流力2! 1!

専門科目(TG010001)

流体力学II Fluid Mechanics II �

劉　　浩

太田匡則　

流力2! 2!

　レイノルズ数による相似性� (Reynolds Number-based Similarity) n  粘性流体の特徴を表すレイノルズ数：

　Re=慣性力/粘性力

n  レイノルズ数の相似性： 同じReをもつ流体現象は似た性質を有する

n  無次元化された支配方程式：

Re = (ρU2 / L)L3

(µU / L2 )L3=ρULµ

=ULν,ν = µ

ρ

∂u∂x

+∂v∂y

= 0

∂u∂t+∂u∂xu + ∂u

∂yv = − ∂p

∂x+1Re(∂

2u∂x2

+∂ 2u∂y2

)

∂v∂t+∂v∂xu +

∂v∂yv = −

∂p∂y

+1Re(∂

2v∂x 2

+∂ 2v∂y2

)

流力2! 3!

　　相似性と無次元化� (Similarity and Nondimensionalization) n  代表的物理量：

　代表長さ＝L　代表速度＝U　代表時間＝T=L/U

n  無次元化： (u,v,w) = U(u*,v*,w*), (x,y,z) = L(x*,y*,z*), t=t*L/U

∂u∂t+∂u∂xu +

∂u∂yv = −

1ρ∂p∂x

+ν(∂2u∂x 2

+∂ 2u∂y2

)

UL /U

∂u *

∂t*+U 2

L(∂u

*

∂x*u* +

∂u*

∂y*v* ) = − 1

ρL∂p∂x*

+ νUL2(∂

2u*

∂x*2 +

∂ 2u*

∂y*2 )

∂u*

∂t*+∂u*

∂x*u* +

∂u*

∂y*v* = −

∂p*

∂x*+

1UL /ν

(∂2u*

∂x*2 +

∂ 2u*

∂y*2 )⇐ p* =

pρU2L

Re = ULν

流力2! 4!

境界層方程式� (Boundary Layer Equation)

n  流体支配方程式：�

n  境界層近似： 　＠物体から離れた所

　＠物体近傍�　

流力2! 5!

n  境界層近似：�　＠境界層は薄い、δ/L=小さい��　＠境界層を横切る方向の速度成分v〜δ��　＠圧力は境界層内(y方向)で一定���　＠粘性項のうち、x方向の２回微分は省略できる

　 境界層近似� (Boundary layer Approximation)

δ / l ≈ O(0)→ x ∝ l, y ∝δ

v /U ≈ O(0)→ v ∝δ ⇒ u∝ l,v ∝δ

∂p∂y

≈O(0)

∂u∂x/∂u∂y

≈ O(0)→ ∂ 2u∂x2

≈O(0)

流力2! 6!

　境界層方程式の導出� (Formation of Boundary Layer Equation)

n  境界層方程式とその特徴：　有次元化 (u,v,w) = U(u*,v*,w*), (x,y,z) = L(x*,y*,z*), t=t*L/U

∂u*

∂x*u* +

∂u *

∂y*v* = −

∂p*

∂x*+1Re(∂

2u*

∂y*2)→ ∂u

∂xu +

∂u∂yv = −

1ρ∂p∂x

+ν∂ 2u∂y2

p + ρU2

2= Const⇒ dp

dx+ ρU dU

dx= 0

∂u∂xu +

∂u∂yv =U

dUdx

+ν∂ 2u∂y2

∂p∂y

= 0

Re = ULν

x,u = O(l), y,v =O(δ ), 1Re

= O(δ 2 )

流力2! 7!

n  平板に沿う境界層１：� ＠境界層内部速度分布の相似����　＠座標変換（写像）：���　＠ブラジウスの微分方程式：������ ＠境界条件：�

境界層の解析例１�Boundary layer problems

uU∝ f ( y

δ)

δ(x)∝ x / Re x , Re x = Ux /ν

x' = x,η = y Re x / x f (η) =Ψ Re x /Ux→Ψ :StreamFunction

€

u =∂Ψ∂y

=Udfdη

, v = −∂Ψ∂x

= −∂Ψ∂x'

−∂η∂x

∂f∂η

=12

URex

(η dfdη

− f )

∂u∂xu +

∂u∂yv =U

dUdx

+ν∂ 2u∂y2

⇒d3 fdη3

+f2d 2 fdη2

= 0

Non − slip :η = 0→ f = 0, fη = 0Outside :η >>1→ fη = 1

流力2! 8!

n  平板に沿う境界層２：�　＠ブラジウスの微分方程式の解�　　数値積分解は実験値とよく合致�　　展開近似：��　　壁面摩擦抵抗係数：������　＠例題6.3: U=20m/s, x=30cmのとき、境界層と壁面せん断応力を求めなさい。

境界層の解析例１�Boundary layer problems

fηη = 0.332→τ w = µ∂u /∂y

τw = µ Re xUfηη / x = 0.332ρU2 / Re x

Cf = τ w /(0.5ρU2) = 0.664 / Re x

Re x =Ux /ν = 3.9x105

δ = 5.48x / Re x = 2.63mm,τ w = 0.332ρU 2 / Re x = 248g/ ms2

u /U = C0 + C1η + C2η2 ⇒δ = 5.48x / Re x

流力2! 9!

n  円柱と球のまわりの境界層１：�　＠円柱まわりの境界層：�　　平板境界層近似を適用���� �　＠円柱まわりの境界層の微分方程式：曲線座標系�　　一般座標系における境界層方程式と同型�

境界層の解析例２�Boundary layer problems

Δp/ Δy = ρU 2 / a⇒ Δp = ρU2δ /a→ 0,Whenδ <<1

∂u∂xu +

∂u∂yv =U

dUdx

+ν∂ 2u∂y2

∂p∂y

= 0

流力2! 10!

n  円柱と球のまわりの境界層２：�　＠円柱まわりの境界層方程式の解：�　　外縁でポテンシャル流れ���　　円柱表面で境界層方程式�����　＠流れの剥離：� 境界層は上流側で薄く、下流側で厚く�　　角度＝108.8（実験では80）になると、�　　剥離が発生

境界層の解析例２�Boundary layer problems

U(x) =Usin( xa) = 2U0(

xa) − 2U0

13!( xa)3 + ...

f (η, xa) = f1(η,

xa) + f3(η,

xa)3 + ...⇒ fi(i =1,3, 5...)

uU(x)

⇔ya

Uaν,φ(0→π )

u = 0, ∂u∂y

< 0

流力2! 11!

n  円柱と球のまわりの境界層：�　＠球まわりの境界層方程式の解：�　　外縁でポテンシャル流れ���　　円柱表面で境界層方程式�����　� ＠流れの剥離と伴流： � 境界層は上流側で薄く、下流側で厚く�　 角度＝109.6（実験では84）になると、� 　剥離が発生 ��

境界層の解析例３�Boundary layer problems

U(φ) = 3U sin(φ2) = 6U0 (

φ2) − 6U0

13!(φ2)3 + ...

f (η, φ2) = f1(η,

φ2) + f3(η,

φ2)3 + ...⇒ fi(i =1,3, 5...)

uU(x)

⇔ya

Uaν,φ(0→π )

u = 0, ∂u∂y

< 0

流力2! 12!

n  境界層、剥離、後流：�　＠ポテンシャル流れでは�　　エネルギー保存により�　　前後縁では圧力対称、�　　剥離無し��　＠粘性があると、摩擦による�　　エネルギー損失が生じ�　　後縁付近では逆流が発生�　�　　� � � 　＠剥離点： �

境界層に伴う剥離�Boundary layer problems

u = 0, ∂u∂y

< 0

p +ρ2U 2 = C→ µ

d2udy2

=dpdx

流力2! 13!

n  境界層、剥離、後流：�　＠理想流体では抗力はゼロ：�　　ダランベールのパラドックス������　＠解決方法：粘性を考慮する�　　１）境界層近似解�　　２）ナビエーストークス方程式の数値解�

境界層に伴う剥離�Boundary layer problems