0 < ε äëÿ áóäü-ÿêèõ n ∈ N.Ïðè x = 1

n√3∈ (−1; 1) ìà¹ìî |s(x)−sn(x)| = |0− 1

3 | = 13 . Î÷åâèäíî,

ùî ïðè ε = 14 > 0 ìà¹ìî |s(x)− sn(x)| = 1

3 > ε.Òàêèì ÷èíîì, |s(x) − sn(x)| íå áóäå ìåíøå áóäü-ÿêîãî ε > 0 ïðè

áóäü-ÿêèõ x ∈ (−1; 1], òîìó ðÿä íå ¹ ðiâíîìiðíî çáiæíèì ïðè x ∈(−1; 1].

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä íå çáiãà¹òüñÿ ðiâíîìiðíîïðè x ∈ (−1; 1].

Íàñòóïíà òåîðåìà äà¹ îçíàêó ðiâíîìiðíî¨ çáiæíîñòi ôóíêöiîíàëü-íîãî ðÿäó.

Teoðåìà 1.[Âåé¹ðøòðàññà.] Íåõàé çàäàíî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä∞∑

n=1

un(x), (5)

ÿêèé çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X. ßêùî iñíó¹ òàêèé çáiæíèé äîäàò-íié ÷èñëîâèé ðÿä

∞∑n=1

an, (6)

ùî äëÿ âñiõ x ∈ X i n ∈ N âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíÿñòü

|un(x)| ≤ an, (7)

òî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä (5) ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X.Ïðè öüîìó ðÿä (6) íàçèâà¹òüñÿ ìàæîðàíòîþ äëÿ ðÿäó (5), àáî

ìàæîðóþ÷èì ðÿäîì.

24

Ïðèêëàä 4. Äîñëiäèòè íà ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü ðÿä∞∑

n=1

sin nx

n 3√

n.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. ×ëåíè çàäàíîãî ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó âèçíà÷åíi äëÿx ∈ (−∞; +∞), ïðè öüîìó:

|un(x)| = | sin nx|n 3√

n≤ 1

n 3√

n, n ∈ N, x ∈ (−∞; +∞).

Ðîçãëÿíåìî ÷èñëîâèé ðÿä:∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

1n 3√

n=

∞∑n=1

1n

43. (8)

Öå ðÿä Äiðiõëå ç p = 43 > 1, ÿêèé çáiãà¹òüñÿ. Îñêiëüêè ðÿä (8) ¹

ìàæîðàíòîþ äëÿ çàäàíîãî ðÿäó ïðè x ∈ (−∞; +∞), òî çà òåîðåìîþÂåé¹ðøòðàñà çàäàíèé ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íàìíîæèíi X = (−∞; +∞).

Âiäïîâiäü: Çàäàíèé ðÿä ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà âñié äiéñíié îñi.Ïðèêëàä 5. Äëÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó

∞∑n=1

xn

n(n+2) ïîáóäóâàòèìàæîðóþ÷èé ðÿä i äîâåñòè ðiâíîìiðíó çáiæíiñòü íà âiäðiçêó [−1; 1].

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàãàëüíèé ÷ëåí çàäàíîãî ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó ìà¹âèãëÿä: un(x) = xn

n(n+2) . ßêùî x ∈ [−1; 1], òîáòî |x| ≤ 1, |x|n ≤ 1n = 1,òîìó |un(x)| = |x|n

n(n+2) ≤ 1n(n+2) < 1

n2 ïðè x ∈ [−1; 1]. Ðîçãëÿíåìî ðÿä∞∑

n=1an =

∞∑n=1

1n2 , ÿêèé çáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè öå ðÿä Äiðiõëå ç p = 2 >

1. Òàêèì ÷èíîì öåé ðÿä ¹ ìàæîðóþ÷èì ðÿäîì ïðè x ∈ [−1; 1] äëÿçàäàíîãî ðÿäó.

Âiäïîâiäü: Çà òåîðåìîþ Âåé¹ðøòðàñà çàäàíèé ôóíêöiîíàëüíèéðÿä ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà âiäðiçêó [-1;1 ].

� 2.3. Âëàñòèâîñòi ôóíêöiîíàëüíèõ ðÿäiâTeoðåìà 1.[Ïðî íåïåðåðâíiñòü ñóìè ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó.] ßê-

ùî ÷ëåíè un(x) ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó∞∑

n=1un(x) � íåïåðåðâíi ôóíê-

25

öi¨ íà ìíîæèíi X i ðÿä ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X, òîñóìà ðÿäó s(x) ¹ ôóíêö¹þ íåïåðåðâíîþ íà ìíîæèíi X.

Teoðåìà 2.[Ïðî iíòåãðóâàííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó.] ßêùî ÷ëå-íè un(x) ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó

∞∑n=1

un(x) � íåïåðåðâíi ôóíêöi¨ íàìíîæèíi X, i ðÿä ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X, òî ðÿä

∞∑n=1

β∫

α

un(x)dx (9)

çáiãà¹òüñÿ, i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹β∫α

s(x)dx, äå [α, β] ⊂ X.

Çàóâàæåííÿ.1) Îòæå, ÿêùî ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä

∞∑n=1

un(x) ðiâíîìiðíî çáiãà¹òü-ñÿ íà ìíîæèíi X, i éîãî ÷ëåíè un(x) � íåïåðåðâíi ôóíêöi¨ íà ìíî-æèíi Õ, òî òàêèé ðÿä ìîæëèâî ïî÷ëåííî iíòåãðóâàòè íà áóäü-ÿêîìó

âiäðiçêó [α, β] ÿêèé çíàõîäèòüñÿ âñåðåäèíi ìíîæèíè Õ, òîáòîβ∫α

∞∑n=1

un(x)dx =

∞∑n=1

β∫α

un(x)dx =β∫α

s(x)dx.

2) Òåîðåìà äà¹ óçàãàëüíåííÿ âëàñòèâîñòi ïðî iíòåãðóâàííÿ ñóìèñêií÷åíîãî ÷èñëà äîäàíêiâ íà íåñêií÷åííå ÷èñëî äîäàíêiâ.

Teoðåìà 3.[Ïðî äèôåðåíöiþâàííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó.] Íåõàéôóíêöiîíàëüíèé ðÿä

∞∑n=1

un(x) çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X, éîãî ÷ëå-íè un(x) � äèôåðåíöiéíi ôóíêöi¨ íà ìíîæèíi X i s(x) � ñóìà ðÿäó.ßêùî ðÿä

∞∑n=1

un′(x)

ñêëàäà¹òüñÿ iç íåïåðåðâíèõ ïîõiäíèõ ÷ëåíiâ çàäàíîãî ðÿäó i ðiâíî-ìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà ìíîæèíi X, òî éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ s′(x) ïðèx ∈ X.

26

Çàóâàæåííÿ. Îñòàííÿ òåîðåìà ãîâîðèòü ïðî ìîæëèâiñòü ïî÷ëåí-íîãî äèôåðåíöiþâàííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó i óçàãàëüíþ¹ âëàñòè-âiñòü äèôåðåíöiþâàííÿ ñóìè ñêií÷åíîãî ÷èñëà äîäàíêiâ, òîáòî ÿêùîâèêîíóþòüñÿ óìîâè òåîðåìè, i

∞∑n=1

un(x) = s(x), òo (∞∑

n=1un(x))′ =

∞∑n=1

un′(x) = s′(x) äëÿ x ∈ X.

Ïðèêëàä 6. Äîâåñòè, ùî ñóìà ðÿäó s(x) =∞∑

n=1

sin nxn 3√n

¹ ôóíêöiÿíåïåðåðâíà íà ìíîæèíi X = (−∞, +∞).

Äîâåäåííÿ.1) ×ëåíàìè ðÿäó ¹ ôóíêöi¨ un(x) = sin nx

n 3√n, íåïåðåðâíi ïðè x ∈ X =

(−∞, +∞);2) Ôóíêöiîíàëüíèé ðÿä

∞∑n=1

sin nxn 3√n

ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ íà ìíî-æèíi X = (−∞, +∞) (äèâ. Ïðèêëàä 4 öüîãî ðîçäiëó).

Çà òåîðåìîþ ïðî íåïåðåðâíiñòü ñóìè ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó, ñóìàðÿäó s(x) � íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ íà ìíîæèíi X = (−∞, +∞).

� 2.4. Ñòåïåíåâi ðÿäèßêùî ÷ëåíè ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó

∞∑n=0

un(x) ìàþòü âèãëÿä: un(x) =

anxn àáî un(x) = an(x−x0)n, òîáòî ñòåïåíåâi ôóíêöi¨, òî òàêèé ôóíê-öiîíàëüíèé ðÿä íàçèâàþòü ñòåïåíåâèì ðÿäîì.

Òàêèì ÷èíîì, ñòåïåíåâèé ðÿä ìà¹ âèãëÿä:∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn + · · · , (10)

àáî∑n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·

+ an(x− x0)n + · · · (11)

Ïðè x0 = 0 ðÿä (11) ìàòèìå âèãëÿä (10). ßêùî ïîçíà÷èòè x− x0 = t

ïðè x0 6= 0, òî ðÿä (11) ìàòèìå âèãëÿä òèïó (10), òîáòî∞∑

n=0antn.

27

Ñòåïåíåâèé ðÿä (10) çáiãà¹òüñÿ ïðè x = 0, òîìó ùî âñi éîãî ÷ëåíèäîðiâíþþòü íóëåâiþ. Òîäi, ñóìà ðÿäó s = 0. Àíàëîãi÷íî, ðÿä (11)çáiãà¹òüñÿ ïðè x = x0.

Teoðåìà 1.[Àáåëÿ.] ßêùî ñòåïåíåâèé ðÿä∞∑

n=0anxn çáiãà¹òüñÿ

ïðè x = x1 6= 0, òî âií çáiãà¹òüñÿ ïðè âñiõ x, äëÿ ÿêèõ |x| < |x1|;ßêùî ñòåïåíåâèé ðÿä (10) ðîçáiãà¹òüñÿ ïðè x = x2, òî âií ðîç-

áiãà¹òüñÿ ïðè âñiõ x, äëÿ ÿêèõ |x| > |x2|.Íàñëiäîê 4. Iñíó¹ ÷èñëî R ≥ 0 òàêå, ùî äëÿ âñiõ x ∈ (−R;R)

ðÿä (10) çáiãà¹òüñÿ, ïðè x ∈ (−∞;−R) ∪ (R, +∞) ðÿä ðîçáiãà¹òü-ñÿ; à ïðè x = ±R ïîòðiáíi äîäàòêîâi äîñëiäæåííÿ. ×èñëî R > 0íàçèâàþòü ðàäióñîì çáiæíîñòi, (−R;R) � iíòåðâàëîì çáiæíîñòi.

Ïðè R = 0 ðÿä (10) çáiãà¹òüñÿ â òî÷öi x0 = 0.Ïðè R = ∞ ðÿä (10) çáiãà¹òüñÿ ïðè x ∈ (−∞; +∞).Äëÿ ðÿäó (11) iíòåðâàë çáiæíîñòi ìà¹ âèãëÿä (x0 −R, x0 + R).ßêùî âñi an 6= 0, òî ðÿäè (10), (11) íàçèâàþòü ïîâíèìè ñòåïå-

íåâèìè ðÿäàìè. Äëÿ òàêèõ ðÿäiâ: R = limn→∞

|an||an+1| àáî R = lim

n→∞1

n√|an|

.ßêùî íå âñi ÷ëåíè ðÿäó an 6= 0, òî äëÿ çíàõîäæåííÿ ðàäióñà

çáiæíîñòi íåîáõiäíî âèêîðèñòîâóâàòè iíøi ìåòîäè.

� 2.5. Âëàñòèâîñòi ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ1) Ñòåïåíåâèé ðÿä (10) çáiãà¹òüñÿ àáñîëþòíî i ðiâíîìiðíî âñå-

ðåäèíi iíòåðâàëó çáiæíîñòi, òîáòî íà áóäü-ÿêîìó âiäðiçêó [a, b] ⊂(−R; R).

2) Ñóìà ñòåïåíåâîãî ðÿäó ôóíêöi¨ s(x) íåïåðåðâíà âñåðåäèíi ií-òåðâàëó çáiæíîñòi, òîáòî ïðè áóäü-ÿêèõ x ∈ (−R; R).

3) Ñòåïåíåâèé ðÿä (10) ìîæíà iíòåãðóâàòè i äèôåðåíöiþâàòè âiíòåðâàëi çáiæíîñòi, iíòåðâàë çáiæíîñòi ïðè öüîìó íå çìiíþ¹òüñÿ.

Ïðèêëàä 7. Çíàéòè îáëàñòü çáiæíîñòi ðÿäó∞∑

n=1

(n + 1)xn.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä � öå ïîâíèé ñòåïåíåâèé ðÿä, äå âñian = (n + 1) > 0. Îñêiëüêè âñi an 6= 0, òî R ìîæëèâî çíàéòè ç

28

ôîðìóëè:

R = limn→∞

1n√|an|

= limn→∞

1n√

(n + 1)=

11

= 1.

Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x ∈ (−1; 1), i äëÿ x ∈ (−∞;−1)∪ (1,+∞)� ðîçáiãà¹òüñÿ. Ïðè x = ±1 ìàþòü áóòè äîäàòêîâi äîñëiäæåííÿ.Ïiäñòàâèìî x = 1 â çàäàíèé ðÿä i îòðèìà¹ìî òàêèé ÷èñëîâèé ðÿä:∞∑

n=0(n + 1), ÿêèé ¹ ÷èñëîâèì äîäàòíiì ðÿäîì iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì ó

âèãëÿäi un = (n + 1) > 0. Äëÿ íüîãî ìà¹ìî limn→∞

un = limn→∞

(n + 1) =+∞ 6= 0, òîáòî çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Ïiäñòàâèìî x = −1 â çàäàíèé ðÿä i îòðèìà¹ìî ðÿä:∞∑

n=0(n + 1) ·

(−1)n, ÿêèé ¹ ÷èñëîâèì çíàêîçìiííèì ðÿäîì. Òàê limn→∞

un = limn→∞

(n+

1) = +∞ 6= 0, i limn→∞

(−1)n(n+1) = ∞ 6= 0, òîáòî öåé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.Îòæå, ïðè x = ±1 çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Âiäïîâiäü: Îáëàñòþ çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó ¹ ïðîìiæîê (−1; 1).Ïðèêëàä 8. Çíàéòè ñóìó ðÿäó

∞∑n=0

(n + 1)xn

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Ó ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäi âæå çíàéäåíà îáëàñòü çáiæ-íîñòi çàäàíîãî ðÿäó. Îòæå, äëÿ x ∈ (−1; 1) iñíó¹ ñóìà öüîãî ðÿäó:

s(x) =∞∑

n=0

(n + 1)xn, x ∈ (−1; 1).

Ïðîiíòåãðó¹ìî öåé ðÿä íà iíòåðâàëi (−1; 1):∫

s(x)dx =∞∑

n=0

(n + 1)∫

xndx =∞∑

n=1

(n + 1)xn+1

n + 1+ C =

=∞∑

n=0

xn+1 + C = x + x2 + x3 + · · ·+ xn+1 + · · ·+ C.

Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàëè ñóìó ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷-íî¨ ïðîãðåñi¨, ó ÿêî¨ ïåðøèé ÷ëåí b1 = x i ìíîæíèê q = x, äëÿ ÿêîãî

29

|q| = |x| < 1. Çà ôîðìóëîþ ñóìè ÷ëåíiâ íåñêií÷åíî-ñïàäíî¨ ãåîìåò-ðè÷íî¨ ïðîãðåñi¨: s = b1

1−q îòðèìà¹ìî:∫

s(x)dx = x1−x + C, |x| < 1.

Ïðîäèôåðåíöiþ¹ìo îòðèìàíó ðiâíiñòü ïî x:(∫

s(x)dx

)′

x

=(

x

1− x+ C

)′

x

,

Îòæå

s(x) =x′(1− x)− x(1− x)′

(1− x)2=

1(1− x)2

, x ∈ (−1, 1).

Âiäïîâiäü: s(x) =∞∑

n=0(n + 1)xn = 1

(1−x)2 , x ∈ (−1; 1).

Ïðèêëàä 9. Çíàéòè îáëàñòü çáiæíîñòi ðÿäó∞∑

n=1

√n+13n (x + 3)n.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä ¹ ñòåïåíåâèì ðÿäîì, ÿêèé ìà¹ âèãëÿä∞∑

n=1an(x − x0)n, äå x0 = −3, an =

√n+13n , äëÿ n ∈ N. Òàêèé ðÿä çái-

ãà¹òüñÿ â iíòåðâàëi (x0−R;x0 +R), çîâíi iíòåðâàëà ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ,à â òî÷êàõ x0 = ±R íåîáõiäíi äîäàòêîâi äîñëiäæåííÿ.

Çíàéäåìî R � ðàäióñ iíòåðâàëà çáiæíîñòi çà ôîðìóëîþ

R = limn→∞

1n√|an|

= limn→∞

1n

√√n+13n

= limn→∞

3√n√

n + 1=

=∣∣∣ lim

n→∞n√

n + 1 = 1∣∣∣ = 3, R = 3.

Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ äëÿ x ∈ (−6, 0) ðîçáiãà¹òüñÿ äëÿ x ∈(−∞,−6) ∪ (0, +∞). Â òî÷êàõ x1 = 0 i x2 = −6 ïðîâåäåìî äîäàò-êîâi äîñëiäæåííÿ.

Ïiäñòàâèìî x1 = 0 ó çàäàíèé ðÿä i îòðèìà¹ìî ÷èñëîâèé äîäàò-íié ðÿä

∞∑n=1

√n + 1, iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì un =

√n + 1 > 0. Îñêiëüêè

limn→∞

un = limn→∞

√n + 1 = ∞ 6= 0, òî îòðèìàíèé ÷èñëîâèé ðÿä ðîç-

áiãà¹òüñÿ (íå âèêîíó¹òüñÿ íåîáõiäíà óìîâà çáiæíîñòi ðÿäó). Îòæå, âòî÷öi x1 = 0 çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

30

Ïiäñòàâèìî, x1 = −6 ó çàäàíèé ðÿä i îòðèìà¹ìî ÷èñëîâèé çíà-êîçìiííèé ðÿä

∞∑n=1

√n + 13n

(−3)n =∞∑

n=1

(−1)n

√n + 13n

3n =∞∑

n=1

(−1)n√

n + 1,

iç ìîäóëåì çàãàëüíîãî ÷ëåíà un =√

n + 1, òàêèì, ùî limn→∞

un 6= 0.Òàêèì ÷èíîì îòðèìàíèé ÷èñëîâèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ. Îòæå, â òî÷öix1 = −6 çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Âiäïîâiäü. Îáëàñòþ çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó ¹ iíòåðâàë (−6; 0).Ïðèêëàä 10. Çíàéòè ñóìó ðÿäó

∞∑n=0

x2n+1

2n + 1.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíèé ðÿä � öå íåïîâíèé ñòåïåíåâèé ðÿä, îñêiëü-êè a0 = a2 = a4 = a6 = · · · = a2n = · · · = 0, òîìó íå ìîæíà âèêîðè-ñòàòè ôîðìóëè äëÿ çíàõîäæåííÿ ðàäióñó R iíòåðâàëó çáiæíîñòi.

Ïðè x = 0 äàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìa s(0) = 1.Ñêëàäåìî ðÿä iç ìîäóëiâ ÷ëåíiâ âiäïîâiäíîãî ðÿäó i çàñòîñó¹ìî

îçíàêó Äàëàìáåðà:

limn→∞

|un+1(x)||un(x)| = lim

n→∞

|x|2n+3

2n+3

|x|2n+1

2n+1

= limn→∞

2n + 12n + 3

· |x|2 = [∞∞ ] =

= |x|2 limn→∞

n(2 + 1n )

n(2 + 3n )

= |x|2 = l(x).

Çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ àáñîëþòíî, ÿêùî l(x) = |x|2 < 1, òîáòî |x| <1, àáî x ∈ (−1; 1), i ðîçáiãà¹òüñÿ ÿêùî l(x) = |x|2 > 1, òîáòî |x| > 1,àáî x ∈ (−∞;−1) ∪ (1;+∞).

Ïðè x = ±1 ïðîâåäåìî äîäàòêîâi äîñëiäæåííÿ.Ïiäñòàâèìî x = 1 ó çàäàíèé ðÿä, îòðèìà¹ìî ÷èñëîâèé äîäàòíié

ðÿä∞∑

n=0

12n + 1

, (12)

31

iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì un = 12n+1 > 0.

Ïîðiâíÿ¹ìî ðÿä (12) ç iíøèì ÷èñëîâèì äîäàòíiì ðÿäîì∞∑

n=0

1n

, (13)

ÿêèé ðîçáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè öå ãàðìîíi÷íèé ðÿä iç p = 1.Çàñòîñó¹ìî òåîðåìó ïîðiâíÿííÿ â ãðàíè÷íié ôîðìi:

limn→∞

un

vn= lim

n→∞

12n+1

1n

= limn→∞

n

2n + 1=

= limn→∞

n

n(2 + 1n )

= limn→∞

12 + 1

n

=12, 0 <

12

< ∞.

Îñêiëüêè ðÿä (13) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî i ðÿä (12) ðîçáiãà¹òüñÿ. Îòæåó òî÷öi x = 1 çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.

Ïiäñòàâèìî x = −1 ó çàäàíèé ðÿä. Îòðèìà¹ìî ÷èñëîâèé ðÿä∞∑

n=0

(−1)2n+1

2n + 1=

∞∑n=0

−12n + 1

, (14)

ÿêèé ðîçáiãà¹òüñÿ, òîìó ùî îòðèìàíèé ìíîæåííÿì âñiõ ÷ëåíiâ ðîç-áiæíîãî ðÿäó (12) íà const = −1 6= 0, ùî íå âïëèâà¹ íà çáiæíiñòüðÿäó.

Ó òî÷öi x = −1 çàäàíèé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ. Îòæå îáëàñòü çáiæíîñòiçàäàíîãî ðÿäó iíòåðâàë (−1; 1).

Òàêèì ÷èíîì, ñóìà çàäàíîãî ðÿäó:

s(x) =∞∑

n=0

x2n+1

2n + 1(15)

iñíó¹ íà iíòåðâàëi (−1, 1).Ïðîäèôåðåíöiþ¹ìî ðÿä (15):

s′(x) =∞∑

n=0

(x2n+1

2n + 1

)′

x

=∞∑

n=0

12n + 1

(x2n+1)′x =

=∞∑

n=0

12n + 1

· (2n + 1) · x2n =∞∑

n=0

x2n =

= 1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n + · · · , |x| < 1.

32

Îòðèìàëè ñóìó ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðîãðåñi¨,äëÿ ÿêî¨ b1 = 1, q = x2, |q| = |x|2 < 1, òîáòî s′(x) = b1

1−q = 11−x2 .

Ïðîiíòåãðó¹ìî s′(x) íà iíòåðâàëi (−1; 1):

s(x) =∫

s′(x)dx =∫

dx

1− x2=

12

ln∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣ + C.

Îñêiëüêè s(0) = 0, òî 12 ln 1 + C = 0, òî C = 0.


n=0

x2n+1

2n+1 = 12 ln 1+x

1−x , x ∈ (−1; 1).Ïðèêëàä 11. Çíàéòè ñóìó ðÿäó

∞∑n=0

x2n

n + 1= 1 +

x2

2+

x4

3+ · · · .

Ðîçâ'ÿçàííÿ. 1) Çíàéäåìî îáëàñòü çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó. Îñêiëü-êè çàäàíèé ðÿä íå ¹ ïîâíèì ñòåïåíåâèì ðÿäîì, òî ïåðåïîçíà÷èìîx2 = t ≥ 0. Îòðèìàíèé ðÿä ìà¹ âèãëÿä

∞∑n=0

tn

n + 1(16)

i âií ¹ ïîâíèé ñòåïåíåâèé ðÿä iç çàãàëüíèì ÷ëåíîì an = 1n+1 > 0,

n ∈ N. Îá÷èñëèìî ðàäióñ çáiæíîñòi îòðèìàíîãî ðÿäó

R = limn→∞

1n√|an|

= limn→∞

1n

√1

n+1

= limn→∞

n√

n + 1 = 1.

Ðÿä (16) çáiãà¹òüñÿ, ÿêùî 0 < t < 1. À çàäàíèé ðÿä çáiãà¹òüñÿ,ÿêùî x ∈ (−1; 1).

Äîñëiäèìî çáiæíiñòü çàðÿäó íà êiíöÿõ iíòåðâàëó.Ïðè x = ±1 iç çàäàíîãî ðÿäó îòðèìà¹ìî ðÿä:

∞∑n=0

1n+1 = 1+ 1

2 +· · · ,ÿêèé ðîçáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè öå ãàðìîíi÷íèé ðÿä. Îòæå çàäàíèé ðÿäçáiãà¹òüñÿ, ÿêùî |x| < 1, àáî x ∈ (−1; 1).

2) Òîìó iñíó¹ ñóìà çàäàíîãî ðÿäó :

s(x) =∞∑

n=0

x2n

n + 1

33

íà iíòåðâàëi x ∈ (−1; 1). Ïîçíà÷èìî

s(1)(x) := x2 · s(x) =∞∑

n=0

x2n+2

n + 1, x ∈ (−1; 1), x 6= 0.

Äèôåðåíöiþ¹ìî îòðèìàíèé ñòåïåíåâèé ðÿä:(

s(1)(x))′

x

=∞∑

n=0

1n + 1

(x2n+2)′x =∞∑

n=0

1n + 1

· (2n + 2)x2n+1 =

=∞∑

n=0

2(n + 1)n + 1

(x2n+1) = 2∞∑

n=0

x2n+1 = 2(x + x3 + x5 + · · · ),

äëÿ x ∈ (−1; 1), x 6= 0.Îòðèìà¹ìî ñóìó ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðî-

ãðåñi¨, äå b1 = x, q = x2, |q| = |x|2 < 1, òîáòî s = b11−q = x

1−x2 . Îòæå(

s(1)(x))′

x

= 2 · x1−x2 , x ∈ (−1; 1), x 6= 0.

Iíòåãðó¹ìî öå ðiâíÿííÿ íà iíòåðâàëi (−1; 1):∫ (

s(1)(x))′

x

dx = 2∫

xdx

1− x2= −

∫d(1− x2)1− x2

= − ln(1− x2) + C.

Îñêiëüêè s(1)(0) = 0, òî C = 0 i îòæå

s(1)(x) = − ln(1− x2), x ∈ (−1; 1), x 6= 0.

Îñêiëüêè s(1)(x) = x2 ·s(x) = − ln(1−x2), òî çâiäñè: s(x) = − ln(1−x2)x2 ,

x ∈ (−1; 1), x 6= 0.Îñêiëüêè ïðè x = 0 âñi ÷ëåíè (çà âèíÿòêîì ïåðøîãî) çàäàíîãî

ðÿäó un(0) = 0n+1 = 0, òî s(0) = 1.

Çîêðåìà, ç iíøîãî áîêó òàêîæ ìîæíà îòðèìàòè:

limx→0

− ln(1− x2)x2

= 1.


n=0

x2n

n+1 =

{− ln(1−x2)

x2 ïðè x ∈ (−1; 1), x 6= 0,1 ïðè x = 0.

34

Ïðèêëàä 12. Çíàéòè ñóìó ðÿäó∞∑

n=1

xn

n. (17)

Ðîçâ'ÿçàííÿ. 1) Çíàéäåìî îáëàñòü çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó. Çà-ãàëüíèé ÷ëåí ðÿäó an = 1

n > 0 ïðè n ∈ N. Çíàõîäèìî ðàäióñ çáiæ-íîñòi çàäàíîãî ðÿäó R = lim

n→∞1

n√|an|

= limn→∞

n√

n = 1. Îòæå, çàäàíèéðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x ∈ (−1; 1).

Äîñëiäèìî çáiæíiñòü íà êiíöÿõ iíòåðâàëó. Ïiäñòàâèìî x = 1 âçàäàíèé ðÿä, îòðèìà¹ìî ðÿä

∞∑n=1

1n , ÿêèé ðîçáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè öå

ãàðìîíi÷íèé ðÿä. Ïiäñòàâèìî x = −1 ó çàäàíèé ðÿä, îòðèìà¹ìî ðÿä∞∑

n=1

(−1)n

n. (18)

ÿêèé ¹ ÷èñëîâèì çíàêîçìiííèì ðÿäîì. Ðÿä iç ìîäóëiâ ÷ëåíiâ ðÿäó(18) áóäå ðÿä (17), ÿêèé ðîçáiãà¹òüñÿ. Äî ðÿäó (18) çàñòîñó¹ìî òåî-ðåìó Ëåéáíiöà:

1) un > un+1, îñêiëüêè 1n > 1

n+1 ;2) lim

n→∞un = lim

n→∞1n = 0.

Çà òåîðåìîþ Ëåéáíiöà ðÿä (18) çáiãà¹òüñÿ, à îñêiëüêè ðÿä (17) içìîäóëåé ÷ëåíiâ ðÿäó (18) ðîçáiãà¹òüñÿ, òî ðÿä (18) çáiãà¹òüñÿ óìîâíî.

Îáëàñòü çáiæíîñòi çàäàíîãî ðÿäó [−1; 1).2) Òîäi ñóìà çàäàíîãî ðÿäó s(x) =

∞∑n=1

xn

n äëÿ x ∈ [−1; 1). Ïðîäè-ôåðåíöiþ¹ìî öåé ñòåïåíåâèé ðÿä íà iíòåðâàëi (−1; 1):

s′(x) =∞∑

n=1

(xn

n

)′

x

=∞∑

n=1

1n

(xn)′x =∞∑

n=1

1n· nxn−1 =

=∞∑

n=1

xn−1 = 1 + x + x2 + · · ·+ xn−1 + · · · .

Çà ôîðìóëîþ äëÿ ñóìè ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ïðîãðåñi¨ s = b1

1−q , b1 = 1, q = x, |q| = |x| < 1 îòðèìà¹ìî: s′(x) =

35

11−x , x ∈ (−1; 1). Çâiäñè:

s(x) =∫

s′(x)dx =∫

dx

1− x= − ln(1− x) + C.

Îñêiëüêè s(0) = 0, òî C = 0, îòæå s(x) = − ln(1− x), x ∈ (−1, 1).Âèêîðèñòà¹ìî âëàñòèâiñü íåïåðåðâíîñòi ñóìè ñòåïåíåâîãî ðÿäó.

Ôóíêöiÿ íåïåðåðâíà â îáëàñòi çáiæíîñòi [−1; 1), òîäi

s(−1) = limx→−1+0

s(x) = limx→−1+0

(− ln(1− x)) = − limx→−1+0

ln(1− x) = − ln 2.


n=1

xn

n = − ln(1− x), x ∈ [−1; 1).

� 2.6. Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿÇíàéòè îáëàñòi çáiæíîñòi ðÿäiâ:

1)∞∑

n=0

sin nxn2+1 ; 2)

∞∑n=1

lnn x; 3)∞∑

n=0

11+xn ; 4)

∞∑n=1

xn tg x2n ; 5)

∞∑n=1

10n · xn;

6)∞∑

n=1

ln(n+1)n+1 xn+1.

Çíàéòè ñóìó ðÿäiâ:7)

∞∑n=1

x4n−1

4n−1 ; 8)∞∑

n=1(−1)n+1 xn+1

n(n+1) ; 9)∞∑

n=1n · xn; 10)

∞∑n=1

(−1)n xn+1

n .

Âiäïîâiäi: 1) (−∞; +∞); 2)( 1e ; e); 3)(−∞;−1)∪(1, +∞); 4)(−2; 2);

5)(− 110 ; 1

10 ); 6)[−1; 1). 7)14 ln 1+x

1−x − 12 arctg x; 8)(x + 1) ln(x + 1)− x;

9) x(1−x)2 ; 10)− x ln(1 + x).

� 2.7. Ðÿäè Òåéëîðà i Ìàêëîðåíàßêùî ôóíêöiÿ f(x) ¹ íåïåðåðâíîþ ðàçîì çi ñâî¨ìè ïîõiäíèìè

äî n-ãî ïîðÿäêó âêëþ÷íî íà âiäðiçêó [a, b], à â iíòåðâàëi (a, b) ìà¹ïîõiäíó n+1-ãî ïîðÿäêó, òî ∀x ∈ [a, b] âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü (ôîðìóëàÒåéëîðà)

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f′′(x0)2!

(x− x0)2 + · · ·+

+fn(x0)

n!(x− x0)n + Rn(x),

36

äå Rn(x) = f(n+1)(c)(n+1)! (x−x0)n+1 � äîäàòêîâèé ÷ëåí ó ôîðìóëi Ëàãðàí-

æà, c = x0 + θ(x− x0), 0 < θ < 1.ßêùî ôóíêöiÿ f(x) ìà¹ ïîõiäíi áóäü-ÿêîãî ïîðÿäêó ó òî÷öi x0 òà

¨¨ îêîëi, òî iç ôîðìóëè Òåéëîðà ìîæíà îòðèìàòè ðÿä çà ñòåïåíÿìè(x− x0), ÿêèé ìà¹ âèãëÿä:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f′′(x0)2!

(x− x0)2 + · · ·+

+fn(x0)

n!(x− x0)n + · · · =

∞∑n=0

fn(x0)n!

(x− x0)n,

(19)

Öåé ñòåïåíåâèé ðÿä íàçèâà¹òüñÿ ðÿäîì Òåéëîðà.ßêùî ïîêëàñòè x0 = 0, òî iç ðÿäó Òåéëîðà îòðèìó¹ìî ðÿä Ìà-

êëîðåíà.

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f′′(0)2!

x2 + · · ·+ fn(0)n!

xn + · · ·+ =

=∞∑

n=0

fn(0)n!

xn.

Çàóâàæåííÿ.1) ßêùî ôóíêöiÿ f(x) ìà¹ ïîõiäíó áóäü-ÿêîãî ïîðÿäêó ó òî÷öi x0

òà ¨¨ îêîëi (íåîáõiäíà óìîâà), òî äëÿ íå¨ ôîðìàëüíî ìîæíà çàïèñàòèðÿä Òåéëîðà, àëå öåé ðÿä ìîæå áóäè ðîçáiæíèì, àáî éîãî s(x) ìîæåíå äîðiâíþâàòè ôóíêöi¨ f(x).

2) Äëÿ òîãî, ùîá ðÿä Òåéëîðà (19) ôóíêöi¨ f(x) çáiãàâñÿ äî ñàìî¨ôóíêöi¨ f(x) ó òî÷öi x, íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá ó òî÷öi x:

limn→∞

Rn(x) = 0.

3) ßêùî âèêîíó¹òüñÿ óìîâà: |f (n)(x)| < M ïðè n ∈ N äëÿ áóäü-ÿêîãî x iç îêîëó òî÷êè x0, òî ðÿä Òåéëîðà çáiãà¹òüñÿ äî ôóíêöi¨ f(x)â îêîëi òî÷êè x0 òà ìà¹ ìiñöå ðîçêëàä (19). Öå ¹ äîñòàòíÿ óìîâàðîçêëàäó ôóíêöi¨ ó ðÿä Òåéëîðà.

Âèêîðèñòîâóþ÷è çàóâàæåííÿ 2) i 3), ìîæíà îòðèìàòè ðîçêëàääåÿêèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêöié ó ðÿä Ìàêëîðåíà:

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!, x ∈ (∞; +∞); (20)

37

sin x = x− x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ · · · =

=∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!, x ∈ (∞; +∞);

(21)

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ · · · =

=∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!, x ∈ (∞; +∞);

(22)

(1 + x)α =1 +α

1!x +

α(α− 1)2!

x2 + · · ·+

+α(α− 1)(α− 2) · · · (α− n + 1)

n!xn + · · · =

=1 +∞∑

n=0

(−1)n α(α− 1)(α− 2)(α− n + 1)n!

xn,

(23)

x ∈

[−1; 1] ïðè α ≥ 0,(−1; 1] ïðè − 1 < α < 0,(−1; 1) ïðè α ≤ −1.

Ðÿä (23) íàçèâàþòü áiíîìiàëüíèì ðÿäîì.Ïðè α = −1 iç ðÿäó (23) îòðèìà¹ìî ðÿä:

11 + x

= 1− x + x2 + · · ·+ (−1)nxn + · · · =

=∞∑

n=0

(−1)nxn, x ∈ (−1; 1).(24)

Ðÿä (24) ¹ ñóìîþ ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðî-ãðåñi¨, ó ÿêî¨ ïåðøèé ÷ëåí b = 1 i çíàìåííèê q = −x, |q| = |x| < 1.Cóìà ÷ëåíiâ òàêî¨ ïðîãðåñi¨ s = b

1−q = 11−(−x) = 1

1+x . Çàìiíèìî â ðÿäi(24) âåëè÷èíó x íà (−x):

11− x

= 1 + x + x2 + · · ·+ xn + · · · =∞∑

n=0

xn, x ∈ (−1; 1). (25)

38

Ðÿä (25) ¹ òàêîæ ñóìîþ ÷ëåíiâ íåñêií÷åííî ñïàäíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ïðîãðåñi¨, ó ÿêî¨ b1 = 1, q = x, |q| = |x| < 1.

Ïðîiíòåãðóâàâøè ñòåïåíåâi ðÿäè (24) i (25) íà iíòåðâàëi (−1; 1) iäîñëiäèâøè öi ðÿäè ó òî÷êàõ x1 = −1, x2 = 1, îòðèìà¹ìî ðÿäè

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n xn+1

n + 1+ · · · =

=∞∑

n=0

(−1)n xn+1

n + 1, x ∈ (−1; 1);

(26)

ln(1− x) = −x− x2

2− x3

3− · · · − xn+1

n + 1− · · · =

= −∞∑

n=0

xn+1

n + 1, x ∈ (−1; 1).

(27)

Òàêîæ, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâiñòü iíòåãðóâàííÿ ðÿäiâ (24) i (25),îòðèìà¹ìî ðÿäè:

arctg x = x− x3

3+

x5

5− · · ·+ (−1)n x2n+1

n + 1+ · · · =

=∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

n + 1, x ∈ [−1, 1];

(28)

arcsin x =x +12· x3

3+

1 · 32 · 4

x5

5+

1 · 3 · 52 · 4 · 6

x7

7+ · · ·+

+1 · 3 · 5 · · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · · (2n)x2n+1

2n + 1+ · · · =

=∞∑

n=0

(−1)n (2n− 1)!!(2n)!!

x2n+1

2n + 1, x ∈ [−1; 1];

(29)

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+ · · · x2n+1

(2n + 1)!+ · · · =

=∞∑

n=0

x2n+1

(2n + 1)!, x ∈ (−∞; +∞);

(30)

39

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!· · · x2n

(2n)!+ · · · =

=∞∑

n=0

x2n

(2n)!, x ∈ (−∞; +∞).

(31)

� 2.8. Çàñòîñóâàííÿ ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ2.8.1. Ðîçêëàä ôóíêöié â ñòåïåíåâèé ðÿä

Ïðèêëàä 13. Ðîçêëàñòè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè x çàäàíó ôóíêöiþf(x) = ln(−12x2 − x + 1).

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Êîðåíi ðiâíÿííÿ −12x2 − x + 1 = 0, ¹ x1 = 14 ; x2 =

− 13 . Îòæå ìà¹ìî ðîçêëàä −12x2−x+1 = −12(x− 1

4 )(x+ 13 ) = −(4x−

1)(3x + 1). Ôóíêöiÿ f(x) = ln((1 − 4x)(3x + 1)) âèçíà÷åíà äëÿ x ∈(− 1

3 ; 14 )

Çà âëàñòèâiñòþ ëîãàðèôìà ìà¹ìî:

f(x) = ln(1− 4x) + ln(1 + 3x). (32)

Ó ðÿäi (27) çàìiíèìî x íà (4x), à ó ðÿäi (26) çàìiíèìî x íà (3x),îòðèìà¹ìî:

ln(1− 4x) = −(4x)− (4x)2

2− (4x)3

3− · · · − (4x)n+1

n + 1+ · · · , (33)

äå −1 < 4x < 1, òîáòî − 14 < x < 1

4 ;

ln(1 + 3x) = (3x)− (3x)2

2+

(3x)3

3+ · · ·+ (−1)n (3x)n+1

n + 1+ · · · , (34)

äå −1 < 3x < 1, òîáòî − 13 < x < 1

3 .Âðàõîâóþ÷è îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêöi¨ f(x) = ln(−12x2−x+1)

i îáëàñòü çáiæíîñòi ðÿäiâ (33) i (34), iç (32) îòðèìà¹ìî:

f(x) = ln(−12x2 − x + 1) = ln(1− 4x) + ln(1 + 3x) =

=(−4x + 3x) + (−42

2x2 − 32

2x2) + (−43

3x3 +

33

3x3) + · · ·+

+(− 4n+1

n + 1xn+1 + (−1)n 3n+1

n + 1xn+1

)+ · · · , x ∈ (−1

4;14).

40

Âiäïîâiäü: ln(−12x2 − x + 1) = −x− 42+32

2 x2 − 43−33

3 x3 − · · ·− 4n+1−(−1)n3n+1

n+1 xn+1 + · · · = −∞∑

n=0

4n+1−(−1)n3n+1

n+1 xn+1, x ∈ (− 14 ; 1

4 ).Ïðèêëàä 14. Ðîçêëàñòè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè x ôóíêöiþ

f(x) =2x + 1

x2 − 5x− 6.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Êîðåíÿìè ðiâíÿííÿ x2−5x−6 = 0 ¹ x1 = −1, x2 = 6,òîìó ìà¹ìî ðîçêëàä x2 − 5x− 6 = (x + 1)(x− 6). Ðîçêëàäåìî äðiá óñóìó åëåìåíòàðíèõ äðîáiâ:

2x + 1x2 − 5x + 6

=2x + 1

(x + 1)(x− 6)=

A

x + 1+

B

x− 6;

2x + 1 = A(x− 6) + B(x + 1);

x1 A + B = 2,x0 −6A + B = 1.

Ðîçâ'ÿçóþ÷è îñòàííþ ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü ç äâîìà íåâiäîìèìè, îò-ðèìó¹ìî: A = 1

7 , B = 137 . Òîìó:

f(x) =17· 1x + 1

+137· 1x− 6

=17· 11 + x

− 1342· 11− x

6

. (35)

Ç ôîðìóëè (24) ìà¹ìî

11 + x

=∞∑

n=0

(−1)nxn, x ∈ (−1; 1). (36)

Ó ôîðìóëi (25) çàìiíèìî x íà x6 :

11− x

6

=∞∑

n=0

(x

6

)n

=∞∑

n=0

xn

6n, x ∈ (−6, 6). (37)

Ðÿäè (36) i (37) çáiãàþòüñÿ äëÿ x ∈ (−1; 1), îñêiëüêè (−1; 1) ⊂ (−6; 6).

41

Ïiäñòàâèìî (36) i (37) ó (35):

f(x) =2x + 1

x2 − 5x− 6=

17

∞∑n=0

(−1)nxn − 1342

∞∑n=0

xn

6n=

=17

∞∑n=0

((−1)n − 13

6n+1

)xn, x ∈ (−1; 1).

Âiäïîâiäü: 2x+1x2−5x−6 = 1

7

∑∞n=0

(−1)n6n+1−136n+1 xn, x ∈ (−1; 1).

2.8.2. Îá÷èñëåííÿ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ ôóíêöi¨Ïðèêëàä 15. Îá÷èñëèòè sin 10◦ ç òî÷íiñòþ äî 0,001.Ðîçâ'ÿçàííÿ. Îñêiëüêè 10◦ = π

18 ðàäiàí, òî sin 10◦ = sin π18 . Çàïè-

øåìî ðÿä (21) äëÿ x = π18 :

sinπ

18=

π

18− π3

1833!+

π5

1855!− π7

1877!+ · · ·+ (−1)n π2n+1

(2n + 1)!+ · · · .

Òàêèì ÷èíîì îòðèìàëè ÷èñëîâèé çíàêîçìiííèé ðÿä, ÿêèé çàäîâîëü-íÿ¹ óìîâè òåîðåìè Ëåéáíiöà.

1) Äëÿ âñiõ ÷ëåíiâ ðÿäó âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü un > un+1. Äiéñíîπ2n+1

(2n+1)! > π2n+3

(2n+3)! , îñêiëüêè 1 < π2

(2n+2)(2n+3) äëÿ n ∈ N ìà¹ìî î÷åâèäíóíåðiâíiñòü;

2) limn→∞

un = 0.Îòæå öåé ðÿä çáiãà¹òüñÿ.Âèêîðèñòà¹ìî íàñëiäîê iç òåîðåìè Ëåéáíiöà: ÿêùî ñóìó ðÿäó s

çàìiíèòè ÷àñòêîâîþ ñóìîþ ðÿäó sn, òîäi ïîõèáêà δ < un+1.Çíàéäåìî òàêèé íàéìåíøèé íîìåð n, ùî δ < un+1 < 0, 001. Îñêiëü-

êè u1 = π18 ≈ 3,1416

18 ≈ 0, 1745 > 0, 001. u2 = π3

1833! <(

π18

)3 · 16 ≈

0, 0009 < 0, 001, òî âñi ÷ëåíè ïî÷èíàþ÷è ç u2 ìîæíà âiäêèíóòè, òîá-òî s ≈ s1 = u1.

Âiäïîâiäü: sin 10◦ = sin π18 ≈ 0, 1745 ≈ 0, 175 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

Ïðèêëàä 16. Îá÷èñëèòè ÷èñëî e ç òî÷íiñòþ äî 0,01, âèêîðèñòî-âóþ÷è ðîçêëàä â ðÿä åêñïîíåíöiéíî¨ ôóíêöi¨.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàïèøåìî ðÿä (20) ç x = 1:

e = 1 +11!

+12!

+13!

+ · · ·+ 1n!

+ · · ·

42

Îòðèìàíèé ÷èñëîâèé ðÿä ¹ çáiæíèì. Éîãî ñóìà s = e = sn + rn.ßêùî s = e ≈ sn = 1+ 1

1! +12! + · · ·+ 1

n! , òîäi ïîõèáêà δ = rn. Çíàéäåìîòàêèé íîìåð n, ùî

δ = rn =1

(n + 1)!+

1(n + 2)!

+1

(n + 3)!+ · · · < 0, 01.

Çâiäñè:

δ =1

(n + 1)!

(1 +

1n + 2

+1

(n + 2)(n + 3)+ · · ·

)<

<1

(n + 1)!

(1 +

1n + 1

+1

(n + 1)2+ · · ·

)=

=1

(n + 1)!· 11− 1

n+1

=1

(n + 1)!· n + 1

n=

1n! · n,

òîáòî rn = δ < 1n!n . Çíàéäåìî òàêèé íàéìåíøèé íîìåð n, ùîá 1

n!n <0, 01: äëÿ n = 4 ìà¹ìî 1

4!4 = 124·4 = 1

96 > 0, 01, àëå äëÿ n = 5 âæåìà¹ìî u5 < 1

5!5 = 1120·5 < 0, 01. Òàêèì ÷èíîì

s = e ≈ s5 = 1 +11!

+12!

+13!

+14!≈

= 1, 000 + 1, 000 + 0, 500 + 0, 167 + 0, 041 = 2, 708 ≈ 2, 71.

Âiäïîâiäü: e ≈ 2, 71 ç òî÷íiñòþ äî 0,01.

2.8.3. Íàáëèæåíå îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ iíòåãðàëiâ

Ïðèêëàä 17. Îá÷èñëèòè1∫0

e−x2dx ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàïèøåìî ðÿä (20) çàìiíèâøè x íà (−x2):

e−x2= 1 +

(−x2)1!

+(−x2)2

2!+

(−x2)3

3!+ · · ·+ (−x2)n

n!+ · · · ,

òîáòî

e−x2= 1− x2

1!+

x4

2!− x6

3!+ · · ·+ (−1)n x2n

n!+ · · · , x ∈ R.

43

Ïðîiíòåãðó¹ìî çàïèñàíèé ñòåïåíåâèé ðÿä íà âiäðiçêó [0, 1], ÿêèéëåæèòü âñåðåäèíi îáëàñòi çáiæíîñòi:

1∫

0

e−x2dx =

1∫

0

dx−1∫

0

x2

1!dx +

1∫

0

x4

2!dx−

1∫

0

x6

3!dx +

1∫

0

x8

4!dx−

−1∫

0

x10

5!dx +

1∫

0

x12

6!dx− · · ·+ (−1)n

1∫

0

x2n

n!dx + · · · ,

çâiäêè1∫

0

e−x2dx = x

∣∣∣∣1

0

− x3

3

∣∣∣∣1

0

+12· x5

5

∣∣∣∣1

0

−16

x7

7

∣∣∣∣1

0

+124

x9

9

∣∣∣∣1

0

−

− 1120

· x11

11

∣∣∣∣1

0

+1

720· x13

13

∣∣∣∣1

0

− · · · .

Òàêèì ÷èíîì:1∫

0

e−x2dx = 1− 1

3+

110− 1

42+

1216

− 11320

+1

9360− · · · .

Îòðèìàíèé çíàêîçìiííèé ðÿä ¹ çáiæíèì, îñêiëüêè çàäîâîëüíÿ¹ óìî-âè òåîðåìè Ëåéáíiöà. (Ïåðåâiðèòè ñàìîñòiéíî âèêîíàííÿ öèõ óìîâäëÿ îòðèìàíîãî ðÿäó, â ÿêîìó ââàæà¹ìî u1 = 1). Iç íàñëiäêó òåîðåìèËåéáíiöà âèïëèâà¹, ùî ïðè s ≈ sn ïîõèáêà δ < un+1. Çíàéäåìî òàêèéíàéìåíøèé íîìåð n, ùîá un+1 < 0, 001. Îñêiëüêè u5 = 1

216 > 0, 001,àëå âæå u6 = 1

1320 < 0, 001, òîäi

1∫

0

e−x2dx ≈ s5 = 1− 1

3+

110− 1

42+

1216

≈

≈ 1, 0000− 0, 3333 + 0, 1000− 0, 0238 + 0, 0046 ≈≈ 0, 7475 ≈ 0, 748.

Âiäïîâiäü:1∫0

e−x2dx ≈ 0, 748 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

44

Ïðèêëàä 18. Îá÷èñëèòè12∫0

dx√1+x3 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

Ðîçâ'ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî ïiäiíòåãðàëüíó ôóíêöiþ f(x) = (1 +x3)−

12 â ðÿä Ìàêîðåíà çàìiíèâøè ó ðÿäi (23) çìiííó x íà x3 ç α =

− 12 :

f(x) = (1 + x3)−12 =

= 1 +− 1

2

1!x3 +

− 12 (− 1

2 − 1)2!

x6 +− 1

2 (− 12 − 1)(− 1

2 − 2)3!

x9 + · · · == 1− 1

2x3 +

1 · 34 · 2!

x6 − 1 · 3 · 58 · 3!

x9 + · · · , −1 < x < 1,

Ïðîiíòåãðó¹ìî îòðèìàíèé ñòåïåíåâèé ðÿä íà âiäðiçêó [0; 12 ], ÿêèé ëå-

æèòü âñåðåäèíi îáëàñòi çáiæíîñòi.12∫

0

dx√1 + x3

=

12∫

0

1dx− 12

12∫

0

x3dx +38

12∫

0

x6dx− 1548

12∫

0

x9dx + . . . =

= x

∣∣∣∣12

0

−12· x4

4

∣∣∣∣12

0

+38· x7

7

∣∣∣∣12

0

− 516· x10

10

∣∣∣∣12

0

+ . . . =

=12− 1

2 · 4 · 24+

38 · 7 · 27

− 516 · 10 · 210

+ . . .

Îòðèìàíèé çíàêîçìiííèé ðÿä ¹ çáiæíèì i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè òåî-ðåìè Ëåéáíiöà:

1) ÷ëåíè ðÿäó ñïàäàþòü çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ;2) lim

n→∞un = 0.

Iç íàñëiäêó äî òåîðåìè Ëåéáíiöà äiñòà¹ìî äëÿ s ≈ sn, iç ïîõèáêîþδ < un+1.

Çíàéäåìî òàêèé íàéìåíøèé íîìåð n, ùîá un+1 < δ < 0, 001.Îñêiëüêè u2 = 1

2·4·24 = 127 = 1

128 ≈ 0, 0078 > 0, 001; u3 = 32·7·27 =

314·128 = 3

1792 ≈ 0, 0017 > 0, 001; u4 = 516·10·210 = 5

160·1024 = 5163840 ≈

0, 00003 < 0, 001, òî12∫

0

dx√1 + x4

≈12− 1

280+

31792

≈

≈ 0, 5000− 0, 0078 + 0, 0017 ≈ 0, 494.

45

Âiäïîâiäü:12∫0

dx√1+x3 ≈ 0, 494 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

Ïðèêëàä 19. Îá÷èñëèòè iíòåãðàë0,4∫0

e−3x24 dx ç òî÷íiñòþ äî ε =

0, 001.Ðîçâ'ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî ïiäiíòåãðàëüíó ôóíêöiþ f(x) = e−

3x24 â

ðÿä, ïîêëàâøè − 3x2

4 çàìiñòü x ó âiäîìîìó ðÿäi (20):

e−3x24 = 1− 3x2

4+

12!

(−3x2

4

)2

+13!

(−3x2

4

)3

+ · · ·+

+(−1)n

n!

(−3x2

4

)n

+ · · · =

= 1− 34x2 +

12!

32

42x4 − 1

3!33

43x6 + · · ·+ (−1)n

n!3n

4nx2n + · · · .

Ïðîiíòåãðó¹ìî öåé ðÿä íà âiäðiçêó [0; 0, 4], ÿêèé íàëåæèòü îáëàñòiçáiæíîñòi ðÿäó.

0,4∫

0

e−3x24 dx =

0,4∫

0

dx− 34

0,4∫

0

x2 dx +12!

32

42

0,4∫

0

x4 dx− 13!

33

43

0,4∫

0

x6 dx +

+ · · ·+ (−1)n

n!3n

4n

0,4∫

0

x2n dx + · · · =

= x

∣∣∣∣0,4

0

− 34

13x3

∣∣∣∣0,4

0

+12!

32

42

15x5

∣∣∣∣0,4

0

− 13!

33

43

17x7

∣∣∣∣0,4

0

+

+ · · ·+ (−1)n

n!3n

4n

12n + 1

x2n+1

∣∣∣∣0,4

0

+ · · · =

= +25− 2

53+

95 · 55

− 9 · 27 · 57

+ · · ·

Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàëè ÷èñëîâèé çíàêîçìiííèé ðÿä, ÿêèé çàäî-âîëüíÿ¹ óìîâè òåîðåìè Ëåéáíiöà.

Çà íàñëiäêîì iç òåîðåìè Ëåéáíiöà, äëÿ s ≈ sn, ïîõèáêà r ≤ un+1.Îá÷èñëèìî âiäïîâiäíèé íîìåð n. Îñêiëüêè u1 = 2

5 > 0, 001; u2 =

46

253 = 2

125 > 0, 001; u3 = 956 = 9

15625 < 0, 001, òî0,4∫

0

e−3x24 dx ≈

25− 2

53≈ 0, 384.

Âiäïîâiäü.0,4∫0

e−3x24 dx ≈ 0, 384, ç òî÷íiñòþ 0, 001.

2.8.4. Íàáëèæåíå iíòåãðóâàííÿ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíüçà äîïîìîãîþ ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ

Íàáëèæåíî iíòåãðóâàòè ìîæíà ðiâíÿííÿ, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìî-âè, íàïðèêëàä, òàêî¨ òåîðåìè.

Teoðåìà 1. ßêùî ó äèôåðåíöiàëüíîìó ðiâíÿííi

p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = f(x) (38)

ôóíêöi¨ p(x), q(x), r(x) i f(x) ¹ àíàëiòè÷íèìè â îêîëi òî÷êè x0 ip(x0) 6= 0, òî òîäi iñíó¹ ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (38) â îêîëi òî÷êè x0 óâèãëÿäi ðÿäó

y(x) =∞∑

k=0

ck(x− x0)k =∞∑

k=0

y(k)(x0)k!

(x− x0)k.

I ñïîñiá � ñïîñiá ïîñëiäîâíîãî äèôåðåíöiþâàííÿ.Ïðèêëàä 20. Çíàéòè ÷îòèðè íåíóëüîâi ÷ëåíè ðîçêëàäàííÿ â ñòå-

ïåíåâèé ðÿä ðîçâ'ÿçêó äèôåðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ y′′−xy = e−3x, ÿêùî

y(0) = 0, y′(0) = 2.Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíå äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè

òåîðåìè 1. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçâ'ÿçêó çàäàíî¨ çàäà÷i Êîøi øóêà¹ìîíåâiäîìó ôóíêöiþ y = y(x) ó âèãëÿäi ðÿäó Ìàêëàðåíà:

y = y(0) +y′(0)1!

x +y′′(0)2!

x2 +y′′′

(0)3!

x3 +y4(0)

4!x4 + · · · . (39)

Âèêîðèñòîâóþ÷è çàäàíå ðiâíÿííÿ

y′′

= xy + e−3x, (40)

47

ìà¹ìî y′′(0) = 0·0+e−3·0 = 0+1 = 1. Îòæå y

′′(0) = 1. Äèôåðåíöiþ¹ìî

(40) ïî x:

y′′′

= (y′′)′x = (xy + e−3x)′x = y + xy′ − 3 · e−3x. (41)

Çâiäêè îòðèìó¹ìî: y′′′

(0) = 0 + 0 · 2− 3e−3·0 = −3. Îòæå y′′′

(0) = −3.Äèôåðåíöiþ¹ìî (41) ïî x

y(IV ) = (y′′′

)′x = (y + xy′ − 3e−3x)′x = 2y′ + x · y′′ + 9e−3x.

Çâiäñè: y(IV )(0) = 2 ·2+0 ·1+9e−3·0 = 4+9 = 13. Îòæå y(IV )(0) = 13.Ïiäñòàâèìî çíà÷åííÿ y(0) = 0, y′(0) = 2, y

′′(0) = 1, y

′′′(0) = −3,

y(IV )(0) = 13 â ðÿä (39):

y = 0 +21!

x +12!

x2 +−33!

x3 +134!

x4 + · · ·

Âiäïîâiäü: y ≈ 2x + 12x2 − 1

2x3 + 1324x4.

II ñïîñiá � ñïîñiá íåâèçíà÷åíèõ êîåôiöi¹íòiâßêùî çàäàíå äèôåðåíöiéíå ðiâíÿííÿ ëiíiéíå, à ïðàâó ÷àñòèíó ðiâ-

íÿííÿ ðîçêëàäåíî â ñòåïåíåâèé ðÿä, òî çðó÷íî çàñòîñóâàòè ìåòîäíåâèçíà÷åíèõ êîåôiöi¹íòiâ.

Ïðèêëàä 21. Çíàéòè ÷îòèðè íåíóëüîâi ÷ëåíè ðîçêëàäó â ñòåïå-íåâèé ðÿä ðîçâ'ÿçêó äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ:

y′′ − x2y′ + 5y = x sin x,

ÿêùî y(0) = 0, y′(0) = 1.Ðîçâ'ÿçàííÿ. Çàäàíå äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ çàäîâîëüíÿ¹ óìî-

âè òåîðåìè 1. Ðîçâ'ÿçîê çàäàíî¨ çàäà÷i Êîøi øóêàòèìåìî ó âèãëÿäiñòåïåíåâîãî ðÿäó

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + a4x4 + a5x

5 + a6x6 + · · · (42)

Çâiäñè:

y′ = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x

3 + 5a5x4 + 6a6x

5 + · · ·y′′

= 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x

3 + 30a6x4 + · · ·

f(x) = x · sinx = x

(x− x3

3!+

x5

5!− · · ·

)= x2 − x4

3!+

x6

5!− · · ·

48

Ïiäñòàâèìî îòðèìàíi ðÿäè â çàäàíå äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ:

2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x

3 + 30a6x4 + · · ·

− a1x2 − 2a2x

3 − 3a3x4 − 4a4x

5 − 5a5x6 − 6a6x

8 + · · ·+ 5a0 + 5a1x + 5a2x

2 + 5a3x3 + 5a4x

4 + 5a5x5 + 5a6x

6 + · · · == x2 − x4

3!+

x6

5!− · · · .

Ïðèðiâíþ¹ìî êîåôiöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x iç ëiâî¨ i ïðàâî¨÷àñòèíè:

x0 : 2a2 + 5a0 = 0, îñêiëüêè a0 = y(0) = 0 ç óìîâè, òîäi 2a2 = 0,a2 = 0;

x: 6a3 + 5a1 = 0, îñêiëüêè a1 = y′(0) = 1, òîäi 6a3 + 5 · 1 = 0,a3 = − 5

6 ;x2 : 12a4 − a1 + 5a2 = 1, çâiäêè: 12a4 = 2, a4 = 1

6 ;x3 : 20a5 − 2a2 + 5a3 = 0, a5 = 5

24 ;x4 : 30a6 − 3a3 + 5a4 = − 1

6 , 30a6 + 52 + 5

6 = − 16 , a6 = − 7

60 .Ïiäñòàâèìî a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = − 5

6 , a4 = 16 , a5 = − 7

60 âðÿä (42): y = 0 + x + 0 · x2 − 5

6x3 + 16x4 + 5

24x5 − 760x6 + · · ·

Âiäïîâiäü: y ≈ x− 56x3 + 1

6x4 + 524x5 − 7

60x6.Çàóâàæåííÿ. Ìåòîä ïîñëiäîâíîãî äèôåðåíöiþâàííÿ ìîæíà çàñòî-

ñóâàòè i äëÿ îñòàííüîãî ïðèêëàäó.

� 2.9. Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿ1. Ôóíêöiþ y =

√x3 ðîçêëàñòè â ðÿä Òåéëîðà â îêîëi òî÷êè

x = 3.2. Çíàéòè ÷îòèðè íåíóëüîâèõ ÷ëåíè ðîçêëàäàííÿ â ðÿä çà ñòåïå-

íÿìè x ôóíêöi¨ y = ln(1 + ex).3. Ðîçêëàñòè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè x ôóíêöiþ y = chx.4. Îá÷èñëèòè 1

4√eç òî÷íiñòþ äî 0,0001.

5. Îá÷èñëèòè 5√

250 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

6. Îá÷èñëèòè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ14∫0

e−x2dx, âçÿâøè ïåðøi òðè

÷ëåíè ðîçêëàäó, âêàçàòè ïîõèáêó.

7. Îá÷èñëèòè iíòåãðàë0,5∫0

arctgx dx ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

49


x10 sin xdx ç òî÷íiñòþ äî 0,001.


dx1+x4 ç òî÷íiñòþ äî 0,001.

10. Çíàéòè 5 íåíóëüîâèõ ÷ëåíiâ ðîçêëàäó â ñòåïåíåâèé ðÿä ðîçâ'ÿçêóçàäà÷i Êîøi y

′′= y cosx + x, y(0) = 1, y′(0) = 0.

Âiäïîâiäi: 1. 1 + 32 ((x− 1) + 1

2(x−1)2

2! − 122

(x−1)3

3! + . . . +(−1)n 1·3·····(2n−5)

2n−1(x−1)n

n! + . . . ; 2. ln 2 + x2 + x2

8 − x4

192 ; 3. 1 + x2

2! + · · · +x2n−2

(2n−2)! + · · · ; 4. 0, 7788; 5. 3, 017; 6. 0, 24488, ïîõèáêà 0, 00001; 7. 0, 487,8. 0, 006, 9. 0, 494, 10. 1 + x2

2! + x3

3! + x5

5! − 5x6

6! .

Ñïèñîê ëiòåðàòóðè[1] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âèñøåé ìàòåìàòèêå. ×.2. Ñïåöèàëüíûå ãëàâû

ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ / ÁîãëîâÂ.À., Åôèìîâ À.Â., Êàðàêóëèí À.Ô. è äð.; ïîä ðåä. À.Â.Åôèìîâè Á.Ï.Äåìèäîâè÷à. 2-å èçä. � Ì.: Íàóêà. Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò.,1986. � 368 ñ.

[2] Í.Ñ.Ïèñêóíîâ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.Ò.2. � Ì.: Íàóêà, 1970. � 576 ñ.

[3] Ë.À.Êóçíåöîâ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåàòèêå (òèïîâûåðàñ÷¼òû): Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ. � Ì.: Âèñø. øêîëà, 1983.� 175. ñ.

[4] Ä.Ïèñüìåííûé. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. 2÷àñòü. � 2-å èçä., èñïðàâ. � Ì.: Àéðèñ-Ïðåññ, 2003. � 256 ñ.:èë.

[5] Â.Ì.Âëàäèìèðîâ, Î.À.Ïó÷êîâ, Ì.À.Øìèãåâüñêèé. Çáiðíèê çà-äà÷ ç âèùî¨ ìàòåìàòèêè. ×.2. � Êè¨â: IÂÖ "Ïîëiòåõíiêà", 2003.� 200 ñ.

ÇìiñòÂñòóï 3

1. ×èñëîâi ðÿäè 4� 1.1.Îñíîâíi ïîíÿòòÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4� 1.2.Âëàñòèâîñòi ÷èñëîâèõ ðÿäiâ. . . . . . . . . . . . . . . . . 7� 1.3.Îçíàêè çáiæíîñòi äîäàòíèõ ÷èñëîâèõ ðÿäiâ. . . . . . . . 7� 1.4.Äîâiëüíi ÷èñëîâi ðÿäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14� 1.5.Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿ . . . . . . . . . . 19

2. Ôóíêöiîíàëüíi ðÿäè 20� 2.1.Îçíà÷åííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó. Îáëàñòü çáiæíîñòi . 20� 2.2.Ðiâíîìiðíà çáiæíiñòü ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó . . . . . . 23� 2.3.Âëàñòèâîñòi ôóíêöiîíàëüíèõ ðÿäiâ . . . . . . . . . . . . 25� 2.4.Ñòåïåíåâi ðÿäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27� 2.5.Âëàñòèâîñòi ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ . . . . . . . . . . . . . . . 28� 2.6.Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿ . . . . . . . . . . 36� 2.7.Ðÿäè Òåéëîðà i Ìàêëîðåíà . . . . . . . . . . . . . . . . . 36� 2.8.Çàñòîñóâàííÿ ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.1. Ðîçêëàä ôóíêöié â ñòåïåíåâèé ðÿä . . . . . . . . 402.8.2. Îá÷èñëåííÿ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ ôóíêöi¨ . . . 422.8.3. Íàáëèæåíå îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ iíòåãðàëiâ . 432.8.4. Íàáëèæåíå iíòåãðóâàííÿ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâ-

íÿíü çà äîïîìîãîþ ñòåïåíåâèõ ðÿäiâ . . . . . . . 47� 2.9.Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿ . . . . . . . . . . 49

Ñïèñîê ëiòåðàòóðè 50

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

Ðÿäè. ×àñòèíà I.

Óêëàäà÷i: Ìõiòàðÿí Àðìåí Àðòàøåñîâè÷,Ìèëüîøèíà Ðiìà Iëü¨íi÷íà,Äóäêií Ìèêîëà �âãåíîâè÷

Êàôåäðàäèôåðåíöiàëüíèõðiâíÿíü - kpi.ua · 2020. 8. 12. · 3) ßêùî...

Documents

Transcript of Êàôåäðàäèôåðåíöiàëüíèõðiâíÿíü - kpi.ua · 2020. 8. 12. · 3) ßêùî...